2 立方根
立方根及乘方开方表
?cm1-3 立方根及乘方開方表一、重點整理你知道2的三次方等於8，但你知道什麼數的三次方等於2嗎？有沒有這樣的數？這個數怎 麼表示？它到底是多少？用心學過這個單元之後，這些疑惑就可以迎刃而解了。
(1) 正數的立方根體積是125立方公分的正方體，它的邊長是多少公分？ 這個問題就是找一個正數，使這個正數的立方（三次方） 等於125。
12555553=⨯⨯=，即12553=5的立方是125，我們就稱5是125的立方根。
例題：(1)1的立方是1，即113=，1是1的立方根。
(2)2的立方是8，即823=，2是8的立方根。
(3)3的立方是27，即2733=，3是27的立方根。
(2) 負數的立方根 125)5()5()5()5(3-=-⨯-⨯-=-，即125)5(3-=-5-的立方是125-，我們就稱5-是125-的立方根。
例題：1. (1)1)1()1()1()1(3-=-⨯-⨯-=-，所以1-是1-的立方根。
(2)8)2()2()2()2(3-=-⨯-⨯-=-，所以2-是8-的立方根。
(3)27)3()3()3()3(3-=-⨯-⨯-=-，所以3-是27-的立方根。
(4)64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=-，所以4-是64-的立方根。
例題：2. (1)問3是不是27的立方根？(2)問3-是不是27的立方根？解：(1)因為2733333=⨯⨯=，所以3是27的立方根。
(2)因為2727)3()3()3()3(3≠-=-⨯-⨯-=-，所以3-不是27的立方根。
答：(1)是；(2)不是(3) 立方根的表示法 1. 正數的立方根是正的，零的立方根是零，負數的立方根是負的。
2. 表示法： 以3a (讀作三次跟號a )表示a 的立方根說明：平方跟號就是2讀作“二次根號”。
例1： (1) 823=∴2是8的立方根，記作283=(2) 8)2(3-=-∴2-是8-的立方根，記作283-=-例2： (1)3273= (2) 3273-=-(3) 0=(4) 乘方開方表我們也可以用乘方開方表來查平方根與立方根。
2立方根实数
立方根、实数一、一周知识概述1、立方根如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个立方根.记作，读作“立方根号a”或“三次根号a”.2、开立方求立方根号a，叫作对a开立方.3、立方根的性质①正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.⑤若一个数的小数点向左（或向右）移动3n位，则它的立方根的小数点向左（或向右）移动n位．4、实数的概念及其分类（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）实数的分类：①按定义分类②按大小分类（3）实数大小的比较一切正数都大于零；一切负数都小于零；一切正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.即绝对值大的负数<绝对值小的负数<零<正数.在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.（4）实数和数轴上点的对应关系实数和数轴上的点是一一对应的关系，即数轴上的每一个点都表示一个实数，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.（5）实数中的几个概念①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0.注意：两个相反数之和等于0.②倒数：若a≠0，则a与互为倒数.说明：两个互为倒数的数之积等于1.③绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即5、有效数字（1）近似数：近似数就是与实际很接近的数．取近似数的方法是“四舍五入法”，还有根据实际问题而采用的“进一法”和“去尾法”．（2）有效数字：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．对带有计数单位的近似数，其有效数字的确定由记数单位前的数字确定．如28.70万有4个有效数字2、8、7、0，而不是6个．用科学记数法表示的近似数，其有效数字由a×10n（1≤a＜10）中的a确定，如1.350×104中有效数字为1、3、5、0．（3）精确度：是近似数精确的程度，一般有两种形式：一是精确到哪一位；二是保留几个有效数字．三、典型例题剖析例1、求下列各数的立方根.[解析]例2、求下列各式的值.[解析]例3、求下列各式中的x的值.（1）－3x3=0.081；(2)27(x－2)3＋64=0；（3）；（4）(3x＋0.1)3=(－0.2)3；（5）.[解析]例4、某爆破人员执行爆破任务，点燃导火索后往100米外的安全地带奔跑，奔跑的速度为9米/秒，已知导火索燃烧的速度为每秒0.2米，导火索的长度应多长才能确保安全.（精确到0.1米）[解析]例5、比较下列各组数中两个实数的大小.[解析]例6、计算.例一分析：根据立方根的定义，若x3=a，则x叫做a的立方根，只需寻求出x即可.解：例二分析：（1）要求的值，即是求512的立方根.（2）求的值，可把化为，即求的立方根的相反数.（3），即求125的立方根.解：例三分析：（1）－3x3=0.081，可得x3=－0.027，∴x是－0.027的立方根；（2）视x－2为一个整体；（3）视2x＋1为一个整体；（4）视3x＋0.1为一个整体；（5）先化简.解：（1）－3x3=0.081，∴x3=－0.027，∴；（2）27(x－2)3＋64=0，∴2x＋1=5, ∴x=2．（4）∵(3x＋0.1)3=(－0.2)3，∴3x＋0.1=－0.2，解得x=－0.1；例四解：100÷9×0.2=2.22…≈2.3（米）.点评：此题不能用“四舍五入”法对2.22…取近似值2.2，因为2.2<2.22…，所以不能确保安全，所以应用“进一法”对2.22…取近似值2.3才能确保安全．因此在实际问题中不能一味用“四舍五入法”来取近似值，而应具体问题具体对待，正确选用“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”.例五解析：解：例六解析：（1）根据绝对值性质进行计算；（2）取近似值计算.解：在线测试一、选择题1、今年6月5日是第33个世界环境日，其主题是“海洋存亡，匹夫有责”.目前全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（）A．3.61×108平方公里B．3.60×108平方公里C．361×108平方公里D．36100万平方公里2、的相反数为（）A．2 B．－2C．±2 D．3、计算的值是（）A．4 B．2C．－2 D．－44、若a是大于－1的负数，且，则a与b的关系是（）A．a>b B．a<bC．a=b D．不能确定5、下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个数的立方根与这个数同号，0的立方根是06、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做为（）A．代入法B．换元法C．数形结合D．分类讨论7、若代数式的值是常数2，则a 的取值范围是（）A．a≥4 B．a≤2C．2≤a≤4 D．a=2或a=48、下列命题中正确的是（）A．有限小数是有理数B．无限小数是无理数C．数轴上的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应9、在所给的数据：（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个），其中无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10、若1<x<2，则的值为（）A．2x－4 B．－2C．4－2x D．2B 卷二、解答题。
平方根与立方根的计算方法
平方根与立方根的计算方法数学是一门重要的学科，也是中学阶段的必修课程之一。
在数学学习中，平方根和立方根是常见的概念，对于学生来说，掌握平方根和立方根的计算方法非常重要。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，并提供一些实用的技巧和例子，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于这个数的数值。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
计算平方根的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法是一种直观的计算平方根的方法。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的平方与给定的数相近。
例如，要计算√17，我们可以试着找一个数x，使得x²≈17。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x²≈17。
通过试探，我们可以得到√17≈4.123。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更精确的计算平方根的方法。
它基于一个数学原理：如果我们已经知道一个近似值x，那么下一个近似值可以通过迭代公式来计算。
对于计算√a，迭代公式为：x = (x + a/x) / 2。
通过多次迭代，我们可以得到更精确的平方根值。
例如，要计算√17，我们可以从一个近似值x=4开始，通过多次迭代，最终得到√17≈4.123。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于这个数的数值。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
计算立方根的方法也有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1. 试探法试探法也适用于计算立方根。
首先，我们可以试着找一个数，使得它的立方与给定的数相近。
例如，要计算³√27，我们可以试着找一个数x，使得x³≈27。
我们可以从1开始试探，逐渐增加x的值，直到找到一个数，使得x³≈27。
通过试探，我们可以得到³√27≈3。
2. 迭代法迭代法也可以用于计算立方根。
类似于牛顿迭代法，我们可以通过迭代公式来计算立方根。
八年级数学掌握平方根和立方根的计算
八年级数学掌握平方根和立方根的计算平方根和立方根是数学中的基础概念，也是我们在生活和学习中经常会用到的计算方法。
在八年级数学课程中，我们将学习如何准确地计算平方根和立方根，并在实际应用中加深对其理解。
本文将按照对应的数学知识点，分别阐述平方根和立方根的计算方法及实际应用。
一、平方根的计算平方根是指一个数的平方值等于给定数的运算。
我们常用符号√a表示数a的平方根，其中a被称为被开方数。
1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以由一个整数乘以自己得到的数。
例如，1、4、9、16等都是完全平方数。
当我们计算完全平方数的平方根时，可以直接提取其平方根的值。
例如，√4=2，√9=3。
2. 不完全平方数的平方根对于不完全平方数的平方根计算，我们可以使用近似值的方法。
首先需要明确计算的精度，通常以小数点后两位或更多位为准。
以√2为例，我们可以利用长除法的方法进行近似计算。
假设我们要计算的精度为小数点后两位，我们可以做以下步骤：- 找到一个整数a，使得a×a≈2；- 列出除法算式a÷2得到一个数a1；- 接着将a与a1的平均值作为新的商数，再次进行除法算式，直到达到所要求的精度。
通过多次迭代计算，最终可以得到√2≈1.41。
3. 平方根的实际应用平方根在实际应用中有广泛的用途。
例如，在几何图形中，我们可以利用平方根计算三角形的边长。
在物理学中，平方根可以用于计算速度、加速度等物理量。
二、立方根的计算立方根是指一个数的立方值等于给定数的运算。
我们通常使用符号∛a表示数a的立方根，其中a被称为被开三次方的数。
1. 完全立方数的立方根完全立方数是指可以由一个整数乘以自己两次得到的数。
例如，1、8、27、64等都是完全立方数。
当我们计算完全立方数的立方根时，可以直接提取其立方根的值。
例如，∛8=2，∛27=3。
2. 不完全立方数的立方根对于不完全立方数的立方根计算，我们也可以使用近似值的方法。
与计算平方根类似，我们需要明确计算的精度，并通过迭代计算逐步逼近精确值。
北师大版八年级数学上册：2-3立方根(教案)
举例：2的平方根是±√2，2的立方根是∛2。
（2）立方根的运算规则：掌握立方根的运算规则，尤其是多个立方根相乘或相除时的运算。
举例：计算∛(27)÷∛(8)。
（3）解决实际问题：将立方根应用于解决实际问题，建立数学模型，提高问题解决能力。
3.培养学生的数学抽象素养：培养学生从具体实例中抽象出立方根概念，理解数学知识背后的本质联系，提高数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模素养：通过解决实际问题，让学生学会运用立方根建立数学模型，增强数学在实际生活中的应用意识，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）立方根的定义：理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法。
北师大版八年级数学上册：2-3立方根（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第二章第三节：立方根。教学内容主要包括以下两个方面：
1.立方根的定义：通过具体实例，引导学生理解立方根的概念，并掌握立方根的表示方法。
2.立方根的性质与运算：探讨立方根的性质，如正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，零的立方根为零；学习立方根的运算方法，并能解决实际问题。
举例：一个正方体的体积是64立方厘米，求其棱长。
（4）估算无理数立方根的大小：学会估算无理数立方根的大小，提高数感。
举例：估算∛(20)的大小，在1到2之间。
在教学过程中，教师要针对重点内容进行详细讲解和强调，通过实例让学生充分理解立方根的定义、性质和运算方法。对于难点内容，教师应采取适当的教学方法，如对比分析、逐步引导、实际操作等，帮助学生突破难点，确保学生对立方根知识掌握得更加透彻。
开立方的数学符号
开立方的数学符号开立方的数学符号有许多种，以下是常用的符号及其表示：1. 立方根符号（cube root symbol）表示为 $\sqrt[3]{\quad}$，用于表示一个数的立方根，例如$\sqrt[3]{27}=3$。
2. 开立方符号（square root symbol）表示为 $\sqrt[6]{\quad}$，用于表示一个数的开立方，例如$\sqrt[6]{64}=2$。
3. 三次方程的解（cubic equation solution）表示为 $\frac{-b\pm\sqrt[3]{b^2-4ac}}{2a}$，用于求解形如$ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三次方程的根。
4. 立方体的体积（volume of a cube）表示为 $V=s^3$，其中 $s$ 表示立方体的边长，用于计算立方体的体积。
5. 立方体的表面积（surface area of a cube）表示为 $S=6s^2$，其中 $s$ 表示立方体的边长，用于计算立方体的表面积。
6. 立方差公式（sum and difference of cubes formula）表示为 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 和 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，分别表示两个立方数之和和之差的因式分解。
7. 立方数列公式（cubic sequence formula）表示为 $a_n=n^3$，用于计算一个立方数列的第 $n$ 项。
8. 立方和公式（sum of cubes formula）表示为 $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2$，用于计算前 $n$ 个立方数的和。
9. 立方根逼近公式（cube root approximation formula）表示为 $x_{n+1}=\frac{1}{3}(\frac{a}{x_{n}^2}+2x_n)$，其中$x_n$ 表示通过牛顿法逼近的 $a$ 的立方根的第 $n$ 项。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
下面就让我们来详细了解一下平方根与立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x ＝±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为 5²＝ 25，所以√25 ＝ ±5。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的表示方法正数 a 的平方根表示为±√a，其中“√”读作“根号”，“±”表示正负两个值。
6、常见平方根（1）√1 ＝ 1，√4 ＝ 2，√9 ＝ 3，√16 ＝ 4，√25 ＝ 5 等。
（2）一些常见的无理数平方根，如√2 ≈ 1414，√3 ≈ 1732 等。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 x ＝³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，即³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
4、立方根的表示方法数 a 的立方根表示为³√a。
立方根号的运算法则公式
立方根号的运算法则公式
立方根计算公式：立方根计算公式是将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组,求得最高位数,用第一组数减去最高位数的平方,在其差右边写上第二组数;用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.
设x=a^(1/2),即x^2-a=0 设曲线f(x)=x^2-a f'(x)=2x 从x=a 开始迭代,记为点(x1,x1^2-a),过此点作切线的斜率为2x1,
立方根的计算方法：
1、计算器
2、分解质因数,例如8=2*2*2,那么立方根就是2
计算立方根的公式
如何快速计算立方根. ：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a 的立方根,也称为三次方根.也就是说,如果x³=a,那么x叫做a的立方根. 注意:在平方根中的根指数2可省略不写,但立方根中的根指数3不能省略不写.
如何计算一个数的立方根 - ：将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.再用最高位数的20倍与...
通常用迭代公式算,收敛很快,只需几步即可.公式
为:X1=2xo/3+A/(3xo^2), A为要求立方根的数.比如求10的立方
根,A=10, 取初值xo=2 x1=2.166666667 x2=2.154503616
x3=2.154434692 而准确值为:2.154434690031880 ..因此迭代3步已经达到小数点后8位的精度了.。
整数的根式学习整数的根式运算
整数的根式学习整数的根式运算根式是数学中常见的一种运算符号，它用于表示某个数的平方根、立方根等。
整数的根式运算是指对整数进行开根运算，其中整数可以为正整数、负整数或零。
在本文中，我们将探讨整数的根式学习和整数的根式运算。
一、整数的根式学习整数的根式学习是指学习如何计算整数的平方根、立方根等根式运算。
在进行整数的根式运算前，我们需要先了解一些基本概念和规则。
1. 平方根：平方根是指一个数的二次方等于该数的根。
对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记为√a。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
2. 立方根：立方根是指一个数的三次方等于该数的根。
对于一个整数a，如果存在一个整数b，使得b的立方等于a，则称b为a的立方根，记为∛a。
例如，∛8 = 2，因为2的立方等于8。
3. 根式的化简：当根式中的被开方数可以整除完全平方数时，可以对根式进行化简。
例如，√12 = √4 × √3 = 2√3。
这样可以简化计算和书写。
二、整数的根式运算在进行整数的根式运算时，我们可以根据运算法则来进行计算。
以下是几个常见的整数根式运算法则：1. 乘法法则：当根式相乘时，可以将根号内的数相乘，然后再开方。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
2. 除法法则：当根式相除时，可以将根号内的数相除，然后再开方。
例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2。
3. 幂法则：在幂运算中，根号可以与指数进行交换。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3。
4. 同底根式的加减法则：当根号内的数相同，但系数不同时，可以将系数相加或相减，然后再乘以相同的根号。
例如，2√2 + 3√2 = 5√2。
通过应用这些运算法则，我们可以简化整数的根式运算，得到更简洁的结果。
三、应用举例下面将通过几个具体的例子来说明整数的根式学习和整数的根式运算。
数字的根与根式运算
数字的根与根式运算数字的根与根式运算是数学中的一个重要概念和运算方法。
通过求解数字的根和进行根式运算，我们能够更便捷地处理数值计算和问题求解。
本文将围绕数字的根和根式运算展开讨论，并介绍其相关概念、性质和应用。
1. 数字的根在数学中，我们常常遇到一些数字的根，如平方根、立方根等。
根是对一个数进行运算得到的另一个数。
其中，平方根是指一个数的平方等于另一个数，常用符号√来表示，如√4 = 2。
同样地，立方根是指一个数的立方等于另一个数，常用符号³√来表示。
对于一个正实数x，其平方根的定义如下：若存在一个非负实数a，使得a² = x，则a称为x的平方根，记作√x。
类似地，x的立方根、n次方根（n为正整数）可分别表示为³√x、ⁿ√x。
2. 根式与根式运算根式是由根号和被开方数构成的一种表示方式。
根号下的数字被称为被开方数，位于根号前面的数字被称为指数。
根式的一般形式为√a，其中a为被开方数。
根式运算包括相加、相减、相乘、相除等运算方法。
在进行根式运算时，我们需要根据根式的性质进行求解和化简。
下面介绍一些常见的根式运算规则：（1）同底数相加减：若根号下的被开方数相同，则可以进行相加或相减，指数不变。
例如：√a + √b = √(a+b)。
（2）乘方计算：根式可以转化为指数的形式进行计算。
例如：√a = a^(1/2)。
（3）分数计算：根式可以表示为分数的形式。
例如：√a = a^(1/2) = a/2。
（4）有理化简：对于含有分母的根式，可以通过有理化简的方法，将分母有理化为整数。
例如：√(a/b) = (√a)/√b。
3. 根的性质及应用（1）开方运算的唯一性：一个非负实数的正平方根是唯一确定的。
（2）根与指数幂的运算规律：根运算可以和指数幂运算相互转化。
（3）根的大小比较：对于a和b，若a > b，则√a > √b。
（4）根的应用：根与根式运算在实际问题的求解中有广泛应用，如求直角三角形的斜边长、求解勾股数等。
2-立方根
立方根【知识要点】1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称作a的三次方根）。
即：若3x a=，则x称为a a是被开方数，3是根指数。
2．立方根的性质：（1）任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）。
（2）正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
（3）求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
3．开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。
4．n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。
5．n次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负；（3）0的任何次方根为0。
【课前热身】求下列各数的立方根【典型例题】例1 （1）求下列各数的立方根：①164-②729 ③610-（2）求下列各式的值：例= ；= ；= 。
例3 下列各式中值为正数的是（ ）A B ． C例4例5 求下列各式中x 的值。
（1）381250x += （2）551600x -=例6 35.120.3512=，求x 。
【经典练习】1．下列各式中正确的是（ ）． （A ） （B ） （C ）（D ）2．的立方根是（ ）．（A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－23． ，则 的值是（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）4．下列四种说法中共有（ ）个是错误的．（1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3） 的平方根是 ；（4） ．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45的立方根是（ ）A ．±4B ．±2C ．2D ．－26．若()225a =-，()335b =-，则a b +的值为（ ）A ．－10B ．0C ．0或－10D ．0，－10或1074=，那么()367a -的值是（ ） A ．64 B ．－27 C ．－343 D ．3438． ）A ．－2B ．2C ．．9．（1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。
人教版七下数学6-2立方根
∴ 8x3=-125，
∴
x3=
∴ x=
125
−
，
8
3
125 5
−
=− .
8
2
3.求下列各式中 x 的值.
(1) x3-0.001=0；(2) 8x3+125=0；(3) (x+3)3+27=0.
解：(3) ∵(x+3)3+27=0 ，
∴(x+3)3=-27，
∴ x+3=
依题意，得 1000-8x3=488，
∴ 8x3=512，
∴ x3=64，
∴ x=4.
答：截去的每个小正方体的棱长是 4 cm.
应用平方根、立方根解决实际问题的两种模型
1.面积类：利用平方根的概念，求出正方形面积
的算术平方根，即为正方形的边长.
2.体积类：利用立方根的概念，求出正方体体积
的立方根，即为正方体的棱长.
在上面的问题中，由于 33=27，所以 3 是 27 的立方根.
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立
方.
立方
3
-3
开立方
开立方与立方互为逆
27
运算，可以利用开立
-27
方求一个数的立方根，
5
125
-5
-125
也可以利用立方来检
验一个数是不是某个
数的立方根.
探究 根据立方根的意义填空.
因为 23 =8，所以 8 的立方根是( 2 )；
方根或三次方根
正数的立方根是一个正数
0 的立方根是 0
负数的立方根是一个负数
运算
开立方
专题2-2 立方根-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.2 立方根-重难点题型【北师大版】【题型1 立方根的概念及性质】【例1】（2021春•仓山区期中）如果﹣a 是b 的立方根，那么下列结论正确的是（ ）A ．a 是﹣b 的立方根B ．a 是b 的立方根C ．﹣a 是﹣b 的立方根D ．±a 都是b 的立方根【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．【解答过程】解：根据题意得：（﹣a ）3＝b ，∴﹣a 3＝b ，∴a 3＝﹣b ，∴a 是﹣b 的立方根， 故选：A ． 【变式1-1】（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．−19没有立方根 C ．若√a =√a 3，则a ＝1 D ．√−273=−√273【解题思路】根据立方根的定义解答即可．【解答过程】解：A ．正数的立方根只有一个，64的立方根是4，该选项错误，不符合题意；B ．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；C ．a 也可以等于0，该选项错误，不符合题意；D ．√−273=−3，−√273=−3，所以该选项正确，符合题意．故选：D ．【变式1-2】（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（ ）A ．64的立方根是±√643=±√4B ．−12是−16的立方根C ．√−273=−√273D ．立方根等于它本身的数是0和1【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答过程】解：A 、64的立方根是4，故本选项错误；B 、−12不是−16的立方根，故本选项错误；C 、√−273=−3，−√273=−3，则√−273=−√273正确；D 、立方根等于它本身的数是0和±1，故本选项错误；故选：C ．【变式1-3】（2020春•闽侯县期中）若有√x 3+√y 3=0，则x 和y 的关系是（ ）A ．x ＝y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．xy ＝1D ．x +y ＝0 【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x ＝﹣y ，即可得出x 与y 的关系．【解答过程】解：∵√x 3+√y 3=0，∴√x 3=−√y 3，∴x ＝﹣y ，∴x 与y 的关系是x +y ＝0．故选：D ．求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型2 开立方的运算】【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x 为﹣512时，输出的数y 的值是（ ）A ．−√23B ．√23C ．﹣2D ．2【解题思路】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为√−23=−√23，因为−√23是无理数，所以输出−√23，故选：A ．【变式2-1】（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a ＝ ，b ＝ ．【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m ，a 的立方根是﹣m ，∴m 3＝2020，（﹣m ）3＝a ，∴a ＝﹣2020；又∵n 的平方根是2020和b ，∴b ＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式2-2】（2021春•汉阳区期末）已知√1−a 23=1−a 2，则a ＝ ．【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出a 的值．【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，∴①1﹣a 2＝0，解得a ＝±1，②1﹣a 2＝1，解得a ＝0，③1﹣a 2＝﹣1，解得a ＝±√2，综上所述，a ＝±1，0，±√2．故答案为：±1，0，±√2．【变式2-3】（2021春•浦东新区校级月考）已知√a 3=−0.056，a ＝106b ，那么√b 3= ． 【解题思路】根据立方根的定义解答可得．【解答过程】解：因为a ＝106b ，所以106b ＝a ，所以b ＝a ÷106，因为√a 3=−0.056，所以a ＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616，所以√b 3=5.6×10﹣4． 故答案为：5.6×10﹣4． 【题型3 开立方运算中的小数点移动规律】【例3】（2021春•望城区期末）已知√83=2，√80003=20，√0.0083=0.2，则√80000003= ．【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可．【解答过程】解：∵√83=2，√80003=20，√0.0083=0.2，∴√80000003=200，故答案为：200．【变式3-1】（2021春•重庆月考）若√3≈1.732，√30≈5.477，√17283=12，√17.283≈2.585，则√300≈ ，√1.7283= ．【解题思路】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．当被开方数扩大（或缩小）为原来的1000倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【解答过程】解：∵√3≈1.732，∴√300≈17.32，∵√17283=12，∴√1.7283=1.2．故答案为：17.32，1.2．【变式3-2】（2021春•天津期中）已知√1.123≈1.038，√11.23≈2.237，√1123≈4.820，则√−112003≈ ．【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．【解答过程】解：∵√11.23≈2.237，∴√−112003≈−22.37．故答案为：﹣22.37．【变式3-3】（2019春•海淀区校级月考）已知√2.14≈1.463，√21.4≈4.626，√0.2143≈0.5981，√2.143≈.289，若√x ≈46.26，则x ＝ ；若√y 3≈−5.981，则y ＝ ．【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．【解答过程】解：∵√21.4≈4.626，√x ≈46.26，∴x ＝2140，∵√0.2143≈0.5981，√y 3≈−5.981，∴y ＝﹣214，故答案为：2140，﹣214．【题型4 利用开立方解方程】【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x +1）2＝4，求x 的值；（2）已知8（x ﹣1）3=−1258，求x 的值．【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．【解答过程】解：（1）方程整理得：（x +1）2=49，开方得：x +1＝±23， 解得：x 1=−13，x 2=−53；（2）方程整理得：（x ﹣1）3=−12564， 开立方得：x ﹣1=−54，解得：x =−14． 【变式4-1】（2021春•郧西县月考）求x 的值：（1）（x ﹣1）2＝4；（2）9x 3+√64=x 3−√(−19)2．【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；（2）根据立方根的定义解答．【解答过程】解：（1）（x ﹣1）2＝4，∴x ﹣1＝±2，∴x ＝3或﹣1；（2）9x 3+√64=x 3−√(−19)2，∴9x 3+8＝x 3﹣19，∴9x 3﹣x 3＝﹣19﹣8，∴8x 3＝﹣27，∴x 3=−278， ∴x =−32．【变式4-2】（2021春•江汉区期中）求下列各式中x 的值：（1）（x ﹣1）2＝4；（1）14（2x +3）3+2＝0． 【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；（2）根据立方根的意义计算．【解答过程】解：（1）x ﹣1＝2或﹣2，∴x ＝3或一1；（2）14（2x +3y ）3＝﹣2， ∴（2x +3）3＝﹣8，∴2x +3＝﹣2，∴x =−52．【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）√2x −13+√5x +83=0，则x 的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．12D ．无选项 【解题思路】根据题意，对原方程变形为√2x −13=−√5x +83，即可得到有2x ﹣1＝﹣5x ﹣8，解方程即可得出x 的值．【解答过程】解：√2x −13+√5x +83=0，即√2x −13=−√5x +83，故有2x ﹣1＝﹣5x ﹣8解之得x ＝﹣1，故选：B ．【题型5 平方根与立方根综合】【例5】（2020春•合川区期末）已知M =√5a +2b 是9的算术平方根，7a +3b ﹣1的平方根为±4，N =√−2a −b 3，则M +2N 的立方根为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2 【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义a 、b 的值，再求出M 、N 的值，进而求出M +2N 的立方根即可．【解答过程】解：∵9的算术平方根是3，∴M =√5a +2b =3，∴5a +2b ＝9，又∵7a +3b ﹣1的平方根为±4，∴7a +3b ﹣1＝16，∴{5a +2b =97a +3b −1=16， 解得a ＝﹣7，b ＝22，∴N =√−2a −b 3=√14−223=√−83=−2，∴M +2N ＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，而﹣1的立方根为﹣1，∴M +2N 的立方根为﹣1，故选：A ．【变式5-1】（2020春•西华县期中）已知实数a +9的一个平方根是﹣5，2b ﹣a 的立方根是﹣2，求√a +2√b 的算术平方根．【解题思路】利用平方根、立方根性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可求出所求．【解答过程】解：由题可知a +9＝（﹣5）2，2b ﹣a ＝（﹣2）3，解得：a ＝16，b ＝4，∴√a +2√b =√16+2√4=4+4＝8，8的算术平方根是2√2，则√a +2√b 的算术平方根是2√2．【变式5-2】（2021春•甘肃期末）如果A =√a +3b a−2b+3为a +3b 的算术平方根，B =√1−a 22a−b−1为1﹣a 2的立方根，求A +B 的平方根．【解题思路】根据算术平方根以及立方根的定义，A 和B 的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a ，b 的方程组求得a ，b 的值，进而得到A 、B 的值，从而求解．【解答过程】解：根据题意得：{a −2b +3=22a −b −1=3， 解得：{a =3b =2， 则A =√3+6=√9=3，B =√1−93=−2，则A +B ＝1，A +B 的平方根是：±1．【变式5-3】（2021春•渝中区校级期中）已知：a 与2b 互为相反数，a ﹣b 的算术平方根是3；（1）求a 、b 的值；（2）若|2a +c |+√b −d =0，求c 3+d ﹣1的立方根． 【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；（2）【解答过程】解：（1）由题意得：{a +2b =0a −b =9， 解得：a ＝6，b ＝﹣3．（2）由非负数的性质可得：{2a +c =0b −d =0， 即{12+c =0−3−d =0，∴c＝12，d＝﹣3．∴c3+d﹣1＝4﹣3﹣1＝0，∴c3+d﹣1的立方根是0．【题型6 立方根的应用】【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（）A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，解得x＝2．【变式6-1】（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是．【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的棱长，然后进行分割即可解决问题．【解答过程】解：一个正方体木块的体积是343cm3，则边长为√3433=7cm，现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5cm，每个正方体边长为：3.5cm，其中一个小正方体表面积为6×（3.5）2＝73.5cm2；故答案为：73.5cm2．【变式6-2】（2021春•静海区月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【解题思路】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．【解答过程】解：设正方体容器的棱长为xcm，得x3＝8×4×2x3＝64∴x＝4答：正方体容器的棱长为4cm．【变式6-3】（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．【解题思路】设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体容积公式列方程计算．【解答过程】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 cm2的正方形，∴剪掉的正方形边长为5 cm，设原来正方形的边长为xcm，由题意可得：5（x﹣10）2＝180，∴（x﹣10）2＝36，x﹣10＝±6，解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），∴原来正方形的边长为16 cm．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴53=125，93=729
∴体积为0.125米3的正方体鸟笼边长为5分米.0.729立方米正方体鸟笼的边长为9分米.
2. 15分钟课堂过关训练A级：1.(1)√(2)×(3)×(4)√
2.(1)0与±1 (2)－ 8 (3)±4 (4)2
14.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.
15.判断下列各式是否正确成立.
(1) =2
(2) =3·
(3) =4
(4) =5
判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.
答案
1 5分钟课堂过关训练参考答案
.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.
（2） 与 有何关系？
意图：明晰 =a， =a。
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
例1求下列各数的立方根：
（1） ；（2） ； （3） ； （4） ；（5） .
解：（1）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（3）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（4）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
2.在下列各式中： = =0.1, =0.1,－ =－27,其中正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
3.若m<0，则m的立方根是（）
A. B.－ C.± D.
4.如果 是6－x的三次算术根，那么（）
A.x<6B.x=6C.x≤6D.x是任意数
5.下列说法中，正确的是（）
A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
二、填空题
6. 的平方根是______.
7.（3x－2）3=0.343,则x=______.
8.若 + 有意义，则 =______.
9.若x<0，则 =______, =______.
A.0B.±10C.0或10D.0或－10
（4）如图1：数轴上点A表示的数为x，则x2－13的立方根是（）
A. －13
B.－ －13
C.2
D.－2
（5）如果2(x－2)3=6 ,则x等于（）
A. B. C. 或 D.以上答案都不对
C级
4.若球的半径为R，则球的体积V与R的关系式为V= πR3.已知一个足球的体积为6280 cm3,试计算足球的半径.(π取3.14,精确到0.1)
(2) =________，( )3=________
(3) 的平方根是________.
(4) 的立方根是________.
B级
3.选择题
(1)如果a是(－3)2的平方根，那么 等于（）
A.－3B.－ C.±3D. 或－
(2)若x＜0，则 等于（）
A.xB.2xC.0D.－2x
(3)若a2=(－5)2,b3=(－5)3,则a+b的值为（）
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为± ，a的立方根表示为 .
(4)被开方数的取值范围不同
± 中的被开方数a是非负数； 中的被开方数可以是任何数.
2.例题讲解
［例1］求下列各数的立方根：
(1)－27；(2) ；(3)0.216；(4)－5.
深入探究
想一想：
（1） 表示a的立方根，那么 等于什么？ 呢？
（1）如果做一个体积大约为0.125米3的正方体鸟笼，鸟笼的边长约为多少？
（2）如果这个正方体鸟笼的体积为0.729立方米呢？
请你来帮他计算，好吗？
15分钟课堂过关训练
班级：________姓名：________
A级
1.判断题
(1)如果b是a的三次幂，那么b的立方根是a.…………………………………………（）
提高作业
班级：___________________________姓名：___________________________
作业导航
理解一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根.
一、选择题
1.下列说法中正确的是（）
A.－4没有立方根B.1的立方根是±1
C. 的立方根是 D.－5的立方根是
开立方的定义
2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.
－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.
0的立方等于多少？0有几个立方根？
0的立方等于0，0有1个立方根是0.
(2)任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.……………………………………（）
(3)负数没有立方根.……………………………………………………………………（）
(4)如果a是b的立方根，那么ab≥0.…………………………………………………（）
2.填空题
(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________.
大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.
2平方根与立方根的区别与联系.
我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.
总结一下：
平方根与立方根的联系与区别.
10.若x=( )3，则 =______.
三、解答题
11.求下列各数的立方根
（1）729（2）－4 （3）－ （4）（－5）3
12.求下列各式中的x.
(1)125x3=8 (2)(－2+x)3=－216 (3) =－2 (4)27(x+1)3+64=0
13.已知 +|b3－27|=0,求(a－b)b的立方根.
(4)x=－ 13.－343 14.7 cm15. =n
（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；
（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；
负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式：( )3=a, ， = ；
（5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
第三课时2.3立方根
目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
重点：立方根的概念.
难点：1.正确理解立方根的概念. 2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处
B级：3.(1)D (2)C (3)D (4)D (5)B
C级：4.解：由已知6280= π·R3
∴6280≈ ×3.14R3，∴R3=1500
∴R≈11.3 cm
3.立方根提高作业答案
一、1.D 2.C 3.A 4.D 5.D
二、6.±2 7.0.9 8. 9.－xx10.2
三、11.（1）9（2）－ （3）－ （4）－512.(1)x= (2)x=－4 (3)x=－6
（5） 的立方根是 .
例2求下列各式的值：
（1） （2） （3） ； （4） ．
解：（1） = ； （2） = ；
（3） = ； （4） =9．
例3一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
解：设正方体的棱长是x厘米，得
小结：在学习中应注意以下5点：
（1）符号 中根指数“3”不能省略；
5分钟课堂过关训练
夏日的一天，欢欢的爸爸给他买了一对话眉鸟，装在一个很小的笼子里送给了他，欢欢非常高兴，每天早晨，欢欢在话眉鸟婉转的歌声中醒来，可是没几天，话眉鸟却变得无精打采，他赶紧去问爸爸，噢，原来是笼子太小，天气太热，而话眉鸟需要嬉水、玩沙以保持清洁、散发热量.小明在爸爸的建议下，准备动手做一个鸟笼，他设想：
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=± .
若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？
Ⅱ.新课讲解
1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？
作业：
补充练习1.求下列各数的立方根：
0，1，－ ，6，－ ，0.001
2.求下列各式的值：
3.下列说法对不对？
－4没有立方根；1的立方根是±1； 的立方根是 ；－5的立方根是－ ；64的算术平方根是
同步练
1.判断题
(1)(－2)－3的立方根是－ .