广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(文)试卷(含答案)

揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．复数221z i i=++-的虚部是 A ．3B ．2C ．2iD ．3i3．“0a b ⋅≥r r ”是“a r 与b r的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()2x af x -=，14f =，则(f = A ．1B ．18-C ．12D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-2B ．2C ．-8D ．-2或-86. 若点(2,A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．4 B ．3 C ． D ．37. 已知[0,]x π∈，且3sin2x =，则tan 2x= A ．12- B ．12 C ．43D ．28. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． -1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π12．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1 1 -1-1 xy 1 1 -1-1 xy 1 1 -1-1xy 1 1 -1-1 xyOHCBAP13．已知向量(1,)a x =r 、(1,2)b =--r ，若a b ⊥r r ，则||a =r_____；14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的离心率为____；15. 如图，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2 的概率为 ； 16. 已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin cos sin 0a B A b A -=， （1）求A ；（2）当函数()sin 3)6f x B C π=+-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若3OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为1)2-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322x f x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．解析：11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=， S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤， 解得112a -≤≤. 二、填空题解析：16. 由181n n n a a +=+得18n n n n a a a +==+18n na a +⇒-=， 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-， 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =.三、解答题OHCB AP17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分 又2sin cos sin 0a B A b A -=,∴2cos 1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分∵0A π<< ∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3A π=∴23C B π=-,从而62C B ππ-=-， ------------------------------7分∴()sin sin()2f x B B π=-sin B B =------------------------------------------8分12(sin )2B B =+2sin()3B π=+---------------------------------------------10分∵33B πππ<+<,∴当6B π=时，函数()f x 取得最大值，这时632C ππππ=--=,即ABC ∆是直角三角形. -------------------------------------------12分【解法二：∵3A π=∴23B C π=-, -----------------------------------------------------------------7分∴2()sin())36f x C C ππ=--11cos sin cos )2222C C C C =++- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵203C π<<,∴当2C π=时，函数()f x 取得最大值，∴ABC ∆是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ， -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，∴ BO ⊥平面P AC ，----------------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分 （2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==,∵BO ⊥平面P AC , ∴13B HOC OHC V S OB -∆=⋅, -------------------------------------------------8分∵OH =,∠HOC=30° ∴1HC =,∴122OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分∴1132B OCHV -==,即12A BOH V -=.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则120525*********1060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时） ----------------------------------------2分2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=，--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为：620430⨯=，----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，----------------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f 共9种，故所求的概率93155P ==.----------------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，∴1222a b =-=-，即1a b ==，--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为2213x y +=.-----------------------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<，则直线BM 的方程为：11y x k=--，------------------------------------------------------------5分由2233,1.x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22(13)60k x kx +-=，----------------------------------------------6分解得：2613N kx k=+，1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分∴||BN =|N x ==∴|||N B BN x x =-26||13k k =+,------------------------------------------------8分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在11y x k=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k -∴||BM =-----------------------------------------------------------------------------------9分在Rt △MBN 中，∵∠BMN=60°，∴|||BN BM =,26||13k k=+23|10k k -+=，解得||k =0k <，∴k =，------------------------------------------------------11分∴点M 的坐标为3.---------------------------------------------------------------------------12分 21．解：（1）()()()21x f x x e '=--，-----------------------------------------------------------------1分令()0f x '<，得2010x x e -<⎧⎨->⎩或2010x x e ->⎧⎨-<⎩，-----------------------------------------------------2分由2010x x e -<⎧⎨->⎩得02x <<，而不等式组2010x x e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分 （2）依题意得()()()()()221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分记()1xh x e ax =+-，x R ∈，则()00h =，当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，110a h e a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分只须()min 0h x ≥，因'()xh x e a =+，①当0a ≥时，'()0xh x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增，而()1110h a e-=--<，与题意不符； --------------------------------------------------------8分 ②当0a <时，由()0h x '<，得()ln x a <-，即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减，由()0h x '>，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()()()min ln h x h a =-， ------------------------------------------------------------------------10分 若1a =-，则()()min ()00h x h x h ≥==，符合题意；------------------------------------11分 若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意；综上所述，1a =-．----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =，∴()ln 0a -=，解得1a =-． -----------------------------------------------------------------12分】 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] --------------------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+；----------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=，同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，--------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， ----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=，得22πα=，∴4πα=． -------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，--------------------------------------------------------------------------------------2分③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，---------------------------------------------------------------------------------------------3分上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞U ；-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，-------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤---------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，----------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min61(2)22a x ≤-+=-+，综上知，12a ≤-．----------------------------------------------------------------10分】。