东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合

东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇

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东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2

2lim sin

1

x x

x x →∞

=+ 2 ； 2．当0x →时

,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则

k =

3

4

; 3．设()1sin x

y x =+，则d x y

π

== d x π- ；

4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为

()223e

e 2e(1)(1)(1)2

x x x ο+-+

-+- ； 5．已知函数3

2e sin ,

0()2(1)9arctan ,0

x

a x x f x

b x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数1

1()1e

x x

f x -=

-，则

[ C ] （A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点 （D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点

7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t

y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处

的切线与x 轴交点的横坐标是

[ C ]

3

（A ）1ln 238+ （B ）1

ln 238

-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+

8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]

（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界

9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫

-

⎪-⎝

⎭ ()222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫

-== ⎪--⎝

⎭ 20e 11lim x

x x x -→-+=+22

201()21lim x x x x

ο→+=+32= 11。()3lim ln 12ln 1x x x →+∞

⎡⎤

⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

()()()

33lim ln 12ln 1lim ln 2ln 12ln 1x x x x x x x -→+∞

→+∞⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦⎣⎦ 3

3lim ln 22x x x x

x →+∞⎛⎫=⋅⋅+ ⎪⋅⎝⎭3ln 2= 12

．11lim 1n n

n n →∞⎛++

+

++⎝

1111

n n n ≤++

≤+

+1n = 由夹逼定理得 1

1lim 11n n n n →∞⎛+

= ++⎝

4

13。设,)

21(1

)(x x x f -=

求)()(x f n

12()12f x x x =+-()1!()(1)n n n n f x x

+=-112!(12)n n n x ++⋅+- 14．设函数()y y x =由方程222sin()e 0x x y xy ++-=所确定，求

d d y

x

。 ()222(22)cos e 20x x yy x y y xyy ''+++--=()()

()

222

22

2cos e d d 2cos x x x y y y

x y x x y ++-=-+ 四．（本题共4道题，满分29分）

15．（本题满分6分）如果以每秒350cm 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm 时，半径增加的速率是多少？

324d d d d ,43d d d d V V r r V r t r t t ππ==⋅=d d 1

50100,d d 2r r t t ππ

==

16．（本题满分7分）证明不等式： 12

e 1e (0)x x

x x -≥+≥

设12

()e 1e

x x

F x x -=--11111

2

22

22()e e

e e e 1e ()22x x x x x x

x x F x x φ---+-⎛⎫'=--=--= ⎪⎝

⎭ 其中1

11

2221

()e

1,(0)e 10,()e 10(0)22x x x x x x φφφ++⎛⎫'=--=->=->≥ ⎪⎝⎭

所以当0x ≥时，()x φ单增，又因(0)0φ>，所以()0x φ≥，从而()0F x '≥，所以()F x

单增，又因(0)0F =，所以当0x ≥时，()(0)0F x F ≥=，所要证不等式成立。

17．（本题满分8分）在抛物线214y x =

上求一点21,4P a a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，(0)a >，使弦PQ 的长度最短，并求最短长度，其中Q 是过点P 的法线与抛物线的另一个