对偶理论
02对偶理论
6
对偶关系对应表
第2章 对偶理论
原问题 （对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数
Max
Min
目标函数系数
约束方程右端常数
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
m个
约束
≤
条件
≥
=
约束方程右端常数
目标函数系数
n个
≥
≤ = m个
≥0 ≤0 无约束
-Y1 +2Y2 +Y3 ′- Y3〞 ≥0
Y2 -Y3 ′+Y3〞 ≥2 -Y1 +6Y2 +3Y3 - 3Y3〞≥-5 Y1 ，Y2 ，Y3 ′，Y3〞 ≥0 令Y1 ′ = -Y1 ， Y3 = Y3 ′- Y3〞 , 则模型可表示为
Min =2Y1 ′ +6Y2 Y1 ′ +2Y2 +Y3 ≥0
或出售,如何给资源定价才合算？
产Ⅰ产品的单位获利
定价应考虑的问题 1.出卖资源获利应不少于生产获利 2.价格尽可能低，才能有竞争力 设Y1 Y2 Y3分别为3种资源的出卖价格
1Y1+4Y2≥2 同理 2Y1+4Y3≥3 最低价格应使总收入最小
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
1
对偶问题的提出
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
√
×
Min Z 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7 s.t.182x1x191x32 x2101x43 11
x1 0, x2符 号 不 限, x3 0 9
线性规划的对偶理论(第一部分
对偶问题的约束条件 对应于原问题的目标 函数和约束条件的系 数。
对偶问题的可行解集 是原问题可行解集的 凸包。
原问题与对偶问题关系
弱对偶性
对于任意一对原问题和对偶问题 的可行解，原问题的目标函数值 总是大于或等于对偶问题的目标
函数值。
强对偶性
当原问题和对偶问题都存在可行 解时，它们的最优解对应的目标
强对偶性定理
若原问题和对偶问题都有可行解，则 它们分别存在最优解，且这两个最优 解的目标函数值相等。
在满足某些约束规格（如Slater条件） 的情况下，强对偶性成立。
互补松弛条件
在原问题和对偶问题的最优解中，如果某个约束条件的对偶变量值为正，则该约束 条件必须是紧的（即取等号）。
如果原问题（对偶问题）的某个变量在最优解中取正值，则其对应的对偶问题（原 问题）的约束条件必须是紧的。
标准形式
通常将线性规划问题转化为标准 形式，即求解目标函数的最小值 ，约束条件为一系列线性不等式 。
对偶问题定义与性质
对偶问题定义：对于 给定的线性规划问题， 可以构造一个与之对 应的对偶问题，该问 题的目标函数和约束 条件与原问题密切相 关。
对偶问题性质
对偶问题的目标函数 是原问题约束条件的 线性组合。
解决对偶间隙等关键问题
在实际应用中，由于原问题和对偶问题之间可能存在对偶间隙，导致对偶理论的实用性受到一定的限制。 未来可以研究如何缩小或消除对偶间隙，提高对偶理论的实用性和应用范围。
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简化了复杂问题的求解过程
对偶理论能够将一些复杂的线性规划问题转化为相对简单的对偶问题进行求解，从而降低了问题 的求解难度和计算量。
揭示了原问题和对偶问题之间的内在联系
运筹学第2章
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
第二章对偶理论
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第三章对偶理论
目标函数系数与右边项 目标函数各变量系数对应 的对应关系 约束条件右边项的系数 变量个数与约束条件个 变量个数 n 数的对应关系 约束条件个数 m
原问题变量类型与对偶 问题约束条件类型的对 变量类型 应关系
原问题约束条件类型与 对偶问题变量类型的对 约束条件类型 应关系
原始问题有4个变量，3个约束，对偶问题应该有3个变量， 4个约束。根据定义，对偶问题为：
x1 x2 x3 x4
非对称形式的对偶—原始问题有“=”约束
max z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3=6 2x1-3x2+2x3≤9
x1, x2, x3≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2 ≥ 2 2y1- 3y2 ≥ 3 y1+2y2 ≥ -1 y1:Free y2≥0
y1=w2-w1,y1:Free,y2=w3
如果原始问题中一个约束是等号约束，则对偶问题中相应的变 量没有符号限制
非对称形式的对偶—原始问题有“≥”约束
max z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3 ≥ 6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 max z=2x1+3x2-x3
s.t. -x1-2x2-x3≤-6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 min w=-6y1’+9y2 s.t. -y’1+2y2≥2 -2y’1 -3y2≥3 -y’1+2y2≥-1 y’1, y2≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≥2 2y1- 3y2≥3 y1+2y2≥-1 y1≤0, y2≥0
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
复代数几何中的对偶性理论
复代数几何中的对偶性理论复代数几何是一门集合代数和几何学思想于一体的数学理论，它的核心概念是对偶性理论。
对偶性理论在复代数几何中扮演着重要的角色，不仅为研究人员提供了深入理解复代数几何结构的工具，还为相关领域的应用研究提供了理论基础。
1. 对偶性理论的起源与发展对偶性理论最早出现在19世纪，由一些杰出的数学家如克勒因、普罗伊斯等人提出，并在20世纪得到进一步发展与丰富。
随着数学领域的不断拓展，对偶性理论也得到了广泛应用。
它在代数几何、代数拓扑、代数编码等领域都有涉及，并且在这些领域都取得了重要的成果。
2. 对偶空间的概念与应用对偶性理论的核心概念之一是对偶空间。
在复代数几何中，对于给定的一个向量空间V，它的对偶空间V*定义为所有线性函数组成的向量空间。
对偶空间在复代数几何中有着广泛的应用，特别是在研究多项式环、代数流形等方面。
通过对偶空间的引入，研究人员可以更深入地理解向量空间的性质与结构。
3. 对偶性的几何解释对偶性理论还有一个重要的几何解释，即通过对偶性可以建立起几何对象之间的对应关系。
在复代数几何中，这种对应关系可以用于研究多项式环的结构、代数流形之间的映射等。
通过对偶性的几何解释，研究人员可以将一些复杂的代数问题转化为几何问题，从而简化了问题的分析与解决过程。
4. 对偶性与代数编码对偶性理论在代数编码领域中也有重要的应用。
代数编码是一门研究如何通过代数方法对信息进行编码和解码的学科。
通过对偶性理论，研究人员可以构造出一些具有纠错能力的代数编码方案，从而保证在信息传输过程中能够对有限的错误进行纠正和恢复。
5. 未来的发展方向对偶性理论作为复代数几何的核心理论之一，目前仍然存在一些问题和挑战。
随着计算机科学的不断发展，对偶性理论在计算代数几何、代数拓扑等领域的应用将会得到进一步拓展。
另外，对偶性理论与其他数学领域的关联性也将成为未来研究的重点之一。
总结：复代数几何中的对偶性理论是一门重要的数学理论，它在代数几何、代数编码等领域发挥着重要作用。
第二章对偶理论11资料讲解
如果原问题无可行解时，对偶问题无可行解或具 有无界解
对偶问题无可行解时，原问题无可行解或具有无 界解
（原问题有可行解，对偶问题无可行解，则原问 题有无界解）
元，生产一件乙产品需两种设备分别为5、1小时，盈利1 元。
从美佳公司来看，出让资源获得的利润应不少于自己组 织生产获得的利润。因此有：
y1 + 6y2 2
5 y1 +2 y2 1
5
要使收买成功，双方的要求都必 须满足，于是得到出让资源问题的 线性规划数学模型： min w=17 y1 +24 y2
显然，该企业愿意出让的条件是，出让的价格不应低
于同等数量资源由自己组织生产活动时获取的利润。
分析：设y1 , y2 分别表示单位时间（h）设备A 、设备B 的出让代价，则从东方公司来看，希望用最小的代价把全
部资源收买过来， 故有： min w=17 y1 +24 y2 因生产一件甲产品需两种设备分别为1、6小时，盈利2
（4）由此可知，原问题目标函数的最大值对应于 对偶问题的目标函数的最小值。CX＊ Yb
（具体见第三节基本性质）
11
§2 原问题与对偶问题
一、对偶关系（对称形式）
原问题
对偶问题
max z=CX
min w=Yb
st. AX b
st. YA C
X0
Y0
看书上表2.1，验证对应关系
对称性：LP的原问题与对偶问题之间存在对称关系，即 LP对偶问题的对偶是原问题 结论：LP对偶问题与原问题互为对偶。 看例2，通过例子得出结论 第一步，化为对称形式下的原问题形式；第二步，根据对 应关系写出其对偶问题；第三步，做一变换，得到原12问题
《运筹学》对偶理论
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
x4 x5
2 5
4
xj 0
s.t
5
6 y2 y3 y1 2 y2
y
y4 3
2 y5
1
yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如
下表:
对偶性质
原问 题最 优表
XB
b
x3
15/2
x1
7/2
x2
3/2
j
原问题的变量
x1
x2
0
max z c1x1 c2 x2
s.t.
11x1 12x2 21x1 22x2
b1 b2
x1
0,
x
无约束
2
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
21y2 22 y2
c1 c2
y1, y2 0
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
4
y1 , y2 , y3 0
线性规划的对偶模型
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式, 可以先化成对称形式
再写对偶问题。也可直接写出非对称形式的对偶问题。
线性规划的对偶模型
原问题（或对偶问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
s.t.2111xx11
12 22
x2 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
min w b1 y1 b2 y2
对偶理论的原理
对偶理论的原理对偶理论（Duality Theory）是现代线性规划理论的重要组成部分，它与线性规划之间存在深刻的关系。
对偶理论的提出为线性规划问题的求解提供了一种全新的思路，使得原始问题与对偶问题之间能够相互转化和互相补充。
在对偶理论的引导下，线性规划问题的求解不再依赖于具体的算法和技巧，而是通过分析原始问题和对偶问题之间的关系，从而为问题的求解提供了更深入的理论支持。
对偶理论的基本原理来源于线性规划的最优性条件和对偶性原理。
在线性规划问题中，我们常常需要通过确定一组变量的数值来使得目标函数取得最大（或最小）值，并且满足一定的约束条件。
对于一个线性规划问题，我们可以将其分为两个部分，即原始问题（Primal Problem）和对偶问题（Dual Problem）。
原始问题的一般形式为：最大化：c^Tx约束条件：Ax ≤b其中，c为目标函数的系数向量，A为约束条件矩阵，x为决策变量向量，b为约束条件右端向量。
原始问题的最优解被称为原始问题的最优解。
对偶问题的一般形式为：最小化：b^Ty约束条件：A^Ty ≥c其中，y为对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶问题的最优解。
对于线性规划问题的任意一个可行解，我们可以定义一个对应的对偶问题。
原始问题和对偶问题之间存在一种非常重要的关系，即弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是，对于原始问题和对偶问题的任意可行解，我们有：c^Tx ≤b^Ty强对偶性指的是，当原始问题和对偶问题都存在有限的最优解时，其最优解相等，即：c^Tx = b^Ty对偶理论的核心思想是通过最大化原始问题的目标函数和最小化对偶问题的目标函数，来求解原始问题和对偶问题的最优解。
具体而言，对偶理论主要包括以下几个方面的内容：1. 对偶定理：对于一个线性规划问题，从弱对偶性和强对偶性的角度出发，我们可以得到一些重要的结论。
例如，弱对偶性可以用来判断某个解是否为原始问题和对偶问题的最优解；而强对偶性则为原始问题和对偶问题的最优解提供了一个等价的刻画方式。
第四章对偶理论
4 对偶理论本章我们将从寻找标准最大化线性规划问题目标函数的上界和下界,以及从线性规划的实际应用二个方面提出线性规划的对偶问题。
然后我们将介绍几个基本对偶定理,讨论对偶理论及其在线性规划中的重要性。
我们还将讨论对偶单纯形法。
最后,我们讨论影子价格及其应用。
1.4 对偶问题的提出1.1.4 线性规划目标函数的上界 我们通过寻找标准最大化线性规划问题目标函数的上界开始对偶问题的研究。
首先考虑下述标准最大化线性规划问题max 32134x x x ++=η..t s ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+0,,331432132121x x x x x x x x)1.4(假设*η是线性规划问题)1.4(的最优目标函数值,我们不难看出问题)1.4(的任何一个可行解对应的目标值η都必须小于等于最优目标值,即*ηη≤,或者说,目标值η是最优值*η的一个下界。
比如,)0,0,1(),,(321=x x x 是问题)1.4(的一个可行解,其目标函数值等于4,显然,*4η≤,而对于问题)1.4(的另外一个可行解)3,0,0(),,(321=x x x ,它的目标值等于9,同样*9η≤。
那么这二个下界说明了什么?它们仅仅说明了可行解目标值与最优值之间的距离。
我们希望能够确定最优目标值*η的上界。
为了找出线性规划问题)1.4(目标函数最优值的上界,我们对第一个约束条件两边同时乘以2,对第二个约束条件两边同时乘以3,然后再将二个约束相加:214(2x x +⨯ )1(2)⨯≤ +)3(3)3(3321⨯≤+-⨯x x x_____________________113511321≤++x x x那么,由于01≥x ,02≥x ,和03≥x ,我们将上述等式和与目标函数比较,有:32134x x x ++≤113511321≤++x x x所以,最优目标函数值一定满足,11*≤η。
综合考察结果,我们可以确定问题)1.4(的目标函数最优值位于9和11之间。
对偶理论
第2节 对偶问题解的性质
z c1 x1 c2 x2 cn xn ( z max) a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , xn 0
第三章 对偶理论
Dual Theory
第1节 对偶问题
一、对偶的含义 对同一事物（问题）从不同的角度（立场） 观察，有两种对立的表述。 例如：“平面中矩形的面积与周长的关系” 有两种表述：周长一定，面积最大的矩形 是正方形；面积一定，周长最短的矩形是 正方形。
第1节 对偶问题
例1：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产 品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗，如下表所示。该工厂每生 产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可 获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？ 设备 原材料A 原材料B
Ⅰ 1 4 0 Ⅱ 2 0 4
8台时 16kg 12kg
第1节 对偶问题
例1：
解：设计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1、x2 max z =2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12
x1，x2≥0
第1节 对偶问题
从另一个角度考虑例1。 假设该工厂的决策者决定不生产产品Ⅰ、 Ⅱ，而将其所有资源（设备和原材料）出 租或外售，问应给每种资源如何定价，使 该工厂的收入最合理？
第1节 对偶问题
例5： max z =3x1-7x2 -5x3+8x4+8x5 x2-x3+3x4-4x5=-16 2x1+3x2-3x3-2x4≥2 -x1+2x3-2x4≤-5 -2≤x1≤10 5≤x2≤25 x3，x4≥0，x5无约束
对偶理论
第四节
灵敏度分析
灵敏度分析也称为优化后分析，是研究线性规划模型某些系 数或限制量的变化对最优解的影响及其影响程度的分析过程。
一、影子价格及其应用
例7 某企业生产Ａ、Ｂ、Ｃ三种产品，每吨的利润分别为2000元、3000元和 1000元，生产单位产品所需的工时及原材料如表3-8所示。若供应的原材料每天不 超过3吨，所能利用的劳动力总工时是固定的，应如何制定日生产计划，使三种产 品的总利润最大？ 表3-8 生产每吨产品所需资源 所需工时占总工时比例 所需原材料（吨） 产 品 Ａ 1/3 1/3 Ｂ 1/3 4/3 Ｃ 1/3 7/3
二、对偶问题的基本性质 １．对称性。 对偶问题的对偶是原问题。 ２．弱对偶性。 若 X 是原问题的可行解， Y 是对偶问题的可行 解。则存在 C X Yb ３．无界性。 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问 题（原问题）无可行解。 ˆ ˆ ４．可行解是最优解时的性质。 设 X 是原问题的可行解， Y ˆ ˆ ˆ Y 是对偶问题的可行解，当 CX Yb 时，X ， ˆ 是最优解。 ５．对偶定理。 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优 解；且目标函数值相等。 Y ６．互补松弛性。 若 Xˆ ，ˆ 分别是原问题和对偶问题的可行 ˆ ˆ Y 解。那么 YˆX 0 和 Y X 0，当且仅当 X ，ˆ 为最优解。 ７．对应基解。 设原问题是
y1 4 y 2 2
同理将生产每件产品Ⅱ的设备台时和原材料出租和 出让的所有收入应不低于生产一件产品Ⅱ的利润， 这就有
2 y1 4 y 3 3
把企业所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为 8 y1 16y 2 12y 3
从企业的决策者来看当然ω愈大愈好，但从接受者来看他的支付愈少愈好，所以企 业的决策者只能在满足 所有产品的利润条件下，使其总收入尽可能地小，他才能 实现其意愿，为此需解如下的线性规划问题：
第3章 对偶理论
第3章对偶理论第3章对偶理论§3.1 线性规划的对偶理论3.1.1 对偶问题的表述对称形式的对偶：（L ） min cx (D) max wbs.t. Ax ≥b s.t. wA ≤cx ≥0 w ≥0其中c 为n 维行向量，A 为m ⨯n 矩阵，b 为m 维列向量，x 表示n 维列向量，w 表示m 维行向量。
称(D)为线性规划(L)的对偶规划问题。
定理1 (L)与(D)互为对偶规划问题。
――（对合性）例设原问题对偶问题min x 1-x 2s.t. x 1+ x 2≥5x 1-2x 2≥1x 1, x 2≥0非对称形式的对偶：max 5w 1+w 2s.t. w 1+ w 2≤1 w 1-2w 2≤-1 w 1, w 2≥0（LP ） min cx (DP) max wbs.t. Ax =b s.t. wA ≤cx ≥0例设原问题对偶问题min 5x 1+4x 2+3x 3s.t. x 1+ x 2+x 3=43x 1+2x 2+x 3=5x 1, x 2, x 3≥0一般线性规划问题：max 4w 1+5w 2s.t. w 1+ 3w 2≤5 w 1+2w 2≤4 w 1+ w 2≤3可化为上述二者之一讨论其对偶问题，也可直接写出对偶问题，详细的对应法则见教材（陈宝林）124页。
直接写出对偶的弊端之一是对偶最优解不易确定，而对称形式和非对称形式对偶的最优解都可由原问题的单纯形乘子确定出来。
3.1.2 对偶定理(强对偶定理和弱对偶定理)定理2 (弱对偶定理) ：设和分别是（L ） min cx 和 (D) max wbs.t. Ax ≥b s.t. wA ≤cx ≥0 w ≥0的可行解，则有下列不等式成立：c ≥b证明：由于A x ≥b 和w ≥0，则有w A x ≥w b 。
由于c ≥w A 和x ≥0，则有c x ≥w A x 。
因此有c ≥b推论1 设和分别是(L)和(D)的可行解，且有c =b ，则和分别是(L)和(D)的最优解。
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标准型为： 标准型为：
max z = CX AX + X s = b s .t . X， X s ≥ 0
定义如下：原问题 (P)的对偶问题是问题(D)
max z = CX AX ≤ b min ω = Yb YA ≥ C Y ≥0
16
3、无界性 （D）不可行 ） （P） 若（P）问题可行，但目标函数无界，）无界 ） ）问题可行，但目标函数无界，则（D） （P）不可行 ） 问题不可行。 问题不可行。
注意： 无可行解 无可行解， 不一定为无界解 不一定为无界解。 注意：(D)无可行解，(P)不一定为无界解。 利用弱对偶定理 此性质还说明：(P)有可行解，(D)不一定有可行解。 此性质还说明： 有可行解， 不一定有可行解。 有可行解 不一定有可行解 4、 可行解是最优解时的性质
14
（2） ）
min
z = 2 x1 + 3 x 2 − 5 x 3 + x 4
x1 + x 2 − 3 x 3 + x 4 ≥ 5 2 x + 2 x3 − x4 ≤ 4 1 x2 + x3 + x4 = 6 x 1 ≤ 0 ; x 2 , x 3 ≥ 0 ; x 4 无约束
(1)若有某个yi∗ ≠ 0，则必有ai X * =b (2)若有某个ai X * ≠ b，则必有yi∗ =0 (3)若有某个x j* ≠ 0，则必有Y * p j =c j (4)若有某个Y * p j ≠ c j，则必有x j* =0
若工厂决策者准备将所 有资源出租或转让， 有资源出租或转让，问 应如何定价？ 应如何定价？
设转让单位煤、 设转让单位煤 、 电 、 油的价格分别为 y 1 、 y2 ， y3 。
在满足收入不能低于利润的条件 总收入只能尽可能小， 下，总收入只能尽可能小，模型为
m in ω s .t . = 3 6 0 y
若原问题的目标函数为最小值，变量变号，约束条件不变号，其他相同。 若原问题的目标函数为最小值，变量变号，约束条件不变号，其他相同。
13
例3：试求下述线性规划问题的对偶问题
（1） ）
Max Z = 5 x1 + x2 − 3 x3 2 x1 + 2 x2 − x3 ≥ 1 x − 3 x + 4 x ≤ 10 1 2 3 2 x1 + 2 x2 + x3 = 5 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3无约束
若工厂决策者准备将所有 资源出租或转让， 资源出租或转让，问应如 何定价？ 何定价？
此问题就是原问题的对偶问题。 此问题就是原问题的对偶问题。
7
资 源 煤t） 油（t）
产 品
甲 9 4 3 7
乙 4 5 10 12
资源限制 360 200 300 ？
电（kw.h） 单位价格（万元）利润
设x1、x2 分别表示计划期内甲乙两种产品的产量，建立数学模型：
min ω = 80 y1 + 60 y2
max z = 60 x 1 + 50 x 2 x 1 + 4 x 2 ≤ 80 3 x 1 + 2x 2 ≤ 60 x , x ≥ 0 2 1
2
y1 y
2
2 y1 + 3 y2 ≥ 60 s.t. 4 y1 + 2 y2 ≥ 50 y , y ≥ 0 1 2
11
例2
max z = 2 x1 + 3 x 2 y1 y2 y3 x1 + 2 x 2 ≤ 8 4 x ≤ 16 1 4 x 2 ≤ 12 x1 , x 2 ≥ 0
min ω = 8 y1 + 16 y2 + 12 y3 ≥2 y1 + 4 y2 s.t. 2 y1 + 4 y3 ≥ 3 y , y , y ≥ 0 1 2 3
(P)
(D)
X ≥0 Prime problem 展开式如下
Dual problem
10
n个变量 个变量
Max z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
a11 （P） M ） am1
x1 a12 La1n b1 x2 ≤ M M M M am2 Lamn bm xn 互为转置 x1 , x2 ,L , xn ≥ 0
利润最大 目标函数
9 x1 + 4 x1 + s .t . 3 x1 + x ,x 1 2 4 x2 ≤ 360 5 x2 ≤ 200 10 x2 ≤ 300 ≥ 0
12x Max z = 7x1+ 12x2
(煤 资 源 约 束 ) (电 资 源 约 束 ) (油 资 源 约 束 )
其中 Xs 为松弛变量
2
max z = CX AX + X s = b s .t . X，X s ≥ 0
目标函数和约束方程 其中 Xs 为松弛变量
=0 − z + CX AX + X s = b
设B为A中的一个m×m可行基，则可将A分为（B，N），同样，将X B A m m A B N X 分为（XB，XN）T，C亦分为（CB，CN），原模型 Max Z= CBXB+CNXN+0XS (3.1) BXB+NXN+IXS=b XB,XN,XS≥0 (3.2) (3.3) XB=B-1 b－ B-1 NXN－ B-1 XS － 代入（ ） 代入（3.1）式，有
(非 负 约 束 )
8
甲 煤（t） 电（kw.h） 油（t） 单位价格（万元）利润 9 4 3 7
乙 4 5 10 12
资源限制 360 200 300 ？
Max z = 7x1+ 12x2
9x1 + 4x2 ≤ 360 4x +5x ≤ 200 1 2 st. . 3x1 +10x2 ≤ 300 x1, x2 ≥ 0
Z=CB（ B-1 b－ B-1 NXN－ B-1 XS）+CNXN+0XS = CB B-1 b+ （CN－CB B-1 N）XN－ CB B-1 XS
3
单纯形表的矩阵形式
基变量
非基变量
常数项
系数矩阵 检验数
XB I 0
XN XS B-1 N B-1 B-1b CN-CBB-1N -CBB-1 -CBB-1b
企业家：付出的代价最小对方能接受 企业家 付出的代价最小对方能接受 厂 家 ：出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利 润
6
设备 原材料 A 原材料 B 利润
Ⅰ 1 4 0 2
Ⅱ 2 0 4 3
可利用资源 8 台时 16kg 12kg ？元
， 转让
Max Z =2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1，x2≥0
解：设对偶变量为y1,y2,y3,对偶问题模型为：
Min w = y1 + 10 y2 + 5 y3 2 y1 + y2 + 2 y3 ≥ 5 2 y − 3 y + 2 y ≥ 1 1 2 3 − y1 + 4 y2 + y3 = −3 y1 ≤ 0, y2 ≥ 0, y3无约束
∧
∧
是最优解。 X , Y是最优解。
∧
的可行解， 的可行解， 设 X 是(P)的可行解， 是(D)的可行解，当 C X = Y b 时， 的可行解 Y 的可行解
∧
∧
∧
5、对偶定理 、 若（P）有最优解，则（D）也有最优解，且目 ）有最优解， ）也有最优解， 标函数最优值相等。 标函数最优值相等。
17
4
3.2 线性规划的对偶理论 3.2.1 对偶问题的提出 例1．某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产
品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗、以及可获利润如表所 示，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
设备 原材料 A 原材料 B 利润 Ⅰ 1 4 0 2 Ⅱ 2 0 4 3 可利用资源 8 台时 16kg 12kg ？元
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一般，对偶问题有如下的对应关系： 一般，对偶问题有如下的对应关系： 原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题) 原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题) 目标函数 max z n个 变 ≥0 量 ≤0 无约束 约 束 条 件 m个 ≤ ≥ = 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数 min ω n个 约 ≥ 束 ≤ 条 件 = m个 ≥0 变 ≤0 量 无约束 目标函数变量的系数 约束条件右端项
1
+ 2 0 0 y
2 2 3
2
+ 3 0 0 y
3
3
9 y1 + 4 y 4 y1 + 5 y y , y , y 1 2
+ 3 y ≥ 0
≥
3
7 ≥ 1 2
+ 1 0 y
此问题就是该原问题的对偶问题。 此问题就是该原问题的对偶问题。
9
3.2.2对偶问题的定义 对偶问题的定义
第3章 对偶理论和灵敏度分析 学习目标：
了解线性规划单纯形法的矩阵描述 理解线性规划的对偶问题 理解线性规划的对偶原理及其性质 理解对偶解的经济意义 掌握线性规划的灵敏度分析
学习内容：
3.1 3.2 3.3 3.4 线性规划单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶理论 对偶解的经济意义 线性规划的灵敏度分析
1
3.1 线性规划单纯形法的矩阵描述
用矩阵描述单纯形法的每一次迭代、每一张单纯形表，能更 深刻地理解单纯形法。本节只考虑下列问题：