2016年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 图形面积问题导学案
九年级数学上册第2章《用因式分解法求解一元二次方程》导学案(北师大版)
用因式分解法求解一元二次方程（导学案）目标：1、学会用分解因式法（提公因式法、公式法）解一些简单的一元二次方程；2、能根据具体的一元二次方程的特征灵活选择适当的解法，体会解决问题方法的多样性和选择性。
重点：分解因式法解一元二次方程。
难点：根据具体的方程灵活的选择适当的解法。
学法指导1、预习（1）阅读并理解教材P46—P47，知道什么是分解因式法，注意分解因式法解一元二次方程的基本步骤。
把存在的疑惑标注出来。
（2）在阅读理解课本内容的基础上，逐步完成导学案，并把存在的问题标注出来。
2、展示（1）小展示:小组内对学群学，解决独学所存在的问题。
（2）大展示:小组派代表在全班展示（没有展示的同学观察和思考其他组展示的内容）。
3、反馈：（目标检测）一、学前准备1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。
3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0二、探究活动【合作·沟通】1、自主探究·解决问题一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。
“且”是“二者同时成立”的意思。
★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
2、师生探究·合作交流例：解下列方程 ：(1). 5x 2=4 x (2). x -2= x (x -2) (3).( x +1)2-25=0三、拓展提高1、选择适当的方法解一元二次方程（1） x x x 22)1(3-=- （2）2422+=+y y y2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？四、学习收获：（师生互相交流总结）1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。
(北师大版)九年级上册数学第二章《一元二次方程》导学案 配方法
2.2.1配方法解一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解一元二次方程；理解配方的概念并掌握配方的技巧；2．通过自主探索和小组合作，学会运用配方法解一元二次方程；3．激情投入，全力以赴学习，在不断的探索中享受学习的快乐。
【学法指导】1．用10分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识，并借助《教材解读》自主学习，理解配方的概念并掌握配方的技巧。
2．认真完成导学案的问题；3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问写出来，以求课堂上解决。
【课前导学】一、探究新知：知识点1：直接开平方法解一元二次方程：【知识链接1】求一个非负数的平方根：如果92=x ，则x =_______；如果52=x ，则x =_______；如果02=x ，则x =_______。
试求下列方程的根：(1)092=-x (2)052=-x【提示】当满足方程的解不止一个时，为了区分，应把方程的解写为1x 、2x 的形式。
一般情况下，方程解的个数与其次数一样。
【探究1】1、对于方程4)3(2=+x ，你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的？2、你能把方程0562=++x x 转化成4)3(2=+x 吗？你是如何转化的？知识点2 ： 配方法解一元二次方程【知识链接2】1、完全平方公式——运算形式形如222b ab a +±的二次三项式。
试着写出两个完全平方式：___________________，_____________________。
【探究2】对于方程02=++q px x ，可先将方程变形为______2=+px x ，然后将方程左边进行配方(根据等式基本性质，两边同时加上2)2(p(一次项系数的一半的平方)即可)，如0562=++x x ，移项得：______62=+x x ，两边同时加上_____，可得____________，从而得__________________，这样就可以用“开平方”的方法求解方程了。
2016年秋季新版湘教版九年级数学上学期2.2、一元二次方程的解法导学案1
1·2 解一元二次方程的算法1·2·1因式分解法，直接开平方法（1）学习目标：1、能够通过降次化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法和直接开方法解一元二次方程。
学习过程：一、课前热身：1、分解因式:a –b =2、分解因式：x -16=3、如果a·b=0，那么a = 或b=二、快乐自学：1、对照学习目标自学教材P5-P8练习上的内容。
2、自学检测：⑴如果x的平方是a，那么x=（）⑵（x+3） =16中，（x+3）是的平方根，所以（x+3）=或⑶9x -49=0的解是（）⑷若（x+2）（x－3）=0，那么x+2=0或x－3=三、合作探究：1、用两种方法解方程：（2x+1） -9=02、解方程：4（3x-1） -5（3x-1） =0四、课堂小结：我们学习了（）法和（）法解一元二次方程。
例如4x =25适合用（）法，（x－1） -9=0适合用（）法。
五、当堂训练：A组题：1、若x =1，则x= ；方程（x－1）（ x -2）=0的解是2、一元二次方程x -4=0的解是3、解方程：25-4x =0 （1-2x） -3=0B组题：4、用因式分解法解下列方程:2(x－1) + x =1 ( x -4)( x-2)+2x = x +25、若2 x +3 与2 x -4 互为相反数，求x 的值。
6、若（ a + b -3）=25，求a + b 的值。
7、请写出一个一元二次方程，使它的两根分别为2和 3.这个方程是（）。
六、学后反思：。
2016年秋九年级数学上册第2章一元二次方程小结与复习导学案(新版)湘教版
一元二次方程【学习目标】1 •进一步理解一元二次方程的有关概念.2 •能灵活运用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程.3 •进一步提高建一元二次方程模型解决实际问题的能力.【学习重点】一元二次方程的解法与应用.【学习难点】一元二次方程的应用。
情景导入生成问题【本章知识结构】【基础知识梳理】1 •一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是：ax2+ bx + c = 0(a丰0).2 •一元二次方程的解法(1) 解一元二次方程的基本思路是降—(即转化为解两个一元一次方程)• 一元二次方程的解法有：配方法，公式法，因式分解法等.(2) 一元二次方程的求根公式是b±2；—4aC(b2—4ac》0) •其中b2_4ac叫作一元二次方程根的判别式.当b2—4ac>0时，它有两个不相等的实数根；当b2—4ac二0时，它有两个相等的实数根；当b2—4ac<0时，它没有实数根.2 b c⑶若设一元二次方程ax2+ bx + c = 0(a丰0)的两实根为X i、X2，贝U X i + X2 =— , X i X2=a a3 •一元二次方程的应用(1) 解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答2⑵ 平均增长率(降低率)问题的常用公式：a(1 ± x) n = b.自学互研生成能力知识模块一 一元二次方程的定义及一般形式2 _________________________________________ _【例1】(1)方程(m + 1)xm — 2m- 1 + 7x — m = 0是一元二次方程，则 m= 3.⑵ 若关于x 的一元二次方程(m — 1)x 2+ 5x +卅一3m+ 2= 0的常数项为0，贝U m 等于(B )A. 1B. 2C. 1 或 2D. 0教师提示：紧扣一元二次方程的定义.知识模块二一元二次方程的解法【例2】 选择恰当的方法解下列方程：2 2①(2y — 3) = 5; ②(x + 3) = 2x + 6;解：原方程可化为 解：原方程可化为2y — 3=± 5, (x + 3)2— 2(x + 3) = 0,3 ± 5y =^^, (x + 3)(x + 3— 2) = 0,2 (x — 3) = 5, x--y 1 = ,y 2=X 1 =— 3, X 2 = — 1.2 2 2③ 2x —3(x —1) = 1; ④x —5x —14= 0.解：原方程可化为解：原方程可化为2 2 2x —6x = —4, b —4ac = ( —5) —4X 1 X ( —14) = 81,5 土81 5 ± 9 2= 23■ X1= 3+叮5, X2= 3 —5. ■-X1= 7, X2= —2.教师点拨：解一元二次方程时要注意：先观察方程的特点，再选择恰当的解法，一般情况下：①首先看能否用平方根的意义或因式分解法；②不能用以上方的可考虑配方法；③最后考虑公式法.知识模块三一元二次方程的应用【例3】某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个•市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个•若销售利润率不得高于100%,那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40 + x —30)(600 —10x) = 10000.即x —50x+ 400 = 0.解得X1 = 10, X2= 40.所以每个台灯的售价应定为50元或80元.当台灯售价定为80元时，销售利润率为3,不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为|,符合要求.答：每个台灯售价应是50元.交流展示生成新知1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2 •各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”.知识模块一一元二次方程的定义及一般形式知识模块二一元二次方程的解法知识模块三一元二次方程的应用检测反馈达成目标1 .关于x的一元二次方程(m—1)x2+ 5x + m i- 3m+ 2= 0的常数项为0，贝U m等于(B )A. 1B. 2C. 1 或2D. 02 .用适当的方法解一元二次方程.2 2(1) x = 3x;⑵(x —1) = 3;2(3) 2x + 5x —3 = 0.解：(1)x 1= 0, X2= 3.(2) x 1= 1 + 3, X2= 1—3.1(3) x 1= , X2= —3. 33 .某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个，市场调查表明：这种台灯的售4价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个，若销售利润不得高于100%那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40 + x —30)(600 —10x) = 10000,2即x —50x + 400= 0,解得X1= 10, X2= 40.•••每个台灯的售价应定为50元或80元.当台灯售价定为80元时，销售利润将为5，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为|，符合要求.所以台灯的售价应定为50元。
2016年秋季新版湘教版九年级数学上学期第2章、一元二次方程单元复习导学案4
2.1一元二次方程【学习目标】1. 能够根据实际问题建立一元二次方程的模型，形成对一元二次方程的感性认识.2. 理解一元二次方程的概念，并知道一元二次方程的一般形式.3. 会将一元二次方程化为一般形式，并能写出二次项系数、一次项系数和常数项. 【体验学习】 一、新知探究1.忆一忆：什么叫做方程？一元一次方程是怎么定义的？2. 阅读教材第26、27页的内容，自主探究，回答下列问题：（1）在教材中，动脑筋中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？（2）类比一元一次方程的定义，试着写出一元二次方程的定义.（3）写出一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（4）写出教材中动脑筋的两个方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 找出下列方程中是一元二次方程的是.（只填正确的序号）①2751x x ++；②2172x=；③264x x -=；④2253x y +=；⑤20x =； ⑥23(2)(2)x x x x +=+-；⑦20ax bx c ++=；学法指导：（1）判断一元二次方程的三个条件：① 方程；②含有 个未知数；③未知数的 次数是2 （2）方程需先整理，再利用三个条件进行判断。
思考：为什么规定0a ≠？对b 、c 有什么要求吗？归纳：在找一元二次方程的系数时应注意什么？2. 将方程2(1)3(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数.3. 若关于x 的方程2(3)10k x kx +-+=是一元一次方程，求k 的值？若该方程是一元二次方程，求k 的取值范围？三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：4. 把关于x 的方程222(1)x k kx x +=-+化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.5. 当m 为何值时，关于x 的方程：0527)124=+++-mx x m m （是一元二次方程.【当堂检测】1. 下列关于,x y 的方程一定是一元二次方程的有（）（1）22310x y +-=；（2）2130;1x x ++=+ （3）226(1)x x x -=-（4）21x =.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 将方程x 2－3＝－3x 化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)之后，a 、b 、c 的值分别为（） A. 0，－3，－3 B. 1，－3，－3 C. 1， 3， 3 D. 1， 3，－33. 若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值？【学后反思】本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________学法指导：一定要注意二次项系数不能为0.【拓展链接】关于一元二次方程的历史在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式.但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的.埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式.希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一.公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式.【课后精练】1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）A. 2x ＋1＝0B. 312=x C. 022=-y x D.32)2(x x =+ 2. 将方程234(1)x x x -=-化为一般形式，正确的是（ ） A. 2240x x ++= B. 2240x x -+=C. 2240x x +-=D. 2240x x --= 3. 下列叙述正确的是（ ）A. 形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B. 方程2436x x +=不含有常数项C. 2(2)0x -=是一元二次方程D. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数与常数项均不能．．为0. 4. 已知关于x 的方程2(3)(3)50m x m x -++-=（1）当m 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解.（2）当m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.5. 若(2)970mm x x -++=是一元二次方程，且满足不等式40m n +>，求n 的取值范围.2.2.1 配方法（1）【学习目标】：1.能利用平方根的意义解一元二方程.2.熟练用平方根的意义解形如)0(0)(2≥=-+k k b ax 的方程.3.初步体会用“降次”化归的数学思想解一元二次方程.【体验学习】：一、新知探究请认真阅读教材第30页“动脑筋”，回答下列问题 1.方程①中由22500x =得到50x =±的依据是什么？2. 通过阅读第30页“动脑筋”和例1中解方程的方法，思考什么样方程适合用直接开平方法？3.仿照第31页例2的解法完成例2下面的题目.24(1)250x +-=4.归纳总结直接开平方法解一元二次方程的步骤.二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1.一元二次方程042=-x 的解是.2.如果代数式2)3-x （的值是8，则x 的值为（ ）.A.223+B.223-C.223±D.223223--+或学法指导：解这个一元二次方程的数学思想是什么？学法指导：想一想如何解形如0)(2=-+k b ax 的一元二次方程呢？其中k 应满足什么要求？3.用直接开平方法解方程：（1）0492=-x （2）01832=-y（3）0)2(362=+-x （4）048)21(122=--x三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 4.当k 为何值时，方程22(1)150, 2 x x k ++--=有一根为？5.已知()41222=++y x ，求22y x +的值.【当堂检测】：1.用直接开平方法解下列方程.（1）09642=-x （2）01)23(2=--x学法指导：1.我们不妨整体观察要求的代数式；2.你能总结出此题的解答体现了哪些数学思想和方法吗？【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：“无理数”的由来一个边长为1的正方形，你能用勾股定理求出它的对角线长吗？这个简单的问题曾经为难了很多的著名数学家.原来，在公元前500年之前，人们都认为只存在有理数（即整数和分数）.但是，在公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯在求边长为1的正方形的对角线时，发现了与他们以前认识的所有数不同的数（即2），这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海.然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”.人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把形如2这样既不能表示为整数，也不能表示成分数的数取名“无理数”——这就是无理数的由来.【课后精练】： 1.解下列方程（1）04992=-x （2）0362=-x（3）016)3(2=-+x （4）027)1-2(32=-x2.对于形如n m x =+2)(的方程，它的解的正确表达式为：（ ）. A.可以两边开平方得n x ±= B.当n ≥0时，n m x ±= C.当n ≥0时，m n x -±= D.当n ≥0时，m n x -±=3.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程0)10(42=--x 的两根，求等腰三角形的周长.1.2.1 配方法（2）【学习目标】：1.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.2.领会配方法是一种重要的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，进一步体会化归的思想方法.【体验学习】： 一、新知探究：阅读教材第32、33页的内容，自主探究，回答下列问题：1.“探究”中所列出的方程2412x x +=，能直接利用平方根的意义求解吗？2.在解法中第二步为什么方程两边加上22？加其他数行吗？3.什么叫配方法？配方法的目的是什么？4. 配方法的关键是什么？（二）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例1：解方程仿1：0522=--x x09102=++x x解：45x 16)5(59-5109-1022222±=+=++=++=+x x x x x4545-=+=+x x 或解得：9,121-=-=x x学法指导：用配方法解一元二次方程的步骤： 1.将方程化为形式2.移项，使方程左边只含和，右边为常数；3.方程两边都加上一次项系数的的平方4.原方程变为n m x =+2)（的形式。
【北师大版】2016版数学九年级上：第2章《一元二次方程》全章教案(88页)
第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及有关概念.2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题.1.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.2.通过掌握形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.3.通过用已学的配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一元二次方程.4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想.3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.在总体设计思路上,本章遵循了“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体的问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.具体来讲,第1节通过丰富的实例,如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,建立一元二次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想;第2~4节通过具体方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探索一元二次方程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.【重点】1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程及实际问题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.一元二次方程的根的判别式的相关知识.4.一元二次方程的根与系数的关系.5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,理解方程的解与实际问题的解的区别.1.联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.2.对于“一元二次方程的根的判别式”,为了教学,应适当添加习题,使学生理解一元二次方程的根的存在情况与系数的关系.3.对于“一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.6 应用一元二次方程2课时1认识一元二次方程理解一元二次方程及其相关概念.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.经历估计一元二次方程的解的过程,增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力,发展数感.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.第课时了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程.经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.【重点】一元二次方程的概念和一般形式.【难点】正确理解和掌握一般形式中的“a≠0”,“项”和“系数”.【教师准备】预设学生学习过程中存在的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?导入二:观察下面等式:102＋112＋122＝132＋142.你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?导入三:如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答.[设计意图]通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.一、一元二次方程的概念由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)＝18;x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2;(x＋6)2＋72＝102.这三个方程有什么共同特点?归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.[知识拓展]符合一元二次方程即符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.我们把ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.[设计意图]在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力.思路二下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点?(x-4)2＋(x-2)2＝x2;(30-2x)(20-2x)＝200.先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.教师总结:①相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.②不同点:一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗?带着这个问题,请大家填写下面的空格:像这样,等号两边都是式,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程叫做一元二次方程.强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.【师生活动】现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.(1)x 2＋2x-4＝0;(2)3x 3＋4x ＝9;(3)3y 2-5x ＝7;(4)3x 2＋x＝1;(5)y 2-3y ＝0;(6)a 25＝1.【师】 大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程?【生】 (4)不是整式方程.【师】 哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的?【生】 (3)不是一元的.【师】 嗯,很好!方程(3)含有x 和y 两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程?【生】 (2)不是二次方程. 【师】 很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗?【生】 具备.【师】 嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.[设计意图] 通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡,以达到质的飞跃.判断下列方程是否是一元二次方程.(1)2x-13x 2- 32＝0;(2)2x 2-x ＋5＝0; (3)ax 2＋bx ＋c ＝0; (4)4x 2-1x＋7＝0.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a 等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,数项.把方程3x (x-1)＝2(x ＋2)＋8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x ＝2x ＋4＋8, 移项,合并同类项,得3x 2-5x-12＝0,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.[设计意图] 通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点和难点.[知识拓展] 对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a ≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0只有当a ≠0时,才叫做一元二次方程,当a ＝0,b ≠0时,它是一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.1.只含有一个未知数x 的整式方程,并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ,b ,c 为常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.1.下列6个方程:(1)3x＋2＝13x2;(2)y＝5;(3)y2＋2x-3＝0;(4)mnx2＋(m＋n)x＋1＝0;(5)x2-2x＋4＝0;(6)1y2＋y＋3＝0.其中是一元二次方程的是.(填序号)解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).2.将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为.解析:一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2＝0.故填3x2-5x-2＝0.3.一元二次方程2x2＋4x-1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2＋4＋(-1)＝5.故填5.4.下列方程中,是一元二次方程的是()A.1x2＋5x＝2B.2x3＋7x-2＝0C.x2＋1x2＝3 D.7x-15＝2解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.第1课时1.一元二次方程的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页随堂练习.【选做题】教材第32页习题2.1的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一元二次方程的一般形式是.2.将方程-5x2＋1＝6x化成一般形式为.3.将方程(x＋1)2＝2x化成一般形式为.4.方程2x2＝-8化成一般形式后,一次项系数为,常数项为.5.方程5(x2-2x＋1)＝-32x＋2的一般形式是,其二次项是,一次项是,常数项是.【能力提升】6.若ab ≠0,则1ax 2＋1bx ＝0的常数项是 .7.若方程ax 2＋5＝(x ＋2)(x-1)是关于x 的一元二次方程,则a .8.关于x 的方程(m-4)x 2＋(m ＋4)x ＋2m ＋3＝0,当 时,是一元二次方程,当 时,是一元一次方程.【拓展探究】9.已知关于x 的方程(k-2)x 2-kx ＝x 2-1. (1)当k 为何值时,方程为一元二次方程? (2)当k 为何值时,方程为一元一次方程? 【答案与解析】1.ax 2＋bx ＋c ＝0(a ,b ,c 为常数,a ≠0)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.)2.-5x 2-6x ＋1＝0(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x 2＋6x-1＝0.)3.x 2＋1＝0(解析:也可以是-x 2-1＝0.)4.0 8(解析:整理成一般形式为2x 2＋8＝0,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.)5.5x 2-2 2x ＋3＝0 5x 2 -2 2x 36.07.≠1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x 2-x ＋7＝0,再使二次项系数不为0,则a ≠1.) 8.m ≠4 m ＝49.解:方程可化为(k-3)x 2-kx ＋1＝0.(1)若方程为一元二次方程,则k-3≠0,即k ≠3. (2)若方程为一元一次方程,则 k -3＝0,k ≠0,解得k ＝3.在实际教学中,有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.教学中,运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生容易忽略符号,作为第一次学习,这是难免的.本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中,可先从具体的背景出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解.随堂练习(教材第32页)1.解:(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,x ,x ＋1(x >1),根据题意,得(x-1)2＋x 2＝(x ＋1)2,化成一般形式为x 2-4x ＝0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程.2.解:(答案不唯一)原方程可以化为5x 2＋36x-32＝0,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32. 习题2.1(教材第32页)1.解:(1)设这个正方形的边长是x m(x>0),根据题意,得(x＋5)(x＋2)＝54,即x2＋7x-44＝0. (2)设三个连续整数依次为x,x＋1,x＋2,根据题意,得x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242,即x2＋2x-80＝0.允许学生选择不同量作为未知数,但要求列出一元二次方程.2.解:(3.解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x2＝(x-4)2＋(x-2)2,即x2-12x＋20＝0.学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念,经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程,在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程,已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能.学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考的能力,具备了一定的合作与交流的能力.已知关于x的方程(2a-4)x2-2bx＋a＝0.求满足下列条件时a,b的取值范围.(1)方程为一元二次方程;(2)方程为一元一次方程.〔解析〕观察所给方程,根据一元二次方程和一元一次方程的定义确定a,b的取值范围.解:(1)由题意,得2a-4≠0,即a≠2.所以当a≠2时,方程是一元二次方程.2a-4＝0,(2)由题意,得-2b≠0,解得a＝2,b≠0.所以当a＝2且b≠0时,方程是一元一次方程.[解题策略]只含有一个未知数x,并且可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式的整式方程是一元二次方程.利用概念解决问题时,应抓住其中本质的东西,一元二次方程与一元一次方程的区别是未知数的最高次数分别是2和1.第课时探索一元二次方程的解或近似解.通过具体实例探究一元二次方程的解.经历方程的解的探索过程,增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力.【重点】探索一元二次方程的解或近似解.【难点】培养学生的估算意识和能力.【教师准备】预设课堂活动中学生可能提出的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范围吗?幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)＝18,你能估算出x大约是多少吗?估算一元二次方程的解我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)＝18.思路一(1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.分析:因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.(2)你能确定x的大致范围吗?分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(3)计算,填写下表:分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?与同伴交流.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.思路二(1)确定大致范围.因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于(),因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于(),综合以上,分析x的大致范围是()到()之间.(2)比较精确地估算.填写下表后思考:当x取0.5的时候,你发现了什么问题?当x取1.5的时候,你发现了什么?通过前面的发现,你怎样更精确地确定宽度的范围?图)在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102,即x2＋12x-15＝0.(1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么?分析:若底端也滑动了1 m,此时(1＋6)2＋72<102,因此滑动的距离是大于1 m的.(2)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?分析:通过计算,如果底端滑动的距离是2 m或者3 m,那么2＋1215的值都大于0,即(＋6)2＋72>102,所以底端滑动的距离小于2 m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?分析:根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1<x<1.5,但这还不是一个很精确的数字.(4)x的整数部分是几?十分位是几?分析:通过计算,根据上表思考:当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?(1.3更接近)当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?(1.2更接近)当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?(大于真实值)综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1<x<1.2.所以x的整数部分是1,十分位是1.[知识拓展]估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.这是因为当a x12＋bx1＋c<0(或>0)而a x22＋b x22＋c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2＋bx＋c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2＋bx＋c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.1.在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.1.根据下表,判断方程2()A.3<x<3.23B.3.C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26解析:由表中的数据可知,当x的值由3.24变化到3.25时,ax2＋bx＋c的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax2＋bx＋c的值等于0.故选C.2.用22 cm长的铁丝,折成一个面积为15 cm2的矩形,设矩形的一边长为x cm,则x的大致范围是()A.x>0B.0<x<1C.1<x<2D.2<x<3解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体计算进行“夹逼”,逐步获得其近似解,“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程(11-x)x＝15,整理得x2-11x＋15＝0,由此可知,当x在1~23.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80 m,宽60 m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500 m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为x m.(1)你能根据题意列出相应的方程吗?(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)x可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由;(4)你知道人行道的宽x是多少吗?说说你的求解过程.解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)＝3500,整理得x2-70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x 更不可能大于40.(4)由上面分析可知,x:显然,当x＝5时,x2-70因此,人行道的宽度应为5 m.第2课时估算一元二次方程的解(1)引例(2)做一做一、教材作业【必做题】教材第35页习题2.2.二、课后作业【基础巩固】1.根据下表中的数据(2)A.0.00<x<0.25B.0.C.0.50<x<0.75D.0.75<x<1.002.小颖对一元二次方程(8-由表格可知,A.0B.1C.2D.33.根据方程x2-3x-5＝A.-3<x<-2或4<x<5B.-2<x<-1或5<x<6C.-3<x<-2或5<x<6D.-2<x<-1或4<x<54.25.根据下表中的数据(2)A.9.025B.9.0356.观察下表:范围.【拓展探究】7.某校矩形操场的长比宽多14 m,面积是3300 m2,求操场的宽的取值范围(精确到十分位).【答案与解析】1.C(解析:由表中的数据可知,当x的值由0.50变化到0.75时,x2＋5x-3的值由-0.25变化到1.31,所以在0.50到0.75之间存在一数值,使x2＋5x-3的值为0.故选C.)2.B(解析:由表中的数据可知,当x的值等于1时,(8-2x)(5-2x)的值等于18,所以方程(8-2x)·(5-2x)＝18的一个解为x＝1.故选B.)3.D(解析:由表中的数据可知,当x的值由-2变化到-1时,x2-3x-5的值由5变化到-1,所以在-2到-1之间存在一数值,使x2-3x-5的值等于0,同理,当x的值由4变化到5时,x2-3x-5的值由-1变化到5,所以在4到5之间存在一数值,使x2-3x-5的值等于0.故选D.)4.-4.3(解析:由表中的数据可知,当x＝-4.3时,x2＋2x-10的值更接近于0,所以方程x2＋2x-10＝0的一个近似解为-4.3.)5.C(解析:由表格可得,在9.040到9.050之间存在使方程x2＋2x-100＝0成立的x的值.故选C.)6.解:根据表格中的数据,可以发现:当x＝2时,5x2-24x＋28＝0,故方程5x2-24x＋28＝0有一个根是x＝2.又因为当x＝2.5时,5x2-24x＋28＝-0.75,当x＝3时,5x2-24x＋28＝1,故一元二次方程5x2-24x＋28＝0的另一个根的取值范围是2.5<x<3.7.解析:先设出未知数,列出方程,然后列表、取值、计算,缩小范围,确定符合题意的未知数的取值范围.解:设操场的宽为x m,214x-3300＝0.列表如下:所以宽的取值范围是50.课堂上把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励性的语言以及小组合作学习等方式,帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流,通过小组合作,为学生提供展示自己聪明才智的机会,在此过程中,教师可以发现学生在分析问题和解决问题时的独到见解以及出现的思维误区,这样可以使得老师更好地指导今后的教学.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当地指导,包括知识的启发引导,使小组合作学习更具实效性.。
2016年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程导学案 (新版)湘教版
用因式分解法解一元二次方程【学习目标】1．理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程．2．理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次”化归的思想方法．3．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．【学习重点】掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．【学习难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程。
情景导入 生成问题回顾：1．一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．2．因式分解常用的方法有哪些？将下列多项式因式分解．x 2－2x ＝x(x －2)，2x(x －2)＋(x －2)＝(2x ＋1)(x －2)． 怎样解一元二次方程？我们已经会解一元一次方程了，能不能设法把—元二次方程降低次数，转化为若干个一元一次方程呢？自学互研 生成能力知识模块一 探究因式分解法的一般步骤阅读教材P 37～P 38的“动脑筋”，完成下面的填空：(1)若p·q＝0，则p ＝0或q ＝0；(2)若x(x －2)＝0，则x ＝0或x －2＝0，解得x 1＝0，x 2＝2；(3)若(2x ＋1)(x －2)＝0，则2x ＋1＝0或x －2＝0，解得x 1＝－12，x 2＝2． 师生合作探究、共同归纳出因式分解法解一元二次方程的方法． 归纳：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．因式分解法解一元二次方程的基本思路是降次，也就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程．【例1】 用因式分解法解下列方程：(1)x(x －5)＝3x ；(2)2x(5x －1)＝3(5x －1)；(3)(35－2x)2－900＝0.解：(1)原方程可化为x 2－8x ＝0.把方程左边因式分解，得x(x －8)＝0，由此得：x ＝0或x －8＝0.解得：x 1＝0，x 2＝8.(2)原方程可化为2x(5x －1)－3(5x －1)＝0.把方程左边因式分解，得(5x －1)(2x －3)＝0，由此得：5x －1＝0或2x －3＝0.解得：x 1＝15，x 2＝32. (3)原方程可化为(35－2x)2－302＝0.把方程左边因式分解，得(35－2x ＋30)(35－2x －30)＝0，由此得：62－2x ＝知识模块二 用因式分解法解一元二次方程【例2】 用因式分解法解方程．(1)x 2－5x ＋6＝0； (2)x 2－10x ＋24＝0. 解：配方得x 2－5x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋6＝0, 解：配方得x 2－10x ＋52－52＋24＝0， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝0, (x －5)2－1＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－12＝0, (x －5＋1)(x －5－1)＝0， ∴x －2＝0或x －3＝0, (x －4)(x －6)＝0，∴x 1＝2，x 2＝3. ∴x－4＝0或x －6＝0，∴x 1＝4，x 2＝6.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究因式分解法的一般步骤知识模块二 用因式分解法解一元二次方程检测反馈 达成目标1．方程x(x －2)＋x －2＝0的解是( D ) A ．x ＝2 B ．x 1＝－2，x 2＝1C ．x ＝－1D ．x 1＝2，x 2＝－12．(易错题)一元二次方程2(5x －1)2＝3(5x －1)的解是( D ) A ．x ＝12 B ．x ＝15C ．x 1＝12，x 2＝－15D ．x 1＝15，x 2＝123．若使2x 2－3x 与x 2－7x 的值相等，则x 应为( B ) A ．0 B ．0或－4C ．－4D ．无法确定4．方程x 2－3x ＋2＝0的根是__x 1＝1，x 2＝2__．5．用因式分解法解下列方程：(1)9x 2－4＝0; (2)2(t －1)2＋t ＝1；解：x 1＝23，x 2＝－23. 解：t 1＝1，t 2＝12.(3)(x －2)(x ＋3)＝－6；解：x 1＝0，x 2＝－1.(4)5(2x －1)＝(1－2x)(x ＋3)．解：x 1＝12，x 2＝－8。
2016九年级数学上第二章一元二次方程导学案
2016九年级数学上第二章一元二次方程导学案2.2 用配方法解一元二次方程1、知识与技能：（1）用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;（2）理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.2、能力培养：会用转化的数学思想解决有关问题.3、情感与态度：学会观察、分析，寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.自学指导阅读教材第36至38页，并完成预习内容.问题1 1、若x2=4，则x= 2，-22、若(x+1)2=4，则x= 1，-、若x2+2x+1=4，则x= 1，-、若x2+2x=3，则x= 1，-3 .活动1小组讨论理解配方法解一元二次方程的过程变化依据。
1、填上适当的数，使下列等式成立：x2+12x+ 36 =(x+6)2;x2-4x+ 4 =(x- 2 )2;x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2.2、根据上述变形，你能解哪些一元二次方程？二次项系数为1的一元二次方程例3：解方程：3x2+8x―3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得：x2+83 x―1=0移项，得：x2+83 x配方，得：x2+83 x+(43 )2=1+(43 )2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x+43 )2=(53 )2即：x+43 =±53 所以x1=13 ，x2=―32、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
活动2 跟踪训练1.若x2-4x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是(B)A.p=4，q=2B.p=4，q=-2C.p=-4，q=2D.p=-4，q=-22.填空：(1)x2+10x+25=(x+5)2； (2)x2-12x+36=(x-6)2；(3)x2+5x+__ __=(x+__ __)2； (4) x2- x+____=(x-_ ___)2用直接开平方法解下列方程：(1)3(x-1)2-6=0； (2)x2-4x+4=5；(3)9x2+6x+1=4； (4)36x2-1=0；(5)4x2=81； (6)(x+5)2=25； (7)x2+2x+解：(1)x1=1+ ，x2=1- ； (2)x1=2+ ，x2=2- ； (3)x1=-1，x2= ；(4)x1= ，x2=- ； (5)x1= ，x2=- ； (6)x1=0，x2=-10；(7)x1=1，x2=-用配方法解下列关于x的方程：(1)x2-36x+70=0； (2)x2+2x-35=0；(3)2x2-4x-1=0； (4)x2-8x+7=0；(5)x2+4x+1=0； (6)x2+6x+5=0； (7)2x2+6x-2=0；(8)9y2-18y-4=0；(9)x2+3=2 x解：(1)x1=18+ ，x2=18- ； (2)x1=5，x2=-7； (3)x1=1+ ，x2=1- ；(4)x1=1，x2=7； (5)x1=-2+ ，x2=-2- ；(6)x1=-1，x2=-5；(7)x1=- + ，x2=- - ；(8)y1=1+ ，y2=1- ；(9)x1=x2如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求(xy)z的值.解：由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+ =0，即(x-2)2+ (y+3)2+ =0.∴x=2，y=-3，z=-2.∴(xy)z=［2×(-3)］-2类似第5题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式.活动3 课堂小结应用直接开平方法解形如x2+2ax+a2=b(b≥0)，那么可得x+a=± 达到降次转化的目的.2.用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的注意事项。
九年级数学上册一元二次方程 . 一元二次方程的应用图形面积和几何问题导学
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2.5 一元二次方程的应用(yìngyòng)
目标二 利用一元二次方程解决动点几何(jǐ hé)问题
例2 教材补充例题 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同 时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间(shíjiān) 为t s(t>0)．
1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．
2．在理解直角三角形面积计算(jìsuàn)的基础上，能够建立一元二次方程解 决与动点有关的几何问题．
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2.5 一元二次方程的应用(yìngyòng)
目标突破
目标一 能利用一元二次方程解决图形面积(miàn jī)问题
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图 2－5－2
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2.5 一元二次方程的应用(yìngyòng)
解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米． (2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40， 解得 a1＝5，a2＝45(舍去)． 答：此时通道的宽为 5 米．
(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实
现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．
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2.5 一元二次方程的应用
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié) 知识点 利用(lìyòng)一元二次方程解几何图形问题
2016年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 公式法导学案 (新版)湘教版
公式法【学习目标】1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．3．通过探索运用公式法解一元二次方程的过程，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【学习重点】能熟练用公式法解一元二次方程．【学习难点】理解求根公式的推导过程。
情景导入 生成问题回顾：用配方法解一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0.解：原方程可化为x 2－72x ＋32＝0.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝2516，∴x －74＝±54.∴x 1＝3，x 2＝12. 用配方法解每个方程时，总在重复一些步骤，计算也很麻烦；能不能对一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x 的通用公式呢？自学互研 生成能力知识模块一 推导一元二次方程的求根公式阅读教材P 35～P 36的“探究”，完成下面的填空：用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，探究求根公式：因为a≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0． 把方程的左边配方，得x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 2－4ac 4a ＝0. (若b 2－4ac≥0，请继续完成)原方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－4ac 2a 2. 由此得出：x ＋b 2a ＝b 2－4ac 2a 或x ＋b 2a ＝－b 2－4ac 2a . x ＝－b －b 2－4ac 2a 或x ＝－b ＋b 2－4ac 2a. (若b 2－4ac<0，则此方程无解)．师生合作探究并共同归纳出用公式法解一元二次方程的一般步骤．归纳：由上可得，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)在b 2－4ac≥0的条件下，它的根为：x ＝－b±b 2－4ac 2a(其中b 2－4ac ≥0)，通常把这个式子叫作一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．用这个公式直接解一元二次方程的方法叫公式法． 知识模块二 用公式法解一元二次方程阅读教材P 36～P 37的例5、例6，完成下面的内容．【例1】 解方程：(1)(2)见教材P 36例5.(3)x(x －6)＋18＝9.解：将方程化为一般形式，得x 2－6x ＋9＝0.因此a ＝1，b ＝－6，c ＝9，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×9＝0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±02×1＝3，∴x 1＝x 2＝3. 【例2】 见教材P 37例6.点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)形式，确定a ，b ，c 的值，求出b 2－4ac 的值；②若b 2－4ac≥0，则代入公式求解．若b 2－4ac<0，则原方程无解．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 推导一元二次方程的求根公式知识模块二 用公式法解一元二次方程检测反馈 达成目标1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a ，b ，c 的值，对于一元二次方程－4x 2＋3＝5x ，下列确定a ，b ，c 的值正确的是( B ) A ．a ＝－4，b ＝5，c ＝3B ．a ＝－4，b ＝－5，c ＝3C ．a ＝4，b ＝5，c ＝3D ．a ＝4，b ＝－5，c ＝－32．用公式法解方程－3x 2＋5x －1＝0，正确的是( C )A ．x ＝－5±136 B ．x ＝－5±133C ．x ＝5±136 D ．x ＝5±1333．对于一元二次方程x 2－4x ＋3＝0，b 2－4ac 的值为( D )A ．28B ．13C ．16D ．44．方程2x 2－2x －1＝0的根是__x 1＝4，x 2＝4．5．用公式法解下列方程．(1)2x 2－5x －7＝0； 解：x 1＝－1，x 2＝72.(2)x 2－23x ＋3＝0；解：x 1＝x 2＝ 3.(3)(x ＋1)(x －1)＝22x ；解：x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(4)(y ＋2)2＝1－2y.解：y 1＝－3＋6，y 2＝－3－6。
北师大版九年级上册数学 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题导学案2(2)
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题一、学习目标：1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学应用能力。
3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。
二、知识准备解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。
三、学习内容（一）情景问题小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm 2，那么剪去的小正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？（二）、尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
解：设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得： 2(10)81x -=，109x -=±，11x =，29x =，因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm 。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
2016年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 选择合适的方法解一元二次方程导学案 (新版)湘教版
选择合适的方法解一元二次方程【学习目标】1．理解并掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．2．能结合具体方程灵活选择合理的方法求解．3．通过知识之间的相关联系，培养学生用发展的眼光分析问题和解决问题的能力，树立转化的思想．【学习重点】选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便．【学习难点】理解各种解法的区别与联系。
情景导入生成问题回顾：1．我们已经学习了哪几种解一元二次方程的方法？说说各有什么特点？解：我们已经学过的一元二次方程的解法有配方法、公式法、因式分解法．因式分解法：右化为0，左分解，再利用pq＝0，则p＝0或q＝0.配方法：先把方程中二次项系数变为1，左边加一次项系数一半的平方，配成一个完全平方式后，再求解．公式法：当b2－4ac的值为非负数时，可用求根公式求解，当b2－4ac小于零，无实根．2．解一元二次方程的基本思路是什么？解：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即降次．自学互研生成能力知识模块一观察方程特点，寻找解一元二次方程的最佳方法阅读教材P40的“议一议”，完成下面的内容：你打算用什么方法解下列一元二次方程？并简要说明理由．①(2x＋1)2＝3根据平方根的意义解；②t2－3t＝0因式分解法；③y2－6y＋1＝0公式法或配方法；④(5x－1)2＝3(5x－1)因式分解法．归纳：(1)若给定的方程易化为(mx＋n)2＝a(a≥0)的形式，可根据平方根的意义解一元二次方程；(2)若给定的方程易于因式分解，可用因式分解法；(3)公式法和配方法适合所有一元二次方程，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙．思考：怎样才能找到解一元二次方程的最佳方法？【例1】解一元二次方程x2＋x－3＝0最合适的方法是( D)C ．配方法D ．公式法 教师点拨：在解一元二次方程时，首先考虑的是根据平方根的意义解一元二次方程；其次考虑因式分解法，因为这种方法最快捷；再次考虑配方法和公式法．而在使用平方根的意义求解和因式分解法时，经常用到整体思想． 知识模块二 选择适当的方法解一元二次方程阅读教材P 40例9～P 41，完成下面的例2【例2】 用适当的方法解下列方程：(1)4x 2－3x ＝0； (2)3(x ＋1)2＝3.63；解：原方程可化为 解：原方程可化为x(4x －3)＝0. (x ＋1)2＝1.21.x ＝0或4x －3＝0, x ＋1＝±1.1，∴x 1＝0，x 2＝34. ∴x 1＝0.1，x 2＝－2.1. (3)x 2＋4x －1＝0; (4)x 2－5x ＋1＝0.解：原方程可化为 解：b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×1＝21，x 2＋4x ＋22－22－1＝0. ∴x＝5±212×1＝5±212， (x ＋2)2＝5, ∴x 1＝5＋212，x 2＝5－212. ∴x ＋2＝±5，∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(5)(x －5)2－4(x －5)(3－x)＋4(3－x)2＝0.解：原方程可化为[(x －5)－2(3－x)]2＝0∴[(x －5)－2(3－x)]＝0，即3x －11＝0.∴x 1＝x 2＝113. 教师点拨：在解一元二次方程时，应注意：①我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．②在用公式法求解时，须先计算b 2－4ac 的值，若它小于0，则此方程无实根．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 观察方程特点，寻找解一元二次方程的最佳方法知识模块二 选择适当的方法解一元二次方程检测反馈 达成目标1．解方程(3x －2)2＋(2－3x)＝0，最佳方法是( B )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法2．解一元二次方程2x 2＋5x ＋1＝0最合适的方法是( D )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法3．已知代数式3－x 与－x 2＋3x 的值互为相反数，则x 的值是(A ) A ．－1或3B ．1或－3C ．1或3D ．－1或－34．请选择合适的方法填在横线上．(1)解方程x 2＝23x ，用因式分解法较合理；(2)解方程7x 2－127＋2＝0，用公式法较合理；(3)解方程x 2－2x －1999＝0，用配方法较合理；(4)解方程16(x －1)2＝9，用直接开方法较合理．5．用适当的方法解下列方程．(1)4(x －2)2－36＝0；解：x 1＝5，x 2＝－1.(2)3x(2x ＋1)＝(1＋2x)(2＋x)；解：x 1＝－12，x 2＝1.(3)x 2－23x ＋1＝0； 解：x 1＝3＋2，x 2＝3－ 2.(4)(2x －1)2＝x 2＋4x ＋4.解：x 1＝3，x 2＝－13。
2016九年级上册数学2.1认识一元二次方程导学案(北师大版)
0，-81；
(3)4x2+8x-25=0
；
4，8
，-25；
(4)3x2-7x+1=0
；3，-7
，1.
4.依据以下问题，列出对于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完整同样的正方形的面积之和是25，求正方形
的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的
长x；
(3)把长为1的木条分红两段，使较短一段的长与全长
次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)特别强
调a≠0.
当堂训练
请使用《名校讲堂》相应部分练习
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2016九年级上册数学2.1认识一元二次方程导教案（北师大版）
第二章一元二次方程
2.1认识一元二次方程
第1课时一元二次方程
1、知识与技术：理解一元二次方程的定义，会判断知足一元二次方程的条件。
2、能力培育：能依据详细情形应用知识。
3、感情与态度：体验与别人合作的重要性及数学活动中的探究和创建性。
梯子顶
概括总结：
察看上述三个方程，它们的共同点为：①含有一个未知
数x；②整式方程； 这样的方程叫做一元二次方程.此中我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常
；
假如设五个连续整数中的第一个数为x，那么后边四个
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数挨次可表示为x＋1、x＋2、x＋3、x＋4，依据题意可得方程：
BS北师版 初三九年级数学 上册第一学期秋(导学案)第二章 一元二次方程(全章导学案 分课时)
BS北师版初三九年级数学上册第一学期秋（导学案）第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程学习目标：1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习案】二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：【探究案】探究点1：一元二次方程的概念1．一元二次方程的一般形式是（）（1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)（2）方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．探究点2：一元二次方程解决生活中的应用根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
九年级数学(上)一元二次方程的实际应用(面积问题)导学案
第1页，共6页 第2页，共6页学校___________ 班级___________ 姓名___________ 学号___________………………☉…不…☉…要…☉…在…☉…密…☉…封…☉…线…☉…内…☉…作…☉…答………………1.4实际问题与一元二次方程（3）（学案学生版 ）面积问题一、合作探究1，问题一，如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为是多少？(1)解析：设鸡场的宽度为 x m ， 长为________ m.由题意得方程：__________________ .解得：x 1=________ x 2= ________ (2)思考：①若设鸡场的长度为 x m宽度为 ________ m.由题意得方程：__________________ .②能否围成面积为170m 2的鸡场？2,问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周 突出部分折起,就能制作 一个无盖方盒,如果要制 作的方盒的底面积为3600 平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?解析：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ________ cm ,宽为________ cm. 根据方盒的底面积为3600cm 2.由此,可以列方程_________________,化简得___________________.解得：x 1=________ x 2= ________答：切去的正方形的边长为_____cm 。
3,问题(3) 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?分析:这本书的长宽之比是9:7, 依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解:设正中央的矩形两边 分别为9xcm ，7xcm ，依题意得：__________________ .解得：x 1=________ x 2= ________思考：还可以怎样解答？第3页，共6页 第4页，共6页………………☉…不…☉…要…☉…在…☉…密…☉…封…☉…线…☉…内…☉…作…☉…答……………二、变式应用训练1，某中学为美化校园，准备在长32m ，宽20m 的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m 2，求出设计方案中道路的宽分别为多少米？设道路的宽度为x 米。
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图形面积问题
【学习目标】
1．会列一元二次方程解决一些有关面积的实际问题，并注意对方程的根的合理性进行检验．
2．进一步熟练用方程模型解应用题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力．
3．通过解决实际问题，进一步感受一元二次方程在几何中的应用价值并领悟转化的数学思想．
【学习重点】
建立一元二次方程模型解决有关面积问题．
【学习难点】
找等量关系列方程。
情景导入 生成问题
回顾：
1．平移前后图形的形状，大小不变(选填“变”或“不变”)．
2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，AD ＝3cm .若将矩形ABCD 沿AB 方向平移2cm ，得到矩形
A′B′C′D′，则四边形A′BCD′的面积为9cm 2. 3．长方形的面积＝长×宽；
三角形的面积＝底×高2
； 正方形的面积＝边长的平方．
自学互研 生成能力
知识模块一 用一元二次方程解决实际生活的面积问题
【例1】 如图，一长为32m ，宽为20m 的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿
化，若已知绿化面积为540m 2，求道路的宽．
分析：本题可设道路宽为x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了
(32－x )(20－x )平方米(或m 2)，进而即可列出方程，求出答案．
解：设道路宽为x 米．(32－x )(20－x )＝540，解得：x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)，∴x ＝2.
答：道路宽为2米．
归纳：列一元二次方程解应用题的关键是找出题中相等关系，在面积或体积问题中，通常找面积公式或体积公式得到相等关系．对求出的两解一定要进行对实际问题的题意检验，讨论是否符合题意．
【变例】 如图，在宽为20米，长为32米的矩形空地上修同样宽的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地．现要使草地的面积为540平方米，求水泥路的宽应为多少米？
解：设水泥路的宽为x 米，依题意得：(32－x)(20－x)＝540.解得x 1＝2，x 2＝50(50>20，不合题意，舍去)． 答：水泥路的宽应为2米．
知识模块二 动点问题
【例2】 见教材P 52例4.
【变例】 如图所示，在△ABC 中∠B＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以12
cm /s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1cm /s 的速度运动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S
△PBQ ＝5cm 2?
解：经过t 秒钟，S △PBQ ＝5cm 2
，由题意得
12×t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6－12t ＝5. 解得t 1＝2，t 2＝10.
又当t ＝10s 时，BQ ＝10cm >BC ，不符合题意，应舍去．故t ＝2s . 答：经过2秒时，S △PBQ ＝5cm 2.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一用一元二次方程解决实际生活的面积问题
知识模块二动点问题
检测反馈达成目标
1．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为__(17－x)(22－x)＝300__．
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm.则可列出关于x的方程为(9－2x)(5－2x)＝12．
3．如图所示，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：
(1)P，Q两点出发多长时间，四边形PBCQ的面积是33cm2?
(2)P，Q两点出发多长时间，点P与点Q的距离是10cm?
解：(1)设P出发x s后，四边形PBCQ的面积为33cm2.则有(16－3x＋2x)×6÷2＝33，解得x＝5.即：P，Q两点出发5秒后，四边形PBCQ的面积是33cm2.
(2)设P，Q两点出发x秒后，点P与点Q的距离为10cm，则(16－5x)2＋62＝102，
解得x1＝1.6，x2＝4.8，
即：P，Q两点出发1.6秒或4.8秒后，点P与Q的距离是10cm
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。