矢量场的散度是标量
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
电磁场与电磁波练习题
电磁场与电磁波练习题一、单项选择题(每小题1分，共15分)1、电位不相等的两个等位面（）A. 可以相交B. 可以重合C. 可以相切D. 不能相交或相切2、从宏观效应看，物质对电磁场的响应包括三种现象，下列选项中错误的是（）A.磁化B.极化C.色散D.传导3、电荷Q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的Z 轴旋转时，导体球面上的面电流密度为（）A.sin 4q e a ?ωθπB.cos 4q e a ?ωθπC.2sin 4q e a ?ωθπD.33sin 4q e r aωθπ 4、下面说法错误的是（）A.梯度是矢量, 其大小为最大方向导数,方向为最大方向导数所在的方向。
B.矢量场的散度是标量，若有一个矢量场的散度恒为零，则总可以把该矢量场表示为另一个矢量场的旋度。
C.梯度的散度恒为零。
D.一个标量场的性质可由其梯度来描述。
5、已知一均匀平面波以相位系数30rad/m 在空气中沿x 轴方向传播，则该平面波的频率为（）A.81510π?HzB.8910?HzC.84510π?Hz D.9910?Hz6、坡印廷矢量表示（）A.穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量B.能流密度矢量C.时变电磁场中空间各点的电磁场能量密度D.时变电磁场中单位体积内的功率损耗7、在给定尺寸的矩形波导中，传输模式的阶数越高，相应的截止波长（）A.越小B.越大C.与阶数无关D.与波的频率有关8、已知电磁波的电场强度为(,)cos()sin()x y E z t e t z e t z ωβωβ=---，则该电磁波为（）A. 左旋圆极化波B. 右旋圆极化波C. 椭圆极化波D.直线极化波9、以下矢量函数中，可能表示磁感应强度的是（）A. 3x y B e xy e y =+B.x y B e x e y =+C.22x y B e x e y =+D. x y B e y e x =+10、对于自由空间，其本征阻抗为（）A. 0η=B.0η=C. 0η=D. 0η=11、自感和互感与回路的（）无关。
电磁场与电磁波概念复习资料
一、判断1. 安培环路定理中，其电流I 是闭合曲线所包围的电流；2. 恒定磁场是无源、有旋场； P1113. 体电荷密度的单位是C/m3； P344. 面电荷密度的单位是C/m2； P355. 线电荷密度的单位是C/m ； P356. 体电流密度的单位是A/m2 ；P367. 面电流密度的单位是A/m ； P378. 矢量场A 的散度是一个标量；9. 如果0F ∇∙=，则F A =∇⨯； P2710. 如果0F ∇⨯=，则F u =-∇ ；P2611. 判断回路中是否会出现感应电动势，则看回路所围面积的磁通是否变化； P6312. 静电场的电容C 比拟恒定电场的电导G ；13. 静电场的电位移矢量D 比拟恒定电场的电流密度J ；P10814. 静电场的介电常数ε比拟恒定电场的电导率σ；P10815. 时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播； P17216. 在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为0； P17217. 坡印延定理描述的是电磁能量守恒关系； P17618. 电导率为有限值的导电煤质存在损耗； P20519. 在理想导体内不存在电场强度和磁场强度；20. 弱导电煤质的损耗很小； P20821. 在两种煤质的分界面上，存在面电流分布时，磁场强度H 的切向分量不连续； P7922. 在两种煤质的分界面上，不存在面电流分布时，磁场强度H 的切向分量连续； P7923. 在两种煤质的分界面上，电场强度E 切向分量连续； P7924. 在两种煤质的分界面上，磁感应强度B 的法向分量连续； P7925. 在两种煤质的分界面上，存在面电荷时，电位移矢量D 的法向分量不连续； P7926. 在两种煤质的分界面上，不存在面电荷时，电位移矢量D 的法向分量连续； P7927. 无旋场，其场量可以表示为另一个标量场的梯度； P2628.无散场，其场量可以表示为另一个矢量场的旋度；P2729.梯度的定义与坐标系无关，但具体表达式与坐标系有关；P1230.均匀平面波在理想介质中，其本征阻抗是实数；P19731.时谐电磁场中，电场强度的复数表达式中不含时间因子；P18232.载有恒定电流的两个回路之间存在相互作用力；P4533.电偶极子是相距很小距离的两个等值异号的点电荷组成的电荷系统；P4034.麦克斯韦方程表明：时变电场产生磁场，时变磁场产生电场；P7035.静态电磁场是电磁场的一种特殊形式；P8936.静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，表明静电场有能量；P10037.回路中的感应电动势等于穿过回路所围面积磁通量的时间变化率；P6338.静电场和恒定磁场都属于静态电磁场；P8939.在静态场情况下，电场强度可用一个标量电位来描述P90；磁感应强度可用一个矢量磁位来描述；P11140.要在导电煤质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场；P10641.由麦克斯韦方程可以推导建立电磁场的波动方程；P17242.位移电流= 时变电场；P7043.电磁能量是通过电磁场传输的；44.应用最多的是时谐电磁场；P18045.均匀平面波在理想介质中，电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）；电场和磁场的振幅不变；波阻抗为实数；电场与磁场同相位；电磁波的相速与频率无关；电场能量密度等于磁场能量密度；P19646.均匀平面波在导电煤质中，电场、磁场与传播方向之间相互垂直，仍然是横电磁波（TEM波）；电场与磁场的振幅呈指数衰减；波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；电磁波的相速与频率有关；平均磁场能量密度大于平均电场能量密度；P20747.电磁波在良导体中，衰减常数随频率、煤质的磁导率和电导率的增加而增大；P20948.趋肤效应是良导体中的电磁波局限于导体表面附近区域；P20949.散度定理是体积分到面积分的变化；P2050.斯托克斯定理是面积分到线积分的变化；P2451.在无损耗煤质中，电磁波的相速与波的频率无关；52.标量场的梯度是一个矢量；P1353.高斯定理中，电场强度由闭合曲面内的电荷确定；54.均匀平面波在理想导体表面发生透射；55.反射系数和透射系数的差为1；P24456.在两种煤质中间插入四分之一波长的匹配层是为了消除煤质1的表面上的反射；P24057.静态场中的边值问题分为三类。
电磁场选择题
填空题：1. 设某螺旋管通有直流I 时的自感为L ，当通有电流2I 时，其自感为 L 。
2. 矩形波导填充 6.25r ε=的理想介质，波导尺寸5025a b mm mm ⨯=⨯。
若要求只传输10TE 模，工作波长0λ的范围为。
050100mm mm λ<<3. 已知一平面波的电场强度(34)ˆˆˆ(453)o jk x z x y z E aj a a e --=++，该平面波的传播方向上的单位矢量ˆn a=(0.6,0,0.8)-，极化方式为 右旋圆极化 。
4. 一个由理想非均匀媒质填充的有限封闭区域被外加均匀电场所极化，则在该区域内部出现的与束缚体电荷密度p ρ对应的束缚体电荷p Q 和与束缚面电荷密度ps ρ对应的束缚面电荷ps Q 之间满足的关系是 0p ps Q Q +=，因为ˆ()()0nVSP dV aP dS -∇+=⎰⎰（填相关公式）。
1． 麦克斯韦方程中包括了三个实验定律,它们分别为: 库伦定律、 安培定律 和 法拉第电磁感应定律。
2． 在研究静电场时，可以引入电位函数的原因是：0E ∇⨯=（或静电场是无旋场或静电场是保守场）。
3． 无源场中麦克斯韦方程组的积分形式为：B E dS c sdl t ∂⋅=-⋅⎰⎰∂ 、DH dS c s dl t∂⋅=⋅⎰⎰∂ 、0S D dS ⋅=⎰ 、B 0s dS ⋅=⎰。
4. 麦克斯韦方程的微分形式中，说明存在电磁波的方程为：BE t∂∇⨯=-∂， D H J t∂∇⨯=+∂ 5. 在时变场中位移电流密度为：J d Dt∂=∂；它与磁场的关系为:J d H J ∇⨯=+;位移电流的物理含义为: 时变电场产生时变磁场.6. 联系着一个矢量场A()r 的散度和通量关系的定理叫： 高斯（散度）定理，其关系式为：d d V S A V A S ∇=⎰⎰；另外联系着A()r 的旋度和环流关系的定理叫：斯托克斯定理，其关系式为：A A l SCdS d ∇⨯=⎰⎰7. 在圆柱坐标中有一电场矢量E Ae Ae ρφ=+，其中A 为常数，E 是常矢量吗？不是。
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
1-2矢量场的散度
∫∫
= 12
3 1
0 0
r 3 1 r r r ( A) y =0 ⋅ (−dxdze y ) + ∫ ∫ ( A) y = 2 ⋅ (dxdze y )
0 0
又因
r ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A = + + = 2y ∂x ∂y ∂z
r r 2r A = 2 xy a x + x a y
Φ =
∑
N
i =1
∆τ i → 0
r lim ( ∇ ⋅ A ) ∆ τ i =
∑ ∫
i =1 ∆ S
j
N
r r A ⋅ dS
证毕
即
r ∫ (∇ ⋅ A ) d τ =
τ
∫
S
r r A ⋅ dS
例：长方体区域由 x = 0 ,1; y = 0,2; z = 0,3
r r 2r 六个面组成， 六个面组成，设其内矢量场 A = 2xyex + x ey
∆τ i → 0 ∆τ r r A ⋅dS +
i
∆S
∫
r r A ⋅dS
j
相邻两个体积元有一个公共表面， ∵ 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共 r 方向 表面上的通量对这两个体积元来说， 表面上的通量对这两个体积元来说，其 n 恰好相反，故求和时相互抵消。结果， 恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 外表面上的通量， 的积分只剩下 ∆τ i 、 ∆τ j 外表面上的通量，因 个小体积元组成时， 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。 的通量就等于限定它的闭合面 上的通量。
r ey Ay dy
电磁场复习题
电磁场复习题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《电磁场与电磁波基础》复习题一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章）（第一章）1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++=面积元表达式2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S ==3、圆柱坐标系中，ρe 、e ϕ 随变量ϕ 的变化关系分别是φρφe e =∂∂，ρφφe -e =∂∂ 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和；散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率；散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。
5、散度在直角坐标系 F zF y F x F V S d F F div Z Y X SV ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆0lim 散度在圆柱坐标系 zF F F F div Z ∂∂+∂∂+∂∂=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）∇在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇圆柱坐标系 ze z ∂∂+∂∂+∂∂=∇ φρρφρe e球坐标系分别 ϕθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ⎰⎰⋅=⋅∇V sS d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；8、矢量函数的环量定义 ⎰⋅=ΓC l z y x F d ),,(；旋度的定义MAX l S Sl d F F rot ∆⋅=⎰→∆ lim 0；二者的关系 ⎰⎰•=•⨯∇C S l d F S d F )(；旋度的物理意义：描述矢量场中某一点漩涡源密度。
1.6 矢量场散度的定义与计算
z
S6
S1
S3
FdS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
在 x方向上：计算穿过 S 1和 S 2 面的通量
z
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz dS1 dydz(aˆx)
F
1 R2
(R2 FR ) R
1
Rsin
(Fsin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中：F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
)
(Fu3
h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数
说明穿入的通量大于穿出的通量那么必然有一些矢线在曲面内终止了意味着闭合面内存在负源或称沟
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
量，那么必然有一些矢线在曲面内 终止了，意味着闭合面内存 在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
3. 散度的定义：
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
F dS
表达式： divF lim S V0 V
4.散度的计算：
散度
散度是描述矢量场的，理解散度之前必须弄明白一个问题，矢量线是谁发出的？也就说，如果我们面前有一片矢量场，那么矢量场中的矢量线是从何处来。
一步一步来，先说通量。
在一个有向曲面S 中取一个面积元ds ，规定面积元的方向就是其法向单位矢量→n 的方向，假设有一片矢量→V 穿过面积元ds ，就类似于水流倾斜着穿过洞窟，那么总的流量就是水流的长度乘以洞窟大小，反应在矢量计算上，就是→V 与→n 的点乘再乘以ds ，即ds n V ⋅⋅→→，将其写为→→⋅ds V ，→ds 大小为ds ，方向为法线方向，这样便计算出了通过一个面积元ds 的流量，给它起个名叫通量，显然通量是个标量，只有大小，没有方向。
在整个有向曲面S 上，通量就是每一个面积元上通量的积分，即为 ⎰→→⋅=s ds V Q那么在一个闭合曲面上，计算公式为⎰→→⋅=s ds V Q 由于在闭合曲面上，通量有进有出，因此此时⎰→→⋅=s ds V Q 表示为净通量。
显然，矢量线不会是凭空产生的，不是无源的，因此，对一个矢量场作一个闭合曲面，如果净通量大于零或者小于零，就说明，闭合曲面内有场源分布，如果等于零，就说明无源或者正负源相抵消。
最简单的例子，想象正负电荷的场景。
但是通量只是描述了是否有场源的存在，并未确定场源的位置，如何确定场源的位置？从正电荷得到启发，如果闭合曲面仅仅包围了正电荷，那么很明显场源就是正电荷。
因此，将闭合曲面无限缩小，小到单位体积内只存在单一电荷不存在正负电荷相抵消的情况，此时我们就可以确定场源的分布。
对于无线小体积，如果不存在场源，那么穿入矢量就等于穿出矢量，如果有场源分布，那么矢量要么只有穿入要么只有穿出。
用散度来描述，散度公式为Vds A A div s V ∆⋅=⎰→→→∆→0lim 因此，散度是个标量，表示单位体积内净流通量，能够衡量通量源的强度。
如果在一个矢量场中，每一点的散度都确定，就可以确定哪里有场源，强度如何。
矢量场的散度
A lim Si
lim i di
i 0
i
i 0
i
d i
即
i
A dS
Si
lim (
i 0
A)
i
同理：对 i相邻的体积元 j
j
A dS
S j
lim (
j 0
A
Ax
Ay
Az
2y
x y z
A
2xyax
x2ay
于是体积分
3 21
32
AdV 0 0 0 2ydxdydz 0 0 2ydydz 12
V
z
以上计算表明：散度定理成立。
o
y
例：球面 S 上任意点的位置矢量为
恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 i 、 j 外表面上的通量，因 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
S j
S
3
dS
A
dS endS （1-4-3）
e n 方向的确定：
• dS 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，
•选绕定行dCS方是的向闭绕，合行大面方拇的向指面，指元则向，由则d右S 手e的螺n方为旋向该定，闭则也合，即面四的指e外n指法方向线向C方。的向。
电磁场与电磁波_西北工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
电磁场与电磁波_西北工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.矢量场中某点的散度是标量，其大小是该点的（）答案:通量密度2.矢量场中某点的旋度是一个矢量，其大小等于该点的（），其方向为（）答案:最大环量密度，取得最大环量的环面的法线方向。
3.三个非零矢量相加为零，说明这三个矢量（）答案:共面_构成三角形4.在静电场中的导体达到静电平衡状态，下列说法错误的是答案:导体内部电场处处不等。
5.矢量是既有大小又有方向的量。
答案:正确6.电磁场是矢量场。
答案:正确7.空间某点梯度的大小是该点的最大的方向导数，梯度的方向是该点等值面的法线方向。
答案:正确8.若入射波的传播方向与分界面的法线平行时，这种入射方式称为（）。
答案:垂直入射9.当电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角时，这种入射方式称为（）。
答案:斜入射10.在分界面上，透射波电场强度与入射波电场强度之比称为（）。
答案:透射系数11.镜像法的理论依据有（）答案:唯一性定理12.一点电荷q放置在接地导体球（半径为【图片】）外，与球心的距离为d，则镜像电荷的位置和电量为（）答案:13.静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场，其包括（）答案:恒定电场_恒定磁场_静电场14.静态场的位函数满足的方程有（）答案:无源区，满足拉普拉斯方程_有源区，满足泊松方程15.对于镜像法下列描述正确的是（）答案:实际电荷和镜像电荷作用在边界处保持原有边界条件不变。
_镜像电荷必须在待求场域的边界以外。
_待求场域的场由实际电荷和所有镜像电荷产生的场叠加得到。
_将有边界的不均匀空间处理成和待求场域媒质特性一致的无限大均匀空间。
16.在直角坐标系下，拉普拉斯方程的解中的本征函数有（）答案:三角函数_常数或线性函数_双曲函数或指数函数17.对偶原理的含义是：如果描述两种物理现象的数学方程具有相同的形式，并具有对应的边界条件，那么方程中具有同等地位的量的解的数学形式也将是相同的。
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6
讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
2019/5/30
11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
地球物理场论题库
《地球物理场论》题库与答案一、填空题 (每小题 1分,共30)1. 场是时空坐标的函数。
2. 在矢量场A 分布的空间中，有向面元dS 与该面元处的A 两个矢量的点乘是矢量场A通过dS 的 通量 。
3. 矢量场的散度是一个标量场。
4. 矢量场的散度是空间坐标的函数。
5. 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性。
6. 若矢量场A(x,y,z)的散度为f(x,y,z)，且f 不全为0，则该矢量场称为有源场。
7. 若矢量场A(x,y,z)的散度为f(x,y,z)，则称f(x,y,z)为源密度。
8. 在场矢量A 空间中一有向闭合路径l ，则称A 沿l 积分的结果称为矢量A 沿l 的环流。
9. 一个矢量场的旋度是另外一个为矢量场。
10. 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度11. 对一个矢量场进行旋度变换后再进行散度变化，运算结果等于012. 标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
13. 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件唯一确定。
14. 若矢量场A 的散度和旋度值在某区域V 内处处有为0，称该矢量场A 为调和场。
15. 描述电荷在三维空间中分布状态的函数是电荷体密度。
16. 描述电荷在二维空间的面上分布状态的函数是电荷面密度。
17. 电流密度矢量描述空间电流分布的状态。
18. 电流连续性方程描述了电荷密度 与电流密度矢量两者之间的关系。
19. 电场是在电荷周围形成的一种物质。
20. 产生电场的源泉有2个。
21. 电场的特性是对处于其中的电荷产生力的作用。
22. 处在电场中的电荷所受的作用力与电场强度大小成正比。
23. 磁场是在电流周围形成的一种物质。
24. 在磁场中运动电荷所受到的作用力的方向由电荷运动方向和磁场方向共同确定。
25. 线电流元Idl 在距其R 产生的磁感应强度为：03()4Idl R dB Rμπ⨯=⋅。
1.2矢量场的散度
9
A dS .
S
Ad
S
A dS
Ax Ay Az 而 A 的散度为 A 3 x y z
4 3 3 A dS Ad 3d 3 R 4R . S 3
A
2019/1/13
面元足够小，视其上的A为常数
n
dS
3
• 记作:
d A dS A cos dS
dS
A
矢量场 A 的通量为标量 ,其正、负 与面元 的 en 取向有关。
穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为：
S S S S
j A dS lim ( A) j
S j j 0
从 i 、 j 组成的体积中穿出的通量为： i j lim ( A) i lim ( A) j
i 0 j 0
A dS
当作矢量看待
即 divA (ex ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
2019/1/13
divA A
8
１.２.４、高斯散度定理： A dS Ad
＞ 0 : S内必有发出通量线的源 ＜ 0 : S内必有吸收通量线的源
0:
S
S内没有净源.
d A dS A en dS
S S
2019/1/13 5
１.２.３、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点）
１、散度的定义：
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度
通过闭合面S的通量的物理意义： a) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量， 闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的发射源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量， 闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的吸收源；
这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。
梯度 (Gradient)定理
积分结果与路径无关。Fra bibliotek通量与散度, 散度(高斯)定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的通量(Flux of a vector field)
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
A dS
S
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面
A dS
S
矢量场的通量
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ A dS Ax dydz Ay dzdx Az dxdy
S S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
矢量场的例子
(a) 有发射源 (Source)的场 (b) 有漏(Sink)或有吸收源的场 (c) 旋转 (Circulation)场 Videos are from: MIT online Open Course Resources
麦克斯韦方程组
静电学方程
E
B E t
Q
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
矢量场的散度
主要内容： 一、矢量场散度的定义 二、矢量场散度的计算 三、矢量场散度的性质 四、例题
一、矢量场散度的定义
1、矢量场的平均散发量； 在直角指标系中， a( x, y, z ) a x ( x, y, z ) i a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k
lim
V M
a x a y a z 1 ( )dV lim[ a(M )] 0 V v x y z V M
a x a y a z diva a x y z
所以高斯定理还可以记 为： a x a y a z a ds ( )dV divadV x y z s v
称为矢量场 设流体的流速为 a，单位时间内流过 曲面s的的流量为 Q a ds
s
现设S是一个封闭曲面， V是所包围的体积 , a ds 则 s 就是单位时间从单位体 积发散出的量。 V 称为平均发散量。
2、散度的定义
在矢量场任意点处，作一闭合的曲面，当曲面包围的 体积趋于零时有；
如果有极限
lim
V M
s V M
a ds
s
V
。
就是矢量场a在M点的散度。
记为：diva ( M ) lim
a ds V
注意：（ 1 ）矢量场某点的散度是 标量； （2）当diva 0时，表示点是流出的源 ，
其值表示源强度。 (3)当小于零时，表示点是 吸收的洞，其值表示洞 的强度。 （4）当diva(M ) 0表示点为无源无洞。
f df r x f (r ) x dr x r
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2、两个矢量的点积为标量
第一章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
x
表示对 x, y, z 运算
第一章 矢量分析
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积）
r r rr
v
A • B A B cosAB
B v
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
vv vv v v v vv vv A• B B • A A•(B C) A• B A•C
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
第一章 矢量分析
梯度的运算
直角坐标系：
grad
u
u x
r ex
u y
r ey
u z
r ez
哈密顿算符
( x
r ex
y
r ey
z
r ez
)u
u
柱面坐标系：
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
第一章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az Ax A cos Ay A cos Az A cos
(evr
r
ev
1 r
evz
) z
u
u r
r er
1 r
u
r e
u z
r ez
球面坐标系：
(evr
r
ev
1 r
ev
(
r
1
sin
)
)
u
u r
evr
1 u
r
ev
1
r sin
u
ev
第一章 矢量分析
梯度运算相关公式
C 0
((Cu u)v)
Cu u
v
(uv) uv vu
f (u) f (u)u
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
AB
B
B
A
AB
B
A
第一章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
v vv v vv v vv A• (B C) B • (C A) C • (A B) v v v vv v vv v A(BC) B(A•C) C(A• B)
方向导数与选取的考察方向有关。
第一章 矢量分析
方向导数的计算
u u cos u cos u cos
l x
y
z
式中： 、 、 分别为 l与x,y,z坐标轴的夹角。 c o s 、 c o s 、 c o s —— 的l 方向余弦。
方向导数物理意义：
u 0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向增加率；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
A A(ex cos ey cos ez cos ) eA ex cos ey cos ez cos
第一章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
即若标量函数为 u u(x, y, z) ，则等值面方程为：
u(x, y, z) c const
1.1.2 方向导数
方向导数定义：
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
u(rv)
l
M
M0
l
方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。
u
0 l M0
，标量场
u在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
第一章 矢量分析
1.1.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：erl 为场量 u
r z) el
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
rr r r
F E Hv 矢r量可表示为：A
B evA
r vD A 其中
eA
A A
A为模值，表征矢量的大小；
第一章 矢量分析
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
第一章 矢量分析
1.1 标量场的梯度
• 标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y , z )、 F (x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y, z, t) 、 F ( x, y, z, t)
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
式中：C为常数； u , v为坐标变量函数；
第一章 矢量分析
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。R来自Rr – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算