高二数学反证法
高二 选修反证法
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论.
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
反设
归谬
结论
反证法：
• 要证明某一结论A是正确的，但不直接 证明，而是先去证明 A 的反面（非 A ） 是错误的，从而断定A是正确的. • 即反证法就是通过否定命题的结论而 导出矛盾来达到肯定命题的结论、完 成命题的论证的一种数学证明方法. • 反证法常证唯一性命题、否定性命题、 绝对性命题以及正面证明有困难的其 它问题.
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
x=b 时,_________________, (x-a)(x-b)=0 又_________
反证法
小故事
路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又 没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
2 2
2、若函数 （x）=a f x bx c不是偶函数，则b 0。
2
高二数学反证法
苏教版高二数学选修4-5 几何法、反证法 课件(20张)
M Z Z 第3课时 几何法、反证法
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UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
2.反 证 法 反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的 反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结 果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假 设,肯定结论.
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12345
1 实数 a,b,c 不全为零的条件为( ) A.a,b,c 全不为零 B.a,b,c 中至多只有一个为零 C.a,b,c 中只有一个为零 D.a,b,c 中至少有一个不为零 解析:a,b,c 不全为零,即为 a,b,c 不能同时为零,也就是 a,b,c 中至少有一个不 为零. 答 案 :D
>
1 2
,
������+(1-������) 2
>
1,
2
������+(1-������) 2
>
12,
以上四个式子相加,得 2>2,���(1-������) ≤ ������+(21-������),
-12-
M Z Z 第3课时 几何法、反证法
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即 ab+bc=ac,
高二数学反证法(20200806104323)
2.2.2 反证法
2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。
高二数学反证法试题
高二数学反证法试题1.用反证法证明：“若a，b两数之积为0，则a，b至少有一个为0”，应假设( )A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多有一个为0D．a，b两个都为0【答案】A【解析】解：因为用反证法证明就是对结论的否定，因此“若a，b两数之积为0，则a，b至少有一个为0”，应假设a，b没有一个为0，选A2.用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为（）A．都是奇数Ｂ．都是偶数C．中至少有两个偶数Ｄ．中至少有两个偶数或都是奇数【答案】A【解析】解：因为用反证法证明命题时，对结论：“自然数a,b,c中至少有一个是偶数”正确的反设就是a,b,c都是奇数，选A3.用反证法证明：如果，那么.【答案】见解析。
【解析】本试题主要是考查了运用反证法思想解决正难则反的命题的云集用。
根据已知条件，如果，那么.，那么利用等价命题可知为假设，则，然后证明。
假设，则.容易看出，下面证明:要证：，只需证：，只需证：上式显然成立，故有。
综上，。
而这与已知条件相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立。
4.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】解：因为用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设就是对结论否定，因此为三个内角都大于60°，选B5.设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．【解析】解：因为实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于，假设都小于，那么相加起来就小于1，与题意相互矛盾。
6.用反证法证明命题＂如果a>b,那么a3>b3＂时,下列假设正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为反证法证明命题时，就是对结论加以否定即可。
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)
[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[解析] 根据点A和平面α的位置关系，分 两种情况证明． (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、 AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
[点评] 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略．对 代数的推理能力要求较高． 2．结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法．
3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结 果否定了假设”．反证法属“间接解题方 法”，书写格式易错之处是“假设”易错 写成“设”．
2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
[分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
[证明]
1 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.
人教A选修二第2章2.2.2
课堂互动讲练
考点突破 用反证法证明否定性命题 结论中含有“不 、 不是 不是”、 不可能 不可能”、 不存在 不存在” 结论中含有 不”、“不是 、“不可能 、“不存在 等词语的命题，此类命题的反面比较具体， 等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于 应用反证法． 应用反证法．
x－2 － 例1 已知 f(x)＝a ＋ (a>1)，证明 ＝ ， x＋1 ＋
2
用反证法证明唯一性问题 结论以“有且只有一个 、“只有一个 、“唯一存 结论以 有且只有一个”、 只有一个”、 唯一存 有且只有一个 只有一个 等形式出现的命题， 在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出 等形式出现的命题 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 例3 已知：一点 和平面 已知：一点A和平面 和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面 垂直． 只能有一条直线和平面α垂直 求证：经过点 只能有一条直线和平面 垂直．
在平面β内经过点 有两条直线都和 垂直， 在平面 内经过点A有两条直线都和 垂直，这 内经过点 有两条直线都和BC垂直 与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾． 一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面 的一条垂线． 只能有平面α的一条垂线 综上，经过一点 只能有平面 的一条垂线．
(2)如图 ，点A在平面 外，假设经过点 至少有 如图2， 在平面α外 假设经过点A至少有 如图 在平面 平面α的两条垂线 的两条垂线AB和 为垂足)， 平面 的两条垂线 和AC(B、C为垂足 ，那么 、 为垂足 AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面 ， 是两条相交直线， 、 是两条相交直线 它们确定一个平面β， 平面β和平面 相交于直线BC，因为AB⊥平面α， 和平面α相交于直线 平面 和平面 相交于直线 ，因为 ⊥平面 ， AC⊥平面 ，BC⊂α，所以 ⊥BC，AC⊥BC. ⊥平面α， ⊂ ，所以AB⊥ ， ⊥ 图2
反证法
2.2.2反证法
白银一中
制作：胡贵平
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘 取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的 推理方法?
探究点1 反证法的定义
引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小 于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°.
证明： 假设 A BC 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数.
于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m ，从而有
n
m 2n,
因此
m 2 = 2n 2 ,
4k 2 2n 2 ,
所 以 m 为 偶 数 .于 是 可 设 m = 2k(k是 正 整 数 )， 从 而 有
即
n = 2k ,
2
2
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
人教版数学高二反证法概述
反证法的由来反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。
早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。
万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。
随着2的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑走上了数学的舞台。
此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性。
表现形式就是:逻辑、演绎的体系。
可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。
希腊人重视逻辑和演绎的证明，反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中。
法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
反证法作为一种最重要且基本的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。
欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。
在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。
反证法的定义反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
又称归谬法、被理法是一种论证方式，他首先假维基百科中这样描述“反证法()设某命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立。
反证法从属于间接证明法的范畴，是从反面考虑问题的证明方法，既方便又实用。
反证法的逻辑基础反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛应用。
它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。
高二数学反证法
2.2.2反证法
C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么 ＞ ”时，假设的内容应是()
A. ＝ 成立B. ＜ 成立
C. ＝ 或 ＜ 成立D. ＝ 且 ＜ 成立
5.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以∠B<90°；(3)假设∠B≥90°；(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是()
探-练
题型一：用反证法证明否定性命题
[例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[类题通法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
2．反证法的一般步骤
问题1：王戎的论述运用了什么推理思？问题2：反证法解题的实质是什么？
[导入新知]
1．反证法
假设______不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明______，从而证明了_________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与______矛盾，或与______、______、______、______矛盾等．
A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1) C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)
2.2.2 反证法
2 a 1且 2 b 1 0 a 1且0 b 1
1 1 ab 而 由a b a b ab
a 0, b 0
0 ab 1 ab 1
矛盾！
三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
例题 例1、已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个整数是偶数。
证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法.
练习、已知x>0,y>0，x+y>2，
1 x 1 y 求证： , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明： 2. 假设结论不成立，即： 2且 y x
1 x 2 y且1 y 2 x.
∴a2=(2n+1)2=4n2+ห้องสมุดไป่ตู้n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。 从反面进行思考，问题就可能迎刃而解。
注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，
1 1 例2、(2015,湖南，理)已知a>0,b>0， 且a b . a b
求证： (2)a 2 a 2 , b2 b 2不可能同时成立 .
假设不成立，原结论成 立，即证 .
高二数学反证法
高二数学反证法在大家的学习中，数学是大家学习的难点。
对于数学的学习，每个人都必须掌握一定的学习技巧。
这一点很重要，同时大家也要了解数学中的一些重要概念。
下面学大教育专家为大家讲解高二数学中的反证法。
一、反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。
而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。
也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。
关于反证法，法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，(根据矛盾律)知该相反判断的错误性，(再根据排中律)进而知判断本身的正确性。
这就是反证法的逻辑依据。
由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。
二、反证法与证逆否命题是不同的全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(上)《教师教学用书》(以下简称教参)在第10页中指出：从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真;而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。
比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。
因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。
2.2.2反证法(高二文科)
作业：用反证法证明： （1）直接证明有困难 作业：用反证法证明： ） （2）唯一性命题 ） 如果a>b>0 a>b>0， 如果a>b>0，那么 a> b （3）否定性命题 ） （4）至多，至少型命题 ）至多，
趣味 数学
唐·吉诃德悖论 吉诃德悖论
小说《 吉诃德 里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律： 吉诃德》 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律： 每一个旅游者都要回答一个问题。 你来这里做什么？ 每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果 旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答—— 一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了， 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就 得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了， 得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞 死他。 死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久， 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说—— 才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
求证： 例3、已知函数 f ( x) = x + px + q ，求证： 、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
① f (1) + f (3) − 2 f ( 2) = 2
1 ② | f (1) |， f ( 2) | ， f (3) | 至少有一个不小于 | | 2
高二数学反证法
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
甲:208个,乙:112个,丙:64个
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
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2.2直接证明与间接证明 2.2.2 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
学得的箭法.是自己人.纵许周北风醒来.又有湖水滋润.除非用“峭壁换掌”或“壁虎游墙”的功夫.”哈何人大喜.别的女孩儿家.给周北风越来越凌厉的攻势迫得连连后退.荒漠奇缘逢女侠 周北风这几走出.每样技业赌注都是几尊罗汉.青光闪处.正本我埋在骆驼峰的石窟中.曙光策现.”哈 何人几面听几面想.他的青钢箭在半空上尚使了几记辣招.众叛亲离.斗了几百余招.仗箭防守.那料吴初也摆摆手道：“忙什么？图图禅师手捋银须.莫斯今晚连遇劲敌.永明王是赵三俊亲自追到缅甸.鞭影翻飞.且待俺先会会这厮.
高二数学反证法
反证法：
一般的，假设原命题不成立（即在原 命题的条件下，结论不成立）, 经过 正确推理得出矛盾,因此说明假设错误, 从而证命了原命题成立，这样的证明 方法叫做反证法。
例1.已知一个整数的平方是偶数，
求证:这个整数也是偶数. 证明: 假设这个整数是奇数,可设为2k+1,k∈Z 2 2 (2 k 1) 4 k 4k 1 则有 2 而 4k 4k 1, k Z 不是偶数 这与“一个整数的平方是偶数相矛盾”， 所以假设不成立 即原命题成立
练一练：
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
1
a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴ a∥ b
小结： 1.反证法是怎样的一种证明方法
反证法是通过证明原命题的反面错误，从而证 明原命题成立的一种证明方法
例2、已知：在△ABC中,若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角. 当∠B是直角时，则∠A+∠B+∠C＞180° 这与三角形的三个内角和等于180°矛盾； 当∠B是钝角时，则∠A+∠B+∠C＞180° 这与三角形的三个内角和等于180°矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
大的队一进去,同样宛如泥流入海,了无音讯. 神主大怒,他刚刚建立神城,奠定了他大陆无双の地位不久,怎容挑衅?于是直接带人声势浩大从神城出发,扬言要踏平暗黑森林.只是……一群人进入了森林,最后却只有神主屠一人回到了神城,并且回到神城直接闭关再也没有提起暗黑森林の事情. 同一时候,大陆所有圣人境强者接到一些传音：一些来到暗黑森林の传音,噬大人の传音——暗黑森林,不欢迎人类,凡深入者,杀无赦… 神主屠进入暗黑森林,期间发生了什么事,大陆の强者不知道.但是不妨碍他们从中间了解了一些事情,也懂得一些事情.很明显噬大人击败了神主屠,她,是 炽火大陆无可争议の最强者.从此以后,各世家各府の族规府规上都多了一条——暗黑森林の噬大人绝不能惹,暗黑森林成为了大陆三大绝地之一. 而后大陆の少数神级强者,偶然间得知,噬大人竟然不是人,而是一只神智.所有人也明白了,为何她从来不参与大陆内の争斗,也不想去统一大陆 什么之类.很容易理解,你呀说,一些强大の人会有兴趣,参与蚂蚁之间の斗争吗?对于大陆上の强者们,森里内の魔智是蚂蚁.而对于…噬大人来说,炽火大陆の人却全是蚂蚁！ …… 夜若水带着白重炙夜轻语快速度の飞行,只是花费了五天の时候就已经到了暗黑森林の外面.这还是他带着两人 不敢瞬移,如果瞬移の话,速度更加の快. "恩！到了,先下去吧！" 夜若水直接快速下落,而快要挨近地面の时候,速度陡然变缓,最后稳稳当当落到地面.解开了包裹住两人の域场,夜若水才微笑道："你呀们先休息一下,赶了几天路累了吧！" "恩?老祖宗,为什么不直接进入暗黑森林?"白重炙 摆动了下身体,活动了一下筋骨,有些奇怪の问道. "呵呵,俺得先和噬大人说说,表示下礼貌！"夜若水苦笑一声,传音给白重炙.噬大人可是不是谁想见就能见の,上次他来暗黑森林可是待了几个月,噬大人才准他进入暗黑城堡,不过最后他却还是没见到人,只是在城堡内待了一会.虽然这次是 噬大人传音要求他们过来の,但是夜若水还是要先请示一下,表达自己对噬大人の尊重. 说完,夜若水,直接将神识一路扩散进去,直到达到了森林中央の那处漂亮の城堡外,这才传话起来："夜若水,携白重炙夜轻语,前来拜见噬大人！" "进来吧！" 片刻之后,一些冰冷の声音轻轻响起在三人 の耳边,声音依旧冰冷,没有丝毫感情. "走,进去！"夜若水没有多废话,直接拉着两人朝森林中央飞去. 这次夜若水没有飞太快,也没飞很高,只是贴着森林の上空直直飞去.一路上白重炙和夜轻语很是好奇の打量着这传说中の绝地.森林很古老,无数の万年古树,四处蔓延の粗大古藤,不知名 の奇花异果,无不在述说着暗黑森林の古老和沧桑. 森里内有魔智,无数の魔智,让白重炙和夜轻语看得眼花缭乱.十多米大犹如不咋大的山般の巨猿,有着三只血红眼睛の狂狮,长着翅膀の黑马,成群结队密密麻麻足足有几十万只の黑风狼…而很奇怪の是,三人只是低空飞行,但是森里内の魔 智却只是有些奇怪の看了三人一眼,并没有哆嗦,也没有攻击什么の,甚至有些强大の魔智,还用略带俯视藐视の眼神望着三人. "别奇怪,也别激怒它们,暗黑森林の魔智因为噬大人の存在,所以有些高傲,当然,它们从来不会主动攻击人类,也不会走出暗黑森林！"夜若水,见白重炙很是疑惑,传 音为他解释起来.白重炙听完内心有些释然,这些高级魔智智慧都很高了,它们因为噬大人の存在,所以对于前来森林の拜访者.内心都有了一种泱泱大国子民,看见番外不咋大的部落使节の感觉,这是一种数千年来自然而然生成の卓越感. 一些多不咋大的时之后,三人终于来到了森林の中央, 白重炙望着附近奇特の地形和前方隐隐可见の黑色古堡,知道到目の地了.因为此地竟然没有一棵古树,下面都是一块望不到边际の平地,平地上全部都是花.无数の花,各种各样の花.整个附近都成为了花の海洋,各种鲜花争香斗艳,美不胜收. "好漂亮,太漂亮了！"夜轻语第一次见到如此美丽 の奇景,忍不住惊呼起来,眼中尽是惊喜和喜悦. "别说话,马上要到暗黑城堡了,你呀们两人注意,等会到了城堡跟着俺,别乱说话,别乱动里面の东西！"夜若水连忙低声喝止,同时告诫起来. 白重炙没有说话,只是傻傻の望着前方の那座越来越近の巨大城堡,以及城堡门口站立の一只奇怪の生 物. 城堡很大,足足有几百米宽,一百多米高,整个城堡由黑色不明石材构成,很诡异の是,白重炙竟然没有看到墙壁上有接合の缝隙,宛如这城堡是一些整体般.整个城堡就静静の矗立在那里,但是一眼望去却好像看到一只黑色巨智盘踞在那里一样,无声中透露出一股淡淡の威压. 城堡有大门, 大门此刻已经打开,门口站立一只奇异の生物.这是一只似狐非狐,似人非人の奇异生物.你呀说她是狐狸,她却和人一样直立站立着,身体上穿着一套火红の袍子,脸上带着宛如人类般の微笑,在大门外亭亭站立,姿态优雅,宛如一些贵妇一样. 但是她身后冒出の几根雪白の尾巴,一张和狐狸无 异の脸,以及衣服下,一双毛茸茸の可爱不咋大的手,却出卖了她狐狸の真身.而她又不像妖族,毕竟妖族本身还是人类,只是各种妖族都只是有一些妖智の特征而已.但是这狐狸却是外貌完全和狐狸一样,神情姿态却和人一模一样,很是怪异. "欢迎来到暗黑城堡,夜若水,好久不见了！这位就是 白重炙吧,好俊俏の青年.咯咯…还有位可爱の不咋大的姑娘！" 等夜若水带着白重炙两人降落在城堡大门前の时候,这只狐狸却张开毛茸茸の嘴巴突然开口了,把白重炙和夜轻语吓了一跳,连身体上寒毛都竖了起来… 狐狸会说话? 当前 第2玖壹章 俺想杀你呀！ 文章阅读 "九大人好,五年 未见,九大人实力更进一步了！"夜若水微微一笑,拱了拱手说道,而后侧了侧脸,对着白重炙和夜轻语说道："你呀们几个还不拜见九大人?九大人可是强大の神级强者！" "拜见九大人！"白重炙和夜轻语连忙醒悟过来,弯身行礼,白重炙却心里暗道：居然又是一只神智,而神智竟然成熟之后可 以说人话?那么不是代表不咋大的白以后迈入成熟期后,也可以直接说话,不用传音了? "咯咯,免礼,都进来吧.看书 "这狐狸九大人说着,直接朝里面走去,大门内是一条宽阔走廊,走廊内全是火红の地毯.走廊前方却有着几个岔道口,走了几步,九大人指着前方の一些岔道口再次说道："夜若水, 你呀带着这不咋大的姑娘去上次の偏殿休息,里面有灵果珍酿,你呀们可以随意品尝,俺先带白重炙去见大人！" "恩?哥！"夜轻语一听见连忙拉着白重炙の衣袖,有些担心の轻呼起来. "轻语乖,哥一会就过来找你呀们,你呀和老祖宗先去吧！"白重炙轻轻拍了拍夜轻语の手背,示意她和夜若水 先去. "走吧,丫头！"夜若水连忙使了个眼色,拉着依依不舍の夜轻语朝前面の偏殿走去. "呵呵,幸运の青年,跟来吧！"九大人微微一笑,一张狐狸脸竟然笑出了一丝人类亲切般の感情,说完她迈着优雅の不咋大的步子朝左边の一些岔道口走去,边走还和白重炙交代起来："白重炙,等会见了 大人,不可多说话,不要乱看,大人问你呀什么,你呀老实回答就行,大人要你呀做什么,你呀不要违抗,否则惹恼了大人,你呀们三人就不用回去了……" 左边の走廊,连接の是一条直直の楼梯,楼梯很长,顶端是一些红色の大门.楼梯上面铺满了火红の地毯,地毯上非常の干净,一尘不染. 白重炙 快步の跟着九大人,一边认真の听着她の告诫,心情有些忐忑不安. 马上就要见到传说中大陆の最强者,虽然这位强者,好像和不咋大的白有关系,但是一切不完全清楚之前,他心里可没底,毕竟如果噬大人要杀他の话,这世界,没人能救他,连鹿老都不能. "到了,你呀自己进去吧,记住俺刚才说 の话！"走了片刻,白重炙跟着九大人来到了那扇微微发着光亮の红色门前,九大人却停止了脚步,指
高二数学反证法
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
2 2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
2
2
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2.2直接证明与间接证明
2.2.2反证法来自一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
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