初中数学竞赛辅导资料(15)乘法公式
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
乘法方程式计算公式
乘法方程式计算公式在数学中，乘法方程式是一种常见的数学问题类型，它涉及到未知数和已知数之间的乘法关系。
解决乘法方程式需要运用适当的数学公式和技巧，下面我们将详细介绍乘法方程式的计算公式及解题方法。
乘法方程式的一般形式为：ax = b，其中a和b为已知数，x为未知数。
解决这类方程式的关键在于找到未知数x的值，使得等式成立。
为了解决乘法方程式，我们可以使用以下计算公式和方法：1. 求解未知数x的方法：首先，我们需要将乘法方程式ax = b转化为求解x的形式。
这可以通过除以a的方式来实现，即x = b / a。
这样我们就可以得到未知数x的值。
2. 检验解的方法：在求得未知数x的值后，我们需要将x代入原方程式中进行检验，确保等式成立。
如果代入后等式成立，那么我们得到的解就是正确的。
3. 注意特殊情况：在解决乘法方程式时，我们需要特别注意a的值是否为0。
如果a为0，那么方程式就会变为0x = b，这时b的值只能为0，因为任何数乘以0都等于0。
因此，当a为0时，方程式的解为x = 0。
4. 使用逆运算：当我们遇到复杂的乘法方程式时，可以使用逆运算来简化计算。
例如，如果方程式为3x = 15，我们可以使用除法的逆运算，即乘法，来求解x的值，即x =15 / 3 = 5。
在解决乘法方程式时，我们还需要注意一些常见的解题技巧，例如化简方程式、合并同类项、移项等。
下面我们通过一些例题来演示乘法方程式的解题过程。
例题1，解方程式2x = 10。
解，首先，我们将方程式转化为求解x的形式，即x = 10 / 2 = 5。
然后，我们将x = 5代入原方程式进行检验，得到25 = 10，等式成立。
因此，方程式2x = 10的解为x = 5。
例题2，解方程式4x = 12。
解，同样地，我们将方程式转化为求解x的形式，即x = 12 / 4 = 3。
然后，将x = 3代入原方程式进行检验，得到43 = 12，等式成立。
因此，方程式4x = 12的解为x = 3。
乘法公式基础知识讲解
乘法公式基础知识讲解乘法是数学中的一个基本运算，它用于将两个或多个数值相乘，得到乘积。
在乘法中，我们使用乘法公式来进行计算和简化表达式。
乘法公式是指一些常见的数学规律，可以帮助我们更快地计算乘法运算。
乘法公式的基础知识包括乘法法则、乘法表以及乘法的分配律、结合律和交换律。
1.乘法法则：乘法法则是数学中最基本的乘法概念，它规定了如何将两个数相乘以及如何确定乘积的符号。
乘法法则包括以下几个要点：-两个正数相乘的结果仍然是正数。
-两个负数相乘的结果是正数。
-正负数相乘的结果是负数。
2.乘法表：乘法表是一种表格，用于显示两个数相乘的结果。
乘法表的基本结构是将每个数与其他数相乘，并将结果填入表格中。
乘法表的最常见形式是九九乘法表，其中列出了1到9的乘法结果。
乘法表的使用可以帮助学生记忆乘法结果，并加深对乘法运算的理解。
3.乘法的分配律：乘法的分配律是乘法公式中的一个重要概念，它用于将一个数与两个或多个数相乘。
分配律规定了乘法在加法和减法中的运算规则，它表明：-a×(b+c)=a×b+a×c-(b+c)×a=b×a+c×a这意味着要计算一个数与两个或多个数的和的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相加。
同样，要计算一个数与两个或多个数的差的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相减。
4.乘法的结合律：乘法的结合律是乘法公式中的另一个重要概念，它规定了乘法在连续相乘中的运算规则，它表明：-(a×b)×c=a×(b×c)这意味着在连续相乘的运算中，无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
5.乘法的交换律：乘法的交换律是乘法公式中的最后一个重要概念，它规定了两个数相乘的运算规则，它表明：-a×b=b×a这意味着无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
常用乘法公式(一)
常用乘法公式(一)
常用乘法公式
在数学中，乘法是一种基本的运算法则。
乘法公式是指一些常用的、能够简化计算的特定乘法规则。
下面列举了几个常用的乘法公式，并通过具体例子进行解释说明。
1. 乘法交换律
乘法交换律指的是两个数相乘的结果与它们交换位置后的乘积是
相等的。
即：
a⋅b=b⋅a
例如：
2⋅3=3⋅2=6
2. 乘法结合律
乘法结合律指的是多个数按一定的次序相乘时，无论怎样加括号，其乘积都是相等的。
即：
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
例如：
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)=24
3. 乘法分配律
乘法分配律指的是一个数与两个数的和相乘，等于该数分别与这两个数相乘后的和。
即：
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
例如：
2⋅(3+4)=2⋅3+2⋅4=14
4. 乘法幂规则
乘法幂规则是指相同底数的幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加。
即：
a m⋅a n=a m+n
例如：
23⋅24=23+4=27=128
5. 乘法零律
乘法零律指的是任何数与0相乘，结果都为0。
即：
a⋅0=0
例如：
2⋅0=0
6. 乘法倒数规则
乘法倒数规则是指一个数与其倒数相乘等于1。
即：
a⋅1
a
=1
例如：
2⋅1
2
=1
这些乘法公式是数学运算中常用的法则，可以简化计算过程，提高计算的效率。
通过灵活运用这些公式，可以更加高效地解决数学问题。
初二乘法公式
初二乘法公式
乘法公式是数学中的一种基本公式，用于计算两个数的乘积。
在初二数学中学习的乘法公式为：
乘法公式1：两个整数相乘
例如，如果要计算2和3的乘积，我们可以使用乘法公式1：
2 ×
3 = 6
乘法公式2：两个整数的积与它们的一部分相乘
例如，如果要计算3和5的积与2相乘，我们可以使用乘法公式2：(3 × 5) × 2 = 30
乘法公式3：两个整数和一个分数相乘
例如，如果要计算4和7以及1/2的乘积，我们可以使用乘法公式3：(4 × 7) × 1/2 = 14
乘法公式4：两个分数相乘
例如，如果要计算1/3和2/5的乘积，我们可以使用乘法公式4：
(1/3) × (2/5) = 2/15
以上是初二乘法公式的简单介绍，希望对你有帮助！。
初中数学7年级乘法公式
乘法是数学中非常重要的运算之一、在初中数学7年级的课程中，学生会学习到乘法公式，以及如何正确应用乘法公式解决问题。
一、乘法的定义及性质乘法是一种加快计算速度的运算方法。
在数学中，乘法是指把两个数的乘法操作称为乘积。
例如，将3和4相乘，结果为12，我们可以写成3×4=12、乘法操作符号“×”表示乘法。
乘法具有一些特殊的性质。
其中，乘法结合律是指三个数相乘的结果不受先后顺序的影响。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)=60。
乘法交换律是指两个数相乘的结果也不受先后顺序的影响。
例如，3×4=4×3=12乘法还有一个特别重要的性质是乘法公式。
二、乘法公式乘法公式是用于展开乘法式子的一个重要工具。
在初中数学7年级的课程中，学生将学习到以下几个常见的乘法公式：1.两个一位数相乘的乘法公式：当两个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ad × 10 + ad × b + bc × 10 + bc × d例如：27×36=20×30+20×6+7×30+7×6=9722.一个两位数与一个一位数相乘的乘法公式：当一个两位数与一个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × c = c × 10a + c × b3.两个两位数相乘的乘法公式：当两个两位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ac × 100 + ad × 10 + bc × 10 + bd例如：27×38=20×100+20×8+7×100+7×8=1026三、应用乘法公式解决问题乘法公式在解决实际问题时非常有用。
下面举几个例子，看看如何应用乘法公式解决问题。
乘法公式
乘法公式【例1】 计算：⑴ ()()22552516a a a b +-=-；⑵ ()22121453259x y x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ⑶ 2211()()22x y x y -+；⑷ (41)(41)a a ---+；⑸ ()()m n m n a b a b +-基础知识示例剖析常用公式(一)：⑴平方差公式：()()22a b a b a b +-=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+()()2224x x x +-=- ()()()()()()22x y x y x y x y x y x y ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+--()2222m n m mn n -=-+常见变形：()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+2221()2ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 2221()2a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 221()()4a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 公式的意义：乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的．一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳和总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算，同时培养学生的求简意识．公式的特征：⑴公式中的a ，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式；⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用；⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜．模块一 平方差公式【例2】 计算：⑴ 2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵ 2244()()()()a b a b a b a b -+++；⑶ (23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--【例3】 ⑴ 如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值是⑵ 已知2a b +=，则224a b b -+的值是_______【例4】 ⑴ 计算：()()()()2432212121211+++++⑵ 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶ 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【备选】求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值．【例5】 计算：9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．【例6】 计算：⑴2(4)m n +；⑵21()2x -；⑶2(32)x y -；⑷21(4)4y --；⑸2(811)a b -+；⑹2(23)x y --【例7】 计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+；⑶()()a b c a b c ++--【例8】 ⑴ 若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4 ⑵ 如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为⑶ 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值． ⑷ 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值．【例9】 若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 【巩固】 若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的M ．【例10】 ⑴ 若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵ 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ．模块二 完全平方公式【例1】 ⑴ 已知3a b +=，12ab =，求下列式的值：22a ab b -+= ；2()a b -=⑵ 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【例2】 ⑴ 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．⑵ 已知(2012)(2010)2011a a --=，那么22(2012)(2010)a a -+-= ．【例3】 ⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________．⑵ 已知：2217a a +=，求1a a+的值．【例4】 已知：2710x x -+=，求⑴ 1x x +；⑵ 221x x +；⑶ 441x x+的值．【备选】若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．模块三 公式的应用能力提升知识模块一 平方差公式 课后演练【演练1】 ⑴ 计算：()()()()()()x y x y y z y z z x z x +-++-++-=________；⑵ 计算 ()()2211ab ab +--=________；⑶ 已知1a b -= ，221a b -=- ，则a b +=_________； ⑷ 已知()()118a b a b +++-=，则a b +=_________【演练2】 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．知识模块二 完全平方公式 课后演练【演练3】 计算：⑴222(30.5)a b ab +；⑵2(1113)m n a b -；⑶2(25)(52)(25)x x x ----【演练4】 计算：⑴(22)(22)x y y x -+-+；⑵()()22a b c b c a --+-【演练5】 如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为【演练6】 ⑴ 已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．⑵ 证明：当a ，b 取任意有理数时，多项式222611a b a b +-++的值总是正数．【演练7】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值．【演练8】 已知：2213a a +=，求1a a-的值．。
初中数学竞赛重要定理及结论(完整版)
C
C
C
C
A
B
M
D B
D
M
A
D
D
A
B
M
A
M
B
【重心】定义：重心是三角形三边中线的交点，
重心的性质：
（1）设 G 为△ ABC 的重心，连结 AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则 AG: GD 2 :1；
2
2
2
（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，
若 A 平分线交△ ABC 外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB，则 I 为△ ABC 的
内心；
（4）设 I 为△ ABC 的内心，BC a, AC b, AB c, A 平分线交 BC 于 D，交△ ABC 外接
a H ( cos A
xA
b cosB
xB
c cosC
xC
,
a cos A
yA
b cosB
yB
c cosC
yC
)
abc
abc
cos A cosB cosC
cos A cosB cosC
垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍； （2）垂心 H 关于△ ABC 的三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上； （3）△ ABC 的垂心为 H，则△ ABC，△ ABH，△ BCH，△ ACH 的外接圆是等圆； （ 4 ） 设 O ， H 分 别 为 △ ABC 的 外 心 和 垂 心 ， 则 BAO HAC,CBO ABH,BCO HCA． 【内 心 】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
八年级数学竞赛例题专题讲解：乘法公式(含答案)
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。
初中竞赛数学18.乘法公式(含答案)
18.乘法公式知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.(江苏省竞赛题)(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则2220002x yx y⎧-=±⎨-=⎩得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.解:选B【例3】计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 2a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110x y -=±⎧⎨-=⎩或1011x y -=⎧⎨-=±⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x 2-1;(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;(3) 2221999199819991997199919992+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,•请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____. (2003年菏泽市中考题)6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).A.-15B.-2C.-6D.6 (2003年扬州市中考题)7.乘积(1-212)(1-213)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000(2002年重庆市竞赛题)8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).A.4B.2002C.2D.49.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是().A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2C.(a -b)2=a 2-2ab+bD.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由.(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003年上海市中考题)12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).(2001年黄冈市竞赛题)二、能力拓展14.你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,•任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+•25;•……752=•5625•可成写__________;852=7225可写成__________.(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.17.1,2,3,•……,•98•共98•个自然数中,•能够表示成两整数的平方差的个数是________.(全国初中数学联赛试题)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).A.4B.0C.2D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.A.6B.7C.8D.920.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).A.x≤yB.x≥yC.x<yD.x>y (2003年太原市竞赛题)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-•ab-•bc-c a的值为( ).A.0B.1C.2D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)三、综合创新25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1•顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10•顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.26.(1)请观察:25=521225=352112225=335211122225=33352……写出表示一般规律的等式,并加以证明.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?答案1.x n+1-12.-133.(1)4;(2)3897326;(3)124.(a+b)2-4ab=(a-b)25.246.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约8.C 提示:由已知条件得xy=09.D 提示:x≠0,由条件得x+1x=13,x4+41x=(x2+21x)2-2=[(x+1x)2-2]2-2 10.A11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为x,由题意得224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩②-①得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1从而891n mn m+=⎧⎨-=⎩,解得4544nm=⎧⎨=⎩(m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.216.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n为整数),因n+m与n-m•的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.18.B提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥021.D 提示:原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]22. 718 提示:由a+b=1,a 2+b 2=2,得ab=-12, 利用a n+1+b n+1=(a n +b n )(a+b)-ab(a n-1+b n-1)•可分别求得 a 3+b 3=52,a 4+b 4=72,a 5+b 5=194 ,a 6+b 6=264. 23.48 提示:由a 2-a-1=0,得a -a -1=1,进而a 2+a -2=3,a 4+a -4=7, 所以a 8+7a -4=a 4(a 4+a -4)+7a -4-•1=7a -4+7a -4-1=7(a 4+a -4)-1=48.24.提示:设2222x y a b x y a b+=+⎧⎨+=+⎩, 则由①2-②得2xy=2ab ③ ②-③,得(x-y )2=(a -b)2,即│x-y │=│a-b │则x-y=a-b 或x-y=b-a,分别与x+y=a+b 联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩25.提示:由题意知:x i +y i =9(i=1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10 因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=026.(1)提示:经观察,发现规律: (1)111n - 个 2225n 个=((1)3335n - 个)2 ,实际上, ((1)3335n - 个)2=(3332n + 个)2=(13×9992n + 个)2 =[13(10n -1)+2]2=(1053n +)2=2109n +1109n ++259 =21019n -+11019n +-+2529+= 2111n 个+ (1)111n + 个+3 = (1)111n - 个 2225n 个(2)一般地,设m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-•2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或(a c-bd)2+(bc+ad)2.。
初中乘法公式(一)
初中乘法公式(一)初中乘法公式在初中数学中，乘法是一个非常重要的运算符号。
乘法公式是用来简化乘法运算的一种表达方式。
在初中数学中常见的乘法公式包括：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等。
乘法交换律乘法交换律是指两个数相乘的结果与两个数的顺序无关。
乘法交换律的公式为：a * b = b * a例如：2 * 3 = 3 * 2 = 6这意味着，无论是先乘2再乘3，还是先乘3再乘2，最终的结果都是6。
乘法结合律乘法结合律是指三个数相乘的结果与两个数的相乘顺序无关。
乘法结合律的公式为：(a * b) * c = a * (b * c)例如：(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24这意味着，无论是先计算2乘以3再乘以4，还是先计算3乘以4再乘以2，最终的结果都是24。
乘法分配律乘法分配律是指一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘后的和。
乘法分配律的公式为：a * (b + c) = a * b + a * c例如：2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4 = 14这意味着，将2与3相加再乘以4，结果等于将2分别乘以3和4后的和。
乘法的应用乘法公式在数学中的应用非常广泛。
我们可以利用乘法公式简化计算过程，快速求解乘法运算。
例如：计算9 * 36根据乘法的分配律，我们可以将9分别与30和6相乘后的和，即9 * 36 = (9 * 30) + (9 * 6)进一步计算得：9 * 30 = 270，9 * 6 = 54最终结果为：9 * 36 = 270 + 54 = 324通过运用乘法公式，我们可以快速得到9乘以36的结果为324。
通过学习和掌握初中乘法公式，我们可以更加灵活地运用乘法进行数学计算，简化运算过程，提高计算效率。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
A-初中数学竞赛辅导知识点2017年1013
初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98〔能被7整除〕又如7007700－14＝686，68－12＝56〔能被7整除〕能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99〔能11整除〕又如102851028－5＝1023102－3＝99〔能11整除〕第二讲倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B〔B≠0〕，如果B能整除A〔记作B｜A〕，那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3、整数A〔A≠0〕的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4、整数A〔A≠0〕的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数〔例如15与28互质〕。
7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。
假设用字母表示可记作：A ＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。
例如23＝3×7＋2，那么23－2能被3整除。
第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数〔质数也称素数〕。
初中数学竞赛重要定理及结论最新版最完整版
初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==,其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径,r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 【斯特瓦尔特(Stewart )定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．【托勒密（Ptolemy ）定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，（逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点,弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP =QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理)】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+;中线长：222222a c b m a -+=． 【垂线定理】2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中,AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理)．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 【正弦定理】R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】C ab b a c cos 2222-+= A cb b c a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=【张角定理】ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理)：切线长定理:）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
初中数学乘法公式
第 1 页 共 16 页乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a +b ）（a -b ）=a 2-b 2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a -b ）2=a 2-2ab +b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：（1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的第 2 页 共 16 页长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a -b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ⨯=2--其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a -b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=⋅-⋅--结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：()2222b ab a b a +-=-（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a +b ）2=a 2+b 2，（a -b ）2=a 2-b 2。
初一乘法公式
初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用．公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式．公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等．2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，平方差公式：（a＋b）(a－b)＝a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab＋b2)＝a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍．②二项式定理：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3(a±b)4＝a4±4a3b＋6a2b2±4ab3＋b4）（a±b）5＝a5±5a4b＋10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a＋b）(a3－a2b＋ab2－b3)＝a4－b4(a＋b)(a4－a3b＋a2b2－ab3＋b4)＝a5＋b5(a＋b)(a5－a4b＋a3b2－a2b3＋ab4－b5)＝a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a＋b)(a2n－1－a2n－2b＋a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)＝a2n－b2n(a＋b)(a2n－a2n－1b＋a2n－2b2－…－ab2n－1＋b2n)＝a2n＋1＋b2n＋1类似地：（a－b）(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)＝a n －b n4.公式的变形及其逆运算由（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2得a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 由(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋b3＋3ab(a＋b) 得a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除，a2n＋1＋b2n＋1能被a＋b整除，a2n－b2n能被a＋b及a－b整除．乙例题例1. 己知x＋y＝a xy＝b求①x2＋y2②x3＋y3③x4＋y4④x5＋y5 解：①x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝a2－2b②x3＋y3＝(x＋y)3－3xy（x＋y）＝a3－3ab③x4＋y4＝(x＋y)4－4xy（x2＋y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2④x5＋y5＝（x＋y）(x4－x3y＋x2y2－xy3＋y4)＝(x＋y)［x4＋y4－xy(x2＋y2)＋x2y2］＝a［a4－4a2b＋2b2－b(a2－2b)＋b2］＝a5－5a3b＋5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方．证明：设这四个数分别为a，a＋1，a＋2，a＋3(a 为整数)a(a＋1)(a＋2)(a＋3)＋1＝a(a＋3)(a＋1)(a＋2)＋1＝(a2＋3a)(a2＋3a＋2)＋1＝(a2＋3a)2＋2(a2＋3a)＋1＝(a2＋3a＋1)2∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数∴a2＋3a＋1是整数证毕例3.求证：2222＋3111能被7整除证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111根据a2n＋1＋b2n＋1能被a＋b整除，（见内容提要4）∴4111＋3111能被4＋3整除∴2222＋3111能被7整除例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a＋5)2＝100a2＋2×10a ×5＋25＝100a(a＋1)＋25∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积．如：152＝225 幂的百位上的数字2＝1×2)，252＝625 (6＝2×3)，352＝1225 (12＝3×4) 452＝2025 (20＝4×5)……丙练习151．填空：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－_____ ②(a ＋b )2＝(a－b )2＋___③a 3＋b 3＝(a ＋b )3－3ab (___) ④a 4＋b 4＝(a 2＋b 2)2－____，⑤a 5＋b 5＝(a ＋b )(a 4＋b 4)－_____ ⑥a 5＋b 5＝(a 2＋b 2)(a 3＋b 3)－____2． 填空：①(x ＋y )(___________)＝x 4－y 4 ②(x －y )(__________)＝x 4－y 4③(x ＋y )( ___________)＝x 5＋y 5 ④（x －y ）(__________)＝x 5－y 53.计算：①552＝ ②652＝ ③752＝ ④852＝ ⑤952＝4. 计算下列各题 ，你发现什么规律⑥11×19＝ ⑦22×28＝ ⑧34×36＝ ⑨43×47＝ ⑩76×74＝5..已知x ＋x 1＝3， 求①x 2＋21x ②x 3＋31x ③x 4＋41x 的值6.化简：①（a＋b）2(a－b)2②(a＋b)(a2－ab＋b2)③(a－b)((a＋b)3－2ab(a2－b2)④(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(－a＋b＋c)7.己知a＋b＝1，求证：a3＋b3－3ab＝18.己知a2＝a＋1，求代数式a5－5a＋2的值9.求证：233＋1能被9整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方Array11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a，b，c①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差．练习154.十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积8.n(n＋1)＋(n＋1)＝(n＋1)29.①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于(ab＋ac＋bc)②2提供者：quiker。
最新初中数学竞赛知识点归纳
最新初中数学竞赛知识点归纳初中数学竞赛知识点归纳⼀、数的整除（⼀）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有⾮零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）⼜如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）⼜如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）⼆、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以⾮0的任何数都得0，所以0被⾮0整数整除。
0是任何⾮0整数的倍数，⾮0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有⽆数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合⾥研究公倍数和公约数，⼏正整数有最⼩的公倍数和最⽝的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若⽤字母表⽰可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的⼀种分类：质数的定义：如果⼀个⼤于1的正整数，只能被1和它本⾝整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：⼀个正整数除了能被1和本⾝整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即（a+b）（ a-b） =a 2- b 2a说明：a （1）几何解释平方差公式b 如右图所示：边长 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
b第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－ b2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（ a－ b），它的面积是：（ a＋ b）（a－ b）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以： a 2－ b2＝（ a＋ b）（ a－b）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的 a 和 b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a+b）2=a 2 +2ab+b 2，（ a-b）2 =a 2 - 2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（ a＋ b）2ba第二种：把图形分割成由 2 个正方形和 2 个相同的a b第1页共16页长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是a，宽是 b，所以它的面积就是：a2＋ ab＋ ab＋ b2＝ a2＋ 2ab＋b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（ a＋b）2＝ a2＋ 2ab＋ b2（2）几何解释完全平方（差）公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（ a-b）2第二种：把图形分割成由 2 个正方形和 2 个相同的长方形来看，S阴影S大正方形 - S小正方形 - 2S长方形其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是 b，所以它的面积就是： a2b2 2 a b b a22ab b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以： a b 2 a 22ab b2（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（ a+b）2=a2+b2，（ a-b）2=a2 - b 2。
乘法方程式计算公式怎么写
乘法方程式计算公式怎么写乘法方程式计算公式。
乘法方程式是代数学中的一个重要概念，它是一种用来表示两个数相乘的数学表达式。
在代数学中，我们经常需要解决各种各样的乘法方程式，因此了解乘法方程式的计算公式是非常重要的。
乘法方程式的计算公式可以通过简单的代数运算来实现。
在本文中，我们将介绍乘法方程式的计算公式，并通过一些例子来说明如何使用这些公式来解决乘法方程式。
乘法方程式的计算公式可以表示为：a ×b = c。
其中a和b是要相乘的两个数，c是它们的乘积。
在这个公式中，a和b被称为乘法方程式的因数，c被称为乘法方程式的积。
要解决一个乘法方程式，我们需要找到合适的值来代替a、b和c，使得等式成立。
解决乘法方程式的关键是找到合适的值来代替a、b和c。
为了找到这些值，我们可以使用一些简单的代数运算。
下面是一些常用的代数运算规则，可以帮助我们解决乘法方程式：1. 乘法交换律，a × b = b × a。
2. 乘法结合律，a × (b × c) = (a × b) × c。
3. 乘法分配律，a × (b + c) = a × b + a × c。
通过这些代数运算规则，我们可以将一个乘法方程式转化为一个更简单的形式，从而更容易解决。
下面我们将通过一些例子来说明如何使用这些代数运算规则来解决乘法方程式。
例1，解决简单的乘法方程式。
考虑一个简单的乘法方程式，2 × 3 = c。
根据乘法方程式的计算公式，我们可以直接计算出c的值：c = 2 × 3。
c = 6。
因此，这个乘法方程式的解是c=6。
例2，使用乘法交换律解决乘法方程式。
考虑一个乘法方程式，4 × 5 = c。
根据乘法交换律，我们可以将这个乘法方程式转化为，5 × 4 = c。
然后直接计算出c的值：c = 5 × 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛辅导资料（15）
乘法公式
内容提要
1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n
4.公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
a n－
b n能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5
解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b
②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab
③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2
④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)
=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］
=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］
＝a5－5a3b+5ab2
例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a2+3a+1是整数证毕
例3.求证：2222＋3111能被7整除
证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111
根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）
∴4111＋3111能被4＋3整除
∴2222＋3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)，252=625 (6=2×3)，352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
……
练习
1． 填空：
①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___
③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____
,⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____
2． 填空：
①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4
③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 5
3.计算：
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5..已知x+x 1=3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x
的值
6.化简：①（a+b ）2(a －b)2
②(a+b)(a 2－ab+b 2)
③(a －b)((a+b)3－2ab(a 2－b 2)
④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c)
7.己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=1
8.己知a 2=a+1，求代数式a 5－5a+2的值
9.求证：233＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们
的直径分别是a,b,c
① ②。