第8章 常见几何图形

C. 73
2
D.
75 2
E
M
H
解 （取特殊值法）
令 E 与 D重合
A
G
B
C
D ★（2011年）
N
F
A
D( E ) N
H
在 RtMDN 中， MD 4,
3 DN 2

法二
9 73 MN 16 . 4 2
B F
E ( A)
M
G
C
RH N D
3、圆
O
r
S r C 2 r d
周长，面积
S
底

高
菱形： 邻边相等的平行四边形。 对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分 c. 梯形
M
a
h
N
1 S梯 (a b) h 2
中线
1 | MN | (a b) 2
b
例 在平面上，正方形共有（ A ）条对称轴。
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 （2012年）
解
厚忽略不计）放有一个半径为1分米的球。若盒子 随意翻动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分 的面积是（ C ）平方分米。 A. 24 B. 60 C. 72 D. 96 （2012年）
解 盒子内表面的每个面上能接触到 球的那部分面积为： (4 2) 2 4
所求的面积为：
(4 2 4) 6 72.
h 10
V r h
2
2
r
3 8 72
例 一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，
母线长为3。将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜 2 使水缓慢流出。当容器中剩下的水为原来的 时， 3 圆柱的母线与水平面所成的角等于（ B ）. A. 30
1 1 面积 S r l r 2 2 2
5、平面图形的全等和相似关系 设 A 、B 是两个平面图形 全等：若其形状和大小完全一样。 记作： A≌ B 两个全等的平面图形必然可以移动至重合。 相似：若其形状相同。 记作： A∽B 即 对应边成比例，对应角相等。
● 相似三角形的识别： ① 定义。 ② 两角对应相等，两三角形相似。 ③ 三边对应成比例，两三角形相似。 ④ 两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。 由上知：
3, 4,5
6,8,10
● 直角三角形斜边上的中线 = 斜边长的一半。 ● 直角三角形外接圆的直径 = 斜边长。
补 某直角三角形中，斜边上的中线长为2.5，周长
为12，则此三角形面积为（ D ）。 25 A. 12.5 B. 12 C. D. 4 解 由题知，斜边长为 5.
6
5
b
ab 7 ｛a 2 b2 25
解
D
E H
G
a
C
F B
设小正方形边长为 a ，则
A
又
2
S a
2
2
BC (2a ) (2a ) 2 2a
AB (3a) 2 (3a) 2 3 2a
2
2a 3 2a S S 2 故 a 12
例 在四边形ABCD 中对角线 AC 、BD 垂直相交
于 O 点，若AC 30 ， BD 36 ，则四边形 ABCD 的面积为（ D ）. A. 1080 B. 840 C. 720 （P81 第5题） D. 540 （05年）
4
1
2、圆柱体 ①
h
r
2 r
②
V 底面积 2 r h S侧 2 r h
高
h
例 一圆柱体的高与一正方体的高相等，且它们的
侧面积也相等，则圆柱体的体积与正方体的体积 的比值为多少？ （P80 例2）
解
由题知，
h
r
2
h
2 r h 4 h r 2 h
2
2 2 4 r 2 V柱 r h ( ) ( ) 3 h h V正
a b c 14 ｛2(ab bc ac) 22 ｛2(ab bc ac) 22 即 2 (a b c) 36 方程两边分别相加，得 abc 6
a b c 14
2 2 2
2
故 所有棱长和为：
4(a b c) 24
例 一个棱长为4分米的密封的正方体盒子里（壁

p( p a)( p b)( p c)
abc (p ) 2
直角三角形 ● 三角形的分类 a. 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
A
c
b
B a C
●
a 2 b2 c2 A B 90
a b a sin A , cos A , tan A b c c
解
B
A
D
S ABCD S ABD SCBD
1 1 BD AO BD CO 2 2 1 BD( AO CO) 2
O
C
1 BD AC 540 2
例 如图，面积为9平方厘米的正方形 EFGH 在面积 为25平方厘米的正方形 ABCD 所在平面上移动，
DH 的 始终保持 EF // AB 。记线段 CF 的中点为 M ， 中点为 N ,则线段 MN 的长度是（ C ）厘米. 25 73 C B M A. B. 4 4 F G
S圆 r
2
（08年）
设正方形边长为 a, 则
a 8
2
A
M
E
D
N
a2 5 2 在 Rt 中，r a ( ) a 10 2 4
2 2
过圆心 O 做 OE AD a 则 AE 2
a r
B O C
故
S圆 10
4、扇形 弧长
O
l r
（ 用弧度制）
r
l

2
● 圆周角、圆心角的定义及结论
▽ ① 在同圆或等圆中，
等弧所对的圆周角相等； 等弧所对的圆心角相等。
② 同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
★③ 直径所对的圆周角为直角。
BC 6 ， 例 在 ABC 中，AB 10 ， AC 8 ，
过 C 点以 C 到 AB 的距离为直径作圆，该圆与 AB 有公共点，且交 AC 与 M ，交 BC 与 N ，则 MN 等于（ B ）。 ★★（P80 第2题） 1 1 A. 3 3 B. 4 4 C. 7 D. 13 （05年） 3 2 5 4 C 解 由题知， ABC 为直角三角形 M 6 8 C 为直角 N
ab 12
a

1 1 S ab 12 6 2 2
▽
补 某三角形的三边长分别为
3, 4,5 ，则其外接圆
直径的长等于（ C ）。 A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
b. 等腰三角形
腰
c. 等边三角形
三边相等、三内角相等
例 如图，直角 ABC 中 C 是直角，点 E 和点 D 、 F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，且 AF FE ED DC CB ，则 A （ C ）。 A. B. C. D. ★（P81 第3题） 11 10 8 9 （04年） 解 B D B 4A F
关键求 x.
在 Rt 中，
(8 x) 2 42 x 2
解之，
x5
D, E 分别是 AB, AC 上的点， 例 正三角形 ABC 中，
F , G 分别是 DE , BC 的中点。已知 BD 8cm, A CE 6cm, 则 FG （ B ）厘米.
A. C.
13
B. D.
★★ 第8章
常见几何图形
一、常见平面几何图形
（三角形、四边形、圆、扇形）
二、常见空间几何图形
（长方体、圆柱体、圆锥体、球、四面体）
一、常见平面几何图形 1、三角形
A
c
B
b 1
三个内角、三条边
a
C
A B C 180
C 的外角： 1 A B
1 S 底 高 （任一边均可作为底） 2 1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
平方厘米。 A. 10 B. 12.5 C. 20 D. 25
★（P81 第7题）
（06年）
D
OF
解 设大半圆半径为 R，小半圆半径为 r
过圆心 O 作
OD AB
A
M E
B
N
S S
阴
大半圆S小半圆Fra bibliotek1 1 2 1 25 2 2 2 R r (R r ) 2 2 2 2
A
10
D
B
又 AB CD AC BC 即
又 M 、N 在圆上 MN 为直径。 故 MN CD
10 CD 8 6
4 CD 4 5
例 如图，小半圆的直径 EF 落在大半圆的直径 MN 上，大半圆的弦 AB 与 MN 平行且与小半圆相切， 弦 AB 10 厘米，则图中阴影部分的面积为（ B ）
C
E
A
A B

5A

2
A

10
2
例 已知长方形的长为8，宽为4，
将长方形沿一条对角线折起压平 则阴影三角形的面积为（ B ）. A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
x
4
8
（P80 第1题） （06年）
.
解 S 1 底 高 2 1 x4 2 1 5 4 10 2
例 边长分别为8厘米和6厘米的两个正方形 ABCD
与 BEFG 并排放在一起，如图所示，直线 EG 交 DC 于P ， AC 交 PG 于 K ，则三角形 AEK 的面积是（ B ）。 （2012年） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51