几何光学费马原理传播规律
费马原理
则易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的路径。
§4 费马原理
Q
第一章 光和光的传播
h1
i1
x
p x n1
O
折射定律
过Q、P点作与Σ面 垂直的平面Π 平面Π内的光程比该 平面外的光程短
Q’ M
h i2 2
P
P’
n2
2
QP p
2
(QOP ) n1QO n2OP n1 h1 x 2 n2 h2 ( p x) 2
2
l
光程差
l n2l2 n1l1
§4 费马原理
二 费马原理的表述
第一章 光和光的传播
（1）定义：两点间的实际路径就是光程(或所需传 播时间)平稳的路径 极小值(常见)
(QP ) ndl 0
( L)
P
Q
极大值(个别) 常数值(物—象等光程性)
l1
（2）由费马原理推导几何 光学三定律
① 直线传播定律 ② 反射定律
Q
N l 2
M l3
介质1 n1
介质2 介质3 n2 n3
P
③ 折射定律
§4 费马原理
第一章 光和光的传播
• （1）光的直线传播定律 在均匀介质中，两点间光程最短的路径 是直线。
§4 费马原理
第一章 光和光的传播
Q点发出的光经 反射面Σ到达P点 P’ 是 P 点关于 Σ 面的对称点。 直线QP’与反射 面Σ交于O点。 P，Q，O三 点确定平面Π。
费马原理的内容
费马原理的内容
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
几何光学的基本定律和费马原理
主要内容一、几何光学的三个基本定律二、光路可逆原理三、全反射、光学纤维四、费马原理光线：空间的几何线。
各向同性介质中，光线即波面法线。
光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。
几何光学是关于光的唯象理论。
对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。
几何光学实验定律成立的条件：1.被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波波长λD/ λ>>1 衍射现象不明显，定律适用。
D/ λ～1 衍射现象明显，定律不适用。
2.入射光强不太强在强光作用下可能会出现新的光学现象。
强光：几何光学的基本实验定律有一定的近似性、局限性。
一、几何光学的三个基本定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播，即光线为2.光的独立传播定律自不同方向或由不同物体发出的光线在空间相交后，对每一光线的独立传播3.光的反射和折射定律3.1 反射定律G 3.2 折射定律入射面n光线在梯度折射率介质中的弯曲nn 5n 1n 3n 2n 4n 6海市蜃楼：沙漠中海面上光线在梯度折射率介质中的弯曲二、光路可逆原理在弱光及线性条件下，当光的传播方向逆转时，•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q三、全反射、光学纤维1.全反射原理。
继续增大入射角，，而是按反射定律确定的方向全部反射。
全反射的应用：增大视场角毛玻璃r rr2.光纤的基本结构特性(1)光纤的几何结构光纤的几何结构(2)光纤分类①按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。
(3)光纤的传光条件i cn 0n 2n 1(4)光纤的数值孔径四、费马原理物质运动的趋势：达到一种平衡状态或极值状态费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。
1说明：费马原理是光线光学的理论基础。
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
第一章_费马原理1-1(10)
（传光束） （传像束）
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤
(c) 光通信优点： 1) 低损耗 窗玻璃 几千分贝/公里 光学玻璃 500分贝/公里 雨后清澄的大气 1分贝/公里 石英光纤 0.2分贝/公里
liyuhong
2) 信带宽、容量大、速度快 3) 电气绝缘性能好 无感应 无串话 4) 重量轻 线径细 可绕性好 5) 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下 6) 资源丰富 价格低
δ min + α
2
由折射定律可得
n=
liyuhong
sin
δ +α
min
sin
α
2 2
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤 2. 光学纤维(optical fibers)
(a) 原理
光进入光学纤维后,多次 在内壁上发生全内反射, 光从纤维的一端传向另 一端.
liyuhong
光学纤维:中央折射率 大,表层折射率小的透 明细玻璃丝.
35
A
B
(3) 光程为最大值
M
D D′ M′
A
B
liyuhong
§1-2 几何光学/费马原理
(4) 光程为拐点
A
B
由于实际光线相应于光程拐点这种情况在实际中较少遇 到；费马原理也常粗略地表示为： 空间中两点间的实际光线路径，与其他相邻的可能路 径相比较，其光程（或传播时间）取极值——光程 （时间）极值原理
3
§1-1 几何光学/基本规律 1-1-1 几何光学的实验定律
1. 光的直线传播(rectilinear propagation)定律 在均匀的各向同性透明介质中，光沿直线传播。 现象： (1) 投影(shadow);
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
几何光学(费马原理)传播规律
n1 sin ic n2 sin 90
ic
arc sin
n2 n1
？？发生全反射的两个条件
*全反射的应用
c
o
1
2
3
3 2
c l
L
y 1
1
z x 纤芯n1
包层n2
突变型多模光纤的光线传播原理
数值孔径(Numerical Aperture, NA)：临界角θc的正弦
si
1 2
k i1 i
因为介质的折射率 ni c i ,
所以上式可写为
t
1 c
ik i 1
ni si
ik
nisi ct
i 1
光程
光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与
光在介质中所走的几何路程之积. L ns
光在介质中走过的光程，等于以相同的时间在真空 中走过的距离.
光学的发展历史
1、牛顿提出 光的粒子性
2、惠更斯、 胡克提出光 的波动性
3、托马斯杨 发现了光的 干涉现象
6、赫兹从实 验上证明了 光是电磁波
5、麦克斯韦 提出电磁波 理论并预言 光是电磁波
（建立起光的经典模型： 光是一种电磁波，且是横波）
4、菲涅耳提 出了完整的 光的干涉衍 射理论
（建立起光的波动学说）
光学是物理学的一个重要组成部分，也是与其他 应用技术紧密相关的学科。
5
经典光学的研究内容
通常把光学分成几何光学、物理光学（波动光学）和量子光学 三个大类。
几何光学是从几个由实验得来的基本原理出发，来研究光的传 播问题的学科。它利用光线的概念、折射、反射定律来描述光 在各种媒质中传播的途径，它得出的结果通常总是波动光学在 某些条件下的近似或极限。
用费马原理推导光学三大定律
证明反射定律
我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。哪 一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？ 首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的 任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因 此DB=DB',AD+DB=
显然 直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。所以， 过C点的线段ACB为我们要求的路径。 因 为 △ CBM≌△CBM' ， 所 以 ∠ BCM=∠B'CM ， 又 因 为 ACB' 为 直 线 ， ∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M的法线。因此，
入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时 最短的路径返回到BFra bibliotek说法是等效的。
在Ⅱ平面内，令QQ'=H1，PP=H2，Q'P'=p，Q'M=x，
则（QMP)=N1·QM+N2·MP
=
N1 H12 x2 N 2 H 22 ( p x)2
式中 ， 为Ⅰ两边媒质的折射率，取上式对x的微商，得：
d
N1 x
N 2 ( p x)
(QMP)
dx
H12 x2
H 22 ( p x)2
光 学 基 础 知 识
光学基础知识
第二章
用费马原理推导—— 几何光学的三大定律
一、几何光学的三大定律
光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播
光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一 平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角 等于入射角。
第一章 几何光学
以光线概念为基础研究光的 传播和成像规律
§1.1 光线传播的基本定律
一.几何光学的实验定律
1.光的直线传播定律。（各向同性介质中）
共面
2.反射定律和折射定律：
分于法线两侧 角度关系
3.光的独立传播定律和光路可逆原理（各向同性介质中）
几何光学中常用的器件-----棱镜
作用：改变光路 色散分光
s
2 2 2
n (s r)
n
s
/2
/2
0
/ 2
(s r )
1 n (s r )
2
n
1
/2
0
(s r)
/
求出上两式联立方程的解，可得一对特殊的共轭点， 称为球面折射的齐明点或不晕点 对一对齐明点，宽光束经球面折射仍能成像。
（二）把光束限制在傍轴区，即
则有：
2
cos 1
共轴球面系统的基点基面
(1) 焦点与焦平面
焦平面的普遍意义：顶点位于焦平面上的光束，其共轭光束为平行光束； 顶点位于焦点上的光束，其共轭光束与主光轴平行。 物（像）方焦点F（ F'）：与无限远处像（物）点共轭的轴上物（像）点。 物（像）方焦平面：过物（像）方焦点F（ F' ）的垂轴平面。
2
在傍轴区d<<s，s/，|r|；略去二阶以上无穷小量得
d (r s) PM s 1 2 s
d (r s' ) M P s ' 1 2 s'
因此，光程
d (r s) d (r s' ) [ PMP ' ] ns 1 2 2 ns ' 1 s s'
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。
例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。
如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。
此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为 n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。
在透镜外主光轴上取一点 F ， OF f （图 1-3-8 ）。
当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于 F 点。
试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（ 2）透镜顶点 A与点 O相距多少？（ 3）对透镜的孔径 R有何限制？解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于 F 的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线 BF 与任一条光线 NM F 的光程应相等。
由此可以确定凸面的方程。
其余问题亦可迎刃而解。
（1）取 o xy 坐标系如图，由光线 BF 和 NM F 的等光程性，得2 2 2 2nx ( f x) y f R整理后，得到任一点 M（x，y）的坐标 x，y 应满足的方程为1 ( ) 1 ( 1)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n nf f R y n n f R f n x 令 1 2 2 2 0 n n f R f x ， 1 2 2 2 n nf f R a，则上式成为2 2 2 0 2 (n 1)(x x ) y a这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。
（2）透镜顶点 A的位置应满足2 2 0 2 (n 1)( xA x ) axyBAM（x，y）nRf ′ F′ 图 1-3-8或者 1 1 2 2 2 n f R f n a x A x O可见，对于一定的 n 和 f ， xA 由 R决定。
几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马
第三章 几何光学基本原理1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
⎰=BAnds或恒值max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律11i i '=,经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程∆AOB由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。
从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′，使B O B O '=''，连接 B O '，根据几何关系知B O OB '=，再结合11i i '=，又可证明∠180='B AO °，说明B AO '三点在一直线上，B AO ' 与AC 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '+〈'。
又∵CBB C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',ACB CB AC AOB =+〈∴即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。
证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s同理，得OA\BA=f '\s ',BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A '=NQ Q '结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证 3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmnd p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 10题3.3图4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0+θ/sin 2A,得θ0=46゜１６′由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0+θ=５３゜８′当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin-16.11=38゜41′,i 2=A- i 2’=21゜19′∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n=θ则12θθ=，且光束i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21, i 1=30。
《光学教程》第一章几何光学概述
光焦度的单位称为屈光度，以字母D表 示。若球面的曲率半径以米为单位，其 倒数的单位便是D
如果发光点的位置在P′点，它的像便在 P点。换句话说，如果P和P′之一为物， 则另一点为其相应的像。物点和像点的 这种关系称为共轭，相应的点称为共轭 点，相应的光线称为共轭光线。应该指 出，物像共轭是光路可逆原理的必然结
练习P161 3.10 3.12 3.13
六、球面反射对光束单心性的破坏
从物点发散的单心光束经球面反射后， 将不再保持单心性(即使平行光束入射 时也不例外)。
七、近轴光线条件下球面反 射的物像公式
在球面反射的情况中，物空间与像空间 重合，且反射光线与入射光线的进行方 向恰恰相反。这一情况，在数学处理上 可以认为像方介质的折射率n′等于物方 介 质 折 射 率 n 的 负 值 ， 即 n′=-n( 这 仅 在 数学上有意义)。
问题：平面镜反射能否成虚像？
二、光在平面界面上的折射 光 束单心性的破坏
当x不变时，像点S′的位置x′随y而变， 即 从 S 点 发 出 的 不 同 光 线 经 OM 面 折 射 后并不能相交于同一点。
进一步研究可知折射光线在空间也无同 一交会点，这说明折射光束的单心性已 被破坏。
比较光在平面上的反射
单独的球面不仅是一个简单的光学 系统，而且是组成光学仪器的基本 元素；
研究光经过球面的反射和折射，是 研究一般光学系统成像的基础。
一、基本概念
球面的中心点O称为顶点； 球面的球心C称为曲率中心； 球面的半径称为曲率半径； 连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴；
通过主轴的平面称为主截面；
主轴对于所有的主截面具有对称性，因 而只须讨论一个主截面内光线的反射 和折射。
省略一套公式.
1-1几何光学的基本定律和费马原理
由 i1, i2都是锐角， n1 0, n2 0 , 由图 x1 0, x2 0 ，
要使等式成立，i1, i2都是正，因此，x 在 x1, x2 之间，即入
过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。
现在表述：光沿光程取极值的路径传播。
［注］极值：极小值、极大值、恒定值
每一可能路径都是空间的 坐标函数,而光程又随路
数学表述：（由变分原理）
ò d
[l]
=
d
B
òA
n dl
=
0
或dt
=
1 c
B
ndl = 0
A
径而变化,是函数的函 数——泛函*,其改变称为 变分，数学过程是相应的 求导。 *泛函与复合函数（附录4）
度较低比如40度）进入光疏介质（地表空气薄层，低折光指数，
温度较高比如80度），发生的全反射。
29
3、日食、月食
30
31
附录3:利用费马原理证明折射定律
A,B是xoy平面内的两个固定点，且在不同的介质中，则光
线的轨道如何？
y A(x1,y1,o)
由A经C到B的光程为： z
i
1
D(x,0,0) C(x,0,zi)2
波面
光线
波面
光线
球面波
平面波
在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。
即光线与波面总是垂直的。
4
二、几何光学的基本实验定律
1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质 中沿直线传播。
实例：物体的影子、针孔成 象、日食、月食
［注］：非均匀介质中， 光以曲线传播，向折射率 增大方向弯曲
实例：夏日柏油路上的 倒影、海市蜃楼
5
用费马原理推导几何光学三大定律
光学基础知识光学基础知识第二章用费马原理推导——几何光学的三大定律一、几何光学的三大定律u光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播u光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角等于入射角。
u光的折射定律：光线通过两介质的界面折射时，入射光线与折射光线传播方向间关系为：N21=sinθ₁/sinθ₂（又称为）二、费马原理u基于上述三大定律而建立的几何光学，还可以由一个更为基本的原理来导出，这个原理就是费马原理。
u费马原理可以表述为：光在指定的两点间传播的实际路径，是光程最为平稳的路径。
特别是其中的“平稳”一词，有些费解。
在微分学中说一个函数y=f(x)在某处平稳，是指它的一阶微分dy=0。
在这里函数可以具有、或。
数学表达式：在一般情况下，实际光程大多是取极小值，费马本人最初提出的也是最短光程。
⎰=BA nds极值为了能更好的说明费马原理，我们先大致将其理解为最短光程，而光的速度是一定的，走过相应光程所需要的时间也是最短的，因此费马原理又被叫为费马最短时间原理。
接下来我们将用费马最短时间原理来证明几何光学的三大定律和一些光学现象。
证明反射定律我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。
哪一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因此DB=DB',AD+DB=显然直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。
所以，过C点的线段ACB为我们要求的路径。
因为△CBM≌△CBM'，所以∠BCM=∠B'CM，又因为ACB'为直线，∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M 的法线。
因此，入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时最短的路径返回到B的说法是等效的。
1.2 费马原理
光程[l]取极小值
z0 有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y12 x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
13
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y 2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
(n1 L1 n2 L2 ) 0 y
物理科学与信息工程学院 15
分别将L1和L2代入上式可得：
n1 y n2 y n1 (n1 L1 n2 L2 ) 0 (1) y L1 L2 P (n1 L1 n2 L2 ) x x x x1 x x2 n2 B n1 n2 0 (2) L1 L2
i ,
物理科学与信息工程学院 2
一、光程 光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与 光在介质中所走的几何路程之积. L ns 因此,光在介质中走过的光程，等于以相同的时间 在真空中走过的距离.
若由A到B充满着折射率连 续变化的介质，则光由A到B B 的总光程为
B
L nds
A
（分母大于零）
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2 n1 z ( x x2 ) 2 y 2 2 z 2
0 0
入射线和反射线应 在xoy平面内.
12
M ( x,0, z) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
B
所用时间为 t 1
nds c
A
A
物理科学与信息工程学院 3
二、费马原理
1658年法国数学家、物 理学家费马（P. Fermat
1601-1665) 概括了光线传
几何光学的基本定律和费马原理
光传播的可逆性
• 光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的 反射和折射光将沿原来的入射光的方向。 如果物点 Q 发出的光线经光学系统后在 Q’ 点成像， 则Q’点发出的光线经同一系统后必然会在 Q点成像。 即物像之间是共轭的。
Q
Q ’
三、全反射、光学纤维
1.全反射原理
全反射：当入射角i1增大到某一值ic时，折射角i2=90o。继续增大入射角， 则光线不再进入介质2，而是按反射定律确定的方向全部反射。 全反射临界角： 全反射的条件：
48.6
o
48.6
o
鱼眼在水中的视场
水中的针孔成像
2.光纤的基本结构特性
(1) 光纤的几何结构
光纤：能够导光的圆柱型玻璃或塑料纤维
几何结构：一般由纤芯和包层两部分构成
z
纤芯
n1
n2
包层
光纤的几何结构
(2) 光纤分类
① 按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。 ② 按传输特性分：单模光纤，多模光纤。
n
说明：单模光纤中各层介质
折射率均匀分布，多模光纤 各层介质折射率可以是均匀 分布（阶跃型），也可以是 纤芯介质折射率呈渐变分布 （梯度折射率型）。
n n
a 阶跃型单模光纤
b 阶跃型多模光纤
c 梯度折射率型光纤
三种主要光纤类型的折射率分布及传光特性
(3) 光纤的传光条件
传光条件：光线在纤芯与包层分界面处的入射角为i1应满足全反射条件
d (QOP) n1 x n2 ( p x) n1 sin i1 n2 sin i2 0 2 2 dx h1 x 2 h2 ( p x) 2
④物像之间的等光程性：
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的，即不管光线经何 路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q’的光线，都是 等光程的。
费马定理介绍
费马定理费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。
可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：⎰∑∑=∆=∆===ndl ct l n c v l t PQ i i i i i i 1111费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==01ndl ct P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰==0ndl L P Qδδ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=222221x a H x H n OBn AO n L +=的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即()()0222221=-+--+=x a H x a n xH nx dxdL即有()I n I n -sin sin =即I I -=反射定律由上面推导出来了。
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什么是光学?
什么是光学？
狭义来说，光学是关于光和视见的科学。 optics(光学)这个词，早期只用于跟眼睛和视见相 联系的事物。而今天，常说的光学是广义的，是 研究从微波、红外线、可见光、紫外线直到X射 线的宽广波段范围内的，关于电磁辐射的发生、 传播、接收和显示，以及跟物质相互作用的科学。
•光的可逆性原理：当光线的方向反转时，它将逆着同一路 径传播，称为光的可逆性原理。
3、费马原理（ Fermat’s Principle ）
n1
n2
S1
A v1
S2
v2
n3 ni
S3
Si
v3
vi
Sk vk
nk
B
光从A点经过几种不同的均匀介质到达B点，所需
时间为：
t
s1
s2
sk
ik
（建立起光的经典模型： 光是一种电磁波，且是横波）
4、菲涅耳提 出了完整的 光的干涉衍 射理论
（建立起光的波动学说）
7、20世纪初期：量子理论认为光既是粒子也是波动 （光的波粒二象性）
光学的发展历史
在20世纪初，一方面从光的干涉、衍射、偏振以及运动物体 的光学现象确证了光是电磁波；而另一方面又从热辐射、光 电效应、光压以及光的化学作用等无可怀疑地证明了光的量 子性——微粒性。
欧几里德（公元前330～275）《反射光学》 “人为什么能看见物体”；光的直线传播；平面镜成像；光 的反射等。
光学的发展历史
1、牛顿提出 光的粒子性
2、惠更斯、 胡克提出光 的波动性
3、托马斯杨 发现了光的 干涉现象
6、赫兹从实 验上证明了 光是电磁波
5、麦克斯韦 提出电磁波 理论并预言 光是电磁波
1922年发现的康普顿效应，1928年发现的塞曼效应，以及当 时已能从实验上获得的原子光谱的超精细结构，它们都表明 光学的发展是与量子物理紧密相关的。光学的发展历史表明， 现代物理学中的两个最重要的基础理论——量子力学和狭义 相对论都是在关于光的研究中诞生和发展的。
此后，光学开始进入了一个新的时期，以致于成为现代物理 学和现代科学技术前沿的重要组成部分。
反射定律：① 反射线在入射线和法线决定的平面内； ② 反射线、入射线分居法线两侧； ③ 反射角等于入射角，i1 i1
折射定律：①折射线在入射线和法线决定的平面内； ②折射线、入射线分居法线两侧；
斯涅耳折射定律 ③折射角与入射角正弦之比与入射角无关，是一 （W. Snell，1621） 个与媒质及光的波长有关的常数：
NA表示光纤接收和传输光的能力。NA(或 θc )越大，光纤接收 光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率越高。 但NA越大，经光纤传输后产生的信号畸变越大，因而限制了信 息传输容量。 所以要根据实际使用场合，选择适当的NA。
2、光的独立传播定律和光的可逆性原理
•光的独立传播定律：自不同方向或不同物体发出的光线相 交时，对每一光线的传播不发生影响，即各自保持自己原 有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。
si
1 2
k i1 i
因为介质的折射率 ni c i ,
所以上式可写为
t
1 cห้องสมุดไป่ตู้
ik i 1
sin i2 n1 sin i1 n2
n2 sin i2 n1 sin i1
（绝对）折射率：光在真空中的速度与光在该材料中的速度的比值
n c u
uc n
注意：在折射中，频率不变，波速和波长都会发生改变。
同一透明介质对于不同波长的单色光具有不同的折射率。 因此，白光经过棱镜后将被分解为各种不同颜色的光，在棱镜 后将会看到各种颜色，这种现象称为色散。
上篇：几何光学与成像理论
几何光学传播规律 (光在介质中的传播规律) 1、几何光学三定律
光的直线传播定律：光在均匀介质里沿直线传播
注意：在非均匀介质中，光线会因折射发生弯曲。这种现象在大气中经常发生， 如在海边或沙漠地区有时出现的海市蜃楼幻景，就是因为光线通过当地密度不均 匀的大气产生折射而形成的。
人类对光的研究，最初主要是试图回答“人怎 么能看见周围的物体？”之类问题。
墨翟（公元前468～376年）《墨经》—— 光影；光的直线传播；光的反射；平面镜及球面镜成像等。
沈括（北宋时期）《梦溪笔谈》
自《墨经)开始，公元11世纪阿拉伯人伊本·海赛姆发明透镜；公 元1590年到17世纪初，詹森和李普希同时独立地发明显微镜；一直 到17世纪上半叶，才由斯涅耳和笛卡儿将光的反射和折射的观察结 果，归结为今天大家所惯用的反射定律和折射定律。
光学是物理学的一个重要组成部分，也是与其他 应用技术紧密相关的学科。
5
经典光学的研究内容
通常把光学分成几何光学、物理光学（波动光学）和量子光学 三个大类。
几何光学是从几个由实验得来的基本原理出发，来研究光的传 播问题的学科。它利用光线的概念、折射、反射定律来描述光 在各种媒质中传播的途径，它得出的结果通常总是波动光学在 某些条件下的近似或极限。
射），对应的入射角称为临界角。
n1 sin ic n2 sin 90
ic
arc sin
n2 n1
？？发生全反射的两个条件
*全反射的应用
c
o
1
2
3
3 2
c l
L
y 1
1
z x 纤芯n1
包层n2
突变型多模光纤的光线传播原理
数值孔径(Numerical Aperture, NA)：临界角θc的正弦
关于折射定律及折射率的补充说明：
波速小的介质称为波密介质，波速较大的介质称为波疏介质
1. 折射率较大的介质称为光密介质，折射率较小的介质称为光 疏介质。
当光从空气射入水（光由光疏介质射入光密介质），折射角小于入射角； 而当光由光密介质射入光疏介质，折射角大于入射角。
2. 光线从光密介质入射到光疏介质，当入射角逐渐增大到某一 角度时，折射角等于90度，此时入射光全部被反射（全反
物理光学（波动光学）是从光的波动性出发来研究光在传播过 程中所发生的现象的学科，所以也称为波动光学。它可以比较 方便的研究光的干涉、光的衍射、光的偏振，以及光在各向异 性的媒质中传播时所表现出的现象。
量子光学是从光子的性质出发，来研究光与物质相互作用的学 科即为量子光学。它的基础主要是量子力学和量子电动力学。