数学建模综合题影院座位设计问题
影院座位论文修正版
影院座位设计摘 要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角越大，仰角越小，满意度就越大。
根据这一条件，建立几种数学模型，并进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案。
最后对所建模型评价和推广。
问题一：当θ一定时，满意程度主要取决于视角α与仰角β，根据这种关系，从不同的角度建立了三个模型：(1) 假设在β小于30度的情况下，β对满意度忽略不计，在β大于30度的情况下，满意度很低。
由图中的几何关系建立的数学模型，得出当°=30β时，1x 的值为1.7274米，利用Matlab 软件求解，此时α的最大值为°13.08386，其对应的x 的值为2.4米，是影院的第四排。
(2)假设满意度的关系式微 S A c αβ=-建立模型，利用Matlab 软件求解得，S 的最大值为0.62984，此时α的值为°13.08386，其对应的x 的值为2.4米，是影院的第四排。
(3) 引入满意度函数建立了离散加权模型，利用Matlab 软件求解得，S 的最大值为1168.919，此时α的值为°14.07723，其对应的x 的值为1.6米，是影院的第三排。
问题二：运用问题一中的三个模型，设平均满意度19119kk S S ==∑分别将19排的横坐标x 带入S 的表达式中，求出19个值，并找出最大值。
问题三：采用抛物线来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当°15.0300θ=时，观众的平均满意度最大。
根据图中改进前后的1a 和2a ，1b 和2b ，1β和2β的大小，得出2α和2α的大小，最后证明出21k k S S >，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度。
关键词: 仰角 视角 最佳位置 平均满意度一、问题重述座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
影院座位设计问题
影院座位设计问题摘要： 关键词：一、问题重述电影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角。
视角是观众眼睛到屏幕的上、下边缘的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，仰角太大会使人的头部过分的上仰，引起不舒服，一般要求仰角不超过30。
下图为某影院的剖面示意图，设地面到屏幕上边缘的距离为H ，地面到屏幕下边缘的距离为h ，地板倾角θ，第一排和最后一排与屏幕的水平距离分别为l 和L ，观众的平均坐高为d （眼睛到地板的垂直距离）。
已知参数5H =， 3.2h =， 4.5l =，19L =， 1.1d = （单位：m ）（1）地板倾角010θ=，问最佳位置在什么位置。
（2）求地板线倾角θ（一般不超过020θ=），使所有观众的平均满意度最大。
（3）地板线如何设计可以进一步提高观众的满意度。
二、模型的假设1．假设观众的满意度只取决于仰角β和视角α，与其他因素无关；2．假设观众坐下后眼睛到地板的垂直距离相等，都为d，且在同一直线L上；30的围，观众都感到满意，毫无不舒适3．视角对观众的满意度影响较大，且仰角β在小于感，且满意程度相同；4．同一排座位，观众的满意程度相同。
三、符号说明四、模型的建立与求解（一）最佳位置求解模型1．建立直角坐标系及问题分析为方便分析，以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x轴，以交点为原点O,建立直角坐标系如下：根据第一排观众眼睛坐标1(,)P l d 及斜率tan θ得，直线L 的方程：()tan y x l d θ=-+ （1）直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为：tan H yxβ-=（2） 由图1，当仰角β大于视角α时，观众眼睛到屏幕下边缘的仰角()βα-的正切值为：tan()h yxβα--=（3） 由图2，当仰角β小于视角α时，观众眼睛到屏幕下边缘的俯角()αβ-的正切值为：tan()y hxαβ--=（4） 又由公式：tan tan()tan tan[()]1tan tan()ββααββαββα--=--=+⋅- （5）或tan tan()tan tan[()]1tan tan()βαβαβαββαβ+-=+-=-⋅- （6）联合（1）（2）（3）（5）或（1）（2）（4）（6）式：视角α的正切值为：2tan (tan )(tan )(tan 1)(22tan )tan H hH d l h d l x H h d l xαθθθθθ-=-+-+++-+-+ (7)所以我们得到α、β在坐标系的表达式为：2arctan (tan )(tan )(tan 1)(22tan )tan ()tan arctan H h H d l h d l x H h d l x H x l d x αθθθθθθβ-⎧=⎪-+-+++-+-+⎪⎨⎪---=⎪⎩ (8)已知观众的满意度主要取决于视角α和仰角β两个因素，并且视角对观众的满意度影响较大，所以一般要求在仰角不超过30度的条件下求视角最大时观众所在的位置，即为观众最满意的位置。
最新数学建模作业：影院座位选择
精品文档影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。
模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。
二、问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
影院座位设计建模论文
影院座位设计摘 要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角越大，仰角越小，满意度就越大。
根据这一条件，建立模型，进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案。
问题一：当θ一定时，满意程度主要取决于视角α与仰角β，由图中的几何关系建立的数学模型，以数形结合结合的方法进行分析，利用Matlab 软件作图，通过图像得知视角α与仰角β的变化关系，在30β=︒时取到最佳位置，此时α最大值为°13.9174，其对应的x 的值为1.7282米，结合实际考虑离散化的情形，相邻两排座位间的间距相等，取为0.8米【1】这个最佳位置应当是影院的第四排。
问题二：运用题目中的已知条件，在某一座位选定时（即x 的值确定时），通过分析视角α与地板线倾角θ的内在关系，随着地板线倾角θ的增大，视角α逐渐增大；并且，由β与θ的关系，θ角越大，β角不超过30︒的区域越大，即仰角不超过条件的座位所占比例越大。
给出合理的约束条件，找到约束条件下的最优解，考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的θ值，解出15.054θ≈︒时达到平均观众满意度的最大值。
问题三：先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使β角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高α角的平均值。
再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当°15.054θ=时，观众的平均满意度最大。
由引理，考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施。
如果考虑到人的眼睛到头顶的距离0.1m ，若后排不被前排挡住视线，地板线倾角在7.12515.054︒︒范围内变化。
利用C 语言进行搜索求出最大平均视角6.435α=︒，5D y m =，倾角7.125θ=︒.座位安排为第一排被抬高3.1m 的倾斜直线，过直线首尾端点，以高于直线0.01m,采用x 为y 的二次曲线进行拟合，得到的拟合二次函数的表达式为：20.00730.1618 4.1940y x x =-++.最大平均视角将在原有基础上提高，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度。
电影院座位设计问题[1]
![电影院座位设计问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/03bc7e8c9ec3d5bbfc0a7401.png)
电影院座位设计问题一、问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30。
设影院屏幕高h , 上边缘距地面高H ，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d 和D , 观众平均坐高为c （指眼睛到地面的距离）。
已知参数 h =1.8， H =5，d =4.5 ，D =19，c =1.1（单位：m ）。
(如图所示)(1) 地板线倾角θ＝o10，试问最佳的座位在什么地方。
(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o20），使所有观众的平均满意程度最大。
(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度. 座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角. 经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况. 根据题意很容易得知α和β的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.针对问题1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y 轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x 轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角o 10=θ时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角α和仰角β的值均为最大，最后排视角α和仰角β的值均为最小.那么仰角030=β时的位置是否是最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出αtg 的表达式，作出α对x 的变化图象以及其变化率图象，计算αtg 的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.针对问题2： 一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x 的变化趋势.在倾斜角θ固定的情况下，满意度函数值随x 的变化而变化，不同的x 有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角θ，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.三.模型的假设1. 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；2. 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；3. 假设视角对观众的满意度影响较大；四.符号说明α当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角 β当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角),(y x p 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标）（x F α关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 ）（x G β关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 )(x M 满意度函数)(i x M 第i 个位置的满意程度M 平均满意程度λ满意度函数的相关因子（即满意因子）五.模型的建立 1.建模的准备1.1 建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系：由题意及坐标图得，直线L 的方程：c d x tg y +-=)(θ （1） 直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为：xtg d x c H tg θβ)(---=（2）又由图可知： xtg d x h c H tg θαβ)()(----=- （3）由（2）（3）得： xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg htg )()()1()(222θθθθθα+--+-++++--=1.2 构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：)0()(20)(>=--λλx x ex M （4）其中λ表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数. 0x 表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立2.1 问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角α和仰角β.由上文不难发现αtg 和βtg 均是x 的函数，这里不妨令αtg x F =)(，βtg x G =)(，则可得到：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx F )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=（5）xtg d x c H x G θ)()(---=（6）由030≤β，即030tg tg ≤β得：θπθtg tgdtg c H x ++-≥6又由题意知：D x ≤则x 的取值范围为：D x tg tg dtg c H ≤≤++-θπθ6（7）从而得到求解最佳座位的数学模型：xdtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg hx MaxF )()()1()(2)(22θθθθθ+--+-++++--=t s .D x tg tgdtg c H ≤≤++-θπθ6（8）当θ=10度时求得模型的解观众的满意度随位置变化曲线如图：4681012141618-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8地板线横坐标x观众的满意度值θ=10度时观众的满意度曲线2.2问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角θ，本文先设法求平均满意程度M . 由（4），记第i 个座位满意度为：)0()(20)(>=--λλx x i i ex M （9）则区间],[D d 上n 个座位的满意度为：∑=ni i x M 1)( （10）从而得座位的平均满意程度为：nx M M ni i∑==1)( （11）从而得到求解地板倾角的数学模型：Max nx M M ni i∑==1)( （12）其中i x 的表达式为：l i d x i )1(-+=，l 为常数，表示前后两个座位之间的距离.，n 的表达式为：1][+-=ldD n . 观众满意度随地板线曲率变化如图：00.51 1.52 2.59.29.49.69.81010.210.4地板线斜率k(tgθ)观众平均满意度观众平均满意度随地板线斜率变化曲线有图解得：︒==8.1936.0arctan θ2.3问题3的模型为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。
影院座位设计的数学模型
影院座位设计的数学模型2002级3班吴小刚【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。
【关键词】：视角平均视角模型数学建摸问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。
仰角α是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于α-β，c为观众平均坐高。
a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1)地板倾角θ=10度，问最佳位置在什么地方。
(2)求地板线倾角θ（一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大。
(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角α-β，越大越好。
2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。
3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。
模型建立：根据题目，结合模型假设，有Y=xtanθtanα=tanxd xαθ-+tanβ=tanb xd xθ-+tan ()βα-=βαβαtantan1tantan+-=xdxxbaabxdba+++-++-θθ22tantan)()(模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+x d x x b a ab +++-θθ22tan tan )( )tan(20βαπβα-∴<-< 为增函数要使tan(βα-)最大，即视角βα-最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导f ′(x)=1+2222)()tan tan )(())(tan )(tan 2(x d x x b a ab x d b a x +++--++-θθθθ =1+22222)(tan )(tan )(tan x d ab d b a d d x +-+--+θθθ 令f ′(x)=0x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d (0≤x ≤14.5) 0≤x<1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d f ’(x)>0 1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d <x ≤14.5 f ’(x)<0 因此，tan(βα-)在x=1tan tan )(tan 222+++=θθθab d b a d 处取得最大值。
数学建模-影院角度
数学建模-影院⾓度影院⾓度问题下图为影院的剖⾯⽰意图，座位的满意程度主要取决于视⾓α和仰⾓β。
视⾓α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹⾓，α越⼤越好；仰⾓β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与⽔平线的夹⾓，β太⼤使⼈的头部过分上仰，引起不舒服感，⼀般要求β不超过30度。
记影院屏幕⾼h ，上边缘距地⾯⾼ H，地板线倾⾓θ，第⼀排和最后⼀排座位与屏幕⽔平距离分别为 d和 D ，观众平均座⾼为c（指眼睛到地⾯的距离）。
已知参数 h=1.8,d = 4.5 ， D=19 ，c =1.1，H=5（单位：m）。
（1）地板线倾⾓θ =10 ，问最佳座位在什么地⽅?（2）求地板线倾⾓（⼀般不超20 ），使所有观众的平均满意程度最⼤。
（3）地板线设计成什么形状可以进⼀步提⾼观众的满意程度。
摘要对于问题1，⾸先根据满意度设置两种求解情况，第⼀种是当仰⾓β<=30时，由于⾓度较⼩，可以粗略的认为只要β<=30，就⽆须再考虑仰⾓对观众的影响。
将视⾓α作为满意度依据，另⼀种当β>30时，同时考虑这两个⾓度对满意度的影响，同时设置α的影响因⼦p，和β的影响因⼦1-p，根据观众实际情况合理的设置p，这⾥拟合了不同的p对满意度的影响。
通过MATLAB求出了距离屏幕6.2274m的距离观众满意度最佳。
对于问题2，将观众离散均匀分布，算出每⼀排距离屏幕的距离xi，然后利⽤问题⼀情况⼆的思路求出每⼀排的满意度Si，最后求和除以总的排数求出S。
同时⽤不同的θ和p来拟合，找出不同p的情形下最⼤S对应的θ。
问题3从提⾼地板线和将地板线设计成折线这两个⽅⾯来提⾼满意度。
关键词：⾮线性规划 MATLAB 三⾓函数⼀,问题提出⼆,模型假设假设题⽬给出的已知参数是合理的。
三,符号说明S 平均满意度Si 第i排的满意度x 到屏幕的⽔平距离xi 第i排到屏幕的⽔平距离p 对α和β影响的权重θ重新设置的地板线⾓度n 总的排数四,模型建⽴与求解4.1问题⼀的分析与求解⾸先根据满意度设置两种求解情况，第⼀种是当仰⾓β<=30时，就将视⾓α作为满意度依据，另⼀种当β>30时，同时考虑这两个⾓度对满意度的影响，同时设置α的影响因⼦p，和β的影响因⼦1-p，根据观众实际情况合理的设置p，此处设置不同的p来拟合数据进⽽分析规律。
数学建模作业：影院座位选择
标准实用影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。
模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。
二、问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
数学建模综合题影院座位设计问题讲课讲稿
数学建模综合题影院座位设计问题数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班 20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班 20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班 20123203一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
影院座位设计
影院座位设计问题分析 座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过030。
模型假设1、β不超过030时，由决β定的满意程度相同；2、α越大，由α决定的满意程度越大；3、同一排的各个座位的满意程度都相同。
模型构成 以屏幕所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴。
建立直角坐标系，如图1所示设某一座位的坐标为（x ，y ），则由三角函数关系式知： xy H -=βtan ……………………（1） xy h H --=-)tan(αβ 又αβαβαβtan tan 1tan tan )tan(+-=- ∴)tan(tan 1)tan(tan tan αββαββα-+--=2()()hx x H y H h y =+--- ……………………（2） 又c d x y +-=θtan )(， 知o x y 图12tan [()tan ][()tan ]()tan tan hx x H x d c H h x d c H x d c x αθθθβ⎧⎫=⎪⎪+-------⎪⎪⎨⎬---⎪⎪=⎪⎪⎩⎭…………………（⊗）模型求解（1）地板线倾角θ=010，问最佳座位在什么地方？由模型假设1知，最佳座位显然要满足0030β<≤ 从而， 3.9( 4.5)tan 0tan x x θβ--<=≤3当θ=010时，⇒ 6.227191.8 1.8tan 43x x x α≤≤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎭易知，x=6.227时，tan α取得最大值，此时y=(6.227—4.5)0tan10+1.1=1.409 即最佳座位处为（6.227，1.409）（2）求地板线倾角θ（一般不超过020），使所有观众的平均满意程度最大。
由（⊗）式知，当x 取某一定值时，θ越大，则α就越大，β就越小，也即观众的满意度就越大。
数学建模综合题影院座位设计问题
数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班20123203一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
数学建模课程设计
数学建模课程设计0840503220 苏阳 0840503224 张明 0840503226 郑景旻影 院 座 位 设 计问题回顾：影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
(3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。
本次课程设计研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角α与仰角β这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。
问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后求解出当地板线的倾角为 10时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。
问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，解得当地板线的倾角为 0543.15时，所有观众的平均满意程度最大。
问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以 5.2变化，增加到 20后保持不变，第一排抬高2.1米。
在此在此课程设计中作以下假设:1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
影院座位设计
影院座位设计摘要本文研究了电影院座位设计问题，由于座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，我们建立了满意程度的数学模型，并进行最优求解。
问题一，首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离的变化而变化的模型，并利用matlab软件对该函数进行分析，结果当座位在最后一排时，观众的满意度最大。
问题二，在问题一的模型的基础上，将θ角也定为变量，建立满意程度随座位与屏幕距离和θ角的变化而变化的模型，再对变量x求相应区间的定积分，从而可以得到平均满意度随θ角变化的模型，再用matlab软件分析模型，求得当θ=20︒时，平均满意度最大。
关键词：加权平均数满意度函数定积分一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。
视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大是人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒.记影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D，观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。
已知参数h=1.8m，H=5m，D=19m，c=1.1m。
1)地板线倾角θ=10︒，问最佳作为在什么地方？2)求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众平均满意度最大。
二、问题的分析根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，β越小越好，最佳位置β就是在这两者之间找一个平衡点，使观众的综合满意度最大。
既然β>30︒不可避免，那么在建立模型时，必须将α与β同时考虑。
于是本文通过对α与β分别设立权重，建立适当的坐标系，从而形成一个线性的满意度函数。
对于问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化为求综合满意度函数的最大值，用matlab软件做出综合满意度图像，在进行求解。
对于第二问，将所有的座位想像为一个个连续的点，此时，综合满意度为关于x与θ的二元函数，先对x求所在区间的积分，从而求出其在所有位置上的平均满意度，再利用matlab做出平均满意度关于θ的函数的图形，从而可进行直观求解。
电影院座位设计
￥公选课《数学建模》论文——******问题!学号：姓名：学号：姓名：学号：姓名：&年月日1 问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过030.设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）.已知参数 h=，H=5，d= ，D=19，c=（单位：m）.(如图所示)10，问最佳座位在什么地方.(1) 地板线倾角θ＝o20），使所有观众的平均满意程度最大.(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度.2 模型的假设30的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同.2．1 β在小于2．2 观众的满意度只取决于仰角β和视角α，与其他因素无关.2．3 同一排座位，观众的满意程度相同.3 符号约定α: 观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）（单位：度）β: 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）（单位：度）θ: 地板线倾角（单位：度）h: 影院屏幕高（单位：m）H: 上边缘距地面高（单位：m）d: 第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）D: 最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）c : 观众平均坐高（指眼睛到地面的距离）（单位：m ）L: 相邻两排座位间的间距（单位：m ） l: 相邻两排座位间的水平间距（单位：m ） n: 座位的总排数4模型的建立最佳座位（地板线倾角θ＝o10）设屏幕所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴，在图上建立直角坐标系，如图1所示：仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，设某一观众的眼睛的坐标为（x,y ），则有：xyH -=βtan （195.4≤≤x ） ……(1) xyh H --=-)tan(αβ （195.4≤≤x ） ……(2) 由公式αβαβαβtan tan 1tan tan )tan(+-=-可得：)tan(tan 1)tan(tan tan αββαββα-+--= (3)将（1）、（2）式代入式（3），得：))((tan 2y h H y H x hx---+=α （195.4≤≤x ） (4)o x y 图1又 c d x y +-=θtan )( （195.4≤≤x ） (5)有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=----⋅---+=x c d x H c d x h H c d x H x hx θβθθαtan )(arctan ]tan )([]tan )([arctan 2 (6)作出仰角β和视角α沿着x 轴的变化曲线，如图2、图3 所示：由图2、图3可见，沿着x 轴，仰角β和视角α都是单调递减的.视角α越大越好，即座位越往前越好，然而仰角β太大（座位过于靠前）使人的头部过分上仰，会引起不舒适感.要考虑观众的满意程度就必须要同时考虑α与β的取值，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大.然而α与β又存在β(单位:X(单位:图2α(单位:度)X(单位:米)图3一定的矛盾，要使α大，β也跟着大，β小α又跟着小，难以同时满足，但β在小于 30的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同，此时可以只考虑α的取值.综合以上的分析可得问题一的求解模型为：α maxβS min⎪⎩⎪⎨⎧≤>=300301 ..ββS t s 由（6）式知道，α、β两个函数都是角度，数值上有良好的可比性，可以简单地取其加权和作为单一目标函数.题目中没有关于优先权及权重的规定，可以设α的权重为ρ，β 的权重为)1(ρ-，这里10<<ρ.这样便有：max βρρα)1(--S ……(*). ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=300301ββS 这里主观设ρ＝，把（6）式代入（*）式，并进行化简，代入已知参数 h=、 H=5、d=、c=、010=θ，用数学软件求解得，最佳座位约在点（,）处，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为6.23米，此处的仰角030=β，视角092.13=α. 使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ值（一般不超过020）设第i 排观众的满意度为i S ，则所有观众的平均满意程度nSS ni i∑==1，可见，平均满意度S 的大小由每一排的满意度i S 所决定，而i S 又是由仰角β和视角α所决定，所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：（1） 仰角β不超过030的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大. （2）所有座位的视角α的均值越大，观众的平均满意程度就越大.地板线倾角θ（00200≤≤θ）的改变将同时使所有座位的仰角β和视角α的大小发生改变，由（6）式可知，在某一座位（即x 取某一定值），在θ（00200≤≤θ）逐渐增大的过程中，θtan 增大，则β减小，仰角β不超过030的区域扩大，即地板线倾角θ（00200≤≤θ）越大，仰角β不超过030的座位所占的比例越大，由（1）、（5）式可得，030=β时x 与θ的关系：θθtan 373.1)tan 1513(9.0++=x (7)查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为=L 0.8m ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变.由图4可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角θ的关系为θcos L l = ，座位的总排数1][+-=l dD n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，用数学软件编程求出使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ值（00200≤≤θ）.（具体程序见附录） 算法设计思想：（1） 让地板线倾角θ在]20,0[0内逐一取值，步长为; （2） 让x 在[,19]内逐一取值，步长为l ；（3） 对一个取定的θ，判断x 所在的位置仰角β是否超过030，若仰角β超过030，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角β和视角α的取值，否则，只需要考虑视角α的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时θ的取值；（4） 改变θ值，重新求值、判断.计算结果为：005.15=θ，这个结果不影响最后一排观众，所以使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角θ约为015. 设计地板线形状以进一步提高观众的满意程度由上两问可知，观众的满意程度与仰角β、视角α和地板线倾角θ都有关，而每一图4座位到屏幕的水平距离（i x ）基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角β、视角α随着y 的变化情况.由（4）式可得：81.0)1.4(8.1arctan )2.3)(5(8.1arctan222--+=--+=y x xy y x x α ……（8） 由（8）式可知，当x 取某一定值时，α随y 先增后减，当1.4=y 时，α取得最大值.其实，由图5我们可以很直观的看出，当观众的眼睛在屏幕的中垂线上时(即1.4=y )，视角α达到最大值，越往两边，视角α就越小，当x 取某一定值时，视角α都在1.4=y 处取得最大值.图6为10=x 时α随y 的变化曲线：所以，要使每一个座位所对应的视角α取最大值，对应的y 值应在直线1.4=y 上.设计地板线应考虑以下几个方面：（1） 第i 排座位所在的位置应高于第1-i 排座位所在的高度（n i ,...,3,2=）；图6屏幕 （0，） （0，5） （0，） αα图5（2） 前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；（3） 视角α尽可能大，即眼睛的位置应尽可能分布在直线1.4=y 的附近； （4） 仰角030<β的座位所占的比例尽可能大.由上述可知，当观众的眼睛在1.4=y 上时，视角α达到最大值，所以在设计地板线时，应尽量使观众的眼睛分布在1.4=y 的附近.在影院的最后一排作一与屏幕平行且等长等高的线段1l ，连接屏幕的下端与线段1l 的上端，记此连接直线为2l ，取座位区域的中点M ，平移直线2l 使其经过中点M ，把地板线设计在与直线2l 平行且在此直线的正下方与此直线相距1.1米处，如图7所示：由图7可得：地板线的倾角：041.5)/arctan(==D h θ第一排观众眼睛所在的位置离地面的高度：41.32)()tan(1.41=-⋅-=d D h θ（m ） 第一排观众的仰角：0147.19arctan=-=dh D β 地板线前端离地面的高度：31.21.112=-=h h （m ） 地板线所在的直线：884.1095.0+=x y若观众的眼睛都在直线2l 上，就都能无遮挡的看到整个屏幕，又能使观众的眼睛尽可能分布在1.4=y 的附近，且在此区域内，所有观众的仰角都在030以内，此时观众的平均满意度可达到最大.图7根据最优地板线的设计知道，第一排座位以下（2.31m ）都是空置的，这样既浪费建筑材料，又浪费空间，我们可以把屏幕与地板线整体向下移动2.31m ，这样既不影响观众的平均满意度，又能节省材料与空间，操作性更强.5 模型的评价与推广5．1模型的评价 5.1.1 模型的优点：（1） 模型能抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角β和视角α），合理构造满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理.（2） 模型具有较好的通用性，实用性强，对现实有很强的指导意义. 5.1.2 模型的不足以及需要改进的地方：（1） 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同，实际情况并非如此，这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性.（2） 模型建立的过程中，以观众眼睛所在的点为坐高点，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡，在第三问中，我们把2l （连接屏幕的下端与线段1l 的上端，记此连接直线为2l ）适当下移，在使观众的平均满意程度达到更大的同时，也避免了遮挡情况的出现.5．2 模型的推广我们建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，本文所建立的模型不但能指导多媒体教室的设计，对标准篮球的设计也具有参考意义.运用我们所建立的模型，对于已知剖面来分析物体的形状这一类型的问题的处理有很好的参考价值.例如：运用该模型去解决房间的布局，旗杆高度的设计等相关的问题.参考文献：[1] 姜启源．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003 [2] 洪毅等．经济数学模型[M]．广东：广东华南理工大学出版社，1998 [3] 王庚．实用计算机数学建模[M]．安徽：安徽大学出版社，2000[4] 李海涛、邓樱等．MATLAB 程序设计教程[M]．北京：高等教育出版社，2004[5] 李世奇、杜慧琴等．Maple 计算机代数系统应用及程序设计[M]．四川：重庆大学出版社，1999附 录clear clck=0::20; m=0;v=0;for sita=k.*2.*pi./360 s=0;l=*cos(sita);n=fixl)+1;for x=:l:19if x<*(13+15*tan(sita))/+3*tan(sita)) s=s+*x/(x^2+ elses=s+*x/(x^2+ endendif s/n>m & tan(sita)*<m=s/n;v=sita;endendmv*180/pi}。
小影院座位安排问题
tan | x d tan 30 0 tan | x D 0
H c 3 d 3 H c ( D d ) t an 0
(5)
参数应满足条件
最佳位置
结 果
d x* D
x*
x* d
x* D
d
D
方法二
h k 记： 1 1 tan , k 2 H d tan c 2
2
(3)
x0
2
k1 h 2 2 2k 2 tan . x 4 k2 0
切点的坐标
x0 k 2 tan k tan
由 tan H f ( x) H c d tan tan x x
可见：随χ 的增大，仰角ω 减小 由几何知识知，当视点逐渐远离切点时，视角θ 也逐渐减小， 将视点沿χ 增大的方向移动以使仰角减小，当ω 恰好等于 30°时，即是所要求的最佳位置
t an30 t an x H c d t an
S x 140.1 28.3 tan 39.5 tan2
d sx 0 d
D 1 min S D d d Sdx 2 x 2 H c x d tan hH c x d tan S cot xh
S ( ) 52.96
2. f ( x) 0.12299 0.14333 0.00355 2 0.00003 3 x x x
S ( ) 58.43
2 2
2
k 1h 2 2 ×× 圆心横坐标 4 k 2 ÷×× ÷ ××
数学建模综合题影院座位设计问题概要
数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班20123203一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
数学建模,电影院座位数的设定
m< 查表可得 ， 1400−1.28× 300=1378 因此，新电影院的座位规模应在1378左 右为宜。
m−1400 ≤ −1.28 300
评注： 1、理论依据： 当n很大时，应用棣莫佛——拉普拉 斯定理对服从二项分布的相关概率用正 态分布近似计算。 2、应用与推广； 应用棣莫佛——拉普拉斯定理对一 些公共设施的设置量进行估价，在以一 定管理满足公众需求的条件下，确定最 小设置量，以免造成不必要的浪费。
X600× = 1200, D( X ) = 1600× × = 300 4 4 4
由棣莫佛——拉普拉斯定理，X——N （1200，300）。假定新设计电影院座位 数为m应满足 P{X ≤ m−200}≤ 0.1 ，所以
X −1200 m − 1400 X1 , X 2 ,...P{X ≤ m − 200} = P{ ≤ 300 300 m − 1400 = Φ( ) ≤ 0.1 300
设每日看电影的人依次编号为1，2，…， 1600 若第i号观众去看新电影院看电影 1 记 i 0 若第i号观众不去看新电影院看电影 3 1 = 按预计，应有P{Xi = 1} = = p, P{Xi = 0} = , q 4 4 假定各人是否去新电影院看电影是相互独立的， 则X 1 , X 2 ,... X 1600 是相互独立的随机变量，则去新 3 X= 么 电影院看电影的总人数为： X1 +X2 +...+X1600,那 X~B(1600, )
电影院座位数的设定
某地区有家小电影院，因该地区每日平均看 电影者均达1600人，小电影院不能满足需求， 故规划部门打算再建一座新电影院。预计新电 影院落成后，平均有3/4的观众会去这座电影 院看电影。在设计新电影院的座位规模时有这 样的考虑，希望座位数要尽可能地多，但“空 座位达到200位或更多”的概率要不超过0.1， 依目前的情况，新电影院设多少个座位比较合 适？
数学建模解决电影院座位安排问题
数学建模解决电影院座位安排问题介绍电影院座位安排问题是一个涉及数学建模的实际问题。
在繁忙的电影院中，如何高效地安排座位，以满足观众的需求，是一个重要的问题。
本文将利用数学建模的方法来解决这一问题。
问题描述电影院座位安排问题的目标是在给定的座位布局和观众的需求下，找到一种合适的座位安排方案。
观众通常会提供自己的座位偏好，例如靠近屏幕或靠近出口。
同时，电影院还需要考虑座位之间的空间要求，并保证每个座位都能被合理利用。
数学建模方法1. 座位分配算法为了高效地安排座位，我们可以使用贪心算法。
首先，根据观众的座位偏好进行排序，然后按照顺序分配座位。
如果观众的偏好相同，则可以考虑分配距离屏幕最近的座位。
2. 座位布局优化为了确保每个座位都能被合理利用，我们可以使用图论中的最大匹配算法。
将座位布局看作是一个二分图，观众和座位分别作为图的顶点，根据观众的座位偏好和座位之间的空间关系建立边。
然后，使用最大匹配算法找到最优的座位分配方案。
3. 座位调整策略在实际运行中，可能会出现观众需要调整座位的情况，例如不满意当前的座位。
为了避免频繁的座位调整，我们可以使用图的染色算法。
将每个观众看作是一个顶点，并根据他们的座位偏好和距离等因素，确定他们在座位中的位置。
然后，使用染色算法为每个观众分配一个颜色，表示他们的座位偏好。
这样，当观众需要调整座位时，我们只需要调整同一颜色的座位。
结论通过数学建模的方法，我们可以解决电影院座位安排问题。
通过合适的座位分配算法、座位布局优化和座位调整策略，我们能够提高观众的满意度，并在电影院的座位安排上实现高效和合理。
数学建模综合题影院座位设计问题
数学建模综合题影院座位设计问题(共14页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班刘泽材料学院材料成型及控制工程04班杨海鹏材料学院冶金工程03班一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=. H=5， 4.5,19==，c=(单位m)。
d D求解以下问题：θ时，求最佳座位的所在位置。
(1) 地板线的倾角010=(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为m；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
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数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班刘泽材料学院材料成型及控制工程04班杨海鹏材料学院冶金工程03班一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =. H =5， 4.5,19d D ==，c =(单位m)。
求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。
根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。
对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。
四、符号说明α 水平视角δ视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 β 仰角αS 观众对水平视角为α的满意程度 θ 地板线与水平线的倾角βS观众对仰角为β的满意程度 d 第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D 最后一排离屏幕水平距离 βαc c , 视角α、仰角β在综合满意度i S 中的权重h 屏幕的高度l 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角α和仰角β，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。
5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：其中，AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。
则由图可设视觉线OE 上任意一点P 的坐标为)tan ,(θx x ，屏幕上下点的坐标分别为),(c H d A --，),(c h H d B ---，AP 的斜率记为AP k ,BP 的斜率记为BP k 。
由斜率公式得：)(tan tan d x c H x k AP --+-=-=θβ，)(tan )tan(d x ch H x k BP --++-=--=θαβ则直线AP 和BP 的斜率与夹角α满足如下关系：)tan )(tan ()()(1tan 2c h H x c H x d x d x h k k k k AP BP AP BP ++-+-+++=+-=θθα仰角满足条件：]30,0[ ∈β 所以：33)(tan 033tan 0≤--+--≤⇒≤≤d x cH x θβθθtan tan 3333cH x d c H -≤≤+-- 由公式 得到模型为：)tan )(tan ()()(arctanmax 2c h H x c H x d x d x h ++-+-+++=θθα⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+---≤≤θθtan tan 33330..c H x d c H d D x t s模型Ⅰ的求解当 10=θ时，用Matlab 软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为 9522.13=α，仰角为 30=β，7274.1=x 米。
即P 点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。
离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4=+。
模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l （查阅相关资料间距一般取米），则在水平方向的间距为θcos l ，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。
对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos )1(tan cos )1()(tan tan d l k cH l k d x c H x ---+---=--+--=θθθθβ)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((tan 2c h H l k c H l k d l k d l k h ++--+--++-+-=θθθθθθα其中，n k ,,3,2,1 =，n 为地板线上的座位的总排数，且191]cos 5.14[=+=θl n 。
一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。
本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。
由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k 排座位，建立观众对视角α、仰角β的满意度函数]1[如下：minmax mintan tan tan tan ααααα--=k k Sminmax mintan tan tan tan 1βββββ---=k k S式中k k βα,为第k 排座位上观众视角和仰角，max max ,βα表示在θ给定的情况下最优满意度，min min ,βα表示在θ给定的情况下最差满意度。
视角α、仰角β在综合满意度k S 中的权重分别为βαc c ,，建立第k 排座位综合满意度函数如下：βαββααc c S c S c S kk k ++=根据地板线倾角︒=10θ，通过计算可以得出 8975.154210.5≤≤α，9149.400451.4≤≤β，主观给定权重4.0,6.0==βαC C ，根据模型的建立，可以得出：1357.0tan 5025.0tan 1596.34.06.04.06.0+-=++=++=k k kk kk k S S c c S c S c S βαβαβαββαα将式和式带入公式得到优化模型为：1357.0)(cos )1(tan cos )1(5025.0)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((*1596.3max 2+---+--+++--+--++-+-=d l k cH l k c h H l k c H l k d l k d l k h S k θθθθθθθθθ 19,,3,2,1,cos )1(tan tan 33330.. =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≤≤+---≤≤k l k x c H x dc Hd D x t s θθθ模型Ⅱ的求解用Matlab 软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2=x 米，4=k 排，最大满意度为6176.04=S ,最大视角为 1282.13=α，仰角为 9084.26=β,最佳位置离屏幕的水平距离为米8635.63635.25.4=+。
问题二模型Ⅲ的建立要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S 的最大值。
由模型Ⅱ可知，第k 排观众的满意度为S ,则观众平均满意程度函数为：n S S nk k ∑==1，平均满意度S 的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角β和视角α所决定。
所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。
由式可知，地板线倾角θ的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即x 取某一定值)，在θ逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。
仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角θ越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。
θ角变化α角变化θ角变化β角变化图2 视角α和仰角β随θ变化的变化曲线第一排观众的仰角为 9149.40=β，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k 排座位所对应的仰角的正切值：n k d l k cH l k k ,,3,2,1,)(cos )1(tan cos )1(tan =---+---=θθθβ其中n 为地板线上的座位的总排数：1]cos 5.14[+=θl n ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。
由于地板线倾角θ不超过 20，所以2019≤≤n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即 0543.15≤θ。
由模型Ⅰ可求出第k 排座位所对应的水平视角的正切值为：)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((tan 2c h H l k c H l kd l k d l k h ++--+--++-+-=θθθθθθα 模型Ⅲ的求解让地板线倾角θ在]20,0[ 内逐一取值,步长为 01.0；让x 在]5.14,0[内逐一取值,步长为。
对一个取定的θ，判断x 所在的位置仰角是否超过 30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角β和视角α的取值；否则，只需要考虑视角α的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时θ的取值。
当取地板线倾角为θ变化时，通过计算可以得出 8975.151143.5≤≤α，9149.400≤≤β。
由模型Ⅱ的式得：=++=++=4.06.04.06.0kk kk k S S c c S c S c S βαβαββαα （）所以，将式和式带入公式得到平均满意度的优化模型为：nSS nk k∑==1max取整数其中n n k l k x d D x n t s ,,2,1,cos )1(00543.1502019. =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≤≤≤≤≤≤θθ 用Matlab 软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为6572.0=S ，对应地板线的倾角为 0543.15=θ。