96-09高等数学上册历年考题清单
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)答案
参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A(6)D (7)B (8)A (9)D (10)B(11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.解:(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:因为1-a<0,所以x<0,(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:由①得,x>1或x<0,(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°. 2分利用和差化积及积化和差公式,上式可化为解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.(Ⅰ)①∵面A1EC⊥侧面AC1,2分②∵面ABC⊥侧面AC1,3分③∵BE∥侧面AC1, 4分④∵BE∥AA1, 5分⑤∵AF=FC, 6分(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,所以∠CA1C1所求二面角的平面角. 11分∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45°. 12分(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.依题意得不等式答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. 10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1. 4分于是,l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于(Ⅱ)设A1(x1y1),B1(x2y2)1.由方程②知∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2将⑤、⑥代入上式得(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力。
高等数学往年经典试题总结及答案
高等数学经典试题总结及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
大学高等数学上考试题库及答案
大学高等数学上考试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则f(2)的值为：A) -3 B) -1 C) 1 D) 32. 设函数g(x) = (x + 3)^2 - 4，则g(-5)的值为：A) -7 B) -1 C) 3 D) 73. 已知直线L1的斜率为2，过点(3, 4)，则直线L1的方程为：A) y = 2x + 4 B) y = 2x + 5 C) y = 3x + 1 D) y = 3x + 44. 若a·b = 0，且a ≠ 0，则b的值为：A) 0 B) 1 C) -1 D) 无法确定5. 设f(x) = 2x^2 - 3x + 1，g(x) = x - 2。
则f(g(2))的值为：A) -1 B) 1 C) 3 D) 7二、填空题1. 计算lim(x→2) [(x + 1)(x - 2)] / (x - 2)的值： ______2. 若h(x) = (x - 3)^2 - 4，则h(-1)的值为： ______3. 求方程x^2 + ax + b = 0的解，其中a = 2，b = -3。
解为 x = ______4. 设函数y = f(x)的反函数为y = f^(-1)(x)，则f^(-1)(f(3))的值为：______5. 解方程3^x = 27的解为： ______三、解答题1. 计算lim(x→∞) (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + 5x - 2)的值，并说明计算步骤。
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2的导函数。
3. 求方程组：2x + 3y = 53x - 2y = -1的解，并验证解的正确性。
4. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并判断其是极大值点还是极小值点。
5. 证明：若函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)是增函数，则a的值范围为(______, ______)。
大学高等数学历年考题
大学高等数学历年考题一、解析几何1. 设点 $P$ 在抛物线 $y = x^2$ 上移动，若直线 $y = 2x - 1$ 与切线相交于点 $M$，求直线 $PM$ 斜率的范围。
解析：设点 $P$ 的坐标为 $(t, t^2)$，则抛物线上任意点的切线斜率为 $2t$，与直线 $y = 2x - 1$ 相交，得到方程：$$t^2 = 2t - 1$$化简得：$t^2 - 2t + 1 = 0$，解得 $t = 1$。
此时，直线 $PM$ 斜率为 $2t = 2$。
因此，直线 $PM$ 斜率的范围是 $(2, +\infty)$。
2. 设两直线分别为 $L_1: ax + by = 1$ 和 $L_2: bx + cy = 1$，其中$a, b, c$ 为实数，求 $\frac{|a-c|}{a+b+c}$ 的取值范围。
解析：由直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方程，得到：$$a = \frac{1-by}{x}, \quad c = \frac{1-bx}{y}$$将 $a$ 和 $c$ 代入 $\frac{|a-c|}{a+b+c}$，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} = \frac{\left|\frac{1-by}{x} - \frac{1-bx}{y}\right|}{\left(\frac{1-by}{x}\right) + \left(\frac{1-bx}{y}\right)+b}$$化简后，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} = \frac{|xy - (bx^2 + by^2)|}{xy(1+b)}$$根据绝对值的性质，$|xy - (bx^2 + by^2)| \leq |xy| + |bx^2 + by^2|$，则有：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{|xy| + |bx^2 + by^2|}{xy(1+b)}$$又因为 $|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$ 和 $|bx^2 + by^2| \leq|b|\frac{x^2+y^2}{2}$，所以：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{x^2+y^2 + |b|(x^2+y^2)}{2xy(1+b)}$$进一步化简，得到：$$\frac{|a-c|}{a+b+c} \leq \frac{1 + |b|}{2\sqrt{b(1+b)}}$$因此，$\frac{|a-c|}{a+b+c}$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{1+|b|}{2\sqrt{b(1+b)}}\right]$。
高等数学第一学期试题(附参考答案)
《高 等 数 学》课程试题一、填空题 .（每小题3分，共24分） 1. 设=+=)]([,1)(2x f f xx x f 则2. =→xx x 5sin 3sin lim 03. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在0=x 连续，则常数=a4. 曲线x y ln 2=上点（1, 0）处的切线方程为5.设参数方程⎩⎨⎧==ty t x sin 2，则=dxdy 6. 函数x x f 2arctan )(=，则=dy7. ⎰=)(cos x xd 8. ⎰-201dx x =二、选择题 .（每小题3分，共24分）1.设函数⎩⎨⎧<<-≥-+=10,11,42)(22x x x x x x f ，则)(lim 1x f x →等于（ ）A ．－3B .－1C . 0D .不存在 2. 当)1ln(0x ，，x +→两个无穷小比较时是比x ( )A. 高阶的无穷小量B. 等价的无穷小量C. 非等价的同阶无穷小量D. 低阶的无穷小量3.设)(x f 的一个原函数为)1ln(+x x ，则下列等式成立的是( ) A ．C x x dx x f ++=⎰)1ln()( B.C x x dx x f +'+=⎰]1ln([)(班级：姓名：学号：试题共页加白纸张密封线C.⎰+=+C x f dxx x )()1ln( D.C x f dx x x +='+⎰)(])1ln([ 4. 设函数)(x f y =在0x x =处可导，则必有（ ）A ．0=∆y B. 0lim=∆→y xx C. dy y =∆ D. 0=dy 5．设)12)(1()(+-='x x x f ，则在)1,21(内，曲线)(x f 是（ ）A ．单调增加且是凹的B ．单调增加且是凸的C ．单调减少且是凹的D ．单调减少且是凸的 6．设)0(),1ln(≠+=a ax y ，则二阶导数y ''=（ ） A ．22)1(ax a+ B.2)1(ax a + C. 22)1(ax a+-D. 2)1(ax a+-7．积分=⎰-dx x1121（ ）A ．是发散的 B. 2 C. －2 D . 0 8．设函数⎰-=Φ2)(xtdttex ，则其导数=Φ')(x ( )A ．x xe - B. xxe--；C.232xex -D.232xex --三、求极限.（每小题5分，共10分） （1）3)21(lim +∞→+x x x（2）xx x x sin cos 1lim+-→四、求下列导数或微分. （每小题6分，共12分） （1）求由方程1ln =+y ye x确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy ；（2）求函数xe y sin =在01.0,0=∆=x x 处的微分dy五、求下列积分.（每小题6分，共18分） （1） ⎰+dxeexx 21（2）⎰212ln exdx x（3）⎰20sin πdx x六、设x:,0求证（5分）>1>ex x+七、欲做一个长方体的带盖箱子，其体积为723m，而底面的长与宽成2：1的关系。
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x= 和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12x x x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+=三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinx B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x -7、⎰=+dx xxln 2（ ）. A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx x π B 、⎰1ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-14)1(dx x π 9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xx x x --+→11lim； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx ； 5、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ； 6、解方程 21xy x dx dy -= ；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ；10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分）1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）. A 、()()+∞--,01,2 B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞-2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x c o s lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、x x 2lim +∞→3、=+∞→xx x x)1(lim （ ）.A 、eB 、2eC 、1D 、e 14、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）.A 、 x y =B 、)1)(1(ln --=x x yC 、 1-=x yD 、)1(+-=x y5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin +6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C e x +sinB 、C x e x +cos sinC 、C x e x +sin sinD 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx x π B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y πD 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则 =-⎰dx x a a022（ ）.A 、2aB 、22a πC 、241a 0D 、241a π10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln 2=+'xy y x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ； 2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分）1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21x x y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx x x ln 21 ；5、求定积分⎰e e dx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2 满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e xy 122-= ； 四、1、29 ； 2、图略。
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--;3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinxB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分⎰++11x dx ；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ；4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x c o s l i m 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略高等数学模拟试卷一、填空题（每空3分，共42分）1、函数4lg(1)y x x =-+-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
1996年数学一真题及答案详解
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =+在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2 (C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b -(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2)设1110,1,2,),n x x n +==试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,z u v ∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2b fc a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ=== 又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)(2)求随机变量X 的数学期望().E X1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题 （1）【答】 .2ln 【详解】因为,31lim 2lim 333a ax ax aa x x x x e a x a a x a x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∞→∞→于是 2ln 83=⇒=a e a （2）【答】0322=-+z y x【详解】 原点与点)2,3,6(-连线的方向向量为);2.3,6(-=s 平面824=+-z y x 的法向量为{},2,1,4-=n 根据题意，所求平面的法向量为.322214236k j i kj in s -+=--=⨯ 故所求平面方程为,0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x 即 0322=-+z y x（3）【答】 xxxe x e C x e C y ++=sin cos 21【详解】 对应齐次方程的特征方程为 ,0222=+-λλ 解得特征根为 ,12,1i ±=λ由于1=α不是特征根，可设原方程的特解为,**=Ae y代入原方程解得,1=A 故所求通解为 xxxe x e C x e C y ++=sin cos 21 （4）【答】.21【详解】因为,211)1,0,1(22=++=∂∂z y x x u A,01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy yzy x y u A,211)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y z zy x z u A ,31cos ,32cos ,32cos =-==γβα 沿AB 方向的单位向量为,31,32,32⎭⎬⎫⎩⎨⎧-故u 沿AB 方向的方向导数为 2131213203221=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅÷+⋅=∂∂AB u （5）【答】 .2【详解】 因为,010301020201≠=-=B说明矩阵B 可逆，故秩=)(AB r 秩,2)(=A r 二、选择题（1）【答】应选（D ） 【详解】2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分的充要条件是,)()(22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂y x ay x y y x y x 即,2)2(y ay x a -=-- .0))(2(=--y x a 当且仅当2=a 时上式恒成立，故正确选项（D ）.（2）【答】应选（B ）【详解】由题设1)(lim '0=→x x f x 根据极限的性质知，存在0=x 的某领域，在此领域内有 .0)(.0)(''≥≥x f xx f 即又根据泰勒公式，2"'!2)()0()0()(x f x f f x f ξ++=其中ξ在0与x 之间， 从而)0(!2)()0()(2"f x f f x f ≥+=ξ 可见)0(f 是)(x f 的极小值，故正确选项为（B ）.（3）【答】应选（A ） 【详解】由于,tan tan)1(22n n n a nn a n n ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-λλ 而,tan lim λλ=∞→nn n 所以当n 充分大时，n n a a nn 22)1(tan+<⋅λλ又正项级∑∞=1n na收敛，所以其偶数项数列构成的级数∑∞=12n na也收敛，从而n n n a n n 21tan )1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=λ绝对收敛， 故正确选项为（A ）. （4）【答】应选（C ）【详解】因为)()()(2)()()(220'0022'x f x x f x dt t f x dt t f t dt t f x x F x x x -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰⎰=xdt t f x.)(2又根据题设)('x F 与k x 是同阶无穷小，且,0)0(,0)0('≠=f f于是有 2000'0)1()(2lim)(2lim )(lim-→→→-==⎰k x kxx k x x k x f x dtt f x xx F)0()()1(1lim230--⋅-=-→x f x f x k k x,0)1(1lim)0(230'≠-⋅=-→k x x k f可见应有3=k ，故正确选项为（C ）. （5）【答】应选（D ）【详解】 按第一行展开，00000000000043322143322144332211b a b b a b a a b b a a a b a b b a b a -⋅= 332241332241a b b a b b a b b a a a -=).)((41413232b b a a b b a a --= 故正确选项为（D ）. 三、（1）【详解】因为θθθθθθθd a d r r ds a r 2cos 2)()(,sin )(2'2'=+=-=利用对称性知，所求心形线的全长 a a d a s 82sin 82cos 220===⎰ππθθθ（2）【详解】由46.10121=+==x x x 知，.21x x >设对某个正整数k 有1+>k k x x 则 .66211+++=+>+=k k k k x x x x故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1+>n n x x ，即数列{}n x 为单调减少数列。
高等数学上册试题及答案
高等数学上册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(1)=0，则c的值为（）。
A. -3B. 0C. 3D. 42. 函数y=x^3-3x+1的导数为（）。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2-3xD. x^3-33. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数y=e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. x*e^x + CD. x*e^x - C5. 以下哪个选项是微分方程y''-y=0的通解（）。
A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*x^2+C2*x6. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 47. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=（）。
A. 3x^2-12x+11B. 3x^2-12x+6C. 3x^2-6x+11D. 3x^2-6x+68. 函数y=ln(x)的导数为（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. 19. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(2)=（）。
A. 1B. 3C. 5D. 710. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。
2. 求定积分∫(0 to 1) (2x+3)dx的值，结果为______。
3. 函数y=x^2-4x+c在x=2处的极值点，当c=______时，该点为极大值点。
4. 函数y=e^(-x^2)的二阶导数为______。
5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为y=______。
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(A)I＝A∪B (B)I＝∪B(C)I＝A∪(D)I＝∪(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z} (B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z} (D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}(4）复数(2＋2i)4/(1－i)5(A)1＋ i (B)－1＋ i (C)1－ i (D)－1－ i(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋cosx的(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是1/2(C)最大值是2，最小值是－2(C)最大值是2，最小值是－1(7)椭圆的两个焦点坐标是(A)(－3,5)，(－3,－3)(B)(3,3)，(3,－5)(C)(1,1)，(－7,1)(D)(7,－1)，(－1,－1)(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[s in(π＋a)]等于(A)π/2(B)－π/2(C)π/2－2a(D)－π/2－2a(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为(A)a3/6(B)a3/12(C)(/12)a3(D)(/12)a3(10)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若S10/S5＝31/32，则limS n等于(A)2/3(B)－2/3(C)2(D)－2(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是(A)(3,0)，(1,π)(B)(,π/2)，(,3π/2)(C)(2,π/3)，(2,5π/3)(D)(,arctg(/2))，(,2π－arctg(/2))(12)等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(13)设双曲线x2/a2－y2/b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为/4c，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(A)2 /3 π(B)2/3π(C)π(D)2/3π(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答） (18) 40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-x a ． (21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2c os C A -的值．22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求=、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1． (Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．。
96 09高等数学上册历年考题清单
96 09高等数学上册历年考题清单96-09高等数学上册历年考题清单历年试题一览表说明：在2021级以前，微分方程的知识在下册，空间解析几何与向量代数部分的知识在上册；2021-2021级以后微分方程的知识在上册，空间解析几何与向量代数部分的知识在下册；2021微分方程的知识在下册，空间解析几何与向量代数部分的知识在上册。
我把试卷中微分方程的内容去掉。
同时在后面加了98-06空间解析几何与向量代数部分的内容。
请同学们务必先自己做。
1996级高等数学（一）一、试解下列各题（24分）1.x什么时候？0, 1? tgx？1.SiNx和X是等价的无穷小吗？解释2找到LIM（LNX）x 的原因？e11？lnx3。
请（sinx？sinx）dx4。
计算2.sinxdx25二．试解下列各题（14分）1.请求？（1？sin3？）D2.请求？05? ln20ex（1？ex）3dxsin2xdx（11分）三、计算?(2?x?sinx)dx（11分）四、求?211?sinx五、设f(x)?limx2?x?e2txt，讨论f(x)的可导性，并在可导点处问f？（x）（10分）六、设f(x)在(??,??)可导，且f(x)?f'(x)?0.证明：方程f(x)?0最多一个实根（8点）1997级《高等数学（上）》试卷一、试着解决以下问题（24分）求limx21．x?0xex?sinx2.11X？设置Y×1×3？ctgx2？Tg2x，y？4.你知道吗？xarctg1x？？X0arctgxdx，找到dydxx?2二、试解下列各题1.请求？1.xln21？请问Xdx（6分）2分？0xe？Xdx（6分）3.?ln2xxln4xdx（8分）三、试确定常数a,b的值，使函数f(x)b(1?sinx)?a?2,x?0?eax?1.x?0处处可微（11点）cosx3四、求lim?1(t?t)dtx?0sin3x（11分）五、找到y曲线了吗？LNX是区间（2，6）中的切线，因此切线与直线x一致？2，x？6号曲线y？LNX包围的图形区域最小（12点）和1998级高等数学（一）一、试解下列各题（24分）（et？e？t）dtx？2倍？1.1.在极限lim2上找到LIM0x?0x?11?cosxx?12x3.求?arccosxdx4.求?sinx?cosxdx0 2. 试着解决以下问题（35分）1,1．若函数f(x)??0,??1,?x?1x?1x?1及g(x)?ex，确定f[g(x)]与G[f（x）]，表示其类型2．设y?y(x)由方程y?arctgx?xy所确定，求y?3．求?dxx1?x44.求??40d?21?sin??x?t?arctgt5．设y?y(x)由方程组?所确定，求y??(x)3?y?t?6t三、求圆域x2?(y?c)2?a2(0?a?c)绕x轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四、它有一个底部为等边三角形的直圆柱体，其体积为常数V（V？0），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五、设函数f(x)在[0,1]上可导且0?f(x)?1，在(0,1)上有f?(x)?1，证明（0,1）中只有一个X，那么f（X）？X（8分）1999级《高等数学（上）》试卷一、试着解决以下问题（30分）1。
《高等数学》(上册)试题
1996级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题（24分）1. 当0→x 时，x tgx sin 11--+与x 是否是等价无穷小？并说明理由2. 求xex x ln 11)(ln lim -→ 3. 求⎰+dx x x )sin (sin 54. 计算⎰-22 sin ππxdx二．试解下列各题（14分）1. 求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 2. 求⎰+2ln 03)1(dx e e x x三、计算dx x x )sin 2(51 ⎰+-（11分）四、求⎰+dx xx22sin 1sin （11分）五、设txt e x x x f -+=+∞→22lim)(，讨论)(x f 的可导性，并在可导点处求)( x f '（10分）六、设)(x f 在) ,(∞+-∞可导，且0)(' )(>+x f x f . 证明：方程0)(=x f最多只有一个实根（8分）七、求与向量k j i a22+-=共线且满足18 -=⋅x a 的向量x （8分）1997级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题 （24分）1．xxe x x x sin lim 20-→求2．)111(lim 0--→x x e x3．x tgx ctg y 22 +=设，求y '4. 已知⎰+=x arctgxdx x xarctg y 0 1，求2=x dx dy二、试解下列各题1. 求⎰-+dx xx11（6分） 2. 求⎰-2ln 0 dx xe x （6分）3. ⎰dx x x x4ln 2ln （8分）三、试确定常数b a ,的值，使函数⎩⎨⎧≤-≥+++=0 .10,2)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导（11分）四、求xdt t t xx 3cos 130sin )(lim⎰-→（11分）五、求曲线x y ln =在区间（2，6）内一条切线，使该切线与直线6 ,2==x x和曲线x y ln =所围的图形面积最小（12分）六、设{}{}{}0 ,2 ,1 ,3 ,1 ,1 ,1 ,3 ,2-=-=-=c b a， 求:（1）b c a a c b )()(⋅+⋅-，（2）c b a⨯⨯)(（11分）七、求平面束0)42( 53=+--+-+z y x y x λ在x 轴和y 轴上截距相等的平面（11分）1998级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题（24分） 1．论极限112lim21-+-→x x x x 2. 求x dte e xt t x cos 1)(lim 00--⎰-→3. 求⎰xdx arccos4. 求dx x x ⎰-20 cos sin π二、试解下列各题（35分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2．设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3．求⎰+41xx dx 4. 求⎰+42sin 1πθθd5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+= 63t t y arctgtt x 所确定，求)(x y ''三、求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四、设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五、设函数)(x f 在]1 ,0[上可导且1)(0<<x f ，在)1 ,0(上有1)(≠'x f ，证明：在)1 ,0(内有且仅有一个x ，使x x f =)(（8分）六、连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程(7分)1999级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题（30分） 1．求)12(lim +-+∞→n n n n2． 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在]3 ,1[-上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 13225．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y '二、试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=tt y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d3．求⎰10 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三、求由0 ,ln ==y x y 和2=x 所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四、求函数⎰+=xarctgtdt t y 0)1(的极小值（12分）五、设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六、证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）2000级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题（30分）1．求xx x )3ln(lim 2+∞→ 2．求dx x x ⎰-313． 设x xe e y -+=，求y ''4．求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间5．过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p ， 求球面的切平面方程二、试解下列各题（28分） 1．求⎰+40 1xdx2．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++= cos sin 2t t y tt x ，求此曲线在2=x 点处的切线方程3．求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→tgx x x x 1sin 11lim 0 4．求⎰xdx x sin 2三、设)(x f y =在) ,(∞+-∞上可导，且)2)(1()(22+-='x x e x f x .试确定)(x f y =的单调区间（10分）四、设方程arctgy x e x y =++sin 21arccos确定函数)(x y y =，求)0(y '(9分)五、求曲线x y sin =与x y 2sin =在] ,0[π间围成的面积（10分）六、指出非零向量b a,应分别满足什么条件才能使下列各式成立（8分）．(1)b a b a -=+，(2)b a b a -<+，(3)b a b a+=-七、设)(x f 在]2 ,0[π上连续，在)2 ,0(π内可导，且0)2(=πf ，证明：存在一点)2 ,0(πξ∈，使 0)(' )(=⋅+ξξξf tg f （5分）2001级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题 （30分） 1．1)sin 1ln(lim220-+→x x e x 2．xxx cos 22lim-→讨论极限3．y xxy '+-=求设 ,ln 1ln 1 4．dy x tg y 求，设 )2(sin 2=，5．⎰+dx x x )cos (sin 35求二、试解下列各题（28分）1．)(')()( )()(2x e x f x x f x f φφ，求为可导函数，设⋅=2．时，使当求设1,, ,)1()( ,23)( 2→-=+-=x n c x c x x x x n βα是等价无穷小与)()( x x βα 3．⎰+2044 dx x x 求 4．⎰-+10)1ln(e dx x 计算三、0653202)3 ,2 ,1(=-+-=-+z y x z y x M L 及且与两平面过点直线分）的对称式方程（都平行，求直线10L).12( 分最省？顶部、底部及侧壁）为用材料（包括之比为何值时，建沟所与矩形矩形，问圆半径半圆形，下部为积一定，断面的上部为设排水阴沟的横断面面四、h r).12( , ,2 2分面积在上半平面所围图形的求由五、x y y x x y -==-=)8(0)(')(2)1 ,0( .0)1()1 ,0(]1 ,0[)( 分，使存在证明：内可导，且上连续，在在设六、=+∈=c cf c f c f x f2002级《高等数学（上）》期末试卷一、试解下列各题（30分）1．52432)76()23()34(lim +--∞→x x x x 求 2．y x y ''-=，求设)1ln( 23．求)(sec lim 2tgx x x -→π 4．求⎰-+10 x x e e dx5．内有实根，在方程证明：]1 1[013 4-=+-x x二、试解下列各题（21分） 1．⎰⋅arcctgxdx x 求2．的凹凸区间与拐点坐标求曲线13 23--+=x x x y3．轴，，且平行及已知平面通过两点z N M )1 ,3 ,2()5 ,2 ,3(- 求它的方程三、分）（求极81lim 21--+++→x nx x x n x四、dy y xy x x y y 6 )( 22确定，求由方程设=+-=（7分）五、分），求轴，且及同时垂直向量已知向量8(2},8 ,6 ,3{ x ==六、分）所围成图形的面积（与，求由曲线102222x y x y x y ===七、)10( )1,0( )0 ,0( 1)(22分上的最大值和最小值，求>>-+=b a xb x a x f分）（并计算，上连续，证明：在设八、6 sin 1 )(sin 2)(sin ]1 ,0[)( 0⎰⎰⎰+=ππππdx xxdx x f dx x xf t f2003级《高等数学(上)》期末试卷 一、 试解下列各题（48分） 1．设ln cos y =(x e x -+2)，求'.y2．求⎰+.dx xx 123．求极限.e x x limxx ++∞→24．确定x x ln y -=的单调区间.5．计算⎰+312211.dx )x (x6．已知两点A (127--，，)和B (10,4,3)，求一平面，使其通过点B 且垂直于.AB7．求极限0lim →x [+x 121xln (x -1)].8．由参数方程⎩⎨⎧==t sin e y t cos e x tt 确定了函数y y =(x )，试求y 关于x 的微分(ππk t +≠4).二、(8分)设曲线方程为32=--y x e xy ，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程。
1996年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共65页）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1) 设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则 ( ) (A) I =A ∪B(B) I =A ∪B(C) I = A ∪B (D) A ∪B(2) 当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x 与y =log a x 的图像是( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )(A) {x |2k π－43π<x <2k π＋4π，k ∈Z } (B) {x |2k π＋4π<x <2k π＋45π，k ∈Z }(C) {x |k π－4π<x <k π＋4π，k ∈Z }(D) {x |k π＋π41<x <k π＋43π，k ∈Z }(4) 复数54)31()22i i -+（等于( )(A) 1+3i (B) －1+3i (C) 1－3i (D) －1－3i(5) 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 ( )(A) 720种(B) 360种(C) 240种(D) 120种(6) 已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α= ( )(A)34(B)43 (C) －43 (D) －34 (7) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C) m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8) 当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的 ( )(A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21(C) 最大值是2，最小值是－2(D) 最大值是2，最小值－1(9) 中心在原点，准线方程为x =±4，离心为21的椭圆方程是 ( )(A) 3422y x +=1 (B) 4322y x +=1 (C) 42x ＋y 2=1(D) x 2＋42y =1 (10) 圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240º，该圆锥的体积 ( )(A)8122π(B)818π (C)8154π(D)8110π(11) 椭圆25x 2－150x ＋9y 2＋18y ＋9=0的两个焦点坐标是 ( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1)(12) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥的D －ABC 体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a (D)3122a(13) 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 ( ) (A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(14) 设双曲线2222by a x -=1(0<a <b)的半焦距为c ，直线过l （a ，0），（0，b ）两点．已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2 (B)3(C)2 (D)332 (15) 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7，5)等于( )(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项：1．第Ⅱ项共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)已知点(－2，3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5，则p =________(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有__________个（用数字作答）(18) ︒︒+︒+︒40tg 20tg 340tg 20tg 的值是________(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60º的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分11分) 解不等式log a (x ＋1－a )>1． (21)(本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＋S 6=2S 9，求数列的公比q ． (22)(本小题满分11分)已知三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C =2B ，C A cos 1cos 1+=－B cos 2，求cos2)(C A -的值．(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】如图：在正三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1中，AB =31AA =a ，E ，F 分别是BB 1，CC 1上的点且BE =a ，CF =2a ．(Ⅰ)求证：面AEF ⊥面ACF ； (Ⅱ)求三棱锥A 1－AEF 的体积． (Ⅰ)证明：①∵ BE =a ，CF =2a ，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ． ∴ △DBE ∽△DCF ∴CFBEDE DB =②_____________________ ∴ DB =AB ．③______________________ ∴ DA ⊥AC④_______________________ ∴ F A ⊥AD⑤_________________________ ∴ 面AEF ⊥面ACF ． (24)(本小题满分10分)某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/(总人口数))(25)(本小题满分12分)已知l 1、l 2是过点P ()02，-的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若A 1恰是双曲线的一个顶点，求| A 2 B 2|的值．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分． 解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得 x >2a －1．(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1． 又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0． (2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0， ∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º． ∵ －︒60cos 2=－22∴CA cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos 2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos2)(C A -=22－2cos(A －C)cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1 代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0， (2cos 2C A -－2)(22cos 2C A -＋3)=0．∵ 22cos 2CA -＋3≠0，∴ 2cos 2CA -－2=0，∴ cos2C A -=22． 解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º． 设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1oo αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得Bcos 243cos cos 2-=-α， ∵ cos B =21， ∴ 2243cos cos 2-=-αα．整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0，∵ 22cos α＋3≠0， ∴ 2cos α－2=0 从而得 cos222=-C A ． (23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE :CF =1:2 ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º， ∴∠BAD =30º， ∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且CA ⊥AD ， ⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ⑥∴面ADF ⊥面ACF ． (Ⅱ)解： ∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ． B 1G=23a面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ∵ B 1G ⊥面A 1 C ，∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23aF AA S 1∆=AA 1·2AC =232a∴43311a V V F AA E AEF A ==-- (24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公项，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷． 依题意得不等式()()()()%10110%111010%2214104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P xM化简得x ≤103×[1－22.1)01.01(1.110+⨯]．∵ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C ×0.01＋210C ×0.012＋…)] ≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.1 9分 ∴ x ≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l 1、l 2都存在，因为l 1过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 1(x ＋2)(k 1≠0)，y 2－x 2=1 ① 有两个不同的解，在方程组①中消去y ，整理得 (21k －1)x 2＋2221k x ＋221k －1=0 ②若(21k －1)=0，则方程①只有一个解，则l 1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故(21k －1) ≠0，即|k 1|≠1．方程②的判别式为△ 1=(2221k )2－4(21k －1)(221k －1)=4(321k －1)设l 2的斜率k 2，因为l 2过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 2(x ＋2)(k 2≠0)，y 2－x 2=1 ③ 有两个不同的解，在方程组③中消去y ，整理得 (22k －1)x 2＋2222k x ＋222k －1=0 ④ 同理有(22k －1) ≠0，△2=4(322k －1) 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1 于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 321k －1>0， 322k －1>0， k 1·k 2=－1， |k 1|≠1． 解得3||331<<k ， |k 1| ≠1．∴ k 1∈(－3，－1) ∪(－1，－33)∪(33，1)∪(1，3) (Ⅱ)双曲线y 2－x 2=1的顶点(0，1)、(0，－1)．取A 1(0，1)时，有 k 1(0＋2)=1，解得k 1=22．从而k 2=11k -=－2． 将k 2=－2代入方程④得 x 2＋42x ＋3=0 ⑤ 记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则 |A 2B 2|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=3(x 1－x 2)2=3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]． 由⑤知x 1＋x 2=－42 x 1x 2=3 ∴ | A 2 B 2|2=60，| A 2 B 2|=215====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====当取A1(0，－1)时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知| A2 B2|=215所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2 B2|=215源-于-网-络-收-集。
1996年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
于（
(A)0.5
）
(B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5
二、填空题： (16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有 个(用数字作答). (18)tg20°+ tg40°+
3
.
tg20°tg40°的值是
( A ) 2 3 ( B )
31 lim S 32 ， 则 n n 等于（ ( D ) 2
）
3
2 3
( C
)2
(11)椭圆的极坐标方程为
( A )( 3 , 0 )( 1 , ) ( B )( 2 , 3 )( 2 , 5 3 )
2 cos ， 则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（
2 2 a
）
2
(B)
2
(C ) 2
2 a
(D)
(9) 将 边 长为 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得 BD=a, 则三棱锥 D-ABC的体积为 （
(A ) a 6
）
3
(B )
a 3 12
(C )
3 12
a
3
(D ) S10
2 12
a
3
(10)等比数列{an}的首项a1=-1，前n项的和为Sn，若 S5
25.已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.
(Ⅰ)证明:│c│≤l; (Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2; (Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
1996年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学第I卷一、选择题:本大题共15小题;第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(12)等差数列{a n的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.则P= .(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答).(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 .三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分11分）（21）（本小题满分12分）（22）（本小题满分12分）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.①∵∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,②∵∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③∵∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④∵∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤∵（23）（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（24）（本小题满分12分）（25）（本小题满分12分）已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.(Ⅰ)证明:│c│≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).。
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历年考题清单说明：在2007级以前，微分方程的知识在下册，空间解析几何与向量代数部分的知识在上册；2007-2009级以后微分方程的知识在上册，空间解析几何与向量代数部分的知识在下册；2010微分方程的知识在下册，空间解析几何与向量代数部分的知识在上册。
我把试卷中微分方程的内容去掉。
同时在后面加了98-06空间解析几何与向量代数部分的内容。
请同学们务必先自己做。
1996级《高等数学（上）》试卷一、试解下列各题（24分）1. 当0→x 时，x tgx sin 11--+与x 是否是等价无穷小？ 并说明理由2. 求xex x ln 11)(ln lim -→ 3. 求⎰+dx x x )sin (sin 54. 计算⎰-22sin ππxdx二．试解下列各题（14分）1. 求⎰-πθθ 03)sin 1( d 2. 求⎰+2ln 03)1(dx e e x x三、计算dx x x )sin 2(5 1 ⎰+-（11分）四、求⎰+dx xx22sin 1sin （11分） 五、设txt ex x x f -+=+∞→22lim)(，讨论)(x f 的可导性，并在可导点处求)( x f '（10分）六、设)(x f 在) ,(∞+-∞可导，且0)(' )(>+x f x f . 证明：方程0)(=x f最多只有一个实根（8分）1997级《高等数学（上）》试卷一、试解下列各题 （24分）1．xxe x xx sin lim 20-→求2．)111(lim 0--→xx e x 3．xtgx ctgy 22 +=设，求y ' 4. 已知⎰+=x arctgxdx x xarctg y 0 1，求2=x dx dy二、试解下列各题1. 求⎰-+dx xx11（6分） 2. 求⎰-2ln 0 dx xe x （6分）3. ⎰dx xx x4ln 2ln （8分） 三、试确定常数b a ,的值，使函数⎩⎨⎧≤-≥+++=0 .10,2)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导（11分）四、求xdt t t xx 3cos 130sin )(lim⎰-→（11分）五、求曲线x y ln =在区间（2，6）内一条切线，使该切线与直线6 ,2==x x 和曲线x y ln =所围的图形面积最小（12分）一、试解下列各题（24分）1．论极限112lim 21-+-→x x x x 2. 求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→3. 求⎰xdx arccos4. 求dx x x ⎰-2cos sin π二、试解下列各题（35分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2．设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3．求⎰+41x x dx 4. 求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+= 63t t y arctgtt x 所确定，求)(x y '' 三、求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的 体积（10分）四、设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分） 五、设函数)(x f 在]1 ,0[上可导且1)(0<<x f ，在)1 ,0(上有1)(≠'x f ，证明：在)1 ,0(内有且仅有一个x ，使x x f =)(（8分）一、试解下列各题（30分） 1．求)12(lim +-+∞→n n n n2． 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在]3 ,1[-上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二、试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=tt y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1dx e x三、求由0 ,ln ==y x y 和2=x 所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四、求函数⎰+=xarctgtdt t y 0)1(的极小值（12分）六、证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题（30分）1．求xx x )3ln(lim 2+∞→ 2．求dx x x ⎰-31 3． 设x xe ey -+=，求y ''4．求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间5．过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p ， 求球面的切平面方程二、试解下列各题（28分） 1．求⎰+40 1xdx2．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++= cos sin 2t t y tt x ，求此曲线在2=x 点处的切线方程3．求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→tgx x x x 1sin 11lim 0 4．求⎰xdx x sin 2三、设)(x f y =在) ,(∞+-∞上可导，且)2)(1()(22+-='x x e x f x .试确定)(x f y =的单调区间（10分） 四、设方程arctgy x e x y =++sin 21arccos确定函数)(x y y =，求)0(y '(9分)五、求曲线x y sin =与x y 2sin =在] ,0[π间围成的面积（10分）七、设)(x f 在]2 ,0[π上连续，在)2 ,0(π内可导，且0)2(=πf ，证明：存在一点)2 ,0(πξ∈，使 0)(' )(=⋅+ξξξf tg f （5分）2001级《高等数学（上）》试卷一、试解下列各题 （30分） 1．1)sin 1ln(lim220-+→x x e x 2．xxx cos 22lim-→讨论极限 3．y xxy '+-=求设 ,ln 1ln 1 4．dy x tg y 求，设 )2(sin 2=， 5．⎰+dx x x )cos (sin 35求 二、试解下列各题（28分）1．)(')()( )()(2x e x f x x f x f φφ，求为可导函数，设⋅= 2．时，使当求设1,, ,)1()( ,23)( 2→-=+-=x n c x c x x x x n βα是等价无穷小与)()( x x βα 3．⎰+244 dx x x 求 4．⎰-+10)1ln(e dx x 计算).12( 分最省？顶部、底部及侧壁）为用材料（包括之比为何值时，建沟所与矩形矩形，问圆半径半圆形，下部为积一定，断面的上部为设排水阴沟的横断面面四、h r ).12( , ,2 2分面积在上半平面所围图形的求由五、x y y x x y -==-= )8(0)(')(2)1 ,0( .0)1()1 ,0(]1 ,0[)( 分，使存在证明：内可导，且上连续，在在设六、=+∈=c cf c f c f x f2002级《高等数学（上）》试卷一、试解下列各题（30分）1．52432)76()23()34(lim +--∞→x x x x 求 2．y x y ''-=，求设)1ln( 23．求)(sec lim 2tgx x x -→π4．求⎰-+10 xx e e dx5．内有实根，在方程证明：]1 1[013 4-=+-x x 二、试解下列各题（21分） 1．⎰⋅arcctgxdx x 求2．的凹凸区间与拐点坐标求曲线13 23--+=x x x y 3．轴，，且平行及已知平面通过两点z N M )1 ,3 ,2()5 ,2 ,3(- 求它的方程三、分）（求极81lim 21--+++→x nx x x n x四、dy y xy x x y y 6 )( 22确定，求由方程设=+-=（7分）六、分）所围成图形的面积（与，求由曲线102222x y x y x y ===七、)10( )1,0( )0 ,0( 1)(22分上的最大值和最小值，求>>-+=b a x b x a x f 分）（并计算，上连续，证明：在设八、6 sin 1 )(sin 2)(sin ]1 ,0[)( 0⎰⎰⎰+=ππππdx xxdx x f dx x xf t f2003级《高等数学(上)》试卷一、 试解下列各题（48分） 1．设ln cos y =(x e x -+2)，求'.y2．求⎰+.dx x x 123．求极限.e x x limxx ++∞→24．确定x x ln y -=的单调区间. 5．计算⎰+312211.dx )x (x 7．求极限0lim →x [+x 121xln (x -1)]. 8．由参数方程⎩⎨⎧==t s i n e y tco s e x tt 确定了函数y y =(x )，试求y 关于x 的微分(ππk t +≠4).二、(8分)设曲线方程为32=--y x e xy ，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程。
三、(9分)计算⎰342ππ.dx xsin x五、(10分)求f (x )-=32x (12-x )31在[-2,2]上的最大值与最小值。
六、(9分) 设f (x )⎰+=x dt t t ln 121，求证f (x )).0)(1(>=x xf 七、(6分)设)(x f 在[2a ，0]上连续，且)2()0(a f f =，证明：至少有一点]0[a ，∈ξ，使得).()(a f f +=ξξ2004级《高等数学（上）》试卷一、填空题（每小题2分，共计20分）1.xcos x lim x 20→ . 2.设()()0≠-=x xxcot x csc x f ，要使()x f 在0=x 处连续，则()=0f . 3.设()⎪⎩⎪⎨⎧=>==⎰dx t t cos y duuu sin x t dy 00则，. 4.设()20='x f ，则()()=--+→hh x f h x f limo h 00.5.x x y -=的单调减少区间是 .6.曲线233+-=x x y 的拐点为 .7.⎰=+++dx x x x 1133224 . 8.设()x f 为[]a a ，-上连续的奇函数，则()⎰-=aadx x f x 2 .9.向量{}411-=，，b 在向量{}122，，-=a上的投影等于 . 10.点()113-,,到平面04520422=--+z y x 的距离等于 . 二、试解下列各题（每小题6分，共计24分）1.求极限xsin x x limx 435532++∞→. 2.设cos y =(xsin 1)，求dy . 3.求积分()⎰⋅-dx xx 2211. 4.求积分⎰++402211πdx xcos xcos .三、试解下列各题（每小题7分，共计28分）1.求极限xsin x e x lim xx 32021-→--.2.设()x f 的一个原函数为xxln ，求()⎰'dx x f x .3.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=01111)(x e x x x f x，，，求()⎰-201dx x f .四、应用题（每小题7分，共计21分）1.在半径为R 的球内，求体积最大的内接圆柱体的高。