一个新的Hilbert型积分不等式及其等价式

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微积分中的海森堡不等式

微积分中的海森堡不等式一、微积分中的海森堡不等式微积分是现代数学的重要分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。

微积分中的海森堡不等式是一条重要的不确定性原理。

它指出，在任何量子态下，粒子的位置和动量无法同时被精确测量，即存在不确定性。

这个原理对于粒子在微观世界中的运动和性质有着重要的意义。

二、不确定性原理的背景20世纪早期，量子力学的诞生为物理学家们带来了极大的惊喜和挑战。

量子力学与经典力学不同，强调量子态和量子力学中的测量和不确定性。

在经典力学中，我们可以通过精确的测量来得到物体的位置和速度，进而预测它的运动轨迹。

但在量子力学中，粒子的运动和性质需要用波函数来描述，并且存在测量不确定性。

为了证明不确定性原理，德国物理学家海森堡进行了严密的推导和思考。

他认为，任何量子态下，实验者无法同时精确测量粒子的位置和速度，这是一种不可避免的测量误差。

他将这个观点提出来并用严密的理论进行证明，最终得出了著名的海森堡不等式。

三、海森堡不等式的表述海森堡不等式是指，对于任意量子态，粒子的位置和速度的不确定性满足以下关系：$$ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$其中，$\Delta x$表示粒子位置的不确定度，$\Delta p$表示粒子动量的不确定度，$\hbar$为普朗克常数，其数值为$6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$。

海森堡不等式表明，无论我们用什么精确度来测量粒子的位置和速度，它们的乘积都不可能小于$\hbar/2$。

如果我们提高了对粒子位置的测量精度，那么对粒子速度的测量精度就会降低，反之亦然。

也就是说，对于粒子的位置和速度，我们无法同时精确地测量它们的值。

四、不确定性原理的意义海森堡不等式所预示的不确定性原理，不仅仅是一个数学定理，也是量子力学中最为重要的原则之一。

它揭示了微观世界的本质规律和运动特性。

一个核为双曲正割函数的Hilbert型积分不等式

Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１３，４０（３）：２５５－２５９Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇＰ— ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｏｔｈｅｒｓｐｅｃｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｗａｙｏｆｗｅｉｇｈｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｍｅｔｈ—
ＬＩＵＱｉｏｎｇ。ＬＯＮＧＳｈｕｎ－ｃｈａｏ（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｏｙａｎｇＵｎｉｌａｎａｌｙｓｉｓ，ａＨｉｌｂｅｒｔ — ｔｙｐｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｗｉｔｈｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｅｃａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｆｏｒｍｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄａｎｄｔｈｅｉｒｃｏｎｓｔａｎｔ｛ａｃｔｏｒｓａｒｅｐｒｏｖｅｄｂｅｉｎｇｔｈｅｂｅｓｔｐｏｓｓｉｂｌｅ．Ｂｙｔａｋｉｎｇｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｐａ —
ｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓ。ｓｏｍｅｍｅａｎｉｎｇｆｕｌｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．

一个含多参数混合核的hilbert型积分不等式及应用

第39卷第2期2012年3月浙江大学学报(理学版)J ournal of Zhej }i ang U ni vers i t y(Sci ence Edi t i on)ht t p ：／／w w w ．j ourna l s ．zj U ．edu ．cn ／SCiV 01．39N o ．2M a r ．2012D O I ：10．3785／j ．i s sn ．1008—9497．2012．02．003一个含多参数混合核的H i l ber t 型积分不等式及应用刘琼1，杨必成2(1．邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳422000；2．广东第二师范学院数学系，广东广州510303)摘要：引入双共轭指数对，利用权函数和实分析方法，建立了一个含多参数混合核的H i l ber t 型积分不等式和它的等价式，证明了它们的常数因子是最佳值，并浅谈了其应用，得到一系列特殊且有意义的结果．关键词：H i l ber t 型积分不等式；参数；权系数；最佳常数因子；H bl der 不等式；应用中图分类号：0178文献标志码：A文章编号：1008—9497(2012)02—135—07L I U Q i on91．Y A N G B i —ehen92(1．D epar t m ent of Sci ence a nd I nf or m at i on ，S haoya ng U ni ve r si t y ，S haoyang422000，H una n Pr ovi n ce ，C hi na ；2．D ept ar t m ent of Ma t hem a t i c s ，G uangdong U ni ver s i t y of E duca t i on ，G ua ng —zho u510303，C hi na)A H i l be rt -t ype i n t eg r a l i nequal i t y w i t h t he m i x ed ker nel of so m e par am et er s an d i t s ap pl i cat i o n ．J o ur n al of Z h@ang U ni ver s i t y (Sci en ce E di t i on)，2012，39(2)：135—141A bst r act ：B y i n t r od uci n g t wo conj ugat e i ndexes and us i ng t he w ay of w ei ght coef f i c i ent and t he m et hod of r e al anal y —si s ，aH i l bert -t yp e i nt egr a l i nequal i t y wi t h t he m i x ed ker nel of s om e par am et er s and i t s e qui va l e nt f o r m a r e gi ven ．T hei rc o ns t a n tfa c t or i s pr ovedt obe t he be s t poss i bl e ，and i t s a ppl i ca t i on i s di s cus s ed ．A se r i e s of spec i a l and mea n —i ngf ul r e sul t sar eobt ai ned ．K e y W or ds ：H i l ber t -t y pe i nt e gra l i neq ual i t y ；par am et er ；w ei ght c oef f i ci e nt ；t he be s t c o ns t a n tf ac t or ；H 61de r ’S i n e —qua l i t y ；a ppl i ca t i on引言设P>1，三+三一1，，＆)，g(y)≥o ，o<Pq(f 尸(z)如)古一II f II ，<。

一个多参数的新Hilbert型积分不等式

（卜）（，．），２』（』１（）（）））－，ｙ）３）
常数因子ｋ（）＝ｑ／ｐ＋Ａ一）ｑ＋Ａ一２为最ＰｐＡ（２（）
佳值．０７年，２０文献［］３引入一对共轭指数（咖，）给出了（）的进一步推广式，１式
常数因子Ｋ（）＝Ｂ（／１一Ａ）＋（／，ａＰａｐ，Ａｑ１一Ａ）
Ｊ［ｍｘＹ｝ｄ＜［０ａ～、０｛Ｊ
，
是最佳的．０７，２０ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年文献［］５引入一对共轭指数（，ｒｓ（＞１１ｒ／＝）给出了（）的推广式）ｒ，／＋１ｓ１，４式
∈（，，０ ∞）
那么有（，ｓ）＝Ｂ１—２ａｒ（Ａ，／）＋Ｂ（１—２ａｓ．Ａ，／）（）８
，Ｊ－（兰ｊ：】＝一旦兰
＾
（（曰Ｉ一２一旦）＋Ａ，
占ｓｑ
（，，）＝５Ｐ
一ＹＩ＾２ｕ ’
Ｂ１— Ａ，Ｌ＋＿）一Ｏ１８４＋（１（２．）（）－）．１）－
，
Ｊｏ
ｒ
／－
ｑ
Ｉ
证明
（）７
作变换＝／，由（）ｙ再６式有
一
个多参数的新Ｈｌｅｔ积分不等式ｉｒ型ｂ
辛冬梅
（广东教育学院数学系，广东广州５００）１３３
摘要：ｉｅ不等式是分析学的重要不等式，Ｈｌｒｂｔ由于权系数方法的改进及参量化思想的应用，使这一领域的研究有了深入的发展．通过引入参数及估算权函数，立一个新的核为Ａ齐次且具有最佳常数因子的建

新核Hilbert型积分不等式的一个推广_付向红

第29卷第4期广东海洋大学学报 V ol.29 No.42009年8月 Journal of Guangdong Ocean University Aug. 2009收稿日期：2009-03-22作者简介：付向红(1968—)，女，硕士，高级讲师，主要从事高校数学教学和泛函分析方面的工作。

新核Hilbert 型积分不等式的一个推广付向红（广东机电职业技术学院基础部，广东广州 510515）摘要：通过引入权函数的方法，得到了一个带最佳值()c λ的Hilbert 型积分不等式及其等价形式。

关键词：Hilbert 型积分不等式；权函数；Holder 不等式中图分类号：O175.12 文献标志码：A 文章编号：1673-9159(2009)04-0063-04The Generalization of a New Hilbert-type Integral InequalityFU Xiang-hong(Department of Basic Courses ，Guangdong Vocational College of Mechanical andElectrical Technology ，Guangzhou 510515, China )Abstract: By introducing the weight function, we obtain a new Hilbert-type integral inequality and the equivalent form with a best constant factor ()c λ.Key words: Hilbert-type integral inequality ；weight function ；Holderinequality1 引理如果(),()0,f x g x >200()d ,f x x ∞<<∞∫20()d g x x ∞<<∞∫则不等式[1]()()d d ∞∞<+∫∫f xg y x y x y1222π{()d ()d }∞∞∫∫f x x g x x (1)称为Hilbert 型积分不等式，1925年Hardy [2]将其推广。

一个新的Hilbert型积分不等式的推广

土孙
，
，∈ ，Ａ＝（Ａ）＂１Ａｃ）（）Ｂ＋ — ＋引￣，Ｂ－詈（＋
么若
ｃ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（）２．３
…
那么有
一≥（】ｌ一（？＋＝ｌ＞，＋三，百，１＝１男：＜＜并＜＜１１ｒ，） ‘ 且０Ｅ
ｄ＜（ｘｄｙ
ｄｘｄｙ＜
）￣－ｇｄｚｌｑ（－㈦）ｘＡｑ㈦）ｄ（㈦）６ｄｉ，
（
其中常数因子Ｋｐ＝Ｂ（１）（），一＋Ｂ（ｌ）Ｒｐ一Ｂ（， — 和（）吐， — ＋Ｂ（ｌ）吐，一１）都是最佳值．２００６年杨［建立了如下一个新的联系两个基本型不等式的积分算子不等式。］
。。／ｏ
－夕＜（）Ｂ，］－ｃ，ｃｄ［＋（），－ａｃＢ，－，・ｄ夕７
（。。
，）｝［，Ｂ，－，ｃ－＜（）（），ｃＢ］・．ｄＡ＋吉８，ｄ
其中常数因子［（，）（，）为最佳值．Ｂ＋Ｂ］
数学物理学报
２１，０６：６８１５００３Ａ（）４６３１ｈｔ：ａｔｍｓｉｍ．．ｔｐ／ｃａ．ｐａｃ／ｗＣｎ
一
个新的Ｈｉｅｔ积分不等式的推广ｌｒ型ｂ
辛冬梅。杨必成
（东教育学院数学系广广州５００）１３３
本文通过引入函数、两个独立参数，和两对共轭指数（，）（，）建立了（．式Ｐｑ，ｒｓ，１）７

一个含多参数的Hilbert型积分不等式

证明若有＞０使式（），６取等号，有不全为０的常数Ａ，不妨设Ａ≠０，得Ａ则Ｂ（）使
本文的主要任务是应用权函数的方法及实分析技巧，立一个（）的推广不等式，证明其常数建３式并因子为最佳值，还考虑了其等价式．
１若干引理
引理若口，＞０定义如下的函数：６，
、
）ｊ：。
＝
（２）
（＞０是最佳值．）进一步的，伟亮得到如下一个新的Ｈｉ巫１一
ｊ．
｝
ｄｃｏ２）］ｆ￣）］ｚ＜（ｄ圭ｏ。ｄ专ｄＩｎｚｚ［ｘ（ｚ，ｒ
（３）
这里，常数因子ｃ１（／）最佳值．＝２ｎ３２是
Ｊｎ．０２ｕ２１
Ｖｏ．Ｎｏ．１２９２
第２９卷第２期
文章编号：０２—８４（０２０ —０３ —０１０７３２１）２０４３
一
个含多参数的Ｈｉｅｔ积分不等式ｌｒ型ｂ
巫伟亮
（应学院数学学院，东梅州５４３）嘉广１０１
摘
要：过引入两个独立参数，用权函数的方法及实分析的技巧，立一个新的具有最佳常数因子的Ｈｉ通应建ｌ —
ｂｒ型积分不等式及其等价形式，证明了其常数因子是最佳值．ｅｔ并
关键词：函数；ｌｅ型积分不等式；价式；权Ｈｉｒｂｔ等最佳常数

赫尔德不等式的证明及其等价形式

赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。

它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。

简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。

f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。

假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。

这就是赫尔德不等式等价形式。

赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。

赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。

一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式

故有常数Ｃ，使
Ｐ＋６（）口‘＋）（Ｌ６ｌ
Ｍｘ
（）＝缈
（）＝ａｅｎ（，，ｙｃ．．ｉｏ ∞）
盯新
砒岫＜㈩
由此必有Ｍ＝０然，Ｍ≠Ｏ则ｐ＿一（＝．不如，Ｌ＋）０ｎｒＪ．
ｃ（）０∞）乎处立，广ｐ＿一）／岔在（，几处成与【（６尸出＜甜） ∞ ＋ｌ，
文章编号：１０５６（００００３ — ３００— ４３２ｌ）３— ０１０
一
个新的有最佳常数因子的Ｈｌｅｔ积分不等式ｉｒ型ｂ
曾峥谢子填。，
（．１韶关学院数学与信息科学院，广东韶关５２０；．１０５２广东肇庆学院数学系，广东肇庆５６６）２０１
（口【口ｂ、）ｂ口Ｊ一一，一＋ × 】
ｂ
其中
｛ｆ
）ｆ｛
且有
同时还考虑了ａ＝ｂ的情形．２００７年，必成在文献［］杨４中给出了以下２个推广的最佳常数因子的Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式：ｂ
华南师范大学学报（自然科学版）
２１０Ｏ年８月
Ａｕｇ．２０１０
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＯＵＴＨＣＨＩＮＡＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲｒＹＳｒ
２１第３期００年
Ｎｏ３，２０１．０
（ＡＵＡＣＥＣＤＴＯ）ＮＴＲＬＳＩＮＥＥＩＩＮ
一
Ｉ（）尸出．

一个新的Hilbert型积分不等式及其最佳推广

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・
１４・
南昌大学学报（理科版）
２００８年
并证明其常数因子
为最佳值，考虑了其等价还
形式及（，）一参数形式下的最佳推广情形。ｐｑ
定理１设ｐ＞１＋１＝１，１
４（ｄｇｔｔ（ｔｔ２））上）上（ｄ÷
÷ （㈤ｔｇｄｄ￡㈤） ÷ （７）常），与（这，因曰，，（） ÷ 是佳３）里数子（都最
值（ｕ）ＢｔＢ（，为ｅａ函数）最近，。杨还给出如下
∞０上ｑ）＜，有，＜ｇｔｔ ∞则（ｄ
ｌ（）Ｉ７寺ｎ三ｘ一一）（ｇ）
若（２取等号，１）则有不全为零的实数Ａ与Ｂ，
使（）＝（）（，（∞ 号（日考古口ｏ）））于，
×（，。０ ∞）于是有常数Ｃ，使（）＝Ｂｇ（）＝ｙＹ
这里，常数因子叮，ｒ４都是最佳值。ｌｅｔｒ叮与Ｈｉｒ型积ｂ分不等式是以Ｈｌｅｔ分不等式（）为特例的一ｉｒ积ｂ１类更广泛的、具有对称核ｋｘＹ（，）的双线型不等式，它们是分析学的重要不等式。之所以称式（）一（）１３为 “ 本的Ｈｉｅｔ基ｌｒ型积分不等式”，因为它们都具ｂ是有条件简单、结构明了、的形式原始、常数因子核且为最佳值等特点．些不等式及其级数形式可通过这
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一个新的实齐次核的Hilbert型积分不等式及其逆

ｒｏｏ
０Ｉ＜
ｇ（）ｘ＜ ∞，。ｘｄ则有
收稿日期：０００ — ０２１ — １１
作者简介：谢子填，广东肇庆人，男，肇庆学院数学系教授．
２１００年第３期
谢子填：一个新的实齐次核的Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式及其逆ｂ
ｊ．）ｃ（）（ｄｙ－（Ｊ￣ｔ（ｇ）ｄａａ）ｘｒｎ￣（），尸告０－（古Ｂ～口－（｛ｘｇ，１｛．ｚｑｑ』Ｐ：Ｕ１ｘｚ
证明设ｚ— ｙｕ则／，
ｒ∞ １
（）６
ｗ一ｍ｛）Ｉ（ｊ（ｉ１）卜１） √ ｎ，０
一
（１
同理可得（）一Ｋ，．ｙ引理获证．
＋』
（１）＿一
Ｂ（２一，ｏ１＋）Ｂ（一，＋）一Ｋ．＋拟１
中图分类号：１８文献标识码：文章编号：０７８５（０００ — ０２００７Ａ１０— ７４２１）３０１— ５
设＞，＋（，）０ｏｊ（如 ∞ ｏｊｑ）＜，如１吉，ｚｇ ≥ ，＜ｒ＜及＜ｒ（ｄ ∞则下１厂）（且。）一ｚ、尸。ｘｘ。ｇ有
第３Ｏ卷
第３期
广东教育学院学报
ＪｕｎｌｆＧｕｎｄｎｕａｉｎＩｓｉｔｏｒａａｇｏｇＥｄｃｔｏｎｔｔｅｏｕ
Ｖ０．ＯＮｏ３１３．
２１００年６月
Ｊｎ００ｕ２１

一个新的具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式

收稿日期：２０－９２０７０－１
作者简介：王爱珍（９５）１７一，女，山东章丘人，广东教育学院数学系讲师，硕士
１８
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弓
１若干引理
引理１定义权函数（）０。）．１ｕ（Ｅ（，ｏ）如下：ｕ
一／ｏ
ｄ＜，，９，ｃｄ［ｃｃ］ｄｄ
ｄｙ
（）８
式，数子＝三ａａ／是佳中常因ｃ（一ｃ）最值ｒｎ２ｔｖ
证明配方，由带权的ＨＳｄｒ不等式［】ｌｅ１，有０
ｊｏ＋ｍ）－Ｙｆｇ＋ＹＪ＋ｉ，ＩｒｎＩ（（ｘｙｄ｛）ｘｘ一而／ｏ［／，ｃｄ ≤ ｃ］，［，ｄ，ｃ９］
式是它的等价形式，它们在分析学中有重要的应用［．２近年来，杨必成［８等应用权函数的方法，】３１－
对（）１式作了推广与改进．最近，葛晓葵等【应用权函数的方法，得到如下一个具有混合核的新的。】
Ｈｉｅｔ型积分不等式：ｌｒｂ
设，）），使得０＜。ｆ（）ｘ＜。，ｇ（）ｘ＜。，则有，夕 ≥０２ｘｄＯ０＜。２ｄｘＯ
中图分类号：０１８７
文献标识码：Ａ
文章编号：１０—８３２０）６０１—５０７６８（７０—０８００
设，，（），（）ｘ ≥０使得０Ｊｆ（）ｘＯ０Ｊｇ（）ｘ＜。，则有［ｇ＜Ｉ２ｄ＜。，＜Ｉ２ｄｘｘＯ１１
。。。。
。。。。／０
式中，常数因子ｃ：２ａｃａｒｔｎ

一个新的实齐次核的Hilbert型积分不等式及其等价形式

Ａｓｒｃ：Ｈａｉｇｉｔｄｃｄａｈｍｏｅｅｕｅｅｆｒａｕｅ — ｅｒｅｗｉｗｎｅｅｄｎａａｔｒｂｔｔａｖｎｎｒｕｅｏｇｎｏｓｋｒｌｏｅｌｎｍｂｒｄｇｅｔｔｏｉｄｐｎｅｔｐｒｍｅｅｓｏｎｈ
设ｐ１１，１＝，）（ ≥ ，＜（）＜，＜ｌｑ）＜则如＞，ｔ／１，ｏ且０ｌｄ ∞ ０（ｄ ∞，有下／＋ｇｇ）ｆｘｘｇｘｘ
Ｈｄ．ｉｅ积分不等式：ｒａｙＨｌｒｂｔ
ＪＩ
这里常数因子－－
第５０卷
第４期
吉林大学学报（理学版）ＪｕｎｌｆｉｎＵｉｅｉＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｌｎｖｒｔｃｃｄｉＪｉｓｙ（ｅｔｎ
Ｖｏ．Ｎｏ．１５Ｏ４
２１０２年７月
Ｊｌ２２ｕｙ０１
一
个新的实齐次核的Ｈｉｅｔ积分不等式ｌｒ型ｂ及其等价形式
ＳｎＩ，／ＰＩｆｉ
ｄｙ上＇）厂｛ｇ）），＜ｉｔ｛））ｑｄｄｓｒ（ｄ（ｎ／（ｐ
（１）
为最佳值．
近年来，括积分型和级数型的Ｈｉｅ型不等式已有许多推广，但这些推广基本上是负齐次包ｌｒｂｔ
ｗｉｅｔｃｎｔｎａｔｒｔｉｖｌｅｈｑｉａｅｔｉｅｕｌｙｗｉｅｅｓｏｍｓｃｎｉｅｅ．Ｉｉｖｌｅｈｔａｂｓｏｓａｔｆｃｏ，ｉｎｏｖｓｔｅｅｕｖｌｎｎｑａｉｔｒｖｒｅｆｒｏｓｄｒｄｔｎｏｖｓｔｅｈｔｈｆｎｔｎｕｃｉ．Ｔｅｒｖｒｅｉｅｕｌｙａｄｔｅｒｃｒｅｐｎｉｇｅｕｖｌｎｒｓｗｒｉｅ．ｏｈｅｅｎｑａｉｎｈｉｏｒｓｏｄｎｑｉａｅｔｆｍｅｅｇｖｎｓｔｏＫｙｗｏｒｓ：Ｈｉｅｔｔｐｎｅｒｌｎｑａｉｅｄｌｒ－ｅｉｔｇａｅｕｌｙ；ｗｉｈｕｃｉｎ；Ｈ￣ｄｒＳｉｅｕｔｆｎｔｎｂｙｉｔｅｇｔｆｎｔｏｌｅ ’ ｎｑＭｉｙ；ｕｃｉｏ

一个新的-4μ齐次半离散Hilbert型不等式

．
以总设１＋， ’ ０＞＇ｏ。下假＞，寺ｏ ≤ “ ＇ｏ＞，古 ≤ ＞６＜
１相关引理
引理１定义权系数及权函数Ｗ（）和Ｗ（，ｎｘ）
ｒ。。１扎
．
ｗ，Ｊ１厶Ｔ，‘Ｉ＇（Ｊ瓦＿ｚｌＸ２ｚ～）０ｒＬａｒ —￣ ‘ －
Ｊ０
ＩＪ１
＋ｃ）ｎ
Ｉ ———万一 — 口Ｃ — Ｄ
—
（ｕ＋２ｕａｂ
（一ｔ — 一～ｒｃｎ三
关于严格单调下降，于是
）］一
一
Ｋ．
注意到无穷级数Ｗ（的每一项ｘ）
Ｗ（ｘ）＜Ｉ
妻妻
ｎ＝ｌｍ
＝
ｌ
＜｛ｎ６４：・２）ｎ “ 薹
１
类地若（，ｚ≥ ，ｚ）＜。＜。）＜ｘ有下ｉｒ积不似，厂）（０＜ｆ（ｄ。ｏｇｚＣ则以Ｈｂｔ分ｚｇ）０厂ｚ，（ｄ３，ｌ型ｅ
等式：
Ｊａ ’ｄ４０ｃｄｃｄ百ｆ０ｚ＜（厂ｇｚ．。ｘ，ｄ、。』。）０ｍｚ。１。Ｊ．ｆ。Ｊ．Ｊｆ。。ｕ
Ｈｉｅｔｌｒ型不等式．ｂ笔者利应用权函数，出一个一４给齐次的有最佳常数因子的半离散Ｈｉｅｔｌｒ型不等式，ｂ同时给出它的
等价式Ｉ总假设痧＞１＋：１ｏ≤ ≤ ，价式下，，ａ＞０６＞ｏｃ０６＜口。，，＞，。ｆ

一个新的逆向hilbert型不等式

一个新的逆向hilbert型不等式逆向Hilbert型不等式是令人兴奋的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的实际问题。

下面，我们将介绍关于逆向Hilbert型不等式的更多信息：1. 逆向Hilbert型不等式的基本原理逆向Hilbert型不等式就是一种更准确的不等式类型，它用来描述函数的局部特性。

它的基本原理是：若某个函数的某个导数非负，则它的函数值到局部最小值处（若函数值到局部最大值处，则对应导数为非正）。

2. 应用逆向Hilbert型不等式是一种非常有用和灵活的数学工具，它可以用于解决许多复杂的实际问题，比如调整最小化或者最大化某局部特征，精确定位局部最小或最大值，优化某系统的状态等。

3. 例子下面是一个典型的逆向Hilbert型不等式的例子，用于描述一个二元函数的局部性。

设f(x,y)为一个函数，我们定义逆向Hilbert不等式为： $$ f(x,y) \geq 0,\ \frac{\partial f}{\partial x} \geq 0,\ \frac{\partialf}{\partial y} \geq 0 $$这表明，如果函数的部分导数都是非负的，那么该函数的值在局部最小值处。

4. 优缺点a. 优点: 逆向Hilbert型不等式具有准确性高、计算复杂性低以及灵活应用等优点，因此可以被大量应用于实际问题中。

b. 缺点: 与普通不等式一样，逆向Hilbert型不等式也有一定的局限性，例如，当多变量超过三个时，就不太容易使用这种不等式。

5. 结论逆向Hilbert型不等式是一种准确且用处广泛的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的实际问题，比如优化系统的状态，最小化或最大化局部特征，以及精确定位局部最小或最大值等。

尽管其优势明显，但它仍然有一定的局限性，需要我们在具体问题中进行谨慎选择。

一个新的带参数的Hilbert型积分不等式

一个新的带参数的Hilbert型积分不等式周昱;高明哲【摘要】本文研究Hilbert积分不等式的推广问题.利用引入参数和对数积分核函数,建立了一种新的Hilbert型积分不等式,证明了用Euler数和π来表示的常数因子是最佳的,推广了经典的Hilbert积分不等式.%In this paper, some extensions on Hilbert integral inequality are studied. By introducing a parameter and an integral kernel function of logarithm, a new Hilbert type integral inequality is established , the constant factor expressed by the Euler number and π is proved to be the best possible, and some extensions of the classical Hilbert integral inequality are given .【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2011(031)003【总页数】7页(P575-581)【关键词】Hilbert积分不等式;权函数;积分核函数;Euler数;最佳常数【作者】周昱;高明哲【作者单位】吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南吉首416000;吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南吉首416000【正文语种】中文【中图分类】O178鉴于Hilbert不等式和Hilbert型不等式在分析学及其应用中的重要性,因此有不少数学工作者一直在进行研究.近年来,它们的各种改进和推广出现在大量的文献中(如文献[4–10]等),其中文献[6]列举了40余篇研究文献.本文的目的是通过引入一个适当的积分核函数并利用分析的技巧把(1.1)和(1.2)式的两种情形综合起来建立一个新的Hilbert型不等式,讨论新建不等式中的常数因子与Euler数的关系并证明其最佳性,它的特殊情形将给出一些有趣的结果.然后建立若干互相等价的不等式.为了证明我们的主要结果,需要下列引理.这个结果已在文献[10]中给出.作为应用,我们建立一些互相等价的不等式.定理3.2–3.4的证明方法与定理3.1的证明方法相类似,故从略.【相关文献】[1]Kuang Jichang.On new extensions of Hilbert’s integralinequality[J].J.Math.Anal.Appl.,1999,235(2)：608–614.[2]杨必成.关于一个推广的Hardy-Hilbert不等式[J].数学年刊(A辑),2002,23(2):247–254.[3]杨必成.关于一个Hilbert类积分不等式的推广及应用[J].应用数学,2003,16(2):82–86.[4]高明哲,贾维剑,高雪梅.关于Hardy-Hilbert不等式的一个改进[J].数学杂志,2006,26(6)：647–651．[5]匡继昌.常用不等式(第3版)[M].济南:山东科学技术出版社,2004.[6]高明哲,徐利治.Hilbert不等式的各种精化与拓广综述[J].数学研究与评论,2005,25(2):227–243.[7]Hu Ke.On Hilbert’s inequality[J].Chin.Ann.Math.,Ser.B,1992,13(1):35–39.[8]He Leping,Gao M ingzhe,Zhou Yu.On new extensions of Hilbert’s integral inequality[J].Internat.J.Math.&Math.Sci.,2008,2008:1–8.[9]贺乐平,陈小雨,谭立.Hardy-Hilbert型积分不等式的一个推广及应用[J].数学杂志,2006,26(5)：485–490．[10]《实用积分表》编委会(金玉明主编).实用积分表[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006.[11]《数学手册》编委会(王连祥、方德植等编).数学手册[M].北京:人民教育出版社,1979,231.。

一个新的含参数的Hilbert型积分不等式_杨必成

∫∫ ∫ ∫ ∞
0
∞ 0
f(xx)-g( yy)λdxdy<kλ(p)
∞
x(p-1)(2-λ)-1
fp(x)dx
1 p
0
∞
x(p-1)(2
-λ)-1
1
gq(x)dxq
;
0
∫ ∫ ∫ ∞
∞
yp+λ-3 (
0
0
f(x) x-y
λdx)pdy<
(kλ(p))p
∞ 0
x(p-1)(2
-λ)-1
fp(x)dx.
1
2
-λ)
∞ 0
xλ-1
f2 (x)dx,
(11)
证明配方 , 由式 (6), 有
6
河南大学学报 (自然科学版 ), 2005年 , 第 35卷第 4期
∫∫ ∫∫ ∞
J∶= 0
∞ 0
f(xx)-g( yy)λdxdy=
∞ 0
∞ 0
1 x-y λ
(xy)2- pqλf(x)
(yx)2p-qλg(x)dxdy
1
∞∞
-λ)=aεε ( a0
1 x-y λ
xλ-p2-εyλ-2q-εdy)dx≤
∫ ∫ ∞
aεεk(
x1-λxλ-2-εdx)1p
∞
(
x1 -λxλ-2
-εdx)1q
=k,
a
a
即有 kλ(p)≤ k(ε※ 0+).这矛盾于 k<kλ(p).故式 (9)的常数因子 kλ(p)为最佳值 .
∫∞
设 g(y)=y(p-1)(λ-1) 0
为形式
∫∫ ∫ ∫ ∞
0
∞ 0

一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式

一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式曾峥;谢子填【摘要】应用权函数,给出一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式. 同时给出它的等价式及其逆向不等式.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(000)003【总页数】4页(P31-33,38)【关键词】Hilbert积分不等式;权函数;H(o)lder不等式【作者】曾峥;谢子填【作者单位】韶关学院数学与信息科学院,广东韶关,512005;广东肇庆学院数学系,广东肇庆,526061【正文语种】中文【中图分类】O178假设p>1,+=1, f(x), g(x)≥0,且0<fp(x)dx<∞及0<gq(x)dx<∞,则有以下Hardy-Hilbert积分不等式[1]:dxdy<这儿常数因子为最佳值.关于Hardy-Hilbert不等式，近年来人们陆续作了推广[2-7].关于级数型Hilbert不等式近年也有很多人研究[8-10].最近,谢子填和杨必成[2]证明了:如p>1,+=1, a,b>0,a≠b,f(x),g(x)≥0,且0<fp(x)dx<∞及0<gq(x)dx<∞,则dxdy<gq(x)dx,同时还考虑了a=b的情形.2007年,杨必成在文献[4]中给出了以下2个推广的最佳常数因子的Hilbert型积分不等式:f(x)g(y)dxdy<xgq(x)dx,f(x)g(y)dxdy<{x(p-1)(1+)-1fp(x)dx×{x(q-1)(1+)-1gq(x)dx.我们将应用权函数方法给出一个新的含有最佳常数因子的Hilbert型不等式的推广式,它包含了式(3)和式(4).以下设a,b, 为非负数,且2a+b=+1;p>1, 1/p+1/q=1,r>1, 1/r+1/s=1.引理1 定义权函数W(x)和如下则其中且有证明设y=xσ,注意2a+b=+1, 则又由x=y/σ,则容易证明K1=K2,且定理1 如p>1,f(x)、g(x)非负实可测则f(x)g(y)dxdy<x.式(6)和式(7)等价,这儿常数因子K由引理1定义,且 K及Kp为最佳值.定理2 如1>p>0, f(x)、g(x)非负实可测则f(x)g(y)dxdy>Kx.式(8)和式(9)等价,这儿常数因子K及Kp为最佳值.我们仅证明定理1,定理2证明与之类似.定理1的证明由带权Hölder不等式[11],有f(x)g(y)dxdy=f(x)g(y)dxdy≤{fp(x)dydx×{gq(y)dxdy=如式(10)中的不等式取等号, 则有常数M和N使得Mfp(x)=Ngq(y) a.e. in (0,∞)×(0,∞).故有常数C,使由此必有M=0. 不然,如M≠0,则C/(Mx)在(0,∞)几乎处处成立,与矛盾.同理,N=0.此有式(6).我们用文献[4]的方法,证明K为最佳值. 如式(6)中常数K不是最佳值,则有代替式(6)中的K使不等式(6)仍然成立.由极限保号性, 则有α>0,使下式成立f(x)g(y)dxdy<对充分小的0<ε<及β(0,α),令fε(x)=gε(x)=0, 当x当x[β,∞).把fε,gε(x)代入式(11),两边乘以αεε,则式(11)为αεεfε(x)gε(y)dxdy<容易算出式(12)的右边为再算式(12)的左边,记y=σx,注意αεεfε(x)gε(y)dxdy=+-→+ (β→0).代入式(12),再令ε→0+,可得故与矛盾.下证式(6)和式(7)等价. 记存在n0+,当n≥n0时,有令y(0,∞),n≥n0.由式(6),有[f(x)]ngn(y)dxdy≤+∞,于是有∞.因而故当n→∞时应用式(6)、(13)和式(14)仍取严格不等号,从而有式(7).如式(7)成立,则f(x)g(y)dxdy=由式(15)和式(7)得式(6).评注容易看出式(6)包含了式(3)和式(4).事实上,在式(6)中设a=0, 这时b=+1,K==,于是令s=q可得式(3);令s=p可得式(4).致谢作者衷心感谢杨必成教授的指导和帮助！Key words： Hilbert-type integral inequality; weight function; Hölder’s inequality【相关文献】[1] HARDY G H. Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terems[J].Proc Math,1925,23(2): XLV-XLVI.[2] XIE Zitian,YANG Bicheng.A new Hilbert-type integral inequality with some parameters and its reverse[J].Kyungpook Mathe J,2008(48):93-100.[3] XIE Zitian, ZENG Zheng. A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree-3[J].J Math Appl,2008(339):324-331.[4] 杨必成.一个Hilbert型积分不等式[J].浙江大学学报:理学版,2007,34(2):121-124.YANG Bicheng.A Hilbert-type integral inequality[J]. Journal of Zhejiang University:Science Edition,2007,34(2):121-124.[5] 杨必成.一个具有混合核的Hilbert型积分不等式及推广[J].四川师范大学学报:自然科学版,2008,31(3):281-284.YANG Bicheng.A Hilbert-type inequality with a mixed kernel and extensions[J].Journal of Sichuan Normal University:Natural Science,2008,31(3):281-284.[6] 谢子填,慕容居敏.一个新的含多个参量的Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报:自然科学版, 2008(2):38-42.XIE Zitian, MU RONG Jumin.A new Hilbert type inequality with some parameters[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2008(2):38-42.[7] 黄臻晓.一个-4齐次核的Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报:自然科学版,2009(2):20-23.HUANG Zhenxiao.A new Hilbert-type inequality with the homogeneous kernel of-4 order[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2009(2):20-23.[8] XIE Zitian. A reverse Hilbert-type inequality with a best constant Factor[J].J Math Anal Appl，2008,343：1154-1160.[9] 谢子填,曾峥.一个含有参量的Hilbert型不等式[J].湘潭大学自然科学学报,2007,29(3):24-28. XIE Zitian, ZENG Zheng.A Hilbert-type inequality with parameters[J]. Natural Science Journal of Xiangtan University,2007,29(3):24-28.[10] 王文杰，贺乐平，陈铁灵.参量化的Hardy-Hilbert型不等式的改进[J].湘潭大学自然科学学报,2008,30(2):12-14.WANG Wenjie, HE Leping, CHEN Tieling.On an improvement of Hardy-Hilbert’s type inequality with some parameters[J].Natural Science Journal of XiangtanUniversity,2008,30(2):12-14.[11] 匡继昌.常用不等式[M].3版.济南:山东科技出版社,2004.。

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一
个新的Ｈｉｅｔ积分不等式及其等价式ｌｒ型ｂ
葛晓葵，吴光年
（广东教育学院数学系，广东广州５００）１３３
摘要：引入一个权函数，建立一个新的Ｈｌｅｔｉｒ型积分不等式及等价式，ｂ并证明其常数因子为最
佳值．
关键词：ｌｅｔＨｉｒ型积分不等式；ｂ权函数；最佳常数因子
（１＋一）（作如形的广户，吉，１了下式推：＞对）
㈩
这里，数因子７是最佳的．称（）为Ｈｉｅｔ分不等式．９５年，ｒｙＲｅｚ引进（ｑ常ｒ１ｌｒ积ｂ１２Ｈａｄ－ｉｓ户，）一参数
Ｊ＇＇ＪｆＥｏｆ
．
ｘ￣ｄ＝４＜８－ｘ＝＝
故（）４成立．毕．证引理２定义权函数 ∞（）（，（／ｄ￡）＝ ———— ｆ）Ｊ＝ｆ十上｝，（：ｌ十＿｛＼＝＝＝
Ｊ０
ｍｎｌ
（）５
则有
∞（）一２ａｃａｒｔｎ．
（）６
证明
作蛮椟，一，右
、
一
．
Ｊ。
ｆ
１
（
’ ｆ
（蚪’ （ｆ
．
２ａｃａｒｔｎ
定理１设，，（），＜Ｊ（）ｘ ∞，＜Ｊｇ（）ｘ（）ｇ ≥００Ｉｘｄ＜０Ｉｄ＜∞，０ｘ０则有
Ｊ＇
干
ｔ１一（（０．（）出。）ｅ＋Ｔ／２ｄ１一）ｃ南 ‘，一一
（）４
证明
Ｖ０＜ｅ＜１
，
有
Ｊ＇
收稿日期：ｏ７Ｏ一Ｏ２Ｏ一３６
ｃ一
作者简介：葛晓葵（９１，，１６一）女浙江宁波人，东育学院数学系讲师．广教
２２
广东教育学院学报
如果（）８中等号成立，则存在不全为０的常数以和ｂ使得，
（］ｄａｘ≤
（岫㈣
以Ｆ
即有于是有
（）６Ｆ一
（）．于（）（∞ ．詈ａ。 ×。）ｅ，，． ∞
船厂（）一ｂｇ（．．于（，）（，）．ｙ）ａｅ０ ∞ × ０∞
’ｒｒ ’
证明由Ｈ６ｄｒ等式，１ｅ不有
ｄｃｃ ’ ），（ｒｃ＜’ ｒｇ
ｃ７
这里常数因子ｃ一２ａｃａ一２７２ … 是最佳值．ｒｔｎ．００
’ ｆ崭ｄ＝＝ ’ ［ｆ两）（］＿［研（岫 ’ 研ｆ
出＜ｄ［ｙ
［尸出［］；Ｊｃ］Ｊ出＇ｐ＇０ ∞ ｃｑ］尸）（出．
等应用权函数的方法，１作了推广与改进．对（）
ｃ２（３）
这里，常数因子ｎｓ是最佳的．称（）ＨａｙＨｉｅｔ／ｉ／）ｎ（２为ｒ－ｌｒ积分不等式，３是它的等价形式，ｄｂ（）它们在分析学有重要的应用．近年来，杨必成
本文应用权函数的方法，立如下一个新的Ｈｉｅｔ建ｌｒ型积分不等式ｂ
Ｊ＇Ｆ毫＇＿Ｊ
１主要结果
引理１设ｅ０则有＞，
厂
出＜（ｇ出ｃｏ（出），Ｉｅｃ
这里，常数因子Ｃ２ａｔｎ一２７２ … 是最佳值．一ｒａｃ．００
维普资讯
第３期
ｒ。。
葛晓葵，：等一个新的Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式及其等价式ｂ
１
２１
于，＜厂干是０ＪＪ。『
丽ｔ－２＜（１ｄ－）Ｅ／
’ １ｆ・一
２
１ ’３）／一ｆ２－（ ∞ ＜
维普资讯
第２卷７
第３期
广东教育学院学报
ＪｕｎｌｆＧｕｎｄｎｕａｉｎＩｓｉｕｅｏｒａａｇｏｇＥｄｃｔｎｔｔｔｏｏ
２０年６月０７
Ｊｎ２０ｕ．０７
Ｖｏ．７Ｎｏ３１２．
船厂（）一ｂｇ（ｙ）三ｄ（常数）．．（，）（，）．ａｅ于０∞ × ０∞ 不妨设以≠ ０则有（，）一
ａ
以
ａ・（ｏ，所＜。（ｄ＜盾・于０ｏ与设０Ｊｆｘｘ ∞矛・ｅ，））
由（）可简化（）５，８为如下带权的严格不等式：
中图分类号：１８文献标识码：文章编号：０７８５（０７０－０２－００７Ａ１０－７４２０）３００４
引言
设（，）ｏ得＜（ｄｏ０Ｉｇ）＜ｏ有，）（≥，０Ｉｚｘｏ＜２ｄｏ则 Ⅲ ｇ使尸）￣，（ｘ，Ｊ＇出Ｊ尸）Ｉ出ｄ（ｃａ＜＇ｘ），
’ ｆ
再由（）可得６，
ｄ［ ’ ＜ｆ
）Ｉ［ｃａｆｘｏ
’ Ｆ誊告ｄ２ａａｆｆｊｒｎｏ鲁 ’ ｆ＜ｃ［ｔ
故（）成．７
［ｇｄ． ’ ｆｃ
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