19届预赛真题2002
2002年全国高中数学联赛试题及解答
2002年全国高中数学联赛试题及解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（）．Ａ．｛2｝Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）．Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3Ｄ．64．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（）．Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则＝_______．9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______．11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．∴原式＝18＝ (18)9．公比，由等比定理，得10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．三、13．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50． 14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．。
2002年第19届全国中学生物理竞赛预赛试题(含答案)
第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共七题，总分为140分．一、（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v 竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达2f Av αρ=其中α为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度．（1）若沙粒的密度 33S 2.810kg m ρ=⨯⋅－，沙尘颗粒为球形，半径42.510m r =⨯－，地球表面处空气密度30 1.25kg m ρ=⋅－，0.45α=，试估算在地面附近，上述v 的最小值1v ．（2）假定空气密度ρ随高度h 的变化关系为0(1)Ch ρρ=-，其中0ρ为0h =处的空气密度，C 为一常量，411.1810m C -=⨯－，试估算当19.0m s v =⋅－时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化）二、（20分）图预19-2所示电路中，电池的电动势为E ，两个电容器的电容皆为C ，K 为一单刀双掷开关。
开始时两电容器均不带电（1）第一种情况，现将K 与a 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与a 断开而与b 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
（2）第二种情况，现将K 与b 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与b 断开而与a 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
三、（20分）据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，2002年3月25日22时15分，我国成功地发射了一艘无人试验飞船。
在完成预定任务后，飞船于4月1日16时51分安全着陆，共绕地球飞行108圈。
（1）飞船的名称是什么？（2）飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成圆轨道等．假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的平均高度．已知地球半径66.3710m R =⨯，地球表面处的重力加速2002年9月度29.80m s g =⋅－四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为31He 4.00310kg mol μ--=⨯⋅31Kr 83.810kg mol μ--=⨯⋅31Xe 131.310kg mol μ--=⨯⋅在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量．五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cmy =处放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．六、（20分）一个长为1L ，宽为2L ，质量为m 的矩形导电线框，由质量均匀分布的刚性杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴ab 转动，在此边中串接一能输出可变电流的电流源（图中未画出）。
2002第十九届 全国 初中数学联赛(含答案)
读万卷书 行万里路12002第十九届全国初中数学联赛一、选择题（本题42分，每小题7分）1．已知21a =，226b =62c -，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<2．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-3．已知二次函数的图象如图1所示，并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正、为负或为04．直角三角形ABC 的面积为120，且90BAC ∠=︒，AD 是斜边上的中线，过D 作DE AB ⊥于E ，连CE 交AD 于F ，则AFE △的面积为（ ）A ．18B ．20C ．22D ．245．如图2所示，圆1O 与2O 圆外切于点A ，两圆的一条外公切线与圆1O 图 1xyO1-1图 2BAO 2O 1读万卷书 行万里路2相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆1O 与2O 的半径之比为（ ）A ．2:5B ．1:2C ．1:3D ．2:36．如果对于不小于8的自然数n ，当31n +是一个完全平方数时，1n +都能表示成k 个完全平方数的和，那么k 的最小值为（ ）二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知0a <，0ab <323a b b a =----+___________．2．如图3，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___．3．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有________件．4．设2392N x y =+为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对()x y ，共有_________对．三、（本题满分70分）1．（本题满分20分）已知：a ，b ，c 三数满足方程组288348a b ab c c +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，试求方程20bx cx a +-=的根． 2．（本题满分25分）图 3图 4C Q RP BA读万卷书 行万里路3如图4，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P '为P 关于QR 的对称点，证明：P '在ABC △的外接圆上．3．（本题满分25分）试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有且只有整数根．2002第十九届全国初中数学联赛试 题第一试读万卷书 行万里路4一、选择题1．B【解析】 进行分子有理化，比较分母的大小．2112a =+ 226226622b ==++626261c =++．由此可以看出b a c <<，选择B ．【点评】 这是一道简单的比较无理数大小的问题，其中分子在理化是分式化简中很常用的方法．2．D【解析】 22m n =+，22n m =+，两式相减得到()()2210m n n m m n m n -=-⇒-++=．又m n ≠，所以1m n +=-，由立方和公式()()332222m mn n m n m mn n mn -+=+-+-()222m mn n mn =--+-读万卷书 行万里路522m mn n =--- ()2m m n n =-+-2m n =-．又由已知条件22n m =+，所以33222m mn n m n -+=-=-，故选择D ．【点评】 这道题的考点是恒等变形，直接求m ，n 的值也可以解出来，但是比较麻烦，边化简边计算可以计算起来比较简单，对于其他类似的求多项式的结果是，一般情况下也不需要求各个字母的具体值，而是根据所给的等式去构造要求的多项式．3．C【解析】 本题要去掉绝对值符号，就必须利用图像中的信息．图中特别标出了1和1-的位置，这是一个信号，当1x =时0y <，则0a b c ++<；当1x =-时0y >，则0a b c -+>；而由对称位置知012bx a<=-<，且开口向上0a >，所以0b <，20a b +>． 由0a >，0b >得到20a b ->．-11Oyx图 1读万卷书 行万里路6综上原式化简为()20a b c --+<，故选择C ．【点评】 这道题主要考的是二次函数图像的性质，根据图象中特殊点可确定出a ，b ，c 的一些关系，例如：a 的符号确定函数图像的开口方向，2ba-确定函数图像对称轴的位置．4．B【解析】 显然由于D 为Rt ABC △斜边上的中点，所以AD BD CD ==，又因为DE AB ⊥，所以E 为AB 的中点，且DE 平行于AC ，DE 为ABC △中位线，则：111206022ACE ABC S S ==⨯=△△．同时，DFE △相似于AFC △，故：12EF ED FC AC ==， 故：116020123AFE AEC S S ==⨯=+△△，选B ． 【点评】 对于涉及到三角形面积的题来说必须掌握以下几点：对于同底等高的三角形面积之比等于它们的底之比；对于高相等的三角形来说它们的面积之比等于底边之比；对于有公共角的三角形来说它们的面积之比等于夹这个角的边之比的乘积．AB CDEF图 2读万卷书 行万里路75．C【解析】 如图，连接1O B ，1O E ，12O O ，2O F ，作12O C O F ⊥，由对称性可知：2121O O E O O B ∠=∠．显然，由于BA 平行于EF ，所以BA 平行于1O C ，内错角相等，故：1112O BA O AB CO O ∠=∠=∠，又111180O BA O AB AO B ∠+∠+∠=o ，所以1121180O BA O AB O O E ∠+∠+∠=o ，即111290180O BA O AB CO O ∠+∠+∠+=o o ，故可得：1230CO O ∠=o，因此1222O O O C =，即()12212r r r r +=-，故213r r =，选C ．【点评】 本题考察的是对两相切圆的辅助线的做法，一般碰到类似的题，都应该照上题的做法，连接1O B ，1O E ，12O O ，2O F ，作12O C O F ⊥，这样可以得到12O O 和2O C 之间的关系，也就是12r r +和21r r -之间的关系．6．C【解析】 31n +是一个完全平方数，那这个完全平方数a 显然不是3的倍数．ABC O 1O 2F E图 3读万卷书 行万里路8设31a t =±，则22961a t t =±+，2231961a n t t =+=±+，232n t t ⇒=±，()222213211n t t t t t +=±+=±++．而若k 为1，当21n =时3164n +=是完全平方数，但是122n +=不能写成一个或两个完全平方数的和，故k 最小为3，选择C ．【点评】 这道题考点是完全平方数的性质，解出本题还需要很强的恒等变形能力，这是一道综合性较强的题目．二、填空题1323+【解析】 本题考察的是对绝对值的化简问题，首先要考虑a ，b 的符号，然后判断绝对值内各式子的符号，消去绝对值．∵0a <，0ab <∴0b >∴30b a -，320a b --，则上式消去绝对值可得：()()323323a b b a a b b a =----+-----+323-读万卷书 行万里路9323+． 【点评】 本题只需掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可，通过消去绝对值即可得结果，一般情况下，绝对值内的式子符号并不确定，要根据它们的零点数值分情况讨论，来去掉绝对值．2．()2π6r +【解析】 通过对图形的分析如下图，实际上捆扎这7根筷子一周的绳子是由每个圆上一段60o 的弧和两圆之间与两圆均相切的相当于直径长度的一段所构成的．因此总绳子的长度为六条直径的长度为上6个60o 的弧的总长度，即六条直径的长度为上一个圆的周长，所以，捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为()2π6r +．【点评】 只要对圆的弧长和切线长有足够的了解，经过分析就能得出结论．3．12【解析】 解法一：这是一个考察不定方程的题，首先我们应该根据题目条件列出方程，设9元的商品有x 件，8元的有y 件，则根据题意可得：98172x y +=，同时，由于两人购买商品的件数相等，隐含的条件是：图 5读万卷书 行万里路10x y +之和为偶数．由于8y 和172均为4的倍数，因为9x 也为4的倍数，即x 为4的倍数．显然，9172x <，20x <，则0x =，4，8，12，16．将以上x 值带入方程，可知仅当12x =时，满足条件．解法二：同样，我们设9元的商品有x 件，8元的商品有y 件，甲乙两人均购买n 件商品，则根据题意可得：98172x y +=，2x y n +=，故：17216x n =-，18172y n =-，由于，0x ≥，0y ≥，所以：172160n -≥，181720n -≥，则可得：3510499n ≥≥，10n =．带入方程可得12x =．【点评】 对于不定方程的应用题来说，首先应该注意所设的未知数，根据题意列出相应的不定方程，通过对不定方程和等式之间的变换，确定其中某个未知数的取值范围，再通过对这些可能取值的检验即可解出方程，由题中可知范围越小，越能使解题过程简便，在对不定方程的变换中，应该尽量的缩小未知数的取值范围．114．27【解析】 本题考察的也不是不定方程的求解问题．∵()2392234N x y x y =+=+，且23为素数，N 为不超过2392的完全平方数，∴2423x y m +=（m 为正数），且223N =，22392m ≤，故：22239210452323m =<≤，21m =，4． 当21m =时，由423x y +=，可得1y =，2，3，4，5；12x =，15，11，7，3；当24m =时，由492x y +=，可得1y =，2，3，4，5，...，22；88x =，84，80， (4)所以共有：()119，，()215，，()311，，()47，，()53，及()188，，()284，，…，()224，．故满足条件的()x y ，，共有52227+=对．【点评】 对于不定方程的应用题来说，应该注意所设的未知数，根据题意列出相应的不定方程中，通过对不定方程和等式之间的变换，确定其中某个未知数的取值范围，再通过对这些可能取值的检验即可解出方程，在对不定方程的变换中，应该尽量地缩小未知数的取值范围．三、1．读万卷书 行万里路【解析】 由方程组得：a ，b 是方程22882480x x c c -+-+=的两根，(24420c ∆=--≥，42c =4a b ==，所以原方程为2210x x -=，126x -+，226x --． 【点评】 本题的关键在于观察到条件中给出了a b +，ab ，所以利用根与系数的关系把a ，b 看成方程的两个实根，再利用韦达定理可求出c 值，题目就可以解决了．2．【解析】 连接PB ，PQ ，PC ，PR ，QR ，要证明P '在BP C BAC '∠=∠．由于P '和P 关于QR 对称，所以P QR PQR '△≌△，故QPR QP R '∠=∠，同时，QPR BAC ∠=∠，故要证明BP C BAC '∠=∠，也就是要证明BP C QP R ''∠=∠，等价于证明BP Q CP R ''∠=∠，为此，我们只需要证明BP Q '△相似于CP R '△．由于P QR PQR '△≌△，所以P Q PQ '=，PR PR '=，BQ PQ =，PR CR =，因此P Q BQP R CR'='；同时由于，QAR QP R '∠=∠， AB CQRP'P 图 613所以P QRA '四点共圆，可得P QB P RC ''∠=∠，所以P QB P RC ''∠=∠，因此BP D '△相似于CP R '△，命题得证：【点评】 本题主要是根据结论一步一步的转化成我们可以证得的结论，其中要用到四点共圆的一些知识，例如，同弧的圆周角相等，以及判断四点共圆的依据等．3．【解析】 ⑴ 若0r =，12x =，原方程无整数根． ⑵ 当0r ≠时，由韦达定理知1222r x x ++=，121r x x r-=． 因为方程的根是整数我们考虑消去r ，消去r 得：()12124217x x x x -++=，即()()1221217x x --=．由1x ，2x 是整数得：14x =，21x =，11x =，24x =或者10x =，23x =-，13x =-，20x =，对应的13r =-，1．【点评】 对于到整数的题来说，一个是要确定它的范围，再根据特定的条件例如整除余数等在范围里进一步的缩小可能的取值，另外就是可以将未知数表示成乘积的形式，通过讨论各自的取值情况来确定正确的结果，本题无疑是后一种思路．读万卷书行万里路。
2002年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2002年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2002*1、函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是A.()1,-∞-B. ()1,∞-C. ()+∞,1D. ()+∞,3 ◆答案：A★解析：由0322>--x x 解得1-<x 或3>x ，由复合函数的单调性可得选A2002*2、若实数y x ,满足22214)12()5(=-++y x ，则22y x +的最小值为 。
A.2B. 1C. 3D. 2◆答案：B★解析：22214)12()5(=-++y x 可以看成以()12,5-为圆心，14为半径的圆，22y x +表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为13，所以11413222=-=+y x ，故选B2002*3、函数221)(xx x f x --=A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数 ◆答案：A★解析：计算出)(x f -的表达式整理到最简后对比即可发现，2002*4、直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3，这样的点P 共有A.1个B. 2个C. 3个D. 4个◆答案：B★解析：设()θθsin 3,cos 41P (20πθ<<)，即点1P 在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形AOBP 1的面积S 。
可得⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 26πθS ，可知26max =S ，又6=∆OAB S 可知()3626max1<-=∆ABP S所以点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有 两个点P ，故选B 。
2002*5、已知两个实数集合{}10021,,,a a a A =与{}5021,,,b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ 则这样的映射共有A.50100C 个B. 4899C 个C. 49100C 个D. 4999C 个◆答案：D★解析：不妨设5021b b b <<< ，将A 中元素10021,,,a a a 按顺序分为非空的50组，定义映射B A f →:，使得第i 组的元素在f 之下的象都是i b (50,,2,1 =i )，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
2002年全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析
2002年全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为（）A．B．C．2D．3解答：解：∵a2+b2=4ab，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②，得=∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，∴==3，∴=．故选A．2．（5分）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a+b+c﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）解答：解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D．3．（5分）如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于（）．B．C．D．∵E、F分别为AB、CB的中点，∴EF为△ABC的中位线，即EF=AC，EF∥AC，∴BN=MN=BM，△EFG∽△CAG，∴QG：PG=1：2，又PQ=MN，∴PG=PQ=MN=MB，又△AGC与△ABC都为AC为底边，∴S△AGC：S△ABC=1：3，则S四边形AGCD=S△AGC+S△ACD=（+）S矩形ABCD△=S矩形ABCD．故选D．4．（5分）设a、b、c为实数，，则x、y、z 中，至少有一个值（）5．（5分）设关于x的方程ax+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a 的取值范围是（）．B．C．D．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．6．（5分）A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2=a，A1A3=b，则A1A5等于（）．B．C．D解答：解：如图所示正九边形的内角为140°．在A1A5连接线上取一点P．使A1P=a．连接A1A3，∵△A2A1A3是等腰三角形，而∠A1A2A3=140°．∴∠A2A1A3=20°．连接A3A5，△A1A3A5也是等腰三角形．而∠A1A3A5=140°﹣20°﹣20°=100°．连接A2P，∴∠A3A1A5=40°．∴∠A2A1A5=60°，可知△A1A2P是正三角形．∴∠A1PA2=60°．△A2A3P是等腰三角形．而∠A3A2P=140°﹣60°=80°，∴∠A2A3P=∠A2PA3=50°，∠A5A3P=140°﹣50°﹣20°=70°，∠A5PA3=180°﹣60°﹣50°=70°，∴△A3A5P是等腰三角形，而A5P=A3A5=A1A3=b，∴A1A5=A1P+PA5=a+b．故选D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）2228．（5分）已知a、b为抛物线y=（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为b﹣a ．解答：解：当x=c时，y=﹣2＜0，由图可知，a＜c＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|=c﹣a+b﹣c=b﹣a．故答案为b﹣a．分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB= 4．解答：解：由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，设∠PBC=α，∠ABC=60°则∠ABP=60°﹣α，∴∠BAP=∠PBC=α，∴△ABP∽△BCP，∴，BP2=AP•PC，∴．故答案是：4．10．（5分）如图，大圆O的直径AB=acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为a2cm2．解答：解：由题意知：O1O4=O4O2=O2O3=O3O1，∴四边形O1O3O2O4是菱形，∴O1O2⊥O3O4，∵大圆O的直径AB=acm，∴O1O2=，设小圆半径为x，则在Rt△O1OO3中，（a）2+（a﹣x）2=（a+x）2，解得：x=a，∴菱形的面积=2S O1O2O3=×a×（a﹣a）]=a2．故答案为：a2．解答：根据题意得：（1），解方程得：n=﹣2，故答案为4个．12．（5分）某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p 表示d，则d= ．解答：解：设成本价是1，则（1+p%）（1﹣d%）=1．1﹣d%=，d%=1﹣d%=，∴d=．三、解答题（共3小题，满分60分）13．（20分）某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解答：解：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成．则，解得再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，则，解得于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000（元）．由乙队单独承包，费用是29500×6=177000（元）．14．（20分）如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF 的交点为P．求证：（1）；（2）．解答：证明：（1）连AE，∵AB=CD=EF，∴弧AB=弧CD=弧EF，∴∠AEB=∠CED，∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，又∵∠QDE=∠ACE，∴△QDE∽△ACE，∴=；（2）∵弧CD=弧EF，∴DE∥CF，∴=，∠CQD=∠QDE，∵∠QED对BD弧，∠ADC对AC弧，而DC弧=AB弧，∴∠QED=∠ADC，∴△QDC∽△DEQ，∴=，即QC=，∴==，由（1）的结论=得，===．15．（20分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？。
第19届全国中学生物理竞赛复赛试题(2002年)含答案
第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题（2002年）一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A 、B 、C 为3个容器，D 、E 、F 为3根细管，管栓K 是关闭的．A 、B 、C 及细管D 、E 中均盛有水，容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示．A 、B 、C 的截面半径为12cm ，D 的半径为0.2cm ．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K ，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K 后水柱上升的原因．(2)．当D 管上端足够长时，求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差．(3)．论证水柱上升所需能量的来源． 二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率/B t K ∆∆=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=．直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势的大小．三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。
C 为三角形的中心，三个质点的质量皆为m ，带电量皆为q 。
质点 1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。
已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C 处时，其速度大小为多少？ 四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E 为电压可调的直流电源。
2002年全国初中数学竞赛试题及解析
2002年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
2002年全国初中数学竞赛试卷(含答案)
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为（）A、B、C、2D、32、已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A、0B、1C、2D、33、如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则等于（）A、B、C、D、4设a、b、c为实数，，则x、y、z中，至少有一个值（）A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于05、设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A、B、C、D、6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2=a，A1A3=b，则A1A5等于（）A、B、C、D、a+b二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为_________．8、已知a、b为抛物线y=（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c ﹣b|的值为_________．9、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=_________．10、如图，大圆O的直径AB=acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为_________cm2．11、满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有_________个．12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表示d，则d=_________．三、解答题（共3小题，满分60分）13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．求证：（1）；（2）．15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？答案与评分标准一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为（）A、B、C、2D、3考点：完全平方公式；代数式求值。
2002全国初中数学竞赛试题及参考答案
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a2＋b2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3Bq20xL2kEI 2．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab －bc －ca 的值为【 】Bq20xL2kEI A 、0 B 、1 C 、2 D 、3Bq20xL2kEI 3．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32Bq20xL2kEI AB C DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a2－2b ＋3π，y ＝b2－2c ＋3π，z ＝c2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】Bq20xL2kEI A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0Bq20xL2kEI 5．设关于x 的方程ax2＋(a ＋2>x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a 的取值范围是【 】Bq20xL2kEI A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜0 6．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a ，A1A3＝b ，则A1A5等于【 】A 、22b a +B 、22b ab a ++C 、()b a +21 D 、a ＋b 二、填空题7．设x1、x2是关于x 的一元二次方程x2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x1－2x2>(x2－2x1>的最大值为 。
Bq20xL2kEI8．已知a、b为抛物线y＝(x－c>(x－c－d>－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则bcca-+-的值为。
Bq20xL2kEI 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。
2002年全国高中数学联赛试题及答案
二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，故选A2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)=221xx x-- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A4、 直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos ,3sin ) (0<<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。
S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin +cos )=)4sin(26πα+∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S ∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得xyOA B P 1第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
2002年全国高中数学联赛试题及解答.doc
2002年全国高中数学联赛试题及解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（）．Ａ．｛2｝Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）．Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3 Ｄ．64．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（）．Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则＝_______． 9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______． 11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．∴原式＝18＝ (18)9．公比，由等比定理，得10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．三、13．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50． 14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．。
2019年预赛试题及解答(全)
中南传媒湖南新教材杯二Ｏ一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1、已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 . 答案：1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：[]1,23B a =-+，要使C B ⊆，只需C 中的最大元素在B 当中，所以()22223,23a a a ⎧-≤+⎪⎨≤+⎪⎩，得132a ≤≤ 2、ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ,O 为ABC ∆的外心，已知22b 20bc -+=，BC AO ⋅uu u r uuu r的取值范围是 . 答案：124⎛⎫⎪⎝⎭-， 解析：延长AO 交ABC ∆的外接圆于D ,BC AO ⋅uu u r uuu r =1122AO AC AO AB AD AC AD AB ⋅-⋅=⋅-⋅uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r ()221b 2c =-211=,24b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭又2220,(0,2),c b b b =-+>∴∈∴Q BC AO ⋅uu u r uuu r ∈124⎛⎫⎪⎝⎭-， 3、已知434log ,log 4,log 5,a e b c ===则a ，b ，c 的大小关系是 . 答案：a c b <<解析：1a <， 22244444443log 5log 5log 3log 15log 16log 5log 31log 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<4、若方程1a x=-有实数解，则实数a的取值范围是.答案：[0,2]=，把右边看作点(x到直线10x y-+=的距离，由于单位圆上半部分的点到该直线的距离的取值范围是，所以实数a的取值范围是[0,2].5、在数列}{na中，1a＝2，)(1*1Nnaann∈=++，设nS为数列}{na的前n项和，则2017201820192S S S-+的值为．答案：3解析：当n为偶数时，123411-+=+==+=Ln na a a a a a，故2nSn=当n奇数时，21=a，234511-+=+==+=Ln na a a a a a，故23212+=-+=nnSn故20172018201921010201810113S S S-+=-+=.6、在复平面内，复数123,,z z z的对应点分别为123,,Z Z Z,若1212z z OZ OZ==⋅=uuu r uuu r，1232z z z+-=，则3z的取值范围是.答案：[]0,4解析：由题意知，12,Z Z为半径的圆上，不妨设)(12,Z Z，则12z z+对应点坐标为Z，1232z z z+-=的几何意义为复平面内到点Z距离为2的点的集合，数形结合可知，3z的取值范围是[]0,4.7、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x，x>1，12x＋12，x≤1，若m<n，且f(m)＝f(n)，则n－m的最小值是.答案：3－2ln 2解析：作出函数f(x)的图象如图所示，若m<n，且f(m)＝f(n)，则当ln x＝1时，得x＝e.因此1<n≤e，－1<m≤1.又ln n＝12m＋12，即m＝2ln n－1.所以n－m＝n－2ln n＋1.设h(n)＝n－2ln n＋1(1<n≤e)，则h′(n)＝1－2n.当h′(n)>0，得2<n≤e；当h′(n)<0，得1<n<2.故当n＝2时，函数h(n)取得最小值h(2)＝3－2ln 2.8、已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ． 答案：916π 解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值.设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-==.因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++， 所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π. 9、已知1100121x y x y y >>+=++，且，则2x y +的最小值为.12解析：（待定系数法）设()()12221x y x y y t λλ+=++++，可解的12133,,222t λλ===-， 从而()()()()13313113122121222222122x y x y y x y y x y y ⎛⎫⎡⎤+=+++-=++++-≥ ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭，当且仅当1,233x y =+=时取等号. 另解：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：()222a b a b x y x y++≥+.(211312434233243x y x y y x y =+≥⇒++≥+++++122x y +≥，当且仅当12x y ==. 10、定义两点11(, )P x y ，22(, )Q x y 之间的“坐标距离”为：1212(,)||||d P Q x x y y =-+-．若(, )Cx y 到点(1, 3)A ，(6, 9)B 的“坐标距离”相等，其中实数x y 、满足010x ≤≤，010y ≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为__________答案：1)解析：由条件得1369x y x y -+-=-+-；当1, 9x y ≤≥时，无解；当16, 9x y ≤≤≥时，无解；当6,9x y ≥≥时，无解；当1,39x y ≤≤≤时，8.5y =，线段长为1；当16,39x y ≤≤≤≤时，9.5x y +=，线段长为 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =，线段长为4；当1,3x y ≤≤时，无解；当16,3x y ≤≤≤时，无解；当6,3x y ≥≤时，无解．综上所述，点C 的轨迹构成的线段的长之和为：141)+=．二、解答题（共6小题，满分80分。
2002年全国高中数学联赛试题及答案
2002年全国高中数学联合竞赛试题说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是（ ）(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 23、 函数f(x)=221xx x --（ ）(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数4、 直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有（ ）(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C6、 由曲线x 2=4y, x 2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足x 2+y 2≤16, x 2+(y -2)2≥4, x 2+(y +2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则（ ）(A) V 1=21V 2 (B) V 1=32V 2 (C) V 1=V 2 (D) V 1=2V 2二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）7、 已知复数Z 1,Z 2满足|Z 1|=2, |Z 2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121z z z z -+= 。
全国大学生数学竞赛预赛试题.(19届)
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题(每小题5分，共20分)(x y)ln(1 -)1 .计算一, xdxdy ___,其中区域D 由直线x y 1与两坐标轴所围成三角形区域 D.. 1 x y22 .设f(x)是连续函数，且满足 f(x) 3x 2 of (x)dx 2,则f(x) .2 x23 .曲面z — y2平行平面2x 2y z 0的切平面万程是 ^24 .设函数y y(x)由方程xe f(y) e y ln29确定，其中f 具有二阶导数，且f 1,则叫 ______________________ .dxx 2xnx e二、(5分)求极限iim(e_^ ---------- J)"其中n 是给定的正整数.X(xt)dt ,且 lim [(x) A, A 为常数，求 g (x)并讨论 g (x) x 0x四、(15分)已知平面区域D {(x, y)|0 x , 0 ym sin ysin xsin ysin x ।° xe dy ye dx 口 xe dy ye dx;LL五、(10 分)已知 y 〔 xe x e 2x, y 方程的三个解，试求此微分方程.六、(10分)设抛物线y ax 2bx 2lnc 过原点.当0 x 1时，y 0,又已知该抛物线与x 轴及直线 x 1所围图形白面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.3七、(15分)已知明⑶满足U n (x) U n (x) x n 1e x (n 1,2,),且u 0(1)-,求函数项级数U n (x)之和.2八、(10分)求x 1时，与 x n等价的无穷大量三、(15分)设函数f(x)连续，g(x) 在x 0处的连续性.} , L 为D 的正向边界，试证：ssin y ,sin y ,5 2(2) o xe 'dy ye dx 一2xe x e x, y 3 xe x e 2x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分n n 14x2第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、（25分，每小题5分）（1）设 X n （1 a ）（1 a 2）L （1 a 2）,其中 |a| 1,求 limx n .（2）求 lim e x1nx（3）设 s 0 ,求 I ° e sXx n dx （n 1,2,L ）。
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第19届全国中学生物理竞赛预赛试题
全卷共七题，总分为140分．
一、（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v 竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达2f Av αρ=其中α为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度． （1）若沙粒的密度 3
3
S 2.810kg m ρ=⨯⋅－，沙尘颗粒为球形，半径4
2.510
m r =⨯－，地球表
面处空气密度3
0 1.25kg m
ρ=⋅－，0.45α=，试估算在地面附近，上述v 的最小值1v ．
（2）假定空气密度ρ随高度h 的变化关系为0(1)Ch ρρ=-，其中0ρ为0h =处的空气密度，C 为一常量，411.1810m C -=⨯－，试估算当19.0m s v =⋅－时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化）
二、（20分）图预19-2所示电路中，电池的电动势为E ，两个电容器的电容皆为C ，K 为一单刀双掷开关。
开始时两电容器均不带电
（1）第一种情况，现将K 与a 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与a 断开而与b 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
（2）第二种情况，现将K 与b 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K 与b 断开而与a 接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
三、（20分）据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，2002年3月25日22时15分，我国成功地发射了一艘无人试验飞船。
在完成预定任务后，飞船于4月1日16时51分安全着陆，共绕地球飞行108圈。
（1）飞船的名称是什么？
（2）飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成圆轨道等．假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗
略估计飞船离地面的平均高度．已知地球半径66.3710m R =⨯，地球表面处的重力加速度
29.80m s g =⋅－
四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差
1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装
有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为
31He 4.00310kg mol μ--=⨯⋅ 31Kr 83.810kg mol μ--=⨯⋅
31Xe 131.310kg mol μ--=⨯⋅
在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量．
五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角α为60︒，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为
30.0cm f =的两个完全相同的凸透镜L 1和 L 2．若在L 1的前焦面上距主光轴下方14.3cm y =处
放一单色点光源S ，已知其像S '与S 对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．
六、（20分）一个长为1L ，宽为2L ，质量为m 的矩形导电线框，由质量均匀分布的刚性杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的一条边重合的光滑固定轴ab 转动，在此边中串接一能输出可变电流的电流源（图中未画出）。
线框处在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B 沿水平方向且与转轴垂直，俯视图如图预19-6所示。
现让电流从零逐渐增大，当电流大于某一最小值min I 时，线框将改变静止状态。
（1）求电流值min I 。
（2）当线框改变静止状态后，设该电流源具有始终保持恒定电流值0I 不变（0min I I >）的功能。
已知在线框运动过程中存在空气阻力。
试分析线框的运动状况。
七、（25分）如图预19-7所示，在长为0.1=l m 、质量为B 30.0kg m =的车厢B 内的右壁处，放一质量A 20.0kg m =的小物块A （可视为质点），向右的水平拉力120.0N F =作用于车厢，使之从静止开始运动，测得车厢B 在最初2.0 s 内移动的距离 5.0m s =，且在这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞．假定车厢与地面间的摩擦忽略不计，小物块与车厢壁之间的碰撞是弹性的．求车厢开始运动后4.0 s 时，车厢与小物块的速度．。