4共线条件方程
第04讲-共线条件方程
X＝RX
X cos 0 sin X
Y
0
1
0
Y
Z sin 0 cos Z
Z Z
a
Y(Y )
X
S
X
物方系 S XYZ 绕 Y 轴 旋转 角到 S XY Z位置
X＝R X
X ＝R X
X 1
Y
0
Z 0
0
cos sin
0 X
sin
Y
cos Z
Z Z
a
S
Y
Y
(X ) X
[四] 共线条件方程
z
y
x
S
x
f
a1 a3
X X
b1Y b3Y
c1Z c3Z
y f
a2 X b2Y c2 Z
（3）
a3 X b3Y c3 Z
y
-f
a
x
oy
zA
x
A
xA
[四] 共线条件方程 用地面点坐标表示像点坐标的共线条件方程
x x0
x
y
f f
a1 a3 a2
X X X
x
y
f f
a1( X a3( X a2( X
XS XS XS
) b1(Y ) b3(Y ) b2(Y
YS YS YS
) c1( Z ZS ) c3( Z ZS ) c2( Z ZS
) ) )
a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z ZS )
c2
sin
sin
cos
sin
cos
c3 cos cos
t、、v
X RtRRv x
a1 cos t cosv sin t cos a sin v a2 cos t sin v sin t cos cosv a3 sin t sin b1 sin t cosv cos t cos sin v b2 sin t sin v cos t cos cosv b3 cos t sin c1 sin sin v c2 sin cosv c3 cos
《摄影测量学》课程笔记
《摄影测量学》课程笔记第一章绪论一、摄影测量学的基本概念1. 定义摄影测量学是一种通过分析摄影图像来获取地球表面及其物体空间位置、形状和大小等信息的科学技术。
它结合了光学、数学、计算机科学和地理信息科学等多个领域的知识，为地图制作、资源管理、环境监测和工程建设等领域提供精确的数据。
2. 分类- 地面摄影测量：使用地面上的摄影设备进行的摄影测量，适用于小范围或精细的测量工作。
- 航空摄影测量：利用飞行器（如飞机、无人机）搭载摄影设备进行的摄影测量，适用于大范围的地形测绘。
- 卫星摄影测量：通过卫星搭载的传感器获取地球表面信息，适用于全球或大区域的环境监测和资源调查。
3. 应用领域- 地图制作：制作各种比例尺的地形图、城市规划图和专题地图。
- 土地调查：进行土地分类、土地权属界定和土地使用规划。
- 城市规划：辅助城市设计和基础设施规划。
- 环境监测：监测环境变化，如森林覆盖、水资源和污染状况。
- 灾害评估：评估自然灾害的影响范围和损失。
- 军事侦察：获取敌对地区的地理信息。
二、摄影测量学的发展历程1. 早期摄影测量（19世纪中叶-20世纪初）- 1839年，法国人达盖尔发明了银版照相法，这是摄影技术的起源。
- 1851年，瑞士工程师普雷斯特勒使用摄影方法绘制了第一张地形图。
- 1859年，法国人布洛克发明了立体测图仪，使得通过摄影图像进行三维测量成为可能。
2. 现代摄影测量（20世纪初-20世纪末）- 20世纪初，德国人奥佩尔提出了像片纠正和像片定向的理论，为摄影测量学的理论基础做出了贡献。
- 1930年代，随着航空技术的发展，航空摄影测量开始广泛应用。
- 1950年代，电子计算机的出现为摄影测量数据的处理提供了新的工具。
- 1960年代，数字摄影测量开始发展，利用计算机技术进行图像处理和分析。
3. 空间摄影测量（20世纪末-至今）- 1970年代，卫星遥感技术开始应用于摄影测量，提供了全球范围内的地理信息。
无人机航测技术与应用课件：航空摄影测量基础
航摄像片的特点
当像片倾斜、地面起伏时，地面点在航摄像片上构像相对于理想 情况下的构像所产生的位置差异称像点位移
航摄像片与地形图的区别 1）投影方式的不同：地形图为正射投影，航摄像片为中心投影
AC B
c ab
c ba S
B
A
C
2）航片存在两项误差：像片倾斜引起的像点位移，地形起
伏引起的像点位移
s
5.2双像解析摄影测量
5.2.1共线方程 4共线方程
X
Y
Z1
X A X s YA Ys Z A Zs
X
Y
Z
1
X A
YA ZA
Xs Ys Zs
X x a1 a2 a3 x
Y Z
R y f
bc11
b2 c2
b3 c3
y f
5.2双像解析摄影测量
y
RT
Y
a2
b2
c2
Y
f Z a3 b3 c3Z
其中R是一个正交矩阵，它由9个方向余弦构成
5.2双像解析摄影测量
5.2.1共线方程 3空间直角坐标系的旋转变换
a1 a2 a3 cos Xx cos Xy cos Xz
R b1
b2
b3
c
osYx
cosYy
四、数字摄影测量学共线条件方程
目前，许多影像数据如：IKONOS、QuickBird等均在 其元数据中提供以上所有参数。
RPC模型：
有些影像数据不提供RPC参数，或提供的参 数精度不高，此时可利用部分控制点，采用最 小二乘原理进行系数解算，最终获得模型。
RPC模型的优点：
通用性高、与传感器无关、形式简单。 与之对应的严格成像模型，都是从轨道模型、姿态 模型、成像几何等方面出发来建立构像模型，与传 感器等密切相关，不同的传感器有不同的严格成像 模型。 因为RFM中每一等式右边都是有理函数，所以RFM 能得到比多项式模型更高的精度。 RFM独立于坐标系。 众所周知，在像点坐标中加入附件改正参数能提高 传感器模型的精度。在RFM中无需另行加入这一附 加改正参数，因为多项式系数本身包含了这一改正 数。
正则化地面坐标
P LONG _ OFF PN LONG _ SCALE L LAT _ OFF LN LAT _ SCALE H HEIGHT _ OFF H N HEIGHT _ SCALE
正则化影像坐标
r LINE _ OFF rn LINE _ SCALE c c SAMP _ OFF n SAMP _ SCALE
y
Y x
X
M
Xs
共线条件方程
X X A X s Y 1 YA Ys Z Z Z A s
X x a1 Y R y b1 Z f c 1 a2 b2 c2 a3 x b3 y f c3
NumS ( Pn , Ln , H n ) c0 c1Ln c2 Pn c3 H n c4 Ln Pn c5 Ln H n c6 Pn H n c7 Ln 2
共线条件方程
Ys ) c2 (Z N Ys ) c3 (Z N
Zs) Zs)
xn
f
c1(Z N c3 (Z N
Zs) Zs)
f
பைடு நூலகம்
c1 c3
yn
f
c2 (Z N c3 (Z N
Zs) Zs)
f
c2 c3
像片仿真
已知 •内、外方位元素 •地面点空间坐标 •DEM •DOM
z
S(Xs, Ys, Zs)
单像测图
z1 y1
z2
S1
x1
y2
S2
x2
Z
a1(x1,y1)
a2(x2,y2)
已知 •内、外方位元素 •像点坐标 •DEM
A(X,Y,Z) Y
X
(X
Xs)
(Z
Zs )
a1x a2 y a3 f c1x c2 y c3 f
(Y
Ys
)
(Z
Zs )
b1 x c1 x
b2 c2
y y
b3 c3
求像底点坐标
XN Xs
YN ZN
Z
s
Ys H
N
xn
f
a1( X N a3 ( X N
X s ) b1(YN X s ) b3 (YN
Ys ) c1(Z N Zs ) Ys ) c3 (Z N Zs )
yn
f
a2 (X N a3 ( X N
X s ) b2 (YN X s ) b3 (YN
y f a2 (X X s ) b2 (Y Ys ) c2 (Z Zs ) a3 (X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Zs )
二、共线条件方程的应用
共线条件方程表达式
共线条件方程表达式共线条件方程表达式是描述几何空间中两个共线物体之间的规则和关系的数学表达式。
它是数学中最基本的一种概念，它的发展为我们的几何概念提供了基础。
本文将介绍共线条件方程表达式的定义、典型例子及其应用。
首先，让我们来看看共线条件方程表达式是什么。
在几何学中，如果一对对象共线，那么这对两个对象之间的距离就是连续的，共线条件方程表达式就是用数学表达式来描述这种关系的。
共线条件方程表达式可以简单地用一元一次方程来表示，即：x=a+b*t，其中，x表示共线两个物体之间的距离，a和b分别表示两个物体的起点和终点的距离，t表示从起点到终点的一段时间。
举个例子来说明，假设有两个物体A和B在同一直线上，他们的起点分别是A(1,2)和B(2,4)，A到B的距离为3。
也就是说，A和B之间的距离等于3，用共线条件方程表达式表示如下：x = 1 + 3 * t从上面的例子中可以看出，共线条件方程表达式是非常实用的工具，它可以根据两个物体的位置以及它们之间的距离计算他们之间的任何一点的位置。
另外，共线条件方程表达式还可以应用于几何图形中，如曲线、抛物线、圆形等，可以帮助我们计算几何图形上任何一点的坐标。
此外，共线条件方程表达式在生活中也有许多应用。
例如，当我们要计算两个相互独立的事件之间的距离时，可以使用该方程表达式来帮助计算。
例如，如果我们要计算一次汽车行程的距离，可以根据汽车的起点和终点的位置，以及从起点到终点的时间来计算汽车行驶的总路程。
另外，共线条件方程表达式还可以用来帮助解决机器人导航中的问题。
例如，当一个机器人正在根据某种路径行进时，可以利用共线条件方程表达式来确定其到达目的地的距离，而不必计算它穿过的每一步的距离。
总之，共线条件方程表达式是一个相当有用的概念，它可以用来描述几何空间中两个共线物体之间的距离，也可以用来计算几何图形上任意一点的坐标，还可以用来计算两个事件之间的距离，以及帮助机器人解决导航问题等。
4.共线条件方程及其应用
测绘与城市空间信息系
1.航摄像片的内方位元素
S
a
a1 x a2 y a3 f X Xs ( Z Zs ) c x c y c f 1 2 3 Y Ys ( Z Zs ) b1 x b2 y b3 f c1 x c2 y c3 f
测绘与城市空间信息系
1.常用的坐标系统回顾
像空系
像平面坐标系 o-xy 像空间坐标系 S-xyz
Z
z S
y Y
f
x' y
o'
o
( x ' , y' ) ( x , y , f ) a y'x
x
X
辅助坐标系
像空间辅助坐标系 S-XYZ
Z
( X T , YT , ZT )
Y
A
地面辅助坐标系 A-XYZ
y x
坐标原点、轴向及作用
x
右手直角 坐标系
A
Y
A
测绘与城市空间信息系
X
一、常用的坐标系统回顾
z
地面测量坐标系O-XGYGZG
坐标原点、轴向及作用
y x y
a o
S
x
左手直角 坐标系
Z
Z
Y
G
X
A
G
测绘与城市空间信息系
A
O
X
Y
G
一、常用的坐标系统回顾 z
像点 摄 影 测 量
y x y
a o
Z
框标坐标系 关系？ 像空间坐标系 关系？
A 测绘与城市空间信息系
X
一、常用的坐标系统回顾
像平面坐标系O-xy
y'
第05讲共线条件方程线性化
04:14
13
x (x x0 )2 sin (x x0 )(y yo )) cos f sin
f
f
x
y y0
y
(
f
(
y
yo f
)2
)b1
(x x0 )(y f
y0 ) b2
(x
x0 )b3
y (x x0 )(y yo ) sin ( y y0 )2 cos f cos
Z a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z ZS )
将共线方程改写为：
x x0
f
X Z
y
y0
f
Y Z
X
x f Z x0
y
f
Y Z
y0
04:14
6
五、共线条件方程线性化
对线元素求偏导数
X
x f Z x0
y
f
Y Z
y0
X a1( X X S ) b1(Y YS ) c1( Z ZS ) Y a2 ( X X S ) b2 (Y YS ) c2 ( Z ZS ) Z a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z ZS )
Z
Z
X)
x x0
f
X Z
y
y0
f
Y Z
f
f
Z 2 (b3Y b2Z )Z Z 2 (b2 X b1Y ) X
( y
y0 )b3
f b2
(x
x0 )2 f
b2
(x
x0 )(y f
yo )
b1
(x
x0 )(y f
yo ) b1
(
f
(x x0 )2 f
共线条件方程
共线条件方程共线条件方程是在代数学中使用的一个概念，它用于将两个初始条件抽象化，以便被实际的问题所利用。
它可以用于描述一般问题的参数和特性，以及根据一定条件作出推断。
一句话概括起来，就是它提供了一种抽象的表示形式，以用于处理和解决由不同变量引起的问题。
首先要知道，共线条件方程将包含两个已知变量以及它们之间的共线条件，它们将构成一个等式，即共线条件方程。
除此之外，还有条件变量，也就是所谓的“解”，它可以是实数、复数或者更复杂的值，它将用于满足共线条件方程的要求。
例如，在一个具体的数学题目中，两个已知变量分别为x和y，而它们之间的共线条件方程可以写为：x+y=6。
此外，所需的解则只有y，即y=6-x。
在实际的数学问题中，可以使用共线条件方程来帮助解决更复杂的问题，例如求解不定方程、微分方程等。
共线条件方程也可以与几何图形相结合，以解决相关的几何问题。
此外，在物理学中，共线条件方程也被广泛使用，它可以用来解决与动能有关的物理问题。
例如，在伴随着改变动能时，通过共线条件方程可以求解在这一情况下系统中存在的势能，以及动能如何转换至势能。
此外，共线条件方程还被广泛应用于电子学及电路设计方面，例如，可以通过它来描述电路中的电压分布，从而解决电路的问题，还可以应用于研究电路的静态特性，比如电容、电感等。
共线条件方程在现代科学技术中扮演着重要角色，它为复杂问题的解决提供了一种有效的工具，从而促进了科学技术的发展，对人们的生活起到重要影响。
总之，共线条件方程是一种抽象的数学工具，可以用于解决更复杂的数学问题，此外，由于其抽象性，它还可以用于解决物理、电子学及电路设计等方面的问题。
它为科学技术的发展起到了重大作用，同时也是研究复杂问题的有效工具，因此受到越来越多学者的关注和重视。
第05讲-共线条件方程线性化
01:21
4
五、共线条件方程线性化
按泰勒级数在初值点展开
x
(x)
x Xs
dXs
x Ys
dYs
x Zs
dZs
x
d
x
d
x
d
x X
dX
x Y
dY
x Z
dZ
x x0
dx0
x y0
dy0
x f
df
y (y)
ZS ZS
) )
y0
线性化的基本思路：
按泰勒级数在零点（初始值）展开，取一次 项，将非线性方程转化为各参数改正数的线性方 程。
01:21
3
五、共线条件方程线性化
设初值为：
X
0 S
,
YS0
,
Z
0 S
,
0
,
0
,
0,
X
0,Y
0,
Z0,
x00 ,
y00 ,
f
0
相应的改正数为：
dXS =XS -XS 0,
f f
a1( X a3( X a2( X a3( X
XS XS
) )
b1(Y b3 (Y
YS YS
) )
c1(Z c3 ( Z
ZS ) ZS )
x0
X X
S S
) )
b2 (Y b3 (Y
YS YS
) )
四、共线条件方程
XS、 YS 、 ZS－外方位元素
a1、 a2 、 a3 、 b1 …..是由三个角元素、 、 ，构 成的旋转（正交）矩阵的9个系数：
a1 b1 R T a2 b2 a b 3 3 c1 c2 c3
4个方程求解三个未知数，即可得到像对所对应的地 面点的三维坐标
像片仿真
z
已知 •内、外方位元素
S(Xs, Ys, Zs)
y x a (x,y)
Z
•地面点空间坐标
•DEM •DOM
Y A(X,Y,Z) X
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
y
Y x
X
M
Xs
共线条件方程
X X A X s Y 1 YA Ys Z Z Z A s
X x a1 Y R y b1 Z f c 1 a2 b2 c2 a3 x b3 y f c3
数字摄影测量学第03讲 共线条件方程
y
YT
S
x
XT
( Xs, Ys, Zs)
X ( X T X S );Y (YT YS ); Z ( ZT Z S )
x f y f a1 ( X T X S ) b1 ( YT YS ) c1 ( ZT Z S ) a3 ( X T X S ) b3 ( YT YS ) c3 ( ZT Z S ) a2 ( X T X S ) b2 ( YT YS ) c2 ( ZT Z S ) a3 ( X T X S ) b3 ( YT YS ) c3 ( ZT Z S )
R
X a1 x a 2 y a 3 z Y b1 x b2 y b3 z Z c x c y c z 1 2 3
a1 R b1 c 1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
? , ,
x a1 X b1Y c1 Z y a 2 X b2Y c 2 Z z a X b Y c Z 3 3 3
aabbccddss像片像片地面地面框标坐标系框标坐标系像空间坐标系像空间坐标系地面辅助坐标系地面辅助坐标系内方位元素内方位元素框标坐标系框标坐标系像空间坐标系像空间坐标系地面辅助坐标系地面辅助坐标系外方位元素外方位元素aaoo在理想情况下摄影瞬间像点投影中心物点位于同一条直线上描述这三点共线的数学表达式称之为共线条件方程
用像点坐标表示地面点坐标的共线条件方程
点\坐标系
a A S—xyz x，y，-f
S—XYZ
Xa，Ya，Za X，Y，Z
两 点 两 系
一点两系
X Y R Z
共线方程
tp
0
课间大作业
内容
用 C 或 C++ 语言编写单片空间后方交会程序
时间
布置作业一个月后上交。
要求
1、提交实习报告.包括:任务,原理,过程,程序框图,计算结果,结论与建议
2、计算结果：外方位元素及其精度,单位权中误差
3、数据
点号
1 2 3 4
像点坐标
x(mm) -86.15 -53.40 -14.78 10.46 y(mm) -68.99 82.21 -76.63 64.43 X(m) 36589.41 37631.08 39100.97 40426.54
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
误差方程
v x a11X s a12Ys a13Z s a14 a15 a16 x 0 x v y a21X s a22Ys a23Z s a24 a25 a26 y 0 y
外方位元素的计算
当一张像片上至少有三个控制点时，误差方程矩阵形式
已知值 x0 , y0 , f , m, X, Y, Z 观测值 x,y 未知数 Xs, Ys, Zs, , , , 泰勒级数展开
vx vy
x x x x x x X s Ys Z s x 0 x X s Ys Z s y y y y y y X s Ys Z s y 0 y X s Ys Z s
常用的几种坐标系统与共线条件方程
y
Y
a
X＝R x
x
y
S
x
X
z
Z ( z )
X cos －sin Y sin cos 0 Z 0 0 x y 0 1 －f
X cos sin 0 Y Z
1、航摄像片的内方位元素
意义：每条摄影光线在像 空系中有一个确定的方向， 这个方向可以用两个角度 来表示。
x tg y 1 tg f
S
x2 y2
o
y
m x M
一旦确定了内方位元素，则每条摄影光线在像空 系中的方位被完全确定，即，内方位元素确定了光束形 状。
[二] 像片的方位元素 2、航摄像片的外方位元素 确定摄影瞬间航摄像片（严格地讲是像空系）在 摄影测量坐标系中方位的元素，叫做航摄像片的外 方位元素。 像片的外方位元素有6个： 3个线元素，即像空系的原点S在摄测系中的坐 标； 3个角元素，即像空系三轴在摄测系中的方向。
0 cos sin 0 x X cos 0 sin 1 0 Y 0 1 0 cos sin sin cos 0 y 0 0 1 Z sin 0 cos 0 sin cos 0 f
o
x
x
A
注意：框标坐标系 o'-x'y'
[一] 常用的坐标系统 2、像空间坐标系 S-xyz
表示像点在像方空间位置 的空间直角坐标系。
原点、轴向、作用
z S y y x
像空间坐标 系的空间方 位代表像片 的空间方位
证明四点共线的定理
证明四点共线的定理四点共线的定理是几何学中的基本定理之一，它表明如果四个点在同一条直线上，那么它们就是共线的。
这个定理在几何证明中经常被使用，因为它为我们提供了一种简单而直接的方法来判断四个点是否共线。
下面将详细阐述这个定理的证明过程。
我们假设有四个点A、B、C和D，我们要证明这四个点共线。
为了方便，我们可以将这四个点的坐标表示为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)。
我们可以使用向量的方法来证明这个定理。
假设向量AB、AC和AD都在同一个直线上，我们需要证明向量AB、AC和AD的线性组合为零。
根据向量的定义，我们可以将向量AB表示为向量BA的相反数，即AB = -BA；同样，向量AC可以表示为-CA，向量AD 可以表示为-DA。
现在，我们将向量AB、AC和AD的线性组合表示为以下形式：m(AB) + n(AC) + p(AD) = 0其中，m、n和p是任意实数。
根据向量的运算规则，我们可以将上述等式展开为以下形式：m(BA) + n(CA) + p(DA) = 0接下来，我们可以将向量BA、CA和DA表示为它们的坐标差值，即：m(x1 - x2, y1 - y2) + n(x1 - x3, y1 - y3) + p(x1 - x4, y1 - y4) = 0将上述等式展开，得到：mx1 - mx2 + nx1 - nx3 + px1 - px4 + my1 - my2 + ny1 - ny3 + py1 - py4 = 0将相同项合并，得到：x1(m + n + p) - x2m - x3n - x4p + y1(m + n + p) - y2m - y3n - y4p = 0我们可以将上述等式分为x坐标和y坐标两个方程：x1(m + n + p) - x2m - x3n - x4p = 0y1(m + n + p) - y2m - y3n - y4p = 0现在，我们需要证明当且仅当m + n + p = 1时，上述两个方程才成立。
摄影测量学共线方程
摄影测量学共线方程1. 介绍摄影测量学是利用影像数据进行测量和分析的一门学科，广泛应用于地理信息系统、测绘、航空航天等领域。
在摄影测量学中，共线方程是一种数学模型，用于描述相机投影过程中影像点与物方点之间的关系。
本文将详细介绍摄影测量学共线方程的概念、原理和应用。
2. 摄影测量学基础知识在了解共线方程之前，我们需要先了解一些摄影测量学的基础知识。
2.1 相机模型在摄影测量学中，常用的相机模型是针孔相机模型。
针孔相机模型假设相机成像过程可以简化为光线从物体经过针孔进入相机成像平面上。
这种模型可以用于描述相机的投影过程。
2.2 物方点和像方点在摄影测量学中，我们需要明确物方点和像方点的概念。
物方点指的是真实世界中的点，而像方点指的是相机成像平面上的点。
物方点和像方点之间的关系可以通过共线方程描述。
3. 共线方程的概念和原理共线方程是一种数学模型，用于描述相机投影过程中物方点和像方点之间的关系。
共线方程的基本原理是相似三角形原理，即相机投影过程中，物方点、相机光心和像方点构成相似的三角形。
3.1 共线条件在摄影测量学中，共线条件是指物方点、相机光心和像方点三者共线。
共线条件可以使用向量叉乘来判断，即将物方点、相机光心和像方点分别表示为向量，如果它们的叉乘结果为零向量，则表示它们共线。
3.2 共线方程的推导共线方程的推导基于相似三角形原理。
假设物方点的坐标为(X,Y,Z)，相机光心的坐标为(X0,Y0,Z0)，像方点的坐标为(x,y,f)，其中f为相机的焦距。
根据相似三角形原理，我们可以得到以下关系：(X - X0) / (Z - Z0) = (x - x0) / f(Y - Y0) / (Z - Z0) = (y - y0) / f其中(x0, y0)为像点的主点坐标，表示相机成像平面上的原点。
将上述两个方程整理，可以得到共线方程的一般形式：aX + bY + cZ + d = 0其中，a、b、c、d为共线方程的系数，可以通过已知的相机内外参数和像点坐标来计算。
共线条件方程的表达及含义
共线条件方程：表达与含义共线条件方程：表达与含义1.定义共线条件方程，也称为线性方程，是一种描述两个或多个变量之间线性关系的数学模型。
线性关系意味着当一个变量增加时，另一个变量也以相同的比率增加，反之亦然。
共线条件方程可以表示为数学形式，如：y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距。
2.形式表达共线条件方程通常可以表示为 y = mx + b 的形式，其中 y 和 x 是两个变量，m 是斜率，b 是截距。
斜率 m 描述了 x 变化时 y 变化的比率，而截距 b 是当 x 为 0 时 y 的值。
3.参数解释在共线条件方程中，斜率 m 和截距 b 是两个重要的参数。
斜率 m 描述了两个变量之间的线性关系强度和方向。
如果 m > 0，那么 y 随着 x 的增加而增加；如果 m < 0，则 y 随着 x 的增加而减少。
截距 b 则表示当 x 为 0 时 y 的值。
4.应用领域共线条件方程在各个领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，它可以用来描述商品价格和需求量之间的关系；在生物学中，可以用来描述物种数量和生态系统承载力之间的关系；在工程学中，可以用来描述电路元件的电压和电流之间的关系。
5.实例展示让我们用一个简单的例子来说明共线条件方程的应用。
假设你是一位商家，你发现商品的销售量（y）与商品的价格（x）之间存在线性关系。
通过收集数据并绘制散点图，你发现当商品价格每上升1个单位时，销售量会减少2个单位。
那么，这个线性关系可以表示为 y = -2x + b 的形式，其中 b 是当商品价格为0 时销售量的值。
通过这个方程，你可以预测商品价格的变化对销售量的影响。
6.实际应用在实际应用中，共线条件方程可以帮助我们理解和预测各种现象。
例如，在机器学习中，共线条件方程经常被用来训练模型和优化数据；在统计学中，它是描述变量之间关系的重要工具；在社会科学中，它是研究不同因素之间关系的重要方法。
此外，在工程、生物医学等领域，共线条件方程也有广泛的应用。
第05讲 中心投影的构像模型(2)
xA X y A RT Y z Z A
山东科技大学测绘科学与工程学院
3.2 中心投影的构像模型
3.2.4 共线条件方程式
两点两系
z S
y x y
o a
一点两系
X Y R Z
透视变换 地面平坦，航高为H
X XS XN Y YS YN Z ZS H
山东科技大学测绘科学与工程学院
补充2：透视变换中的简化共线方程
XN xo f sin YN cos H cos YN sin H yo f sin YN cos H
g S o hc N ho O P i g c
像坐标以像等角点为原点 物坐标以地等角点为原点 X N X C
XC x f C H YC sin YC yC f H YC sin xC XC H f yC sin yC YC H f yC sin
oi fctg
KN Hctg
g S
i
Pg
k K k
t
c
n V N t
•像底点的像平面坐标：
c1 x f n c3 y f c2 n c3
z
Z
y
Y
x
c1 sin cos cos sin sin c 2 sin sin cos sin cos c3 cos cos
3.2.4 共线条件方程式
用 途
空间后方交会、空间前方交会 光束法平差的基本公式 数字摄影测量系统中数字投影器的基础 计算像片模拟数据
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b1 x b2 y b3 f c1 x c2 y c3 f
三、共线条件方程的线性化
• • • • 目的 观测值 x,y 未知数 Xs, Ys, Zs, , , , X, Y, Z , x0 , y0 , f 泰勒级数展开
vx vy
x x x x x x x x x x x x X s Ys Z s X Y Z x0 y0 f x 0 x X s Ys Z s X Y Z x0 y0 f y y y y y y y y y y y y X s Ys Z s X Y Z x0 y0 f y 0 y X s Ys Z s X Y Z x0 y0 f
c1 ( Z N Z s ) c xn f f 1 c3 ( Z N Z s ) c3 yn f c2 ( Z N Z s ) c f 2 c3 ( Z N Z s ) c3
像片仿真
z
已知 •内、外方位元素
S(Xs, Ys, Zs)
y x a (x,y)
Z
•地面点空间坐标
单像测图
z1 y1 S1 Z a1(x1,y1) x1 S2 a2(x2,y2) z2 y2 x2
已知 •内、外方位元素 •像点坐标 •DEM
Y
A(X,Y,Z)
X
( X X s ) (Z Z s ) (Y Ys ) ( Z Z s )
a1 x a 2 y a3 f c1 x c2 y c3 f
《摄影测量学》（上）第四章
共线条件方程
武汉大学
遥感信息工程学院 摄影测量教研室
主要内容
一、共线条件方程的一般形式
二、共线条件方程的应用 三、共线条件方程的线性化
一、共线条件方程的一般形式
中心投影
•
像片的基本知识回顾
Байду номын сангаас
内外方位元素
常用坐标系 空间坐标变换
•
什么是共线条件方程
•
共线条件方程的简单推导
基本知识回顾
z s y
x
航摄仪
y
o
x
Z Y
a
A M
X
共线条件
X Y Z 1 X A X s YA Ys Z A Z s
Z z s Z
y
Y x
X
Ztp Ytp
Zs X XA- Xs Ys N Xtp
Xs M
共线条件方程
X X A X s Y 1 YA Ys Z Z Z A s
本讲参考资料
教材
作业： PP.39，第3题
张剑清，潘励，王树根 编著，《摄影测量学》，武汉大学出版社
参考书
1、李德仁 等编，《基础摄影测量学》，测绘出版社 2、李德仁，郑肇葆 编著，《解析摄影测量学》，测绘出版社
二、共线条件方程的应用
• • • • • • • 求像底点坐标 单像空间后方交会和多像空间前方交会 摄影测量中的数字投影基础 航空影像模拟 光束法平差的基本数学模型 利用DEM制作数字正射影像图 利用DEM进行单张像片测图
求像底点坐标
X N X s YN Ys Z Z H N N s
•DEM •DOM
A(X,Y,Z) Y X
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) y f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
X x a1 Y R y b1 Z f c 1 a2 b2 c2 a3 x b3 y c3 f
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) y f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )