高中数学干货资料-压轴题中的对数平均不等式链
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。
在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。
本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。
一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。
对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。
例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。
对数平均不等式的相关性质
对数平均不等式的相关性质引言对数平均不等式（logarithmic mean ___）是数学中一个重要的不等式，常用于分析各种数学问题。
定义对数平均值（logarithmic mean）的定义如下：给定两个正实数$a$和$b$，对数平均值（LM）表示为：$$LM(a, b) = \frac{1}{\ln(b)-\ln(a)}\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\ dx$$性质对数平均不等式具有以下性质：1. 凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：凸性：对数平均函数是一个凸函数，即对于任意的正实数$a$、$b$以及$t \in [0, 1]$，有：$$LM(ta + (1-t)b) \leq t\cdot LM(a) + (1-t)\cdot LM(b)$$这个性质可以通过对对数平均函数求二阶导数并证明该函数为凸函数来得到。
2. 对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：对称性：对数平均函数对称于$a$和$b$，即对于任意的正实数$a$和$b$，有：$$LM(a, b) = LM(b, a)$$这个性质可以通过对对数平均函数的积分进行换元并证明两个积分结果相等来得到。
3. 等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
这个性质可以从对数平均函数的定义中直接得到。
等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
这个性质可以从对数平均函数的定义中直接得到。
等式成立条件：当且仅当$a = b$时，对数平均等式取等号，即$LM(a, b) = a$。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中的一种重要不等式，它常常被用于证明和推导其他数学定理。
在本文中，我们将介绍对数平均不等式的定义、证明以及一些应用。
一、对数平均不等式的定义对数平均不等式又称为加权对数平均，它是指对数平均和算术平均之间的不等关系。
具体来说，设x_1, x_2, ..., x_n是n个正实数，a_1, a_2, ..., a_n是n个非负实数且满足a_1 + a_2 + ... + a_n = 1，则对数平均不等式定义为：(\prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i})^{\frac{1}{1}} \geq (\sum_{i=1}^{n} a_ix_i)\prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i}表示x_i的加权乘积，\sum_{i=1}^{n} a_ix_i表示x_i的加权和。
二、对数平均不等式的证明对数平均不等式的证明可以通过多种方法，其中一个比较简单的证明思路如下：假设n=2，即x_1和x_2是两个正实数，a_1和a_2是两个非负实数且满足a_1 + a_2 = 1。
我们需要证明以下不等式成立：(x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2})^{\frac{1}{1}} \geq (a_1x_1 + a_2x_2)我们可以通过将不等式两边同时取对数，化为等价的形式，即证明以下不等式成立：\frac{1}{1} \cdot (a_1\ln{x_1} + a_2\ln{x_2}) \geq \ln{(a_1x_1 + a_2x_2)}进一步化简得到：a_1\ln{x_1} + a_2\ln{x_2} \geq \ln{(a_1x_1 + a_2x_2)}通过进一步变形和化简，可以得到对数平均不等式成立的结论。
对于n > 2的情况，证明的思路和方法也是类似的，只是需要进行更多的数学推导和变形运算。
有兴趣的读者可以尝试通过数学归纳法或其他方法进行证明。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中常见的不等式之一，它通常用于证明和推导各种数学问题。
本文将对对数平均不等式进行详细的证明和应用进行讨论。
对数平均不等式又称为几何平均与算术平均的不等式，通常表现为ln(x1) +ln(x2) >= 2ln(√(x1*x2))。
下面我们将对此公式进行证明。
假设x1和x2是两个大于0的实数，并且x1≠x2。
我们定义a = ln(x1)和 b = ln(x2)，则有x1=e^a，x2=e^b。
对于任意两个实数a和b，我们有以下公式：e^a + e^b >= 2√(e^a * e^b)将x1和x2代入上式得：x1 + x2 >= 2√(x1 * x2)对上式两边取对数得：利用对数的性质ln(a* b) = ln(a) + ln(b)，将右侧拆开得：将a和b重新代入得：ln(x1 + x2) >= ln(2) + 1/2 * ln(x1) + 1/2 * ln(x2)由于ln(2)为常数，我们令-ln(2) = k，那么有：将ln(x1 + x2)右侧移至左侧得：二、对数平均不等式的应用对数平均不等式可以应用于各种数学问题中，下面我们将举例说明其应用场景。
1. 几何平均和算术平均关系的证明ln(x1) + ln(x2) >= 2ln(√(x1*x2))ln(x1 * x2) >= 2ln(√(x1*x2))ln(x1 * x2) >= ln((√(x1*x2))^2)x1 * x2 >= (√(x1*x2))^2由上述推导可知，x1 * x2 >= (√(x1*x2))^2。
这表明x1 * x2的值大于或等于其平方根的平方，即x1 * x2的值大于或等于x1*x2。
我们可以得出结论：几何平均大于等于算术平均。
2. 凸函数的性质证明对数平均不等式也可以用于证明凸函数的性质。
假设f(x)是一个凸函数，我们需要证明对于任意x1和x2，有以下不等式成立：根据凸函数的性质和对数平均不等式，我们可以推导出上述不等式成立。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中的一种重要不等式，它描述了一组正数的平均数和几何平均数之间的关系。
对数平均不等式的证明和应用在不同领域都有着重要的意义，比如在概率论、统计学、金融学等领域都能找到它的影子。
在本文中，我们将对对数平均不等式进行详细的介绍，包括其定义、证明和应用。
一、对数平均不等式的定义对数平均不等式通常是指调和平均数、几何平均数和算术平均数之间的关系。
如果有n个正实数a1，a2，...，an，那么它们的调和平均数、几何平均数和算术平均数分别为：调和平均数H = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)对数平均不等式表示为：G ≤ A ≤ H等号成立的条件是a1 = a2 = ... = an，即所有的数相等。
对于n个正实数a1，a2，...，an，我们可以使用数学归纳法来证明对数平均不等式。
我们来证明对数平均不等式的一个特例：n=2。
当n=2时，我们有两个正实数a和b，则它们的调和平均数、几何平均数和算术平均数分别为：G = √(ab)A = (a + b) / 2(G/A) ^ 2 = (ab) / ((a+b)/2)^2 = 4ab / (a+b)^2我们可以把上式转化为4ab ≤ (a+b)^2化简得显然成立。
G ≤ A。
再来证明A ≤ H：= 1/2通过上述证明，我们得到了n=2的情况下的对数平均不等式成立。
接下来，我们可以使用数学归纳法来证明n>2时的情况。
这里不再赘述。
对数平均不等式在不同领域都有着重要的应用。
我们以概率论中的应用为例来说明。
在概率论中，我们经常会遇到一些随机变量的期望值，而对数平均不等式可以帮助我们对这些期望值的大小进行估计。
设X1，X2，...，Xn是n个非负随机变量，我们可以使用对数平均不等式来估计它们的算术平均数和几何平均数之间的关系。
设E(Xi)表示随机变量Xi的期望值，那么有对数平均不等式：E(∏(Xi)^(1/n)) ≤ ∏(E(Xi))^(1/n) ≤ E(∑(Xi)/n)其中∏表示求积，∑表示求和。
对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTPaS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ()11111222AUTP ABCDb aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ② 另外，ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b aab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+， 即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2()2202ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTPaS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ()11111222AUTP ABCDb aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ② 另外，ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b aab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+， 即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2()2202ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
高考数学 高考试题的探究第二集对数平均数的不等关系链的应用素材 试题
对数平均数的不等关系(gu ān xì)链的应用中学数学(shùxué)教育专家安振平在剖析2021年高考数学时指出，其压轴题的理论背景是：当时，.其中(qízhōng)被称为(chēnɡ wéi)对数平均值.对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个到达不等式证明的目的．1的应用例1 〔2021年〕设函数，，其中是的导函数．〔1〕〔2〕〔略〕 〔3〕设，比拟与的大小，并加以证明．解析 〔3〕因为，所以，而，因此，比拟()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比拟与的大小即可．根据0ba 时，，即令那么所以，，，将以上各不等式左右(zu ǒyòu)两边相加得：，故.评注(píngzhù) 此题是高考试题的压轴题，难度较大(jiào dà)，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子〞，尽管如此，步骤仍然繁琐，求解过程复杂，但我们(w ǒ men)这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0ba 时，，即令,1,a n bn那么可得：. 例2 〔2021年〕函数的最小值为0．〔1〕〔2〕〔略〕〔3〕证明：解析 〔3〕易求，待证不等式等价于．根据0b a 时，ln ln b abb a，即1ln ln ,ba b a b令那么将以上各不等式左右两边分别相加得：，.得证.2 的应用(yìngyòng)例3 设数列(shùliè)的通项，其前项的和为，证明(zhèngmíng)：．解析(ji ě x ī) 根据0ba时，，即，令那么，易证()ln 1n S n <+．3 的应用例4 设数列{}n a 的通项，证明：．解析 根据0ba 时，，即，令那么，易证()ln 21n a n <+．4 的应用例5 〔2021年〕函数的图象在点处的切线方程为．〔1〕用表示出；〔2〕〔略〕〔3〕证明：解析(ji ě x ī) 〔1〕； 〔3〕当0ba 时，，即，令,1,a n b n 那么(nà me)所以(su ǒy ǐ)，111ln 1ln ,21n nnn将以上(y ǐshàng)各不等式左右两边分别相加得：即故例6 〔2021年新课标Ⅰ〕函数．〔1〕假设时,求的最小值；〔2〕设数列{}n a 的通项111123n a n=++++，证明：．解析 〔1〕易得．令那么假设，那么当时，是增函数，不符合题意；假设，那么当时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；假设，那么当0x >时，是减函数，符合题意；综上，λ的最小值是．〔2) 当0b a时，211ln ln b ab aab，即111ln ln 2b ab a a b，令,1,a n b n 那么(nà me) 111ln 1ln ,21n nn n 所以(su ǒy ǐ)111ln 1ln ,21n nnn将以上各不等式左右两边(li ǎngbi ān)分别相加得：即故．评注(píngzhù)此题提供HY答案是借助于第一问的 的最小值时，加以赋值，并进展变形，令，有，亦即到达放缩的目的.两者相比拟，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.5 的应用(yìngyòng)例7 〔2021预赛(yùsài)〕．〔1〕〔略〕〔2〕求证(qiúzhèng)：对一切(yīqiè)正整数n均成立．b a时，，即解析〔2〕根据0b n a n 那么令21,21,变形可得：那么将以上各不等式左右两边相加得：对一切正整数n均成立．评注此题提供HY答案是借助于第一问的a 的最小值时，,即，结合待证不等式的特征，令，得，整理(zhěnglǐ)得：，即,借此作为放缩的途径到达证明的目的(mùdì)．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用(yùnyòng)是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式是数学中的一种重要不等式，在数学和物理学等领域广泛应用。
本文将从定义、推导及应用三个方面来介绍对数平均不等式。
一、定义
对数平均不等式是指，对于任意正数a1、a2、a3、……an，有如下不等式成立：
(loga1 + loga2 + loga3 + ……+ logan)/n ≥ log(a1a2a3……an)^(1/n)
其中，log表示以10为底的对数。
二、推导
对数平均不等式的推导过程如下。
首先，我们将对数平均不等式中的对数式子改写为指数形式：
将这些式子代入对数平均不等式，我们得到：
((e^(ln a1)) × (e^(ln a2)) × (e^(ln a3)) × …… × (e^(ln an)))^(1/n) ≥ (a1 × a2 × a3 × …… × an)^(1/n)
化简后，得到了等价形式的对数平均不等式：
三、应用
对数平均不等式在数学、物理学等领域都有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1.证明算术平均不等式
这个不等式的证明可以通过对数平均不等式来完成。
只需要将两边取自然对数，再应用对数平均不等式，就能得到算术平均不等式。
总之，对数平均不等式是一种非常重要的不等式，广泛应用于各个领域。
我们可以通过对数平均不等式来证明其他不等式，甚至是推导出一些新的数学结论。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中的一个重要定理，它常用来证明不等式、推理问题以及在各种数学分支中的应用。
在本文中，我将为您详细介绍对数平均不等式的证明和应用。
让我们来了解一下对数平均不等式的定义。
对数平均不等式可以用来表示一组非负实数的平均值。
对于一组非负实数a1, a2, ..., an，它们的对数平均不等式可以表示为：ln((a1 + a2 + ... + an)/n) ≥ (lna1 + lna2 + ... + lnan)/nln表示自然对数。
这个不等式告诉我们，一组非负实数的算术平均的对数大于等于这组数的对数的算术平均。
接下来，我们将探讨对数平均不等式的证明方法。
证明：证明对数平均不等式，我们可以使用几何平均和算术平均的性质来推导。
我们知道一组非负实数a1, a2, ..., an的几何平均值定义为：G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)而这组数的算术平均值定义为：接下来，我们对几何平均值取对数：现在我们来比较lnA和lnG：我们定义一个新的函数f(x) = ln(x)，然后对f(x)进行泰勒展开：f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + O((x-a)^2)将a设为1，我们将得到：由于这里涉及到泰勒展开，我们在此略去具体的数学推导，但可以证明上面的式子大于等于0，即对数平均不等式成立。
应用：对数平均不等式常常用来证明其他不等式。
当我们需要证明某个不等式时，可以尝试将其转化为对数平均不等式，然后通过证明对数平均不等式来推导出原始不等式。
对数平均不等式还可以应用在概率论、信息论、统计学等领域。
在这些领域中，对数平均不等式可以用来分析随机变量的期望值、熵的性质等问题。
对数平均不等式还可以与其他数学定理和不等式结合使用，以推导出更复杂的结论。
在微积分中，我们可以与柯西-施瓦茨不等式结合使用，来推导一些复杂函数的性质。
对数平均不等式是数学中一个非常重要的定理，它不仅具有重要的理论意义，还可以在各个数学领域中得到应用。
对数平均不等式的应用
对数平均不等式的应用【例1】已知函数()e x f x x -=，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>． 【例2】已知函数()ln f x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：1221x x<．【例3】已知函数()ln f x x =和()g x ax =，若存在两个实数12,x x 且12x x ≠，满足11()(),f xg x =22()()f x g x =，求证：122x x a+>【例4】已知函数()f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是 .Aa e >.2B x x +> .1C x x > .D 有极小值点x ，且2x x x +< 【例5】设函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点是12,x x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 【证明】由题意得21112222ln (2)0ln (2)0x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩，两式相减得12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，[]121212ln ln ()()2x x x x a x x a -=-++-，则【例6】设函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点是12,x x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭【例7】设函数()x f x e ax a =-+，其图像与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <， 证明：0f <。
【思路分析】'(),x f x e a =-当0a ≤时，'()0f x >恒成立，不合题;当0a >时，令【题型2】(0)ln ln b a a b a>>>-的应用【例8】设函数()ln(1),()()f x x g x xf x '=+=，其中()f x '是()f x 的导函数,设n N +∈，比较12111()231231n g n n n n ⎛⎫++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭，()g n ++与()f n -的大小，即只需比较0>时， ln ln b a b b a ，即)ln ln ,b a b a ,1a n b n ,则1ln(1)ln 1n n n ,所以11ln 2ln1ln 2,ln 3ln 2,,ln(1)ln 31n n -=<-<+-+， 将以上各不等式左右两边相加得：11ln(1)31n n ++<++，故(1)(2)()()g g g n n +++>.捷，别具新意，易于学生理解、掌握ln b a a b a，即1ln ln ()ab a a ,令,1a n b n ，则11)ln ,nn可得111ln(1)123n n. 【例9】已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>的最小值为0，证明：12ln(21)2(*).21ni n n N i =-+<∈-∑【证明】易求1a =，待证不等式等价于2222ln(21)35721n n ++++<+-,根据0b a 时，ln ln b a bb a ，即1()ln ln b a b a b,令21,21a n b n ,则22222ln(21)ln(21),ln3ln1,ln5ln3,ln 7ln5,,2(1)121357n n n n2ln(21)ln(21)2(1)1n n n ,将以上各不等式左右两边分别相加得：2222ln(21)572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑,得证. 【题型3】22(0)2ln ln a b bab a b a的应用】设数列{}n a 0b a时，22ln ln b b a ba，即222()ln ln b a b aa b ，令1,b n a n ,22222221)ln (1)221222n nna nn nn nn ，易证ln(n S <【题型4】(0)2ln ln a bb aba b a的应用【例11】设数列{}n a 的通项111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+． 【证明】根据0b a 时，2ln ln a bb ab a，即2()ln ln b a b a a b ，令21,21bn a n ,11)ln(21)nn n ，易证ln(21)n a n <+．【题型5】2(0)11ln ln bab a baab 的应用 【例12】已知函数()(0)b f x axc a x的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1yx ．证明：1111ln(1),(1)232(1)nn n nn0b a时，211ln ln b ab aab ，即111ln ln ()2b a b a a b，,1an b n 则111ln(1)ln 21n n nn , 所以111111ln 2ln1,ln3ln 2,212223， 1111)ln 21n nnn ,将以上各不等式左右两边分别相加得： 1111111)22342(1)n n n ,即111111ln(1)12342(1)2n n n , 1111ln(1)232(1)nn nn .【例13】已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+．⑴若0x ≥时, ()0f x ≤,求λ的最小值；⑵设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 2n n a a -+>． 2(12)x x λλ--0b a时，211ln ln b ab aab ，即111ln ln ()2b ab a a b， ,1an bn ,则111ln(1)ln 21n n n n ,所以111ln(1)ln ,21n nnn1111112)ln(1),ln(3)ln(2),212223nn n n n nn n111ln(21)2212nn n n ,将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln ,2123212n n n n n n n n 即1111112,2123214n n n n n n 故1111ln 21224n n n n++++>++．【题型6】(0)ln ln b aab b a b a的应用 【例14】已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． 求证：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．0b a 时，ln b a ab b a，即ln b a baab,21,21bn a n ,则22ln(21)ln(21)41n n n,变形可得：22221142ln(21)ln(21)414141n n n n n n n ,则 22221311(ln3ln1),(ln5ln3),,ln(21)ln(21),4114421441n n n n 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-切正整数n 均成立．。
高考数学知识点复习：对数平均不等式的应用
专题8对数平均不等式的应用秒杀秘籍:第一讲对数平均不等式的概念两个正数a 和b 的对数平均定义：()(,)ln ln ().a ba b L a b a b a ab，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bab L a b（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b 时，等号成立．只证：当a b 时，(,)2a b ab L a b ，可设a b .（1）先证：(,)ab L a b ……①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a b a a b aa b x x x b b a x b ab其中构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x ，则22211()1(1)f x x x x.因为1x 时，()0f x ，所以函数()f x 在(1,) 上单调递减，故()(1)0f x f ，从而不等式①成立；（2）再证：(,)2a b L a b ②不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)aa b a x a b a b x x a a b b x b b其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x ，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x .因为1x 时，()0g x ，所以函数()g x 在(1,) 上单调递增，故()(1)0g x g ，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对,a b R，都有对数平均不等式(,)2a bab L a b 成立，当且仅当a b 时，等号成立．秒杀秘籍:第二讲利用定积分秒杀对数平均不等式证明如右图1所示，在反比例函数 x x f 1上任取两点b b B a a A 1,,1,，点b a b a C 2,2为AB 在双曲线上的中点，x AA 1轴交其于1A ，x BB 1轴交其于1B ，过C 作双曲线切线交1AA 和1BB 于E D ,两点，根据 a b b a dx x S S ba A DEB A ACBB211111，即2ln ln b a a b a b 如右图2所示，在 x x f 1 上任取两点 b b B a a A 1,,1,，x AA 1轴交其于1A ，x BB 1轴交其于1B ，根据1111A ABB A ABB S S 曲aba b a b a b a bdx x b a2ln ln212111，即abab ab ln ln考点1指数换对数的证明极值偏移问题【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f )(，如果21x x 且)()(21x f x f ，证明：221 x x ．解：212121,00),()(x x x x x f x f ，∵，（请读者自己证明）22112121ln ln ln ln 2121x x x x e x e x e x e x x x x x ，整理可得1ln ln 2121 x x x x 2ln ln ba b a b a ∵， 21ln ln 212121x x x x x x 即221 x x 【例2】已知21是函数ax e x f )(的两个零点，且21x x ，其极值点为0．（1）求a 的取值范围；（2）求证：0212x x x ；（3）求证：221 x x ；（4）求证：121 x x .解：（1） 0ln 00 a a x a e x f x ，故 x f 在区间 a ln ,，在区间 ,ln a ，若ax e x f x )(有两个零点，则 1ln 0ln ln ln a a a e a f a ，即e a ；（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F ，则2ln 0')'()'(2)2x a x F x f x f x x e e a -=+-=+-（，当a x ln 时，022)('ln 2 a x F ea则x F ；得 0ln )( a F x F , x x f x f a F x F 02,0ln )(，其中0x x ；将1x 代入不等式得,2,,),2)(010*******x x x x x x x x x f x f 又（)(x f 在 ,0x 上 ，故1022x x x ，即1202.x x x +<（3）（4）：又121200x xe ax e ax 1122(1)(2)x lna lnx x lna lnx (1)(2) 得1212x x lnx lnx 1212121212x x x x x x lnx lnx 122x x ，121x x 第（2）问也可以通过第（3）问结论用对数平均不等式秒杀，（1）+（2）得：12120222x x lna lnx x lna x 若出现a x x 21或者b x x 21时，属于正常的作差代换，构造出2ln ln 21212121x x m x x x x x x，由模型一即可秒杀，遇到a x x 21或者b x x 21时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式．【例3】已知函数ln ()x f x x，如果12x x 且12()()f x f x ，求证：212x x e ．证明：因为12()()f x f x ，所以可设1212ln ln x x m x x 1112ln ln (1)(2)x m x m x x （1）+（2）得1212ln ln ()(3)x x m x x ；（1）-（2）得1212ln ln ()x x m x x 1212ln ln x x m x x，代入（3）得mx x x x m x x x x 2ln ln 21ln ln 21212121，2ln ,2ln ln 12121 x x m x x m ，综上212x x e ．【例4】已知ln()0x m mx ，（1m ）有两个根1x ，2x ，求证：120x x ．证明：令11ln()mx x m （1）22ln()mx x m （2）12121212(+)1ln()ln()ln()ln()x x x m x m m x m x m x m x m）（121()(+)x m x m m，1221()(+)x m x m m 再由1212121212121ln()ln()ln()ln()ln()ln()x x x x x x x m x m x m x m x m x m m得：121212ln()ln()ln()(+)x m x m x m x m x x m m21lnln 20m m m m，（m >1） 120x x 考点3中点导数问题点差法题目给到 122102x x x x x，涉及证明 00 x f 或者 00 x f 时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法（作差，同除()12x x -，取中点）；当出现03221x x f 、 12103121 x x f 之类题型时，要转化为02322121x x f x x f ，也属于对数点差法系列．【例5】（2011•辽宁卷）已知函数2()ln (2)f x x ax a x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x 的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x ．解：（1）略．（2） 000122f x ax a x ，由12()()0f x f x 21112222ln (2)0(1)ln (2)0(2)x ax a x x ax a x 22121212(1)(2):ln ln ()2()x x a x x a x x ，同除以 12x x 得，121212ln ln 20x x a x x a x x 要证0()0f x ，只需证012012122220ax a a x x a x x x ；只需证1121221122ln ln 222a x x a a x x a x x x x x x ；根据对数平均不等式1212122x x x xlnx lnx ，故原命题得证．【例6】（2018•全国卷I ）已知函数1ln f x x a x x.（1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 存在两个极值点12,x x ，证明：12122f x f x a x x ．解：（1）略。