专题2——积分上限函数(变限积分)与不定积分之间的关系

1 专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系

注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数()f x 为区间[,]a b 上的连续函数，设0x 为区间[,]a b 上的一定点，积分0()x

x f t dt ⎰，[,]x a b ∈（这里的积分变量用t 表示而没有用x 表示，

主要是为了避免与积分上限x 产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，即000()()()x x x x x x f t dt f u du f x dx ==⎰

⎰⎰）定义了一个函数，令为0()()x x x f t dt φ=⎰，[,]x a b ∈，且有0()(())()x x x f t dt f x φ''==⎰

由原函数的定义及0()(())()x x x f t dt f x φ''==⎰可知，函数()x φ即0

()x x f t dt ⎰为()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，那么()f x 在区间[,]a b 上的不定积分（即()f x 在区间[,]a b 上的全体原函数）可以表示为：

0()()x x f x dx f t dt C =+⎰⎰，[,]x a b ∈，C 为任意常数。

所以，求函数()f x 在区间I 上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()f x dx ⎰求出，也可以用定积分的方法0()x

x f t dt C +⎰求出。