含参不等式以及含参不等式组的解法
第2章含参不等式(教案)
（1）含参不等式的图像法：对于一元二次含参不等式，学生需通过图像来理解不等式的解集，这对学生的直观想象能力要求较高。
举例：x^2 - 2ax + a^2 > 0，通过图像分析解集。
（2）含参不等式的证明：学生需要掌握不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等，这要求学生具备较强的逻辑推理能力。
我反思自己在教学难点和重点的讲解上，可能需要更多的例子和练习来帮助学生巩固。特别是在含参不等式的证明部分，学生们似乎对逻辑推理的要求感到有些困惑。我考虑在下一节课中，引入更多的直观图形和实际情境，以帮助学生们更好地理解证明的步骤和逻辑。
此外，我也认识到在总结回顾环节，我需要更加强调对知识点的整合和应用。学生们需要明白，含参不等式的学习不仅仅是为了解决数学题目，更是为了培养解决实际问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元一次含参不等式和一元二次含参不等式的解法这两个重点。对于难点部分，如图像法和判别式法，我会通过具体的例子和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与含参不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一元二次不等式的图像，以演示其基本原理。
二、核心素养目标
1.理解含参不等式的概念，掌握其基本性质，培养数学抽象和逻辑推理能力；
2.学会一元一次和一元二次含参不等式的解法，提高问题解决能力和数学运算能力；
3.能够运用图像法、判ห้องสมุดไป่ตู้式法等方法解决含参不等式问题，增强直观想象和数学建模能力；
4.通过含参不等式的实际应用，提升数学在实际生活中的应用意识，培养数学素养；
在实践活动中，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这部分的互动让我看到了他们的合作精神和解决问题的能力。不过，我也观察到，在讨论含参不等式在实际生活中的应用时，有些学生还是比较拘谨，可能是因为他们对这些概念还不够熟悉，或者是不太敢将自己的想法表达出来。
含参不等式
第三讲 含参不等式一、 知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
(b)对含参数的一元二次不等式，还要分0>∆、0=∆、0<∆讨论。
(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为21,x x （或更多）但含参数，要分21x x >、21x x =、21x x <讨论。
（3）对指数、对数不等式要注意对底数分1>a 与10<<a 进行讨论。
2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([ a x f <)(恒成立⇔ a x f >)(解集非空⇔a x f >max )]([ a x f <)(解集非空⇔ a x f >)(无解⇔a x f ≤max )]([ a x f <)(无解⇔ a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )]([ a x f ≤)(恒成立⇔ a x f ≥)(解集非空⇔a x f ≥max )]([ a x f ≤)(解集非空⇔ a x f ≥)(无解⇔a x f <max )]([ a x f ≤)(无解⇔(2)二次不等式（设R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2）(a)0)(>x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ；(b)0)(≥x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ;(c)0)(<x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 . （注：若二次项系数含有参数，须分“0=a ”、“0≠a ”讨论）3.补充说明：a x f >)(恒成立⇔a x f >)(的解集为R ⇔ a x f ≤)(无解a x f <)(恒成立⇔a x f <)(的解集为R ⇔a x f ≥)(无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于x 的不等式)2,1(0)2()1)((≠≠>---a a x x a x 且变式1：解关于x 的不等式)(0)()(2R a a x a x ∈<--例2. 解关于x 的不等式)(12)1(R a x x a ∈>--变式2：解关于x 的不等式0)2)(2(>--ax x题型二：含参不等式与集合运算例1设R B A B A a x x B x x A =∅=≤-=>-= ,},1|2||{},1|12||{，求实数a 的值.变式1：已知集合}02|{2≤--∈=x x R x A ，}3|{+<<∈=a x a R x B 且∅=B A ，则实数a 的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式03)1(4)54(22>+---+x a x a a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围变式1：设关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x x x a 的解集为R ，求a 的取值范围例2若a x x >+--|5||2|恒成立，则实数a 的取值范围是____________ _________变式2：若不等式a x x ≤++-|3||4|的解集为空集，则实数a 的取值范围是三、巩固练习1.若不等式)0(02≠<++a a x ax 无解，则a 的取值范围是（ ）2121.≥-≤a a A 或 21.<a B 2121.≤≤-x C 21.≥a D2.设集合}044|{},01|{2恒成立对任意实数x mx mx R m Q m m P <-+∈=<<-=，则下列关系式中成立的是（ ）Q P A ⊂.Q P B =. P Q C ⊂. ∅=Q P D .3.已知0>a ，不等式a x x <-+-|3||4|在实数集R 上的解集不是空集，则正实数a 的取值范围是4.若不等式a x x >++-|3||4|的解集为R ，则实数a 的取值范围是5.设}25|{,},03|{},0325|{2≤<-=∅=≤++=<-+=x x B A B A ax x x B x x x A ，则实数a 的值为 6.解关于的不等式01>--x a x7解关于x 的不等式)0(02≠<-a x ax。
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。
常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。
如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。
2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。
对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。
对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。
3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。
对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。
对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。
步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。
根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。
1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。
-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。
2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。
-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。
3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。
步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。
含参不等式组问题
含参不等式组问题在数学中，含参不等式组是指一组包含参数的不等式。
这些参数可以是任意实数，通常用来表示问题中的变量或未知数。
含参不等式组的解集通常是关于参数的表达式，通过对参数的取值范围进行分析可以得到不等式组的解集。
对于含参不等式组的求解，通常需要进行以下步骤：1. 分析每个不等式的条件：首先，需要确定每个不等式的条件，即参数的取值范围。
这可以通过对不等式进行化简和变形来获得。
例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以将其转化为ax > c - b，然后根据a的正负性确定参数x的取值范围。
2. 求解每个不等式的解集：根据不等式的条件，可以确定每个不等式的解集。
这可以通过绘制数轴图或使用数值法来确定。
例如，对于形如ax + b > c的不等式，可以绘制一个数轴，然后根据a的正负性确定参数x的解集。
3. 综合每个不等式的解集：最后，需要根据每个不等式的解集，确定整个不等式组的解集。
这可以通过对每个不等式的解集进行交集或并集运算来获得。
例如，如果有两个不等式ax + b > c和dx + e < f，可以通过求解这两个不等式的解集，然后取交集来确定不等式组的解集。
含参不等式组在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在经济学中，含参不等式组可以用来表示供求关系，帮助决策者制定合理的价格和数量策略。
在物理学中，含参不等式组可以用来描述力学系统的平衡条件，帮助研究者找到系统的稳定解。
总之，含参不等式组是数学中一个重要的概念，在解决实际问题中起着重要的作用。
通过对不等式的条件和解集进行分析，可以得到含参不等式组的解集，从而对问题进行求解和分析。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
含参数的方程、不等式的问题解题策略
含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。
（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。
本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。
一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。
例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。
含参不等式以及含参不等式组的解法知识分享
含参不等式以及含参不等式组的解法
含参不等式以及含参不等式组的解法
不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。
本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。
含参不等式：
解不等式5（x-1）<3x+1
通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式57x -<3
2-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>
831,故可以得出最小整数为4.
那么含参不等式如下：
在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。
例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集
移项、合并同类项、讨论取值
2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b
移项、合并同类项、讨论取值
（2）（m-1）x>a2+1对于任意x都成立，则参数m的值为
2、解关于x 的不等式组⎩
⎨⎧+->+-<-8)21(563x m x mx mx mx
3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-a
x x 432
（1）有解，求a 的取值范围。
（2）无解，求a 的取值范围。
(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。
（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。
含有参数的不等式组解法
含有参数的不等式组解法在解不等式组时，我们常常需要考虑参数的存在，并将其纳入我们的解法中。
含有参数的不等式组解法相较于一般的不等式组解法更为复杂，因为我们需要找到参数的取值范围，使得不等式组的解集合在该参数范围内成立。
本文将介绍一种生动、全面、有指导意义的含有参数的不等式组解法。
首先，我们需要明确什么是含有参数的不等式组。
通常，不等式组是由多个不等式组成的方程系统。
而含有参数的不等式组是指在不等式组中存在一个或多个未知参数，我们需要求出这些参数的取值范围使得不等式组成立。
解决含有参数的不等式组的第一步是观察不等式组中是否存在特殊的条件或关系。
通过观察可以发现，有时候不等式组中的不等式之间存在特殊的关系，比如不等式是相互约束的、对称的或有递增或递减的性质。
这些特殊的关系对于求解参数的取值范围非常重要，我们需要利用这些关系来简化不等式组的求解过程。
其次，我们需要以图像的方式来理解含有参数的不等式组。
通过绘制不等式组的图像，我们能够更加直观地看清不等式之间的关系，并能够更好地找到参数的取值范围。
同时，绘制图像也能够帮助我们将不等式组与坐标系联系起来，从而更好地理解概念和思考问题。
在解含有参数的不等式组时，我们还需要采用代数方法。
通过代数方法，我们可以将含有参数的不等式组转化为一般的不等式组，从而更好地求解问题。
常用的代数方法包括代入法、消元法、换元法等。
通过灵活运用这些方法，我们能够将含有参数的不等式组转化为一般的不等式组，并进一步求解出参数的取值范围。
最后，我们需要检验参数的解集是否满足不等式组。
求解出参数的取值范围后，我们需要将这些取值代入不等式组，并检验不等式组是否成立。
如果成立，则这些参数是不等式组的解集；如果不成立，则需要重新找到参数的取值范围。
通过反复检验和调整，我们能够找到合适的参数的取值范围，进而找到不等式组的解集。
综上所述，解含有参数的不等式组是一个相对复杂的问题，需要我们综合运用观察、图像、代数等方法来解决。
含参数的不等式组解法
含参数的不等式组是指不等式中含有某个参数，需要求出该参数的取值范围使得不等
式组的解存在或满足某种条件。
以下是解含参数的不等式组的一般步骤：
1. 列出不等式组
首先需要根据问题的具体条件列出含有参数的不等式组表达式，包括不等式的符号和
参数的系数和变量。
2. 对每个不等式进行分析
对于每个不等式，需要根据符号及系数来分析其解的取值范围，从而得到该参数的约
束条件。
若不等式为一次不等式，则可以使用代数方法求出其解；若不等式为二次不
等式，则需要使用平方根解法等方法。
3. 将约束条件组合起来
将得到的每个约束条件组合起来，作为参数的取值范围。
通常来说，解析式的形式越
简单，越容易定位参数取值范围。
4. 判断不等式组解的存在性
根据参数的取值范围和不等式组的解的性质，判断该不等式组是否有解或满足某种条件。
可以使用图像法或算法确定解的情况，同时需要注意区分解的类型和数量等问题。
5. 求解不等式组
如果不等式组的解存在，可以使用代入法、换元法等方法求出解析式，并根据问题的
具体条件验证解的正确性。
需要注意的是，含参数的不等式组的求解需要灵活运用数学方法和技巧，在求解过程
中还需注意对角线法则等问题，防止求解错误。
破解含参不等式问题的几个“妙招”
含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
含参不等式的解法
不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。
（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。
解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。
不等式组含参问题解法口诀
不等式组含参问题解法口诀不等式组含参问题是初中数学中比较重要和难点的一部分内容，不等式组含参有多种解法，这里介绍一些方法及其口诀。
一、图像法通过画出不等式组所对应的直线，在图像上判断交点位置的方法称为图像法。
步骤：1、根据不等式求出直线方程。
2、将直线画出。
3、根据问题中的参数值或限制条件，逐一判断交点位置。
4、找出合法的参数范围，即可得到不等式组的解。
口诀：直线而行，标志清晰。
参数解，交点全描。
于原点，交点证。
或无限，一致性。
例如：解不等式组x+y≥2k2x-y≤3k1、由不等式x+y≥2k 可得直线方程y≥-x+2k ，将其画出。
2、由不等式 2x-y≤3k 可得直线方程 2x-3k≤y，将其画出。
图像如下：3、根据参数k的取值，判断交点位置。
当k=0时，两条直线的交点为(0,2)，满足不等式组。
当k=1时，两条直线的交点为(1,1)，满足不等式组。
当k=2时，两条直线的交点为(2,0)，不满足不等式组。
4、所以，该不等式组的解为0≤k<2 。
二、代入法将一部分不等式中的变量用其他变量表示出来，然后代入另一不等式中去，消去被替换的变量，可以得到只含一个变量的不等式，从而求出参数的范围。
步骤：1、将其中一个不等式中的变量用另一个不等式中的变量表示出来。
2、将代入后的不等式化简，得到只含一种变量的不等式。
3、根据这个变量的取值范围，推出原来不等式组的解。
口诀：解纠结，化简薄。
一变化，再推进。
终得范，系统定。
例如：解不等式组m+n≥203m-2n≤151、将第二个不等式中的 n 用第一个不等式中的式子代入，得到 3m-2(m+n)≤15 。
化简得 m-2n+20≤0 。
2、得到只含 m 的一元一次不等式m≤2n-20 。
3、根据该不等式即可推出原来不等式组的解为n≤10,m≤0 或n≥10,m≥0 。
三、函数法通过将不等式中的变量用函数表达式表示出来，然后研究函数的性质，从而得到参数的取值范围。
初中数学 含参方程(组)和不等式
模块一 含参方程（组）的题型 1．同解问题 2．整数解问题 3．错解问题模块二 含参方程（组）的基本解法1．含参方程和含参方程组当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫做含参数的方程，简称含参方程．由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组．2．含参一元一次方程含参的一元一次方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a ，b 的取值范围分类讨论．①当0a ≠时，方程有唯一解bx a=；②当0a =，且0b =时，方程有无数个解，解是任意数； ③当0a =，且0b ≠时，方程无解．3．含参二元一次方程组对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行讨论．①当1122a b a b ≠时，方程有唯一解； ②当111222a b ca b c ==时，方程有无数个解；③当111222a b ca b c =≠时，方程无解．模块三 含参不等式的基本解法1．含参不等式ax b <①当0a >，解集为bx a <；②当0a <，解集为bx a>；③当0a =，若0b >，则解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．（1）已知关于x 的方程1(1)12x k -=-和351148x k x +--=的解相同，则k 的值为____．（2）关于x ，y 的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -=_____．（1）两个方程的解分别为21x k =-和72x k =-，由于两个方程的解相同，有1272k k -+=-，解得2k =． （2）8-．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的同解问题．（1）（2014石室联中期末）关于x 的方程38764x k x +=+的解比关于x 的方程1123x x-+=的解大3，则k 的值为____________．（2）（西川半期）已知关于x 、y 的二元一次方程组323221y x k y x k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足6x y +=，则k 的值为 ．（1）38764x k x +=+的解为2838k x -=， 1123x x -+=的解为3-，所以28308k -=，328k =． （2）解方程得：947517k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，代入，求得：32k =．【教师备课提示】这道题主要考查已知方程根的情况，求参数的值． 模块一 含参方程（组）的题型（1）（树德期末）当方程组2520x ay x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a 的值为 ．（2）m 为正整数，已知二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m =_______．（1）解方程得：10454x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴41,2,5,10a +=；41,5a +=．∴3a =-或1.（2）解方程得：103153x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴35,10m +=；35,15m +=．得2m =，24m =．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的整数解问题．（1）解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小宝看错了方程组中的a ，得到解为35x y =-⎧⎨=⎩，小茹看错了方程组中的b ，得到解为110x y =-⎧⎨=⎩．求方程正确的解．（2）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小超解题时把c 抄错了，因此得到的解为1213x y =⎧⎨=-⎩，则22a b c 2++的值为____________．（1）小宝看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b --=；小茹看错了b 意味着a 是正确的，即满足方程第一式，代入得108a -+=．解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩．（2）22234a b c ++=．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的错解问题．（1）解关于x 的方程：428ax x-=+．（2）当a、b满足什么条件时，方程251x a bx+-=-满足：①有唯一解；②有无数解；③无解．（1）原方程可化为(2)12a x-=．当2a≠时，方程有唯一解122xa=-；当2a=时，有012=，方程无解．（2）方程化为(2)4b x a+=-，①有唯一解时，20b+≠，即2b≠-．②有无数解时，20b+=，40a-=，42a b==-，∴．③无解时，2040b a+=-≠，，24b a=-≠，∴．【教师备课提示】这道题主要考查含参方程的基本解法．（1）（2014成外期末）已知关于x的方程(23)3125a x bx x++=+有无数多个解，则a=_________，b=_________．（2）若a、b为定值，关于x的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k为何值时，它的解总是1x=，求23a b+的值．（1）原方程整理为(2312)53a b x a+-=-，则由题意得，23120530a ba+-=⎧⎨-=⎩，解得53269ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk-++=，由该方程总有解1x=可知，41212k a bk-++=，即(4)132b k a+=-，又k为任意值，故401320ba+=⎧⎨-=⎩，解得1324ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴231a b+=．【教师备课提示】这道题主要考查已知解的情况，求参数的值．模块二含参方程（组）的基本解法求k ，b 为何值时，方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩的解满足：①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解．方程组可化为：(21)2k x b -=-， ①当210k -≠，即12k ≠时，方程(21)2k x b -=-有唯一解，从而原方程组有唯一解；②当210k -=且20b -≠，即12k =且2b ≠时，方程(21)2k x b -=-无解，从而原方程组无解；③当210k -=且20b -=，即12k =且2b =时，方程()212k x b -=-有无数个解，从而原方程组有无数组解． 【教师备课提示】这道题主要考查含参方程组的基本解法．解关于x 的不等式： （1）13kx +> （2）132kx x +>-（3）2(1)2m x +<（4）36mx nx +<--（1）移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 （2）移项，合并同类项得：(3)3k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->-当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数.模块三 含参不等式的基本解法（3）∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ （4）不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.（1）若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，则a 的值为______．（2）若关于x 的方程()40k m x ++=和(2)10k m x --=有相同的解，则2km-的值___．（3）（石室联中期末，B26）若方程组2376x y ax by +=⎧⎨-=⎩与方程组4453ax by x y +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求102a b -+.（1）方程5342x x =-的解为8x =-， 把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．（2）法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m -=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m=-，∴412k m k m -=+-，∴3m k =，∴523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故48k m m k +=-，则523k m -=-．模块一 含参方程（组）的题型巩 固（3）由237453x y x y +=⎧⎨-=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入：2624a b a b -=⎧⎨+=⎩，可求得：521a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴10227a b -+=-．（1）当a = 时，方程组3522718x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，此时方程组的解为 ．（2）若关于x 、y 的方程组364x my x y +=⎧⎨+=⎩的解都是正整数，则整数m = ．（3）甲、乙二人同解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩，甲正确解得11x y =⎧⎨=-⎩，乙因抄错了c ，解得26x y =⎧⎨=-⎩，求a ，b ，c 的值．（1）∵0x y +=，上述方程组化简为82518y a y a -=⎧⎨=-⎩，∴1845a a y -=-=，解之得8a =，于是24a y =-=-，2523a yx +==， 故8a =时，方程组的解为22x y =⎧⎨=-⎩．（2）3-，0，1．（3）52a =，12b =，5c =-.解关于x 的方程(3)(3)(3)49m x n m n n ++=-+++．去括号，化简可得：mx n =.当0m ≠时，方程的解为nx m=.当00m n ==，时，方程的解为任意数. 当00m n =≠，时，方程无解.如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 的值．原方程整理得(410)0k x -=， 由方程有无数个解得4100k -=，52k =．已知关于x 、y 的方程组3624x my x y a+=⎧⎨+=⎩，求m ，a 为何值时方程组：（1）无解；（2）有无穷解．将m ，a 视为参数求解方程组得到3-⨯①②：(6)612m y a -=- ③.（1）方程组无解，即③无解，③无解的条件为：60m -=，6120a -≠.6m =∴，12a ≠. 此时y 无解，自然22x y =-亦无解.（2）方程组有无穷解，即③有无穷解，③有无穷解的条件为：60m -=，6120a -=.6m =∴，12a =.此时y 有无穷解，自然22x y =-亦有无穷解.模块二 含参方程（组）的基本解法已知(21)1m x +>的解集是121x m <+，求m 的取值范围．12m <-．模块三 含参不等式的基本解法。
含参不等式的解题方法与技巧
含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。
二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。
三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。
四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。
含参不等式以及含参不等式组的解法
含参不等式以及含参不等式组的解法不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。
本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。
含参不等式：解不等式5（x-1）<3x+1通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式57x -<32-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>831,故可以得出最小整数为4.那么含参不等式如下：解含参不等式ax<b若解ax ≤b 呢分类情况 解集情况解集情况a>0时 X<a b X ≤a b a<0时 X>abX ≥aba=0时若b>0，则解集为任意数 若b ≥0，则解集为任意数 若b ≤0，则这个不等式无解若b<0，则这个不等式无解在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。
例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集 移项、合并同类项、讨论取值2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为 练习 ：1、求不等式kx+2>3的解集2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集 （2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。
含参不等式组：观察下列不等式组的解集 ⎩⎨⎧>>31x x⎩⎨⎧<<31x x ⎩⎨⎧<>31x x ⎩⎨⎧><31x x 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无限了 例题：1、（1）求不等式x-a ）（x-b ）>0的解集。
（2）求不等式320-x +518-x +716-x +914-x +1112-x >5的解集。
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册一、不等式含参题型介绍不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。
不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。
二、不等式含参题型的解题方法1.确定不等式的类型和形式在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。
根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。
2.移项变形对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。
通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。
3.化简并求解对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。
化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。
4.运用不等式性质在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。
常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。
5.综合运用在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。
需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。
三、不等式含参题型的典型例题及解析题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。
然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。
所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。
题目二：已知不等式x^2 - 3x + 2 > 0，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行化简，得到(x-1)(x-2) > 0。
然后通过代数方法或图像法对不等式进行求解，得到x < 1或x > 2。
所以不等式x^2 - 3x + 2 > 0的解集为x < 1或x > 2。
含参不等式
含参不等式1 定义：含有参数的不等式，ax>b2 不等式的性质：①ax>b, c>0 => axc>bc②ax>b, c<0 => axc<bc3 解不等式：例：①ax>b ③ax≥b解：当a>0时，x>ba 解：当a>0时，x≥ba当a<0时，x<ba 当a<0时, x≤ba当a=0时，0x>b 当a=0时, 0x≥bI) a=0，b<0时x为一切实数I) a=0，b≤0时x为一切实数II）a=0, b≥0时，不等式无解II）a=0, >0时，不等式无解②ax<b ④ax≤b解：当a>0时，x<ba 解：当a>0时，x≤ba当a<0时，x>ba 当a<0时，x≥ba当a=0时，0x<b 当a=0时，0x≤bI) a=0, b≤0时，不等式无解I) a=0,b≥0时，x为一切实数II)a=0,b>0时，x为一切实数II）a=0,b≤0时，不等式无解例：已知a≥0，解关于x的不等式（1-a）x<2(x+a)先化为基本形式，即ax>b解：x-ax<2x+2a-2a<2x+ax-x-2a<(2+a-1)x(1+a)x>-2a∵a≥0∴(1+a) >0∴x>2a1+a例: 解关于x的一次不等式k(kx+1)<1-x 解：k2x+k<1-xk2x+x<1-k(k2+1)x<1-k∵k2+1>0∴x<1−k2k+1例：解关于x的不等式（2-a）x≤4(x-a)解：2x-a≤4x+4a-4a≤4x-2x+ax(2+a)x≥-4a当2+a>0，即a>-2时，x≥-4a2+a当2+a<0，即a<-2时，x≤4a2+a当2+a=0，即a=-2时，0x≥8 不等式无解综上所述：a>-2时，x≥-4a2+aa<-2时，x≤4a2+aa=-2时，不等式无解例：解关于x的不等式（m+1）(m-1)x<(m+1)(m-2)解：当m+1>0 即m>-1时I) m-1>0即m>1时★★★★（重点）x<m+1(m−2)m+1(m−1)x<m−2m−1II) m-1<0即-1<m<1时★★★★（重点）x>m−2m−1III) m-1=0即m=1时0x<-2 不等式无解当m+1<0即m<-1时m-1<0x<m−2m−1当m+1=0 即m=-1时0x<0 不等式无解综上所述：当m>1或m<-1时x<m−2m−1当-1<m<1时x>m−2m−1当m=±1时不等式无解。
不等式组的含参问题
不等式组的含参问题不等式组的含参问题一：求解含参不等式组•问题描述：给定一个含有参数的不等式组，求解参数的取值范围，使得不等式组成立。
•解释说明：含参不等式组是指在多个不等式中，含有未知参数。
通过求解参数的取值范围，可以确定满足不等式组的解集。
问题二：参数的影响分析•问题描述：分析参数对不等式组解集的影响，即研究参数的变化如何影响不等式组的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值不同会导致解集的改变。
通过参数的影响分析，可以找出参数取值范围与解集的关系。
问题三：参数的极值问题•问题描述：对于含参不等式组，求解参数的极值点，使不等式组取得最值。
•解释说明：在求解参数的极值问题时，需要注意不等式组的约束条件和最值的定义，分析参数取极值时解集的特点。
•问题描述：研究参数在某些特殊取值时，不等式组所满足的特殊性质。
•解释说明：在含参不等式组中，当参数取某些特殊值时，解集可能具有特定的性质，如唯一解、无解、有无穷多解等。
问题五：参数的系统解问题•问题描述：对于复杂的含参不等式组，寻找参数的解集表达式或参数取值集合，使得不等式组的解集满足某些特定要求。
•解释说明：参数的系统解问题是在多个不等式之间存在约束条件的情况下，分析参数取值的限制条件，从而求得满足特定要求的解集。
问题六：参数的图像表示问题•问题描述：通过图像表示参数的取值范围，以直观地展示不等式组的解集。
•解释说明：参数的图像表示问题可以通过绘制不等式组的平面图或三维图，观察参数取值范围对解集形态的影响，从而更直观地理解不等式组。
以上是关于不等式组的含参的一些相关问题，通过解决这些问题，可以深入理解含参不等式组的特点和解集的性质。
•问题描述：分析含参不等式组中参数的取值，寻找满足特定约束条件的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值可能受到一定的约束条件，如参数的取值范围、参数与其他参数的关系等。
通过分析这些约束条件，可以确定满足特定条件的解集。
含有参数的不等式组解法
含有参数的不等式组解法
一、引言
含参数不等式组解法是数学中非常重要的内容，其核心是求解含参数
的不等式组解，即参数函数和非参数函数的变量的实数解。
它的作用在于：帮助我们理解不等式组的特性，同时及时发现参数函数的合适的变量取值。
此外，在不等式组的求解中，十分重要的是，当参数函数和非参数函数有
相关关系时，如何取合适的实数解，以及它们的范围等等，都需要进行充
分的分析，以达到求解实数解的效果。
本文通过介绍其基本概念、特点和
具体解法，研究如何求解含参数的不等式组解。
二、概念
现在，含参数不等式组求解指的是一种参数和实数的组合，参数的值
是由实数决定的。
这种参数和实数的组合被称为参数不等式。
这种不等式
可以用来刻画一个函数的变化趋势，它是帮助我们计算参数函数和非参数
函数的关系的重要工具。
三、含参数不等式组的特点
1、当参数函数和非参数函数有关联时，参数函数的变量取值的范围
受限由不等式的条件决定。
2、当参数函数和非参数函数有关联时，如果取值范围是实数，它的
取值范围也将由实数决定。
3、当不等式组有多个实数解时，要找出他们之间的关系，以确定有
效的范围。
4、假设参数的取值范围不定。
第三讲(2) 含参不等式
第三讲 含参不等式1、 知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
(b)对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。
(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。
（3）对指数、对数不等式要注意对底数分与进行讨论。
2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解(2)二次不等式（设）(a)在时恒成立或；(b)在时恒成立或 ;(c)在时恒成立或 .（注：若二次项系数含有参数，须分“”、“”讨论）3.补充说明：恒成立的解集为无解恒成立的解集为无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于的不等式变式1：解关于的不等式例2. 解关于的不等式变式2：解关于的不等式题型二：含参不等式与集合运算例1设，求实数的值.变式1：已知集合，且，则实数的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式对一切恒成立，求的取值范围变式1：设关于的不等式的解集为，求的取值范围例2若恒成立，则实数的取值范围是____________ _________变式2：若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是三、巩固练习1.若不等式无解，则的取值范围是（ ）2.设集合，则下列关系式中成立的是（ ）3.已知，不等式在实数集上的解集不是空集，则正实数的取值范围是4.若不等式的解集为，则实数的取值范围是5.设，则实数的值为6.解关于的不等式7解关于的不等式。
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含参不等式以及含参不等式组的解法
不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。
本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。
含参不等式：
解不等式5（x-1）<3x+1
通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式
57x -<3
2
-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>8
31
,故可以得出最小整数为4.
那么含参不等式如下：
解含参不等式ax<b
若解ax ≤b 呢
分类情况 解集情况
解集情况
a>0时 X<
a b X ≤
a b a<0时 X>a
b
X ≥a
b
a=0时
若b>0，则解集为任意数 若b ≥0，则解集为任意数 若b ≤0，则这个不等式无解
若b<0，则这个不等式无解
在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。
例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集 移项、合并同类项、讨论取值
2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值
（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为 练习 ：1、求不等式kx+2>3的解集
2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集 （2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集
3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。
含参不等式组：
观察下列不等式组的解集 ⎩⎨
⎧>>31
x x
⎩⎨⎧<<31
x x ⎩⎨⎧<>31
x x ⎩⎨
⎧><3
1
x x 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无限了 例题：1、（1）求不等式x-a ）（x-b ）>0的解集。
（2）求不等式
320-x +518-x +716-x +914-x +11
12
-x >5的解集。
那么5的倍数呢？不是5的倍数，18呢？ 2、（1）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-1
250
x a x 只有四个整数解，求实数a 的取值范围。
（2）已知关于x 的不等式组⎩
⎨⎧-<+>232
a x a x 无解，则a 的取值范围是？
3、已知关于x 的不等式（a+3b ）>a-b 的解集是x<-3
5
,试求bx-a>0的解集。
4、已知关于x 的不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧-<<->k x x x 111
（1）求其解集。
（2）由（1）可知，不等式组的解集是随数k 的值的变化而变化，当k 为任意有理数时，写出不等式的解集。
练习：1、已知关于x 数的不等式组⎩⎨
⎧>->-0
230
x a x 的整数解共有6个，则a 的取值范围是？
2、解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8
)21(563x m x mx mx
mx
3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-a
x x 4
32
（1）有解，求a 的取值范围。
（2）无解，求a 的取值范围。
(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。
（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。