南京邮电大学 大学物理 上 §4.3 力矩 转动定律
合集下载
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
2 J ddt
1
1
1 dt
1 dt
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
26
Y
M
vC
C mi
yC yi
O
X
4、刚体的势能
EP mi gyi
i
mgyc
其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于
同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚
体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位
置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
1、刚体的转动动能
i质点的动能
Eki
1 2
mi vi2
1 2
miri2 2
整个刚体的动能 — 对i求和
Ek
i
Eki
i
1 2
mivi2
i
1 2
mi
ri2
2
1 2
(
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度
平方乘积的一半。
t
t0 Mdt L L0
动量守 恒定律
Fi 0,
mi vi
力矩转动定律转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
上页 下页 首页 目录
物理学
4.3 力矩 转动定律
v −F v
i
v F
v ∑ Mi ≠ 0
i
∑ F = 0,
i
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
讨论
v 不在转动平面内， （1）若力 F 不在转动平面内，把力分 ）
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
4.3 力矩 刚体的转动定律 一 力矩
用来描述力对刚体 的转动作用． 的转动作用．
M = Fr sin θ = Fd d : 力臂 v F 对转轴 z 的力矩 v v v M = r ×F
z
v M
v F
O
v r
*
d
P
θ
v −F
i
v F
v ∑ Mi = 0
i
v ∑ Fi = 0,
M = I β , β 与 M 方向相同． 方向相同．
(2) 为瞬时关系． ) 为瞬时关系． (3) 转动中 M = I β 与平动中F = ma ) 地位相同． 地位相同．
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接， 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖 ，并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计． ) 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？ ) 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少？ 离 y 时，其速率是多少？
力矩+刚体定轴转动的转动定律
rF
sin
rF
F
Mz
r F
F
·
Fn
F// F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
F 的两个分力即可。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用 。
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
M 的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。
第3章 刚体力学基础
第2节
2）力矩的单位: 牛·米 (N·m)
大学物理学(力学和电磁
•2
学)
3)
在直角坐标系中，表示式为
i jk
M x yF z zF y
M x y z
M y zF x xF z
Fx Fy Fz
M z xF y yF x
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
的乘积等于作用在刚体上的合外力矩。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与 刚体的转动惯量成反比。
第3章 刚体力学基础
•5
第2节 三 转动定律的应用
大学物理学(力学和电磁
•6
学)
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．
4-3转动定律
[例2]有一均质细直杆在一个粗糙的水平 例 有一均质细直杆在一个粗糙的水平 面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，它 与平面之间的摩擦系数为µ 。设杆子质量为 m,长度为 l ，其初始转速为ω0 。试求当它 长度为 的转速为原来的一半时所用的时间。 的转速为原来的一半时所用的时间。 o l o´
结束
返回
4. J 和转轴有关。同一个物体对不同转 和转轴有关。 轴的转动惯量是不同的。 轴的转动惯量是不同的。 o o´ 1 ml J = 12
2
o o´ 1 ml J= 3
o 1 mr 2 J= 4 o´
o 1 mr 2 J= 2 o´
结束
返回
5*. 回转半径：假想将物体的质量集中在 回转半径： 的细圆环上， 半径为 rc 的细圆环上，而保持转动惯量不 回转半径。 称这圆环半径为物体的回转半径 变，称这圆环半径为物体的回转半径。即任 何物体的转动惯量为： 何物体的转动惯量为： J = mrc o
ห้องสมุดไป่ตู้结束
1 µ 1 ml 2 d ω mg l = dt 2 3 3µ g dt = d ω 2l 3µ g t ∫ 0 dt = 2l
∫ω dω
2 0
ω0
3µ g ω ω t= 2 2l
0
0
∴
ωl t= 3µ g
0 结束
返回
[例3]有一高为 ，宽为 ，质量为 的 例 有一高为 有一高为h，宽为b 质量为m 均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 均质平板可绕一条通过其一端的竖直轴旋转， 板上面元所受到的阻力和面元的大小与面元 的速度平方乘积成正比，比例系数为k 。板 的速度平方乘积成正比，比例系数为 的初始角速度为ω0 。 试求其角速度变化规律。 试求其角速度变化规律。 o b m
大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量
v Fej
v Fij
2 j j
外力矩
∑M
j
+ ∑ M ij = ∑ ∆ m r α
j
Q Mij = −M ji
∴∑ Mij = 0
j
14
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )α
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
J = ∑ ∆m r J = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
L
9
设水深h，坝长L， 解 设水深 ，坝长 ，在坝面上取面积 元 dA = Ldy ，作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdy
y
y
x
h y O Q O
L
dA
dy
x
10
令大气压为 p0 ，则 p = p0 + ρg (h − y )
dF = PdA = [ p0 + ρg(h − y)]Ldy
r F
OZo ⊗
xc
θ
l
dm
xmg r
ω
α
r dm⋅ g
dω 3g cosθ α= = 2l dt dω dω dθ dω = ⋅ =ω dt dθ dt dθ
}
3g cosθ dθ ⇒ωdω = 2l
4
对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 力矩M 的方向沿转轴（有正负） 力矩 的方向沿转轴（有正负） 多力作用在刚体上时的合力 的力矩： 的力矩： M = M1+M2+…+Mn 对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 因力矩M 的方向沿转轴， 因力矩 的方向沿转轴，所以对转动 轴力矩矢量和变成为代数和 M2 M = M1 + M2 + … + Mn
力矩转动定律转动惯量jm汇总课件
力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据
大学物理上册、转动定律、转动能量
M 或 M I
I
说明：1）定律是瞬时对应关系；
2）M , J , 应是对同
一轴而言的
Z
如何求力对轴的矩呢？ 如图可将力分解为两个
MZ
F r
F F
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量
度。因为： M一定时I I
mg
L
sin
2
mg
LБайду номын сангаас
0
2
2
0
2
A
1 2
mgL
(Ep )
Ep2
E p1
二、刚体的重力势能 Ep mgZC
mgL ZC－质心距0势能面的距离
mg(L L cos )
2
三、刚体转动动能定理
力矩的功定义式 dA Md dA Md Id I d d Id
J
1 2
m2 r 2…(3)
a = r…(4)
T=T’ …(5)
T= a=
m1m2g 2m1+m2
r
注意: =m1g
a等于常数且初速为零! h 1 at 2 2
=
2m1g 2m1+m2
=
m1gt2 2m1+m2
r 例2）质量分别为m1，m2的物体通过轻绳挂在质
量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1，m2
－力矩的功
θ 是刚体在力矩的作用下转过的角度
重力矩的功
设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴 而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：
力矩转动定律 PPT
解：
物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和 相对质心的滚动两种 运动合成.
y
N
x
Ff
C
mg
aC
22
质心运动方程
mg sin Ff maC
转角动量定、律线量F关f 系R J a aC R
y
N
x
Ff
C
mg
aC
ma
mg
sin
Ja R2
a
mgR2 mR2
结束21
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
圆柱比圆筒先到达底部24.
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m，
正在以ω0＝1000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要
求在 t ＝5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮
子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数
为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 .
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2 （证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量
力矩和转动定律
m σ= 2 πR ds = rdrdθ dm = σ ds = σ rdrdθ
dN = gdm = σ rgdrdθ df = dN = σ rgdrdθ dM f = rdf = σ r gdrdθ
2
M f = ∫ dM f = σ g ∫ dθ ∫ r 2 dr
0 0
2π
R
2 = mgR 3 M f = jβ 1 mR 2 2 4 g β = 3R 3R j=
三 转动惯量
J = ∑ mi ri
2
2
如果刚体连续分布
m:质点惯性的量度 : J:刚体惯性的量度 : 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 几种常见刚体的转动惯量: 有关推导详见教材 有关推导详见教材P120) 几种常见刚体的转动惯量:(有关推导详见教材 细棒 细棒
标量. 标量 J = ∫ r dm kg . m2,标量. r r 对比 F = m a M = Jβ
F2 =
r2
= j β = j dω dt cω = j dω dt dω = c dt ω j ω dω t c ∫ω0 ω =∫0 j dt
ct ω = ω0e j ct ω = ω0e j
M f = cω
练习18 练习
dθ = ω dt
t = c ln 2 j
= 1 ω0 2
jω0 c ln 2) (t = θ= j 2c θ = jω0 N= 2π 4π c
L m
1 J = mL2 + m1 L2 3
m1
质点 与刚 体组 合的 转动 惯量
R
m
r m1
1 J = mR 2 + m1 r 2 2
五,转动定律的应用 例1,一根轻绳跨过一定滑轮(滑轮 ,一根轻绳跨过一定滑轮( 视为圆盘), ),绳的两端分别 视为圆盘),绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体,m1 <m2 ,滑轮的 质量为 m ,半径为 R,所受的摩擦阻 , 绳与滑轮间无相对滑动. 力矩为 Mf ,绳与滑轮间无相对滑动. 试求:物体的加速度和绳的张力. 试求:物体的加速度和绳的张力. 已知: 已知: m1,m2 ,m, R ,Mf , 求: a , T1 , T2 解: 研究对象 m1 ,m2 ,m 建立坐标, 建立坐标,受力分析 如图 对m1 : 1 m1 g = m1a T 对m2: m 2 g T 2 = m 2 a
4.3 转动定律
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
4.3 转动定律 一、力矩 力矩：力的大小与其对应 的力臂的乘积。
M F2 d F2 r sin ( F cos )( r sin )
力臂 注意：
在定轴转动中，力矩的方向沿着转轴。
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
方向： 右手螺旋法则确定：
mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
武汉纺织大学 物理教研室
12
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
第4章 刚体的定轴转动
FT1 mA a mB g Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 mB a
RFT2 RFT1 J a R
FN FT1 m
FT1
PC
FC
FT2 FT2
O PA
A
x
武汉纺织大学 物理教研室
mB PB y
10
O
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
13
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得
m,l O
FN
θ
mg
1 mgl sin J 2
式中
1 2 J ml 3
3g sin 得 2l
14
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
由角加速度的定义
dω dω dθ dω ω dt dθ dt dθ
第4章 刚体的定轴转动
4.3 转动定律 一、力矩 力矩：力的大小与其对应 的力臂的乘积。
M F2 d F2 r sin ( F cos )( r sin )
力臂 注意：
在定轴转动中，力矩的方向沿着转轴。
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
方向： 右手螺旋法则确定：
mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
武汉纺织大学 物理教研室
12
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
第4章 刚体的定轴转动
FT1 mA a mB g Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 mB a
RFT2 RFT1 J a R
FN FT1 m
FT1
PC
FC
FT2 FT2
O PA
A
x
武汉纺织大学 物理教研室
mB PB y
10
O
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
13
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得
m,l O
FN
θ
mg
1 mgl sin J 2
式中
1 2 J ml 3
3g sin 得 2l
14
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章 刚体的定轴转动
由角加速度的定义
dω dω dθ dω ω dt dθ dt dθ
南京邮电大学 大学物理 上 §4.3 力矩 转动定律
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 14
例 匀质细杆：m、l，固定于光滑水平轴，可在竖直平
面内转动。最初棒水平静止。求下摆过程中 ω 。
解: 棒的重力矩 = 重力作用于重心所产生的力矩
1 M mgl cos 2
)
l 2
m、l C
d M J 1 ml d d dt 3
解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
dM阻 dmgx (方向?)
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
o
m dm x dx
i
i i
i i
i
i
2 i i i i
o ri
f i
mi
Fi
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
2. 转动定律： M z J 3g d cos d 2l
3g d 2l cos d 0 0
3g sin l
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 8 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
大学物理— 力矩 转动定律
第五版来自2.2 力矩 转动定律
j
M
ej
( m j r j )α
2
z
O
定义转动惯量
J
rj
Fej
m j
j
m jrj
2
J
r dm
2
F ij
转动定律 M J 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第二章 刚体的定轴转动
7
物理学
2.2 力矩 转动定律 质元受外力
M
ej
2.刚体
Fej
，内力
2 j
F ij
z
O
M ij m j r
rj
Fej
m j
外力矩
内力矩
F ij
j
M
ej
j
M
ij
j
m jrj
2
M ij M
ji
M ij 0
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
i
i
Mi 0
1
第二章 刚体的定轴转动
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
讨论
1.若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和 垂直于转轴方向的两个分量 F F z F 其中 F z 对转轴的力 z 矩为零，故 F 对转轴
的力矩
M
M z k r F
2 2 2
dm
：质量元
r dV
dV
V
：体积元
第二章 刚体的定轴转动
10
j
M
ej
( m j r j )α
2
z
O
定义转动惯量
J
rj
Fej
m j
j
m jrj
2
J
r dm
2
F ij
转动定律 M J 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第二章 刚体的定轴转动
7
物理学
2.2 力矩 转动定律 质元受外力
M
ej
2.刚体
Fej
，内力
2 j
F ij
z
O
M ij m j r
rj
Fej
m j
外力矩
内力矩
F ij
j
M
ej
j
M
ij
j
m jrj
2
M ij M
ji
M ij 0
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
i
i
Mi 0
1
第二章 刚体的定轴转动
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
讨论
1.若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和 垂直于转轴方向的两个分量 F F z F 其中 F z 对转轴的力 z 矩为零，故 F 对转轴
的力矩
M
M z k r F
2 2 2
dm
：质量元
r dV
dV
V
：体积元
第二章 刚体的定轴转动
10
力矩刚体绕定轴转动定律课件
03
力矩刚体绕定轴转动的实际应用
日常生活中的应用实例
自行车轮转动
方向盘控制
当我们在骑自行车时，脚踏板施加的 力量通过链条传递到车轮上，使车轮 发生转动。
在驾驶汽车时，我们通过转动方向盘 来控制车辆的方向，方向盘的转动就 是力矩刚体绕定轴转动的实例。
门把手转动
当我们握住门把手转动时，门被推开 或关闭，这是由于门把手施加的力矩 使门发生转动。
力矩的大小决定了刚体转动的速度，力矩 越大，刚体的角速度越快。
刚体转动惯量的概念
01
02
03
转动惯量定义
转动惯量是描述刚体转动 惯性大小的物理量，与刚 体的质量分布和转动轴的 位置有关。
计算公式
对于质量均匀分布的刚体 ，转动惯量I = (1/2) * m * r^2，其中m是质量，r 是到转动轴的距离。
实验结果分析和结论
实验结果分析
通过实验数据，分析角速度与力矩之间的关系，验证力矩刚体绕定轴转动定律 。同时，比较不同转动惯量下刚体的角速度变化，加深对转动惯量影响的理解 。
实验结论
通过实验验证，可以得出力矩刚体绕定轴转动定律的正确性。同时，实验结果 也表明转动惯量对刚体的角速度有影响，转动惯量越大，相同力矩作用下刚体 的角速度越小。
05
力矩刚体绕定轴转动定律的深入探讨
力矩刚体转动过程中的能量转换
机械能转换
力矩作用在刚体上，使刚体从静 止或匀速转动状态变为加速转动 状态，在此过程中，刚体的动能 增加，而势能保持不变。
能量守恒
力矩刚体转动过程中的能量转换 符合能量守恒定律，即输入的力 矩能量等于刚体动能的变化量。
力矩刚体转动过程中的动量守恒
工业生产中的应用实例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
dM阻 dmgx (方向?)
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
o
m dm x dx
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 11
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则
m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2 a R
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 14
例 匀质细杆：m、l，固定于光滑水平轴，可在竖直平
面内转动。最初棒水平静止。求下摆过程中 ω 。
解: 棒的重力矩 = 重力作用于重心所产生的力矩
1 M mgl cos 2
)
l 2
m、l C
d M J 1 ml d d dt 3
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。
M ,R
2g a 4 M / m
(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m
h
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
2
3g d cos d 2l
mg
3g d 2l cos d 0 0
3g sin l
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 15
1. 作用在刚体上的力矩：
M z ri Fi
i 1 n
( 对轴力矩 )
2. 转动定律： M z J 3g d cos d 2l
3g d 2l cos d 0 0
3g sin l
(解毕)
§4. 3 力矩 转动定律
P. 13
课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。 提示 对定滑轮有： J TR
M ,R
而 a R
h 1 at 2 2
m
h
答案：
mR 2 ( gt 2 2h ) J 2h
dM阻 dmgx (方向?)
o
m dm x dx
x
∵内力成对出现 ∴ 合内力矩之和：
i,j(i j)
M
ij
0
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 4 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
x
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 5 /
二、转动定律
F合 Fi fi mi ai
在切向: F 合 Fi fi mi ai
fi
Fi
rmr ( r F r f ) m a
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 1 /
§4.3 力矩
转动定律
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 2 /
一、作用在刚体上的力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力F作
用在刚体上点 P , 且在转动平面 内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .
0 t 0 0
0
t0
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 刚体的转动定律。4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 9 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
i
i i
i i
i
i
2 i i i i
o ri
f i
mi
Fi
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
r
F
对转轴 Z 的力矩
大小：
: 力臂
方向：右手螺旋法则
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 3 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
0 t 0 0
0
t0
1 2 而 J ml 3
ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 10
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 8 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则
m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
1 2 而 J ml 3
ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
m1 g
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
2g a 4 M / m
(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m1 g
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 12
课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
P. 6 /
二、转动定律
( 转动定律 )
M z J
F ma
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 7 /
1. M z J 反映了力矩 M z与角加速度 间的瞬时关系。
2. 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考 虑刚体的转动定律。
dM阻 dmgx (方向?)
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
o
m dm x dx
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 11
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则
m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2 a R
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 14
例 匀质细杆：m、l，固定于光滑水平轴，可在竖直平
面内转动。最初棒水平静止。求下摆过程中 ω 。
解: 棒的重力矩 = 重力作用于重心所产生的力矩
1 M mgl cos 2
)
l 2
m、l C
d M J 1 ml d d dt 3
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。
M ,R
2g a 4 M / m
(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m
h
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
2
3g d cos d 2l
mg
3g d 2l cos d 0 0
3g sin l
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 15
1. 作用在刚体上的力矩：
M z ri Fi
i 1 n
( 对轴力矩 )
2. 转动定律： M z J 3g d cos d 2l
3g d 2l cos d 0 0
3g sin l
(解毕)
§4. 3 力矩 转动定律
P. 13
课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
轮上( R、 M ) 若干圈，一端挂一 物体(m) ，从静止下 落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J 。 提示 对定滑轮有： J TR
M ,R
而 a R
h 1 at 2 2
m
h
答案：
mR 2 ( gt 2 2h ) J 2h
dM阻 dmgx (方向?)
o
m dm x dx
x
∵内力成对出现 ∴ 合内力矩之和：
i,j(i j)
M
ij
0
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 4 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
x
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 5 /
二、转动定律
F合 Fi fi mi ai
在切向: F 合 Fi fi mi ai
fi
Fi
rmr ( r F r f ) m a
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 1 /
§4.3 力矩
转动定律
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 2 /
一、作用在刚体上的力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力F作
用在刚体上点 P , 且在转动平面 内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .
0 t 0 0
0
t0
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 刚体的转动定律。4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 9 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
i
i i
i i
i
i
2 i i i i
o ri
f i
mi
Fi
1 M阻 dM阻 gxdx gl 2 0 2 1 而 m l ， 所以 M 阻 mgl (解毕) 2
l
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
r
F
对转轴 Z 的力矩
大小：
: 力臂
方向：右手螺旋法则
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 3 /
例 一匀质细杆，长为 l 质量为m ，在摩擦系数为 的
水平桌面上转动，求摩擦力矩M 。
解：建立坐标系如图。 取元dm，则 m dm dx ( ) l 质元受阻力矩为：
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
0 t 0 0
0
t0
1 2 而 J ml 3
ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 10
例 已知： m1=m2=m，M，R，光滑桌面，求：m1 下落
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 8 /
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。 解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 M z J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
0 t
的加速度和绳子的张力 T1、T2。
解：设系统的加速度为a，则
m1 g T1 m1a
m2
T2
T2 m2a (T1 T2 )R J 1 MR 2
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
1 2 而 J ml 3
ml 2 M阻 J 3t 0 0
(解毕)
m1 g
2
T2 M , R T1 T1
m1
a
2g a 4 M / m
(2 M / m) T1 mg 4 M / m 2mg T2 (解毕) 4 M / m
m1 g
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 12
课堂练习 测轮子的转动惯量：用一根轻绳缠绕在定滑
P. 6 /
二、转动定律
( 转动定律 )
M z J
F ma
Chapter 4. 刚体的转动 作者：杨茂田
§4. 3 力矩 转动定律
P. 7 /
1. M z J 反映了力矩 M z与角加速度 间的瞬时关系。
2. 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。
3. M z、J、 皆对同一轴而言。 4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考 虑刚体的转动定律。