等比数列的前n项和2
等比数列的前n项和(二)
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝ ( ) A．－1 B．1 C．－5 D．5 解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝ 4· 5n－1所以5＋m＝4，m＝－1. 答案：A
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释
等比数列前n项和性质
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课堂总结
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能 达到事半功倍的效果．
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误区解密
考虑不全面，导致错误
【例3】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若 S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
错解：因为 S3＋S6＝2S9，所以 a11－q3 a11－q6 a11－q9 ＋ ＝ 2× ， 1－q 1－q 1－ q 由于 a1≠0，整理，得 q3(2q6－q3－1)＝0. 因为 q≠0，所以(2q3＋1)(q3－1)＝0， 4 所以 q＝1 或 q＝－ . 2 3
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520 520 由题意知4 a－4x4 ＋4x≥4a，
令
520 y＝4 ，则
1g y＝20(1g 5－1g 4)＝20(1－31g 2 )≈2， ∴y＝100，∴100a－400x＋4x≥4a， 8 ∴x≤ a. 33 8 故每年砍伐量不能超过 a. 33
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1． 110a－ 1.19x－ 1.18x－…－ 1.1x－ x
10 1.1 －1 10 ＝ 1.1 a－ x＝ 2.6a－ 16x. 1.1－ 1
3 由题意， 得 2.6a－ 16x＝ 2a.解得 x＝ a(m2)． 80 a 3 － a× 10 2 80 1 (2)所求百分比为 ＝ ≈ 6.3%. 2a 16
2.5.2等比数列前n项和公式(2)
求该数列前2m项的和。
7
例4. 已知等差数列{an}为等差数列且d≠0， {an }的部分项组成数列 {bn}，其中 bn akn 若 k1
，
1, k2 5, k3 17,
（1）求 kn
（2）若a1=2,求{an. kn}前n项和Sn
8
例5.设数列
an 满足： S
n
2an 1,
2.5.2等比数列前n项和（2）
1
一.复习回顾
1.等比数列前n项公式
当q=1时， S n na1
a1 a n q 当 q 1 时，S n 1 q
① ②
2
a1 (1 q ) 或 Sn 1 q
n
2.分段和的性质
①当q=－1且k为偶数时，
S k , S 2k S k , S 3k S 2k 不是等比数列.
(1)若 a1 a2 a10 2, a11 a12 a30 12
(2)若q 2, S99 77，则a3 a6 a9 ..... a99
(3)若q 2, a1a2a3......a99 2 ，则a3a6a9 .....a99
二.例题讲解
例1.等比数列 an 中：
(1)若Sn 2 q，求q的值
n
(2)若前 n项和与积分别为S和T，
1 数列 的前 n 项和为 an
S
'
S 求证： T ' S
2
n
5
例2.等比数列 an 中：
求 a31 a32 a60 的值。
②当q≠－1或kห้องสมุดไป่ตู้奇数时，
王新敞
奎屯
高二数学等比数列的前n项和2
① ②
②÷①得 q＝2.将 q＝2 代入①得11－－44n＝85，
∴4n＝256，∴n＝4.∴公比 q＝2，项数为 8.
• [例3] 银行按规定每经过一定时间(贷款利 率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结算 后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫
复利．现在某企业进行技术改造，有两种方 案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便 可获利1万元，以后每年比前一年增加30% 的利润；乙方案：每年年初贷款1万元，第 一年便可获利1万元，以后每年比前一年多 获利5千元．两种方案的实施期限都是十年， 到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年 息10%的复利计算，比较两个方案，哪个获
(2)Sn＝a111－－qqn＝64[11－－2112n] ＝128[1－(12)n]<128.
• [例1] 在等比数列{an}中，已知Sn＝48， S2n＝60，求S3n.
• [分析] 用求和公式直接求解或用性质求 解．
[解] 解法 1：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
a111－－qqn＝48，① 由已知得a111－－qq2n＝60，②
• A. B.
• C. D.
解析：由aa12＋＋aa23＋＋aa34＝aa2111＋ ＋qq＋ ＋qq22＝aa21＝q＝－12， 又由 a1＋a2＋a3＝6，且 q＝－12，∴a1＝8，可得 a2＝a1q＝8×(－ 12)＝－4， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝a111－－qq7－8－(－4)＝181.
• 2．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则 S4为( )
• A．28
B．32
• C．35
D．49
• 解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等比数列 • ∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4) • ∴(S4－7)2＝7(91－S4) • ∴S4＝28. • 选A.
等比数列的前n项和(2)最新版
1
1
1
8
S8
2 2 1 1
255 256
2
练习
已知等比 an中 数 , 列
1 a 1 2 , S 3 1 . 则 q 4 2或-3
a 3
8或18
2 a 1 1 , a 4 2 则 q 1 -6 , S 4 6 185
sn=a1+a2+a3+ ······+an-1+an
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*)
q n a s 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a n 1 q a 1 q n (*
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
欢迎光临指导
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
16-等比数列前n项和(2)
2.5等比数列的前n 项和(2)教材分析本节内容是人教版高中数学必修5第2章第5节的内容，是在学习完等差数列前n 项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法.本节课是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.而且数列是初等数学与高等数学的重要衔接点，是考查学生推理和思维能力的好素材，长期以来，数列一直是高考的热点，而高考对数列的考查又集中在等差数列与等比数列上,充分说明了它的重要性.从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生运用数学语言交流表达的能力.另外，对于公比q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．。
课时分配本节内容是等比数列的前n 项和的第2课时，主要讲解数列求和的常用方法,即分组求和法，错位相减法和裂项相消法.教学目标重点: 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.难点：灵活使用公式解决问题.知识点：等比数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用.能力点：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力.教育点：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. 自主探究点：如何灵活运用公式解决有关等比数列的问题.考试点：等比数列的前n 项和公式的灵活运用.易错易混点：求等比数列的前n 项和时，对公比q 是否等于1的讨论；与等差数列求和混淆. 拓展点：等比数列与其他数列结合求和的方法.教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、课题导入师：前面我们学习了哪些关于等比数列的知识？ 生：①定义式：()-1=0,2n n a q q n a ≠≥； ②通项公式：()-111=,0n n a a q a q ≠；③若()+=+,,,,m n p q m n p q N *∈则=m n p q a a a a ⋅⋅； ④等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②⑤()()1-1,=1=-2n n n S n a S S n ⎧⎪⎨≥⎪⎩ 【设计意图】通过回顾等比数列前n 项和公式及相关公式，明确公式的具体形式，为下面用各种公式求和作铺垫.二、讲授新课师：我们结和一些练习来看一下如何灵活应用它们例1：()2211+++++n n x y x x y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （其中0,1,1x x y ≠≠≠） 师生共同分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当0,1,1x x y ≠≠≠时，()2211+++++n n x y x x y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22+1+1111=++++++111-1-=+11-1---1=+1--n n n n n n n n x x x y yy x x y y x yx x y x y y⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭师：此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.[设计意图]引导学生学会对其他数列求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列；然后分别求和，再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形.师：下面请同学们完成一个类似的练习.练习1：已知数列221,1+2,1+2+2,,1+2+2++2,n（1） 求其通项公式n a ；（2） 求这个数列的前n 项和n S .学生写出解题步骤：解：（1）2-1=1+2+2++2n n a()11-2=1-2=2-1n n ⨯ （2）12=+++n n S a a a()()()()()1212+1=2-1+2-1++2-1=2+2+2-21-2=-1-2=2-2-n n n n nn n⨯例2：求和23123=+++.n n n S a a a a师生共同分析：考虑运用错位相减法求n S ,但要注意含有字母的公比的讨论.学生写出解题过程：解：当=1a 时，()+1=1+2+3++=2n n n S n . 当1a ≠时，11a≠， 23123=++++n n n S a a a a. ① 两边同乘以1a得 234+11123-1=++++n n n n n S a a a a a a. ② 由①-②得23+1111111-=++++-n n n n S a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得+1111--1=-1-n n n a n a a S a a a⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅， 即()()()2-1--1=-1n n n a a n a S a a .综上所述，=1a 时，()+1=2n n n S ；1a ≠时，()()()2-1--1=-1nn n a a n a S a a [设计意图]数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，若求数列{}n n a b ⋅的前n 项和，则可用错位相减法求解，即在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题.例3：在等比数列{}n a 中，()>0,n a n N *∈，公比()0,1q ∈，且153528+2+=25aa a a a a ，又3a 与5a 的等比中项为2，（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设2=5-log n a n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，设12111=++n nT S S S ，求n T . 师生共同分析：（1）由已知条件可求得35,a a ，进而求得n a .（2）由n a 简化n b ，从而考察数列{}n b 的特征，进而求出n S ，最后用裂项法求n T .解：（1）因为153528+2+=25a a a a a a ，所以，223355+2+=25a a a a .又>0,n a 所以35+=5a a .又3a 与5a 的等比中项为2，所以35=4a a .而()0,1q ∈，所以3535>,=4,=1a a a a . 所以-15-111=,=16,=16=222n n n q a a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. （2）()2=5-log =5-5-=,n a n b n n 所以+1-=1.n n b b所以{}n b 是以1=1b 为首项，1为公差的等差数列，所以()+1=2n n n S . 所以1211111111=+=21-+-++-223+112=21-=+1+1n n T S S S n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭[设计意图]裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后从新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻（相间）的两项，即这两项的结论应一致.三、巩固练习1、2341234+++++-2=__________22222n n 2、数列22221111,,,1+22+43+64+8 的前n 项和等与______________ [设计意图]学生自己动手做题，巩固例题中所学的方法.四、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：（1） 知识：分组求和法，错位相减法和裂项相消法求数列的和.（2） 思想：分类讨论的思想、转化与化归的思想.教师总结:提醒学生熟练掌握这几种数列求和的方法，在做练习过程中增强对本节知识的理解，灵活运用公式，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．[设计意图] 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．五、布置作业1、已知数列2-11111+1,+4,+7,+3-2,n n a a a求其前n 项的和. 2、在数列{}n a 中，()21+11=1,2=1+n n a a a n N n ⎛⎫⋅∈* ⎪⎝⎭. （1）证明：数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令+11=-,2n n n b a a 求数列{}n b 的前n 项和n S . 3、在数列{}n a 中，12=+++1+1+1n n a n n n ，又+12=n n n b a a ⋅，求数列{}n b 的前n 项和. [设计意图]一个题目对应于一种方法，通过3道作业题，加深学生对求和方法的认真理解和准确运用.六、教后反思本节课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行巩固加深理解，已达到提高课堂效率的目的.但是，本节课的弱项是，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，且练习中让学生上黑板板演并不能遍及所有学生，此过程让同位之间互换，共同检查、改正，会达到更好的效果.同时，要启发学生自己发现问题，提高他们分析问题和解决问题的能力.七、板书设计。
等比数列的前n项求和2-高中数学经典好题
等比数列的前n 项和2-高中数学经典好题教学内容：等比数列的前n 项和教学过程：学习了等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,1,1)1(11q na q q q a S n n (错位相减法) 一．题目训练1. 求下列数列的前n 项和(1)2,22,222,2222,...(2) ，，3222221221,21,2++++++ (3) n n n S ----⋅+++⋅+⋅+⋅=2)2(252423321(4) {}项和的前求n a n a n n n ,232-+= (5) =+⨯+++⨯+⨯+⨯)43(11037241n n ）（求 (6) =+⨯++⨯+⨯+⨯)22(21861641421n n (7) =+-++⨯+⨯+⨯)12)(12(27565343122222n n n ）（求和 (8) 项和前数列n n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11 (9) 构造差值求和 n n n n n n n a n n a 2)(2))1((,2)52(1⋅+-⋅++=⋅+=+μλμλ方法：项和求其前(10) 已知数列项和求其前n n a n n ,22⋅=方法：也是构造差值求和n n n q pn n q n p n a 2)(2))1()1((212⋅++-⋅++++=+λλ方法：观察法、倒序相加法、错位相减法、从通项入手、裂项相消法、分母有理化、拆开重新组合、叠加法、公式法二．课后思考1. {})1(,2,11n ++==+n n S na a S n a n n n 若项和为的前已知数列 231.,2.,)()(,2)2(,1≥>≤>=+m ii n i m m T n ii T T n i S T a n n n n n n n 的范围则总有若对一切正整数为何整数时，当）求（,2)5(,2)4(,2)3(1)2(,1)1(:,)()(.2=====∈*f f f f f N n n n f 如的整数为最接近记的值为则正整数若m m f f f f ,4034)(1)3(1)2(1)1(1=++++ 20192018.,20182017.,2017.,20172016.2⨯⨯⨯D C B A解答：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，414S =，数列{}n b 满足14b =，132n n b b +=-．(1)求{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足1222,1,n n n n na n a a c nb ++⎧⎪⋅⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若{}nc 的前n 项和为n T ，证明：2316n T <． 【答案】(1)31n n b =+(2)证明见解析【分析】（1）先证明{}1-n b 为等比数列，然后求解出{}1-n b 的通项公式即可求解出{}n b 的通项公式；（2）根据12a =和414S =先求解出{}n a 的通项公式，然后采用裂项相消法、公式法、放缩法完成证明.【详解】（1）因为132n n b b +=-，所以()()1131n n b b +-=-，且1130b -=≠， 所以{}1-n b 是首项为3，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，所以31n n b =+，所以{}n b 的通项公式为31n n b =+；（2）设{}n a 的公差为d ，因为12a =，414S =，所以14614a d +=，所以1d =，所以()2111n a n n =+-⨯=+，所以()()222,131,31n n n n n n c n +⎧⎪++⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，所以()()22111,4131,31n n n n n c n ⎧⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数， 所以()()2222222426211111111111............4244631313131222n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()222246222111991111111111 (142333342222219)n n n T n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭<-+++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭-， 所以()()22211113111116891689422422n n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-=--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎝⎭， 又因为()21110,089422n n ⎛⎫>⋅> ⎪⎝⎭+， 所以2316n T <.。
等比数列前n项和(2)
为常数），
练习
1.已 知 等 比 数 列 的 公 比 为 q 1 2 , 且 a1 + a 3 + a 5 + + a 99 60
90 则 S100 ________ .
2.若 14 项 的 和 为 60, 则 前 21项 的 和 为 ______ 63.
2n
又 S奇
a1 1 q 1 q
2
85, 即
1 q
2n 2
1 q
85.
2 n 8, 即 此 数 列 共 有 8 项 .
例 2:已 知 等 比 数 列 a n , a1 + a 2 + a 3 + a 4 =4, a 9 + a10 + a11 + a12 =16,求 a17 + a18 + a19 + a 20的 值 .
1 2
, n 5;
S5
(4 ) a 1 2.7 , q
1 3
, n 6.
S6
5 1 8 1 2 31 . 2 1 1 2
6 1 2 . 7 1 3 91 . 1 40 1 3
6
( 1 ) a 1 3 , q 2 , n 6;
S6
1 2
189 .
( 2 ) a 1 2 . 4 , q 1 . 5 , n 5;
S5
2 . 4 [1 ( 1 . 5 ) ]
5
1 ( 1 .5 )
33 4
.
等比数列的前n项和2
等比数列的前n 项和等比数列的判定方法（1） 用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3） 通项公式：()0n n a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式： ()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列例1.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
例2.数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*．（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}na 的通项公式n a ；例3.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．练习：1.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 2.在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.3.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．4.数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .5.等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________。
2.5.2 等比数列的前n项和(2)
an 3 2(an1 3) (n 2) 即
an 3 2 (n 2)
an1 3
∴数列{an-3}是公比为2的等比数列.
an 3 (a1 3)2n1 (3 3)2n1 3 2n an 3(2n 1).
Q an 3(2n 1) 3 2n 3 ,
Sn a1 a2 a3 L an
,
求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：
（I）由a1=1，an1
1 3
Sn
,
得
a2
1 3
S1
1 3 a1
1 3
,
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
,
11
16
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 ) 27 ,
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：（II）由（I）可知 a2 , a4 ,L
, a2n
是首项为
1 3
，
公比为( 4)2 , 项数为n的等比数列，
3
a2
a4
a6
L
a2n
1
1
( 4)2n 3
3 1 (4)2
3 [( 4 )2n 1]. 73
3
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*
即
n 1 2. Sn
故 { Sn } 是以2为公比的等比数列. n
n
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1
1, an1
n
n
2
Sn(n
1,2,3
).
（1）数列
{ Sn n
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1， 又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析 由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定． 二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解 由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明 由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )， 所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1， 即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。
等比数列的前n项和公式2
能力提升
已知数列 an 的前n项和为sn , 且sn 2n n, n N ,
2 *
数列bn 满足an 4 log2 bn 3, n N
*
2求数列anbn 的前n项和Tn
(1)求an , bn
你学会了什么？
反思与小结
2 2 an≠ an 是等差数列， bn 是公比为q的等比数列， 数列 bn- ，其中 若 , 则当 x=时，分式的值为零。 3 3 的求和方法 2 若a = , 则无论 x 为何数值，分式的值都不为零 . 3
复
习
等差数列 等比数列
an 1 q an
定义 通项 公式 性质
an1 an d
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
nm
an am (n m)d
mn r s
an am q
(m, n, r , s N * )
am an ar as
n 1
×
×
2
3若c 0且c 1, 则c 2 c 4 c 6 c 2n c
2. 已知an 是等比数列，请完成下 表：
1 c
2 n
1 c
2
√
题号
（1） （2） （3）
a1
1 2
q
1 2 2 3
n
8
4
6
an
1 256
sn
255 256
27
am an ar as
na1 , q 1 sn a1 an q a1 1 q n , q 1 1 q 1 q NhomakorabeaSn
等比数列前n项和(2)
(a 1) (a 1)
★ 公比 q 情况不确定时需要分类讨论.
□探究与发现（1）
1. 等比数列的前n项和Sn的变形与应用.
a1 (q 1) a1 n a1 Sn q q 1 q 1 q 1
n
{an}是等比数列
1、2、4 、 8 、 16 、 32 、64、128 、256 、 …
问题1：S2， S4－S2，S6－S4 是否是等比数列？ 问题2：S3， S6－S3，S9－S6 是否是等比数列？
结论： Sn为等比数列的前n项和，Sn≠0，则Sk，
S2k－Sk， S3k－S2k是等比数列．
□探究成果应用（2）
2.5 等比数列前n项和（2）
□复习引入
1. 等比数列前n项和公式：
na1 n S n a1 (1 q ) 1 q
2. 数学思想方法：
(q 1) (q 1)
错位相减，分类讨论，方程思想.
□课前热身
3. 练习
求和： a a a a 1
2 3
S n Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
□探究成果应用（1）
练习1. 若等比数列{an}中，Sn＝m·n＋1， 3
则实数m＝__________.
练习2. 在等比数列{an}中，S10＝5， S20＝10， 则S30＝__________.
□探究与发现（2）
(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______.
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______.
课堂小结
1. {an}是等比数列 S n Aq B
等比数列前n项的和(2)
① ②
两式相比得： q n 9 q n 8 1 a ① 得： 1 2 代入 1q
s3n
a1 1q
1 q
3
a1 1q
1 q n 3 2 1 83 1022
an1 2an 1( n N * 例题． 已知数列{an }满足： 1 1， a
2 3
3、在等比数列an 中，a1 an 66, a2 an 1 128, S n 126, 求n和q.
4、
log2 a1 log2 a2 log2 a10 25, 求S10 .
在等比数列a n中，公比q 2,
已知数列{an } ， ；
{an }
求
通项公式
1 a1 1, an 1 Sn 3
求值：a1 a2 a3 ....a2n
设等比数列an 的前n项和为sn , 若sn 14,
s2n 126, 求s3n
矛盾 q 1
解：若q 1, 则sn na1 14, s2n 2na1 126
sn a1 1 q n 14 1 q a 2n 126 s2n 11q 1 q
(1)求证：数列{an 1}是等比数列； (2)求an . （3）求{an }的和 Sn
Sn 是等比数列｛ an ｝的前n项和，公比q≠1，
1 1 已知1是 S 2和 S 3 的等差中项，6是 2S2和3S3 2 3
的等比中项。 （1）求S2和S3的值； （2）求此数列的通项公式； （3）求数列｛ Sn｝的前n项和；
n
a1 an q 2.已知a1、an、q选择公式Sn 1 q
等比数列前n项和2
2.3.2等比数列的前n 项和（二）学习目标（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。
教学重点：等比数列前n 项和的性质。
教学难点：预习案一、学法指导1.对于等比数列可以用类比等差数列前n 项和的性质，得到等比数列前n 项和的性质，2．要注意等比数列与等差数列之间存在的差异性。
3．对于前n 项和S n 的公式形式，等差数列与二次函数有关，而等比数列与指数函数有关。
二、预习自测1．若某数列前n 项和公式为1(0,1,*)n n s a a a n N =-≠≠±∈ 则{}n a 是 数列。
2．若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则n m s +=3. ()()473102222n f n n N +*=++++∈ ，则()f n = 。
探究案一．课内探究1.等比数列的前n 项和的性质：设{a n }是等比数列，公比是q ，则（1）若n S ，n n 2S S -，n 2n 3S S -均不为0，则它们也成等比数列；（2）若数列的项数是偶数，有奇偶qS S =。
2．差比数列的前n 项的和的求法——“错位相减”设{a n }公差为d(d ≠0) 的等差数列，{b n }是公比是q(q ≠1)的等比数列，则n n 332211n b a b a b a b a S ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=。
1n n 433221n b a b a b a b a qS +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=1n n n 3211n b a b d b d b d b a S )q 1(+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ，右边中间部分构成一个等比数列，两边除以（1－q ）便得到结论。
二．例题讲解例1．（1）在G.P {}n a 中，n S 表示前n 项和，且51012,36S S ==，求15S 的值。
等比数列前n项的和(2)
例 2． 某人从 2 0 0 4 年初向银行申请个人住房公积金贷款 2 0 万元用于购 房，贷款的月利率为 3 .3 7 5 % ，并按复利计算，每月等额还贷一次， 并从贷款后的次月开始归还．如果 10 年还清，那么每月应还贷多少 元？ 说明：对于分期付款，银行有如下的规定： （1）分期付款按复利计息， 每期所付款额相同，且在期末付款； （2）到最后一次付款时，各期所付 的款额的本利和等于商品售价的本利和
P
56
3, 4 , 5 , 6 , 7
教学后记
S5 a 1 (1 q )
5
1 q
1 1(1 .1 1) ．
5
二．数学运用 1．例题： 例 1．水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国 9 1 0 0 万亩 的坡耕地需要退耕还林， 其中西部地区占 70% ． 国家确定 2 0 0 0 年西部 地区退耕土地面积为 5 1 5 万亩，以后每年退耕土地面积递增 12% ，那 么从 2 0 0 0 年起到 2 0 0 5 年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩 （精确到万亩）？
例 3． 某厂为试制新产品，需增加某些设备。若购置这些设备，需一 次付款 2 5 万元；若租赁这些设备，每年初付租金 3.3 万元。已知一年 期存款的年利率为 2.55% ，试讨论哪种方案更好（设备寿命为 10 年） 。 思考：能否从现值的角度来分析并解决它？ 2．练习：课本 P 53 2，3
三．回顾小结： 1． 审清题意，建立正确的数学模型； 2．如何从终值角度计算分期付款问题，银行对分期付款有何规定？ 四．课外作业：
吕叔湘中学一体化教[学]案（高一年级数学学科）
执教者 教学内容 或课题 教学重点 与难点 教学课型 与方法 电教手段 高一数学组 起草人 汤强强 束琴 授课日期 2008/3/[第四周
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和(二) 教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题。
教学过程：Ⅰ.复习回顾（提问）前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?（1）定义式：a na n －1＝q (q ≠0，n ≥2)（2）通项公式：a n ＝a 1qn －1(a 1,q ≠0)（3）性质；若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q , （4）前n 项和公式：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)S n ＝na 1，(q ＝1)（5）a n 与Sn 的关系a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)Ⅱ.讲授新课我们结合例题来看一下如何灵活应用它们.例1．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手. 解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝274 d ＝92274∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq－x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手. 解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94例2．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列.分析：由题意可得S 3＋S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2＋a 5＝2a 8即可.证明：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3＋S 6＝2S 9 若q ＝1，则S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，由等比数列中，a 1≠0得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，∴q ≠1，∴S 3＝a 1（1－q 3）1－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ，S 9＝a 1（1－q 9）1－q且a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q整理得q 3＋q 6＝2q 9，由q ≠0得1＋q 3＝2q 6又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (1＋q 3)，∴a 2＋a 5＝a 1q ·2q 6＝2a 1q 7＝2a 8∴a 2，a 8，a 5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.例3．求和：（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n＋1yn ） (其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1yn ）＝(x ＋x 2＋…＋x n)＋(1y ＋1y 2 ＋…＋1yn )＝x （1－x n ）1－x＋1y （1－1yn ）1－1y＝x －x n ＋11－x ＋y n －1y n ＋1－yn此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.例4．求和：n ++++++++++21132112111解：设数列的通项为an ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ，12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n a a a S n n 此方法为求和的重要方法之一：裂项求和法.Ⅲ.课堂练习课本P 58练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n 项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.Ⅴ.课后作业1. 课本P 58习题 3，4，52．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n，…的前n 项和.。
等比数列的前n项和(二)
练习.有四个数，前三个成等比数列且和为19， 练习.有四个数，前三个成等比数列且和为19， 19 后三个成等差数列且和为12 求这四个数。 12， 后三个成等差数列且和为12，求这四个数。
9、6、4、2或25、-10、4、18
练习1：已知等比数列 求求项公求。
练习 2：已知等比数列 求首项n }中，已知
a3 = ,
5 2
s3 = 15 , 求 a 1和 q. 2
7 63 , 求an . 练 习 在 比 列 { an }中, S3 = , S6 = 等 数 2 2
解 若q = ,则S = S , 这与已知S = , S = 的, 所以q ≠ .从而 是矛盾
S =
{a n }中， s3 = 4, s6
= 36,
{a n }中， s 2 = 6, s 4 = 12,
3、已知三个数成等比数列，它们的积是 ， 已知三个数成等比数列，它们的积是27，
它们的平方和为91，求这三个数。 它们的平方和为 ，求这三个数。
练习： 已知三个数成等比数列，它们的积是 ， 已知三个数成等比数列，它们的积是27， 它们的平方和为91，求这三个数。 它们的平方和为 ，求这三个数。
二
等比数列的前n项和的公求 等比数列的前 项和的公求
a1 (1 q n ) 1 q
Sn=
{
q≠1 q=1 q≠1 q=1
na1
也即 Sn=
{
a1 anq 1 q na1
问题:求和 问题:
2+a3+a4+……+an S=1+a+a +a
例1:在等比数列{an}中, 1:在等比数列{a 在等比数列 已知首项a =9,求 的值. 已知首项a1=3, S3=9,求S5的值.
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例4.求数列
2 n 1 2 …… …… 2 1 2 2 ( 2 ) 前n項和。 1,(1+2)（ ，1+2+ ),
解:∵ak
1 2 2 …… 2 k 1
2
∴ Sn
1(1 2 k ) 1 2 k
n n n
2
n
n
1
n
1
n
练习：
（1） 1＋2＋4＋ … ＋263 ＝ （2）1－2＋4 ＋ … ＋(－2)n-1 =
264-1
1–(-2)n 3
1 2
（3）等比数列 {an} 中，a1 = 8 , q =
, an =
1 2
, 则Sn=
31 2
（4）等比数列 {an} 中，a1 = 2 ，S3=26 , 则 q =
n
xn1 nxn
n n 1 1 1 n x nx 1 x n nx 1 x Sn 1 x 1 x
Sn
1 1 n x n nx n 1
Байду номын сангаас
1 x
2
数列的前n项和为： 1 1 n x n nx n 1 （x 1) 2 1 x Sn n 1 n ( x 1) 2
1 q
Sk , S2k Sk , S3k S2k 成等比数列.
练习：一个等比数列的前5项和为10, 前10项和为50,
210. 那么它的前15项和为 ____
解： S5 , S10 S5 , S15 S10成等比数列，
（S10 S5） S （ 5 S15 S10）
n+1
=1089 =1089
又∵3qn+1=2187
∴ q = 3 ∴插入的正数为9，27，81，243，729。
3q-2187 1-q
等比数列前n项和的性质
已知数列an 是等比数列, Sn是其前n项的和, 则 : Sk , S2 k Sk , S3k S2 k 成等比数列.
a1 (1 q k ) 解 : Sk , 1 q
1
1
1
1
分组求和法
( 2 ) 只须注意再讨论y是否等于1的取值情况
例3:设数列an 为1, 2 x,3x , 4 x
2
3
nx
n 1
x 0 ，
求此数列前n项和。
解：Sn 1 2x 3x 4x
2 3
nx
n1
当x 1时，Sn 1 2 3 4
a1 (1 q 2 k ) a1 (1 q k ) a1 (q k q 2 k ) a1q k (1 q k ) S2 k Sk , 1 q 1 q 1 q 1 q
a1 (1 q3k ) a1 (1 q 2 k ) a (q 2 k q 3k ) 2k k 1 a q (1 q ) S3 k S 2 k = 1 = = , 1 q 1 q 1 q
当x 1时，
n 1 n n 2
n1
（用错项相消法）
2 3
Sn 1 2x 3x 4x
nx
xSn
x 2x 3x
2 3
n 1 x
n1
nx
n
2 1 x S 1 x x n
xn1 nxn
2 1 x S 1 x x n
-4或3
练习：在3和2187之间插入若干个正数，使它们 组成等比数列，且插入的这些正数的和为1089。 求：插入的这些正数各是什么？
解：设等比数列的公比为q，
则，这些数为：3，3q，3q2，· · · ，3qn，2187
∵这些正数的和为1089。
3q（1-q ） ∴ 1-q
n
=1089
即 ∴
3q-3q 1-q
= 2 ( 2n – 1 ) n = n2
∴ S′ n = ∴ S″n =
∴ Sn = S′ n + S″n = 2n+1 + n2 - 2
分组求和法
例2：求和 ( x + y ) + ( x2 + 2 ) + ( x3 + 3 ) + … +( xn + yn ) y y （1） 当 x ≠ 0 , y ≠1 时 （2） 当 x ≠ 0 时 解： 2 + … + xn ) + ( 1 + 1 + … + 1 ) Sn = ( x + x （1） y y2 yn 当x=1时 1 (1- 1 ) n -1 y n y y =n+ Sn = n + n+1 - yn 1 y 1- y 当x≠1时 1 (1- 1 ) n n y x (1 - x ) y Sn = + 1-x 1- 1 y x ( 1 - xn ) = 1-x + yn - 1 yn+1 - yn
2
S15 210
例1 ： 求通项为
an = 2n + 2n -1
的数列的前n项和
解：设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n 则
an = bn ＋cn ，Sn = S′ n + S″n
2 ( 1–2n ) 1–2 1 + ( 2n - 1 ) 2
定义
等差数列 an an1 d
等比数列
an q(q 0) an 1 n 1 n 1
a a q 解析法 an a1 (n 1)d 表 列表法 a 为等差数列 示 孤立点 孤立点 图象法 法 a 是关于n的一次函数 a, G , b成等比数列 a, A, b成等差数列 a an1 q an an1 d 递推法 n a 为等差数列 n 1 G a b ( aGb 2A a b an a1 (n 1)d an a1 q 0) 通项公式 S 是关于n的二次函数(无常数项) 2 2A a b 中项公式 G a b n(n 1) a (1 q ) S (q 1) S na d 前n项和 1 q 2 am an a p aq am an a p aq 重要性质