全国各地高考数学试题全解全析大汇总上海市春季高考数学试卷
高三数学上海市普通高等学校春季招生考试试题及答案
上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是 . 2．计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）. 3．函数2cos x y =的最小正周期=T .4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A . 5．抛物线x y =2的准线方程是 .6．已知2,3==b a. 若3-=⋅b a ，则a 与b夹角的大小为 .7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为 .8．在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 . 9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 .10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为 （结果用数值表示）. 11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1•• • 21 01所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作 （例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.13．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( ) （A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .14．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 [答] ( )（A ）80>x . （B ）00<x 或80>x . （C ）800<<x . （D ）00<x 或800<<x . 15．函数)01(112≤≤--+=x x y 的反函数图像是 [答] ( )（A ）第6页 共8页三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 16. (本题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 12π=∠ACB ，61π=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3π，341=AA ，4=BC . 求斜三棱柱-ABC 111C B A 的体积V .17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18. (本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.A BC1A 1B 1C第6页 共8页19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线．．．长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ， 其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d . （1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数.（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论； （2）证明：()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值.第6页 共8页2009年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.1.),1(∞+.2. i 2-.3. π4. 4. {}21<<x x .5. 41-=x . 6.π32. 7. -=x y 5. 8. 6. 9. 0. 10.6265. 11. 43,41；j jn ,2为[]n 2,1中的所有奇数.二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.第6页 共8页三．（第16至20题）16. [解] 在Rt △C AA 1中，C AA AA AC 11tan ∠⋅=43334=⨯=. …… 3分 作⊥H B 1平面ABC ，垂足为H ，则31π=∠BH B ，…… 6分在Rt △BH B 1中，BH B BB H B 111sin ∠⋅=623343sin1=⨯=⋅=πAA . …… 9分 48644211=⨯⨯⨯=⋅=∴∆H B S V ABC . …… 12分 17. [解] （1） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+n n a a )2(≥n . …… 3分又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . …… 4分 ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数）. …… 6分（2）由（1）知，23311111=-=-=qa S ， …… 8分A第6页 共8页()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=nnn n q q a S 31123311311111. …… 10分由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k 3112323，解得 nk ⎪⎭⎫⎝⎛-≤311.数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. …… 14分18. [解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a by a x ，22b a c -=.348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . …… 4分 于是 35028222=-=c a b .∴ 所求轨道方程为 13502819184422=+y x . …… 6分设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，1350281918442020=+y x ，解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. …… 10分 ∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . …… 13分答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分 19. [证明]（1）由题意可知，()()()8,32,6,18,4,8321A A A ，71183268,51818463221=--==--=∴A A A A k k . …… 3分 3221A A A A k k ≠ ，∴ 顶点321,,A A A 不在同一条直线上. …… 4分 （2）由题意可知，顶点n A 的横坐标n n n a a a a d x 21121+++++=- 2)1(2+=n ，第6页 共8页顶点n A 的纵坐标)1(221+==n a y n n . …… 7分 对任意正整数n ，点n A ()n n y x ,的坐标满足方程x y 22=，∴ 所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上. …… 9分 （3）[解法一] 由题意可知，顶点n A 的横、纵坐标分别是[]d n a y d n a n a d x n n )1(21,)1(21)1(212-+=-+-++= 消去1-n ，可得 da d a d y d x n n 2)(22-++=. …… 12分 为使得所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02)(,22d a d a d p d解之，得 p a p d 8,4==. …… 14分∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分[解法二] 点()111,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=+=.21,2111a y a d x 点()111,y x A 在抛物线px y 22=上，∴ )2(422121a d a x y p +==. …… 11分 又点()222,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=).(21,232322d a y d a x 且点()222,y x A 也在抛物线上， 0,0>>d a ，把点()222,y x A 代入抛物线方程，解得 d a 2=. …… 13分因此，4d p =，∴ 抛物线方程为x dy 22=.又 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=+=-+-++=.21])1([21,2)1()1(21)1(2122d n d n a y d n d n a n a d x n n∴ 所有顶点()n n n y x A ,落在抛物线x dy 22=上. …… 15分∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分20. [解] （1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数. …… 2分第6页 共8页对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221cos cos sin sin θθθθ-+-=， 1221cos cos ,sin sin θθθθ<<， ()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增. …… 4分 （2） 原式左边()()θθθθ4466cos sin cos sin 2+-+=()()()θθθθθθθθ44422422cos sin cos cos sin sincos sin2+-+⋅-+=θθ2cos 2sin 122=-=. …… 6分又原式右边()θθθ2cos sin cos 2222=-=.∴ ()()θθθθθθ224446sin cossin cos )()(2--=-f f . …… 8分（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增，∴ )(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，最小值为()101-=f .当2=n 时，()12=θf ，∴ 函数)(2θf 的最大、最小值均为1.当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增. ∴ )(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，最小值为()103-=f .当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减，∴ )(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf . …… 11分下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，第6页 共8页以及 1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ，∴ 1221cos cos ,sin sin θθθθn n n n <<，从而 )()(21θθn n f f <.∴ )(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则)(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f . …… 14分当n 为偶数时，一方面有 )0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ. 另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有 ()()0sin cossin cos )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f . ∴ 函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为nn f ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π.综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-.当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫⎝⎛212. …… 18分。
2023年上海市春季高考数学试卷-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
2023年上海市普通高等学校春季招生考试试卷(数学)
12023年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试卷,满分150分.考试时间120分钟.48分）本大题共有12题,只要求直接4分,否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<,{}24B x x =-≤<,则A B = .2．计算:131lim 32n n n n +→∞+=+ .3．函数()f x =地定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内地解是 .5．已知数列{}n a 是公差不为零地等差数列,11a =. 若125a a a 、、成等比数列,则n a = .6．化简:cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上地一点,双曲线地一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线地左、右焦点. 若23PF =,则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示,则该凸多面体地体积V = .9．已知无穷数列{}n a前n项和113n nS a=-,则数列{}n a地各项和为 . 10．古代"五行"学说认为:"物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金."将五种不同属性地物质任意排成一列,设事件A表示"排列中属性相克地两种物质不相邻",则事件A出现地概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,na a a；12,,,nb b b（n是正整数）,令112nL b b b=+++, 223L b b=+,nb++,n nL b=. 某人用右图分析得到恒等式:1122n na b a b a b+++=112233a L c L c L+++k kc L+n nc L++,则kc=(2)k n≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B,直线1l:20,:0x l y==和3:l x+3y10-=. 设iP是il(1,2,3)i=上与A、B两点距离平方和最小地点,则△123PP P地面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得 4分,否则一律得零分. 13．已知向量(2,3),(3,)a bλ=-=,若//a b,则λ等于 [答] ( )（A）23. （B）2-. （C）92-. （D）23-.14．已知椭圆221102x ym m+=--,长轴在y轴上. 若焦距为4,则m等于 [答]（）（A）4. （B）5. （C）7. （D）8.15．已知函数()()f xg x、定义在R上,()()()h x f x g x=⋅,则"()()f xg x、均为奇函数"是"()h x为偶函数"地 [答] ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.23（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈,且22i 1,i z --=为虚数单位,则22i z +-地最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤.12分) 已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求2cos sin 2sin θθθ-地值. [解]412分)在平面直角坐标系xOy 中,A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴地交点,C 为AB 地中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ,求焦点F 到直线AB 地距离.[解]514分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数)2()log 21x f x =+.（1）求证:函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 地反函数.若关于x 地方程1()()fx m f x -=+在[1,2]上有解,求m 地取值范围.[证明]（1）[解]（2）614分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如下图所示）.凳面为三角形地尼龙布,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管地受力和人地舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm ,②三根细钢管相交处地节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 地正三角形,三只凳脚与地面所成地角均为45 ,确定节点O 分细钢管上下两段地比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 地等腰三角形,腰长为24cm ,节点O 分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管地长度（精确到0.1cm ）.[解]（1） （2）716分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上地一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ,简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成地数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ,其中j 为方向与y 轴正方向相同地单位向量,则称{}n A 为T 点列.（1）判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,是否为T 点列,并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列,且点2A 在点1A 地右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +,判断△12k k k A A A ++地形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明；（3）若{}n A 为T 点列,正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+,求证: >n q m p A A j A A j ⋅⋅ .[解]（1）（2）[证明]（3）8918分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,6分,第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=地虚根,记它在直角坐标平面上地对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上,求证:z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C :222()x m y r -+=（R m r ∈、,0r >）,则存在唯一地线段s 满足:①若z P 在圆C 上,则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则z P 在圆C 上. 写出线段s 地表达式,并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系地研究,填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 地对应线段）.[证明]（1）[解]（2）（3）表一、地取值或表达式线段s与线段1s地关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1线段s与线段1s长度相等2023年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考解析及评分标准说明1.本解答列出试卷地一种或几种解法,如果考生地解法与所列解法不同,可参照解答中评分标1011准地精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生地解答中出现错误而中断对该题地评阅. 当考生地解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后地解答未改变这一题地内容和难度时,可视影响程度决定后面部分地给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重地概念性错误,就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注地分数,表示考生正确做到这一步应得地该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.解析及评分标准一．（第1至12题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.1. {}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5.8. 1 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32.二．（第13至16题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.题 号13141516 代 号CDAB三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又cos,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,sin θ∴==, …… 9分 2cos sin 2sin θθθ∴-=. …… 12分1218. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C , …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB. …… 12分19. [证明]（1）任取12x x <,则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+,1212,02121x x x x <∴<+<+ ,11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++, 12()()f x f x ∴<,即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> , …… 9分[解法一] 1()()m fx f x -∴=- =()()22log 21log 21xx--+ 22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …… 11分 当12x ≤≤时,222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++, m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21xxm -=++,得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭, …… 11分1322112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭, 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 地重心为H ,连结OH . 由题意可得,BH =.设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线与地面垂直,且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成地角,亦即45OBH ∠= .30,1BH OH λλ=∴=+ , 解得,0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段地比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==,AC = 设△ABC 地重心为H ,则8,BH AH ==分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3,可知12OH =. 设过点A B C 、、地细钢管分别为AA BB CC '''、、, 则560.82AA CC OA ''====≈,/14536.12BB OB '===≈, ∴对应于A B C 、、三点地三根细钢管长度分别为60.8cm , 36.1cm 和60.8cm .…… 14分21. [解]（1） 1n a n=, 1111(1)n b n n n n -∴=-=++,显然有1n n b b +>, ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中,()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-, ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 地右上方,1210b a a ∴=->, {}n A 为T 点列,10n b b ∴≥>,()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<,则1120k k k k A A A A +++⋅<.∴ 12k k k A A A ++∠为钝角,∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ,0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p pa a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p pb b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列,于是1p n b b ->, ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-, …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ,即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=,解方程2220x bx b +-=,得z b =-±, …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -,将点z P 代入圆1C 地方程,等号成立,15∴ z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<,即2b c <时,解得z b =-, ∴点(),z P b -或(),z P b -,由题意可得222()b m c b r --+-=,整理后得 222c mb r m =-+-, …… 6分 ()240b c ∆=-< ,222()b m c b r ++-=, (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为: 222c mb r m =-+-,[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<,且点(),z P b -、(),z P b --在圆C 上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程地虚根,则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ,解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得,222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 地关系、m r 地取值或表达式得分s 所在直线平行于1s 所在直线1m =,1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=,1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
上海市春季高考数学试题
2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列。
2023年上海市春季高考数学试卷(解析版)
2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ 2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．故答案为：2．2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为： [﹣1，3] ．（结果用集合或区间表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，即为﹣1≤x≤3，则解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝ 0.5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．故答案为：0.5．6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝，时等号成立．故答案为：．7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 7 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝ 17 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4＝＝17．故答案为：17．9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 x＝3 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解为：x＝3．故答案为：x＝3．10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 0.5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生的概率为．故答案为：0.5．11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 [0，] ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+i sinθ，则z1＝1+cosθ+i sinθ，因为z 1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设，，，，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，因为|•|≤|•|≤|•|，所以，可得，z≥y，所以，解得，故＝y．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3D．y＝2x【答案】B【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．故选：C．15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）A．DD1B．AC C．AD1D．B1C【答案】B【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．（5分）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等比数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列【答案】C【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取即可．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
年春季高考上海卷数学试题及解答
a ab 2a b 上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分 048 分）1. 计算： lim 3n - 2= .n →∞ 4n + 32. 方程log 3 (2x - 1) = 1的解 x = .3. 函数 f (x ) = 3x + 5, x ∈[ 0, 1]的反函数 f -1 (x ) = .4. 不等式1 - 2x> 0 的解集是.x + 15. 已知圆C : (x + 5) 2 + y 2 = r 2(r > 0) 和直线l : 3x + y + 5 = 0 . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则 r 的取值范围是.6. 已知函数 f (x ) 是定义在 ( - ∞, + ∞ ) 上的偶函数. 当 x ∈ ( - ∞, 0 ) 时， f (x ) = x - x 4 ， 则当x ∈ ( 0, + ∞ ) 时， f (x ) = .7. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 .9. 在△ ABC 中，已知 BC = 8,AC = 5 ，三角形面积为 12，则cos 2C = .10. 若向量 、b 的夹角为150， = 3, = 4 ，则 + = .11. 已知直线l 过点 P ( 2, 1) ，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为： 若有限数列a 1 , a 2 , , a n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分 016 分）13. 抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为( ) （A ） ( 0, 1) . （B ） (1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （D ） ( 2, 0 ) . 14. 若 a 、b 、c ∈ R , a > b ，则下列不等式成立的是( )（A ） 1 < 1 . （B ） a 2 > b 2 . （C ） a > b.（D ） a | c |> b | c |.a b x 2 y 2c 2 + 1 c 2 + 115. 若 k ∈ R ，则“ k > 3”是“方程 k - 3 - k + 3= 1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.⎧⎪1⎪⎫ ⎧ 1 ⎫ 16. 若集合 A = ⎨ y y = x 3,-1≤ x ≤ 1⎬ , B = ⎨ y y = 2 - , 0 < x ≤ 1⎬ ，则 A ∩B 等于()⎪⎩ ⎪⎭⎩ x ⎭ （A ） ( - ∞, 1].（B ） [ - 1, 1 ].（C ） ∅ . （D ）{1}.三．解答题（本大题满分 086 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分 12 分)在长方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，已知 DA = DC = 4, DD 1 = 3 ，求异面直线 A 1 B 与B 1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分 12 分) 已知复数 w 满足 w - 4 = (3 - 2w ) i( i 为虚数单位）， z = 5+ | w - 2 |，求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.w19. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.已知函数 f (x ) = ⎛ + π⎫ - 2 cos x ,x ∈ ⎡π,π⎤ .2 sin x ⎪⎝6 ⎭ ⎢⎣ 2 ⎥⎦（1）若sin x = 4，求函数 f (x ) 的值；（2）求函数 f (x ) 的值域.520. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的 x 2 + y 2= 轨迹方程为 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、100 25⎛ M 0, 64 ⎫ ⎪ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.⎝7 ⎭ （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.设函数 f (x ) = x 2 - 4x - 5 .（1）在区间[ 2, 6 ]上画出函数f (x) 的图像；20 21 30 30 31 40（2）设集合 A = {x f (x ) ≥ 5 }, B = (- ∞, - 2 ] [ 0, 4 ] [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系， 并给出证明；（3）当 k > 2 时，求证：在区间[ - 1, 5 ] 上， y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方.22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分. 第 3 小题满分 6 分.已知数列 a 1 , a 2 , , a 30 ，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a 10 , a 11 , , a 20 是公差为 d 的等差数列； a , a , , a 是公差为 d 2 的等差数列（ d ≠ 0 ）. （1）若 a 20 = 40 ，求 d ；（2）试写出 a 30 关于 d 的关系式，并求 a 30 的取值范围；（3）续写已知数列，使得 a , a , , a 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案及评分标准一．（第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.⎪1. 3 .2. 2.3.41(x - 5), 3x ∈[5, 8 ]. 4. ⎛ - 1, 1 ⎫ ⎝2 ⎭ 5. (0, 10 ) . 6. - x - x 4 . 7. 48.8.16 . 39.7. 10. 2. 11. 4. 2512. a 1 + a 2 + + a m ≤ a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) 和 m na m +1 + a m +2 + + a n ≥a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) n - m n二．（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.题 号 13141516代 号BCAB三．（第 17 至 22 题）17. [解法一] 连接 A 1 D ，A 1 D //B 1C , ∴ ∠BA 1D 为异面直线 A 1 B 与 B 1C 所成的角.……4 分连接 BD ，在△ A 1 DB 中， A 1 B = A 1 D = 5,BD = 4 ，……6 分则cos ∠BA 1 D = A 1 B 2 + A 1 D 2- BD 2 2 ⋅ A B ⋅ A D = 25 + 25 - 32 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 9 .……10 分2511∴ 异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 125[解法二] 以 D 为坐标原点，分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系.……2 分则 A 1 (4, 0, 3)、B (4, 4, 0)、B 1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) ，得 A 1 B = (0, 4, - 3), B 1C = (-4, 0, - 3) .……6 分设 A 1 B 与 B 1C 的夹角为θ，则cos θ=A 1B ⋅ B 1C A 1 B ⋅ B 1C = 9 ， ……10 分252 .⎩ ⎩b2 2 ∴ A B 与 B C 的夹角大小为 arccos 9，1 1 25即异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 12518. [解法一]w (1 + 2 i) = 4 + 3i, ∴ 4 + 3i w == 2 - i ， ……4 分1 + 2i∴ z =52 - i+ | -i |= 3 + i . ……8 分若实系数一元二次方程有虚根 z = 3 + i ，则必有共轭虚根 z = 3 - i .z + z = 6, z ⋅ z = 10 ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 - 6x + 10 = 0.……12 分[解法二] 设 w = a + b i (a 、b ∈ R)a +b i - 4 = 3i - 2a i + 2b ，⎧a - 4 = 2b , 得 ∴ ⎧ a = 2,⎨b = 3 - 2a , ⎨ = -1, ∴ w = 2 - i ，……4 分以下解法同[解法一].19. [解]（1） sin x = 4 ,x ∈ ⎡π,π⎤, ∴ cos x = - 3 ，……2 分51⎢⎣ 2 ⎥⎦5⎫ f (x ) = 2x + cos x ⎪ - 2 cos x……4 分⎪⎝ ⎭= 3 sin x - cos x =4 3 + 3. ……8 分 5 5（2） f (x ) = ⎛ - π⎫ ，……10 分2 sin x ⎝π ≤ x ≤ π，⎪6 ⎭∴ π ≤ x - π ≤ 5π，1≤ ⎛ - π⎫≤ 1，23 6 6⎪ 2 ⎝6 ⎭ ∴ 函数 f (x ) 的值域为[1, 2 ] .……14 分20. [ 解 ] （ 1 ） 设 曲 线 方 程 为y = ax 2 + 64 7，由 题 意 可 知 ， 0 = a ⋅ 64 +64 .7∴ a = - 1.……4 分7∴ 曲线方程为 y = - 1 x 2 + 64.……6 分sin x7 7（2）设变轨点为C ( x , y ) ，根据题意可知⎧ x 2 ⎪ ⎨100 + y 2 25= 1, (1) 得 4 y 2 - 7 y - 36 = 0 ， ⎪ y = - 1 x 2 + 64 , (2) ⎩⎪7 7 y = 4或 y = - 9（不合题意，舍去）.4∴ y = 4 . 得 x = 6 或 x = -6 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . ( 6, 4 ) ， ……11 分| AC |= 2 5, | BC |= 4 .答 ： 当 观 测 点 A 、B 测 得 AC 、BC 距 离 分 别 为 2 5 、 4 时 ， 应 向 航 天 器 发 出 变 轨 指令.……14 分21. [解]（1）……4 分（2）方程 f (x ) = 5 的解分别是2 -14, 0, 4和 2 + 14 ，由于 f (x ) 在( - ∞,- 1] 和[ 2, 5 ]上单调递减，在[ - 1, 2 ]和[ 5, + ∞ ) 上单调递增，因此A = (- ∞, 2 - ] [ 0, 4 ] [2 +14, + ∞ ).……8 分 由于 2 + < 6, 2 - > -2, ∴ B ⊂ A .……10 分（3）[解法一] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5.g (x ) = k (x + 3) - (-x 2 + 4x + 5)= x 2 + (k - 4)x + (3k - 5)= ⎛ x - 4 - k ⎫ 2 ⎪ - k 2 - 20k + 36 ， ……12 分⎝2 ⎭ 4k > 2, ∴4 - k< 1. 又- 1 ≤ x ≤ 5 ， 2 ① 当- 1 ≤ 4 - k < 1 ，即 2 < k ≤ 6 时，取 x = 4 - k，2 2……9 分 ∴ C 点 的 坐 标 为14 14 14⎩ 40 30 10n 10n +1 10 (n +1) 10(n +1)⎨ = -k 2 - 20k + 36= -1 [( -)2- ]g (x ) mink 10 4464 .16 ≤ (k - 10) 2 < 64, ∴ (k - 10) 2 - 64 < 0 ，则 g (x ) m in > 0 .……14 分② 当 4 - k< -1，即 k > 6 时，取 x = -1，2g (x )min＝ 2k > 0.由 ①、②可知，当 k > 2 时， g (x ) > 0 ， x ∈[ - 1, 5 ] .因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方. ……16 分[解法二] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5 .⎧ y = k (x + 3),由⎨ y = -x 2+ 4x + 5,得 x 2 + (k - 4)x + (3k - 5) = 0 ，令 ∆ = (k - 4) 2 - 4(3k - 5) = 0 ，解得 k = 2 或 k = 18 ， ……12 分在区间[ - 1, 5 ] 上，当 k = 2 时， y = 2(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像只交于一点(1, 8 ) ； 当 k = 18时， y = 18(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像没有交点. ……14 分如图可知，由于直线 y = k (x + 3) 过点 ( - 3, 0 ) ，当 k > 2 时，直线 y = k (x + 3) 是由直线 y = 2(x + 3) 绕 点( - 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上 方.……16 分22. [解]（1） a 10 = 10. a 20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3. …… 4 分 （2） a 30 = a 20 + 10d 2 = 10(1 + d + d 2) (d ≠ 0) ，…… 8 分⎡ ⎛ 1 ⎫ 2 3 ⎤a 30 = 10⎢ d + 2 ⎪ + ⎥ ，4 ⎢⎣ ⎝ 当 d ∈ ( - ∞, ⎭0 ) ( 0, ⎥⎦+ ∞ ) 时， a 30 ∈[ 7.5,+ ∞ ).…… 12 分（3）所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n ≥ 1 时，数列 a , a , , a 是公差为d n 的等差数列. …… 14 分研究的问题可以是：试写出 a 10 ( n +1) 关于 d 的关系式，并求 a 10 ( n +1) 的取值范围.…… 16 分研究的结论可以是：由 a = a + 10d 3=10(1 + d + d 2 + d 3 )，依次类推可得 a = 10(1 + d + + d n )= ⎧⎪10 ⨯ 1 - d n +11 - d , d ≠ 1, ⎪⎩10(n + 1),d = 1. 当 d > 0 时， a 10(n +1) 的取值范围为(10, + ∞ ) 等.…… 18 分。
上海市2024年春季高考数学试卷
上海市2024年春季高考数学试卷
上海市2024年春季高考数学试卷指的是上海市教育局在2024年春季组织的高考数学科目的试卷。
这类试卷是为了测试学生的数学能力，评估他们的数学基础知识、基本技能以及数学思维能力等。
以下是一些示例题目：
选择题（每题3分，共6分）：
1.若关于x的不等式 x^2 - 4x + 3 < 0 的解集为 A，则 A = （）。
A. (1, 3)
B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)
C. (-∞, -1) ∪ (3, +∞)
D. (-∞, -1) ∪ (3, 1)
2.已知函数 f(x) = x^2 - 2x，则 f(-1) = （）。
A. -1
B. 1
C. -3
D. 3
判断题（每题4分，共8分）：
1.任何实数都有两个平方根。
（对/错）
2.若两个向量的模相等，则这两个向量一定共线。
（对/错）
计算题（10分）：
计算定积分∫ (sin x)/(1 + sin^2 x) dx （上限为π/2，下限为 -π/2）。
注意：以上示例题目仅为展示题型，实际考试中的题目会有所不同，难度和内容也会有差异。
上海市春季高考数学试卷是针对上海市内就读的高中学生进行的数学能力测试，目的是检测学生在高中阶段对数学基础知识的掌握情况和应用能力。
除了选择题、判断题和计算题等题型外，还可能包括填空题、简答题等其他题型。
对于参加考试的学生来说，需要全面掌握数学基础知识，并注重培养自己的数学思维能力和解题技巧。
2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析
2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
普通高等学校春季招生考试数学试卷上海卷附解答
2019年一般高等学校春天招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律是零分．1．函数f(x)x21(x0)的反函数f1(x)______．2．若复数z知足方程zi i1（i是虚数单位），则z=________．3．函数ysinx1的最小正周期为________．cosx4．二项式(x1)6的睁开式中常数项的值为________．x5．若双曲线的一个极点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线y x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：lim(n3)n=________．n n18．若向量，知足||||，则与所成角的大小为________．9．在大小同样的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中随意选用3个，则所选的3个球中起码有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术均匀数的运算，即aa bb，则两边均2含有运算符号“ *”和“+”，且对于随意3个实入选a、b、c都能成立的一个等式能够是_______11．对于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：（1）对随意的，f(x)都是非奇非偶函数；（2）不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使f(x)是奇函数；（4）对随意的，f(x)都不是偶函数此中一个假命题的序号是_______由于当=_______时，该命题的结论不可立12．甲、乙两人于同一天赋别携款1万元到银行积蓄，甲存五年期按期积蓄，年利率为2.88%乙存一年期按期积蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期按期积蓄按规定每次计息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行拿出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假设利率五年内保持不变，结果精准到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分13．若a、b为实数，则a b0是a2b2的（）（A）充足不用要条件．B）必需不充足条件．C）充要条件．D）既非充足条件也非必需条件．14．若直线x 1的倾斜角为，则（）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在42（15．如有平面A）过点B）过点C）过点D）过点P与，且且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于l,,P,P l，则以下命题中的假命题为（）的直线平行于．l的平面垂直于．的直线在内．l的直线在内．16．若数列{a n}前8项的值各异，且a n8a n对随意的n N都成立，则以下数列中可取遍{a n}前8项值的数列为（）（A）{a2k1}（B）{a3k1}（C）{a4k1}（D）{a6k1}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤．17．（此题满分12分）已知R为全集，A{x|log1(3x)51}，求AB2},B{x|2x218．（此题满分12分）已知2sin2sin2k()，试用k表示sin cos的值．1tg4219．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．1）求a对于h的函数分析式；2）设容器的容积为V立方米，则当h为什么值时，V最大？求出V的最大值．（求解此题时，不计容器的厚度）20．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE A1B，AF A1D（1）求证：A 1C 平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角 （或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试依据上述定理，在AB 4 ，AD3，AA 1 5时，求平面AEF 与平面DBBD 所11成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（此题满分16分）此题共有2个小题，第1小题满分9分，第 2小题满分7分已知椭圆C 的方程为x2y 21，点P(a,b)的坐标知足a2b 21过点P 的直线l 与椭22圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：1）点Q 的轨迹方程；2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（此题满分18分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知{a n }是首项为 2，公比为1的等比数列， S n 为它的前n 项和．2（1）用S n 表示S n1；（2）能否存在自然数S k1cc 和k ，使得2成立．S k c数学试卷答案重点及评分标准 说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，假如考生的解法与所列解法不一样，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅究竟，不要由于考生的解答中出现错误而中止对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步此后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后边部分的给分，这时原则上不该超事后边部分应给分数之半，假如有较严重的观点性错误，就不给分． 3．给分或扣分均以 1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给 4分，不然一律得零分．1．x1(x1)．2．1i ．3．2．4．20．x 2 y 215．916 ．6．(x1)2 (y1)21．7．e 2 ．8．90°．49．5．10．a(b*c) (a b)*(a c),(a*b) c (a*c)(b*c),a*(b c) (a b)*c (bc)*a (ac)*b,(a*b)c (b*a)c 等.11．（1），k(kZ)k(kZ)k(k Z)；（1），2；（4），2等（两个空格全填对时才能得分，此中 k 也能够写成任何整数）12．二、（第13至16题）每一题正确的给4分，不然一律得零分13．A14．C15．D16．B三、（第17至22题）17．解由已知log1(3x)log1422由于y log1x为减函数，所3x42由3x4 3x0解得1x3所以A{x|1x3}由51，解得2x3所以B{x|2x3} x2于是A{x|x1或x3}故AB{x|2x1或x3}18．解2sin2sin22sin cos 由于1tg所以k2sin cos因此(sin cos)212sin cos1k又4，于是sincos0 2所以sin cos1k19．解（1）设h'为正四棱锥的斜高a241h'a2,由已知21a2h2h'2,4解得a1(h0) h21（2）V1ha2h(h0)33(h21)易得V13(h1)h由于h 1h12，所以1 2hVh6等式当且仅当h1，即h1时获得h故当h 1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米．620．证（1）由于CB平面A1B，所A1C在平面A1B上的射影为A1B由A1B AE,AE平面A1B，得A1C AE，同理可证A1C AF由于A1C AF,A1C AE所以A1C平面AEF解（2）过A作BD的垂线交CD于G，由于D1DAG，所以AG平面D1B1BD设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG9．4如图成立直角坐标系，则得点A(0,0,0)，9,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0)，G(4 AG 9{4,3,5}，{,3,0},A1C4由于AG与A1C所成的角为所以AGA1C122 cos25|AG||A1C|122arccos25由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为122 arccos2521．解（1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为Q(x,y)．当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y k(xa)b2y22y2由已知x111,x221（1）22y k(x a)b,y k(x a)b（2）1122由（1）得(x1x2)(x1x2)1y2)(y1y2)0，（3）(y1由（2）得2y1y2k(x1x2)2ak2b，（4）1x 2y1y2y1y2由（3）、（4）及x x，y，k，22x1x2得点Q的坐标知足方程2x2y22axby0（5）当x1x2时，k不存在，此时l平行于y轴，所以AB的中点Q必定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）明显点Q的坐标知足方程（5）综上所述，点Q的坐标知足方程2x2y22ax by0设方程（5）所表示的曲线为L，2x2y22ax by0,则由x2y21,2得(2a 2b2)x242b20ax由于8b2a2b21，由已知a2b21，22所以当a2b21时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）2当a2b21时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点2由于（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为2x2y22ax by0（2）由2x2y22ax by0,0，0），（0，b）x0,解得曲线L与y轴交于点（2x2y22ax by0,由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）0,当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且0b2，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且0 a 1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当0a 1且0b2(1a2)，即点P（a，b）在椭圆C内且不在座标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
2022年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知2z i =+（其中i 为虚数单位），则z = ． 2．（4分）已知集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，则A B = ．3．（4分）不等式10x x-<的解集为 ． 4．（4分）若tan 3α=，则tan()4πα+= ．5．（4分）设函数3()f x x =的反函数为1()f x -，则1(27)f -= ． 6．（4分）在3121()x x+的展开式中，则含41x 项的系数为 ．7．（5分）若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数m 的值为 ．8．（5分）已知在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则ABC ∆的外接圆半径为 ．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）10．（5分）在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为 ．11．（5分）已知111(),P x y ，222(),Px y 两点均在双曲线222:1(0)x y a aΓ-=>的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 ．12．（5分）已知函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，若将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12y x -=B ．1y x -=C ．13y x =D ．12y x =14．（5分）若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ac bd >D ．ad bc >15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A ．0B ．2C ．4D ．1216．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项判断正确的是( ) A ．若20222021S S >，则数列{}n a 是递增数列 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 是递增数列 C ．若数列{}n S 是递增数列，则20222021a a D ．若数列{}n T 是递增数列，则20222021a a三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O 、1O ，1AA 为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若14AA =，M 为1AA 的中点，求直线1MO 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过1OO 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为n S ． （1）若{}n a 是等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 是等差数列，2n S n ，求其公差d 的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，30=．为保护D处的一棵古树，有关部门划AD mAB m=，15定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生0.01m）态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到2（1）若20ADE∠=︒，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，A 、B 两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a =上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆Γ的右焦点，且6AFB π∠=，求Γ的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由； （3）设直线AD 、BC 分别交椭圆Γ于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为R ，现有两种对()f x 变换的操作：ϕ变换：()()f x f x t --；ω变换：|()()|f x t f x +-，其中t 为大于0的常数．（1）设()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，解方程：()2g x =； （2）设2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，解不等式：()()f x h x ；（3）设()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ；()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ．若12()()h x h x =恒成立，证明：函数()f x 在R 上单调递增．2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知2z i =+（其中i 为虚数单位），则z = 2i - ． 【解析】2z i =+，∴2z i =-．故答案为：2i -．【评注】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题． 2．（4分）已知集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，则A B = (1,2) ．【解析】集合(1,2)A =-，集合(1,3)B =，(1,2)AB ∴=．故答案为：(1,2)．【评注】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（4分）不等式10x x-<的解集为 (0,1) ． 【解析】由题意得(1)0x x -<，解得01x <<，故不等式的解集(0,1)．故答案为：(0,1)． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 4．（4分）若tan 3α=，则tan()4πα+= 2- ．【解析】若tan 3α=，则tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-．故答案为：2-． 【评注】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题． 5．（4分）设函数3()f x x =的反函数为1()f x -，则1(27)f -= 3 ．【解析】函数3()f x x =的反函数为1()f x -，整理得1()f x -=1(27)3f -=．故答案为：3． 【评注】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在3121()x x+的展开式中，则含41x 项的系数为 66 ．【解析】展开式的通项公式为312364112121()()k k k k kk T C x C xx--+==，由3644k -=-，得440k =，得10k =， 即1041112466T C x x -==，即含41x项的系数为66，故答案为：66．【评注】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x 的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数m 的值为 4 ．【解析】根据题意，若关于x ，y 的方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷多解，则直线2x my +=和168mx y +=重合，则有116m m ⨯=⨯，即216m =，解可得4m =±， 当4m =时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当4m =-时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故4m =．故答案为：4 【评注】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．8．（5分）已知在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则ABC ∆的外接圆半径为3． 【解析】在ABC ∆中，3A π∠=，2AB =，3AC =，利用余弦定理2222cos BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅，整理得BC ，所以2sin BCR A=，解得R = 【评注】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 17.（用数字作答）【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有33212A =种情况，即有12个符合题意的四位数， 当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有615-=个比2134大的四位数， 故有12517+=个比2134大的四位数，故答案为：17．【评注】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为 98- ．【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -， ∴(1,2)MP x x =--，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=---， ∴MP CP ⋅的最小值为98-．故答案为：98-． 【评注】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知111(),P x y ，222(),Px y 两点均在双曲线222:1(0)x y a aΓ-=>的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 [1,)+∞ ．【解析】设2P 的对称点322),(P x y -仍在双曲线右支，由1212x x y y >，得12120x x y y ->，即130OP OP ⋅>恒成立，13POP ∴∠恒为锐角，即90MON ∠︒，∴其中一条渐近线1y x a =的斜率11a，1a ∴， 所以实数a 的取值范围为[1,)+∞．故答案为：[1,)+∞．【评注】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，若将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-= 2 ．【解析】函数()y f x =为定义域为R 的奇函数，其图像关于1x =对称，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =， ()f x ∴是周期为4的周期函数，图像如图：将方程()1f x x =+的正实数根从小到大依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，则1lim()n n n x x +→∞-的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴1lim()2n n n x x +→∞-=．故答案为：2．【评注】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12y x -=B ．1y x -=C ．13y x =D ．12y x =【解析】12y x-==，定义域为{|0}x x >，11y x x-==，定义域为{|0}x x ≠， 13y x ==，定义域为R ， 12y x ={|0}x x ．∴定义域为R 的是13y x =．故选：C ．【评注】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 14．（5分）若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ac bd >D ．ad bc >【解析】对于A ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但a d b c +=+，故A 错误， 对于B ，a b c d >>>，即a b >，c d >，∴由不等式的可加性可得，a c b d +>+，故B 正确， 对于C ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但ac bd =，故C 错误，对于D ，令2a =，1b =，1c =-，2d =-，满足a b c d >>>，但ad bc <，故D 错误．故选：B ． 【评注】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A ．0B ．2C ．4D ．12【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点）， 相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B ．【评注】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项判断正确的是( ) A ．若20222021S S >，则数列{}n a 是递增数列 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 是递增数列C ．若数列{}n S 是递增数列，则20222021a aD ．若数列{}n T 是递增数列，则20222021a a【解析】如果数列11a =-，公比为2-，满足20222021S S >，但是数列{}n a 不是递增数列，所以A 不正确； 如果数列11a =，公比为12-，满足20222021T T >，但是数列{}n a 不是递增数列，所以B 不正确；如果数列11a =，公比为12，11()122(1)122nn n S -==-，数列{}n S 是递增数列，但是20222021a a <，所以C 不正确；数列{}n T 是递增数列，可知1n n T T ->，可得1n a >，所以1q ，可得20222021a a 正确，所以D 正确；故选：D ． 【评注】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O 、1O ，1AA 为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若14AA =，M 为1AA 的中点，求直线1MO 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过1OO 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．【解析】（1）因为1AA 为圆柱的母线，所以1AA 垂直于上底面，所以11MO A ∠是直线1MO 与上底面所成角，111112tan 21A M MO A O A ∠===，所以11arctan 2MO A ∠=． （2）因为圆柱过1OO 的截面为正方形，所以12AA =，所以圆柱的体积为22122V r h πππ==⋅⋅=， 圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⋅⋅=．【评注】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题． 18．（14分）已知在数列{}n a 中，21a =，其前n 项和为n S ． （1）若{}n a 是等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 是等差数列，2n S n ，求其公差d 的取值范围．【解析】（1）在等比数列{}n a 中，21a =，23S =，则12a =，∴公比12q =，则1(1)14(1)12n n n a q S q -==--， ∴1lim lim4(1)42n nn n S →∞→∞=-=； （2）若{}n a 是等差数列，则22212()22(23)2n n a a nS dn d n n -+⋅==+-，即(32)1n d -，当1n =时，1d ；当2n 时，132dn-恒成立，1[1,0)32n∈--，0d ∴．综上所述，[0,1]d ∈． 【评注】本题考查等差数列与等比数列前n 项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ） （1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【解析】（1）作DH EF ⊥，垂足为H ，则15tan2015tan5023.3EF EH HF m =+=︒+︒≈；（2）设ADE θ∠=，则15tan AE θ=，15tan(902)FH θ=︒-，1115221515tan 1515tan(902)(30tan 15cot 2)222ADE DFH ADFE S S S θθθθ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯︒-=+四边形2151tan 22512253(30tan 15)(3tan )22tan 4tan 2θθθθθ+=+⨯=+， 当且仅当13tan tan θθ=，即tan θ=时取等号，此时15tan AE θ==，最大面积为2450255.14m ≈． 【评注】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>，A 、B 两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a =上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆Γ的右焦点，且6AFB π∠=，求Γ的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由； （3）设直线AD 、BC 分别交椭圆Γ于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值． 【解析】（1）由题可得(0,1)B-，(,0)F c ，因为6AFB π∠=，所以1tan tan 6b AFB cc π∠====解得c =， 所以214a =+=，故Γ的标准方程为2214x y +=；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a -，(0,1)B -，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a =-，直线11:22AD y x a =+，交点为34(,)55a ，满足2223()45()15a a +=，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上； （3）(0,1)B -，(cos ,sin )P a θθ，则直线sin 1:1cos BP y x a θθ+=-，所以sin 1(,1)cos C a θθ+-，(,0)A a -，(cos ,sin )Q a θθ--，则直线sin :()cos AQ y x a a a θθ=+-，所以2sin (,)cos 1D a θθ-，所以222222sin cos sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 1cos sin 2sin 222CD θθθθθθθθθθθθθ+++=--=-----，设tan2t θ=，则11||2()21CD t t =+--，因为114a b a b ++，所以114411t t t t+=--+， 则||6CD ，即||CD 的最小值为6．【评注】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数()f x 的定义域为R ，现有两种对()f x 变换的操作：ϕ变换：()()f x f x t --；ω变换：|()()|f x t f x +-，其中t 为大于0的常数．（1）设()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，解方程：()2g x =； （2）设2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，解不等式：()()f x h x ；（3）设()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ；()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ．若12()()h x h x =恒成立，证明：函数()f x 在R 上单调递增． 【解析】（1）()2x f x =，1t =，()g x 为()f x 做ϕ变换后的结果，()2g x =，11()()(1)2222x x x g x f x f x --∴=--=-==，解得2x =． （2）2()f x x =，()h x 为()f x 做ω变换后的结果，()()f x h x ，2222|()||2|x x t x tx t ∴+-=+， 当2t x -时，()()f x h x 恒成立；当2tx >-时，222tx t x +，解得(12)x t +，或(12)x t -， 综上，不等式：()()f x h x 的解集为(,(1][(12),)t t -∞++∞． （3）证明：()f x 先做ϕ变换后得到()u x ，()u x 再做ω变换后得到1()h x ， ()()()u x f x f x t ∴=--，1()|()()[()()]|h x f x t f x f x f x t =+----， ()f x 先做ω变换后得到()v x ，()v x 再做ϕ变换后得到2()h x ， ()|()()|v x f x t f x ∴=+-，2()|()()||()()|h x f x t f x f x f x t =+----， 12()()h x h x =，()f x 在(,0)-∞上单调递增，|()()[()()]||()()||()()|f x t f x f x f x t f x t f x f x f x t ∴+----=+----，∴()()()(1)()()()()()()0()()0()()()()f x t f t f t f t f x t f x f x f x t f x t f x f x t f x f x f x t f x f x t +->--+->--⎧⎧⎪⎪+->+->⎨⎨⎪⎪>->-⎩⎩对0t >恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增．【评注】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2022年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析
2022年上海市春季高考预测数学试卷 （学生版）时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a = .2.已知复数z 满足13z i =-(i 是虚数单位)，则z i -＝ .3.不等式2512x x +<-的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________.6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 .8.已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = . 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2x B.sin x C. 2x D. 1x =14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°， 求PD 与AC 所成角的大小.18. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足-=千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴PA PB||||20正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QB千米，||||10-=千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）QC QD20. 已知函数()f x x=.（1）若1a=，求函数的定义域；（2）若0a≠，若()=有2个不同实数根，求a的取值范围；f ax a（3）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的 等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值.2022年上海市春季高考数学试卷（参考答案版）1时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.等差数列{}n a中，13,2a d==，则10a= .【答案】21【解析】101+921a a d==2.已知复数z满足13z i=-(i是虚数单位)，则z i-= .【解析】12z i i-=+=3.不等式2512x x +<-的解集为 . 【答案】(7,2)- 【解析】251(7)(2)722x x x x x +<⇒+-⇒-<<- 4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 . 【答案】4π【解析】24S rl ππ==5.求直线2x =-10y -+=的夹角为________. 【答案】6π 【解析】1212123(1,0),(3,1),cos 26n n n n n n πθθ⋅==-==⇒= 6.方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b = .【答案】0 【解析】11220a b D a b == 7.()1nx +的二项展开式中有且仅有3x 为最大值，则3x 的系数为 . 【答案】20【解析】316336,202r n rr n n T C x n r n n C -+=⇒-=⇒=-⇒== 8.已知函数()()3031x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = . 【答案】9 【解析】()()303111593131x xx x a a f x a a =+>=++-≥=⇒=++ 9. 在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 【答案】(4,0)(0,4)-【解析】由题意，(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，∴214a a q q ==∈(4,0)(0,4)-11. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合【答案】23【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组 合是不符题意的，∴54325555323C C C C +++-=11. 已知椭圆2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 【答案】12x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立24y cx y x c⎧=⎨=+⎩，∴(,2)P c c ，∴212PF F F ⊥，2122PF F F c ==，122PF c =，∴12(222)2221PF PF c a c +=+==⇒=-，即准线方程为12x c =-=-12. 已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是 【答案】25π 【解析】在单位圆中分析，由题意，n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中6AOx BOx π∠=∠=），∴3AOB πθ>∠=，∵对任意*n ∈N 要成立，∴*2πθ∈N ，即2k πθ=，*k ∈N ，同时3πθ>，∴θ的最小值为25π 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( )A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动 7点-8点 8点-9点 9点-10点10点-11点 11点-12点 30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟A. 2xB.sin xC. 2xD. 1x = 【答案】C14.已知集合{}220,{1}A x x x N x x =∈--=∈>-R R ∣∣，则（ ） A. A B ⊆ B. R R C A C B ⊆ C. A B ⋂=∅ D. A B ⋃=R 【答案】D15. 已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是（ ） A. ()f x 为偶函数且关于直线1x =对称 B. ()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 D. ()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案】D【解析】反例如图所示. 选项D ，易得()f n n =，n ∈Z16. 在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：① 存在△ABC ，使得0AB CE ⋅=；② 存在三角形△ABC ，使得CE ∥()CB CA +；成立的是（ ）A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立 【答案】B【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，① (12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，∴2(21)(1)20x x y -+--=， ∴2(21)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 明显存在，∴①成立； ② F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 交点即重心G ， ∵G 为AD 三等分点，E 为AD 中点，∴CE 与CG 不共线， 即②不成立；故选B三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD . （1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PD 与AC 所成角的大小. 【答案】（1）3233P ABCD V -=；（2)2arccos 6【解析】（1）∵正方形ABCD 边长为4，△PAB 为等边三角形，E 为AB 中点，∴23PE =，2132342333P ABCD V -=⨯⨯=；（2）如图建系，(0,0,4)P ，(2,4,0)D -，(2,0,0)A -，(2,4,0)C ，∴(2,4,4)PD =--，(4,4,0)AC =，∴82cos 6642||||PD AC PD AC θ⋅===⨯⋅， 即PD 与AC 所成角的大小为2arccos618. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-.（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）4cos()45A π-=，求c .【答案】（1）1b =,6c =（2）5302c =【解析】（1）sin 2sin 2A B a b =⇒=，∴1b =，222211cos 62214c C c +-==-⇒=⨯⨯；（2）472cos()cos 4510A A π-=⇒=，∴2sin 10A =，∵115cos sin 44C C =-⇒=，由正弦定理，2530sin sin 2c c A C =⇒=19.（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°）【答案】（1）221100300x y -=,P ;(2)19OQ ≈,Q 点位置北偏东66︒【解析】（1）10a =，20c =，∴2300b =，双曲线为221100300x y -=；直线:OP y =，联立双曲线，得(22P ； （2）①||||30QA QB -=，15a =，20c =，∴2175b =，双曲线为221225175x y -=；② ||||10QC QD -=，5a =，15c =，∴2200b =，双曲线为22125200y x -=；联立双曲线，得Q ，∴19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒20. 已知函数()f x x =. （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.【答案】（1）(,2][0,)x ∈-∞-+∞; (2)1(0,)4a ∈;(3)14a ≤-【解析】（1）()f x x =，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；（2）()f x x a ==+，设0x a t +=≥t =有2个不同实数根，∴整理得2a t t =-，0t ≥，同时0a ≠，∴1(0,)4a ∈；（3）当x a ≥-，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a ≤-时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x =，在(,2]a -∞-上递减，∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a ≤-时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a ≤-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减21. 已知数列{}n a 满足0n a ≥，对任意2n ≥，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列， 并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =， 求111r s t a a a +++++的最大值.【答案】（1）31a =;（2）见解析；（3）2164【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+， ∴231321a a a a =+⇒=，321324a a a a =+⇒=，经检验，31a =（2）∵1470a a a ===，∴322a a =，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2532a a a =-=-（舍），∴254aa =；∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍），∴268a a =；∴628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍），∴2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，2112102r r r r r r a a a a a a -----=⇒=⇒-=-，∴31112211111110()()1()()222222i r i i r r r r r a a a a a a a --+---=⇒==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-，*i ∈N ，∴1max 1()4r a +=，同理，21111111()1()()22224j s r j j s r r a a a ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅，*j ∈N ，∴1max 1()16s a +=，同理，1max 1()64t a +=，∴111r s t a a a +++++的最大值为21642022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k2，得k=k（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．解：（1）∵f（x）=log2=1，∴=2，解得；（2）令g（x）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π 2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。
2022年上海市春季高考数学试卷-含答案
2022年上海市春季高考数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数定义域为R的是( )A. y=x−12B. y=x−1C. y=x13D. y=x122. 若a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是( )A. a+d>b+cB. a+c>b+dC. ac>bdD. ad>bc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A. 0B. 2C. 4D. 124. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项判断正确的是( )A. 若S2022>S2021，则数列{a n}是递增数列B. 若T2022>T2021，则数列{a n}是递增数列C. 若数列{S n}是递增数列，则a2022≥a2021D. 若数列{T n}是递增数列，则a2022≥a2021第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z =2+i(其中i 为虚数单位)，则z −=______． 6. 已知集合A ={−1,2}，集合B ={1,3}，则A ∩B =______． 7. 不等式x−1x<0的解集为______．8. 若tanα=3，则tan(α+π4)=______．9. 设函数f(x)=x 3的反函数为f −1(x)，则f −1(27)=______． 10. 在(x 3+1x )12的展开式中，则含1x 4项的系数为______．11. 若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为______． 12. 已知在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =3，则△ABC 的外接圆半径为数为______．13. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为______.(用数字作答)14. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 15. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点均在双曲线Γ：x 2a2−y 2=1(a >0)的右支上，若x 1x 2>y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数y =f(x)为定义域为R 的奇函数，其图像关于x =1对称，且当x ∈(0,1]时，f(x)=lnx ，若将方程f(x)=x +1的正实数根从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则n →∞lim(x n+1−x n )=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。
2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为 ． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 ．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 ． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为 ．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ． 【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3． 【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3． 【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<， 所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π． 【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π． 【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+， 可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =． 故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ． 【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+， 变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10． 【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194． 【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194． 【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种． 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为． 【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴． 【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ． 【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ． 【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ． 【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ． （1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积； （2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =． （1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->， 即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离， 所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=， 由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--， 则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-； 综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利． 【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离； （2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=． （2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+， 直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-． （3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--， 联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++， 要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质； （2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围； （3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值． 【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞． （3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数； 当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数， 综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。
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2010上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数1
sin 22
y x =的最小正周期T = 。
答案：π
解析：由周期公式得222
T π
π
πω
=
=
=。
2、已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a = 。
答案：0
解析：由奇函数定义有()()0f x f x -+=得222()2()220a x x ax x ax -+-++==，故
0a =。
3、计算：21i
i
=+ （i 为虚数单位） 答案：1i +
解析：
22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i -+===+++-。
4、已知集合1
{|||2},{|0}1
A x x
B x x =<=>+，则A B ⋂= 。
答案：{|12}x x -<<
解析：由题知{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>-，故{|12}A B x x ⋂=-<<.
5、若椭圆
22
12516
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 答案：4
解析：由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6PF =,故2||4PF =。
6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。
已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。
若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 。
答案：80。
解析：由题可知抽取的比例为701
140020
k =
=，故中年人应该抽取人数为1
16008020
N =⨯
=。
7、已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的标准方程是 。
答案：22
3122
x y -=。
解析：设双曲线的方程为223(0)y x λλ-=≠，将点(1,1)代入可得2λ=-。
故答案为
223122
x y -=。
8、在2
6
1
(2)x x
+二项展开式中，常数项是 。
答案：60。
解析：由通项公式2661231661
(2)
()2r
r
r r r r r T C x C x x
---+==，令1230r -=，得4r =，故4256260T C ==。
9、连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为 （结果用数值表示） 答案：
112。
解析：点数和为的结果为（1，3），（2，2），（3，1）共3个，而总的试验结果为36个，由
古典概型概率计算公式可得31
3612
m P n ===。
10、各棱长都为1的正四棱锥的体积V = 。
答案：
26
解析：由题知斜高'
32h =
，则22h =，故1122
13326
V Sh ==⋅⋅=。
11、方程21
24
1
0139
x x =-的解集为 。
答案：{3,2}-
解析：
222124
1921243180139
x
x x x x x =+--+-=-，即2
60x x +-=，故123,2x x =-=
12、根据所示的程序框图（其中[]x 表示不大于x 的最大整数），输出r = 。
答案：
73
解析：由框图的算法原理可知：5a =，7b =，1n =，()751n b a -=-<；2n =，
()2(75)1n b a -=-<；3,n =()3(75)1n b a -=->，[35]6m ==，
1617
33
m r n ++=
==，输出73r =。
答案：2600π
解析：将侧面展开可得(5080)202600S ππ=+⨯=。
答案：1。
解析：不妨取1231,23,45x x n x n ==+=+，…… 故
21(23)(45)(21)
n S n n n =++++++- [135(21)][24(1)2]n n n n n =++++-++++- 2232n n n n n =+⨯=+
故3
2
333
1
1lim lim lim 11
111n n n n S n n n n n n
→∞→∞→∞+
+===+++，故答案为1.
答案：D
解析：由直线的位置关系可知,a c 可能平行，可以相交，也可以异面，故选D 。
答案：B
解析：由1212121(1)(1)0M N a a a a a a -=--+=-->，故M N >，选B.
答案：B
解析：由2(1)kx x +=即22(21)10k x k x +-+=，22(21)4410k k k ∆=--=-+>，则
1
4
k <。
故“0k ≠”推不出“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”，但“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”则必有“0k ≠”。
故选B.
答案：C
解析： 设(,)P m n ，任意给点(,)M x y 关于(,)P m n 的对称点为(2,2)N m x n y --，由
1()42x y f x ==
-，212(2)42m x n y f m x --=-=-联立可解得，可知1
2,8
m n ==，故
选C 。