高二人教A版必修5教案精选：2.4等比数列2
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2．4等比数列（一）教学目标1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．（二）教学重、难点重点：等比数列的定义和通项公式难点：等比数列与指数函数的关系（三）学法与教学用具学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示[探索研究]四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …②1,21，41，81，… ③1,20 ,202 ,203 ,…④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.0198310000×1.01984,10000×1.01985观察四个数列:对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于21 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，21,20,1.0198. 与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a 2=a 1qa 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2 a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3 … …可得 a n =a 1q n-1 上式可整理为a n =q a 1q n 而y= q a 1q x （q ≠1）是一个不为0的常数qa 1与指数函数q x 的乘积,从图象上看,表示数列 {qa 1q n}中的各项的点是函数 y=qa 1q x的图象上的孤立点 [注意几点]① 不要把a n 错误地写成a n =a 1q n② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒 ③ 公比q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析]例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n =a 1q n-1例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,nn a a 1 是一个常数就行了例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a n }{b n }是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结]（1） 首项和公比都不为0（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 （五）评价设计（1）课后思考：课本 [探究] （2）课后作业：第1、2、6题。
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
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规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
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跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
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7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
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(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)
2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。
ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学新人教A版必修5教案2.4等比数列2
2.4 等比数列教课目知与技术目：等比中的观点；掌握＂判断数列能否等比数列＂常用的方法；一步熟掌握等比数列的通公式、性及用．程与能力目：明确等比中的观点；一步熟掌握等比数列的通公式、性及用．情感度与价1. 通等比数列更多性的研究，培育学生的优秀的思品和思，激学生知的研究精神和真的科学度，培育学生的比、的能力;2. 通生活中有关的剖析和解决，培育学生社会、认识社会的意，更多地知道数学的社会价和用价.教课要点；等比数列的通公式、性及用．教课点：灵巧用等比数列的定及性解决一些有关．教课程一、复1．等比数列的定．2.等比数列的通公式 :a n a q n 1( a , q 0)，a a q n m(am,q 0)，a AB n(A,B 0) 11nm nan 13．｛ an｝成等比数列a nq (n N , q0)4．求下边等比数列的通公式：（1） 5，－ 15，45，⋯⋯；（ 2） 1.2 ， 2.4 ， 4.8 ，⋯⋯；二、新：思虑：比等差中的观点，你能出什么是等比中？1．等比中：假如在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a, G ， b 成等比数列，那么称个数Ga 与b 的等比中 . 即 G=±ab（ a,b 同号）G b G 2ab G ab， a G，G b2G，即 a,G,b成等比数列∴a,G,b 成等比数列2反之，若 G =ab,aG =ab（ a·b≠ 0）例 1．三个数成等比数列, 它的和 14,它的64, 求三个数 .- 1 -解 : 设 m,G,n 为所求的三个数 ,有已知得 m+n+ G =14,m n G 64 , G 2 mn, G 3 64G4,m n 10, m 8, m2, m n16,n或n8.2,这三个数为 8,4,2 或 2,4,8.a, a, aq,则 a3解法二 : 设所求三个数分别为q64, a 4,a44q 14q1a aq 14,42,或 q ,又 qq解得2这三个数为 8,4,2 或 2,4,8.生思虑第 53 页练习第 4 题，猜想并推行，得等比数列的性质：若m+n=p+k ，则a m a n a p a k证明：由定义得：a m a 1q m 1 a n a 1q n 1 a p a 1q p 1 a k a 1 q k 1am aa 2q m n 2， a p a ka 12 q p k 2n1则a ma n apa k例 2. 已知 { a n} 是等比数列，且a n 0 , a 2 a 4 2a 3 a 5 a 4 a 625 , 求 a 3 a 5 ． 解： ∵{a n} 是等比数列，∴a 2 a 4 ＋ 2 a 3 a 5 ＋ a 4 a 6 ＝ ( a 3 ＋ a 5 2) ＝25,又a n>0, ∴a3 ＋a5 ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例 3．已知a n, b n是项数同样的等比数列，求证a nb n 是等比数列 .证明：设数 列 a n 的首项是 a 1 ，公比为 q 1 ; b n 的首项为 b 1 ，公比为 q 2 ，那么数列 a n b na q n 1b q n 1与 a q nb q n 即为 a b (q q )n 1与 a b (qq)n 的第 n 项与第 n+1 项分别 1112 1 112 1 1 1 211 12an 1bn 1a 1b 1 (q 1 q 2 ) n q 1 q 2 .a nb na 1b 1 (q 1 q 2 )n 1它是一个与 n 没关的常数，因此a nb n 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 .- 2 -思虑；（1）｛ an｝是等比数列， C 是不为 0 的常数，数列can是等比数列吗？试证明。
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5一、教学目标：知识与技能1. 了解等比数列更多的性质；2. 能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；3. 能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题过程与方法1. 继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2. 对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；3. 当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1. 通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2. 通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程:复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下•师对各组的汇报给予评价•师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列｛a n｝中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a i为首项、q m%一公比的等比数列.◊本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法•第4题解答：(1) 设｛a n｝的公比是q , 则2, 4 2 2 8a s =( a i q ) =a i qh 2 6 2 8而a s • a7=a i q • a i q =a i q ,所以a s =a s • a7. 同理,a s =a i • a o.(2) 用上面的方法不难证明a2=a n-i • a n+i( n> i).由此得出,a n是a n-i和a n+i的等比中项，同理可证a n2=a n-k • a n+k( n>k > 0). a是a n-k和a n+k的等比中项(n> k学生回答；生由学习小组汇报探究结果.第3题解答：⑴将数列，｛a n｝的前k项去掉，剩余的数列为a k+i ,a k+2,….令b i =a<+i ,i=i,2,…，则数列a k+i, a k+2,…，可视为b i, b?，….因为b i i a k i i q (i >i),b i a k i所以，｛b n｝是等比数列，即a k+i, a k+2,…是等比数列.(2)｛a n｝中每隔I0项取出一项组成的数列是a i, a ii ,a 2i，…, 则a ii a2i a i0k ii... ...qa i a ii a i0k 9(k >i). 所以数列a i,aii, a2i,…是以a i为首项，q i0为公比的等比数列.由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
人教A版高中数学必修五 2-4 等比数列 教案 精品
2.4 等比数列一、教学目标：知识与技能：1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.过程与方法：1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.情感、态度与价值观：1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的 兴趣.二．重点难点重点：1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式.难点：1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.三、教材与学情分析本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程(一)创设情境，引入新知师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，… 师 非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例. 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列： 1，2，4，8，…①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？ 生 思考、讨论，用现代语言叙述.师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，161，… ② 教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，…③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.④ 师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式(二)探究新知师从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等比数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生独立思考、合作交流、自主探究.师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了 生 分母为0了.师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0. 师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？生 等比数列的首项不能为0.师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0. 师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项.师 想一想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能用a 、b 表示G 吗？ 生 一起探究,a 、b 是同号的Gba G ，G=±ab ，G 2=ab . 师 观察学生所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.探究1： (1)一个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答. 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答. ［教师精讲］ 概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备) ［合作探究］师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式.［方法引导］ 师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1， 即a n =a 1q n -1. 师 根据等比数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进而有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1. 亦得 a n =a 1q n -1.师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？ 生 把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师 非常正确，这里不仅给出了一个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上面的式子改写成q a a q a aq a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11-=n nq a a ,于是，得a n =a 1q n -1.师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明. 师 让学生说出公式中首项a 1和公比q 的限制条件. 生 a 1，q 都不能为0.［知识拓展］ 师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生 比较两种方法，思考它们的异同.［教师精讲］ 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你又发现了什么？生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：课本P50例1、例2、P58例3 解略。
人教版高中数学高二-数学A版必修五2.4等比数列 教案二
2.4《等比数列》教案一、能力要求：1、掌握等比数列的概念，等比中项的概念，能利用定义判定等比数列；2、理解等比数列的通向公式及推导，并能简单的应用公式；3、了解等比数列的通向公式与指数函数的关系。
二、教学重点、难点：重点： 等比数列的概念和通向公式及其推导；等比数列通向公式的应用。
难点：等比数列通向公式的应用。
三、预习问题处理：1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
2、若()为常数q n q a a n n ,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
3、若b G a ,,成等比数列，则 ；其中G 叫做a 与b 的 。
此时a 与b （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为 数列；当0<q 时，数列为 数列；当10<<q 时，数列为 数列；当1>q 时，数列为 数列。
6、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列； （ ） ②数列 ,81,41,21,1是公比为2的等比数列； （ ） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） 7、思考：如何证明一个数列是等比数列。
四、新课讲解：例1、 判断下列数列{}n a 是否为等比数列：（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-； （2）()*3,2N n a n n ∈-=-；（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=例2、（1）求12+与12-的等比中项；（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +。
例3、已知等比数列{}n a ，若8,7321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通向公式。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.4 等比数列》优质课教案_17
课题：2.4.1等比数列教学目标知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。
过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
情感态度与价值观：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。
教学重点和难点教学重点：等比数列的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。
教学难点：等比数列概念深化：体现它是一种特殊函数，等比数列的判定、证明及初步应用。
教学过程（一）等比数列的概念1、创设情境，引入概念引例1：“勒索”病毒入侵电脑。
如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。
假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：1,20²，20³…引例2：如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？则构成的数列为：2,4,8,16…引例3：《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果把“一尺之棰”看成单位”1”,你能用一个数列来表达这句话的含义吗？“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”等比数列：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
(q ≠0且a n ≠0 ）2、抓住本质，理解概念试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比和首项。
(1) 1，3，9，27…11111 24816，，，，，…(2) (3) 5,5,5,5…(4) 1，-1,1，-1…(5) 1，0，1,0…(6) 0,0,0,0…(7) 1, a, a ², a ³…(5) 1，2，6，18…（二）、等比数列通项公式的推导推理论证（累乘法）设a 1，a 2，a 3…是公比为q 的等比数列，则由定义得： 21a q a =……………………………………（1） 32a q a =……………………………………（2） ……………1n n a q a -=……………………………………（n-1） 问：结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式？由定义式得：(n －1)个等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 2a 1 ＝q ①a 3a 2 ＝q ②……a na n －1 ＝q n －1若将上述n －1个等式相乘，便可得：a 2a 1 ×a 3a 2 ×a 4a 3 ×…×a n a n －1＝q n －1即：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)当n ＝1时，左＝a 1，右＝a 1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：a n ＝a 1·q n －1(a n,，q ≠0) 其中1a 首项，q 为公比（三）、 例题讲解例题1：求下列等比数列的第4，5项：（1）,161,81,41,21 (8) x 0, x, x 2, x 3 …5，-15，45，…（2）例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.教师讲解解题格式和知识点，并做强调和说明方法。
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四、教学设计
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
图片欣赏数形结合
新课引入类比化归
前后呼应
公式应用
前后呼应小结
五、教学过程
教学
环节
活动
说明
（一）感受生活启动教学目标
创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。
泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？
问题2,3,4，层层推进，完善高斯算法的过程就是问题设置从易到难，层层推进. 前2问学生可以很快做答，而第3问是高斯首末项结合运算的反映，要启发引导学生，第4问做为问题引出课题.
（二）探求结论初达数学目标
对于上面的问题，提炼成如下数学问题
已知等差数列｛an ｝中，首项为a1,第n项为an ，求它的前n项和Sn .
借助引题中第（3）问的算法，考虑首项与末项，第k项与倒数第k项的和相等（等差数列的性质），可以倒着顺序构造Sn，利用和求解，具体如下：
Sn＝a1＋a2＋a3…＋an-2+an-1＋an ①
Sn＝an ＋an-1 ＋an-2 …＋a3＋a2＋ a1 ②
推导出公式
（三）例题讲解，练习规范步骤
例1：等差数列{an}的公差为2，第20项a20=29,求前20项的和S20（学生回答）
练习：（学生黑板板书）
1
{}
120,37,629,
.n n
n a n s
a a ===
在等差数列中，已知d 求及
2 等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和为54？
例2 等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48, （学生讨论解决）
求a1和n 的值。
（四）、课堂练习（学生回答，
注意最后一题的项数）
1.等差数列 {an}
的首项为a1，公差为
d ，项数为n ，第n 项为an ，前n 项和为Sn ，请填写下表：
2.计算:
五、课堂小结
1. 一种求和方法:
113521);22462;3135(23).n n n ++++-+++++++++ （）（（）（）
2. 两个公式:
3. 一种研究问题思想:
六、作业：
1、课本P41 练习A 1、2 、3 练习B 1、2
2、思考题：
（2）已知数列{an}的前n 项公式为Sn=2n2-30n.这个数列是等差数列吗？试求出它的通项
.
36)1(16151252S a a a a ，求在等差数列中，=+++。