第26课时 点与圆、直线与圆的位置关系
第26课 点与圆、直线与圆的位置关系
2012中考一轮复习材料 作者：辽宁省本溪市36中学 吕丽俊第26课 点与圆、直线与圆的位置关系第一部分 讲解部分（一） 课标要求1、点与圆的位置关系⑴、能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系. ⑵、知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图. 2、直线与圆的位置关系⑴、能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系. ⑵、了解切线的概念.⑶、能运用切线的性质进行简单计算和说理. ⑷、掌握切线的判别方法.⑸、了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念. ⑹、能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（二） 知识要点知识点1：点与圆的位置关系点和圆的位置关系：如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d..那么①点在圆外d r ⇔< ②点在圆上=d r ⇔ ③点在圆内d r ⇔>知识点2：过三点的圆：（1）过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆，②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外心到三角形三个顶点距离相等。
（3）三角形的外接圆的做法：①确定圆心：作任意两边的中垂线，交点即为圆心。
②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任意一顶点间的距离作为半径。
知识点3：直线与圆的位置关系 ⑴ 直线与圆的位置关系概念：①直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交，直线叫圆的割线。
②直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，唯一公共点叫切点，直线叫圆的切线 ③直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离。
⑵直线与圆的位置关系性质与判定如果圆的半径为r,圆心到直线的距离为d..那么 直线与圆相离d r ⇔＞ 直线与圆相切=d r ⇔ 直线与圆相交d r ⇔＜ 知识点4：切线的性质和判定 ⑴切线的性质：①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
点和圆直线和圆的位置关系课件
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题抓住点到圆心的距离与圆半径的大小关系,
数形结合,根据已知得出r与各边长的关系是解题关键.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三与外接圆有关的综合题
例3 在等腰△ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰△ABC外
接圆的半径.
分析:设O为△ABC外接圆的圆心,连接AO,并延长AO交BC于D,连
交于B点,已知∠P=28°,C为☉O上一点,连接CA,CB,则∠C的度数为
(
)
A.28° B.62° C.31° D.56°
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
解析:由于∠C 是圆周角,而图中没有所对的圆心角,又 A 为切
点,故想到连接 AO.
∵PA 是☉O 的切线,A 为切点,∴∠OAP=90°.
个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的
大小关系来判定它们的位置关系.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
例1 如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,O在AB上,且☉O的
半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与☉O相离、相切、相交?
分析:由三角形的内角和定理可求出∠A的大小,根据含30°角的直
接OB,OC,得出AD⊥BC,BD=DC,根据勾股定理求出AD,设出等腰
△ABC外接圆的半径,在Rt△OBD中,由勾股定理得出
OB2=OD2+BD2,代入求出即可.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:如图所示,设 O 为△ABC 外接圆的圆心,连接 AO,并延长 AO
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
点、直线、圆与圆位置关系
点、直线、圆和圆的位置关系（一）基础知识1.点与圆的三种位置关系如果圆O半径为r，已知点P到圆心的距离OP=d，则：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r2.过三点的圆（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆（2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.3.直线和圆的位置关系（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交.（2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：直线和圆相离⇔d>r直线和圆相切⇔d=r直线和圆相交⇔d<r4.圆的切线（1）切线的判定方法①用定义判断②用等价条件判断③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线比必经过圆心（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.5.两圆的位置关系设R、r（R>r）为两圆的半径，d为圆心距，则：两圆相离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r两圆内切⇔d=R-r两圆内含⇔d<R-r6.性质相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆的连心线必过切点.7.公切线两圆的两条外公切线长相等；两条内公切线的长也相等.8.公切线的条数与两圆的位置关系两圆相离⇔4条公切线两圆外切⇔3条公切线两圆相交⇔2条公切线两圆内切⇔1条公切线两圆内含⇔0条公切线9.常见辅助线（1）连心线；（2）公共弦；（3）内、外公切线（二）经典例题1.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30 ，BC=4D是线段BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由2.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．3.（1）如图，在A B C 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.（2）已知：如图，O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 与D ，以O 为圆心，以OD 为半径作圆O ，求证：⊙O 与AC 相切4.ADFCM E BN5.（1）如图，A B C的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，AB=11cm，BC=13cm，CA=14cm，求AD、BE、CF的长（2）在Rt A B C中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，求A B C内切圆的半径.6.（1）已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含（2）已知关于x的一元二次方程22R r x d-++=没有实数根，其中R、rx2()0分别为⊙O1，⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.（三）历年中考试题1.（2011上海）2. （2006安徽）3.设⊙O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离为m ，且满足方程2210x m -+-=有实数根，则定点P 的位置为（ ）A. 在⊙O 内B. 在⊙O 外C. 在⊙O 上D. 不在⊙O 外 4.（2011杭州）5.（2011日照）6.（2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7.（2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）8. (2009年湖州)已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）A ．12O O =1B ．12O O ＝5C ．１＜12O O ＜５D ．12O O ＞５9. （2009年遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于 A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）B ． 3 1 0 2 4 5D ．3 1 0 24 5A ．1 0 C ． 3 1 02 4 5A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3210. （2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 11.（2011舟山）12.(2009成都)如图，A 、B 、c 是⊙0上的三点，以BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC 上一点P ，作PE∥AB 交BD 于点E ．若∠AOC=60°，BE=3，则点P 到弦AB 的距离为_______．13.（2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_____________第10题图AB单位：mml 1l 214.（2009年益阳市）如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm .15.(2009年南充)A B C △中，10cm 8cm 6cm A B A C B C ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．16.（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .17.（2010湖北孝感）P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为18.（2009襄樊市）已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系为 ．19.（2009年浙江省绍兴市）如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距A B 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线A B 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．20.（2009威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．21.（2009年崇左）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心.E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 ．22.（2010 四川巴中）⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程27110x x -+=的两根，如果两圆外切，那么圆心距a 的值是 23.（2010福州）24.（2009柳州）如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：C F B F =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长．D C EB A25.（2010济宁）26.（2011福州）27.（2009安顺）28.（2011盐城）29.（2011菏泽）30.（2011十堰）31.（2010湖北十堰）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C . （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC =12，O 2C =4，求AO 1的长.32.（2010湖北黄石）在△ABC 中，分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2，交于另一点D. ⑴证明：交点D 必在AC 上；⑵如图甲，当⊙O 1与⊙O 2半径之比为4︰3，且DO 2与⊙O 1相切时，判断△ABC 的形状，并求tan ∠O 2DB 的值；⑶如图乙，当⊙O 1经过点O 2，AB 、DO 2的延长线交于E ，且BE ＝BD 时，求∠A 的度数.。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆、直线与圆的位置关系一、中考要求：1．掌握点和圆的位置关系 2．会判断直线和圆的位置关系3.掌握切线长定理,并能运用定理进行推理论证. 二、知识要点： 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ ； 2．过三点的圆(1)过同一直线上的三点的圆有 个；(2)过不在同一直线上的三点的圆 个，即 确定一个圆。
3．三角形的外心三角形的外心是 的交点，三角形的外心到 的距离相等。
4．直线和圆的位置关系设圆心⊙O 到直线l 的距离为d ，r 表示⊙O 的半径，则有关数量关系及判定方法为 直线l 与⊙O 圆相离⇔ ； 直线l 与⊙O 相切⇔ ； 直线l 与⊙O 相交⇔ ． 5．切线的判定与性质(1)切线的判定方法：① 是切线； ②如果d=r ，即 圆的切线； ③ 是圆的切线。
(2)切线的性质①切线与圆 公共点；② 等于半径；③圆的切线垂直于 。
6．切线长及其性质① 叫做这点到圆的切线长。
②切线长的性质 。
三、典例剖析：例1 如图，A C 是圆O 的直径，10A C =厘米，P A P B ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交B P 于D 点，连结A B B C ，．（1）求证A B C A D B △∽△；（2）若切线A P 的长为12厘米，求弦A B 的长．例2 ⊙Ｏ的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC .（1）若∠CPA =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的值.例3. 已知直角梯形ABCD 中,A D ∥BC, ∠A =90°;若AD+BC=CD,判断腰AB 所在直线与以ＤＣ为直径的⊙Ｏ的位置关系，并说明理由。
点和圆、直线和圆的位置关系教案
数学个性化教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h学生姓名授课主题点和圆、直线和圆的位置关系授课教师教学目标1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定.2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，会画三角形的外接圆.3、知道直线和圆相交、相切、相离的定义，会根据定义来判断直线和圆的位置关系.教学难点1、点与圆的位置关系过三点的圆.2、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置.教学难点1、点和圆的三种位置关系及数量关系.2、引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较.教学过程一、【历次错题讲解】二、【基础知识梳理】知识点1点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：（1）⇔<rd点在；（2）⇔点在圆上；（3）⇔>rd点在 .知识点2 确定圆的条件（1）经过一点可以作个圆；（2）经过两点可以作个圆，圆心在两个已知点所连线段的上；（3）的三个点确定一个圆，经过同一直线上三点的圆不存在.知识点3 三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形；（2）锐角三角形的外心在三角形的，直角三角形的外心是，钝角三角形的外心在 .知识点4 反证法假设命题的结论不正确，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）推理得出矛盾；（3）结论成立.知识点5 直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则：（1）⇔<rd直线和圆；（2）⇔=rd直线和圆；（3）⇔>rd直线和圆 .学习札记三、【典型例题剖析】例1 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=5，D 是BC 的中点，以D 为圆心，DC 的长为半径作⊙D ，求当（1）BC=8；（2）BC=6；（3）BC=25时，点A 与⊙D 的位置关系.举一反三：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，求斜边中点D 与⊙A 的位置关系.例2 用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角.解析 已知：在△ABC 中，AB=AC .求证：∠B 、∠C 都是锐角. 证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ； 若∠B 和∠C 都是直角和钝角， 则∠B+∠C ≥90°+90°=180° ∴∠A+∠B+∠C >180°这与三角形内角和定理矛盾， ∴等腰三角形的底角都是锐角.举一反三：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.例3 如图，在Rt △ABC 中，AC=3，AB=5，∠ACB=90°，以点C 为圆心，半径分别为2和3画两个圆，AB 与这两个圆有怎样的位置关系？当⊙C 的半径r 为多长时，AB 与⊙C 相切？解析：作CE ⊥AB 于点E .在Rt △ABC 中，AC=3，AB=5， ∴4352222=-=-=AC AB BC ；4.2543=⨯=⨯=AB BC AC CE当r=2时，CE>r ，AB 与⊙C 相离；当r=3时，CE<r ，AB 与⊙C 相交； 当r=2.4时，CE=r ，AB 与⊙C 相切.举一反三：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，并使02-2=+r d x ，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙O 的位置关系.课堂练习10.用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.13.已知直线l：y=x-3和点A(0,-3)、B(3,0)，设点P为l上一点，试判断P、A、B是否在同一圆上.14.已知⊙P的半径为2，圆心P在直线y=2x-1上运动.(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；(3)⊙P是否能同时与x轴、y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由.本课小结课后作业布置课后反馈本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成□延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受□基本能接受□不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般□不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制）存在问题_______________________________________配合需求：家长________________________________________________ 学管师________________________________________________提交时间教研组长签名学管师签收。
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。
2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。
1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。
【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。
4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。
【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。
直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。
法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。
法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。
分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。
例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。
点与圆-直线与圆-圆与圆的位置关系
点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系一、复习目标：1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆；3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题；二、复习重点和难点：复习重点：1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。
复习难点：1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题；2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。
三、复习过程：（一）知识梳理：1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相离⇔d＞r3.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，•再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”例题（讲授）【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有何位置关系？（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．【例3】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内含C．内切D．外切【例4】已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．练题1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线4．⊙O的半径为R，直线ι和⊙O有公共点，若圆心到直线ι的距离是d，则d与R的大小关系是（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R5．当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系是，圆心到直线的距离d 与圆的半径r之间的关系为．6．已知⊙O的直径为6，P为直线ι上一点，OP=3，那么直线与⊙O的位置关系7．已知圆的直径为13cm，圆心到直线ι的距离为6cm，那么直线ι和这个圆的公共点的个数是．8．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有个．9．三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为．检验破解1．P 为⊙O 内与O 不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到⊙O 上任一点的距离都小于⊙O 的半径 B ．⊙O 上有两点到点P 的距离等于⊙O 的半径 C ．⊙O 上有两点到点P 的距离最小 D ．⊙O 上有两点到点P 的距离最大2．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为（ ）A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不确定3．两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ） A ．甲圆内B ．乙圆外C ．甲圆外，乙圆内D ．甲圆内，乙圆外4．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm 和5cm 两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。
《点和圆、直线和圆的位置关系》PPT课件 人教版九年级数学
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
导入新知
我国射击运动员在奥运会 上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半 径不相同）构成的，你知道击 中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？
解决这个问题 要研究点和圆的
A N
作法：1. 连接AB，作线段AB的垂 F 直平分线MN；
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分 B E O M C 线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
探究新知
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原
了吗？
方法: 1. 在圆弧上任取三点A、B、C;
线段DM 5 22 2 02 13 2 5，所以点D在圆M内.
探究新知
素养考点 2 考查三角形的外接圆的有关知识
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到 BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC. 则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
素养目标
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定 直线和圆的位置关系.
1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
探究新知 知识点 1 用公共点个数判断直线与圆的位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成 一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象 一下，直线和圆有几种位置关系吗？
探究新知
●
●
●
l
探究新知
探究新知
填一填
直线与圆的 位置关系
相离
相切
相交
2015届湘教版中考数学复习课件(第26课时_直线与圆的位置关系)
1. 切线的性质
切点 的半径； (1)圆的切线垂直于过________ 圆心 且垂直于切线的直线必经过切点； (2)经过______ 切点 且垂直于切线的直线必经过圆心． (3)经过______
2. 切线的判定 (1)定义法：与圆只有唯一公共点的直线是圆的切线；
圆的半径 的直线是圆的切线； (2)关系式法： 到圆心的距离等于__________
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃ 直线与圆的位置关系
探究二 圆的切线的性质
命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论； 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．
例 2 [2013· 株洲] 如图 26－1， AB 是⊙O 的直径， 直线 BC 与⊙O 相切于点 B， ∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，AD 的延长线 交 BC 于点 C. (1)求∠BAC 的度数； (2)求证：AD＝CD.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第26课时┃ 直线与圆的位置关系
【方法点析】 切线的性质可概括如下：如果一条直线符合下列三个条 件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件 是：①过圆心；②过切点；③与圆的切线垂直．若出现圆的 切线，经常通过连接过切点的半径构造直角三角形，得出垂 直关系．简记作：见切点，连半径．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃ 直线与圆的位置关系
解
(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD 和△CBD 中， ∠ADB＝∠CDB， BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(ASA)， ∠ABD＝∠CBD， ∴AB＝CB. ∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠C＝45°. (2)证明：由(1)知△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
∙直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB 与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。
（d为圆心到直线的距离）∙直线与圆的三种位置关系的判定与性质：（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∙直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
直线与圆的位置关系 ppt课件
PPT课件 6
O
O
O
l
A
l
相离
l
相交
相切
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
PPT课件
PPT课件
●
O D
13
A
探索切线的性质
• 小亮的理由是: •直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
B
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于 ⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已 知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. 所以CD与AB垂直.
PPT课件
●
O D
C
A
M
14
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.
B
●
O
D
C 温馨提示:切线的性质是证明两线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用的辅助线之一.
PPT课件
A
15
例1： 在 Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，AC=4cm. （1）以C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半 径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的 位 置关系？
-1
3 .(-3,-4)
O
-1
C
x
A
PPT课件
26
人教版点和圆、直线和圆的位置关系优质课件下载
3．在同一平面内，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为 2 cm，则⊙O的半径为_____2_cm.
4．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以 1为半径画圆，则点_____O_在圆内，点_____B_，__D_在圆上，点____C_在圆 外．
•
1.阅读说明文，首先要整体感知文章 的内容 ，把握 说明对 象，能 区分说 明对象 分为具 体事物 和抽象 事理两 类；其 次是分 析文章 内容， 把握说 明对象 的特征 。事物 性说明 文的特 征多为 外部特 征，事 理性说 明文的 特征多 为内在 特征。
•
2.该类题目考察学生对文本的理解， 在一定 程度上 是在考 察学生 对这类 题型答 题思路 。因此 一定要 将这些 答题技 巧熟记 于心， 才能自 如运用 。
知识点2：过已知点作圆 5．过一点可以作______无__数_个圆；过两点可以作____无__数_个圆，这些圆 的圆心在两点连线的_______垂__直__平__分__线____上；过不在同一条直线上的 三点可以作_____一___个圆． 6．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( C)
A．三个点一定能确定一个圆 B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆 D．菱形的四个顶点能确定一个圆
A．点P B．点Q C．点R D．点M
9．直角三角形的外心是____斜__边__的中点，锐角三角形的外心在三角形 的_____内__部__，钝角三角形的外心在三角形的_____外__部___．
10．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不 在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三 个洞口？作出这个位置． 解：图略．连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即 为所求
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．2R C．R
B. 3R 3 D. R 2
【解析】连结 OC，则 OC⊥OD.∵∠CAB＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠D＝30°，则 OD ＝2R.∴BD＝OD－OB＝2R－R＝R.
【答案】C
5．(2009 中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结 BC 交⊙O 于点 D，连结 AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是( )
考点三 切线的判定和性质 1．切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
考点四 切线长定理 1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 ．．．．． 平分这两条切线的夹角．
(1)(2009·江西)在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，⊙A 的半径为 2，下列说法中不正确的是( ) ．．． A．当 a<5 时，点 B 在⊙A 内 B．当 1<a<5 时，点 B 在⊙A 内 C．当 a<1 时，点 B 在⊙A 外 D．当 a>5 时，点 B 在⊙A 外
考点二 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线 叫圆的切线； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O 的半径为 r， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 那么： (1)直线 l 和⊙O 相交⇔d<r； (2) 直线 l 和⊙O 相切⇔d＝r；(3)直线 l 和⊙O 相离⇔d>r.
(2010·聊城)如图，已知 Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB 为直径作⊙O，交 斜边 AC 于点 D，连结 BD. (1)若 AD＝3，BD＝4，求边 BC 的长； (2)取 BC 的中点 E，连结 ED，试证明 ED 与⊙O 相切．
【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．
【答案】C
8．(2009 中考变式题)如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直 径，已知∠BAC＝35°，则∠P 的度数为( ) A．35° B．45° C．60° D．70°
【解析】 ∵∠BAC＝35°， ∠OAP＝90°， ∴∠PAB＝55°.由切线长定理得 PA＝PB， ∴∠PAB ＝∠PBA＝55°，∴∠P＝70°.
3．⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系是( A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
A
)
4．如图，CD 切⊙O 于点 B，CO 的延长线交⊙O 于点 A.若∠C＝36°，则∠ABD 的度数 是( B ) A．72° B．63° C．54° D．36°
1 【解析】连结 OD，则 OD⊥AD，又 BC⊥AD，∴BC∥OD.∵AB＝OB＝2，∴BC＝ OD 2 1 ＝ ×2＝1. 2
【答案】C
3．(2009 中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与 x 轴相切于原点 O，平行于 y 轴的直线交⊙P 于 M、N 两点．若点 M 的坐标是(2，－1)，则点 N 的坐标是( ) A (2 A．(2，－4) 4) B (2 B．(2，－4.5) 4.5) C．(2，－5) D．(2，－5.5)
【答案】B
11．(2009 中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 2，则等 边三角形 ABC 的边长为( ) A. 3 B. 5 C．2 3 D．2 5
【解析】过 O 作 OE⊥BC 于点 E，连结 OB，在 Rt△OBE 中，OB＝2，∠OBE＝30°， ∴BE＝ 3，∴BC＝2BE＝2 3.
【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．
【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A 不正确．故选 A. (2)过点 C 作 CD⊥AB 于 D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm ∴CD＝2 cm，即点 C 到 AB 的距离等于⊙C 的半径． 故⊙C 与 AB 相切，故选 B. (3)当 P 与 O 重合时，PO＝0. 当过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO＝ 2，即 0≤x≤ 2.故选 C.
【解析】过点 P 作 PA⊥MN 于点 A，设 NA＝x，连结 PN，则 MA＝x.∴⊙P 半径为 x＋ 1，在 Rt△PNA 中，∵PN2＝NA2＋PA2，∴(x＋1)2＝x2＋22，解得 x＝1.5，∴N(2，－4)．
【答案】A
4．(2011 中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为 R，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线 上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结 AC，若∠CAB＝30°，则 BD 的长为( )
【解析】连结 OC，则 OC⊥DC，∴∠DOC＝ 2∠ A＝ 50°.
【答案】A
2．(2009 中考变式题)如图，EB 为半圆 O 的直径，点 A 在 EB 的延长线上，AD 切半圆 O 于点 D，BC⊥AD 于点 C，AB＝2，半圆 O 的半径为 2，则 BC 的长为( ) A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
点与圆、直线与圆的位置关系 (训练时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)
1．(2011 中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切⊙O 于 点 C，若∠A＝25°，则∠D 等于( ) A．40° B．50° C．60° D．70°
10．(2011 中考预测题)如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35°，过 C 点的切线 与 AB 的延长线交于点 P，则∠P 等于( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
【解析】∵OA＝OC，∠A＝35°，∴∠A＝∠ACO＝35°， ∴∠COP＝70°.又 OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠COP＝20°.
(第 4 题)
(第 5 题)
5．如图，⊙O 的半径 OA＝10 cm，弦 AB＝16 cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为 6cm.
6．△ABC 中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，以点 B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B， 则边 AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．
(2)如图，连结 OD. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB. 在 Rt△BDC 中，点 E 为斜边 BC 的中点，∴EB＝ED. ∴∠EBD＝∠EDB. ∴∠OBD＋∠EBD＝∠ODB＋∠EDB＝90°. ∴OD⊥DE，又 OD 为⊙O 的半径， ∴ED 与⊙O 相切．
(2010·陕西)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，斜边 AC 的垂直平分线交 BC 于 点 D，交 AC 于点 E，连结 BE. (1)若 BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小； (2)若 AB＝1，BC＝2 时，求△DEC 外接圆的半径的位置关系
考点一 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r； (3)点在圆外⇔d>r. 2．过三点的圆 (1)经过三点作圆： ①经过在同一直线上的三点不能作圆； ②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆． (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．
12 【解析】易求 C 到 AB 的距离为 <3，∴⊙C 与 AB 相交． 5
【答案】C
7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【解析】本题考查切线的性质．
【答案】C
12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为( ) A．7 B．7 2 C．8 2 D．9
【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线． (2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．
【解答】(1)∵DE 垂直平分 AC，∴∠DEC＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点 O 即为圆心，如图，连结 OE. 又知 BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD＋∠BOE＝90°. 在 Rt△ABC 中，E 是斜边 AC 的中点， ∴BE＝EC.∴∠EBC＝∠C. BE EC. EBC C. 又∵∠BOE＝2∠C，∴∠C＋2∠C＝90°，∴∠C＝30°. 1 5 (2)在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 5，∴EC＝ AC＝ .∵∠ABC＝∠DEC＝90°， 2 2 ∴△ABC∽△DEC. AC BC 5 5 ∴ ＝ ，∴DC＝ 5× ÷2＝ . DC EC 2 4 5 ∴△DEC 外接圆的半径为 . 8
(2)(2010·青岛)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点 C 为圆心， 以 2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交