步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件9.8曲线与方程
高考一轮复习第8章解析几何第8讲曲线与方程
第八讲曲线与方程知识梳理·双基自测知识梳理知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．(选修2－1P 37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)__．[解析] 设P(x ，y)，∵∠APO ＝∠BPO ， ∴|PA||PB|＝|OA||OB|＝2， 即|PA|＝2|PB|，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，(y≠0)化简整理得P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(y≠0)． 题组三 走向高考4．(多选题)(2020·山东)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1．( ACD ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线[解析] A ．若m ＞n ＞0，则1m ＜1n ，则根据椭圆定义，知x 21m ＋y21n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若m ＝n ＞0，则方程为x 2＋y 2＝1n ，表示半径为1n的圆，故B 错误；C ．若m ＜0，n ＞0，则方程为x21m＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－m n x ，若m ＞0，n ＜0，则方程为x 21m ＋y 21n＝1，表示焦点在x 轴的双曲线，故此时渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确；D ．当m ＝0，n ＞0时，则方程为y ＝±1n表示两条直线，故D 正确；故选ACD ． 5．(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x|y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( C ) A ．① B ．② C ．①②D ．①②③[解析] 将x 换成－x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过(0,1)，(0，－1)； 当x ＞0时，方程变为y 2－xy ＋x 2－1＝0，所以Δ＝x 2－4(x 2－1)≥0，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2－y ＝0， 解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(－1,0)，(－1,1)， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2＋y 2＝1＋xy 得x 2＋y 2－1＝xy≤x 2＋y22，(当x ＝y 时取等)，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积＝12×2×1＝1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2＋1＝3，故③错误．故选C ．考点突破·互动探究考点一 曲线与方程——自主练透例1 (多选题)关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫其中m 2≠23对应的曲线可能是( ABCD ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．圆[解析] 由题，若m 2＋2＞3m 2－2，解得－2＜m ＜2，3m 2－2＞0，解得m ＜－63或m ＞63，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若3m 2－2＞m 2＋2，解得m ＜－2或m ＞2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B 正确；若3m 2－2＜0，解得－63＜m ＜63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；当m 2＝2时，方程为x 2＋y 2＝4，所以D 正确．故选ABCD ．〔变式训练1〕(多选题)(2021·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( AD )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC ．x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 D ．x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2 [解析] y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)；x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)；当θ＝π4时，sin 2θ＝cos 2θ＝12，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1表示圆；双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2的焦点在x 轴上，且c ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD ．考点二 定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2021·长春模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2021·福州模拟)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N(5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y24＝1B ．x 236＋y231＝1 C ．x 29－y24＝1D ．x 236－y231＝1 (3)(2021·江苏南京二十九中调研)已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( D )A ．x 2－y28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x≥1)D ．x 2－y28＝1(x≤－1)[解析] (1)由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r 为圆的半径)且r ＞|OA|，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B ．(2)由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y24＝1，故选A ．(3)设动圆M 的半径为r ，则|C 1M|＝r ＋1，|C 2M|＝3＋r ，∴|C 2M|－|C 1M|＝2＜6＝|C 1C 2|．∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线左支，且c ＝3，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴其轨迹方程为x 2－y28＝1(x≤－1)．故选D ．[引申1]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≤－2)__．[引申2]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1(x≥2)__．[引申3]本例(3)中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2都内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 2－y28＝1(x≥1)__．[引申4]本例3中，若动圆M 与圆C 1、圆C 2中一个内切一个外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为__x 24－y25＝1__．名师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．〔变式训练2〕(1)动圆M 经过双曲线x 2－y23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( B )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x(2)(多选题)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( AB )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线[解析] (1)双曲线x 2－y23＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M 的轨迹是以F 为焦点、原点为顶点、对称轴为x 轴的抛物线，故其方程为y 2＝－8x ．故选B ．(2)如图两根电杆AB ，CD ，①当|AB|＝|CD|时，∵∠BPA ＝∠DPC ，∴|PA|＝|PC|， ∴P 的轨迹是AC 的中垂线，②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ＞0)时， 由∠BPA ＝∠DPC 知Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴|AP||CP|＝|AB||CD|＝λ， 以AC 所在直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 记A(－1,0)，C(1,0)，P(x ，y)， 则x ＋12＋y 2x －12＋y2＝λ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－12， 轨迹为圆，故选AB ．考点三 直接法求轨迹方程——师生共研例3 (1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A(0,2)且与直线y ＝－2相切，则圆心C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＝4y B ．x 2＝8y C ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． ①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．[解析] (1)设圆心C(x ，y)， 由题意知x 2＋y －22＝|y ＋2|，化简得x 2＝8y ，故选B ．(2)①设动圆圆心P(x ，y)，线段MN 的中点为E ， 则|PA|2＝|PE|2＋42，即(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，化简得y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x ． ②设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝8x ，k 2x 2－(8－2kb)x ＋b 2＝0(其中Δ＞0)， 设P(x 1，kx 1＋b)，Q(x 2，kx 2＋b)， 则x 1＋x 2＝8－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2， 若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 则k PB ＋k QB ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋bx 2＋1＝kx 1＋b x 2＋1＋kx 2＋b x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2bx 1＋1x 2＋1＝8k ＋bk2x 1＋1x 2＋1＝0，即k ＝－b ．故直线l 的方程为y ＝k(x －1)，直线l 过定点(1,0)．名师点拨直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 〔变式训练3〕(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线(2)(2021·湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q(1,0)，直线l ：x ＝2．若动点P 在直线l 上的射影为R ，且|PR →|＝2|PQ →|，设点P 的轨迹为C ．①求C 的轨迹方程；②设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交于A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)， 则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 其表示以(2,0)为圆心，4为半径的圆，故选B ． (2)①设P(x ，y)，由|PR →|＝2|PQ →|， 得|2－x|＝2·x －12＋y 2，平方化简得C 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1．②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 3，y 3)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(x ＋n)2－2＝0，即3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4n 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2n ＝2n3．假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 则OM →＝OA →＋OB →，所以(x 3，y 3)＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)， 所以x 3＝x 1＋x 2＝－4n 3，y 3＝y 1＋y 2＝2n3．由点M 在曲线C 上得x 232＋y 23＝1，代入得8n 29＋4n29＝1，解得n 2＝34，n ＝±32．所以当n ＝±32时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形， 此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33或者M ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33，当n≠±32，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形． 考点四 代入法(相关点法)求轨迹方程——师生共研例4 (2021·河南新乡模拟)在直角坐标系xOy 中，点M(－2,0)，N 是曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，动点C 满足MC →＋NC →＝0．(1)求点C 的轨迹方程；(2)经过点P(1,0)的动直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点D(异于点P)，使得∠ADP ＝∠BDP ？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C(x ，y)，N(x 0，y 0)， 则MC →＝(x ＋2，y)，NC →＝(x －x 0，y －y 0)， MC →＋NC →＝(2x －x 0＋2,2y －y 0)．又MC →＋NC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＋2＝0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.因为点N 为曲线x ＝14y 2＋2上的任意一点，所以x 0＝14y 20＋2，所以2x ＋2＝14(2y)2＋2，整理得y 2＝2x ，故点C 的轨迹方程为y 2＝2x ． (2)设存在点D(t,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ， 所以k DA ＋k DB ＝0．由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0°， 故设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1代入y 2＝2x ，得y 2－2my －2＝0． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2． 因为k DA ＋k DB ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0，所以2my 1y 2＋(1－t)(y 1＋y 2)＝0， 即－4m ＋2m·(1－t)＝0，所以t ＝－1． 故存在点D(－1,0)，使得∠ADP ＝∠BDP ．名师点拨代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程： ①某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M 随P 的变化而变化；③在变化过程中P 和M 满足一定的规律．(2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x ，y)，主动点坐标为(x 1，y 1)；②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；④检验：注意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2021·河北石家庄模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( D )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 [解析] 设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，椭圆C 的左焦点F 1(－2,0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x －22，y 0＝y 2 又x 2016＋y 2010＝1，∴x －2264＋y 240＝1，故选D ． 考点五,参数法求轨迹方程——师生共研例5 (2021·河北衡水中学调研)已知圆C 1：x 2＋y 2＝2，圆C 2：x 2＋y 2＝4，如图，C 1，C 2分别交x 轴正半轴于点E ，A ．射线OD 分别交C 1，C 2于点B ，D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点E 作直线l 交曲线C 与点M ，N ，射线OH ⊥l 于点H ，且交曲线C 于点Q ．问：1|MN|＋1|OQ|2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．[分析] 显然点P(x ，y)的变动由∠AOD 的大小α(或k OD )决定，故可通过α(或k OD )建立x ，y 间的关系，即点P 的轨迹方程．[解析] (1)解法一：如图设∠BOE ＝α，则B(2cos α，2sin α)，D(2cos α，2sin α)，所以x P ＝2cos α，y P ＝2sin α．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 解法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 2＋y 2＝2得y 2P ＝2k 21＋k 2， 同理得x 2P ＝41＋k 2， 所以x 2P ＋2y 2P＝4即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1． 当射线OD 的斜率不存在时，点(0，±2)也满足．(2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x ＝my ＋2(斜率不为0时)且设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2x 2＋2y 2＝4，得(m 2＋2)y 2＋22my －2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22m m 2＋2y 1y 2＝－2m 2＋2， 所以1|MN|＝11＋m 2|y 1－y 2|＝m 2＋24m 2＋1， 又射线OQ 方程为y ＝－mx ， 代入椭圆C 的方程得x 2＋2(mx)2＝4， 即x 2Q ＝41＋2m 2，y 2Q ＝4m 21＋2m 2，1|OQ|2＝1＋2m 24m 2＋1， 所以1|MN|＋1|OQ|2＝m 2＋24m 2＋1＋1＋2m 24m 2＋1＝34， 又当直线l 的斜率为0时，也符合条件．综上，1|MN|＋1|OQ|2为定值，且为34．名师点拨(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0__．[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k(x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k (x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0(x≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12． 当直线l 1(或l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，此点在直线x ＋y －1＝0上． 综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0．另解：由题意易知|MP|＝|MO|，∴M 的轨迹为线段OP 的中垂线，其方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即x ＋y －1＝0．名师讲坛·素养提升高考中的轨迹问题例6 (2019·课标Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12．记M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ．①证明：△PQG 是直角三角形；②求△PQG 面积的最大值．[解题思路] (1)由题直译得关系→化简，观察方程形式得结论(2)①设直线PQ ：y ＝kx →与C 的方程联立得P ，Q 两点坐标→得直线QG 的方程→与C 的方程联立得G 的坐标→求PG 的斜率→得结论 ②利用公式求面积→得关于k 的函数→判断单调性求最值→得结论 [解析] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x|≠2)， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx(k ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2． 记u ＝21＋2k 2，则P(u ，uk)，Q(－u ，－uk)，E(u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k 2(x －u)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 2x －u x 24＋y 22＝1， 得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0．①设G(x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u 3k 2＋22＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2．从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u 3k 2＋22＋k 2－u ＝－1k ． 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u 1＋k 2，|PG|＝2uk k 2＋12＋k 2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ||PG|＝ 8k 1＋k21＋2k 22＋k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2． 设t ＝k ＋1k，则由k ＞0得t≥2，当且仅当k ＝1时取等号， 因为S ＝8t 1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2， 即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． [解题关键] ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键．〔变式训练6〕(2020·新课标Ⅲ)在平面内，A ，B 是两个定点C 是动点，若OC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( A )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线[解析] 不妨以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设C(x ，y)，A(－c,0)，B(c,0)，c ＞0，则AC →＝(x ＋c ，y)，BC →＝(x －c ，y)，由AC →·BC →＝1，得(x ＋c)(x －c)＋y·y＝1，即x 2＋y 2＝c 2＋1＞0，∴点C 的轨迹为圆．故选A ．。
2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第九章 第9节 曲线与方程
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核心考点 互动探究
考点一|直接法求轨迹方程
【例 1】 动点 P 与两定点 A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积 为 k，试求点 P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
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考点一|直接法求轨迹方程
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自测练习
x2 2 4．设 P 为双曲线 －y ＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线 4 段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是________．
解析：设 M(x，y)， 则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－4y2＝1， 即为所求．
答案：x2－4y2＝1
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若此方程组 无解，则两曲线无交点．
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自测练习
[自测练习]
两条直线 1．方程 x2＋xy＝x 的曲线是____________ ．
解析：方程变为 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0. 故方程表示直线 x＝0 或直线 x＋y－1＝0.
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知识梳理
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件专题五 高考中的立体几何问题
高考题型突破
题型一
【例 1】
空间中的平行、垂直问题
如图，四棱锥 P－
思维启迪 解析 思维升华
ABCD中， AB⊥ AC， AB⊥ PA， AB∥ CD， AB＝ 2CD， E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点 . (1)求证： CE∥平面PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN.
思维启迪 解析 思维升华
ABCD中， AB⊥ AC， AB⊥ PA， AB∥ CD， AB＝ 2CD， E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点 . (1)求证： CE∥平面PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN.
因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA. 又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面 PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平 面PAD. 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面 PAD. (2)因为E、F分别为PB、AB的中
高考题型突破
题型一
【例 1】
空间中的平行、垂直问题
如图，四棱锥 P－
思维启迪 解析 思维升华
ABCD中， AB⊥ AC， AB⊥ PA， AB∥ CD， AB＝ 2CD， E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点 . (1)求证： CE∥平面PAD；
方法二
连结CF.
数学
苏（理）
专题五 高考中的立体几何问题
第八章 立体几何
考点自测
自我检测 查缺补漏
题号
1 2 3 4 5
答案
④
解析
④ ②④ 5 平行
高考题型突破
题型一
【例 1】
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 指点迷津(八)
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2
+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
【步步高】2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义：第九章9.8曲线与方程
1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________． 答案 抛物线解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·苏州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南通模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)解析 由角的平分线性质定理得P A ＝2PB ， 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________． 答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )， 则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·镇江模拟)若点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，且满足PF 1→·PF 2→＝t ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 [－7,1]解析 设P (x ，y )，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，PF 1→＝(－22－x ，－y )，PF 2→＝(22－x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝(－22－x )(22－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－8.∵P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，∴y 2＝1－x 29，∴t ＝PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－8 ＝89x 2－7，∵0≤x 2≤9， ∴－7≤t ≤1，故实数t 的取值范围为[－7,1].题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4＝O 1O 2.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·常州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程． 解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连结OM ，ON ，则 OM ＋MN ＝ON ＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，故A ′B ＋AB ＝2(OM ＋MN )＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →. 设B (x 0，y 0)，则AB →＝(x 0－3，y 0)， 所以x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23. 则k OB ＝±22，k AB ＝∓2，则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)， 即2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12， 所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)． (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (16分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOQ ＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分] 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，[4分] 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2.[7分] 由OP OQ ＝λ可得OP 2OQ 2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[10分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[12分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[14分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[16分]1．(2016·无锡质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件PM 1＋PM 2＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是__________． 答案 椭圆或线段解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当PM 1＋PM 2＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆．2．(2016·南京模拟)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点F 1，F 2的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为________________．答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝0解析 F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设M (x ，y )，则(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是____________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________． 答案 3解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为____________． 答案 y ＝2x解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . ∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·南通月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为______ __________．答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则AC ＋BC ＝10>8＝AB ，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y2)2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，∴F A ＋FB ＝4>2＝AB ，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． ∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．11．过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y ＝12x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程． 解 由e ＝c a ＝22，得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，c ＝b .设椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2， A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2， 两式相减得(x 21－x 22)＋2(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 设AB 中点坐标为(x 0，y 0)，则k AB ＝－x 02y 0，又(x 0，y 0)在直线y ＝12x 上，故y 0＝12x 0，于是－x 02y 0＝－1，即k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋1.右焦点(b,0)关于直线l 的对称点设为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′x ′－b＝1，y ′2＝－x ′＋b2＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝1－b .由点(1,1－b )在椭圆上，得1＋2(1－b )2＝2b 2， ∴b ＝34，∴b 2＝916，a 2＝98.∴所求椭圆C 的方程为x 298＋y 2916＝1.12．(2016·连云港模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝BC ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解 (1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M .∵NM ＋NF ＝4>FM ，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴OA2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k2.将上式中的k 替换为－1k ，可得OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4. ∴S △ABC ＝2S △AOC ＝OA ·OC＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S 的取值范围．解 (1)连结QF ，根据题意，QP ＝QF ，则QE ＋QF ＝QE ＋QP ＝4>EF ＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝3，∴b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列，∴k 2＝k 1k 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2， 整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12. 此时Δ＝16(2－m 2)>0，解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)．故S ＝12·AB ·d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m | ＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22) ＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值．∴S 1＋S 2S ＝5π4×1(2－m 2)m2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理解析版
１．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（１）曲线上点的坐标都是这个方程的解．（２）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．２．求动点轨迹方程的一般步骤（１）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（２）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；（３）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（４）化方程f（x，y）＝0为最简形式；（５）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．３．曲线的交点设曲线C１的方程为F１（x，y）＝0，曲线C２的方程为F２（x，y）＝0，则C１，C２的交点坐标即为方程组错误!的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]１．已知两定点A（—２,0），B（１,0），如果动点P满足PA＝２PB，则点P的轨迹方程为________．解析：设P点的坐标为（x，y），∵A（—２,0），B（１,0），动点P满足PA＝２PB，∴错误!＝２错误!，平方得（x＋２）２＋y２＝４[（x—１）２＋y２]，化简得（x—２）２＋y２＝４，∴点P的轨迹是以（２,0）为圆心、２为半径的圆，方程为（x—２）２＋y２＝４．答案：（x—２）２＋y２＝４２．已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝M Q，则Q点的轨迹方程是________．解析：设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0，得Q点的轨迹方程为２x—y ＋５＝0．答案：２x—y＋５＝0３．已知F是抛物线y＝错误!x２的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x２＝４y的焦点F（0,１），设线段PF的中点坐标是（x，y），则P（２x,２y—１）在抛物线x２＝４y上，所以（２x）２＝４（２y—１），化简得x２＝２y—１．答案：x２＝２y—１１．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）．２．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[小题纠偏]１．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足错误!·错误!＝0，则P点的轨迹是________．解析：因为错误!·错误!＝0，所以PM⊥PN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案：以线段MN为直径的圆２．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B错误!，C错误!（a＞0），且满足条件sin C—sin B＝错误!sin A，则动点A的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得错误!—错误!＝错误!×错误!，即AB—AC＝错误!BC，故动点A是以B，C为焦点，错误!为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）．答案：错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）错误!错误![题组练透]１．已知点O（0,0），A（１，—２），动点P满足|PA|＝３|PO|，则P点的轨迹方程是________．解析：设P点的坐标为（x，y），则错误!＝３错误!，整理得8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0．答案：8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0２．已知M（—２,0），N（２, 0），求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．解：设P（x，y），因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，所以MP２＋NP２＝MN２，所以（x＋２）２＋y２＋（x—２）２＋y２＝１6，整理得x２＋y２＝４．因为M，N，P不共线，所以x≠±２，所以轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２）．３．设F（１,0），点M在x轴上，点P在y轴上，且错误!＝２错误!，错误!⊥错误!，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M（x′，0），P（0，y′），N（x，y），由错误!＝２错误!，得（x—x′，y）＝２（—x′，y′），所以错误!解得错误!因为错误!⊥错误!，错误!＝（x′，—y′），错误!＝（１，—y′），所以（x′，—y′）·（１，—y′）＝0，即x′＋y′２＝0，所以—x＋错误!２＝0，即y２＝４x.因此所求的轨迹方程为y２＝４x.[谨记通法]直接法求轨迹方程的２种常见类型及解题策略（１）题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．（２）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．错误!错误![典例引领]１．（２0１7·扬州模拟）△ABC的顶点A（—５,0），B（５,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝３上，则顶点C的轨迹方程是________________．解析：如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝２，CD＝CF，所以CA—CB＝8—２＝6．根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为错误!—错误!＝１（x＞３）．答案：错误!—错误!＝１（x＞３）２．（２0１9·常熟中学检测）已知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，那么动圆圆心M的轨迹方程________．解析：由题意知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，∴动点M到C（0，—３）的距离与到直线y＝３的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（0，—３）为焦点，直线y＝３为准线的抛物线，故所求M的轨迹方程为x２＝—１２y.答案：x２＝—１２y[由题悟法]定义法求曲线方程的２种策略（１）运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．（２）定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[即时应用]１．（２0１9·海门中学检测）已知△ABC的周长为２0，且顶点B（0，—４），C（0,４），则顶点A 的轨迹方程是________．解析：∵△ABC的周长为２0，顶点B（0，—４），C（0,４），∴BC＝8，AB＋AC＝２0—8＝１２，∵１２＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝４，∴b２＝２0，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（x≠0）．答案：错误!＋错误!＝１（x≠0）２．如图，已知△ABC的两顶点坐标A（—１，0），B（１,0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝１，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．解：由题知CA＋CB＝CP＋C Q＋AP＋B Q＝２CP＋AB＝４＞AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为４的椭圆（挖去与x轴的交点）．设曲线M：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0，y≠0），则a２＝４，b２＝a２—１２＝３，所以曲线M：错误!＋错误!＝１（y≠0）为所求．错误!错误![典例引领]如图，已知P是椭圆错误!＋y２＝１上一点，PM⊥x轴于M.若错误!＝λ错误!.（１）求N点的轨迹方程；（２）当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解：（１）设点P，点N的坐标分别为P（x１，y１），N（x，y），则M的坐标为（x１,0），且x＝x１，所以错误!＝（x—x１，y—y１）＝（0，y—y１），错误!＝（x１—x，—y）＝（0，—y），由错误!＝λ错误!得（0，y—y１）＝λ（0，—y）．所以y—y１＝—λy，即y１＝（１＋λ）y.因为P（x１，y１）在椭圆错误!＋y２＝１上，则错误!＋y错误!＝１，所以错误!＋（１＋λ）２y２＝１，故错误!＋（１＋λ）２y２＝１即为所求的N点的轨迹方程．（２）要使点N的轨迹为圆，则（１＋λ）２＝错误!，解得λ＝—错误!或λ＝—错误!.所以当λ＝—错误!或λ＝—错误!时，N点的轨迹是圆．[由题悟法]代入法求轨迹方程的４个步骤（１）设出所求动点坐标P（x，y）．（２）寻求所求动点P（x，y）与已知动点Q（x′，y′）的关系．（３）建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.（４）将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．[即时应用]１．（２0１9·丰县中学检测）定长为３的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，动点P 满足错误!＝２错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由错误!＝２错误!，得（x，y—y0）＝２（x0—x，—y），则错误!即错误!又因为AB的定长为３，所以x错误!＋y错误!＝9，所以错误!２＋（３y）２＝9，化简得错误!＋y２＝１，故点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．２．已知曲线E：ax２＋by２＝１（a＞0，b＞0），经过点M错误!的直线l与曲线E交于点A，B，且错误!＝—２错误!.若点B的坐标为（0,２），求曲线E的方程．解：设A（x0，y0），因为B（0,２），M错误!，故错误!＝错误!，错误!＝错误!.由于错误!＝—２错误!，所以错误!＝—２错误!.所以x0＝错误!，y0＝—１，即A错误!.因为A，B都在曲线E上，所以错误!解得错误!所以曲线E的方程为x２＋错误!＝１．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．方程（x＋y—１）错误!＝0表示的曲线是______________．解析：由（x＋y—１）错误!＝0，得错误!或错误!＝0，即x＋y—１＝0（x≥１）或x＝１．所以方程表示的曲线是射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１．答案：射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１２．平面上有三个点A（—２，y），B错误!，C（x，y），若错误!⊥错误!，则动点C的轨迹方程为________．解析：由题意得错误!＝错误!，错误!＝错误!，由错误!⊥错误!，得错误!·错误!＝0，即２x＋错误!·错误!＝0，所以动点C的轨迹方程为y２＝8x.答案：y２＝8x３．（２0１8·江苏太湖高级中学检测）若动点P（x，y）满足条件|错误!—错误!|＝6，则点P的轨迹是________．解析：|错误!—错误!|＝6表示点P到（４,0），（—４,0）两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P轨迹是双曲线．答案：双曲线４．设点A为圆（x—１）２＋y２＝１上的动点，PA是圆的切线，且PA＝１，则P点的轨迹方程为________．解析：如图，设P（x，y），圆心为M（１,0）．连结MA，PM，则MA⊥PA，且MA＝１，又因为PA＝１，所以PM＝错误!＝错误!，即PM２＝２，所以（x—１）２＋y２＝２．答案：（x—１）２＋y２＝２５．已知点A（—２,0），B（３,0），动点P（x，y），满足错误!·错误!＝x２—6，则动点P的轨迹方程是________．解析：因为动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２—6，所以（—２—x，—y）·（３—x，—y）＝x２—6，即y２＝x，所以动点P的轨迹方程是y２＝x.答案：y２＝x6．已知定点A（４,0）和圆x２＋y２＝４上的动点B，动点P（x，y）满足错误!＋错误!＝２错误!，则点P的轨迹方程为________．解析：设B（x0，y0），由错误!得错误!代入圆方程得（２x—４）２＋４y２＝４，即（x—２）２＋y２＝１．答案：（x—２）２＋y２＝１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·盐城一模）设点Q（２,0），圆C：x２＋y２＝１，若动点M到圆C的切线长与M Q长的比等于２，则动点M的轨迹方程是________．解析：如图，设MN切圆于N，则动点M满足MN＝２M Q，∵圆的半径ON＝１，∴MN２＝MO２—ON２＝MO２—１．设点M的坐标为（x，y），则错误!＝２错误!，化简得３x２＋３y２—１6x＋１7＝0．答案：３x２＋３y２—１6x＋１7＝0２．长为３的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，错误!＝２错误!，则点C的轨迹方程为________________．解析：设C（x，y），A（a,0），B（0，b），则a２＋b２＝9，１又错误!＝２错误!，所以（x—a，y）＝２（—x，b—y），即错误!２代入１式整理可得x２＋错误!＝１．答案：x２＋错误!＝１３．已知A（—１,0），B（１,0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若错误!２＝λ错误!·错误!，当λ＜0时，动点M的轨迹为________．解析：设M（x，y），则N（x,0），所以错误!２＝y２，λ错误!·错误!＝λ（x＋１,0）·（１—x,0）＝λ（１—x２），所以y２＝λ（１—x２），即λx２＋y２＝λ，变形为x２＋错误!＝１．又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．答案：双曲线４．设圆（x＋１）２＋y２＝２５的圆心为C，A（１,0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．解析：因为M为A Q垂直平分线上一点，则AM＝M Q，所以MC＋MA＝MC＋M Q＝C Q＝５，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝错误!，c＝１，则b２＝a２—c２＝错误!，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１５．设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若错误!＝２错误!，且错误!·错误!＝１，则点P的轨迹方程是________．解析：设A（a,0），B（0，b），a＞0，b＞0．由错误!＝２错误!，得（x，y—b）＝２（a—x，—y），即a＝错误!x＞0，b＝３y＞0．即错误!＝错误!，点Q（—x，y），故由错误!·错误!＝１，得（—x，y）·错误!＝１，即错误!x２＋３y２＝１．故所求的轨迹方程为错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）．答案：错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）6．（２0１9·扬州一模）如图，已知椭圆错误!＋y２＝１的焦点为F１，F２，点P为椭圆上任意一点，过F２作∠F１PF２的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段Q N的中点为M，则点M的轨迹方程为________．解析：因为点F２关于∠F１PF２的外角平分线P Q的对称点Q′在直线F１P的延长线上，故F１Q′＝PF１＋PF２＝２a＝４，又O Q是△F２F１Q′的中位线，所以O Q＝错误!F１Q′＝２，设M（x，y），则Q（２x，y），所以有４x２＋y２＝４．故点M的轨迹方程为错误!＋x２＝１．答案：错误!＋x２＝１7．在平面直角坐标系xOy中，动点P和点M（—２,0），N（２,0）满足|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为________．解析：因为|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，所以４错误!＋４（x—２）＝0，化简变形，得y２＝—8x.答案：y２＝—8x8．（２0１9·通州一模）已知⊙C：（x＋１）２＋y２＝３6及点A（１,0），点P为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C（—１,0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y），∵AP的垂直平分线交CP于M，∴MA＝MP，又MP＋MC＝6，∴MC＋MA＝6＞AC＝２，∴点M满足椭圆的定义，且２a＝6,２c＝２，∴a＝３，c＝１，∴b２＝a２—c２＝8，∴点M的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１9．已知长为１＋错误!的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且错误!＝错误!错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由已知知错误!＝错误!错误!，又错误!＝（x—x0，y），错误!＝（—x，y0—y），所以x—x0＝—错误!x，y＝错误!（y0—y），得x0＝错误!x，y0＝（１＋错误!）y.因为AB＝１＋错误!，即x错误!＋y错误!＝（１＋错误!）２，所以错误!２＋[（１＋错误!）y]２＝（１＋错误!）２，化简得错误!＋y２＝１．即点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．１0．已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l过定点．解：（１）如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意O１A＝O１M，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．所以O１M＝错误!，又O１A＝错误!，所以错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标（0,0）也满足方程y２＝8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x １，y１），Q （x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x，得k２x２＋（２kb—8）x＋b２＝0．则Δ＝—３２kb＋6４＞0．且x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２因为x轴是∠PB Q的角平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0，３将１２代入３得２kb２＋（k＋b）（8—２kb）＋２k２b＝0，所以k＝—b，此时Δ＞0，所以直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy中，已知两点M（１，—３），N（５,１），若点C的坐标满足错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），且点C的轨迹与抛物线y２＝４x交于A，B两点．（１）求证：OA⊥OB；（２）在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：（１）证明：由错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y＋３＝错误!（x—１），即y＝x—４．联立错误!化简得x２—１２x＋１6＝0,设C的轨迹方程与抛物线y２＝４x的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１２，x１x２＝１6，y１y２＝（x１—４）（x２—４）＝x１x２—４（x１＋x２）＋１6＝—１6，因为错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝１6—１6＝0,所以OA⊥OB.（２）假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A（x１，y１），B（x２，y２），其方程为x ＝ny＋m，代入y２＝４x得y２—４ny—４m＝0,此时y１＋y２＝４n，y１y２＝—４m，所以k OA k OB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—错误!＝—１，所以m＝４（定值），故存在这样的点P（４,0）满足题意．设AB的中点为T（x，y），则y＝错误!（y１＋y２）＝２n，x＝错误!（x１＋x２）＝错误!（ny１＋４＋ny２＋４）＝错误!（y１＋y）＋４＝２n２＋４，消去n得y２＝２x—8．２。
【步步高】2014届高考数学大一轮复习 9.8曲线与方程配套课件 理 新人教A版
x0＝－x ，即y0＝12y
.
题型分类·深度剖析
题型三
相关点法求轨迹方程
【例 3】 设 F(1,0)，M 点在 x 思维启迪 解析 探究提高
轴上，P 点在 y 轴上，且M→N＝ 2M→P，P→M⊥P→F，当点 P 在 y 轴
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x.
上运动时，求点 N 的轨迹方程． 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝
解 设点 M 的坐标为(x，y)， ∵M 是线段 AB 的中点， ∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． ∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2,2y－4)．
由已知P→A·P→B＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即 x＋2y－5＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． (3)列式——列出动点 P 所满足的关 系式．
求轨迹方程的常用方法
(3)定义法：先根据条件得 出动点的轨迹是某种已知 曲线，再由曲线的定义直接 写出动点的轨迹方程；
基础知识·自主学习
要点梳理
直接法求轨迹方程
【例 1】 已知 M(4,0)，N(1,0)， 思维启迪 解析 探究提高 若动点 P 满足M→N·M→P＝6|N→P|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
题型分类·深度剖析
题型一
题型一
抛物线的定义及应用
【例 1】 已知 M(4,0)，N(1,0)， 若动点 P 满足M→N·M→P＝6|N→P|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的 距离的最小值．
【步步高】2021届高考数学总温习 第九章 9.8曲线与方程强化训练 理 北师大版(1)
§9.8 曲线与方程1． 曲线与方程一样地，在平面直角坐标系中，若是某曲线C (看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解成立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是那个方程的解．(2)以那个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么那个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 2． 求动点的轨迹方程的一样步骤(1)建系——成立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所知足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 3． 两曲线的交点(1)由曲线方程的概念可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，确实是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 1． 判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ )(2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条相互垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2. ( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线． ( × ) 2． 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )答案 C解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部份．3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，那么Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0答案D解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，那么P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)知足PA→·PB→＝x2－6，那么点P的轨迹方程是__________．答案y2＝x解析PB→＝(3－x，－y)，PA→＝(－2－x，－y)，∴PA→·PB→＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.5．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，若是动点P知足|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积为________．答案4π解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的面积等于4π.题型一概念法求轨迹方程例1已知两个定圆O1和O2，它们的半径别离是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，成立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．思维启发利用两圆内、外切的充要条件找出点M知足的几何条件，结合双曲线的概念求解．解如下图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴成立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，那么由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为核心，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽可能地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，如此能够减少运算量，提高解题速度与质量．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．假设过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，那么点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析 由已知得，|MF |＝|MB |.由抛物线概念知，点M 的轨迹是以F 为核心，l 为准线的抛物线． 题型二 相关点法求轨迹方程例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．思维启发 设△ABC 的重心坐标为G (x ，y )，利用重心坐标公式成立x ，y 与△ABC 的极点C 的关系，再将点C 的坐标(用x ，y 表示)代入抛物线方程即得所求． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为C (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .由于G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )． 又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ，∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．思维升华 “相关点法”的大体步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，即可取得所求动点的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， ∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－xy 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程例3 (2021·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，假设x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启发 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要专门注意判别式与位置关系的联系．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，那么H 是MN 的中 点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也知足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 因此y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，现在Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 直接法求曲线方程时最关键的确实是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明能够省略．若是给出了直角坐标系那么可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意查验方程的纯粹性和完备性．如下图，过点P (2,4)作相互垂直的直线l 1，l 2，假设l 1交x轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(12分)已知抛物线y 2＝2px 通过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右核心恰为抛物线的核心，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)假设P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思维启发 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确信分类标准，一样情形下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数别离为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确信分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确． 标准解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 通过点M (2，－22)， 因此(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分]因此抛物线的方程为y 2＝4x ，其核心为F (1,0)， 即椭圆的右核心为F (1,0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，因此a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[6分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，因此x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y 2＝λ2.得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]． [9分]当λ2＝14，即λ＝12时， 得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；当λ2<14，即0<λ<12时，取得x 23λ2－14＋y 23λ2＝1， 此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线知足x ∈[－2,2]的部份；[11分]当λ2>14，即λ>12时，取得x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆知足x ∈[－2,2]的部份．[12分]温馨提示 此题求轨迹既有直接法，又有相关点法．求出轨迹方程后，容易忽略x 的范围，致使轨迹图形犯错．备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题． (2)对常见的曲线特点要熟悉把握．(3)除此之外，正确进行化简与计算是必需具有的大体能力. 方式与技术求轨迹的经常使用方式(1)直接法：若是动点知足的几何条件本身确实是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，咱们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就取得曲线的轨迹方程．(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先依照条件设出所求曲线的方程，再由条件确信其待定系数．(3)概念法：其动点的轨迹符合某一大体轨迹(如直线或圆锥曲线)的概念，那么可依照概念采纳设方程，求方程系数取得动点的轨迹方程．(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动．若是相关点P所知足某一曲线方程，这时咱们能够用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所知足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方式叫作相关点法或代入法．失误与防范1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．查验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是是同解变形；二是是不是符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后依照方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，那么以下命题中正确的选项是( )A．知足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不必然是CD．以上说法都正确答案C解析曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，那么C的圆心轨迹为( )A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆答案A解析设圆C的半径为r，那么圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也确实是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特点，故点C 的轨迹为抛物线．3． 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，那么P 点的轨迹方程为 ( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2，∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4． △ABC 的极点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么极点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.依照双曲线概念，所求轨迹是以A 、B 为核心，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)． 5． 有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，假设△ABP 为正三角形，那么点P 的轨迹为( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案D解析设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝32R，即|x|＝32R.而R＝|PF|＝x－a2＋y2，∴|x|＝32·x－a2＋y2.整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即x＋3a212a2－y24a2＝1.∴点P的轨迹为双曲线．二、填空题6．设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，那么点M的轨迹为__________．答案椭圆解析如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也确实是说，动点M到O(0,0)及A(8,0 )的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为核心，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．7．已知△ABC的极点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，那么极点A的轨迹方程为________________．答案(x－10)2＋y2＝36(y≠0)解析设A(x，y)，那么D(x2，y 2)，∴|CD|＝x2－52＋y24＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A 、B 、C 三点组成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8． P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个核心，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是________________．答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，那么OP →＝－12OQ → ＝(－x 2，－y 2)， 即P 点坐标为(－x 2，－y 2)， 又P 在椭圆上，那么有－x 22a 2＋－y 22b 2＝1上，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 三、解答题9． 已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，通过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.假设点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)． 由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)．∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1a ·322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. 10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 知足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是不是存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)．假设存在，求出直线MN 的方程；假设不存在，请说明理由．解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，那么点D 的坐标为D (x 0,0)，∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝32y .∵P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1.∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)知足OE →＝12(OM →＋ON →)， 则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.∴椭圆上存在点M 、N 知足OE →＝12(OM →＋ON →)，现在直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，那么方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条() A ．过点P 且平行于l 的直线B ．过点P 且垂直于l 的直线C ．只是点P 但平行于l 的直线D ．只是点P 但垂直于l 的直线答案 A解析 由题意知f (x 0，y 0)≠0，又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0，∴直线f (x ，y )＝0与直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0平行，且点P 在直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0上．2． 平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 知足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，那么点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，那么OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2， 又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．3． 点P 是以F 1、F 2为核心的椭圆上一点，过核心作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，那么点M 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A 解析 如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N .∵|PF 2|＝|PN |，∴|F 1N |＝2a .连接OM ，那么在△NF 1F 2中，OM 为中位线，那么|OM |＝12|F 1N |＝a . ∴M 的轨迹是圆．4． 已知M (－2,0)，N (2,0)，那么以MN 为斜边的直角三角形的直角极点P 的轨迹方程是______________．答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形，∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．5． 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________．答案 y 2＝23x －19解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6． 如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，因此x 0＝x ，y 0＝y 2， ① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，因此x 20＋y 20＝1. ② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标别离为(－32，1)，(32，1)，现在|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0. ③设A 、B 两点的坐标别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 那么由③得x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1，因此|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 1＋k 2[4k 2t 24＋k 22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，|AB |＝2，因此|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，因此△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1， 现在t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．。
步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件专题三 高考中的三角函数的综合问题
解 f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x＝1－sin 2x＋2cos2x π ＝2＋cos 2x－sin 2x＝2＋ 2cos(2x＋ ). 4 (1)函数f(x)的最小正周期T＝π.
19π 11 π 9π (2)因为 24 ≤x≤π，所以 6 π≤2x＋4≤ 4 . 2 π 所以 2 ≤cos(2x＋4)≤1. π 所以3≤2＋ 2cos(2x＋4)≤2＋ 2，即3≤f(x)≤2＋ 2. 所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋ 2.
对三角函数的性质的讨论， 首先要化成y＝Asin(ωx＋φ) ＋k(一角、一次、一函数)的 形式；根据 (2)中条件可确 定 ω.
高考题型突破
题型一 三角函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知函数 f(x)＝ sin(ωx 3 1 π π 2 ωx ＋ )＋ sin(ωx－ )－ 2cos ， 解 (1)f(x)＝ 2 sin ωx＋2cos ωx＋ 6 6 2 3 1 sin ωx－ cos ωx－(cos ωx＋1) x∈ R(其中 ω>0). 2 2
3 2 (2)由(1)和cos Acos B＝ 可 5 α.
高考题型突破
性质可知，y＝f(x)的周期为π，
2π 所以 ＝π，即ω＝2. ω
π y＝－1的两个相邻交点间的距 所以f(x)＝2sin(2x－6)－1， π 离为 ，求函数 y＝ f(x)的单调 再由2kπ－ π ≤2x－ π ≤2kπ＋ π 2 2 6 2
高考数学一轮总复习 10.5 曲线与方程课件 理 苏教版
•规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点(dìnɡ diǎn)、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线 、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹 类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫 做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲 线的定义．
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【训练 2】 如图所示，已知 C 为圆(x＋ 2)2＋y2＝4 的圆心，点 A( 2，0)，P 是圆上的动点，点 Q 在直线 CP 上，且M→Q·A→P＝ 0，A→P＝2A→M.当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程．
(2)条件甲：“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”，
条件乙：“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的图形”，则条件甲是
条件乙的充要条件．
(×)
(3)(教材习题改编)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线. (×)
(4)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线． (×)
第五页，共34页。
第二十一页，共34页。
将④代入③得x92－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此点 M 的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
•规律方法 (1)一是本题的轨迹方程(fāngchéng)中 ，要求x<－3，y<0，所以求解时要结合几何性质 和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用 椭圆与圆的对称性，以及方程(fāngchéng)④的整 体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．
• 第5讲 曲线(qūxiàn)与方程
第一页，共34页。
• 知识梳理
• 1．曲线与方程
• 一般地，在平面直角坐标系中，如果(rúguǒ)
这个(zhège)方程的解
某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实
创新方案高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程课件理
如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1，0)，B(1,0)，圆 E 是 △ABC 的内切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R， |CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点 C 的轨迹为 曲线 M.求曲线 M 的方程．
第十八页，共28页。
解 ： 由 题 知 |CA| ＋ |CB| ＝ |CP| ＋ |CQ| ＋ |AP| ＋ |BQ| ＝ 2|CP| ＋ |AB|＝4＞|AB|，
4．已知 M(－2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的 直角顶点 P 的轨迹方程是________．
解析：设 P(x，y)，因为△MPN 为直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4. ∵M，N，P 不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为 x2＋y2＝4(x≠±2)．
第十五页，共28页。
又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2， 即动点 M 到两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2＜|C1C2|＝6， |MC2|＞|MC1|，故动圆圆心 M 的轨迹为以定点 C2，C1 为焦点的 双曲线的左支，则 2a＝2，所以 a＝1.
(－x，y0－y)，因为
所以 x－x0＝－ 22x，y＝ 22(y0－y)，
得 x0＝1＋ 22x，y0＝(1＋ 2)y. 因为|AB|＝1＋ 2，即 x20＋y20＝(1＋ 2)2， 所以1＋ 22x2＋[(1＋ 2)y]2＝(1＋ 2)2，化简得x22＋y2＝1. 所以点 P 的轨迹方程为x22＋方法技巧] 求轨迹方程的三种方法： (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 (如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达， 我们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥 曲线)的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨 迹方程．
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§16.1 曲线与方程
方法技巧
方法 1 利用参数法求轨迹方程常用的方法与技巧
利用参数法求轨迹方程:一是选择合适的参数(可以是单参数,也可以是
双参数);二是建立参数方程后消掉参数,消参数的方法有代入消参法、
加减消参法、平方消参法等.
例1
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点F,T,M,P满足 O F=(1,0),
O =T
k=- t .
2
设直线AB的方程为x=my+1,由
y
2
得 4yx2-, 4my-4=0,
x m y 1,
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 8:12:00 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021
拓展延伸 1.求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对 应的关系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可以从以下两 个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实 际意义. 2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程, 然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
解析 (1)连结QF.∵Q在线段PF的垂直平分线上,所以|QP|=|QF|. 所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4, 又|EF|=2 3<4,所以动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆. 所以Γ: x 2 +y2=1.
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3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知， 两条曲线交点的坐标应该是两个曲 线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反 过来， 方程组有几组解， 两条曲线就有几个交点； 方程组无解， 两条曲线就没有交点 . (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组 有实数解 .可见， 求曲线的交点问题， 就是求由它们的方程所组 成的方程组的实数解问题 .
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2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式 等将其转化为 x，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.பைடு நூலகம்
数学
苏（理）
§9.8 曲线与方程
第九章 平面解析几何
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要点梳理
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1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)＝0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个 方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 .
∴x1＋x2＝12a，
题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】
与抛物线 y2＝4ax 交于两点
A，B(a 为定值)，C 为抛物 △ABC 的顶点 C 的关系， 再将点 线上任意一点，求△ABC C 的坐标(用 x，y 表示)代入抛物 的重心的轨迹方程.
线方程即得所求.
题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】
设直线 x－y＝4a
题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2， 它们的半径分别是 1 和 2，且 利用两圆内、外切的充要条件 O1O2＝ 4.动圆 M 与圆 O1 内切， 找出点 M 满足的几何条件， 结 又与圆 O2 外切，建立适当的坐 标系，求动圆圆心 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是何种曲线 .
3 2 2 2 7 ∴a＝ ，c＝2，∴b ＝c －a ＝ . 2 4
4x2 4y2 ∴点 M 的轨迹方程为 9 － 7 ＝1 3 (x≤－2).
题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2，
应尽量地 它们的半径分别是 1 和 2，且 求曲线的轨迹方程时，
1 l：x＝－ ，点 B 是 l 4
上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平
抛物线 分线交于点 M，则点 M 的轨迹是__________.
解析 由已知得，MF＝MB.由抛物线定义知，点 M
的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线.
题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
解
设 △ ABC 的
重心为 G(x，y)，
与抛物线 y2＝4ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物 线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程.
点 C 的坐标为 C(x0，y0)，A(x1，y1)， B(x2，y2).
x－y＝4a， 由方程组： 2 y ＝4ax
消去 y 并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.
与圆 O1 内切，有 MO1＝r－1；
由动圆 M 与圆 O2 外切，有 MO2 ＝r＋2.
题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2， ∴MO2－MO1＝3. 它们的半径分别是 1 和 2，且 ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点， O1O2＝ 4.动圆 M 与圆 O1 内切， 实轴长为 3 的双曲线的左支. 又与圆 O2 外切，建立适当的坐 标系，求动圆圆心 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是何种曲线 .
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】
设直线 x－y＝4a
与抛物线 y2＝4ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物 线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程.
题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】
设直线 x－y＝4a
设△ABC 的重心坐标为 G(x， y)， 利用重心坐标公式建立 x，y 与
O1O2＝ 4.动圆 M 与圆 O1 内切， 利用几何条件探求轨迹的曲线
从而再用待定系数法求出 又与圆 O2 外切，建立适当的坐 类型， 这样可以减少运算 标系，求动圆圆心 M 的轨迹方 轨迹的方程，
程，并说明轨迹是何种曲线 .
量，提高解题速度与质量.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知点
1 F ， 0 ，直线 4
合双曲线的定义求解 .
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题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2，解 如图所示， 它们的半径分别是 1 和 2，且
以 O1O2 的中点 O 为原点， O1O2
O1O2＝ 4.动圆 M 与圆 O1 内切， 所在直线为 x 轴 又与圆 O2 外切，建立适当的坐 建立平面直角坐标系. 由 O1O2＝4，得 O1(－2,0)、O2(2,0). 标系，求动圆圆心 M 的轨迹方 设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 程，并说明轨迹是何种曲线 .
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2
答案
(1) √ (2) × (3) ×(4) ×
③
解析
3
4
2x－y＋5＝0
y2＝x
4π
5
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题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2， 它们的半径分别是 1 和 2，且 O1O2＝ 4.动圆 M 与圆 O1 内切， 又与圆 O2 外切，建立适当的坐 标系，求动圆圆心 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是何种曲线 .