无穷小与无穷大教案04

课程名称
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
无穷小与无穷大
教学
目标
知识目标：
理解无穷小量与无穷大量定义，了解它们之间的关系以及与极限间的关系；
技能目标：
会利用高等数学的知识解决问题
素质目标：
学会用高数的思维考虑问题
教学
重点
无穷大与无穷小概念，性质；
教学
难点
无穷大与无穷小的理解与运用，
教学
方法
启发引导式讲授法
2.无穷大
定义2：如果当 （或 ）时，y=f(x)的对应函数值的绝对值无限增大，则应当说函数f(x)当 （或 ）时为无穷大或无穷大量。这时按极限的定义，函数的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作
。
如果在无穷大的定义中，对于x0邻近的x或 相当大的x，对应的函数值都是正的（或都是负的），则记作
理解
识记
小结
本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无穷小的比较，以及它们在求极限中的应用
作业
教学反馈
教研室
审阅意见
必须注意，∞不是数，不可与很大的数（如108、1020等）混为一谈。
3.无穷大与无穷小的关系
定理2：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)的绝对值无限增大，那么 就会无限减小而趋于零，反之亦然。所以有：如果f(x)是无穷大，则 是无穷小；反之，如果f(x)为无穷小 ，则 为无穷大。
4.无穷小的比较
（1）若 ，则称α是比β高阶的无穷小，记作 。
教学
准备
教师:教案
学生：预习相关知识
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活动
Ⅰ.组织教学：
Ⅱ、新课教学
一、无穷小与无穷大
1.无穷小：在研究函数 的极限时，常常遇到这样的情况：
当自变量 或 时，函数 的极限为零，即
这时，我们把函数 叫做当 （或 ）时的无穷小或无穷小量。
例1因为 ，所以1是当 时的无穷小。
例2因为 ，所以 是当 时的无穷小。
例3因为 ，所以（x－2）2是当 时的无穷小。
应该明白，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与一个很小的数混淆起来。因为一个很小的数，如10-8，10-26等，无论它多么小，总是不变的，因此它不能以零为极限。但是零是唯一可以看作无穷小的数。
无穷小的性质：
（1）有限个无穷小的和是无穷小。
（2）若 ，则称α是比β低阶的无穷小。
（3）若 ，则称α是比β是同阶无穷小；若C=1，即 ，则称α与β是等价无穷小，记作α～β。例如 。
例4因为 ，所以当 时，3x2是比x高阶的无穷小，即 。
例5因为 ，所以当 时， 与 是等价无穷小，即 。
组织教学：
提问
新课教学
讲解
讲解
讲解
思考
回答
理解
识记
理解
识记
（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。
（3）有界函数与无穷的乘积是无穷小。
由（3）可以直接推得：常数与无穷小的乘积是无穷小。
函数极限与无穷小的关系：
定理1：设函数 的极限为 （ 或 ），即 ，则有 =A-A=0
所以，f(x)-A是无穷小，记为α(x)，即 。于是有 ，其中 。
因此得到：有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和，反之，如果函数可以表示为常数与一无穷小之和，则该常数就是函数的极限。