初三代数几何综合问题(难)
中考数学复习专题三：代数、三角、几何综合问题
中考数学复习专题3 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析 例1．有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm ，如图1，将直尺的矩边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移如图2，设平移的长度为xcm （•0≤x ≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm 2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0<x ≤4时（如图2），求S 关于x 的函数关系式；（3）当4<x<10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值（同学可在图3、•图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt △ADG 中，∠A=45°， ∴DG=AD=x ．同理EF=AE=x+2，∴S 梯形DEGF =12（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2．（3）①当4<x<6时，（如图5） GD=AD=x ，EF=EB=12-（x+2）=10-x ， 则S △ADG =12x -2，S △BEF =12（10-x ）2， 而S △ABC =12×12×6=36，∴S=36-12x 2-12（10-x ）2=-x 2+10x-14，S=-x 2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S 最大值=11．②当6≤x<10时（如图6）， BD=BG=12-x ，BE=EF=10-x ，S=12（12-x+10-x ）×2=22-2x ， S 随x 的增大而减小，所以S ≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S 最大值=11．例2．如图所示，点O 2是⊙O 1上一点，⊙O 2与⊙O 1相交于A 、D 两点，BC⊥AD，垂足为D ，分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C 两点，延长DO 2交⊙O 2于E ，交BA 的延长线于F ，BO 2交AD 于G ，连结AG ．•（1）求证：∠BGD=∠C ；（2）若∠DO 2C=45°，求证：AD=AF ；（3）若BF=6CD ，且线段BD 、BF 的长是关于x 的方程x 2-（4m+2）x+4m 2+8=0•的两个实数根，求BD 、BF 的长．解析：（1）∵BC ⊥AD 于D ， ∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB 、AC 分别为⊙O 1、⊙O 2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C ．（2）∵∠DO 2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O 2D=O 2C ，∴∠C=∠O 2DC=12（180°-∠DO 2C ）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O 2DC=∠ABD+∠F ， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF ．（3）∵BF=6CD ，∴设CD=k ，则BF=6k ． 连结AE ，则AE ⊥AD ，∴AE ∥BC ，∴AE AFBD BF∴AE ·BF=BD ·AF ． 又∵在△AO 2E 和△DO 2C 中，AO 2=DO 2 ∠AO 2E=∠DO 2C ， O 2E=O 2C ，∴△AO 2E≌△DO 2C ，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y 随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、•B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin ∠OAB=45，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； （2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，•表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L 与⊙O 相交于点A ，直径AB=6，点P 在L•上移动，连结OP 交⊙O 于点C ，连结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．（1）若AP=4，求线段PC 的长；（2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．（•答案要求保留根号）LyM CBA xPO N考前热身训练1．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点A 为旋转中心，AM 边从与AO•重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP•上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM 的面积为S ，若cos α、OA•是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．2．如图，已知P 、A 、B 是x 轴上的三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），•且PA ：AB=1：2，以AB 为直径画⊙M 交y 轴的正半轴于点C ． （1）求证：PC 是⊙M 的切线；（2）在x 轴上是否存在这样的点Q ，使得直线QC 与过A 、C 、B•三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N ，使得圆心N 在x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线PC 相切于D ，•问将过A 、C 、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过P 、D 、A 三点？为什么？M A Q P O N答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，•PN=5，O′P=52<PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO•′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，•∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4<m<0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．•在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BN AB BP OB，∴BN=52，•∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM ，而PB=BC ，∴OM=BC ，由切线长定理知MC=MP ，∴MC=OB ， ∴四边形MOBC 是平行四边形， 又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC 是矩形．②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ， ∴BN=MN ．因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在，• 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN=BM ′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB ． 3．（1）∵L 与⊙O 相切于点A ，∴∠4=90°，∴OP 2=OA 2+AP 2， ∵OB=OC=12AB=3，AP=4， ∴OP 2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO ∽△BAD ，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO ，∴OB=OC ，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°． 在Rt △BAD 中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×3． 过点O 作OE ⊥BC 于点E ∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=2，∴，∴S 四边形OADC =S △BAD -S △BOC =12AB ·AD=12BC ·OE=12×6×12××3294154．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cos α=12，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形，•∴ON=OA=2，当AM 旋转到AM ′时，点N 移动到N ′， ∵∠OAM ′=30°，∠POQ=∠M ′AN•′=60°，∴∠M ′N ′A=30°，在Rt △OAN 中，ON ′=2AO=4， ∴NN ′=ON ′-ON=2，∴点N 移动的距离为2．（2）易知△OAN ∽△AMN ，∴AN 2=ON ·MN ．（3）∵MN=y-x ，∴AN 2=y 2-xy ，过A 点作AD ⊥OP ，垂足为D ，可得OD=1， ∴DN=ON-OD=y-1，在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=y 2-2y+4， ∴y 2-xy=y 2-2y+4，即y=42x-． ∴y>0，∴2-x>0，即x<2，又∵x ≥0，∴x 的取值范围是：0≤x<2．（4）S=12·OM ·，∵S 是x ，∴0≤S<2·2．即0≤ 2．（1）易知⊙M 半径为2，设PA=x ，则x ：4=1：2⇒x=2，由相交弦定理推论得OC=OA ．OB=1×3，2=PO 2+OC 2=32+2=12，PM 2=42=16，MC 2=22=4，∴PM 2=PC 2+MC 2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A 、C 、B 三点的抛物线的解析式为（x+1）（x-3），•假设满足条件的Q 点存在，坐标为（m ，0），直线QC 的解析式为， ∵直线QC 与抛物线只有一个公共点，∴方程-3（x+1）（x-3）=-m∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q 点存在，•坐标为（-32，0）；（3）连结DN ，作DH ⊥PN ，垂足为H ，设⊙N 的半径为r ，则∵ND ⊥PC ， ∴ND ∥MC ，∴DN PN MC PM =，∴224r r -=， ∴r=23，∵DN 2=NH ·NP ，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴D（-2∵抛物线（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-3（x+•1）（x+3）又经验证D是该抛物线上的点，∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．。
初中数学代数与几何综合题
初中数学代数与⼏何综合题初中数学代数与⼏何综合题代数与⼏何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、⽅程与不等式、函数，⼏何中的三⾓形、四边形、圆等图形的性质，以及解直⾓三⾓形的⽅法、图形的变换、相似等内容有机地结合在⼀起，同时也融⼊了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。
经常考察的题⽬类型主要有坐标系中的⼏何问题（简称坐标⼏何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与⼏何综合题，第⼀，需要认真审题，分析、挖掘题⽬的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第⼆，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进⾏恰当地组合，进⼀步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使⽤分析综合法及⽅程与函数的思想、转化思想、数⾏结合思想、分类与整合思想等数学思想⽅法，能更有效地解决问题。
第⼀类：与反⽐例函数相关1. （09北京）如图，点 C 为O O 直径AB 上⼀点，过点 C 的直线交O O 于点D 、E 两点，且/ ACD=45°，DF _AB 于点 F ，EG _ AB 于点G .当点C 在AB 上运动时，设 AF =x ， DE = y ，下列-a -2、、ab b > 0， a b > 2、、ab ，只有当 a = b 时，等号成⽴.图象中，能表⽰ y 与x 的函数关系的图象⼤致是（经过正⽅形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C3. （09延庆）阅读理解：对于任意正实数 a ，2.如图，在平⾯直⾓坐标系中y结论：在a b > 2 ab ( a , b 均为正实数)中，若 ab 为定值p ，则a b > 2 p ,12(2)探索应⽤：已知A(-3,0) , B(0,_4)，点P 为双曲线y (x ■ 0)上的任意⼀点,过点P 作PC _ x 轴于点C , PD _ y 轴于D . 求四边形ABCD ⾯积的最⼩值，并说明此时四边形ABCD 的形状.1 、y x 相交4(m , n )(在A 点左侧)是双曲线y =上的动点.过点B 作xBD // y 轴交x 轴于点D.过N(0, - n)作NC // x 轴交双曲线y ⼆⾊于点E ,交BD 于点C .x(1) 若点D 坐标是(―坐标及k 的值. (2) 若B 是CD 的中点，为4,求直线CM(3) 设直线 AM 、BM 分别与y 轴相交于 P 、Q 两点，且 MA=pMP , MB=qMQ ,求p - q 的值.285. (09.5西城)已知：反⽐例函数y 和y在平⾯直⾓坐标系 xOy 第⼀象限中的图 xx82只有当a =b 时，a - b 有最⼩值2 p .根据上述内容，回答下列问题:(1)若m ，只有当m ⼯时,m ?丄有最⼩值mk4. (08南通)已知双曲线 y 与直线x于A 、B 两点.第⼀象限上的点 Mk 8，0)，求A 、B 两点四边形OBCE 的⾯积的解析式?象如图所⽰，点A在y 的图象上，AB // y轴，与y 的图象交于点B, AC、BDx x与x轴平⾏，分别与y=2、y=8的图象交于点C、D.x x(1) 若点A的横坐标为2,求梯形ACBD的对⾓线的交点F的坐标；(2) 若点A的横坐标为m,⽐较△ OBC与⼛ABC的⾯积的⼤⼩；(3) 若⼛ABC与以A、B、D为顶点的三⾓形相似，请直接写出点A的坐标.点F 的坐标为(2,17).5-S ABC . (3)点A 的坐标为(2,4)函数y = m ( x - 0 , m 是常数)的图象经过 A(1,4),xB(a ，b)，其中a 1 .过点A 作x 轴垂线，垂⾜为C ，连结 AD ，DC ，CB .(1) 若△ ABD 的⾯积为4,求点B 的坐标； (2) 求证：DC // AB ；(3) 当AD =BC 时，求直线 AB 的函数解析式. 答案： (3)所求直线 AB 的函数解析式是 y = -2x ? 6或y = -x 5⼆、与三⾓形相关7. (07北京)在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，抛物线y = mx 2 + 2 .3 mx + n 经过P 「3, 5),A(0, 2)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 B,将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线 I,直线I 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB, OC, BC 距离相等的点的坐标.答案：(1)抛物线的解析式为：y = ^x 2- 3x+ 2 3 3(2) 直线I 的解析式为y =守x(3) ⾄煩线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为：M 1(-"^, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-2.3, 0).36.( 07上海)如图，在直⾓坐标平⾯内,(1)点B 的坐标为3,; .3⑺.DC // AB .过点2&(08北京)平⾯直⾓坐标系 xOy 中，抛物线y = x + bx + c 与x 轴交于A, B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,点B 的坐标为(3, 0),将直线y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过 B, C 两点.(1) 求直线BC 及抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 D,点P 在抛物线的对称轴上，且⼄APD =WACB,求点P 的坐标；⑶连结CD,求￡OCA 与MOCD 两⾓和的度数.答案：(1)直线BC 的解析式为y = -x + 3.抛物线的解析式为y = x 2 - 4x + 3.(2) 点P 的坐标为(2, 2)或(2, -2). (3) . OCA 与.OCD 两⾓和的度数为 45 ... 2 29. (10.6密云) 已知：如图，抛物线 y = -X mx 2m (m 0)与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上⼀动点(点C 与点A 、B 不重合)，D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E .(1) 求A 、B 两点的坐标(⽤含 m 的代数式表⽰)；CE(2 )求的值；AE物线和直线BE 的解析式.且OB = OC ⼆3OA . (I )求抛物线的解析式；(II) 探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以点P,代C 为顶点的三⾓形为直⾓三⾓形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；1(III) 直线y x 1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶(3)当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且SCED答案: (1) A (-m , 0), B ( 2m , 0).(2) CEAE(3) 抛物线的解析式为 y = -X 22x 8 .直线BE 的解析式为4丄16 y x3310.(崇⽂ 09)如图，抛物线y =ax 2bx - 3与x 轴交于A, B 两点，与y 轴交于点C ,求抛3点?若.DBC ⼆：…CBE = ■-,求爲「？的值. 答案：（I ）y = x 2-2x-3（II ）R（0,1）P 2（9,0） , P 3（0,0）3（IIIDBO EOBC =45 .11. (11.6东城)如图，已知在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直⾓梯形 OABC 的边0A 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA = AB = 2, OC = 3，过点B 作BD 丄BC ,交OA于点D .将/ DBC 绕点B 按顺时针⽅向旋转，⾓的两边分别交正半轴于点E 和F .(1) 求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2) 当BE 经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF 的长；(3) 在抛物线的对称轴上取两点 P 、Q (点Q 在点P 的上⽅)，且PQ = 1,要使四边形 BCPQ 的周长最⼩，求出 P 、Q 两点的坐标.答案：（1） y - -2x 24x 2 .333⼀ 2(3)点P 的坐标为(1,3、与⾯积有相关12. ( 11.6通县)已知如图， AABC 中，AC =BC , BC 与x 轴平⾏，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴上，抛物线y =ax 2 -5ax - 4经过：ABC 的三个顶点，(1) 求出该抛物线的解析式；(2) 若直线y ⼆kx 7将四边形 ACBD ⾯积平分，求此直线的解析式 .(3) 若直线y =kx b 将四边形ACBD 的周长和⾯积同时分成相等的两部分，请你确定y = kx ? b 中k 的取值范围.2 2 4⑵由 y 「2x 3x 2 =- 2（x-1）2 8 3 3CF = FM + CM y 轴的正半轴、x 轴的。
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
中考数学几何经典难题(标准答案)
中考数学几何经典难题(标准答案)中考数学几何经典难题（标准答案）
题目一
已知直角三角形ABC，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm。
求三角形ABC的斜边AC的长度。
解答一
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，斜边AC的长度可以通过计算得到：
AC² = AB² + BC²
AC² = 3² + 4²
AC² = 9 + 16
AC² = 25
根据开方运算，可以得到AC的长度为5cm。
题目二
已知等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=10cm，CD=16cm，AD=BC=6cm，求梯形ABCD的面积。
解答二
等腰梯形的面积可以通过以下公式计算：
其中，a和b分别表示上底和下底的长度，h表示梯形的高。
根据已知条件可以得到：
上底a = AB = 10cm
下底b = CD = 16cm
高h = AD = BC = 6cm
将这些值代入公式进行计算：
面积 = ((a + b) * h) / 2
面积 = ((10 + 16) * 6) / 2
面积 = (26 * 6) / 2
面积 = 156 / 2
面积 = 78
所以，梯形ABCD的面积为78平方厘米。
以上就是中考数学几何的两个经典难题的标准答案。
希望对你有帮助！。
九年级数学代数和几何的综合专题
精典专题七代数与几何的综合问题一、探究与证明【例1】【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．二、探究与计算【例2】（盐城）（12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF⊥AB，垂足为F ．求证：PD+PE=CF ．小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG⊥CF，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ．【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；三、坐标与几何例3.如图，抛物线y=21（x-3）2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ，求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．四、二次函数与存在性 例4.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=223212++-=x x 的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．过动点H （0，m ）作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数 y 223212++-=x x 的图象相交于点D ，E ． （1）写出点A ，点B 的坐标；（2）若m ＞0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线l 上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【当堂训练】1.如图，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．2.（绍兴中考）（1）如图1，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ．（2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN 的长．3.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P .（1）如图1，若四边形ABCD 是正方形.①求证：△AOC 1≌△BOD 1.②请直接写出AC 1与BD 1的位置关系.（2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =5，BD =7，设AC 1=k BD 1.判断AC 1与BD 1的位置关系，说明理由，并求出k 的值.（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =5，BD =10，连接DD 1，设AC 1=kBD 1.请直接写出k 的值和2121)(kDD AC 的值.4.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=21AP 时，求t 的值； （3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=31x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．。
(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)
中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点 延长线于点P ，连接BC •（1） 求证： PCA B ；（2） 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点 重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线 理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ， 解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。
2022年中考复习《代数几何综合》专项练习附答案
代数几何综合1、〔2021年潍坊市压轴题〕如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不管k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . 〔2〕由〔1〕知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 〔3〕由〔1〕知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 那么〔1〕式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以〔t+2〕(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入〔2〕得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P 〔0,2〕，使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
初三数学中考复习第十二讲代数综合问题.docx
勲趺rg存皇第十二讲代数综合问题【典型例题1】已知直线y = -% 4-b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2相交于B、C两点，与x轴交于点A, n点3的坐标为（2, 1）.（1）分别求直线与抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点Z）,使S QS=S MBC?如果存在，求出这样的点D，如果不存在，说明理由.解：（1）°・°直线y = -x + b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2经过点B （2, 1）,/. l=-2+b, l=8+2m+m+2。
・：b=3, m=-3 o・・・直线的表达式为y = 一兀+ 3 ,抛物线的表达式为y = 2兀2 _ 3兀-1。
（2）假设抛物线上存在点D （x, y）,使Sg初=S®c。
由题意，得点A的坐标为（3, 0） o兀=-1,解得y = 4.■•点C的朋标为（・1, 4）。
•直线y = -x + b与y轴相交的交点处标为（0, 3）,•S AO BC=匸O2Q _1 2 _9•^AA（）D=—X• y =— o•y二土3。
・ 3 = 2x2 -3x-l ng-3 = 2x2 -3x-l o・・・2兀2 —3x-4 = 0或2/—3兀+ 2 = 0 （此方程无实数解，舍去）。
解得“3土阿。
4・・・存在这样的点D,使得=S'ORC，此吋点D的他标为（3 +顷,3）3_阿,3）o4 4【知识点】直线与抛物线的表达式，直线与坐标轴的交点坐标，三角形的而积，解一元二次方程等。
【基本习题限时训练】1.抛物线y=ax2+bx-l与y轴交于点A,与x轴交于点B （5, 0）和点C （-3, 0）,那么AABC的而积等于( )(A)2；(B) 4；(C) 6；(D) 8O答案:Bo2.如果一次函数y=ax+b和二次函数y=x2+bx-3的图像都经过点(1,3),那么a与b的值分别为( )(A)・2, 5；(B) 2, 5；(C) 5,・2；(D) 5, 2。
中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习(含答案解析)
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习（含答
案解析）
几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某
个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，难易程度多为难题、压轴题。
务必掌握求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、
定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造
二次函数等。
代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
特别注意如果所列方程为分式方程，需检验增根！
具体例题题型如下：。
最新-中考压轴题代数几何综合第2部分 精品
代几综合点睛提分4、动点与平行四边形问题兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．【解析】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0），则有⎪⎩⎪⎨⎧02440416 ＝＋＋＝＝＋－－c b a c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧4121－ ＝＝＝c b a ∴抛物线的解析式为y ＝21x2＋x －4 （2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，21m2＋m －4）则AD ＝m ＋4，MD ＝－21m2－m ＋4 ∴S＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO ＝21(m ＋4)(－21m2－m ＋4)＋21(－21m2－m ＋4＋4)(－m )－21×4×4 ＝－m2－4m （－4＜m ＜0）即S＝－m2－4m ＝－(m ＋2)2＋4∴S 最大值＝4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（－4，4），（4，－4） （－2＋52，2－52），（－2－52，2＋52）【例2】 如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1），∴设y ＝a (x －2)2－1将C （0，3）代入上式，得3＝a (0－2)2－1 ∴a ＝1 ∴该抛物线的函数关系式为y ＝(x －2)2－1即y ＝x2－4x ＋3（2）如图1，有两种情况：①当点P 为直角顶点时，点P 与点B 重合令y ＝0，得x2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 ·················· 4分∵点A 在点B 的右侧，∴B （1，0），A （3，0） ··············· 5分 ∴P 1（1，0） ······························································ 6分 ②当点A 为直角顶点时∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∴∠OAD 2＝45°当∠D 2AP 2＝90°时，∠OAP 2＝45°，∴AO 平分∠D 2AP 2 又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称 设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 将A （3，0），C （0，3）代入得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b 3＝b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3 ∴y ＝－x ＋3∵D 2在y ＝－x ＋3上，P 2在y ＝x2－4x ＋3上∴设D 2（x ，－x ＋3），P 2（x ，x2－4x ＋3）∴(－x ＋3)＋(x2－4x ＋3)＝0，即x2－5x ＋6＝0解得x 1＝2，x 2＝3（舍去）∴当x ＝2时，y ＝x2－4x ＋3＝22－4×2＋3＝－1∴P 2的坐标为P 2（2，－1）（即为抛物线顶点） ················· 9分 ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，－1） ··························· 10分 （3）由题（2）知，当点P 的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形 当点P 的坐标为P 2（2，－1）（即顶点Q ）时图1如图2，平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于点F当AP ＝FE 时，四边形APEF 是平行四边形 ∵P （2，－1），∴可令F （x ，1）∴x2－4x ＋3＝1，解得x 1＝2－2，x 2＝2＋2故存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形，点F 的坐标为： F 1（2－2，1），F 2（2＋2，1）【例3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】 设该抛物线的表达式为y ＝ax2＋bx ＋c ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧－－＝＝＋＋＝＋10390c c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧132 31 －－＝＝＝c b a∴所求抛物线的表达式为y ＝31x2－32x －1（2）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可图2又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个当x ＝4时，y ＝35；当x ＝－4时，y ＝7∴P 1（4，35），P 2（－4，7） ①当AB为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 ∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个当x ＝2时，y ＝－1∴P 3（2，－1）综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为： P 1（4，35），P 2（－4，7），P 3（2，－1）【例4】 已知抛物线y ＝x2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如图（2），点P 在直．线．OC ．．上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图【解析】 （1）∵B （3，－4），点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，A （0，－4）把A （0，－4）、B （3，－4）代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－49＋3b ＋c ＝－4 ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3c ＝－4 ∴抛物线的解析式为y ＝x2－3x －4（2）如图（1），连结AB ，作PD ⊥y 轴，则D （0，41x ） S 梯形ABPD＝21(x ＋3)(41x ＋4)＝81x2＋819x ＋6 S △AOB＝21×3×4＝6，S △DOP＝21×x ×41x ＝81x2∴y ＝S 梯形ABPD －S △AOB －S △DOP＝819x （3）平移线段OB ，使点B 落在直线y ＝41x 上，落点为P ，点落在抛物线上，落点为Q ，则四边形OBPQ 为平行四边形 设P （x ，41x ），∵O （0，0），B （3，－4）∴Q （x －3，41x ＋4）∵点Q 在抛物线上，∴41x ＋4＝(x －3 )2－3( x －3)－4整理得：4x2－37x ＋40＝0，解得：x ＝8或x ＝45∴P 1（8，2），P 2（45，165） 平移线段OB ，使点O 落在直线y ＝41x 上，落点为P ，点B 落在抛物线上，落点为Q ，则四边形OBQP 为平行四边形设P （x ，41x ），∵O （0，0），B （3，－4），∴Q （x ＋3，41x －4）∵点Q 在抛物线上，∴41x －4＝( x ＋3 )2－3( x ＋3)－4整理得：4x2＋11x ＝0，解得：x ＝0（舍去）或x ＝－411∴P 3（－411，－1611）平移线段OP 3，使点P 3与点O 重合，则点O 落在直线y ＝41x 上点P 4处，四边形OPBQ 为平行四边形∴P 4（411，1611）综上所述，符合条件的点P 有4个，分别是：P 1（8，2），P 2（45，165），P 3（－411，－1611），P 4（411，1611）图（2）图（1）【例5】 如图，抛物线交x 轴于点A （－2，0），点B （4，0），交y 轴于点C （0，－4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）若直线y ＝－x 交抛物线于M ，N 两点，交抛物线的对称轴于点E ，连接BC ，EB ，EC ．试判断△EBC 的形状，并加以证明； （3）设P 为直线MN 上的动点，过P 作PF ∥ED 交直线MN 下方的抛物线于点F ．问：在直线MN 上是否存在点P ，使得以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 及相应的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）∵点A 、B 、C 均在此抛物线上 ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝－4∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝21b ＝－1c ＝－4∴所求的抛物线的解析式为y ＝21x2－x －4 ，顶点D 的坐标为（1，－29） （2）△EBC 的形状为等腰三角形证明：（法一）∵直线MN 的函数解析式为y ＝－x ∴ON 是∠BOC 的平分线∵B 、C 两点的坐标分别为（4，0），（0，－4） ∴CO ＝BO ＝4∴MN 是BC 的垂直平分线 ∴CE ＝BE即△ECB 是等腰三角形（法二）∵直线MN 的函数解析式为y ＝－x ∴ON 是∠BOC 的平分线 ∴∠COE ＝∠BOE∵B 、C 两点的坐标分别为（4，0）、（0，－4） ∴CO ＝BO ＝4又∵OE ＝OE∴△COE ≌△BOE ∴CE ＝BE 即△ECB 是等腰三角形（法三）∵点E 是抛物线的对称轴x ＝1和直线y ＝－x 的交点 ∴E 点的坐标为（1，－1）∴利用勾股定理可求得CE ＝2213＋＝10，BE ＝2213＋＝10∴CE ＝BE即△ECB 是等腰三角形 （3）解：存在 ∵PF ∥ED∴要使以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF ＝ED ∵点E 是抛物线的对称轴x ＝1和直线y ＝－x 的交点 ∴E 点的坐标为（1，－1） ∴ED ＝－1－(－29)＝27 ∵点P 是直线y ＝－x 上的动点 ∴设P 点的坐标为（k ，－k ） 则直线PF 的函数解析式为x ＝k ∵点F 是抛物线和直线PF 的交点 ∴F 的坐标为（k ，21k2－k －4） ∴PF ＝－k －(21k2－k －4)＝－21k2＋4 ∴－21k2＋4＝27∴k ＝±1 当k ＝1时，点P 的坐标为（1，－1），F 的坐标为（1，－29） 此时PF 与ED 重合，不存在以P 、F 、D 、E 为顶点的平行四边形 当k ＝－1时，点P 的坐标为（－1，1），F 的坐标为（－1，－25） 此时，四边形PFDE 是平行四边形5、动点与梯形问题兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用一次函数与二次函数联立求交点坐标【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上． （1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t 的值．【解析】 （1）∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB ＝OC ＝4∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2代入y ＝41x2＋1，得A （2，2），B （－2，2） ∴M （0，2） （2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM 则QH ＝y ，PH ＝x －t由△PHQ ∽△COM ，得：2y ＝4tx ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝41x2＋1上∴t ＝－21x2＋x －2当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2 ∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ②分两种情况讨论：ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍 即2＝2(41x2＋1)，解得x ＝0 ∴t ＝－21×02＋0－2＝－2 ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上∵CM ∥PQ ，CM ＝21PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍 即41x2＋1＝2×2，解得：x ＝±32 当x ＝－32时，得t ＝－21×(－32)2－32－2＝－8－32 当x ＝32时，得t ＝－21×(32)2＋32－2＝32－8【例2】 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠BAD ＝60°，E 为CD 边中点，点P 从点A开始沿AC 方向以每秒32cm 的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时． ①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x ＝0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．【解析】 （1）①由题意得∠BAO ＝30°，AC ⊥BD∵AB ＝2，∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3∴OP ＝3－32x ②如图1，过点E 作EH ⊥BD 于H ，则EH 为△COD 的中位线 ∴EH ＝21OC ＝23，∵DQ ＝x ，∴BQ ＝2－xOEACQD B H图1POEACQD BP∴y ＝S △BPQ＋S △BEQ＝21(2－x )(3－32x ＋23)＝3x2－4311x ＋233（2）能成为梯形，分三种情况：ⅰ）如图2，当PQ ∥BE 时，∠PQO ＝∠DBE ＝30°∴OQ OP ＝tan30°＝33即x x --1323＝33，∴x ＝52 此时PB 不平行QE ，∴x ＝52时，四边形PBEQ 为梯形 ⅱ）如图3，当PE ∥BQ 时，P 为OC 中点∴AP ＝233，即32x ＝233，x ＝43此时，BQ ＝2－x ＝45≠PE ，∴x ＝43时，四边形PEQB 为梯形ⅲ）如图4，当QE ∥BP 时，△QEH ∽△BPO∴OP HE ＝OB HQ ，∴33223-x ＝121-x ，∴x ＝1（x ＝0舍去） 此时，BQ 不平行于PE ，∴x ＝1时，四边形PEQB 为梯形 综上所述，当x ＝52或43或1时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形是梯形图4OEACQ D B H P 图2OEACQ D B HP图3OE AC QD B HP【例3】 如图1，直线AB 交x 轴于点A （2，0），交抛物线y ＝ax2于点B （1，3），点C到△OAB 各顶点的距离相等，直线AC 交y 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式； （2）当x ＞0时，在直线OC 和抛物线上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 是特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，抛物线的解析式和点D 的坐标不变．当x ＞0时，在直线y ＝kx （0＜k ＜1）和抛物线上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 是以OD 为底的等腰梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 （1）∵抛物线y ＝ax2经过点B （1，3），∴3＝a ×12，∴a ＝3∴抛物线的解析式为y ＝3x2（2）设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∵它过点A （2，0），B （1，3）∴⎩⎨⎧0＝2k 1＋b 13＝k 1＋b 1 解得⎩⎨⎧k 1＝－3b 1＝32∴y ＝－3x ＋32又∵点C 到△OAB 各顶点的距离相等，即点C 是△OAB 三边的垂直平分线的交点 如图1，连结BC 并延长交OA 于A ，则BE ⊥OA ，OE ＝AE ∴点E 的坐标为（1，0）在Rt △OEC 中，CE ＝OE ²tan30°＝33，∴C （1，33） 设直线OC 的解析式为y ＝k 2x ，则33＝k 2×1，∴k 2＝33 ∴y ＝33x 设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ＋b 3，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 333＝k 3＋b 3解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－33b 3＝332∴y ＝－33x ＋332图2图1∵直线AC 交y 轴于点D ，则点D （0，332），∴OD ＝332 当OD ∥PQ 时，①DQ ＝OP 时，四边形DOPQ 为等腰梯形（如图1）由题意得，△OCD 为等边三角形，∴∠CDO ＝∠COD ∴Q 是直线AD 与抛物线的交点 由－33x ＋332＝3x2，解得x 1＝－1（舍去），x 2＝32 当x ＝32时，3x2＝934∴点Q 的坐标为（32，934）当x ＝32时，33x ＝932∴点P 的坐标为（32，932）②∠ODQ ＝90°时，四边形DOPQ 为直角梯形（如图2）过点D （0，332）且平行x 轴的直线交抛物线于点Q ∴332＝3x2，解得x 1＝－36（舍去），x 2＝36∴点Q 的坐标为（36，332） 把x ＝36代入直线y ＝33x 中，得y ＝32∴点P 的坐标为（36，32） 当DQ ∥OP 时，①OD ＝PQ 时，四边形DOPQ 为等腰梯形（如图1）过点D （0，332）且平行于OC 的直线为33x ＋332，交抛物线于点Q∴33x ＋332＝3x2，解得x 1＝－32（舍去），x 2＝1 把x ＝1代入y ＝3x2中，得y ＝3 ∴点Q 的坐标为（1，3）（与点B 重合） 又∵△OCD 为等边三角形，∴∠DOC ＝∠BPO ＝60° 设过点Q （1，3）且平行于AD 的直线为y ＝－33x ＋b ，交OC 于点P ， 则b ＝334∴y ＝－33x ＋334∴－33x ＋334＝33x ，解得x ＝2 把x ＝2代入y ＝－33x ＋334中，得y ＝332∴点P 的坐标为（2，332） ②∠OPQ ＝90°时，四边形DOPQ 为直角梯形由以上解法知，点Q 的坐标（1，3）（与点B 重合），过B 与OC 垂直的直线为AB ，设OC 与AB 的交点为P则⎩⎨⎧y ＝－3x ＋32y ＝33x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23∴点P 的坐标为（23，23）综上所述：当P 1（32，932），Q 1（32，934）和P 2（2，332），Q 2（1，3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P 3（36，32），Q 3（36，332）和P 4（23，23），Q 4（1，3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形（3）设OD 的中点为G ，则G （0，33） 如图3，过点G 作GH ⊥y 轴，交直线y ＝kx 于点H ，连结DH ，则H （k 33，33） 设直线DH 的解析式为y ＝k 4x ＋b 4，则⎩⎪⎨⎪⎧332＝b 433＝k 4×k33＋b 4解得⎩⎪⎨⎪⎧k 4＝－k b 4＝332∴直线DH 的解析式为y ＝－kx ＋332 ∵直线DH 与抛物线相交于点Q ，∴3x2＝－kx ＋332 解得x 1＝6832)(+--k k （舍去），x 2＝6832)(++-k k∴点Q 的坐标为（6832)(++-k k ，648322)(++-k k k ）点P 的坐标为（6832)(++-k k ，68322)(-++k k k ）【例4】 如图，四边形ABCO 是平行四边形，AB ＝4，OB ＝2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止． （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？【解析】 （1）∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC ＝AB ＝4∴A （4，2），B （0，2），C （－4，0），∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点B ，∴c ＝2由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－161b ＝41 ∴所求抛物线的解析式为y ＝－161x2＋41x ＋2（2）将抛物线的解析式配方，得y ＝－161(x －2)2＋49∴抛物线的对称轴为x ＝2 ∴D （8，0），E （2，2），F （2，0） 欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP ＝QE ，即BP ＝FQ ∴t ＝6－3t ，即t ＝23【例5】 如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）∵二次函数y ＝x2＋px ＋q 的图象与y 轴交于点C (0，－1)．∴－1＝02＋p ×0＋q ，∴q ＝－1． ∴y ＝x2＋px －1．设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1＜x 2． 则x 1、x 2是方程x2＋px －1＝0的两个实数根．方法一：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝－1．∵△ABC 的面积为45，∴21AB ²OC ＝45．即21(x 2－x 1)1⨯＝45，∴x 2－x 1＝25．∴(x 2－x 1)2＝425，即(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝425． ∴(－p )2＋4＝425，解得p ＝±23． ∵p ＜0，∴p ＝－23． ∴所求二次函数的关系式为y ＝x2－23x －1． 方法二：由求根公式得x 1＝242+--p p ，x 2＝242++-p p ．AB ＝x 2－x 1＝242++-p p －242+--p p ＝42+p ．∵△ABC 的面积为45，∴OC AB · 21＝45．即21(x 2－x 1)1⨯＝45，∴42+p ＝25，解得p ＝±23．∵p ＜0，∴p ＝－23． ∴所求二次函数的关系式为y ＝x2－23x －1． （2）令x2－23x －1＝0，解得x 1＝－21，x 2＝2． ∴A (－21，0)，B (2，0)． 如图1，在Rt △AOC 中，AC2＝OA2＋OC2＝(21)2＋12＝45．在Rt △BOC 中，BC2＝OB2＋OC2＝22＋12＝5．∵AB ＝42+p ＝25，∴AC2＋BC2＝45＋5＝425＝AB2．∴△ABC 是直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点．∴△ABC 的外接圆的半径r ＝21AB ＝45．∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点． ∴－45≤m ≤45． （3）存在．①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为(x 0，x 02－23x 0－1)(x 0＞0)． 过点D 作DE ⊥x 轴于E ，如图2．方法一：在Rt △AED 中，tan ∠DAE ＝AEDE＝)21(1230020----x x x ． 在Rt △BOC 中，tan ∠CBO ＝OB OC ＝21．∵∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．∴)21(1230020----x x x ＝21，即4x 02－8x 0－5＝0．解得x 0＝25或x 0＝－21． ∵x 0＞0，∴x 0＝25，∴x 02－23x 0－1＝(25)2－23×25－1＝23． ∴D (25，23)． ∵AD2＝AE 2＋DE2＝(21＋25)2＋(23)2＝445≠BC2．图1图2∴当AD ∥BC 时，在该二次函数的图象上存在点D (25，23)，使四边形ACBD 为直角梯形． 方法二：在Rt △AED 与Rt △BOC 中∵∠DAE ＝∠CBO ，∴Rt △AED ∽Rt △BOC ．∴AE DE ＝OBOC，即)21(1230020----x x x ＝21．以下同方法一．②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，x 02－23x 0－1)(x 0＜0)． 过点D 作DF ⊥x 轴于F ，如图3． 在Rt △DFB 中，tan ∠DBF ＝BF DF＝022123x x x ---． 在Rt △COA 中，tan ∠CAO ＝OAOC＝211＝2． ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ． ∴00202123x x x ---＝2，即2x 02＋x 0－10＝0．解得x 0＝－25或x 0＝2． ∵x 0＜0，∴x 0＝－25，∴x 02－23x 0－1＝(－25)2－23×(－25)－1＝9． ∴D (－25，9)．∵BD ≠AC ， ∴当AC ∥BD 时，在该二次函数的图象上存在点D (－25，9)，使四边形ACBD 为直角梯形．综上所述，在该二次函数的图象上存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形，并且点D 的坐标为(25，23)或(－25，9)．图36、动点与其他四边形【例1】 在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠COA ＝90︒，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝53．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 如图1，作BH ⊥x 轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形∴OH ＝CB ＝3∴AH ＝OA －OH ＝6－3＝3，在Rt △ABH 中，BH ＝22AH BA－＝22353－)(＝6∴点B 的坐标为（3，6）（2）如图1，作EG ⊥x 轴于点G ，则EG ∥BH ∴△OEG ∽△OBHOE ＝2EB ∴OB OE ＝32，∴32＝3OG ＝6EG∴OG ＝2，EG ＝4 ∴点E 的坐标为（2，4）又∵设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝4b ＝5 解得k ＝－21，b ＝5 ∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋5 （3）存在①如图1，当OD ＝DM ＝MN ＝NO ＝5时，四边形ODMN 为菱形 作MP ⊥y 轴于点P ，则MP ∥x 轴，∴△MPD ∽△FOD ∴OF MP ＝OD PD ＝FD MD ，又∵当y ＝0时，－21x ＋5＝0，解得x ＝10图1备用图∴F 点的坐标为（10，0），∴OF ＝10在Rt △ODF 中，FD ＝22OF OD＋＝22105＋＝55∴10MP ＝5PD＝555，∴MP ＝52，PD ＝5 ∴点M 的坐标为（－52，5＋5）∴点N 的坐标为（－52，5） ②如图2，当OD ＝DN ＝NM ＝MO ＝5时，四边形ODNM 为菱形 延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴 ∵点M 在直线y ＝－21x ＋5上，∴设M 点坐标为（a ，－21a ＋5） 在Rt △OPM 中，OP 2＋PM 2＝OM 2，∴a2＋(－21a ＋5)2＝52 解得a 1＝4，a 2＝0（舍去），点M 的坐标为（4，3） ∴点N 的坐标为（4，8）③如图3，当OM ＝MD ＝DN ＝NO 时，四边形OMDN 为菱形 连接NM ，交OD 于点P ，则NM 与OD 互相垂直平分∴y M＝y N＝OP ＝25，∴－21x M＋5＝25∴x M＝5，∴x N＝－x M＝－5 ∴点N 的坐标为（－5，25） 综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为N 1（－52，5），N 2（4，8），N 3（－5，25）【例2】 如图，□ABCD 在平面直角坐标系中，AD ＝6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2－7x ＋12＝0的两个根，且OA ＞OB ． （1）求sin ∠ABC 的值．（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE＝316，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）解方程x2－7x ＋12＝0，得x 1＝3，x 2＝4．∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3． 在Rt △AOB 中，AB ＝22OB OA ＋＝5．∴sin ∠ABC ＝AB OA ＝54（2）∵点E 在x 轴上，S △AOE＝316， ∴21OA ²OE ＝316，即21×4OE ＝316，∴OE ＝38． ∴E （38，0）或E （－38，0）由已知可知D （6，4）设经过D 、E 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b 当E （38，0）时，有⎪⎩⎪⎨⎧0b k 384b k 6 ＝＝＋＋ 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧516b 56k － ＝＝当E （－38，0）时，有⎪⎩⎪⎨⎧0b k 384b k 6 ＝＝＋－＋ 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1316b 136k ＝＝∴经过D 、E 两点的直线的解析式为y ＝516x 56－或y ＝1316x 136＋在△AOE 中，∠AOE ＝90°，OA ＝4，OE ＝38．在△DAO 中，∠DAO ＝90°，OA ＝4，AD ＝6． ∴OA OE ＝AD OA ＝32∴△AOE ∽△DAO ． （3）存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形，点F 的坐标分别为： F 1（3，8），F 2（－3，0），F 3（2542-，2544），F 4（1475-，722-）． ············· 10分 ⅰ）当AC 为菱形的边长时，有三种情形：如图1，当点F 1在BA 的延长线上，且AC ＝CD ＝DF 1＝F 1A 时，点M 与点D 重合，四边形ACMF 1为菱形，易知此时点F 1的坐标为F 1（3，8）；如图2，当点F 2与点B 重合，且AC ＝CM ＝MF 2＝F 2A 时，四边形ACMF 2为菱形，此时点F 2的坐标为F 2（－3，0）；如图3，当AC ＝CF 3＝F 3M ＝MA 时，四边形ACF 3M 为菱形． 由已知可求得直线AB 的解析式为y ＝4x 34+，设点F 3的坐标为（x ，4x 34+）． ∵CF 32＝AC 2＝32＋42＝25∴22)4x 34()3x (++-＝25，解得x 1＝0（即点A 的横坐标），x 2＝2542-（即点F 3的横坐标）． ∴点F 3的纵坐标为：4)2542(34+-⨯＝2544，∴F 3（2542-，2544）． ⅱ）当AC 为菱形的对角线时，设AC 与F 4M 相交于点N ，F 4M 交y 轴于点G ，如图4．由已知可求得点N 的坐标为（23，2） ∵Rt △ANG ∽Rt △AOC ，∴AN AG ＝AO AC ，即25AG ＝45，∴AG ＝825．∴OG ＝8254-＝87，∴G （0，87）． 设直线F 4M 的解析式为y ＝n m x +，则78322n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==87n 43m ，∴直线F 4M 的解析式为y ＝87x 43+． 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=87x 43y 4x 34y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=722y 1475x ，∴F 4（1475-，722-）．图1图2图3M【例3】 如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （－1，0）、B （0，2），抛物线y ＝ax2＋ax －2经过点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形，若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）由Rt △AOB ≌Rt △CDA ，得OD ＝2＋1＝3，CD ＝1∴C 点坐标为（－3，1）∵抛物线经过点C ，∴1＝a (－3)2＋a (－3)－2 ∴a ＝21∴抛物线的解析式为y ＝21x2＋21x －2 （2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形 方法一：以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABPQ ，过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ，可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO∴PE ＝AG ＝BO ＝2，BE ＝QG ＝AO ＝1 ·············· 8分 ∴P 点坐标为（2，1），Q 点坐标为（1，－1）由（1）抛物线y ＝21x2＋21x －2 当x ＝2时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝－1 ∴P 、Q 在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，使四边形ABPQ 是正方形（2）方法二：延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P ，连结PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y ＝k 1x ＋b 1、y ＝k 2x ＋b 2 ∵A （－1，0），C （－3，1），∴CA 的解析式为y ＝－21x －21同理可得BP 的解析式为y ＝－21x ＋2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－21x －21y ＝21x2＋21x －2得Q 点坐标为（1，－1），同理得P 点坐标为（2，1）由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，又∠BAQ ＝90°，∴四边形ABPQ 是正方形 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，－1），使四边形ABPQ 是正方形方法三：将线段CA 沿CA 方向平移至AQ∵C （－3，1）的对应点是A （－1，0），∴A （－1，0）的对应点是Q （1，－1）；再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2，1） ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴四边形ABPQ 是正方形由（1）抛物线y ＝21x2＋21x －2 当x ＝2时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝－1 ∴P 、Q 在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，－1），使四边形ABPQ 是正方形【例4】 已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD 是一次函数y ＝x ＋1图像的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y ＝x ＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y ＝xk（k ＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，点D （2，m ）（m ＜2）在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式； （3）若某函数是二次函数y ＝ax2＋c （a ≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写【解析】 （1）如图，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时，正方形ABCD 的边长为2；当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时，设正方形的边长为a ，易得3a ＝2 解得a ＝32，所以正方形的边长为32（2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ．易知△ADE ≌△BAO ≌△CBF此时m ＜2，DE ＝OA ＝BF ＝m ，OB ＝CF ＝AE ＝2－m ． ∴OF ＝BF ＋OB ＝2∴点C 的坐标为（2－m ，2）∵点C 、D 在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图像上 ∴2m ＝2(2－m )，解得m ＝1．∴点D 的坐标为（2，1），代入y ＝x k，得k ＝2．∴反比例函数的解析式为y ＝x2 （3）（－1，3）；（7，－3）；（－4，7）；（4，1） （写对1个1分，2个或3个2分，4个3分）对应的抛物线分别为y ＝81x2＋823；y ＝－407x2＋40223；y ＝73x2＋71；y ＝－73x2＋755．（写对其中任何1个即可）所求出的任何抛物线的伴侣正方形的个数是偶数．图2【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝10，AD ＝BC ＝5，点M 、N 分别在边AD 、BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥DC ，NF ⊥DC ，垂中分别为E 、F ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；（3）探究二：四边形MNFE 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．【解析】 （1）过点A 作AH ⊥DC 于H ，交MN 于点G在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝10，AD ＝BC ＝5 ∴DH ＝21(10－2)＝4，AH ＝2245－＝3 ∴S 梯形ABCD＝21(AB ＋DC )²AH ＝21×(2＋10)×3＝18 （2）四边形MNFE 的面积有最大值 ∵AB ∥CD ，MN ∥AB ，∴MN ∥CD ，即MN ∥EF ∵ME ⊥DC ，NF ⊥DC ，∴ME ∥NF ，∠MEF ＝90° ∴四边形MNFE 是矩形 设ME ＝x ，则AG ＝3－x∵∠MED ＝∠AHD ＝90°，∠MDE ＝∠ADH∴△MDE ∽△ADH ，∴DH DE ＝AH ME 即4DE ＝3x ，∴DE ＝34x ∴MN ＝DC －2DE ＝10－38x∴S 矩形MNFE＝ME ²MN ＝x (10－38x )＝－38x2＋10x ＝－38(x －815)2＋875∴当x ＝815时，四边形MNFE 的面积有最大值，S 最大＝875（3）四边形MNFE 能为正方形 设ME ＝x ，则由（2）知MN ＝10－38x当ME ＝MN ，即x ＝10－38x ，即x ＝1130时，四边形MNFE 为正方形S 正方形MNFE＝x2＝(1130)2＝121900C A BDMNFE CA BD MNF E H G。
中考数学三轮易错复习：几何与代数综合问题(含解析)
中考数学三轮易错复习：专题 20 几何与代数综合问题4【例 1】(2019· 洛阳二模)如图，直线 yx 4 与 x 轴、y 轴的交点为 A ，B ．按以下步骤作图： 3①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；1②分别以点 C ，D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点 M ；③作射线 AM ，2交 y 轴于点 E ．则点 E 的坐标为【变式 1-1】(2019· 偃师一模)如图，点 A(0，2)，在 x 轴上取一点 B ，连接 AB ，以 A 为圆心，任意1长为半径画弧，分别交 OA ，AB 于点 M ，N ，再以 M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于2点 D ，连接 AD 并延长交 x 轴于点 P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为【变式 1-2】（2018· 河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，已知直线 y =kx （k >0）分别交反比例函数y 1 9 1 和 y 在第一象限的图象于点 A ，B ，过点 B 作 BD ⊥x 轴于点 D ，交 y x xx的图象于点 C ，连接 AC ．若△ABC 是等腰三角形，则 k 的值是__________．【例 2】（2019· 偃师一模）当-2≤x ≤1 时，二次函数 y=-(x -m )2+m 2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为【变式 2-1】 (2019· 洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b ，则点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概 率是【变式 2-2】（2018· 信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，则（ ）A ．P ＞PB ．P ＜PC ．P =PD ．以上都有可能强化精炼：1.（2018· 焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形 ABCO 的点 B 坐标（3，3），点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴上，对角线 AC 上一动点 E ，连接 BE ，过 E 作 DE ⊥BE 交 OC 于点 D ．若点 D 坐标为（2，0），则点 E 坐标为．2.（2018· 焦作一模）如图 1，在等边△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，AD =AE ，连接 BE ，CD ， 点 M 、N 、P 分别是 BE 、CD 、BC 的中点．（1）观察猜想：图 1 中，△PMN 的形状是；（2）探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置 △，PMN 的形状是否发生改变？并说 明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD =1，AB =3，请直接写 △出PMN 的周长的 最大值．1 21 21 2 1 2图 1图 23.（2019· 三门峡二模）如图，正方形A BCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交a于 E ，F ，连接 BE ，DF ，若正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在双曲线 y ＝ 上，实数 a 满足 a 1 a ＝1，则四边形xDEBF 的面积是（ ）A ．1 3 B ．2 2C ．1D ．214.（2019· 省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B ，C 为圆心，以大于 BC2的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．如果 CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°15.（2019· 省实验一模）如图，点 A （m ，5），B （n ，2）是抛物线 C ：y ＝ x 2 2﹣2x+3 上的两点，将抛物线 C 向左平移，得到抛物线 C ，点 A ，B 的对应点分别为点 A '，B '．若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中 的阴影部分），则抛物线 C 的解析式是（ ）1 12 21A ．y ＝ （x ﹣5）2 2+11B ．y ＝ （x ﹣2）2+421C ．y ＝ （x +1）2 2+11D ．y ＝ （x +2）2 2﹣2k6.（2019· 省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线 y ＝ 1 与直线 y ＝k x 在第二象限交于格x点 A ．（1）填空：k ＝，k ＝；（2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为 2|k |，其中点 C 为格点．7.（2019· 叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后得到矩形 AMEF （如图 1），连接 BD ，MF ，若 BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．（1）如图 1，试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB △D ，边 AD 交 FM 于点 K （如图2），设旋转角为 β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数；（3）若将△AFM 沿 AB 方向平移得到△A △ F M （如图 3），F M 与 AD 交于点 P ，A M与 BD 交于点 N ， 当 NP ∥AB 时，求平移的距离．2 1 2 11 1 12 2 2 2 2 2 2图 1图 2图 338.（2019· 濮阳二模）若函数 y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（）2A ．﹣2 或 3B ．﹣2 或﹣3C ．1 或﹣2 或 3D ．1 或﹣2 或﹣3k9.（2019· 濮阳二模）如图，点 A 在双曲线 y = （x ＞0）上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B ，分别以x1点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C ，交 y2轴于点 F （0，2），连接 AC ．若 AC ＝1，则 k 的值为（ ）A ．2B ．32 25C ．4 3 5D ．2 5 2 510.（2019· 商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 30°后得到矩形 O A ′B ′C ′，A ′B ′与 BC 交于点 M ，延长 BC 交 B ′C ′于 N ，若 A （ 3，0），C （0，1），则点 N 的坐标为（）A ．（3 3 3，1）B ．（2－ 3 ，1）C ．（ 3 －2，1）D ．（1－ 3，1）11.（2019· 开封模拟）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延 长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为．12.(2019·新乡一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，1以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接2DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．813.（2017·西华县一模）如图，△在ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，则AB=．114.（2019·省实验一模）如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛2物线C向左平移，得到抛物线C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C的解析式是（）1A．y＝（x﹣5）22+11B．y＝（x﹣2）2+421C．y＝（x+1）22+11D．y＝（x+2）22﹣261122115.（2019· 郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于 AC 的长2为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 CD ．若∠B ＝34°， 则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°16.（2019· 郑州联考）如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、DC 边上的点，AF 与 DE 相交于点 P ，BF与 CE 相交于点 Q ，若 S ＝16cm 2， ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 △ △Scm 2．17.（2019· 安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点 A ，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ，N ，直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ．则∠DAC 的度数为（ ）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25°18.（2019· 枫杨外国语三模）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O (0，0)，A (0，3)， B (4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以1点 D ，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 BC 于点 G ，2则点 G 的坐标为( )4 45 5A ．(4， )B ．( ，4)C ．( ，4)D ．(4， )3 3 3 3APD BQC19.（2019·中原名校大联考）如图，△在ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D1为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于2点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（）A．1B．1.5C．2D．320.（2019·许昌月考）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形C．四边形EGFH为菱形B．△EGF为等边三角形D．△EHF为等腰三角形参考答案2020 年中考数学三轮易错复习：专题 20 几何与代数综合问题【例 1】(2019·洛阳二模)如图，直线 y43x 4 与 x 轴、y 轴的交点为 A ，B ．按以下步骤作图： ①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；1②分别以点 C ，D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点 M ；③作射线 AM ，2交 y 轴于点 E ．则点 E 的坐标为3【答案】（0， ）.2【解析】解：过点 E 作 EF ⊥AB 于 F ，如图所示，在 y43x 4 中，当 x=0 时，y=4 ；当 y=0 时，x=3 ， 即 A (3,0)，B （0,4），在 Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5，由题意的尺规作图方法可知，AM 为∠BOA 的平分线， ∴EO =EF ，∴△OAE ≌△FAE ，∴OA =AF =3，∴BF =AB －AF =2，设OE=x，则EF=x，BE=4－x，在△R t BEF中，由勾股定理得：（4－x）2=x2+22，33解得：x=，即OE=，223∴答案为：（0，）.2【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A(0，2)，在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意1长为半径画弧，分别交OA，AB于点M，N，再以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于2点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB 相似，则点P的坐标为【答案】（233，0）.【解析】解：由题意知，AP为∠OAB的平分线，∴∠OAP=∠BAP，∵△OPA与△OAB相似，∴∠OPA=∠OAB=2∠OAP，∴∠OAP=30°，∵OA=2，∴OP=OA·t an30°=233，即P点坐标为（233，0）.【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知直线y=kx（k>0）分别交反比例函数y 191和y 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y 的图象于x x x点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是__________．3715【答案】或.75【解析】解：联立y=kx，y 1x，得：x=11，y=k，即A(,k)，k k3同理，得点B的坐标为(,3k∵BD⊥x轴，3k，），∴C 点坐标为（k3k)，∴BC=3k－k33k k ，BC的中点的纵坐标为－≠26k，∴A 不在BC的垂直平分线上，即AB≠AC，（1）当AB=BC时，即AB2=BC2，31 2k k 3kk32，解得：k=3737或k=77（舍）；（2）当AC=BC时，即AC2=BC2,31 k kk3k2 23k ，解得：k=1515或k=55（舍）；故答案为：3715或75. 23k k2k311【答案】－ 3或 2.【解析】解：①当-2≤m ≤1 时，x =m 时，y =4，即 m 2+1=4，解得：m =3（舍）或 m =－ 3 ，②当 m <－2 时，x =－2 时，y =4，即-(-2-m )2+m 2+1=4，解得：m =74（舍）； ③当 m >1 时，x =1 时，y =4，即-(1-m )2+m 2+1=4， 解得：m =2，综上所述，m 的值为－ 3或 2.【变式 2-1】 (2019· 洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b ，则点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概 率是1 【答案】 .4【解析】解：抽到的点数有序数对（为1,2：），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12 中可能，只有（1,2），（2,3），（3,4）三个点在直线y =x +1 上，即点(a ，b)在直线 y =x +1 上方的概率是3 1= ，12 41故答案为： .4【变式 2-2】（2018· 信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P ，则（ ）A ．P ＞PB ．P ＜PC ．P =PD ．以上都有可能1 2121 21 2【解析】解：由图甲可知，黑色方砖 6 块，共有 16 块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P =由图乙可知，黑色方砖 3 块，共有 9 块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为 P = ∴P ＞P ；故答案为：A ．强化精炼：6 3，16 83 1， 9 31.（2018· 焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形 ABCO 的点 B 坐标（3，3），点 A 、C 分别在 y 轴、x 轴上，对角线 AC 上一动点 E ，连接 BE ，过 E 作 DE ⊥BE 交 OC 于点 D ．若点 D 坐标为（2，0），则点 E 坐标为．【答案】（1，2）.【解析】解：过点 E 作 EH ⊥OC 于 H ，延长 HE 交 AB 于 F ，连接 OE ，∵四边形 ABCO 是正方形，∴AB ∥OC ，∠OAB =∠AOC=90°，∠OAC =∠BAC =∠OCA =45°，OA ∥BC ， ∴FH ∥OA ，∴∠HEC =∠OAC =∠OCA = 45°，∠BFH =∠OAB =90°，∠DHE =∠AOC =90°， ∴EH=CH =BF ，∠EBF=∠DEH ，∴△BEF ≌△EDH ，121 2∵点D坐标为（2，0），即OD=2，由正方形性质得：OE=BE=DE，∵FH⊥OC，1∴OH=DH=OD=1，2∴EF=DH=1，∵FH=OA=3，∴EH=2，∴点E的坐标为（1，2），∴答案为：（1，2）．2.（2018·焦作一模）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置△，PMN 的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写△出PMN的周长的最大值．图1图2【答案】（1）等边三角形；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=121 CE，PN∥AD，PN=BD，2∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，理由如下：连接CE、BD，∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，由旋转性质得：BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，11∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，22∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠BCE+∠CBD=∠BCA+∠ACE+∠CBD=∠BCA+∠ABD+∠CBD=∠BCA+∠ABC=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．1（3）∵PN=BD，2∴当BD的值最大时，PN的值最大，当A、B、D共线时且A在B、D之间时，BD取最大值，此时BD=1+3=4，∴PN 的最大值为 2，即△PMN 的周长的最大值为 6．3.（2019· 三门峡二模）如图，正方形A BCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交a于 E ，F ，连接 BE ，DF ，若正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在双曲线 y ＝ 上，实数 a 满足 axDEBF 的面积是（ ）1a＝1，则四边形A ．1 2B ．3 2C ．1D ．2【答案】D .【解析】解：∵实数 a 满足 a1a＝1，∴a ＝±1，又∵a ＞0，∴a ＝1，a∵正方形 ABCD 的顶点 B ，D 在 y ＝ 上，x∴S ＝1，矩形 ∵正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点，∴S＝S ＝2S ＝2×1＝2， 平行四边形 矩形 矩形故答案为：D ．1 4.（2019· 省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B ，C 为圆心，以大于 BC2的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．如果 CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（）BGOF DEBF ABFEF BGOFA．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B．【解析】解：由尺规作图可得：MN垂直平分BC，∴DC＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∵DC＝AC，∴∠A＝∠CDA，设∠B 为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，∴x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，即∠B＝25°，故答案为：B．15.（2019·省实验一模）如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C：y＝x22﹣2x+3上的两点，将抛物线C向左平移，得到抛物线C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C的解析式是（）1A．y＝（x﹣5）22+11B．y＝（x﹣2）2+421C．y＝（x+1）22+11D．y＝（x+2）22﹣2【答案】C．1【解析】解：∵y＝x22﹣2x+3＝12（x﹣2）2+1，∵阴影部分的面积为9，A（m，5），B（n，2），∴3BB′＝9，∴BB′＝3，1122即将 C 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到 C 的图象，1 ∴C 的函数表达式是 y ＝ （x +1）2+1．2答案为：C ．6.（2019· 省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线 y ＝ 点 A ．k1 与直线 y ＝k x 在第二象限交于格 x（1）填空：k ＝，k ＝；（2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为 2|k |，其中点 C 为格点．【答案】（1）﹣2；﹣2；（2）（1，﹣2）；（3）见解析． 【解析】解：（1）由图可得：A （﹣1，2），将点 A （﹣1，2）分别代入双曲线 y ＝k1 和直线 y ＝k x ，x可得：k ＝﹣2，k ＝﹣2，（2）由对称性可知，两函数图象的另一个交点与 A （﹣1，2）关于坐标原点对称， ∴B （1，﹣2）；（3）∵k ＝﹣2，∴2|k |＝4，∴满足条件的点 C 有四个，如图所示．1 2 2 2 1 2 12 1 2 117.（2019· 叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90°后得到矩形 AMEF （如图 1），连接 BD ，MF ，若 BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．（1）如图 1，试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得△AB △D ，边 AD 交 FM 于点 K （如图2），设旋转角为 β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求 β 的度数；（3）若将△AFM 沿 AB 方向平移得到△A △ F M （如图 3），F M 与 AD 交于点 P ，A M与 BD 交于点 N ， 当 NP ∥AB 时，求平移的距离．图 1图 2图 3【答案】见解析.【解析】解：（1）结论：BD ＝MF ，BD ⊥MF ．理由： 延长 FM 交 BD 于点 N ，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴BD ＝MF ，∠ADB ＝∠AFM ．∵∠DMN ＝∠AMF ，∴∠ADB +∠DMN ＝∠AFM +∠AMF ＝90°，1 1 12 2 2 2 2 2 2∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．（2）由题意知，∠KAF<90°，①当AF=AK时，∠AKF=∠F=30°，此时∠KAF=120°，不符题意，此种情况不存在；②当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB＝180°﹣∠B AD﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；③当AF＝FK时，∠FAK＝75°，∴∠BAB＝90°﹣∠FAK＝15°，即β＝15°；综上所述，β的度数为60°或15°；（3）由题意得四边形PNA A是矩形，设A A＝PN＝x，在△R t A M F中，F M＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，∴A M＝8，A F＝83，∴AF ＝83﹣x．同理，AP＝8﹣33x，∴PD＝AD﹣AP＝83﹣8+∵NP∥AB，PN DP∴，AB AD33x．x∴88388333x，解得x＝12﹣43，∴平移距离为：12﹣43.8.（2019·濮阳二模）若函数y＝（m﹣1）x23﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（2）1111222222222222A ．﹣2 或 3B ．﹣2 或﹣3C ．1 或﹣2 或 3D ．1 或﹣2 或﹣3【答案】C ．3【解析】解：（1）当 m ＝1 时，函数解析式为：y ＝﹣6x + ，是一次函数，图象与 x 轴有且只有一个交2点，（2）当 m ≠1时，函数为二次函数，3∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，2解得：m ＝﹣2 或 3， 故答案为：C ．k9.（2019· 濮阳二模）如图，点 A 在双曲线 y = （x ＞0）上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B ，分别以x1点 O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C ，交 y2轴于点 F （0，2），连接 AC ．若 AC ＝1，则 k 的值为（ ）A ．2B ．32 25C ．4 3 5D ．2 5 2 5【答案】B ．【解析】解：设 OA 交 CF 于 K ．由作图方法可知，CF 垂直平分线段 OA ， ∴OC ＝CA ＝1，OK ＝AK ，在 △R t OFC 中，由勾股定理得：CF ＝ 5 ，由三角形的面积知：AK ＝OK ＝2 55，∴OA ＝4 5 5，由△FOC ∽△OBA ，可得： OF OC CF，OB AB AO∴ 2 1 5 ，OB AB 4 558 4∴OB ＝ ，AB ＝ ， 5 58 4即 A （ ， ），5 5∴k ＝ 32 25．∴答案为：B ．10.（2019· 商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 30°后得到矩形 O A ′B ′C ′，A ′B ′与 BC 交于点 M ，延长 BC 交 B ′C ′于 N ，若 A （ 3，0），C （0，1），则点 N 的坐标为（）A ．（3 3 3，1）B ．（2－ 3 ，1）C ．（ 3 －2，1）D ．（1－ 3 ，1）【答案】B .【解析】解：连接 ON ，取∠ONE ＝∠NOC ，由旋转性质得：C 'O ＝CO ，∠COC '＝30° ∵CO ＝C 'O ，NO ＝NO∴△R t CON≌△R t C'ON（HL）∴∠NOC＝∠NOC'＝15°∴∠ONE＝∠NOC＝15°∴∠NEC＝30°，NE＝EO∵NC⊥OC，∠NEO＝30°1∴NC＝NE，CE＝32∵CE+OE＝1NC∴2NC+3NC＝1∴NC＝2﹣3即点N坐标（2﹣3，1）所以答案为：B．11.（2019·开封模拟）如图所示，在正方形ABCD 中，G为CD 边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为．【答案】12.【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF DG＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．由题意得：CG为△EAB的中位线，∴AE＝2AG＝12．所以答案为：12．12.(2019·新乡一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，1以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接2DE、DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8【答案】D.【解析】解：由作图方法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理，DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，由DE∥AC，得：BBBB CCCC，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴BE＝8，故答案为：D．13.（2017·西华县一模）如图，△在ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，则AB=．24【答案】 5 1．【解析】解：作∠ABC 的平分线交 AC 于 D ，∵AB =AC ，∠A =36°，∴∠ABC =∠C =72°，∴∠ABD =∠CBD =36°，∴DA=DB ，∴∠BDC =∠A +∠ABD =72°，∴BD=BC =2，∴AD=BC =2，∵∠CBD =∠A ，∠BCD =∠ACB ， ∴△BCD ∽△ABC ，∴BC ：AC =CD ：BC ，∴BC 2=AC CD ，即： 22 ACAC 2，解得：AC =1+ 5 或 AC =1－ 5 （舍）即 AB =1+ 5.1 14.（2019· 省实验一模）如图，点 A （m ，5），B （n ，2）是抛物线 C ：y ＝ x 2﹣2x +3 上的两点，将抛2物线 C 向左平移，得到抛物线 C ，点 A ，B 的对应点分别为点 A '，B '．若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中1 1 2的阴影部分），则抛物线 C 的解析式是（ ）1A ．y ＝ （x ﹣5）2 2+11B ．y ＝ （x ﹣2）2+421C ．y ＝ （x +1）2 2+11D ．y ＝ （x +2）2 2﹣2【答案】C ．1 【解析】解：y ＝ x2 2﹣2x +3＝ 1 2（x ﹣2）2+1，∵曲线段 AB 扫过的面积为 9，A （m ，5），（n ，2） ∴四边形 ABB ’A ’为平行四边形，且 BB ’边上的高为 3，即 3BB ′＝9，∴BB ′＝3，1新函数图象是将函数 y ＝ （x ﹣2）2+1 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到，2∴新图象的函数表达式是 y ＝ 1 2（x +1）2+1．故答案为：C ．115.（2019· 郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于 AC 的长2为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 CD ．若∠B ＝34°， 则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°2【答案】B ．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝34°，∴∠A ＝56°，由作图方法可知：DE 是 AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠A ＝56°，∴∠BCD ＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC ＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故答案为：B ．16.（2019· 郑州联考）如图，在 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、DC 边上的点，AF 与 DE 相交于点 P ，BF与 CE 相交于点 Q ，若 S ＝16cm 2， ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 △ △Scm 2．【答案】41．【解析】解：连接 EF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴S ＝S，S＝，△△△△S S＝S，S＝，△△△△S ∵S ＝16cm 2，S＝25cm 2，△△ ∴S＝41cm 2 四边形，故答案为：41．17.（2019· 安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点 A ，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ，N ，直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ．则∠DAC 的度数为（）APD BQCEFC BCF EFQ BCQ EFD ADF EFP ADPAPD BQC EPFQA．85°B．70°C．60°D．25°【答案】C．【解析】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知MN为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝35°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝60°，故答案为：C．18.（2019·枫杨外国语三模）如图，已知矩形AOBC 的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以1点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，2则点G的坐标为()4455A．(4，) B．(，4)C．(，4)D．(4，)3333【答案】A．【解析】解：由作图方法知，OG是∠BOC的平分线，过G作GH垂直AC于H，∴GH =BG ，由题意知：∠CBO =90°，BC =3，OB =4， 由勾股定理知：OC =5，∵OG =OG ，GH =BG ，∴ △R t OGH ≌ △R t OGB ，∴OB=OH =4，∴CH=1，设 G （4，m ），则 BG =m ，CG =3－m ，CH =1，∴(3－m)24 =m 2+1，解得：m = ，34即 G (4, )，答案为：A .319.（2019· 中原名校大联考）如图， △在ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步作图：①分别以点 A ，D1为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，两弧交于两点 M ，N ；②作直线 MN 分别交 AB ，AC 于2点 E ，F ；③连接 DE ，DF ，若 BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，则 CF 的长是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C ．【解析】解：由作图方法知：EF 垂直平分 AD ，设 AD 、EF 交于 O ， ∴AE ＝DE ，AF ＝DF ，EF ⊥AD ，∵AD 平分∠BAC ，得：△AEO ≌△AFO ，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF＝4，∴四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，∴CF CD AF BD，∴CF＝2．故答案为：C．20.（2019·许昌月考）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形C．四边形EGFH为菱形B．△EGF为等边三角形D．△EHF为等腰三角形【答案】B．【解析】解：由作图方法知，GH是线段EF的垂直平分线，∵EG=EH，∴△EGH是等腰三角形．即A正确；∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，由图知，EF不一定等于EG，即B错误．∵EG=EH=HF=FG，∴四边形EHFG是菱形．即C正确．∵EH=FH，∴△EFH是等腰三角形．即D正确．故答案为：B．30。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
代数几何综合题（含答案）
代数⼏何综合题（含答案）代数⼏何综合题代数⼏何综合题是初中数学中覆盖⾯最⼴、综合笥最强的题型，近⼏年的中考试题很多以代数⼏何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是⽅程与⼏何、函数与⼏何等，解代数⼏何综合题最常⽤的数学⽅法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平⾯直⾓坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最⼤整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥,∴∠+∠=?∠+∠∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90,A （2，0），C （2，y ）在直线a 上∴∠=∠=?B O P P AC 90 ∴??B O PP A C ~ ∴=P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x的最⼤整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=CA 32B O a B O QC A Q O Q A Q B OC A //~,，∴∴=??设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m=-2 ∴-=∴=m m m 223287，∴Q 点坐标为()870，说明:利⽤数形结合起来的思想，考查了相似三⾓形的判定及应⽤。
关键是搞清楚⽤坐标表⽰的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外⼀点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出⾃变量x 的取值范围；（3分）(3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
初三题 代数几何稍难题
1、已知,n m 满足不等式()2n-0m a mn b c ++++=，且,,a b c 同时满足：(1) a 为整数，且使关于,x y 的方程组332242x y a x y a⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩ 的解都是正数；(2) ,b c 满足多项式322935t t t +++除以2+t bt c +的商式为21t +余式为58t +，试求44m n +的值.2、如图所示，已知反比例函数k y x=的图像经过点()A b ，过点A 作AB Ox ⊥轴于点B ，△AOB(1)求k 和b 的值；(2)若一次函数1y ax =+的图像经过点A ，并且与x 轴相交于点M ,求:AO AM;(3)如果以AM 为一边的正三角形A M P 的顶点P 在二次函数29y x m =-+-的图像上，求m 的值.3、已知：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，若BD=BC，F是CD的中点. 试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明.4、我们给出以下定义：有一组相邻内角相等的四边形是等邻四边形，请解答下列问题：(1)写出一个你所学过的特殊四边形是等邻四边形的图形的名称；(2)如图①所示，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G. 求证：四边形AGEC是等邻四边形；(3) 如图②所示，若点D在△ABC内部，(2)中其他条件不变，EF与CD交于点H。
图中是否存在等邻四边形？若存在，请指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.5、已知：∠MAN 且AC 平分∠MAN.(1)在图①中，若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,则AB+AD ＿＿AC;(2)在图②中，若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 在图③中，(Ⅰ)若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°, 判断AB+AD 与AC 的数量关系，并说明理由；(Ⅱ) 若∠MAN=α(0°<α<180°)，∠ABC+∠ADC=180°, 则AB+AD 与AC 的关系（用含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）6、已知抛物线21(1)2(0)2y x n x n n =--+-<经过点121(,0),(,0),(0,)A x B x D y ，其中12x x <，△ABD 的面积等于12 . (1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；(2)如果点2(2,)C y 在这条抛物线上，点P 在y 轴的正半轴上，且△BCP 为等腰三角形，求直线PB 的解析式.7、已知：在△AOB中，AB=OB=2，在△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，连接AD、BC，点M、N、P分别是OA、OD、BC 的中点.(1) 如图①所示，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，=＿＿＿；则△PMN的形状是＿＿＿，此时ADBC(2) 如图②中，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证的值. (用含α的式子表示)明：△PMN∽△BAO，并计算ADBC8、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一个动点P，PH OA⊥，垂足为H，△OPH的重心为G.(1)当P点在弧AB上运动时，线段GO，GP，GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；(2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长.。
初三代数上学期难题集答案及解析
初三代数上学期难题集粹参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．4考点：角平分线的性质；垂线段最短。
分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P 作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故选B．点评：此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置．2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.5考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．解答：解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5故选B．点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）A．S AS B．A AS C．S SS D．A SA考点：直角三角形全等的判定；角平分线的性质。
中考代数几何-综合题
中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
初中数学几何题(超难)及答案分析
几何经典难题1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）A P C D BA FG CE B O D D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 BF6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三）7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ）8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．N9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）10、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．11、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：PA ＝PF ．（初二）12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E E P13、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）14、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）16、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．17、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．AP C B PA D CB CB D AFPDECBA18、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．19、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．CCD解答1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
九年级数学练习题之代数几何综合题
九年级数学练习题之代数几何综合题Ⅰ、综分解绩精讲：代数几何综合题是初中数学中掩盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的方式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵敏运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.Ⅱ、典型例题剖析【例1】(温州，12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AEAC于A，与⊙O及CB的延伸线区分交于点F、E，且，EM切⊙O于M。
⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2=BC⑶假设AB=2，EM=3，求cotCAD的值。
解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，CDA=ABE，∵，DCA=BAE，△CAD∽△AEB⑵ 过A作AHBC于H(如图)∵A是中点，HC=HB=BC，∵CAE=900，AC2=CHCE=BCCE⑶∵A是中点，AB=2，AC=AB=2，∵EM是⊙O的切线，EBEC=EM2 ①∵AC2=BCCE，BCCE=8 ②①+②得：EC(EB+BC)=17，EC2=17∵EC2=AC2+AE2，AE=∵△CAD∽△ABE，CAD=AEC，cotCAD=cotAEC=点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为的.此题表现的十分突出.如，将CAD转化为AEC就十分关键. 【例2】(自贡)如图 2-5-2所示，直线y=2x+2区分与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90○。
过C作CDx轴，D为垂足.(1)求点 A、B的坐标和AD的长;(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式。
解：(1)在y=2x+2中区分令x=0，y=0.得 A(l，0)，B(0，2).易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2.(2)由于A(1，0)，B(0，2)，且由(1)，得C(3,l).设过过B、A、C三点的抛物线为所以所以点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO.【例3】(重庆，10分)如图，在平面直角坐标系内，点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A末尾在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B末尾在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.(1) 求直线AB的解析式;(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB 相似?(3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位?解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b由题意，得解得所以，直线AB的解析式为y=-x+6.(2)由AO=6， BO=8 得AB=10所以AP=t ，AQ=10-2t1 当APQ=AOB时，△APQ∽△AOB.所以 = 解得 t=(秒)2 当AQP=AOB时，△AQP∽△AOB.所以 = 解得 t=(秒)(3)过点Q作QE垂直AO于点E.在Rt△AOB中，SinBAO==在Rt△AEQ中，QE=AQSinBAO=(10-2t)=8 -t所以，S△APQ=APQE=t(8-t)=-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒).(注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分)点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的外形也在发作着变化，所以应分状况：①APQ=AOB=90○②APQ=ABO.这样，就失掉了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作PEAB.【例4】(南充，10分)如图2-5-7，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x，四边形PBCD的面积为y.(1)写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围.(2)有人提出一个判别：关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数.请你说明此判别能否正确，并说明理由. 解：(1)过动点P作PEBC于点E.在Rt⊿ABC中，AC=10， PC=AC-AP=10-x.∵ PEBC，ABBC，⊿PEC∽⊿ABC.故，即⊿PBC面积=又⊿PCD面积=⊿PBC面积=即 y，x的取值范围是0(2)这个判别是正确的.理由：由(1)可得，⊿PAD面积=⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.点拨：由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10，这样PC=10-x，而面积y是一个不规那么的四边形，所以可以把它看成规那么的两个三角形：△PBC、△PCD.这样效果就十分容易处置了.Ⅲ、综合稳固练习(100分 90分钟)1、如图2-5-8所示，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标区分为A (0，)，B(-1，0)、C(0，1)中，假定△DEF各顶点坐标区分为D(，0)、E(0，1)、F(0，-1)，那么以下判别正确的选项是( )A.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90○失掉;B.△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90○失掉;C.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60○失掉;D.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120○失掉2.如图2-5-9,直线 y=2x+1与x轴交于A点，与y轴交于B 点，直线y=2x1与x轴交于C点，与y轴交于D点，试判别四边形ABCD的外形.3.如图2-5-10所示，在矩形ABCD中，BD=20，ADAB，设ABD=，sin是方程25z2-35z+ 12=0的一个实根.点E、F区分是BC、DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF面积等于y.⑴ 求出y与x之间的函数关系式;⑵ 当E、F两点在什么位置时y有最小值?并求出这个最小值.4.(10分)如图2-5-11所示，直线y=-x+ 4与x 轴、y轴区分交于点M、N.(1)求M、N两点的坐标;(2)假设点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=-x+ 4相切，求点P的坐标.5.(10分)如图2-5-12所示，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的恣意一点(点P可以与点A重合，但不与点B 重合)，过点P作PEBC.垂足为E;过点E作EFAC，垂足为F;过点F作FQAB，垂足为Q.设BP=x，AQ=y.⑴ 写出y与x之间的函数关系式;⑵ 当BP的长等于多少时，点P与点Q重合;⑶ 当线段 PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围(不用写出解题进程)6.(12分)如图2-5-13所示，A由两点坐标分另为(28，0)和(0，28)，动点P从A点末尾在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动，动直线 EF从 x轴末尾以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)并且区分交y 轴，线段AB交于E、F点.衔接FP，设动点P与动直线EF同时动身，运动时间为t秒.⑴ 当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，t为何值时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是多少?⑵ 当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段 PF的长.⑶ 设t的值区分取t1，t2时(t1t2)，所对应的三角形区分为△AF1P1和△AF2P2 ，试判别这两个三角形能否相似，请证明你的判别.7.(12分)如图2-5-14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，对角线的交点P的坐标为(，1)⑴ 写出B、C、D三点的坐标;⑵ 假定在AB上有一点 E作，入过 E点的直线将矩形ABCD 的面积分为相等的两局部，求直线l的解析式;⑶ 假定过C点的直线将矩形ABCD的面积分为4：3两局部，并与y轴交于点M，求过点C、D、M三点的抛物线的解析式.8.(10分)矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标区分为A(0，0)，B(m，0)，D(0，4)其中m0.⑴ 写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标(用含m 的代数式表示)⑵ 假定一次函数y=kx-1的图象把矩形ABCD分红面积相等的两局部，求此一次函数的解析式(用含m的代数式表示) ⑶ 在⑵的前提下，又与半径为1的⊙M相切，且点 M(0，1)，求此矩形ABCD的中心P点的坐标.9.(10分)如图2-5-15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E区分在边AB，AC上，且AD=AE=2，假定点F从点B 末尾以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F 运动的时间为t秒，当t0时，直线FD与过点A且平行于BC 的直线相交于点G，GE的延伸线与BC的延伸线相交于点H，AB与GH相交于点O.⑴ 设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式;⑵ 当t为何值时，AB⑶ 请你证明△GFH的面积为定值.10. (10分)如图2-5-16，在矩形ABCD中，AB=10。
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个性化教学辅导教案
学科： 数学 任课教师 授课日期：2014年 8月 日
姓名 年级 初三
性别
授课时间
总课时 第 课
教学课题 代数几何综合复习
教学 目标 1.理解代数几何结合的定义 2.会用代数几何的性质解题
难点 重点 代数几何的综合应用
签字
教学组长签字： 教研主任签字:
1.在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则
ABCD
的周长为（ ）
A ．422+
B ．1262+
C ．222+
D ．221262++或
2.如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）
（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-
3.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。
点
1A 、2A 、3A ，…和1B 、2B 、3B ，…分别在直线y kx b =+和x 轴上。
已知1(1C ，1)-，27(2C ，3
)2
-，
则点3A 的坐标是________；点n A 的坐标是___________________.
A B C D
E
F
y x
y=kx+b
O
B 3
B 2
B 1
C 3 C 2
C 1 A 3
A 2
A 1
4．如图4所示，已知直线l 的解析式是43
4
-=
x y ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．一个半径为1.5的⊙C ，圆心C 从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当⊙C 与直线l 相切时,则该圆运动的时间为
5.如图，正方形ABCD 的面积为2，M 是AB 的中点，则途中阴影部分的面积是
6、如图，A,B 是反比例函数x
y 2
=
的图像上的俩点，AC,BD 都垂直于X 轴，垂足分别为C,D,AB 的延长线交X 轴于点E ，若C,D 的坐标分别为（1，0），（4，0），则BDE 的面积与ACE 的面积的比值是（ ）
A 、161
B 、81
C 、41
D 、2
1
A
B
C
D M
7、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为( )
A 、241cm
B 、24cm n
C 、
241cm n D 、22)41
(cm
8.如图，在△ABD 中，AB=AD,AO 平分∠BAD,过点D 作AB 的平行线交AO 的延长线于点C,连接BC （1）求证：四边形ABCD 是菱形。
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程27120x x -+=的 两根，求AB 的长以及菱形ABCD 的面积。
（3）若动点M 从A 出发，沿AC 以2m/S 的速度匀速直线运动到点C,动点N 从B 出发，沿BD 以1m/S 的速度匀速直线运动到点D ，当M 运动到C 点时运动停止。
若M 、N 同时出发，问出发几秒钟后，△MON
的面积为21
4
m ？
(N)
(M)D
C
B A
O
A1A2
A3
A4
9、在Rt △ABC 中，90=∠C °，60=∠A °，6=BC ，等边三角形DEF 从初始位置（点E 与点B 重合，EF 落在BC 上，如图1所示）在线段BC 上沿BC 方向以每秒1个单位的速度平移，DF DE 、分别与AB 相交于点N M 、.当点F 运动到点C 时，△DEF 终止运动，此时点D 恰好落在AB 上，设△DEF 平移的时间为x .
（1）求△DEF 的边长；
（2）求M 点、N 点在BA 上的移动速度；
（3）在△DEF 开始运动的同时，如果点P 以每秒2个单位的速度从D 点出发沿
DE →EF 运动，最终运动到F 点.若设△PMN 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取
值范围；并说明当P 点在何处时，△PMN 的面积最大？
B A
C （E ）
D F B A
C
E M D
F N P ·
（图1） （图2）
(第6题图)
10.已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B . （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点(3B ，6)，试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM
S
=，求点M 的坐标；
（3）如图2，若P 在第一象限，且PA PO =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探索四边形OABC 的形状，并说明理由.
图1
B
A
y
x
P O
A
y
x
P
O
11.如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过A （3，3.5）、B （4，2）、C （0，2）三点，点P 是x 轴上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连结AC 、CP 、PB 、BA ，是否存在点P ，使四边形ABPC 为等腰梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
（3）点H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB 周长的最小值.
A
P B C O x y
l A P B C O x y l H。