模态振型固有频率基本理论

模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论（通常所说的模态分析均是指线性模态分析）方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面还有不少工作可做。首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰,, 等等方面的研究尚需进一步开展。模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。非线性模态的概念早在

I960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并示引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。

模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上的系统其模态振型不是一个数。一个数对应单模态，其数值无意义。某模态频率下的模态振型反映了在该模态频率下各自由度的相对位移的比值。如果系统的初始位移恰好等于模态频率下的模态振型（或与之成比例），则此时系统的自由响应中只会出现该模态频率。感谢欧阳中华教授的指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚。模态振型是系统固有的振动形态，线性响应是振型线性叠加的结果，但振型之间是独立不耦合的。振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划的方法。振型是个很重要的固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率。我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用的，比如，通过有限元计算得到了模型的前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶的固有频率，假设计算的某阶固有频率与试验的某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶的，需要通过振型来判断。

其他的不知道，但是之所以引入模态的概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来。从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量的交换。

从数学上看，对响应函数级数展开后，其中的各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交的，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函

数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里的坐标。

因为2个自由度以上的系统往往都有耦合现象，例如方程M*dXA2/dTt+K*X=0

中的M、K不同时为对角阵。但是从求解的角度来说，我们又希望其中的每个方程都是独立的，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解。我们就想能否选到合适的坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样的坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找的主坐标。固有振型的正交性是指（以2自由度为例），第一阶固有振动引起的作用力在第二阶固有振动上所做的功为零，即两种固有振动间无弹性势能的交换。同时也可证明振型的各阶导数间也是正交的。

就像不同的坐标系下，对同一运动系统的表述会很不一样，表述同一运动系统的振型模态也可以有很多物理量的坐标系，当然其中很多都是很复杂的，对解决实际问题是没有实际意义和帮助的，只有那个特殊的正交状态的模态坐标，才是最简单最有用的坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊的坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化。类似向量的分解，比方说，一个平面内力向量的分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便。

主要从以后的解方程组时候要解耦考虑吧模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在” ，而这种正交是线性系统模态的基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时的广义坐标下的耦合矩阵变为模态坐标中。

的解耦，计算变得简单。注：（对上段话的个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统的正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化。）

1.任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零

2.任一阶主振型的惯性力只在各自的振型上做功，在另外的主振型上不做功这是正交相应的物理解释，是模态振型正交的物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应的数学表达。

上面模态正交的数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？答：正交是线性系统存在的固有特性，属于Nature 的东西，Nature 就是非人造的.. .. ..

其实模态分析就是要认识清楚模态频率、模态阻尼和模态振型这三个模态参数。了解模态频率是模态分析最基本的目的，因为了解了系统的模态频率就可以知道系统在什么频率范围内振动比较敏感；而模态振型则反映了系统在一定的模态频率下以什

么样的形式进行振动，其各部位的振动幅值的相对关系如何。（个人见解：模态频率反映的是系统中某特定点的振幅随着该点振动频率的变化而变化的情况，变化最强烈即幅值最大时的振动频率就是固有频率；而模态振型反映的是系统中的所有点在以某一频率振动时各点振幅的相对波动状况。）模态分析的本质是了解系统在动力环境作用下所表现出的特性，但这一

特性是系统的固有特性，与系统所受的外力无关。对于实际的工程，用有限元软件分析需要的频率段，可查找振动原因，或校核。模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用由动力方程K X=Lamda M X , 其中lamda 等于omega 的平方，omega 就是固有频率。一般有限元软件中给出的频率单位是赫兹，还要转换为弧度/ 秒。首先，频率和振型是结构的固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构的功能是不同的，不同结构对应的模态分析的用途是有差别的。对建筑结构，模态分析可以知道结构的避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载的放大作用等。另外，还可以挖掘振型有关的信息。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。

因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。非线性不满足叠加原理，模态分析及其测试难以进行。即使进行，我想也只能对弱非线性系统在平衡点附近采用线性化的方法。希腊学者Vakakis沿用美国学者Rosenberg

的思路，将非线性模态定义为系统位形空间中的一条直线（相似模态）或曲线（非相似模态），即所谓的模态线。当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自的最大位移，而在另一时刻同时达到各自的最大速度。

美国学者Shaw和Pierre,将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中的一个二维不变子流形，从而既可对保守系统定义非线性模态（一种驻波），亦可对非保