电磁学2-1
2-1_静电势及其微分方程
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质
II1_电磁学+详细解答
磁感应强度、毕-萨定律1． 有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆的直径和正方形的边长相等。
二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感应强度的大小之比21/B B 为 （A ）0.90 （B ）1.00 （C ）1.11 （D ）1.22 C 012I B Rμ=，()0204cos 45cos1354IB RI R μπμπ=⋅︒-︒=12 1.11B B ==2． 如图，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电量均为q 的点电荷。
此正方形以角速度ω绕过AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为1B ；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度大小为2B ，则1B 与2B 间的关系为 （A ）1B =2B （B ）1B =22B（C ）1B =212B （D ）1B =412BC 一个电荷绕轴转动相对于电流为：12I q ωπ=所以00122I IB b b μμ==001422I I B b b μμ==1212B B =4．在xy 平面内有两根互相绝缘、分别通有电流I 3和I 的长直导线，设两导线互相垂直（如图），则在xy 平面内磁感应强度为零的点的轨迹方程为 。
解：经分析，在xy 平面内磁感应强度为零的点的轨迹应该在I 、III 象限， 无限长载流直导线所产生的磁感应强度公式为：02IB aμπ= 所以有0022Ix yμμππ=， x y 33=5．均匀带电直线AB ，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以角速度ω匀速转动（线的形状不变，O 点在AB 延长线上），求： （1）O 点的磁感应强度B ， （2）磁矩m p ，（3）若a >>b ，求B 及m p。
解：（1）对dr r r +~一段，电荷dr dq λ=，旋转形成圆电流，则dr dq dI πλωπω22==， 它在O 点的磁感应强度 rdr r dI dB πλωμμ4200==aba r dr dB Bb a a +===⎰⎰+ln 4400πλωμπλωμ（2）dr r dI r dp m 2221λωπ== 6/])[(21332a b a dr r dp p ba am m -+===⎰⎰+λωλω （3）若b a >>，则 aba b a ≈+ln， a q a b B πωμλπωμ4400==过渡到点电荷的情况，B 的方向在λ>0时为垂直圈面向后，同理在a>>b 时)31()(33aba b a +≈+，则 23623a q a b a p m ωλω=⋅= 也与点电荷运动后的磁矩相同。
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
赵凯华所编《电磁学》第二版答案
精心整理第一章静电场§1.1静电的基本现象和基本规律思考题：1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异2、3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。
戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。
为什么两种情况有不同结果？答：人体是导体。
当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。
戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.2电场电场强度思考题：1、在地球表面上通常有一竖直方向的电场，电子在此电场中受到一个向上的力，电场强度的方向朝上还是朝下？答：电子受力方向与电场强度方向相反，因此电场强度方向朝下。
2、力F答：P 点，3、4、正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向内，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.3高斯定理思考题：1、一般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗？为什么？答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。
因为电力线一般是曲线，若电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必定偏离弯曲的电力线。
仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。
若考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。
2、3、（1（2（3（14、（立方体的中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。
(完整版)高中物理电磁学知识点
二、电磁学（一）电场 1、库仑力：221r q q kF = (适用条件：真空中点电荷) k = 9.0×109 N ·m 2/ c 2 静电力恒量电场力：F = E q (F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反) 2、电场强度： 电场强度是表示电场强弱的物理量。
定义式： qFE =单位： N / C 点电荷电场场强 rQ k E = 匀强电场场强 dU E =3、电势，电势能：qEA 电=ϕ，A q E ϕ=电 顺着电场线方向，电势越来越低。
4、电势差U ，又称电压 qWU =U AB = φA -φB 5、电场力做功和电势差的关系： W AB = q U AB 6、粒子通过加速电场： 221mv qU =7、粒子通过偏转电场的偏转量：2022022212121V L md qU V L m qE at y === 粒子通过偏转电场的偏转角 20mdv qULv v tg xy ==θ 8、电容器的电容：c Q U=电容器的带电量： Q=cU 平行板电容器的电容： kdS c πε4= 电压不变 电量不变（二）直流电路 1、电流强度的定义：I = 微观式：I=nevs (n 是单位体积电子个数，)2、电阻定律：电阻率ρ：只与导体材料性质和温度有关，与导体横截面积和长度无关。
单位：Ω·m 3、串联电路总电阻： R=R 1+R 2+R 3电压分配2121R R U U =，U R R R U 2111+=功率分配 2121R R P P =，P R R R P 2111+=4、并联电路总电阻： 3211111R R R R++= （并联的总电阻比任何一个分电阻小）两个电阻并联 2121R R R R R +=并联电路电流分配 1221I R I R =，I 1=I R R R 212+ 并联电路功率分配 1221R R P P =，P R R R P 2121+=5、欧姆定律：（1）部分电路欧姆定律： 变形：U=IR（2）闭合电路欧姆定律：I =rR E+ Ir U E += E r 路端电压：U = E -I r= IR输出功率：= IE -I r =（R = r 输出功率最大） R电源热功率：电源效率：=EU= R R+r 6、电功和电功率： 电功：W=IUt焦耳定律（电热）Q=电功率 P=IU纯电阻电路：W=IUt=P=IU非纯电阻电路：W=IUt >P=IU >Sl R ρ=（三）磁场1、磁场的强弱用磁感应强度B 来表示： IlFB =（条件：B ⊥L ）单位：T 2、电流周围的磁场的磁感应强度的方向由安培（右手）定则决定。
电磁学部分教案2：高斯定理在电学中的应用
电磁学是物理学中的重要分支之一，它研究电荷的相互作用和电磁场的产生、传播和作用。
在电磁学的学习过程中，高斯定理是一个非常重要的知识点，它在电学中有着广泛的应用。
本文将针对高斯定理在电学中的应用进行详细阐述。
一、高斯定理的基础知识高斯定理是电磁学中的基础定理之一，也是研究电场的核心知识点。
它通过电场的通量与电荷之间的关系，来描述电场的特性。
通量是一个向量场在一个表面上的积分，通常用Φ表示。
高斯定理的表达式为：Φ = ∫E·ds = Q/ε0其中，E代表电场强度，ds表示面元，Q表示包含在该面内的电荷总量，ε0代表真空介电常数。
该公式体现了电场的通量密度与包含在被积分闭合曲面内的电荷量之间的关系。
二、高斯定理在电学中的应用1.理解电荷分布高斯定理可以帮助我们更好地理解电荷的分布情况。
在考虑电荷密度的时候，我们可以通过高斯定理来计算它们所产生的电场强度。
具体来说，我们可以选取一个闭合曲面，计算该闭合曲面内包含的电荷总量，来确定电场在该曲面处的通量大小。
通过这种方式，我们可以更好地理解电荷的分布情况，并通过电场强度的变化来确定电场的方向。
2.计算电场强度高斯定理在计算电场强度方面也有着重要的作用。
对于一些具有对称性的电场，我们可以利用高斯定理来计算电场强度大小。
这种方法可以极大地简化计算过程，并且可以得到比较准确的结果。
具体来说，我们可以通过选取一个适当的闭合曲面，计算该曲面内的电荷总量和曲面的表面积，从而计算出电场强度的大小。
3.判断电场的性质高斯定理还可以帮助我们判断电场的性质。
在计算电场时，我们需要考虑电荷的分布情况以及电荷密度的变化。
如果曲面内的电荷密度是均匀的，并且曲面本身具有对称性，那么我们可以得到一个非常简单的结论：通量与曲面面积成正比，而与曲面的形状无关。
这种结论表明电场的分布具有对称性，且电场强度沿着法向的方向变化。
4.计算电势能高斯定理还可以帮助我们计算电势能。
具体来说，我们可以通过选取一个包含所有电荷的闭合曲面来计算电势能。
电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
电磁学考点1-2(3699个高考物理考点详解)
考点1.感应电动势大小的计算：（细分考点如下）（题型归纳见视频）(1):E ＝t n ∆∆Φ（任何条件下均适用；t ∆∆Φ为斜率，斜率的符号相同，表示感应电流的方向相同，但是斜率符号为正时，并不表示感应电流方向为正方向。
斜率的大小就表示感应电动势或感应电流的大小；一般用E ＝t n ∆∆Φ求电动势的平均值）（注意：磁通量变化率是t ∆∆Φ，而不是n ∆Φ，即磁通量变化率与线圈匝数n 无关）当线圈中的磁通量变化率为0时，感应电动势可能不为0，如右图：ad 和bc 两端有电压（线圈的总电动势为0）。
线圈在穿过磁铁N 的过程中也会产生感应电动势，但是磁通量变化率为0。
(2):E ＝tB nS ∆∆（S ：在线圈中有磁感线穿过的面积，不一定是线圈的面积。
适用于S 不变时；t B ∆∆为斜率，斜率的符号相同，表示感应电流的方向相同，但是斜率符号为正时，并不表示感应电流方向为正方向，因为电流方向的选取是我们定的。
斜率的大小就表示感应电动势大小）(3):E ＝BLV 当线圈中的磁通量变化率为0时，线圈中的感应电动势可能不为0。
适用于一根导体棒垂直切割磁感线时（n 根导体棒垂直切割磁感线时E ＝nBLV ） B 、L 和V 两两互相垂直，不垂直时，把B 或V 正交分解；V 为导体相对于磁场的速度当B 、L 和V 没两两互相垂直时，L 的有效长度为有切割磁感线的导线两端的连线在垂直速度方向上的投影长度（如左图，一弧线导线水平向右切割磁感线，E ＝BL ac V ）。
有效切割的磁感线越多，E 就越大，有效切割的磁感线相同，E就相同：V 为导体相对于磁场的速度，（如右上图，切割磁感线产生的电动势为E ＝BL （V 1+ V 2））B 为导体棒垂直切割处的磁感强度大小； B 可为非匀强磁场，如左图E ＝BLV=V R B ⋅⋅π2(4):①：E 总＝B 1L 1V 1±B 2L 2V 2（用于两根导体棒垂直切割磁感线时，B 、L 和V 两两互相垂直，两导体中的感应电流同向时用“+”号（即相互加强），反向时（即相互减弱），用“-”号。
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
电磁学 第二版 (贾起民 郑永令 陈暨耀 著) 高等教育出版社
1 q 1 2q 1 q ˆ ˆ ˆ E e e e 2 2 40 r l 40 r 40 r l 2 q 1 1 2 q 2r 2 2l 2 2 ˆ ˆ e 2 2 2 2 e 40 r l 2 r l 2 r 2 40 r r l
w.
q
kh
1-14、
da
q l a 2a l l ˆ F 0 2ln i 4 0l a a a l
w.
0 l d l a x adx xdx 0 2 2 40l l a x l a x l a x2 l a a a l a a l 0 ln 1 ln 40l a a l a a a l q l l 2a 0 2 ln 40l a al a （2）求点电荷所受的作用力，根据公式 F qE 得
后
答
5 另外一个电荷为： q 3.84 10 c 1-5、
案
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．⑤
1
网
q(5.0 105 q) 4 0d 2 5 代入数据有： q 1.16 10 c F
ww
5 1-4、设第一个球的带电量为q，则另外一个球的带电量为 5.0 10 q 有题意，F=1.0N
1-13、
解：1）求带细棒的点电荷处激发的场强。在细棒上取一元电荷 dq dx ，由点电荷场强公式得
co
2L
P
m
4
2x 0 1 dx 1 l dE 40 l a x2 l 2xdx 0 40l l a x2
丁君版工程电磁场与电磁波答案 第二章 电磁学基本理论.
2π 0
dθ
1 0
ρS • r • 4πε0 r2 +1
1 dr r2 +1
∫ ∫ = 2π dθ 1 5r ×10-9 • r • 1 dr
0
0 4πε0 r2 +1 r2 +1
∫ = ρS 1
r2
dr
2ε0 0 (r2 +1) r2 +1
= ρS (ln(1+ 2ε 0
2
)
−
1 2
)az
=90π
a 2
⎞ ⎟⎠
r2( t ) =
d
2
+
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞2 ⎟⎠
+
2
cos(
ωt
)⋅
d
⋅
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞ ⎟⎠
∴
ψ
=
b 2π
μ0 I
ln
r2 (t) r1 (t )
(2) 求 εin
ε in
= − ∂ψ ∂t
= − bμ0I 2π
1 ( r2
dr2 (t) − 1 dt r1
dr1 (t ) ) dt
10z ⋅ dz (4 − z)2
az
∫ + 10−9
4πε 0
0 −2
−10 (4 −
zdz z)2
az
=
10−8 4πε 0
(− ln 2 +1− ln
2 3
−
1 )
3
⋅
az
=
5 ×10−9 2πε 0
(ln
3 4
+
2 3
)
⋅
az
=
高中物理新课标(必修与选修3-1、2)公式大全
一、力学1、胡克定律：f = kx （x 为伸长或压缩量，k 为劲度系数，只与弹簧长度、粗细和材料有关)2、重力： G = mg (g 随高度、纬度、地质结构而变化,g 极>g 赤,g 低纬〉g 高纬)3、求F 1、F 2的合力的公式： θcos 2212221F F F F F ++=合两个分力垂直时： 2221F F F +=合注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行定则。
分解时喜欢正交分解。
（2) 两个力的合力范围：⎥ F 1－F 2 ⎥ ≤ F ≤ F 1 +F 2（3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。
4、物体平衡条件： F 合=0 或 F x 合=0 F y 合=0推论：三个共点力作用于物体而平衡，任意一个力与剩余二个力的合力一定等值反向。
解三个共点力平衡的方法： 合成法,分解法,正交分解法,三角形法，相似三角形法 5、摩擦力的公式:(1 ) 滑动摩擦力： f = μN (滑动的时候用，或是最大的静摩擦力)说明：①N 为接触面间的弹力（压力），可以大于G ；也可以等于G ；也可以小于G 。
②μ为动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关,与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关。
(2 ） 静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解，与正压力无关。
大小范围： 0≤ f 静≤ f m （f m 为最大静摩擦力） 说明:①摩擦力可以与运动方向相同,也可以与运动方向相反。
②摩擦力可以作正功,也可以作负功，还可以不作功。
③摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。
④静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。
6、 万有引力:（1）公式：F=G221rm m (适用条件：只适用于质点间的相互作用） G 为万有引力恒量：G = 6。
67×10-11 N ·m 2 / kg 2（2)在天文上的应用：（M ：天体质量；R ：天体半径;g ：天体表面重力加速度；r 表示卫星或行星的轨道半径，h 表示离地面或天体表面的高度）)a 、万有引力=向心力 F 万=F 向 即 '422222mg ma r Tm r m r v m r Mm G =====πω 由此可得：①天体的质量： ,注意是被围绕天体（处于圆心处)的质量。
程稼夫电磁学第二版第二章习题解析
前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者前辈和血色の寂宁前辈的资料.2-2变阻器在A位置时，焦耳热：，其中.变阻器在中间时，焦耳热：.代入题中数据，可得.2-32-4（1）即，在图中作出该直线，交伏安特性曲线于.两端电压.（2）电源功率之比就等于干路电流之比，即总电阻之反比，设总电阻分别为，则.2-7未烧断前总电阻，烧断后，故干路电流之比为22AB2-10注意电阻温度系数的基准是0℃，得.负载时，负载时，联立解得：.2-11题设是默认加热间断时间相等的，设为.即110V为A、B串联时的工作电压的等差中项作伏安特性曲线关于直线的对称图像，分别交另一曲线于和.得.2-15（1）电容器极板带电量，极板间电流保持为电势差为0时，极板不带电，所以.（2）最大动能的电子到达上极板时动能全部转化为电势能所以，得.K断开时，R与R1串联，该支路总电压该支路与R2并联，为R2两端电压，又R2，R3串联，R3两端电压为可以列出：两式联立，代入数据可解得：.2-18（1）由基尔霍夫方程知：.（2）沿n个电源这一路计算：2-22注意看题，不要啥都不想直接Y-△变换了设从1向O流的电流为，从2向O流的电流为，则从O向3流的电流为则可由三点的电势得到：2-即2-将等效内阻，等效电源. 2-25设有x组电池组串联，每组内有y个电池并联.法一：电源最大输出功率，电池个数.要使电源达到最大输出功率，则必有内阻与负载相等：解得法二：回路内满足：到的是Y-△变换的Y型电路（b），设出电阻即可求解，然后用Y-△变换得到△型电路（a）.2-27上式联立解得.2-28（i）由知122’1’回路为电路干路而无支路，该干路总电阻；1 2与1’2’间若有电阻，则应被导线短路.（ii）由知1 2与1’2’间确有电阻，设为；由于要求电路最简，不妨设12间仅有一个电阻；故此情况中两电阻并联：代入数据得：，带回各条件检查，满足.故电路图如下：所以安培表示数.2-30题意即5两端接电源.电压表示数是由其上电流决定的，所以可以把电压表全看成电阻，求其上电流比例.由分析，电路可简化为如下图：由节点方程可知流经并联两表中电压表的电流欧姆定律：得. 2-33由每个量程达到满偏时通过电流计的电流相同得：，干路电流为，而B，C间的电流为，即100kΩ电阻和电压表各分得干路电流的一半，可知电压表内阻也为100kΩ.在图（b）中，200kΩ电阻与电压表并联后的电阻为，电压表读数为A、B间所分的电压为.由本题推广，可以证明，电压表接入串联电路测得的数值与所测部分电阻成正比，此性质与电压表内阻无关.2-36首先说明，若测量过程中测得某两点间电阻为1Ω，由对称性及电阻串并联等效可以判断：特异电阻被短路，连接在另外两端点间.2-38等效电路图如下：其中，由电桥平衡条件，有，解得.2-39第一次实验，B端电压为40V，即电阻R分压40V，则左段电缆电阻为第二次实验，A端电压为40V，即电阻R分压40V，则右段电缆电阻为左右电缆的电阻之比为：由于电缆的电阻与长度成正比，可知左段电缆长度为由此得：2-41，解得，解得；对于上述两支路的交点A，列节点方程：；由欧姆定律，图中B点的电势为：.显然U1与U3所在支路的电流为0；由于电容所在支路电流为0，由节点方程，图中B与C之间的支路上电流为；对图中红圈内的部分列节点方程（以向下为正方向）：.2-42设该平行板电容器极板面积为S，极板间距为d，漏电流为I.由平行板电容器的电容公式，得玻璃的电阻为.由高斯2-44首先明确，无论短接哪个电阻，总电阻一定变小将五个电阻分两类，一类是四周的4 个电阻臂，一类是中间的100Ω桥上电阻.短接桥上电阻，总电阻变为203Ω；短接一支电阻臂，以500Ω的为例：两个100Ω的并联后与200Ω的串联再与300Ω的并联.可以看出300Ω的在这里与其他所有电阻并联，而并联电路中的总电阻不超过最小的电阻，故让100Ω与其他电阻并联可以使变化最大.2-45等效电阻整理得，故或.2-46本题为无穷网络等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，可将图中各个处于对称轴上的中点断开，于是电路转化为：转化为：再将A,B两点左侧网络“翻折”至右侧：单电路：，即两导线间电压为零.2-51本题为无穷网络等效电阻题，解题关键在于网络的自相似性.记A点左侧无穷网络等效电阻为R1.分析电路可知：故只需求出R1.分析R1结构可知：除去三个电阻r后剩余部分仍为一无穷网络R1：2-52（1）本题中的三角形电阻网络具有高度对称性，可将分割n次后的电阻网络（设其两顶点之间的电阻为；图中未画出分割后电阻网络的全貌；最初的只有三条边的三角形当作分割了0次）等效为如下的Y形网络：其中每个电阻的大小均为则下一次分割所得的电阻网络可以等效为三个上图所示的网络相连接而成（每个电阻变为一半），如下图所示：其中每个电阻大小为.这是一个简单的电阻网络，我们可以依据串并联关系计算其两端点间的电阻：（2，解得.2-53本题为等效电容题.（a）图中三电容实为并联；（b）图为中心对称图形，由对称性可知中间的C0等价为断路：整个线路和原来的线路完全一样，线路结构没有改变，各线上电流、各点的电势均无改变.可见，由点2到点n−1这n−2个点是完全等价的.因此，上述n−2个点的电势必然完全相同，从而这些点之间的连线上都没有电流，在考虑本题所问时，这些连线可以全部撤去，于是可得.2-58（1）电阻网络E、G两点间电压可表示为从图中的二极管D的正向伏安曲线中可査得，电压UDI对应的电流I1为25.0mA，此电流就是流过电阻R及由E点流入电阻网络的电流，将数据代入上式得由对称性可得H、A、C、F电势相等，其等效电路如图13-13所示（除两只电阻为外，（2）当引线两端P、Q与电阻网络B、D两点相接时，等效电路仍如图所示，易得通过二极管DD的电流与二极管两端电压有关系代入数据得这是一条联系UD与ID的方程，但是UD与ID又必须满足二极管的伏安特性曲线，在图中绘出上式所述直线，它与曲线的交点的纵坐标即为通过二极管的电流ID，由图中读出由对称性，，，则.2-59本题为图像分析题，同时需要用到“负载功率最大时，路端电压等于电源电动势的一半”的结论（此处证明从略）.图像显示电源可视为两个负载电流范围不同的电源``拼接''而成，分段讨论即可.电流小于0.26A时，电源电动势等于6.2V，故路端电压等于3.1V时（由（2）（3）C1电荷变化量C2电荷变化量故由a到b流过K的正电荷.2-62本题为含电容的电路分析题，只需分析始末状态和电量变化即可.通过K的电量即通过R的电量.闭合K前，两电容器不带电；闭合K并稳定后，两电容器靠近电键K的极板上均沿回路列出方程：联立解得代入数据.忽略接地信息的解法得到的答案与此一致，但无视了与大地间的电流和电位.。
电磁学第2讲——磁感应线与磁通量、安培环路定理
主要内容
一、磁通量 二、磁场的高斯定理 三、安培环路定理
复
习
洛仑兹力：
F m qv B
磁场 磁感应强度
0 0 Idl r 毕奥——萨伐尔定律 dB 4 r2
应用毕奥 ——萨伐尔定律的步骤：
（1）建立坐标系，选一般的电流元，写出 dB ; （2）分解 dB ;
无限长载流直螺线管内
0 I B 2 r
B 0 nI B 0 nI
4R
1 半无限长载流直螺线管端面中点 、磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
P
0 I r , ( r R) 2 2R 0 I , ( r R) 2 r
2R
R r
• 螺绕环电流的磁场
B dl Bdl 2 rB,
L
d
R
P
0 NI , B dl
（3）确定各分量积分的积分变量和上、下限； （4）积分
无限长直线电流的磁场
0 I 半无限长直线电流的端点外 B 4 r 直线电流的延长线上 B0 2 0 IR 圆电流轴线上的磁场 B 2( R 2 x 2 )3 / 2 0 I 半圆电流的圆心处 0 I 圆心处
B 2R B
B
B dl Bdl cos Brd , 2 0 I d 0 I B dl 2 0
b) 回路不围电流时磁感的回路积分
赵凯华编《电磁学》1-2 电场强度
（3）因为只用一根磁棒和少量铁屑，就可以在硬纸板上把磁力线清晰地 显示出来，他深信磁力线的真实性；
（4）他认为电场中的介质被极化，极化粒子一个接一个地排列成感应力 线，电的作用就是沿感应力线传递的；
场是一种时空几何、时空结构，实物也是一种时空几何、时空结构。宇 宙的一切都是不同的时空结构。场与实物的两种时空结构，表明时空既 有连续性、又有间断性、是连续与间断的矛盾运动。就场的时空看，它 是连续的，无时无处没有场，不是疏散的场、小曲率的场，就是集聚的 场、大曲率的场（实物）。就实物、粒子看，时空是间断的，只有集聚 的、大曲率的场和“波包”时空才是实物。但是一切场中都包含实物， 一切实物中都包含场，二者对立统一、相互转化、起伏连绵、形成一幅 壮丽的宇宙图景。
§2.电场、电场强度
电场
库仑定律给出了两个点电荷相互作用的定量关系
问题：相互作用是如何传递的？
电荷
直接、瞬时 电荷
超距作用
电荷
2022/4/1
传递需要时间 电荷
近距作用
近代物理证明 电场传递相互作用
1
“场”概念的起源
法拉第在长期研究电磁感应现象时，独树一帜的提出：
（1）电和磁的作用不可能没有中介地从一个物体传到另一个物体，而是 通过处于中间的介质传送的；
有的科学家说，物质粒子的存在只不过是场的完美状态在那个位置的扰动， 几乎可以说仅仅是一点“瑕疵”。这个比喻颇有道理、而且是形象生动的。 仿此，我们也可以把波比喻为广阔的沙漠，而物体、粒子就象沙漠里的大大 小小的沙丘，沙漠随时随地形成沙丘，而沙丘随时随地汇入沙漠。还可以把 场比喻为海洋，物体、粒子就象海洋中大大小小的浪花。海洋随时随处产生 浪花，浪花随时随处汇入海洋。
清华大学物理系博士生资格考试经典物理试题
2005年春季清华大学物理系博士生资格考试分析力学：两质点m1,m2，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数k ，原长d 。
在无摩擦的光滑平面上运动，转动或振动。
求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可） 电动力学：求运动电荷产生的电磁辐射能量密度力学：1.一个杆质量m ，长度l ，截面积S,杨氏模量Y 。
在光滑水平面内绕一端转动，角速度ω。
在杆内部截面上切向应力均匀分布。
求r 处的内应力，求杆的总伸长量。
2.滑轮质量M ，半径R ，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。
两桶原质量为m0，静止。
左侧桶下有个洞，水从中流出，单位时间内流出的质量为qm ，流出的水相对桶的速度为u 。
求左侧桶的加速度a(t).3.质量为m0的质点从静止开始在F=kx*x 作用下运动，考虑相对论效应，求v(t). 电磁学：1.圆柱形电容器，内半径a ，外半径b ，长l 。
上下两半为两种导电（注意是导电!!!）介质，介电常数和电导率分别为ε1，σ1，ε2σ2。
电容器中间通过的总电流为I 。
求电容器的电势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。
2.一大圆圈，半径R ，电流I 。
在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径r 。
两圆圈圆心在一条直线上。
t=0时小圆圈圆心距大圆圈圆心z ，以v 偏离大圆圈运动。
小圆圆半径r 很小，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。
求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势大小和方向。
设小圆圈自感为T ，求小圆圈中的电流i.热学：质量为m ，温度为T1，压强为P1的液体，变为压强P2，温度T2的高温高压气体。
求熵变。
给定液体比热c ，水蒸汽临界压强Pb?汽化热？。
记不清了光学：1.双缝间距d=0.4mm ，缝宽a=0.08mm 。
后面透镜f=50cm 。
一束单色平面光波长。
垂直于缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间的明条纹数量2.光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。
让光先通过1/4波长偏振片，然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是最小光强的4倍。
大物电磁学答案2
0 r1s1 0 r 2s 2 C C1 C2 1 d d
r1 r 2
2
2-2 如图平行板电容器面积为S，两板间距为d.(1)在保持电源与 电容器的极板相连接情况下扦入厚度为d’介质,求介质内外场强 之比；(2)电容器与电源断开,再扦入介质,情况如何?(3)扦入不 是介质,而是金属平板.(1),(2)这两种情况如何? d 解：(1)在保持电源与电容器的极板相连接情 ' d r 况下扦入厚度为d’介质,介质内外场强之比.
40 R 2 R q 1 1 1 (2)球壳电势v E d l E d l 300(V ) r R 40 r R 1 R 2 (3)点电荷在壳内移动不影响壳外电势，故 v 壳 120(V )
1 2
补充2.2 以内外半径分别为R1和R2的金属球壳,带电量为Q,问： (1)球心处的电势是多少？(2)若再在球壳内离球心为r0处,绝缘 地放置一个点电荷q0,这时球心处的电势是多少？(3)若在球外离 球心为r处再放置一个电量为q的点电荷，球心处的电势是多少？ 解:(1)当求带电为Q时，球壳电势为： v
x
(1)
q q v(0.05 ) 0dr dr 2 0.05 0.1 4 r 2 4 r 0 0
0.5
900 ( v )
r 0.5
7
( 2)
( 3)
q q v(0.15 ) dr 0.15 4 r 2 4 0 r 0
600 ( v )
3q 1 4 2s
(2)两板间的电势差
q 1 3 2s
2 q.d v1 v 2 E d d 0 2 0 s
电磁学-程书分级(第二版)5页打印版
P162
习题1-37
2
第二问计算时要注意哪些是可以舍掉的二阶小量，不然算不到答案上
P162
习题1-38
1
P163
习题1-39
1
P163
习题1-40
1
P163
习题1-41
1
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习题1-42
1
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习题1-43
1
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习题1-44
1
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习题1-45
1
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习题1-46
1
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习题1-47
P169
习题1-78
1
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习题1-79
1
P169
习题1-80
1
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习题1-81
1
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习题1-82
1
P170
习题1-83
1
P170
习题1-84
1
见P165习题1-50
P170
习题1-85
1
第三问答案可能有误，习题1-49几乎完全一样
P170
习题1-86
1
“相对介电常数”
P170
习题1-87
P49
练习1-30
2
要用积分
P50
练习1-31
1
第二问是假设三个半径均为已知
P52
练习1-32
2
从该题目解答来看，题目应当默认高压电缆的电压为常量，谜之对b求导
P53
练习1-33
1
答案有误
P55
练习1-34
2
解答有误
P60
练习1-35
1
P62
练习1-36
电磁学第二章
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用
电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用磁场是一种特殊的物质场，是指空间任意点处存在磁势和磁场强度的物理现象。
磁场可以存在于空间中的任何物质体中，这些物质体包括磁体、电流、电子等。
磁场对于现代生产和科技领域中的许多应用至关重要。
本文将会介绍电磁学部分教案2：磁感应强度的理解和应用。
1.磁感应强度的概念及量纲磁感应强度是研究磁场的基本量之一，指单位电流通过导线时在垂直于导线方向上产生的磁场的强度，它用符号B表示，其量纲为[磁感应强度] = [力] / [电流·时间] = 牛/安培（T）。
2.磁感应强度的测量方法磁感应强度的测量方法有很多种，其中最常见的方法是通过磁场感应定理进行测量。
磁场感应定理又称法拉第定律，它是指在闭合电路中，磁通量的改变会产生感应电动势。
根据这个定理，我们可以使用电动势计或霍尔效应测量磁感应强度。
3.磁感应强度的应用磁场在现代科技生产中有许多重要应用，其中磁感应强度是其中一个重要参数。
具体应用如下：(1)电机：在电机中，磁场可以将电能转换成机械能。
其中，电动机中必须有磁感应强度才能产生电磁力，从而使它们工作。
(2)磁卡：磁卡是一种储存数据的技术。
在磁卡上的磁块可以根据磁场方向不同表示不同的“0”和“1”位，通过在读写器上产生磁场来读取或写入数据。
(3)磁共振成像技术：磁共振成像技术是一种非侵入性的医学检查技术，它利用磁场和射频波产生的共振现象来获取人体内部的影像信息。
(4)磁力测量：在测量磁力的时候也需要用到磁感应强度，因为磁力的大小与磁感应强度有关。
(5)导航：在空间导航中，磁场是一种重要的导航手段。
通过将磁场感应定理应用于航天器，就可以监测小行星、到达火星等行星。
4.磁感应强度的应用范围磁感应强度在现代科技中被广泛应用，它们包括但不仅限于以下几个领域：(1)电机：汽车、航空航天、等领域中的各种电机。
(2)电子设备：记录设备、显示屏、读写器等等。
(3)医疗设备：核磁共振成像（MRI）、磁型治疗设备、等离子光子疗法和其他准转的放射科学等等。
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26
电磁学
2-1
注意
静电场中的导体
电荷面密度为 的无限大带电平面的电场与面电荷密度 为 的无限大带电导体表面附近的电场是不同的。（P67） 例1 (P72例2.1-5)两个半径分别为R和r 的球形导体 （R > r），用一根很长的细导线连接起来（如图）， 使这个导体组带电，电势为 ，求达到静电平衡时， 两导体球上的电荷面密度之比值。
S S内
E 垂直表面
E外 表 面 0
e n e n h
E
导体表面外附近空间场强的大小与该处导体电荷的面密 度成正比。但这并不是说导体表面附近某点的场强只由邻 近的表面电荷密度决定，导体表面附近某点的场强是由导 体上的所有电荷共同决定的。
q 1 1 1 qQ ( ) 4 π 0 R1 R2 4 π 0 R3
第二章 静电场与导体
E 0
R1
R2
E 0
R3
31
电磁学
2-1
静电场中的导体
②用导线连接A、B ，再作计算 连接A、B ，
q (q)
Q q
中和
Q q q
B
A
球壳外表面带电
q R1 R2
O
r R3 r R3
第二章 静电场与导体
25
电磁学
2-1
静电场中的导体
侧
S
E d S E d S E d S E d S E外 表 面 S
外底 内底
导体内 E 0
E d S q / 0 S / 0
导体达到静平衡
E感
+ + + +
E外
E内 E外 E感 0
第二章 静电场与导体
+ +
16
电磁学
2-1
静电场中的导体
金属球放入前电场为一均匀场
E
第二章 静电场与导体
17
电磁学
2-1
静电场中的导体
金属球放入后电力线发生弯曲 电场为一非均匀场
++ + E + ++
静电场中的导体
在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体不会影 响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔导体，空腔内 的带电体对腔外的物体不会产生影响。这种使导体空腔 内的电场不受外界影响或利用接地的空腔导体将腔内带 电体对外界影响隔绝的现象，称为静电屏蔽。
许多科学研究和医学检查的精密仪器，为了避免干 扰就必须放置在屏蔽室（网）中，如宽带示波器，锁相 放大器，B型超声设备。
E外
+ + +
+ + 加上外电场后
第二章 静电场与导体
10
电磁学
2-1
静电场中的导体
+ + + + + + +
E外
加上外电场后
第二章 静电场与导体
11
电磁学
2-1
静电场中的导体
E外
+ + + + + + 加上外电场后
第二章 静电场与导体
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电磁学
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静电场中的导体
E外
+ + + +
+
+ + + 加上外电场后
第二章 静电场与导体
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静电场中的导体
+ + + + + + + +
E外
+ +
加上外电场后
第二章 静电场与导体
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静电场中的导体
+ + + + +
E外
+
+ +
+ +
加上外电场后
第二章 静电场与导体
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电磁学
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静电场中的导体
+ + + +
第二章 静电场与导体
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电磁学
2-1
（2）腔内有带电体
静电场中的导体
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量 异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定，腔外 导体和电场不影响腔内电场。
腔内电荷的位置不影响导 体外电场。
外表面接地，腔外电场消失。
第二章 静电场与导体
35
电磁学
2-1
Ⅱ. 静电屏蔽
1 Q R 4 0 R
1 q r 4 0 r
当用导线连接时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 Q 和 q ，但导线很细，分布在导线上的电荷忽略不计。这时两 导体球的电势相等，即
第二章 静电场与导体
28
电磁学
2-1
静电场中的导体
Q q R r 由电荷守恒定律得 Q q Q q R r (Q q) q (Q q) 由此得 Q Rr Rr 面电荷密度 Q q R r 2 2 4π R 4πr r
R3
E0
R3
Qq o E d r E d r 4 0 R3 0 R3 qQ Edr 4 0 r r
第二章 静电场与导体
32
Qq E 4 0 r 2
电磁学
2-1
4.静电屏蔽
静电场中的导体
L
Ⅰ.空腔导体内外的静电场
(1)腔内无带电体 从导体的静电平衡条件和高斯定理立即可得到空腔导体 内表面电荷代数和为零。 假设内表面一部分带正电，另一部分带等量的负电，则必 有电场线从正电荷出发终止于负电荷。 取闭合路径L，一部分在空腔，一部分在导体中。
静电平衡条件
电场
导体内部场强处处为零
表面场强垂直于导体表面 导体为一等势体
电势
导体表面是一个等势面
第二章 静电场与导体
20
电磁学
2-1
3.导体上的电荷分布
静电场中的导体
处在静电场中的导体，不管它本身是否带电，最终总有一 定的电荷分布，这是达到静电平衡状态所必需的。可证明：达 到静电平衡时，电荷只能分布在导体的表面上，导体内部电荷 体密度处处为零。 下面用高斯定理说明如下： +Q + + 3.1 实心导体的电荷的分布 高斯面 1 + S E d S qi 高斯定理 s 0 + + 因导体静电平衡时 + + E内 0
例3 （例2.1-1）
静电场中的导体
一面积为S的很大金属平板A，带有正电荷，电量为 Q，A1 和A2是金属板的两个表面，计算两表面上的电荷单独产生的 场强和它们的合场强。
A2
+ + 解 因导体板的面积很大，厚度很小， 可认为电荷 Q均匀分布在A1和A2 两个表面上，电荷面密度为 + + + + + + + +
r
R
R
可见面电荷密度和曲率半径成反比，即曲率半径愈 小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。（这是粗略说明）
第二章 静电场与导体
29
电磁学
2-1
例2 已知:
静电场中的导体
R1
R2
R3
q
Q
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 ②如用导线连接A、B ，再作计算 解 电荷分布 由高斯定理得 场强分布
B
Q q q q R1 R2
3.导体表面的场强 由静电平衡条件，已知导体处于静 电平衡时，其表面附近的场强方向必定 处处与导体表面垂直；现在进一步计算 它的大小。 由高斯定理可证明 证明：
E
E外 表 面 0
在导体表面某处取面元 S ，可认为 S 上的电荷面密度处 处相等，且 S 各点的场强都与面元法线单位矢量 en平行。取 包围面元 S 的圆柱面 S 为高斯面，使它的两底分别位于导体 内外两侧与导体表面平行，面积都是 S ，侧面与导体表面垂 直，高为 h 很小。把高斯定理用于这一封闭曲面，注意到在 导体表面附近非常靠近表面处的场可认为是均匀的，得
A
O
R3
q
q
Q q
0
q
r R1
R2 r R3 R1 r R2
4 π 0r 2 E
Qq 4 π 0r 2
第二章 静电场与导体
r R3
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电磁学
2-1
静电场中的导体 Q q q
B
A
q R1 R2
O
球心的电势
R3
o E d r E d r E d r E d r E d r R1 R2 R3 0 r
第二章 静电场与导体
6
电磁学
2-1
静电场中的导体
E外
+ + +
+ + 加上外电场后
第二章 静电场与导体
7
电磁学
2-1
静电场中的导体
E外
+
+
+
加上外电场后
第二章 静电场与导体
8
电磁学
2-1
静电场中的导体
E外
+ + +
+ +
加上外电场后
第二章 静电场与导体
9
电磁学
2-1
静电场中的导体
E d S 0