江苏省无锡市江阴高级中学2020-2021学年第一学期高二数学周测四
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“x∈R，x≤1或x>4”的否定为．2.若直线x+ay−a=0与直线ax−(2a−3)y−1=0垂直，则a的值为3.设条件p：|2x+3|<1；条件q：x2−(2a+2)x+a(a+2)≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．4.圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心坐标为______ ．5.已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a//b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是______ ．6.已知直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2<θ<0)，则直线l的倾斜角为______．7.圆锥的侧面展开图是面积为2π的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是______．8.直线y=x+2被圆M：所截得的弦长为9.设椭圆C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为e=12，抛物线C1：y2=−4mx(m>0)的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为______．10.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是______．11.若不等式的解集为区间［a，b］，且b−a=2，则k=______________．12.已知圆C1：x2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x−1=0相交于两点A，B，则直线AB的方程为______．13.已知圆O：x2+y2=1，圆N：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a>0)，若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则a的取值范围是______．14.已知倾斜角为α的直线l与直线2x+y−3=0垂直，则cos(2019π+2α)=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知圆C的方程为，过点斜率为的直线与圆交于另一点，且(1)求直线的方程；(2)时，求过点且与圆C相切的直线的方程．16. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PA=PB，PC=2．(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)H为PA的中点，求二面角D−CH−B的余弦值．17. 设命题p：方程x22+k −y23k+1=1表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P(−2,1),且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p，q都是真命题，求k的取值范围．18. 如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB=2DE，∠ADE=90°.线段BE上的点M满足BM=2ME．(1)证明：DE//平面GMC；(2)求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．19. 如图，直线PA为⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于E，F两点，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．(1)若PA=4，PE=2，求⊙O直径的长度．(2)证明：PA=PD．20. 已知椭圆C1的方程为x24+y22=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2√2，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：． 解析：由题意得，， 故答案为：．2.答案：0或2．解析：当时，两直线分别为与，显然垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上的值为0或2．3.答案：[−3,−2]解析：解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，且q ⇏p ．记p ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，q ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}，则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立， 解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．4.答案：(2,2)解析：解：由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，∴圆心坐标为(2,2)．故答案为：(2,2)由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，即可得到圆心的坐标．本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．5.答案：①解析：解：对于①，若a//b，a⊥c，由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，可得b⊥c，故①对；对于②，空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故②错；对于③，比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，故③错；对于④，已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b 所成的角，故④错．故答案为：①．由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，即可判断①；空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，即可判断②；比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，即可判断③；已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，即可判断④．本题考查空间两直线的位置关系：平行和相交或异面，考查异面直线所成的角的概念，是一道易错题，也是基础题．6.答案：π+θ解析：解：设直线的倾斜角为α<θ<0)，直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2，则直线y=tanθx+2cosθ则直线的斜率k=tanθ=tanα，则α=π+θ，故答案为：π+θ设直线的倾斜角为α，0≤α<π，即可求出答案．本题考查了直线的倾斜角的问题，关键掌握倾斜角的范围，属于基础题．7.答案：√3π3。
江苏省无锡市江阴实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析
江苏省无锡市江阴实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D参考答案：C2. 在等差数列中,,则的前5项和（）A、10B、7C、20D、25参考答案：A3. 已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴===﹣i；∴，解得﹣6＜a＜，∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}．故选：B．4. 已知为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则A.B.C.D.参考答案：A略5. 已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是: （）A．B．C．D．参考答案：B6. 在一次试验中，测得的四组值分别是，则Y与X之间的回归直线方程为（）A． B． C．Ｄ．参考答案：A7. 用反证法证明“若，则中至少有一个小于1”时，应（）A、假设至少有一个大于1B、假设都大于1C、假设至少有两个大于1D、假设都不小于1参考答案：D8. “”是“直线和直线互相平行”的（）条件充分不必要必要不充分充分必要既不充分又不必要参考答案：C略9. 求由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积错误的为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据定积分知识，可确定正确；利用图形的对称性可将转变为；利用反函数的思想，结合定积分可确定所求面积为，错误，结合图形对称性可知正确.【详解】曲线，直线及轴所围成的图形如下图阴影部分所示：则阴影部分面积可表示为：，可知正确；根据对称性可知，阴影部分面积可表示为：，可知正确；由得：；由得：可画出图象如下图所示：则阴影部分面积可表示为：，可知错误；根据对称性可知：阴影部分面积可表示为：，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查利用定积分来求解曲边梯形面积的问题，关键是能够准确确定两函数的位置关系，同时结合图形的对称性将面积进行等量转化.10. 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：B【分析】由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B 【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量观测值即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定积分= 。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知{a n}是以q为公比的等比数列，a n>0且q≠1，则()A. a1+a6>a3+a4B. a1+a6≥a3+a4C. a1+a6=a3+a4D. a1+a6与a3+a4的大小不确定3.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(−，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()．A. B. C. D.4.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的()A. 充分且必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=15，a3=5，则公比q的值为()A. −12B. 1 C. −12或1 D. 12或16.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知f(x)=log2(x−2)，若实数m，n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()A. 5B. 7C. 8D. 98.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=−1，则a4等于()A. 2B. 0C. −1D. −29.√x(8−x)的最大值是()A. 4B. 2√2C. 4√2D. 1610. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E +D =1B ，则A ×B =( )A. 6EB. 72C. 5FD. B 011. 下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n 项和的是( )A. S n =3n −1B. S n =3nC. S n =3n +1D. S n =3n +212. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +14，则a n =( )A. 2n−1 B. (12)n+1 C. 2n−3D. (14)n二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 给出下列命题：①函数y =sinx 在第一象限是增函数； ②函数y =cos(ωx +φ)的最小正周期T =2πω；③函数y =sin(23x +72π)是偶函数；④函数y =cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到y =sin(2x +π4)的图象． 其中正确的命题是______ ．14. 在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q = ______ ．15. 在△ABC 中，BC =2，sinB +sinC =3sinA ，则中线AD 的取值范围是______． 16. 设，若恒成立，则实数的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a >0且满足不等式22a+1>25a−2． (1)求实数a 的取值范围．(2)求不等式log a (2x −1)<log a (7−5x)．(3)若函数y =log a (2x −1)在区间[1,3]有最小值为−2，求实数a 值．18. 已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n −2,b n =n 2(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，令T n 为的前n 项和{c n }，求T 2n ．19. 已知关于x 的不等式ax 2+bx −1≥0． (1)若此不等式的解集为[3,4]，求a +b 的值； (2)若a =−1，解此不等式．20. 在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中联考数学试题一、填空题1．命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2n x n ∃∈≤N故答案为2,2nx n ∃∈≤N2．过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0．【解析】两条直线的位置关系 3．32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）【答案】充分不必要【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4．若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y +=【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=. 故答案为221x y +=5．已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.【答案】π4【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.【答案】32【分析】，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值.【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以l ＝2r ， 即S 2＝12l ×2πr ＝2πr 2＝92π，所以12S S ＝92π＝32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8．直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2-【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),210)a a a a -><或,因为直线被圆截得的弦长为2,21a a --2211a a ++21a a --则2a =-.故答案为-29．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____. 【答案】22143x y +=【分析】由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程.【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10．已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误;由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11．已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______.【答案】0⎡⎣【分析】方程y()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令y k x =,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k 所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为3⎡⎣【详解】12．已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切， ∴|C 1C 2()22()(22)a b a b ++---=+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭． 故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题． 13．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,又圆的半径为2当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥,所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O的直线:l y =kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a kma kb -+所以0y =2222b m a k b +,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b+=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12.故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题15．（1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得．（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．如图，过底面是矩形的四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ； (2)平面DAF ⊥平面BAF . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形, ∴FG ∥ED .又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED .(2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF ,又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17．在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<, 解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <<若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（1）3312a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意23BCD S =△，231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a =，又12CG a =，∴CF CDCG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥， 又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ， ∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[221,2221]-+.【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离 2675.55mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()2255463755,t -≤+-+-≤+⎡⎤⎣⎦解得22212221t -≤≤+. 因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡-+⎣.【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM+的最小值. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）22【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 的方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.。
江苏省江阴高级中学2020—2021学年度第一学期10月学情检测高二数学
江苏省江阴高级中学2020—2021学年度第一学期10月学情检测高二上学期月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一元二次不等式的解集为（ ） A ．或 B ．或 C ．D ．2.“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤-B ．14a -≤C ．2a ≤-D ．0a ≤3.已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且426++9a a a =，则3579log ()a a a ++=（ ） A ．-3B ．3C ．13-D ．134.设a ，b ，c >0，则111,,a b c b c a +++（ ）A. 都不大于2B. 都不小于2C. 至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于25.已知x ，y 都是正实数，且 xy =2x +y ，则x +y 取得最小值时，x =（ ） A. √2B. √2+1C. 1D. √2−16.已知等比数列中，1231a a a =，34564a a a =，则3=a （ ） A ．2±B ．-2C ．2D ．47.正项数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则此数列的第2020项为（ ） A.201912 B.202012 C.12020D.110108.对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯(2)(5)0x x +->{|2x x <-5}x >{|5x x <-2}x >{|25}x x -<<{|52}x x -<<{}n aC ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.下列说法不．正确的是（ ） A. 数列1，3，5，7可表示为{}1,3,5,7B. 数列1，0，−1，−2与数列−2，−1，0，1不．是．相同的数列 C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数10.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >11. 已知数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（）,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法正确的是12. 设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则6S =________________.14.函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________. 15. 若数列{c n }满足312121211333nn c c c c n -+++=+，则{c n }的通项公式为_______________. 16.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本题满分10分）解下列不等式：（1）2122x x -<+≤ （2）2132x x +≥-18. （本题满分12分）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<， 集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（1）当3a =时，求A B ；（2）已知1a >，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.19. （本题满分12分）如图，已知直角三角形ABC 中，2,AB AC AD ==斜边BC 上的高，以AD 为折痕，将ABD ∆折起，使BDC ∠为直角．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDC （ （2）求点D 到平面ABC 的距离.20. （本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*4221a a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12nn n a a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21. （本题满分12分）已知南方某发达城市2019年新建住房面积为500万2m ，其中安置房面积为200万2m ．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万2m ． 记2019年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万2m ？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由．22. （本题满分12分）已知数列的前项和为，已知，，.（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； （2）若数列逐项递增，求实数的取值范围.选择题：1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.AD 10. CD 11. C D 12. AB填空: 13. 117 14. 26 15. c n ={3 ,n =12×3n−1 , n ≥2 ,n ∈N 16. 9解答17. （本题满分10分）解下列不等式：（1）2122x x -<+≤ （2）2132x x +≥- （I ）22210220x x x x ⎧++>⎪⎨⎪+-≤⎩解得13131x x ≠-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩{}|31311x x x ∴--≤≤≠-不等式的解集为且………………………5分 （Ⅱ）(24)(32)02420223233x x x x x x --≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨-≠⎪⎩……………………8分 {}n a n n S ()13a a a =≠13nn n a S +=+*n N ∈3n n n b S =-{}n b {}n b {}n a a2|23x x ⎧⎫∴<≤⎨⎬⎩⎭不等式的解集为………………………10分18.非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B ；（Ⅱ）已知1a >，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.（I ）{}|38A B x x =<<；（Ⅱ）(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭（I ）当3a =时，{}2|10160A x x x =-+<()(){}|280x x x =--<{}|28x x =<<；{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<{}|311x x =<<；………………………2分 故{}|38A B x x =<<.………………………………4分 （Ⅱ）()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>. ∴{}2|2B x a x a =<<+.∵1a >，∴312a ->，∴{}|231A x x a =<<-，………………………………6分 ∵q 是p 的必要条件，∴A B ⊆ ………………………………8分要使A B ⊆，需要212312a a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≤+⎩………………………………10分 ∴12a <≤.………………………………12分19.如图，已知直角三角形ABC 中，2,AB AC AD ==斜边BC 上的高，以AD 为折痕，将ABD∆折起，使BDC ∠为直角．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDC （ （2）求点D 到平面ABC 的距离. （1）证明：（AD（BC（AD（DC（BD∩DC=D（（AD（平面BDC（ 又AD ⊂平面ABD（（平面ABD（平面BDC（………………………………6分 （2）解：取BC 的中点E（（AB=AC（BD=DC（（DE（BC（AE（BC（（BC（平面ADE ，过D 点作DM（AE ，则DM（平面ABC（ 在Rt（ADE 中，AD=1（DE=2（（2AE = （斜边AE 上的高DM==3（ （D 点到平面ABC ………………………………6分 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*4221a a n =+∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n a a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . （Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1431994n n n T -+=-⨯（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()11114642321a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩.所以()11221n a n n =+-⨯=-.………………………………4分（Ⅱ）因此212212211224n n n n n n n b ------===. 所以011011444n n n T --=++⋅⋅⋅+，1110214444n n n n n T ---=+⋅⋅⋅++， 相减得0113011144444n n n n T --=++⋅⋅⋅+-11111311344334n n n n n -⎡⎤-+⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥⎣⎦.………………………………10分故：1431994n n n T -+=-⨯.………………………………12分 21. 已知南方某发达城市2019年新建住房面积为500万2m ，其中安置房面积为200万2m ．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万2m ． 记2019年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万2m ？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m2， 则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2. …………………………6分 （2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m m m m -++=⨯⨯，解得7m =. 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. …………………12分22.已知数列的前项和为，已知，，.（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； （2）若数列逐项递增，求实数的取值范围. 解析 解：（1）由得：，即．所以即 ………………………………2分又，是首项为，公比为的等比数列， (3)分 且………………………………4分{}n a n n S ()13a a a =≠13nn n a S +=+*n N ∈3n n n b S =-{}n b {}n b {}n a a（2）解：由(1)知，………………………………6分由，得对任意都成立，化简得：，………………………………8分又因为，所以，解得……………………………10分而当时，，综上所述，………………………………12分。
2020年江苏省无锡市江阴第一高级中学高二数学文月考试题含解析
2020年江苏省无锡市江阴第一高级中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的大致图象是（）A. B.C. D.参考答案：D分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【详解】函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C；故选：D．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．2. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（）A．B． C. D．参考答案：B如图所示，在棱长为2的正方体中，点A,B,C为正方体的顶点，点D,E为所在棱的中点，由三视图换元后的几何体为四棱锥，且四棱锥的侧面底面，点A到直线BE的距离为棱锥的高，解得高为，所以四棱锥的体积为，故选B．3. 已知数列的前n项和，若，则n的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：A4. 住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图．为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长，由此利用对立事件概率计算公式能求出熊大，熊二至少一个被选为组长的概率．【解答】解：从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长，基本事件总数n==21，熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长，∴熊大，熊二至少一个被选为组长的情况为=10，∴熊大，熊二至少一个被选为组长的概率p==．故选：C．5. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()参考答案：B6. 若x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．12 B．4 C．D．0参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，4），化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B（4，4）时，直线在y轴上的截距最大，z 最大为2×4+4=12．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7. ，则等于（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据排列数公式即可得出答案.【详解】故选：A【点睛】本题主要考查了排列数公式的应用，属于基础题.8. 一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）A．至多有一次为正面 B．两次均为正面C．只有一次为正面 D．两次均为反面参考答案：D9. 若函数f(x)=3ax2+6x－1，若f(x)≤0在R上恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C10. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（）A． B． C．１D．不确定参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是定义在上的偶函数，若方程恰有两个实根，则实数的取值范围是▲．参考答案：略12. 已知两点A(–2, –2), B(1, 3)，直线l1和l2分别绕点A, B旋转，且l1//l2，则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .参考答案：13. 直线y＝x＋b交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．参考答案：214. 直线关于直线对称的直线方程是______________．参考答案：略15. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)，参考答案：B16. 完成下列进位制之间的转化：________参考答案：16017. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下滴．参考答案：75【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省无锡市江阴第一高级中学2021年高二数学理月考试题含解析
江苏省无锡市江阴第一高级中学2021年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆C：的左右焦点为F1、F2 ，离心率为，过F2的直线l交C与A,B 两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（）A. B. C. D.参考答案：A2. 设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，p: A，B的体积不相等，q:A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件.故选：A.4. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为（）A.2B.1C.0D.参考答案：C略5. 四进制数201(4)表示的十进制数的是 ()A．31 B．32 C．33 D．34参考答案：C6. 总体容量为102，现用系统抽样法抽样，若剔除了2个个体，则抽样间隔可以是( )A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义进行判断即可．解答：解：剔除了2个个体之后，样本为100，∵100能被10整除，∴样本间隔可以是10，故选：D点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．7. 已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，计算可得c 的值，进而由焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；故选：B．8. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①②③④其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．①④D．②③参考答案：C略9. 连结正五边形的对角线交另一个正五边形，两次连结正五边形的对角线，又交出一个正五边形（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形（）个.A．50 B．75 C．85D．100参考答案：C.解析：对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]，则.,由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”.据对称性可知.因此等腰三角形共有个.10. 函数的值域是………（）A B C D参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有________．(填上所有正确命题的序号)(1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；(2)三棱锥A′—FED的体积有最大值；(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED；(4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直．参考答案：(1)(2)(3)由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，DE?面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，∴(1)(3)均正确．当A′G⊥面ABC时，A′到面ABC的距离最大．故三棱锥A′—FED的体积有最大值．故(2)正确．当A′F2＝2EF2时，EF⊥A′E，即BD⊥A′E，故(4)不正确．12. 将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式为___________．参考答案：略13. 已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是参考答案：a≤8略14. 代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．参考答案：3【考点】类比推理．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．15. 设函数,观察：，，，，，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .参考答案：略16. 已知点（x ，y ）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y 的最大值是__________．参考答案：6考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：将z=2x+y 化为y=﹣2x+z ，z 相当于直线y=﹣2x+z 的纵截距，由几何意义可得． 解答： 解：将z=2x+y 化为y=﹣2x+z ，z 相当于直线y=﹣2x+z 的纵截距， 故由图可得，当过点（3，0）时，有最大值， 即z=2x+y 的最大值是6+0=6； 故答案为：6．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．17. 以点为圆心的圆与抛物线y =x 2有公共点，则半径r的最小值为 ▲ ．参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省江阴2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题附答案
2020-2021学年第一学期高二期中考试数学学科试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题2",0"x R x x ∀∈+≥的否定是( )A ．2000,0x R x x ≤∃∈+ B ．2000,0x R x x <∃∈+ C ．2,0x R x x ∀∈+≤ D ．2,0x R x x ∀∈+< 2.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（）中的数应为（ ）.A ．1118B ．1116C ．12D ．9163.设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若522, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023- B ．511 C ．1023 D ．511-4.设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若369,36S S ==，则789a a a ++等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27 6.已知正数，满足()18m n n -=，则2m n +的最小值是( ). A ．18 B ．16 C ．8 D ．10 7.过点(32)-，且与22194xy+=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A ．2211015xy+= B ．221225100xy+= C ．2211510xy+=D ．221100225xy+=8.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．0,0)2a b ab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C．20,0)ab a b a b≤>>+ D．0,0)2b a a b ≤>>+二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设0,b a c R >>∈，则下列不等式中正确的是( )A<11a b> C.22a ab b+>+ D.22ac bc <10. 下列四个函数中，最小值为的是( ) A ．1sin (0)sin 2y x x xπ=+<≤B ．1ln (0,1)ln y x x x x=+>≠C．26x y +=．44x x y -=+11.在公比为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前项，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ） A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列12.等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是( )A ．0d < B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时的最小值为 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.设30,2x <<，则函数4(32)y x x =-的最大值为______．14. 若关于的不等式2()10(,,0)ax a b x a b R a +++>∈≠的解集为{13}x x -<<，则b =15.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺. 16.若数列{}n a 满足111(,)n nd n N d a a *+-=∈为常数，则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为“调和数列”，且21201920190b b b +++=，则22018b b 的最大值是________．四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17.已知2:{|230},:{|3}p A x x x q B x x m =--≤=->，若是的充分条件，求实数的取值范围．18.在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前项和n S ．在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 已知函数2()(1)()f x x c x c c R =-++∈．(1)解关于的不等式()0f x <；(2)当2c =-时,不等式2()5f x ax >-在(0,2)上恒成立,求实数的取值范围．20. 椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，焦距为，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆的方程； (2)若AB x ⊥轴，求2ABF 的面积．21.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求060ACB ∠=，BC 的长度大于米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，设(1),(0)BC x x AC t t =>=>， （1）求关于的表达式； （2）当BC 为何值时，AC 最短并求最短值.22.设数列{}n a 的前项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式(2)若n nn b a =,求{}n b 的前项和n T(3)在（2）的条件下判断是否存在正整数使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在，求出所有值；若不存在说明理由.2020-2021学年第一学期高二期中考试数学学科答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 B2、 D 3 、C 4 、A 5、 B 6 、A 7、C 8、 D二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9、ABC 10、AD 11.ABC 12、BD三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13、92 14、1 15、 10.5 16、100.四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17.（10分）已知p ：A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，q ：B ＝{x||x －m|>3}，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由题意得A ＝{x|－1≤x≤3 }，（2分）B ＝{x|x<m －3或x>m ＋3 }（4分） 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，（6分） 所以m －3>3或m ＋3<－1，解得m>6或m<－4， （9分）即实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．（10分）18.（12分）在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)由题意得，11415323182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩．(3分) ∴3(1)33n a n n =+-⨯=．(5分) (2)选条件①：∵19911133(1)(1)1n n n b a a n n n n n n +====-⋅+++，（8分) ∴11111111223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++.(12分) 选条件②：∵3n a n =，(1)n n n b a =-， ∴36912(1)3n n S n =-+-+-+-，(7分)当n 为偶数时，3(36)(912)[3(1)3]322n n nS n n =-++-+++--+=⨯=；(9分)当n 为奇数时，n －1为偶数，13(36)(912)[3(2)3(1)]333(1)22n n S n n n n n -=-++-+++--+--=⨯-=-+．（11分） ∴3,23(1),2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为偶数为奇数.(12分)19、（12分）已知函数f(x)＝x 2－(c ＋1)x ＋c(c∈R)．(1)解关于x 的不等式f(x)<0；(2)当2c =-时,不等式2()5f x ax >-在(0,2)上恒成立,求实数的取值范围． 【解析】(1)∵f(x)<0∴x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －1)(x －c)<0,（2分） ①当c<1时,c<x<1,（3分）②当c ＝1时,(x －1)2<0,∴x ∈⌀,（4分） ③当c>1时,1<x<c,（5分）综上,当c<1时,不等式的解集为{ |x c<x<1},当c ＝1时,不等式的解集为⌀,当c>1时,不等式的解集为{ |x 1<x<c}．（6分） (2)当c ＝－2时,2()5f x ax >-化为2225x x ax +->-223x x ax <++∴对一切x∈(0,2)恒成立,2min131x x a ⎛⎫< ++⎪⎝⎭∴ （8分）设213()1g x xx=++11(,)2t x =∈+∞令 ( 9分) 2113()2y tt t ∴=++>9,4y ∴∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭(11分 ) 94a ∴≤ (12分)20、（12分）椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，焦距为2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若AB ⊥x 轴，求△ABF 2的面积． 解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，（3分）由焦距为2，所以c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，（5分） 所以椭圆E 的方程为x 24＋y23＝1.（6分） (2)设直线AB 的方程为x ＝-1， 由x 24＋y 23＝1，x ＝-1，得y 2＝94，解得y 1＝32，y 2＝-32，（10分） 所以S △ABF 2＝c·|y 1－y 2|＝3（12分）21、（12分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，设BC ＝x(x ＞1)，AC ＝t(t ＞0)， （1）求t 关于x 的表达式；（2）当BC 为何值时，AC 最短并求最短值. 解：（1）由题意得AB ＝AC －0.5＝t －0.5，（2分）在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，（4分）化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x ＞1)，（6分）（2）t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3（10分）⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1＋32时，等号成立，（11分）此时t 取最小值2＋ 3. 答：当BC=1 ，AC 最短，最短值2＋3米.（12分） 22.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式 (2)若n nnb a =,求{}n b 的前n 项和n T (3)在（2）的条件下判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．（2分） ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n na ；（4分）(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-（8分） (3)代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．所以226n n =+，即2612nn +=（9分） 令26()2n n f n +=，()1251()02n n f n f n +--+-=< ∴()f n 为单调递减数列 又()()()()()272930311,27,3,4,5281632f f f f f =====， 因为()f n 为单调递减数列，所以5,()1n f n ><当（11分）所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．（12分）。
2021-2022学年江苏省无锡市江阴第一高级中学高二数学理联考试题含解析
2021-2022学年江苏省无锡市江阴第一高级中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6）B．（﹣3，6）C．（﹣6，6）D．（﹣6，6）参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的简单性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F 的距离为9，设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，则=9，可得y=．故选：D．2. 已知函数f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算，当x=5时，V3=（）A．27 B．36 C．54 D．179参考答案：D【考点】秦九韶算法．【分析】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x的形式，然后求解即可．【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5则当x=5时，V0=1，V1=5+2=7，V2=35+1=36，V3=180﹣1=179．故选D．3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是() A．3 B．11C．38 D．123参考答案：B4. 已知，，若对任意的，存在，使，则m的取值范围是（）A. B. [－8,+∞) C. [1,+∞) D.参考答案：D【分析】将问题转化为来列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】要使对任意的，存在，使，则需.当时，取得最解得小值为.当时，取得最小值为，故，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查恒成立问题和存在性问题，考查函数最大值最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5. 设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是( )A．P Q B．Q P C．P＝Q D．P∩Q＝参考答案：A6. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A．B．C．D．参考答案：C7. 抛物线x2=2y的焦点坐标为（）A．B．C．（0，1）D．（1，0）参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2=2y中，p=1，∴ =，∵焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．8.（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内( )A．一定存在与直线m平行的直线 B．一定不存在与直线m平行的直线C．一定存在与直线m垂直的直线 D．不一定存在与直线m垂直的直线参考答案：C略10. 下列求导计算正确的是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据函数求导法则得到相应的结果.【详解】A选项应为，C选项应为，D选项应为.故选：B．【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。
江苏省无锡市江阴高级中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析
江苏省无锡市江阴高级中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．故选D．【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．2. 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成900，则四边形EFGH是（）A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形参考答案：C3. 如图，棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，侧棱PA垂直于底面，则下列命题中正确的是(A) ∠PDA是侧面PDC与底面所成二面角的平面角(B) PC的长是点P到直线CD的距离(C) EF的长是点E到平面AFP的距离(D) ∠PCB是侧棱PC与底面所成的线面角参考答案：B4. 由曲线，所围成图形的面积是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先计算交点，再根据定积分计算面积.【详解】曲线，，交点为：围成图形的面积：故答案选A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是正方体挖去一个正四棱锥，判断三视图的数据所对应的几何量，并计算四棱锥的斜高与高，代入正方体与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体挖去一个正四棱锥，其中正方体的边长为1，挖去的正四棱锥的斜高为，∴四棱锥的高为=，∴几何体的体积V=13﹣×12×=．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．6. 在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线交于点，则的值是（）A．B．2 C. D．10参考答案：B7. 若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．【解答】解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，∴a2+4b2+4ab=1≥8ab，当且仅当|a|=|2b|时，取等号，故ab的取值范围为（﹣∞，]，故选：B．8. 定积分的值为A. e+2B. e+1C. eD. e－1参考答案：C9. 已知抛物线L的顶点在原点，对称轴为x轴，圆M：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心M和A（x1，y1）、B （x2，y2）两点均在L上，若MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，则直线AB的斜率是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的方程，利用因为MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k MA =﹣k MB ，即可求出直线AB 的斜率．【解答】解：依题意，可设抛物线的方程为y 2=2px ，则因为圆点M （1，2）在抛物线上，所以22=2p×1?p=2，故抛物线的方程是y 2=4x ；又因为MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k MA =﹣k MB ，即．又因为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）均在抛物线上，所以，，从而有，直线AB 的斜率．故选：A ．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10. 直线的倾斜角为（ ）A. B.C.D.参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..参考答案：(2,8)12. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ▲ .参考答案：13. 一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于 .参考答案：14. 已知数列{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为 ．参考答案：﹣【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a 1，a 3，a 2成等差数列得2a 3=a 1+a 2，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程，解方程可得所求值．【解答】解：由数列{a n }是公比为q （q≠1）的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列2a 3=a 1+a 2， ∴2a 1q 2=a 1q+a 1， ∴2q 2=q+1， ∴q=1或q=﹣，∵q≠1，∴q=﹣．故答案为：﹣．15. 已知a ＝(4,－3), b ＝(0,1),则a 在b 方向上的投影为 .参考答案：－316. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是 ．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化简为标准方程，进而可得到p 的值，即可确定答案． 【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为17. ，则的最大值为___________。
江苏省江阴市第一中学2020-2021学年高二寒假开学检测数学试题
2020～2021学年度第二学期开学检测试卷高二数学2021. 2注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是 ··········································································· ( ▲ ) A ．∃x 0∈R ，x 02＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 02＋x 0<0C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋x <02. 已知一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0的解集为[1，2]，则cx 2+bx +a ≤0的解集为 ···················· ( ▲ )A ．1[,1]2B ．[1，2]C ．[-2，-1]D ．[211,]--3. 设x 是实数，“0x <”是“11x<”的 ········································································ ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（） A.9.5尺 B.10.5尺 C. 12.5尺 D. 15.5尺 5. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到准线的距离为 ········································································································· ( ▲ ) A.32B ．2C ．3D ．4 6. 已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2527a a a =⋅，则37112810a a a a a a ++++的值为·· ( ▲ ) A.1314B.1213C.1112D. 137. 若平面α的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，平面β的一个法向量是n 2⃗⃗⃗⃗ =(−3,1，3)，则平面α与β所成的角等于 ··············································································································· ( ▲ ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒8. 正数a ，b 满足191a b+=，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ··············································································································· ( ▲ ) A ．[3，＋∞) B ．[6，＋∞) C ．(－∞，3] D ．(－∞，6]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，选错的得0分）9. 下列判断中正确的是 ·························································································· ( ▲ )A ．在中，“”的充要条件是“，，成等差数列”B ．“>”是“sinA>sinB”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件.60B =︒A B C A B a b <22ac bc <D. 命题“，”的否定为“，”.10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是 ·················································································································· ( ▲ ) A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182 C. 此数列偶数项的通项公式为222n a n = D. 此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅- 11. 如图所示，“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子中正确的是 ····························································································· ( ▲ ) A ． B ． C ．D ．＜ 12. 设,M N 是抛物线24x y =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON的斜率之积为14-，则下列结论正确的是 ································································ ( ▲ ) A. 5OM ON +≥ B. 以MN 为直径的圆面积的最小值为4π C. 直线MN 过抛物线24x y =的焦点 D. 点O 到直线MN 的距离不大于1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 过点（3，-1）且与双曲线2213x y -=有公共渐近线的双曲线标准方程是 ▲．14. 在数列{}n a 中，已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则15a =▲．15. 在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为 ▲．16. 已知f (x )＝ln(x 2＋1)，1()()2x g x m =-，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1) ≥ g (x 2)，则实数m 的取值范围是 ▲．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）设命题p ：实数x 满足()()()300x a x a a --<>其中，命题q ：实数x 满足23x <≤ ． （1）若1a =，p 、q 都为真，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．▲▲▲▲▲x R ∀∈210x x ++>x R ∃∉210x x ++≤P F P F P F 12a 22a 1122a c a c +=+1122a c a c -=-1212c a a c >11c a 22c a18. （本题满分12分）设m ∈R ，不等式()()231210mx m x m -+++>的解集记为集合P .（1）若{}12P x x =-<<，求m 的值； （2）当0m >时，求集合P .▲▲▲▲▲19. （本题满分12分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．▲▲▲▲▲20. （本题满分12分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城.团结一心，掀起了一场疫情防控阻击战.目前，我国疫情防控进入常态化．王兵开办了一家印刷厂．如图，一份矩形宣传单的排版面积(矩形ABCD )为P ，它的两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白．（1）若20cm AB =，30cm BC =，且该宣传单的面积不超过21000cm ，求a 的取值范围；（2）若2cm a =，2800cm P =，则当AB 长多少时，才能使纸的用量最少？▲▲▲▲▲21. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b 满足11=3a b =，且33b a -，20，52a b +既是等差数列，又是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）在（1）()111nn n n n c b a a +=+-⋅，（2）n n n c a b =⋅，（3）()1123n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若_______________，求数列{}n c 的前n 项和n S ．注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．▲▲▲▲▲22. （本题满分12分）（解析几何原题）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为-1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．▲▲▲▲▲江阴市高中寒假作业检测试卷高二数学 参考答案一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，选错的得0分）四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分） （逻辑）解：（1）命题p ：实数x 满足()()()300x a x a a --<>其中，解得3a x a << ， 命题q 中：实数x 满足23x <≤，若1a =，则p 中：13x <<， ∵p 、q 都为真，13,2323x x x <<⎧∴<<⎨<≤⎩解得 ，故实数x 的取值范围为23x << ；…………………………………………………5分（2）若q 是p 的充分不必要条件，2,12,33a a a ≤⎧∴<≤⎨>⎩解得 a ∴的取值范围是12a <≤． …………………………………………………10分18. （本题满分12分） （不等式原题）解：（1）由题意可知，关于x 的方程()()231210mx m x m -+++=的两根分别为1-、2，所以，0m ≠，由韦达定理可得()31122112m mm m+⎧=-+⎪⎪⎨+⎪=-⨯⎪⎩，解得12m =-； ································ 4分 （2）当0m >时，由()()231210mx m x m -+++>可得()()120mx m x --->，解方程()()120mx m x ---=，可得10m x m+=>或2x =. ······································· 6分①当12m m +<时，即当1m 时，1m P x x m ⎧+=<⎨⎩或}2x >； ···································· 8分 ②当12m m+=时，即当1m =时，原不等式为()220x ->，则{}2P x x =≠； ③当12m m +>时，即当01m <<时，{2P x x =<或1m x m +⎫>⎬⎭. ······························· 10分 综上所述，当1m 时，1m P x x m⎧+=<⎨⎩或}2x >； 当1m =时，则{}2P x x =≠；当01m <<时，{2P x x =<或1m x m +⎫>⎬⎭. ···························································· 12分19. （本题满分12分） （空间向量原题）解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为正交基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --． ································ 2分 （1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)2P -， 从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--， 故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅⨯． 因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310． ············· 6分 （2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)2Q ， 因此33(,,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.x y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩ 不妨取(3,1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin|cos|,|||CCCCCC|θ==⋅⋅==nnn所以直线CC1与平面AQC1． ·············································12分20.（本题满分12分）（应用题原题）解：（1）依题意可得，()()2023041000a a++≤，即22351000a a+-≤，解得，20 2.5a-≤≤，又∵0a>，∴0< 2.5a≤，故a的取值范围为{}0 2.5a a<≤. ··········································································6分（2）记宣传单的面积为S，设cmAB x=，则800cmBCx=，∴()8003200488832S x xx x⎛⎫=+⋅+=++⎪⎝⎭，··························································8分8321152S≥=当且仅当32008xx=，即20x，取“=”，·····························································10分∴当AB长为20cm时，宣传单面积最小，为21152cm. ·············································12分21.（本题满分12分）（数列）（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，等比数列{}n b的公比为()0q q>，由题得335220b a a b=-=+，即()()22033220343q dd q⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩解得2d=，3q=，所以，21na n=+，3nnb=；···············································6分（Ⅱ）（1），()()()()()111111113321232n n nn nn n n nc ba a n n a a++⎛⎫=+-=+-=-+-⎪⋅++⎝⎭则()()121212231111111111333222n n nn n S c c ca a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+++-+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1131331311111121323234n nna a n+⎡⎤⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-+=-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()331254nnnSn⎡⎤--⎣⎦=++···········································································12分（2），()213nn n nc a b n=⋅=+；()2123353213n n n S c c c n =+++=⋅+⋅+++，①()23133353213n n S n +=⋅+⋅+++，②由①-②，得()223123232323213n n nS n +-=+⋅+⋅++⋅-+，即13n n S n +=⋅ ································································································ 12分（3）()()()()()()11111123224111121233213233n n n n n n n n n n n n a n c a a b n n n n a b a b ++++++++===-=-++++ 则121122223311111111111111n n n n n n n n S c c c a b a b a b a b a b a b a b a b ++++=+++=-+-++-=- 故()1119233n n S n +=-+ ·················································································· 12分22. （本题满分12分） （解析几何原题）18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M 的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………2分 （1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， 同理：直线BC 的方程为． 联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， …………4分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………6分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Q x x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+002(2)x y x y +=-+002(2)x y x y -=--00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩2004x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =P∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =-整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………10分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………12分 方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k < ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为∵，∴，则BC 的方程为． 由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………4分∵点的横坐标为1- ∴，解得：∵0k < ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………6分（2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQ λ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………10分∵02k << ∴ …………12分AP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k=-+2l PB ⊥43BC k k =4(2)3y k x =-1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈。
江苏省无锡市江阴华士高级中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析
江苏省无锡市江阴华士高级中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列中，则( )A. B.C. D.参考答案：D2. 将的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是（）A．esin= cos B．sin= ecos C．esin=l D．ecos=1参考答案：B3. 函数的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：A4. 如图，、是椭圆与双曲线：的公共焦点，、分别是与在第二、四象限的公共点. 若四边形为矩形，则的离心率是A. B. C. D. 参考答案：C5. 已知点在抛物线上，则的最小值是（）A.2B. 0C.4D. 3参考答案：D略6. 在空间直角坐标系内，已知直线平行平面且过点（1，1，2），则到平面的距离是（）A．1 B.2 C.3D.参考答案：B略7. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为A. 6B. 12C. 60D. 90参考答案：D8. 已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f （log2），则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b参考答案：A【考点】抽象函数及其应用；对数值大小的比较；导数的几何意义．【分析】设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．【解答】解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），∵当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0由此可得F（x）=xf（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）∴F（2）＞F（）＞F（lg3）∵=﹣2，从而F（）=F（﹣2）=F（2）∴F（）＞F（）＞F（lg3）即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b故答案为：A9. 某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:( )A.＝11－22；B. ＝11－22；C. ＝22－11；D.＝22－11.参考答案：C10. 数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）A．B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为．参考答案：略12. 某车间共有30名工人，其中有10名女工人，现采用分层抽样从该车间共抽取6名工人进行技术考核.则抽取的6名工人中有男工人人．参考答案：4略13. 若，，且函数在处有极值，则的最大值为__________．参考答案：9【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为得到，满足的条件，利用基本不等式求出的最值．【解答】解：由题意，导函数，∵在处有极值，，∴，∵，，∴，当且仅当时取等号，∴的最大值等于．故答案为：．14. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB=1，BC=2，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧、（E 在线段AD 上）．由两圆弧、及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 ．参考答案：【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，利用圆柱和球的体积公式进行计算即可．【解答】解：图中阴影部分绕AD 旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，两个半球的体积为：2×××π=π． 圆柱的底面半径为1，高为2， ∴圆柱的体积为π×2=2π， ∴该几何体的体积为2π﹣π=．故答案为：15. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱参考答案：①②③⑤16. 已知直线x+2y-3=0和直线ax+y+2=0（）垂直，则a=________．参考答案：-217. 已知数列满足若,则.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省无锡市江阴高级中学2020年高二数学文期末试卷含解析
江苏省无锡市江阴高级中学2020年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3参考答案：A略2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：A略3. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 下列不等式对任意的恒成立的是（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知数列…是这个数列的第（）A.10项B.11项C.12项D.21项参考答案：B7. 甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )A. 30%B. 20%C. 80%D. 以上都不对参考答案：C8. 已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(?R B)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．参考答案：略9. 在下列各数中，最大的数是（）A ．B ．C 、D ．参考答案： B10. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为_______________．参考答案：20201小方格的个数构成一个数列记为,…,.数字100所代表的图形方格数就是=20201二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设平面内有n 条直线，其中任意两条直线都不平行，任意三条直线都不过同一点。
2020年江苏省无锡市江阴综合高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2020年江苏省无锡市江阴综合高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=， =，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由向量线性运算的几何意义可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．【解答】解：∵，即，∴，∴，又，，∴，，∴，∴DF2∥NQ，DF1∥NP，∴，，∴，根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，∴，故选A．2. 在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．3. F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，故方程可求．【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3，∴椭圆方程为，故选A．4. 已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D5. 若，则的最小值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2 Ｄ．3参考答案：D略6. 在中，“”是“是钝角三角形”的 ( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 若函数在[1,+∞)上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B【分析】由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．【详解】由题意得，，因为在上是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值为0，所以；当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最小值为，所以，综上可得，或，所以数a的取值范围是．本题选择B选项.8. 命题：的否定是（）A. ；B. ；C. ；D.参考答案：D略9. 不等式的解集是（）A．（﹣3，﹣2）（0，+∞）B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）（0，+∞）参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于＞0．把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．【解答】解：不等式等价于＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为（﹣3，﹣2）∪（0，+∞），故选A．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．10. 如果a1,a2,…, a8为各项都大于零的等差数列，公差，则 ( )A B C D参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，其中m，n是实数，则__________．参考答案：【分析】根据复数相等求得，利用模长的定义求得结果.【详解】由题意得：，本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的问题，属于基础题.12. 设函数，若任意两个不相等正数，都有恒成立，则m的取值范围是.参考答案：不妨设b>a>0,原式等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立,设,则h(b)<h(a),则h(x)在上单调递减, 在上恒成立,则,当时,与题意两个不相等正数相矛盾,故填.13. 已知函数f（x）=e x﹣alnx的定义域是（0，+∞），关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；③存在a∈（﹣∞，0），使得对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；④存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．其中正确命题的序号是．参考答案：①④考点：函数零点的判定定理；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．解答：解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x﹣，①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e x﹣=0，可以判断函数有最小值，①正确，②∵a∈（﹣∞，0）∴f′（x）=e x﹣≥0，是增函数．所以②错误，③画出函数y=e x，y=﹣alnx的图象，如图：显然不正确．④令函数y=e x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e x﹣alnx=0有两个根，正确．故答案为：①④．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．14. 设数列{a n}满足a1=7，a n+a n+1=20，则{a n}的前50项和为 .参考答案：50015. 直线与平面α成角为300，则m与所成角的取值范围是参考答案：[ 300 , 900]16. 已知数列为，依它的前10项的规律，则____.参考答案：略17. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则通项公式 .参考答案：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省无锡市江阴顾山中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析
江苏省无锡市江阴顾山中学2020-2021学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于（）．A. 4B. 5C. 6D. 7参考答案：D由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：，展开式中含有常数项，则：有正整数解，满足题意的最小的正整数为：.本题选择D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2. .已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（）A. ②③B. ①③C. ②④D. ①④参考答案：B【分析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.故选B.【点睛】本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.3. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为( )A. B. C. D.参考答案：A4. 若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞） D．（0，+∞）参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．5. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是A．，，B．，，C．，， D．，，参考答案：C6. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为( )A. B. C. D.参考答案：C8. 下列各式中，最小值等于2的是（）A. B. C. D.参考答案：D略9. 如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．10. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是参考答案：12. 已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）= ．参考答案：﹣2【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．13. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有。
江苏省无锡市江阴高级中学2020-2021学年高一上学期10月学情检测数学试题(有答案)
江苏省江阴高级中学2020-2021学年度第一学期10月学情检测高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 函数()f x =的定义域为（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞C. [)1,2D. [)()1,22,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】()2f x x =-的定义域满足：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得答案.【详解】()2f x x =-的定义域满足：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得[)()1,22,x ∈+∞.故选：D.【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.3. 集合{||1|}A y y x ==-，2{|20}B x x x =--≤，则A B =（ ）A. [2,)+∞B. [0,1]C. [1,2]-D. [0,2]【答案】D【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出. 【详解】{}{1|}0A y y x y y ==-=≥，{}2{|20}12B x x x x x =--≤=-≤≤，{}[]020,2A B x x ∴⋂=≤≤=.故选：D.4. 若正数a ，b 满足13a b+=，则ab 的最小值为 （ ）A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据13a b+=以及基本不等式13a b +≥可解得结果.13a b =+≥3b a =时，等号成立，所以ab ≥故选：B.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.5. 函数()f x x =的值域是（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】令t =，且0t ≥，将函数转化为二次函数2211(1)22t y t t +=+=+求解.t =，且0t ≥，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ≥，则12y ≥，即值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：A.【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.6. 设110a b<<，则在① 22a b >；② a b +>③ 2ab b <；④ 22a b a b +>+中恒成立的个数为（ ）. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由110a b<<，则0b a <<， 所以22b a >，故①不正确；由0a b +<，0>，故②不正确；由不等式的性质，0b a <<，所以2b ab >，故③正确； 当1a =-，1b =-，则222a b a b +=+=，故④不正确； 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基础知识的掌握情况，属于基础题.7. 已知222a a x++≤241x x +-对于任意的()1,∈+∞x 恒成立，则（ ） A. a 的最小值为3- B. a 的最小值为4- C. a 的最大值为2 D. a 的最大值为4【答案】A 【解析】【详解】因为()1,x ∈+∞，所以10,0x x ->> ．不等式222a a x ++≤ 241x x +-可化为22423(1)a a x x x++≤+-即2423111a a x x ++≤+-+- ，因为411151x x +-+≥=-，当且仅当1{411x x x >=-- 即3x = 时，上式取“=”号．所以2225a a ++≤，解得31a -≤≤ ．故选A ．【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题．8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ） A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素【答案】C 【解析】 【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B，若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A. ()fx x =与()g x B. ()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C. ()1f x =与()1g x =D. 21()1x f x x -=+与()1g x x =-【答案】BC 【解析】 【分析】逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】对于选项A ，()f x x =与()g x x ==对应法则不同，所以两者不是同一函数；对于选项B ，()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数； 对于选项C ，()1f x =与()1g x =定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项D ，21()1x f x x -=+的定义域为{}1x x ≠-，而()1g x x =-的定义域为R ，定义域不同，所以两者不是同一函数； 故选：BC.10. 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数：()[]f x x x =-，则下列命题正确的是（ ） A. ()0.80.2f -=B. 当12x ≤<时，()1f x x =-C. 函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1D. ()202010..0909f =【答案】ABC 【解析】 【分析】直接计算得选项,,A B C 正确，选项D 错误.【详解】A ,()0.80.8[0.8]0.810.2f -=---=-+=，所以该选项正确；,B ()1[1]101f x x x x x =---=--=-，所以该选项正确；C ，函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1，所以该选项正确；,D ()202010.09202010.09[202010.09]202010.092020100.09f -=-==，所以该选项错误.故选：ABC11. 下列结论正确的是（ ）A. 当0x >2≥ B. 若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为()(),15,-∞-+∞C. 当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D. 对于x R ∀∈，22421ax x x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是[)6,+∞ 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC ，利用基本不等式可判断；对于B ，可得1-和3是方程210ax bx ++=的两根，即可求出,a b ，解出不等式即可判断；对于D ，不等式恒成立等价于()2204420a a ->⎧⎨∆=--≤⎩，解出即可判断. 【详解】对于A ，当0x >2≥==1x =时，等号成立，故A 正确；对于B ，若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则1-和3是方程210ax bx ++=的两根，且0a <，则13113b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,33a b =-=，则不等式23650ax bx ++<即2450x x -->，解得1x <-或5x >，故B 正确； 对于C ，当54x <时，450x -<，则11425432314554x x x x ⎛⎫-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立，故C 错误； 对于D ，可得对于x R ∀∈，()22410a x x -++≥恒成立，当2a =时，410x +≥，不满足题意；当2a ≠时，则()2204420a a ->⎧⎨∆=--≤⎩，解得6a ≥，故a 的取值范围是[)6,+∞，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12. 已知0,0a b >>，则下列命题中正确的是（ ）A. 若221a b -=，则1a b +>B. 若111b a-=，则1a b -<C. 1=，则1a b ->D. 若01,01a b <≤<≤，则1|a b||ab|-≥-【答案】AC 【解析】 【分析】对于A ，由a b a b +>-，1a b a b-=+可判断；对于B ，去特殊值可判断；对于C 1两边平方后可判断；对于C ，由221a b ab ---判断正负即可.【详解】对于A ，0,0a b >>，a b a b ∴+>-，()()221a b a b a b -=+-=，则1a b a b a b-=<++，则1a b +>，故A 正确； 对于B ，当22,3a b ==时，满足111b a-=，但1a b ->，故B 错误；对于C 1-=1，两边平方的1a b =+，则11a b -=>，故C 正确. 对于D ，若01,01a b <≤<≤，则()()222222221221110a b ab a ab b a b ab a b---=-+-+-=--≤，1|a b||ab|∴-≤-，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点睛：本题考查根据已知条件判断所给不等式是否正确，解题的关键是正确的处理已知条件，如A 中由a b a b +>-，1a b a b-=+可结合判断，C 中移项平方，D 中判断平方的差的正负. 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 命题：“0x ∀<，2230x x -+≤”的否定是________.【答案】20000,230x x x ∃<-+>【解析】 【分析】全称量词：“∀”改为存在量词：“∃”，“≤”改为“>”，即可得解.【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x ＜0，x 2﹣2x +3≤0”的否定为：20000,230x x x ∃<-+>， 故答案为：20000,230x x x ∃<-+>.【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题. 14. 已知x ＞0，y ＞0，x +9y ＝3，则11x y+的最小值为_____ 【答案】163【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出11x y+的最小值.【详解】0,0,93x y x y >>+=，()111111919169102103333x y x y x y x x y x y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9x y y x =，即31,44x y ==时等号成立，即11x y +的最小值为163. 故答案为：163.【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题. 15. 已知函数()21y f x =+定义域为[0,3]，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________．【答案】[]2,11 【解析】 【分析】先由()21y f x =+的定义域求出()y f x =的定义域为[]1,10，再令1110x ≤-≤即求出(1)=-y f x 的定义域. 【详解】函数()21y f x =+的定义域为[0,3]，()21y f x ∴=+中，03x ≤≤，则21110x ≤+≤，()y f x ∴=的定义域为[]1,10，则在(1)=-y f x 中，1110x ≤-≤，即211x ≤≤，∴(1)=-y f x 的定义域为[]2,11.故答案为：[]2,11.16. 设关于x 的不等式28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________ 【答案】10- 【解析】 【分析】先确定0a <，再利用0为其中的一个解，a Z ∈，求出a 的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.【详解】设28(1)716y ax a x a =++++，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y ≥而整数解只有有限个，所以0a <，因为0为其中一个解可以求得167a ≥-， 又a Z ∈，所以2a =-或1a =-，则不等式为22820x x --+≥和290x -+≥，可分别求得22x --≤≤和33x -≤≤，因为x 位整数，所以4,3,2,1x =----和3,2,1,0,1,2,3x =---， 所以全部不等式的整数解的和为10-. 故答案为：10-.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数a 的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩．（1）求()()5ff 的值；（2）画出函数()f x 的图象． 【答案】（1）1；（2）图象见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数()f x 的解析式由内到外可逐层计算出()()5f f 的值；（2）根据函数()f x 的解析式可画出该函数的图象.【详解】（1）()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，()5523f ∴=-+=-，则()()()53341f f f =-=-+=；（2）函数()f x 的图象如下图所示：18. 已知集合2|340A xax x R .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9{|16a a且0}a ≠；（2）9{|16a a 或0}a =.【解析】 【分析】（1）A 中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根； （2）A 中至多有一个元素等价于一元二次方程无解或只有一解. 【详解】（1）由于A 中有两个元素， ∴关于x 的方程2340ax x 有两个不等的实数根，∴9160a∆，且0a ≠，即916a，且0a ≠. 故实数a 的取值范围是9{|16a a 且0}a ≠. （2）当0a =时，方程为340x，43x =-，集合43A； 当0a ≠时，若关于x 的方程2340ax x有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，此时916a ， 若关于x 的方程2340ax x 没有实数根，则A 中没有元素，此时916a. 综上可知，实数a 的取值范围是9{|16a a或0}a =. 【点睛】本题考查集合描述法的特点及一元二次方程根的个数的讨论，考查基本的运算求解能力. 19. （1）已知()f x 是一次函数，且2(21)(2)65f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式．【答案】（1）()23f x x =-；（2）2()23f x x x =++.【解析】 【分析】（1）先由题意，设()f x kx b =+，根据题中条件，列出方程求解，即可得出结果；（2）根据换元法，令3t x =-，得到3x t =+，代入题中所给式子，化简整理，即可得出结果. 【详解】解：（1）因为()f x 是一次函数，所以可设()f x kx b =+则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465f x f x k x b k x b kx k b x +--=++--+=++=+，所以3645k k b =⎧⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩， 所以()23f x x =-．（2）令3t x =-，则3x t =+．因为2(3)46f x x x -=-+，所以2()(3)4(3)6f t t t =+-++223t t =++．故2()23f x x x =++．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型. 20. 已知非空集合{}22|(31)20A x x a x a a =--+-<，集合{}2|430B x x x =-+<． （1）当2a =时，求AB ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|23}x x << （2）(1,2] 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；（2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，对集合A 对应的不等式，根据其解集的端点21a - 和a ，分1a <，1a =，1a >三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合A B ⊆时实数a 需满足的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}}{256023A x x x x x =-+<=<<，集合{}2|430{|13}B x x x x x =-+<=<<， 所以由集合的交运算可得，{|23}A B x x ⋂=<<． （2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，因为集合{}2|(31)20{|()[(21)]0}A x x a x a a x x a x a =--+-<=---<． ①当1a <时，21a a >-，集合{|21}A x a x a =-<<，要使A B ⊆，则3211a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得13a ≤≤，因为1a <，故这种情况不成立；②当1a =时，21a a =-，集合A =∅，这与题目条件矛盾； ③当1a >时，21a a <-，集合{|21}A x a x a =<<-，要使A B ⊆，则2131a a -≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，因为1a >，故12a <≤，综上可知：实数a 的取值范围为(1,2]．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.21. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【解析】 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论． 【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-； 当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩；（2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x=--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W ==61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.22. 对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，(){}|B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦，那么，（1）求函数()38f x x =-的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：A B ⊆；（3）若()()21,f x ax a x R =-∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明见解析；（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）由()38f x x x =-=即可求出“不动点”，求方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦中x 的值，即为“稳定点”； （2）若x A ∈，有()f x x =这是不动点的定义，此时得出()()f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，A B ⇒⊆，如果A =∅，则直接满足；（3）先求出A ≠∅即()f x 存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.【详解】（1）由()38f x x x =-=，解得4x =，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦有()3388x x --=，解得4x =，所以函数()38f x x =-的“不动点”为4，“稳定点”为4； （2）证明：若A =∅，则A B ⊆，显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，有()f t t =，则有()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦， 所以t B ∈，故A B ⊆， 综上，A B ⊆；（3）因为A ≠∅，所以方程21ax x -=有实根，即210ax x --=有实根， 所以0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+≥⎩，解得14a ≥-，又由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦得：()2211a ax x --=，即()3422210*a x a x x a --+-=， 由（1）知A B ⊆，故方程()*左边含有因式21ax x --， 所以()()222110ax x a x ax a --+-+=，又A B =，所以方程2210a x ax a +-+=要么无实根，要么根是方程210ax x --=的解，当方程2210a x ax a +-+=无实根时，0a =或()220410a a a a ≠⎧⎨∆=--+<⎩，即34a <， 当方程2210a x ax a +-+=有实根时，则方程2210a x ax a +-+=的根是方程210ax x --=的解， 则有22a x ax a =+，代入方程2210a x ax a +-+=得210ax +=，故12x a=-， 将12x a =-代入方程210ax x --=，得111042a a +-=，所以34a =. 综上：a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求()f x x =；求稳定点，就去求()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.。
江苏省无锡市江阴市四校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”否定是_____________.2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ．3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________.5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.11. 已知实数x y ，满足方程y yx取值范围是_______.12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+的的的相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；的（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2nx n ∃∈≤N 故答案为2,2nx n ∃∈≤N2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0 【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0． 考点：两条直线的位置关系 3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 【答案】充分不必要 【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y += 【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=.故答案为221x y +=5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______. 【答案】π4【解析】【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________. 的32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值. 【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以lr ， 即S 2＝12l ×2πr2＝π，所以12S S32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2- 【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),10)a a ><或,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆则2a =-.故答案为-29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C方程为____.【答案】22143x y +=【解析】【分析】 由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程. 【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______. 【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误; 由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11. 已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______. 【答案】0⎡⎣【解析】 【分析】方程y ()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令yk x=,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k,所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为⎡⎣【详解】12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【解析】 【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切，∴|C 1C 2a b =+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭．故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )≥4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a km a k b -+所以0y =2222b ma k b+,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b +=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12. 故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【解析】 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得． （2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠ 将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形,的∴FG ∥ED . 又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED. (2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF , 又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x y C m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<,解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点, 则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（13；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==， 如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =，∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥， 取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[2-+.【解析】【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM +的最小值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）【解析】【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =结合条件//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 的所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M 点的横坐标为x = 由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==≥，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.的。
江苏省无锡市江阴高级中学2020-2021学年高一上学期12月学情检测数学试题
江苏省无锡市江阴高级中学2020-2021学年高一上学期12月学情检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1,2}A =-，{}|02B x Z x =∈≤≤，则A B 等于（ ）A ．{0}B ．{}2C ．{0,1,2}D ．∅2．若幂函数()22231m m y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值（ ）A ．1m =-B ．2m =C ．1m =-或2D ．2m =-或13．已知m ＝21-+a a a（a ＞0），n ＝x +1（x ＜0），则m 、n 之间的大小关系是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n4．sin 750tan 240+的值是（ ） A．2B．2C．12+D．12-+5．已经13725112,log ,log 557a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．ABC 中，5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ） A ．5665B ．5665-C ．1665-D ．16657．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+（a 、b 为非零常数）给出，其中()2W /I cm 为声音能量．当人低声说话，声音能量为()13210W /cm -时，声音强度为30分贝；当人正常说话，声音能量为()12210W /cm -时，声音强度为40分贝．已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在（ ）时，人会暂时性失聪． A ．()121010,10--B ．()10810,10--C ．()8610,10--D ．()6410,10--8．设实数a ，b 满足条件0b >且3a b +=，则13a a b +的最小值为（ ） A ．59B ．13C ．712D ．14二、多选题9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．2y x =B ．3yx C ．2x y =D ．2yx10．下列说法正确的有（ ）A ．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”.B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D ．“2m <”是“1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立”的充分不必要条件. 11．设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 与x 轴的一个交点坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 12．不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243=-+y x x 的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(3)()0ax x b --+≤成立，则+a b 的值可以是（ ）. A ．1 B ．2- C ．8 D ．0三、填空题13．不等式[)2sin 10,0,2x x π-≥∈的解集为________14．cos18sin132cos72sin 42︒︒-︒︒的值为______.15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足(2)(2)f x f x +=-，当12x ≤≤时，()2f x x =-，则(7)f ＝________．四、双空题16．已知函数()332x x f x -=-+，则()3log 2f =__________；关于x 的不等式(3)(4)4f x f x +->的解集为__________.五、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．（1）若点B 的横坐标为45-，求tan α的值； （2）若20,3πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．18．设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩． （1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题．19．已知函数()3sin(2)3f x x π=-．（1）求函数()f x 在7[]66ππ，上的单调递增区间及在区间3[]44ππ，上的值域．（2）若()1f α=，52[,]123αππ∈，求cos2α 20．已知()()222f x x a x a =+-+.（1）若方程0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()2f x a <.21． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) ≤75恒成立; ③()5xf x ≤恒成立． (1)判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．22．已知定义域为R 的函数()||1xf x x =+．（1）判断并证明该函数在区间[)0,+∞上的单调性；（2）若对任意的[)3,t ∞∈+，不等式22(24)()0f t t f t kt +++-->恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x 0=有且仅有一个实数解，求实数t的取值范围．参考答案1．B 【分析】先利用已知条件得到集合B ，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】由{}|02B x Z x =∈≤≤，得{}012B =，，， 又{1,2}A =-， 则{}2A B ⋂=； 故选：B. 2．B 【分析】首先根据函数是幂函数得到211m m --=，求得m 的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以211m m --=， 解得：1m =-或2m =，当1m =-时，01y x ==，不满足函数在区间()0,∞+是减函数，当2m =时，3y x -=，满足条件，故选：B. 【点睛】本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型. 3．A 【分析】利用基本不等式求出m 的最小值，一次函数的性质判断n 的最大值，然后比较大小即可． 【详解】 因为a ＞0，∴m ＝21-+a a a＝a +1a ﹣1＝1当且仅当a ＝1时去等号， ∵x ＜0， ∴n ＝x +1＜1； ∴m ＞n ； 故选：A ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用． 4．C 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】sin 750tan 240+，()()sin 72030tan 18060=+++，1sin 30tan 6032=+=+ 故选：C 5．B 【分析】由指数函数、对数函数的性质可得01b a c <<<<，即可得解. 【详解】由题意，103110155a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，771log log 105b =<=，225522log log 175c =>=， 所以01b a c <<<<. 故选：B. 6．D 【分析】利用余弦的两角和公式求解即可. 【详解】 因为51cos 132A =<，所以32A ππ<<,又13sin 25B <=<，所以63B ππ<<,所以12sin 13A =,cos 45B =,且C 为锐角， 因为在ABC 中，A B C π++=,所以()()cos cos cos cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦541231613513565-⨯+⨯=＝. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦的两角和公式，难度一般. 解答时一定要注意三角形各内角范围的确定，从而确定内角余弦值的正负，本题中cos 45B =，而不是45-. 7．D 【分析】根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，然后解不等式100120D <<，解出I 的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得1312lg101330lg101240a b b a a b b a --⎧+=-=⎨+=-=⎩，解得10160a b =⎧⎨=⎩，16010lg D I ∴=+， 令100120D <<，即10016010lg 120I <+<，解得641010I --<<. 故选：D. 8．A 【分析】对a 分成0,03a a <<<三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得13a a b+的最小值. 【详解】 依题意13a a b+成立，故0,3a b ≠≠.由于3,0a b b +=>，所以3a <且0a ≠.当0<<3a 时，13a a b +=111279999939a b a b a a b a b ++=++≥+=+=，当且仅当39,,944b a a b a b ===时，等号成立.当0a <时，13a a b +=119999a b a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫--=-+-+-≥-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125939=-+=，当且仅当39,,922b a a b a b -=-=-=时，等号成立.综上所述，由于7599>，所以13a a b +的最小值为59. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．CD 【分析】利用函数的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】在A 中，当4x =时，8y N =∉，故A 错误； 在B 中，当2x =时，5y N =∉，故B 错误； 在C 中，任取x M ∈，总有2xy N =∈，故C 正确； 在D 中，任取x M ∈，总有2y x N =∈，故D 正确． 故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 10．ACD 【分析】根据全称命题的否定形式判断A 正确，特殊值得出B 错误，利用不等式性质分析C 正确，结合基本不等式性质判断D 正确. 【详解】命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”，所以A 正确； 5>3，-4>-5，()()5435⨯-<⨯-，所以B 错误；若22ac bc <，则a b <，若a b <，22ac bc ≤，不能推出a b <，所以“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.所以C 正确； 若2m <，因为1sin 2sin x x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 若1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则2m ≤，不能推出2m <，所以2m <”是“1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立”的充分不必要条件，所以D 正确. 故选：ACD 11．ABC 【分析】由最小正周期公式可判断A ，由813f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C ，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可判断D.【详解】对于A ，函数()f x 最小正周期2T π=，所以A 正确； 对于B ，()min 88cos 1333f f x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确； 对于C ，cos 0663f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 故D 错误. 故选：ABC. 12．BC 【分析】结合题意，排除0a ≥、0b ≤；当0a <，0b >时，作出两函数的图象，数形结合可得3a=，结合,a b ∈Z 即可得解. 【详解】若0a ≥时，当0x ≤时，30ax -<，此时20x b -+≥恒成立，即2x b ≤， 不存在这样的实数b ；当0b ≤时，20x b -+≤，此时30ax -≥即3ax ≥对任意0x ≤恒成立， 不存在这样的实数a ； 所以0a <，0b >，当0a <，0b >时，函数3y ax =-是减函数，与x 轴的交点为3,0a ⎛⎫⎪⎝⎭，函数2y x b =-+与x 轴的交点为()),，在同一直角坐标系内，画出函数23,y ax y x b =-=-+的图象，如下图所示：数形结合可得，若满足题意，则3a=即29a b =， 又,a b ∈Z ，0a <，0b >，所以31a b =-⎧⎨=⎩或19a b =-⎧⎨=⎩，所以2a b +=-或8a b +=.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确理解题意，结合二次函数、一次函数的性质分类讨论，转化条件为3a=. 13．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由[)2sin 10,0,2x x π-≥∈得1sin 2x ≥，结合正弦函数图象可得结果. 【详解】解：由[)2sin 10,0,2x x π-≥∈得1sin 2x ≥sin y x =的图象如图所示：由图可得5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[)2sin 10,0,2x x π-≥∈的解集为5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14．12【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简求得所求表达式的值. 【详解】cos18sin132cos72sin 42︒︒-︒︒()()cos18sin 9042cos 9018sin 42=︒︒+︒--︒︒cos18cos42sin18sin 42=︒︒-︒︒()1cos 1842cos602=︒+︒=︒=.故答案为：12【点睛】本小题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题. 15．1- 【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数()f x 的周期性和奇偶性可求得()7f 的值.【详解】当12x ≤≤时，()2f x x =-， 则()1121f =-=-. 由于(2)(2)f x f x +=-，则()()()422f x f x f x +=+-=， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数， 由于()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以，()()()7111f f f =-==-. 故答案为：1-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 16．72(2,)-+∞ 【分析】根据对数的运算性质可求得()3log 2f =72；设()()233x xg x f x -=-=-，利用定义可得()g x 为奇函数且在R 上是增函数，根据()g x 的奇偶性和单调性可解得结果.【详解】()33log 2log 2317log 23322222f -=-+=-+=；设()()233x xg x f x -=-=-，因为()33()xx g x g x --=-=-，所以()g x 为奇函数，设12x x <，因为()()()1122121212133333313xx x x x x x x g x g x --+⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭， 因为12x x <，所以1233x x <，所以12330x x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在R 上是增函数，因为(3)(4)4f x f x +->，所以(3)(4)0g x g x +->， 所以(3)(4)g x g x >-，所以34x x >-，解得2x >-. 所以关于x 的不等式(3)(4)4f x f x +->的解集为(2,)-+∞. 故答案为：72；(2,)-+∞. 【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性和单调性的定义，考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 17．（1）34-；（2）11sin 22S αα=-，20,3πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）先利用已知条件得到43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的定义即可得出结果；（2）先计算扇形的面积1S 和AOBS，即可得到弓形AB 的面积1AOBS S S=-.【详解】（1）角α的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ， 可知角α纵坐标为正数， 又点B 的横坐标为45-， 则43,55B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 根据三角函数的定义得：3tan 4y x α==-， 则tan α的值为34-； （2）由已知条件知：1OB OA r ===， 则扇形的面积为：211122S r αα==， 211sin sin 22AOBSr αα=⋅=， 故弓形AB 的面积111sin 22AOBS S Sαα=-=-，20,3πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 所以弓形AB 的面积S 与α的函数关系式为：11sin 22S αα=-，20,3πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.18．（1）{}35A B x x ⋂=<≤；(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >.（2）选择① ：1a ≤-；选择② ：532a <≤. 【分析】（1）先求出集合A ，B ，再根据交集补集的定义即可求出；（2）选择① ：A B ，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论即可得出结果；选择② ：B A ，1225a a -≤⎧⎨>⎩，解出即可. 【详解】（1）4a =时，{}38A x x =<<， 因为502x x-≥-，解得25x <≤， 所以{}25B x x =<≤， 所以{}35A B x x ⋂=<≤，(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >.（2）若选择①充分不必要条件作答，则A B ， 当A =∅时，12a a -≥， 即1a ≤-时，满足A B ； 当A ≠∅时，则1211232552a a a a a a a ⎧⎪-<>⎧⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪≤⎩， 不等式无解，综上，a 的取值范围为1a ≤-. 若选择② ：必要不充分条件， 则B A ，所以3125252121a a a a a a a ≤⎧-≤⎧⎪⎪⎪⇒>>⎨⎨⎪⎪-<⎩>⎪⎩， 解得532a <≤， 综上，a 的取值范围为532a <≤； 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分、必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；19．（1）单调递增区间为5117,,,612126ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】 （1）由222,232k x k k Z πππππ-<-<+∈求得x 范围，再与区间7[]66ππ，取交集；因为3[]44x ππ∈，所以72[]366x πππ-∈，进而得函数()f x 的值域；（2）由()1f α=得1sin(2)33πα-=，结合角范围得cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭值，由cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得结果.【详解】 （1）令222,232k x k k Z πππππ-<-<+∈则5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈当0k =时，51212x ππ-<< 当1k =时，11171212x ππ<< 所以()f x 在7[]66ππ，上的单调递增区间为5117,,,612126ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为3[]44x ππ∈，所以72[]366x πππ-∈， 所以1sin(2),132x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦则()3sin(2)3f x x π=-在3[]44ππ，上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）若()1f α=，则3sin(2)13πα-=即1sin(2)33πα-= 因为52[,]123αππ∈，所以12[,]32παππ-∈所以cos 233πα⎛⎫-===-⎪⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1123236⎛⎫-=⋅--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． 20．（1）0,6-⎡⎣（2）见解析 【分析】（1）由函数的零点的定义，结合二次函数图象的性质列出不等式组，求解即可； （2）将()2f x a <化简为()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭，讨论,12aa -的大小关系，从而得出该不等式的解集. 【详解】 （1）因为0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根所以()()()()()228021<1{412201220a a a f a a f a a ∆=-->---<-=--+≥=+-+≥解得06a ≤<-所以实数a的取值范围为0,6-⎡⎣（2）不等式()2f x a <，即()22220x a x a a +-+-<，等价于()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭当12a a =-，即23a =时，2203a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不等式无解；当12a a >-，即23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当12a a <-，即23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭综上，当23a =时，不等式解集为∅ 当23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫⎪⎝⎭【点睛】 在解不等式()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭时，关键是讨论,12aa -的大小关系，利用一元二次不等式的解法进行求解. 21．(1) 函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2] 【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a 的范围，取交集即可. 【详解】(1)对于函数模型()1030xf x =+, 当x ∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤,解得x≥60．∴()5xf x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030xf x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求．(2)当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225x a x ≤++, ∵25225xx +≥，当且仅当x=25时取等号，∴a 2≤2+2=4 ∵a ≥1, ∴1≤a ≤2, 故a 的取值范围为[1，2]【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.22．（1）函数()f x 在[0，)+∞上递增，证明见解析；（2）163k <；（3）14t =-或02t <． 【分析】（1）函数()f x 在[)0,+∞上递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；（2）推得函数()f x 为奇函数，且为增函数，转化为2(1)40t k t --+>在[)3,t ∞∈+恒成立，讨论对称轴与区间的关系，可得所求范围； （3=223()x x t x t x t --=-≥，转化为二次方程有且只有一解，结合二次函数性质，可得所求范围． 【详解】（1）函数()f x 在[)0,+∞上递增，证明如下： 任取1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x <， 1212211212121212(1)(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--=-==++++++， 因为1x ，[)20,x ∈+∞，12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>， 可得12())0(f x f x -<，即12()()f x f x < 可得()f x 在[)0,+∞上递增；（2）函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 又()()1xf x f x x -=-=--+，所以()f x 为奇函数；由（1）()f x 在[)0,+∞上递增，所以()f x 为R 上的增函数，由22(24)()0f t t f t kt +++-->，可知222(24)()()f t t f t kt f t kt ++>---=+， 即2224t t t kt ++>+，即2(1)40t k t --+>在[)3,t ∞∈+恒成立，设2()(1)4g t t k t =--+，对称轴为12k t -=当132k -≤，即7k ≤时，()g t 在[)3,+∞上递增，min ()(3)9370g t g k ==-+>，解得：163k <；当132k ->，即7k >时，()g t 在13,2k -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在1,2k -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，2min116(1)()024k k g t g ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，解得：35k -<<，此时k 无解. 综上可得，求实数k 的取值范围是163k <．（30=可得0f f -=，因为()f x 在[)0,+∞=可得2230x x t x t x t ⎧--=-⎨-≥⎩有且仅有一个实数解，即方程20x x t --=在[),t +∞上有且仅有一个根，①当410t ∆=+=，即14t =-，方程20x x t --=的实数根为1124x =>-，符合题意； ②当0∆>，即14t >-，方程20x x t --=有两个不等的实数根，记为12,x x ，不妨设12,x t x t <≥1)若12,x t x t <=，代入方程得20t t t --=，解得0t =或2t =当0t =时，方程20x x t --=的两个根为[)0,10,∈+∞，不符合题意，舍去； 当2t =时，方程20x x t --=的两个根为[)12,-∉+∞,[)22,∈+∞，符合题意； 2)若12,x t x t <>，设2()x x h x t =--，则()0h t <，得02t << 综合①②，可知实数t 的取值范围是14t =-或02t <≤． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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江阴高中高二上数学周测四 2020/10/17
一、单选题
1.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A.对任意x ∈R ，都有x 2<0
B.不存在x ∈R ，都有x 2<0
C.存在，使得x 02≥0
D.存在，使得x 02
<0
2.已知函数f (x )=Acos （ωx +φ）（A >0，ω>0，φ>0），则“f (x )是奇函数”是φ=π
2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.下列不等式的解集为空集的是（ ） A.x 2−x +1>0 B.−2x 2+x +1>0 C.2x −x 2
>5 D.x 2
+x >2
4.已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为1
2，则（ ） A. a 2=2b 2 B.3a 2=4b 2 C.a =2b D.3a =4b 5.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（ ） A.-12 B.-10 C.10 D.12 6.曲线x 2
16+
y 29=1与曲线x 216+
y 29
=k （k >0）的（ ）
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等 7.已知椭圆W ：
x 2
b 2+y 2
a 2
=1（a ＞b ＞0）的离心率为√
6
3
，两点A （0，0）,B （2，0）.若椭圆W 上存在点C ，使得△ABC 为正三角形，则椭圆W 方程为（ ） A. x 2
+
y 23
=1 B. x 210+
3y 210
=1 C. x 22+
y 26
=1 D.
x 22
+
y 23
=1
8.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=n
n+2a n (n ∈N ∗)，则a n =( ) A. n +1 B.n C.2
n （n+1） D. 1
n 二、多选题 9.设椭圆
x 29
+
y 23
=1的右焦点为F ，直线y =m （0<m <√3）与椭圆交于A ，B 两点，则（）
A.AF +BF 为定值
B.∆ABF 周长的取值范围是[6，12]
C.当m =√3
3
时，∆ABF 为直角三角形 D.当m =1时，∆ABF 的面积为√6
10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A.S 7=33 B.S n+2=S n+1+S n C. a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019=a 2020 D.
a 12+a 22+⋯+a 2019
2a 2019
=a 2020
11.在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB ， 截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）
A.E 为PA 的中点
B.PB 与CD 所成角为π
3
C.BD ⊥平面PAC
D.三棱锥C −BDE 与四棱锥P −ABCD 的体积之比为1:4 12.如图所示，M ，N 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，线段MO 的延长线与直线l ：x +y −3=0交于点P ，若∠MPN =45°，则下列结论正确的是（ ）
A ．|OP |的最小值为
3√2
2
B.|OP |的最大值为2√2
C.存在一点P ，使∠MON =90°
D.|MN |的最大值为2√3
0x R ∈0x R ∈
三、填空题
13.在平面直角坐标系xoy中，已知∆ABC的顶点A（0，2）和C（0，−2），顶点B在椭圆y2
12+x2
8
=
1上，则sinA+sinC
sinB
的值是 .
14.椭圆x2
a2+y2
b2
=1（a>b>0）的一个焦点为为F，该椭圆上有一点A，满足∆OAF是等边三角形（O
为坐标原点），则椭圆的离心率为 .
15.不等式x 2−8x+20
mx2+2(m+1)x+9m+4
<0的解集为R，则实数m的范围是 .
16.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想F n=22n+1（n= 0，1，2⋯）是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641×6700417，不是质
数.现设a n=log2（F n−1）（n=0，1，2⋯），S n表示数列{a n}的前n项和.则使不等式2
S1s2+22
S2S3
+
⋯+2n
S n S n+1<2n
2020
成立的正整数n的最小值为 .
四、解答题
17. （10分）若关于x的不等式ax>b的解集为（−∞，1
5
）.
（1）求关于x的不等式ax2+bx−4
5
a>0的解集；
（2）解不等式2ax−b≤1. 18. （12分）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1=3a n−b n+4，
4b n+1=3b n−a n−4.
（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n-b n}是等差数列；
（2）求{a n}和{b n}的通项公式.
19. （12分）如图，椭圆x2
a2
+y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为√2
2
，
长轴长为2√2，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P为椭圆上一点，且∠F1F2P=90°，求∆F1PF2的面积；
（3）过点A作斜率为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于D，E两点，若D，E两点关于原点对称，求k1k2的值．
20. （12分）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
21.（12分）已知圆M 的方程为x 2+（y −2）2
=1，直线l 的方程为x −2y =0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B . （1）若∠APB =60°，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为（2，1），过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD =√2时，求直线CD 的方程； （3）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
22. （12分）已知数列{a n }的首项为1，且na n+1=（n +1）a n ，数列{b n }满足b 1=12，b 2=1
4，对
任意n ∈N ∗，都有b n+12
=b n ×b n+2.
（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；
（2）令T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，数列{a n }的前n 项和为
S n .若对任意的n ∈N ∗，不等式λnT n +2b n S n >2（λn +3b n ）恒成立，试求实数λ的取值范围．
单选DBCBBDCC 多选AD ，ACD ，ACD ，AB
18.。