学生版必修第章课堂讲义版
2018版数学课堂讲义湘教版必修一课件：第1章 集合与函
2 而令 x×11%＝420，解得 x＝3 818 ∉(4 000，＋∞)， 11 2 故 x＝3 818 (舍去). 11
∴这个人的稿费为3 800元.
规律方法
1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，
弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围.
2.在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中， 自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4 000和x＞4 000，但不
(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数
关系式；
解 依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；
当800＜x≤4 000时，y＝(x－800)×14%；
当x＞4 000时，y＝x×11%. 故y与x之间的函数关系式是
0，0＜x≤800； y＝(x－800)×14%，800＜x≤4 000； x×11%，x＞4 000.
数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.
2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义
去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.
3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.
－7，x∈(－∞，－2]， 跟踪演练2 作出y＝ 2x－3，x∈(－2，5]，的图象，并求y的 值域. 7，x∈((－ 3)＝3－2 3.
5 5 3 3 ∵f－ ＝－ ＋1＝－ ，而－2<－ <2， 2 2 2 2
3 3 3 5 2 ∴f[f(－ )]＝f－ ＝－ ＋2×－ 2 2 2 2 9 3 ＝ －3＝－ . 4 4
第1章——
1.2 函数的概念和性质 1.2.6
[学习目标]
1.能说出分段函数的定义.
人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.1 集合
第一章集合与简易逻辑第一单元集合单元知识要点点击本单元是“集合”.在初中数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等基础上,给出集合与集合元素的概念,并介绍其表示方法.从讨论集合与集合之间包含与相等关系入手,给出了子集的概念,与子集相联系的全集与补集的概念,属于集合运算的交集、并集的初步知识.考虑到集合知识的运用与巩固及下一章的函数的定义域与值域的需要,介绍了含绝对值不等式和一元二次不等式的解法.1.1 集合①课文三点专讲重点:(1)集合的含义集合的概念是数学中最原始的、不加定义的概念，它只是通过一些实例，描述性地说明其含义.(2)集合中元素的特征给定的集合，它的元素必须是确定的，互异的，并且集合与其中元素的排列次序无关，即集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.只要构成集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的.(3)元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合(1)集合的表示——列举法列举法表示集合就是把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来.(2)集合的表示——描述法有些集合的元素无法用列举法一一列举出来的，我们可以用描述法表示，即在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.考点:(1)集合元素的特性:考察集合元素的确定性、互异性、无序性,是高考中常考的内容之一.(2)集合的表示方法:考察集合的列举法和描述法两种表示方法,常用的还有图示法,要分清几种方法能间的相互转化及其关系.②练功篇典型试题分析例1.已知23{3,21,1}a a a -∈--+, 求实数a 的值.分析: -3的值可能有三种可能取值情况,必须分别代入求解,但要注意最后必须要验证所得结果的正确性. 实质上对于集合2{3,21,1}a a a --+均可能是-3 , 考虑集合元素的互异性, 在求得0a =或1a =-后,重新代入集合验证是必要的, 因为求得的值很可能会出现集合中有两个元素相同 , 此时对应的a 的值要舍去.解析: 由23{3,21,1}a a a -∈--+,可得33a -=-,即0a =; 或213a -=-,即1a =-; 或213a +=-(此方程无解). 当0a =时2{3,21,1}{3,1,1}a a a --+=-- ; 当1a =-时, 2{3,21,1}{4,3,2}a a a --+=-- . 所以0a =或1a =- . 例2.用列举法表示下列集合: (1)6{|,}2x Z x Z x ∈∈-; (2)*{|,,,||2,3}a x x a Z a b N b b=∈<∈≤且;(3) {(,)|2,14}x y y x x N x =-∈≤<且; (4) {|}x y x N ∈.分析:上述几题均是用描述法表示集合,列举其元素时一定要注意各自集合中的代表元素.寻找集合中的元素时,先要将其满足条件的集合中的相关数一一列举出来,其关键在于抓住集合中元素的特征,在列举元素时,要注意充分考虑集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,如(2)集合中的元素个数只能有7个.解析:(1)∵6,2Z x Z x∈∈- , ∴|2|x -是6的因数 , 即|2|x -的值应取1或2或3或6, 分别解得1,3,4,0,1,5,4,8x =-- , ∴6{|,}{1,3,4,0,1,5,4,8}2x Z x Z x∈∈=--- . (2)由,||2a Z a ∈<知1,0,1a =-; 由*3b N b ∈≤且知1,2,3b = . ∴a b 的值分别为101101101,,,,,,,,111222333--- , 考虑到集合中元素的互异性,故原集合可用列举法表示为:1111{1,0,1,,,,}2233--- . (3)由14x N x ∈≤<且知1,2,3x =, 其对应的y 的值分别为1,0,1y =-, 故原集合用列举法可表示为:{(1,1),(2,0),(3,1)}- .(4) 由已知条件可得20x x N -≥∈且, 即2x x N ≤∈且 , ∴0,1,2x = ,∴{|}{0,1,2}x y x N ∈= .基础知识巩固1.用列举法表示下列集合：(1)｛y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N ｝．(2)｛20以内的质数｝．(3)｛(x ，y )｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ｝．2.用描述法表示下列集合：(1)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.(2)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合．(3)方程组⎩⎨⎧=-=+11y x y x 的解的集合.(4)能被3整除的整数.3.用列举法表示下列集合:(1) {|}y y x N =∈;(2) {(,)|}x y y x N =∈4.方程组⎩⎨⎧=+-=++03062y x y x 的解集是 ( ). A .{(-3,0)} B .{-3,0} C .(-3,0) D .{(0,-3)}5.下列各题中M 与P 表示同一集合的是 ( )A .)},3,1{(-=M )}1,3{(-=PB .}0{,=∅=P MC .22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R P x y y x x R ==+∈==+∈D .22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R P t t y y R ==+∈==-+∈6.下列四个关系中，正确的是 ( )A .}{a ∈∅B .}0{=∅C .},{}{b a a ∈D .}}{},{{}{b a a ∈7.已知A ＝｛－2，－1，0，1｝，B ＝｛x ｜x ＝｜y ｜y ∈A ｝，求B ．8..将方程组⎩⎨⎧=-=+273223y x y x 的解集用列举法、描述法分别表示． 9..设集合A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，又有a ∈A ，b ∈B ，判断元素a ＋b 与集合A 、B 和C 的关系．10.已知2{|}A x x px q x =++=,2{|(1)(1)1}B x x p x q x =-+-+=+,当{2}A =时,求集合B .③升级篇典型试题分析例3：已知集合{0,2,4}M =，定义集合{|,,}P x x ab a M b M ==∈∈，求集合P . 分析：求集合P ，根据集合P 的定义，集合P 中的代表元素x 满足,,x ab a M b M =∈∈，所以分别取,a M b M ∈∈，求出ab 的所有可能值，用列举法一一列举出来，即得集合P .解析：∵,a M b M ∈∈，∴a =0,2,4, b =0,2,4,a 或b 至少有一个为0时，0x ab ==，a =2且b =2时, 4x ab ==， a =2且b =4时, 8x ab ==，a =4且b =2时, 8x ab ==， a =4且b =4时, 16x ab ==，根据集合中元素的互异性知{0,4,8,16}P =.例4.2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a ，a b ，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，请求a 2008＋b 2008的值 ．分析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和ab 中的a 不为0的隐含信息，就能得到如下解法.解析: 由已知得ab ＝0，及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，因而a ＝－1，故a 2008＋b 2008＝(-1) 2008＝1． 知识应用与提升11.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyzxyz z z y y x x ＋＋＋的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 （ ）A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M12.集合{0,1,2,3,5}A =，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为 .13.关于x 的方程0=+b ax ，当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是无限集.14.若一数集中的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该集合为“可倒数集”，试写出一个含三个元素的可倒数集_____.15.已知},,0,1{2x x ∈ 求实数x 的值.16.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为 ④闯关篇典型试题分析例5：集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法分析：本题定义了集合的封闭运算，要探求集合对哪种运算封闭，一种思路是直接根据定义去探求这种运算，对于选择题，再一种思路就是排除不符合定义的运算，从而得到符合定义的运算.解析：设a b 、表示任意两个正整数，则22a b 、的和不一定是属于M ，如22125M =∉+；22a b 、的差也不一定是属于M ，如22123M =-∉-；22a b 、的商也不一定是属于M ，如2211M 24=∉；因为a b 、表示任意两个正整数， 222()a b ab ⋅= ，ab 为正整数，所以2()ab 属于M ，即22a b 、的积属于M .故选C.例6. 已知集合A ＝{x |x ＝m ＋n 2，m ，n ∈Z}．（1）证明任何整数都是A 的元素；（2）设x 1，x 2∈A ，求证：x 1·x 2∈A ．分析: 转换思维模式可将复杂问题具体化、简略化,本题的实质是证明任意两个A 集合中的元素的乘积运算仍在A 集合中,它反映了集合元素运算封闭性.证明：（1）设a ∈Z ，则a ＝a ＋02 ．∵a ，0∈Z ，∴ a ＝a ＋02∈A ．故任何整数都是A 的元素 ．（2）∵x 1，x 2∈A ，可设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 22，（其中m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ）. ∴x 1x 2＝（m 1＋n 12）（m 2＋n 22）＝（m 1m 2＋2n 1n 2）＋（m 1n 2＋m 2n 1）2． ∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴（m 1m 2＋2n 1n 2）∈Z ，（m 1n 2＋m 2n 1）∈Z ．当m 1n 2＋m 2n 1＝0时，x 1·x 2＝（m 1m 2＋2m 1n 2）∈Z ， ∴x 1·x 2∈A ．知识拔高与创新17.已知A={1，2，3}， B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A*B={|}x x A x B ∈∈且，则集合A*B=（ ）A. {1，2，3}B. {2，4}C. {1，2，3，4}D. {2}18. 已知集合241x A a x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭有惟一解，又列举法表示集合A 为 19.求集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中所有元素的和. 20.已知集合A ＝{x |x ＝m 2－n 2,m ∈Z ,n ∈Z}求证：（1）3∈A ； （2）偶数4k —2 (k ∈Z)不属于A.⑤行侠篇高考试题点击21.（2005高考湖北）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．622.（2004高考湖南）若集合{}(,)|20A x y x y m =-+>，{}(,)|0B x y x y n =+-≤，若点P （2，3）∈A 且P （2，3）∉B ，则（ ）A. 15m n >-<,B. 15m n <-<,C. 15m n >->,D. 15m n <->,⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习为数学而疯的人集合论的创立者是德国数学家康托尔.1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭.1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福.他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论.进入了柏林大学后，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学.他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都应这样看起来，1厘米长的线段内的点“一样多”.后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论，轰动了当时数学界. 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂，有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”，康托尔一直在逆境中拼搏着，以致不到40岁就患了神经衰弱和精神抑郁症，就这样他还在奋斗着.真金不怕火炼， 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在哈勒大学附属精神病院去世.1.2子集、全集、补集①课文三点专讲重点:(1)子集、全集、补集的概念.集合之间包含与相等的含义,识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义(2)注意区别区分}0{},{,∅∅间的关系.}{∅表示以空集,∅为元素的单元素集合,当把∅视为集合时, }{∅⊆∅成立;当把∅视为元素时,}{∅∈∅也成立.0表示元素,}0{表示以0为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.难点：(1)弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.区分∈与⊆符号: ∈表示元素与集合之间的关系,如:N N ∉-∈1,1; ⊆表示集合与集合之间的关系,如R R N ⊆∅⊆,等.(2) 有限集合的子集个数:n 个元素的集合有n 2个子集;有12-n个非空子集;有12-n 个真子集;有22-n 个非空真子集.考点:(1)求集合的所有子集或子集的个数.此类问题有两种类型:其一是无条件地写出已知集合的所有子集或所有真子集,其解题关键是正确地进行分类,分别写出含有1个元素,2个元素,……,n 个元素的子集;其二是有条件地写出适合某条件的所有子集.(2)集合与集合之间的关系考察.此类问题常以两个集合间元素的属性及它们属性间的共同点及不同的点,来判断元素与集合间的从属关系,然后由子集定义得出其间的包含关系.几何图形可以直观形象地提示集合间的包含关系.(3)补集的求解问题.此类问题需要弄清全集U 及集合A 的元素构成,掌握补集的性质及应用,如(),,.U U U U A A U U ==∅∅=痧痧②练功篇典型试题分析例1.满足∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的集合A 是什么?共有多少个?分析: ∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的意义是集合A 为非空集合,且{,,,}A a b c d ≠.解析:由∅⊂≠A 可知,集合A 必为非空集合;又由A ⊆},,,{d c b a 可知,此题即为求集合},,,{d c b a 的所有非空子集。
正态分布-讲义(学生版)
正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。
2019-2020学年新人教版高中化学必修一课时讲义：第一章 第二节 第二课时 离子反应
第二课时 离子反应[明确学习目标] 1.通过实验事实认识离子反应及其发生的条件。
2.会书写离子方程式并能进行正误判断。
3.理解离子方程式的意义。
4.掌握一些常见离子能否共存的判断方法。
学生自主学习离子反应1．离子反应□01(1)概念：电解质在溶液中的反应实质是离子之间的反应，称为离子反应。
(2)实验探究2．离子方程式□03(1)定义：用实际参加反应的离子符号来表示反应的式子。
(2)书写步骤(3)意义①表示出了反应的实质例如：2NaOH＋H2SO4===Na2SO4＋2H2O可以表示为□072－4H＋＋OH－===H2O，说明SO和Na＋根本没参加反应。
②表示所有同一类型的反应例如：H＋＋OH－===H2O可以表示强酸和强碱生成可溶性盐和水的反应。
离子反应发生的条件1．实验探究□062．复分解反应型的离子反应发生的条件是：(1)反应生成沉淀；(2)反应□07□08生成气体；(3)生成水。
满足其一即可。
1．H＋＋OH－===H2O能表示所有的强酸和强碱发生的中和反应吗？提示：不能，H2SO4和Ba(OH)2的反应不能用该式表示。
2－32．能使紫色石蕊试液变红的溶液中CO能大量存在吗？2－3提示：不能，使紫色石蕊试液变红的溶液显酸性，H＋会与CO发生反应。
课堂互动探究知识点一 离子方程式的书写及正误判断1．离子方程式书写的关键书写离子方程式的关键是“拆”，要“拆”得合理。
2．离子方程式正误判断时的“六看”(1)看是否符合客观事实如Fe加入硫酸铜溶液中：2Fe＋3Cu2＋===2Fe3＋＋3Cu(错)错因：Fe和硫酸铜溶液反应生成FeSO4正确：Fe＋Cu2＋===Fe2＋＋Cu(2)看是否符合拆写原则如石灰石加入稀盐酸中：2－3CO＋2H＋===CO2↑＋H2O(错)错因：CaCO3是难溶盐，不能拆写成离子形式正确：CaCO3＋2H＋===Ca2＋＋CO2↑＋H2O (3)看是否遵守质量守恒定律如Na2CO3与稀硫酸反应：2－3CO＋H＋===CO2↑＋H2O(错)错因：氢原子个数不守恒2－3正确：CO＋2H＋===CO2↑＋H2O(4)看是否遵守电荷守恒如铝与CuSO4溶液反应：Al＋Cu2＋===Al3＋＋Cu(错)错因：电荷不守恒正确：2Al＋3Cu2＋===2Al3＋＋3Cu(5)看是否漏掉离子反应如CuSO4与Ba(OH)2溶液反应：2－4Ba2＋＋SO===BaSO4↓(错)错因：漏掉了Cu2＋和OH－的反应2－4正确：Ba2＋＋SO＋Cu2＋＋2OH－===BaSO4↓＋Cu(OH)2↓(6)看是否符合阴、阳离子的个数配比如Ba(OH)2溶液和稀硫酸反应：2－4Ba2＋＋OH－＋H＋＋SO===BaSO4↓＋H2O(错)错因：不符合物质的组成比2－4正确：Ba2＋＋2OH－＋2H＋＋SO===BaSO4↓＋2H2O1 下列离子方程式中正确的是( )A．Fe(OH)3滴加稀盐酸：OH－＋H＋===H2OB．向澄清石灰水中通入过量的二氧化碳：Ca2＋＋2OH－＋CO2===CaCO3↓＋H2OC．MgCl2溶液中滴加氨水：Mg2＋＋2OH－===Mg(OH)2↓2－4D．NaHSO4溶液中加BaCl2溶液：SO＋Ba2＋===BaSO4↓[批注点拨][解析] A项Fe(OH)3难溶于水，应写成化学式，正确的离子方程式为Fe(OH)3＋3H＋===Fe3＋＋3H2O；B项，澄清石灰水中通入过量二氧化碳生成－3Ca(HCO3)2，正确的离子方程式为OH－＋CO2===HCO；C项，NH3·H2O为弱碱，应写化学式，正确的离子方程式为Mg2＋＋2NH3·H2O===Mg(OH2)↓＋2NH ＋4。
2019年新版人教版高中化学必修一：第一章 第一节 第一课时 物质的分类 胶体 讲义
物质的分类胶体[明确学习目标] 1.学会物质分类方法，会从不同角度对物质进行分类。
2.了解同素异形体。
3.能够根据分散质粒子的大小对分散系分类。
4.会制备Fe(OH)3胶体，会鉴别胶体与溶液。
学生自主学习根据物质的组成和性质分类1．同素异形体(1)由□01同一种元素形成的几种性质不同的单质叫做该元素的同素异形体。
(2)同素异形体的物理性质不同，化学性质不同。
(3)举例：O2与□02O3；红磷与白磷；金刚石、□03石墨与C60互为同素异形体。
2．根据物质的组成分类(1)交叉分类法①含义：根据不同的分类标准，对同一事物进行多种分类的一种分类方法。
②举例：Ⅱ.某些盐的交叉分类(2)树状分类法①含义：对同类事物按照某些属性进行再分类的分类法。
②举例：3．根据物质的性质分类(1)根据物质的性质对物质进行分类是化学上常用的分类方法。
(2)举例：根据性质对氧化物进行分类分散系及其分类1．分散系(1)概念：□01把一种(或多种)物质以粒子形式分散到另一种(或多种)物质中所形成的混合物。
(2)组成(3)分类①分散质和分散剂各有固、液、气三种状态，以其状态为分类标准共分为□049种分散系。
②分散系按照分散质粒子直径大小分类2．胶体的制备和特征(1)Fe(OH)3胶体的制备制备原理：FeCl 3＋3H 2O=====△Fe(OH)3(胶体)＋3HCl具体操作：往烧杯中注入40 mL 蒸馏水，将烧杯中的蒸馏水加热至沸腾，向沸水中逐滴加入5～6滴□08FeCl 3饱和溶液，继续煮沸至溶液呈□09红褐色，停止加热。
(2)胶体的特性——丁达尔效应当平行光束通过胶体时，可以看到□10一条光亮的“通路”，这是由于胶体粒子对光线□11散射形成的，叫做丁达尔效应，可用来区分胶体和□12溶液。
1．在科学研究中分类法的意义何在？提示：运用分类法对物质进行科学的分类，然后分门别类地研究它们的组成、结构、性质和用途，就能够发现物质及其变化的规律，把握物质的本质属性和内在联系。
2018版数学课堂讲义湘教版必修一课件：第1章 集合与函
－3≤2m－1， (2)当 B≠∅时，有 m＋1≤4， 2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得实数m的取值范围为{m|m≥－1}.
规律方法
1.(1) 分析集合间的关系时，首先要分析、简化
每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出
素组成的子集叫作A的______ 补集
2.常用结论
(1)任意一个集合A都是它本身的 子集 ，即 A⊆A . (2)空集是 任意一个集合 的子集，即对任意集合A， 都有
∅⊆A
.
要点一 有限集合的子集确定问题 例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集. 解 由0个元素构成的子集：∅；
由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
或者说A包含B.若B包含于A，
子集 称B是A的一个______
_____ B⊆A
或
真子 如果B是A的子集，但A不是B 集 的子集，就说B是A的______ 真子集
B A ______
集合 如果B是A的子集，A也是B的
相等 子集，就说两个集合______ 相等
_____ A＝B
如果在某个特定的场合，要讨论 的对象都是集合 I的元素和子集， 全集、 ∁ IA 就可以约定把集合 I 叫作全集 . 若 A ____ 补集 是全集 I 的子集， I 中不属于 A 的元
第1章——
1.1 集
1.1.2
[学习目标]
合
集合的包含关系
1.明确子集，真子集，两集合相等的概念.
2.会用符号表示两个集合之间的关系.
3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.
4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集.
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
(word完整版)高一物理讲义(人教版)必修一
第一章运动的描述第一讲 1.1 质点，参考系，坐标系知识目标：1，理解质点的概念及物体简化为质点的条件。
2，知道参考系的概念及与运动的关系。
3，能正确分析和建立坐标系。
想一想：万米赛跑运动员可以看做一个点吗？研究篮球运动员的技术动作时，可以把运动员看做一个点吗？一、质点在研究某些物体的运动过程中，可以不考虑物体的大小和形状，突出物体具有质量这一要素，把物体简化为一个有质量的点，称为质点。
于是，对实际物体运动的描述就转化为质点运动的描述。
质点的定义：用来代替物体的有质量的点叫质点。
（2）将物体看成质点的条件：物体的_______、_______对所研究的问题的影响可以忽略不计时，可以把物体视为质点。
（3）质点的物理意义①质点是一种理想化的物体模型，不是实际存在的物体。
②质点是实际物体的一种近似反映，是为了研究问题的方便而进行的科学抽象。
③建立质点概念时抓住了主要因素，忽略次要因素，突出事物的主要特征，使所研究的复杂问题得到简化。
④一个物体能否看成质点由问题的性质所决定。
⑤尽管质点不是实际存在的点，但研究的质点得到的结论可应用于实际问题。
例1，( )下面那些可以看做质点？A研究火车过桥的时间 B研究火车从重庆到北京的时间C 研究火车车轮上某点的运动情况D 研究地球公转E 研究地球自转例2，下面关于质点的说法正确的是（）A 质点一定是很小的物体B 质点是实际存在的有质量的点C 质点是研究物体运动时的一种理想模型D 质点就是物体的重心二、参考系运动的绝对性要描述一个物体的运动，首先要选定某个其他物体做参考，观察物体相对于这个“其他物体”的位置是否随时间变化，以及怎样变化。
这样用来做参考的物体称为参考系。
1，定义：在描述一个物体运动时，选来作为标准的假定不动的另一个物体叫参考系。
2，对参考系的理解：①标准性：用来选作参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的。
②任意性：参考系的选择具有任意性，但以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则。
(学生版)必修1第1章课堂讲义2017版
必修1，第一章圆梦教育蒋老师，张老师合编第一章从实验学化学 (1)第一节化学实验基本方法 (2)第1课时化学实验安全过滤和蒸发 (2)第2课时蒸馏和萃取 (8)第二节化学计量在实验中的应用 (13)第1课时物质的量的单位一一摩尔 (13)第2课时气体摩尔体积 (16)第3课时物质的量在化学实验中的应用 (19)第一章从实验学化学（一）重点1化学实验安全常识.2 •混合物分离的常用方法（过滤、蒸发、蒸馏、萃取、分液等）的原理、操作方法、注意事项及应用.3.常见离子（SO42、CO32）的检验方法.4•物质的量及其单位摩尔、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度等概念的理解和应用.5.—定物质的量浓度溶液的配制.（二）难点1.混合物分离和提纯方法的综合应用.2.以物质的量为中心的计算，即有关基本计算公式：n= N / N A、n= m / M、n = V/ Vm、n= cV等的综合应用.3.离子检验的方法及试剂的添加顺序.、化学实验基本方法、化学常用量之间的关系第一节化学实验基本方法第1课时化学实验安全过滤和蒸发、化学实验安全1.遵守实验室规则.2.了解安全措施.实验室里的药品，很多是易燃、易爆、有毒或有腐蚀性的•了解危险化学药品的存放和使用时的注意事项、着火和烫伤的处理、中毒的处理、如何防止化学灼伤、意外事故的紧急处理办法，以及灭火器材、煤气、电闸等的位置和使用方法、报警电话等.3•掌握正确的操作方法•包括仪器和药品的使用、加热、气体收集等。
4•重视并逐步熟悉污染物和废弃物的处理方法•包括：有害气体、废液、固体废弃物的处理.［思考题］点燃可燃性气体前应注意什么？浓H2SO4稀释时应如何操作？、过滤和蒸发1.过滤(1)概念：将(不同固体)与(液体)分离的一种方法.(2)主要仪器及用品：铁架台(带铁圈)、烧杯、漏斗、玻璃棒、滤纸。
⑶装置图紧贴低于低于—紧靠紧靠紧靠注：(2)必要时洗涤沉淀物(3) “定量实验”要无损2.蒸发(1)概念：分离溶于溶剂中的固体溶质的一种方法.(2)主要仪器及用品：铁架台(带铁圈)、酒精灯、蒸发皿、玻璃棒。
人教版数学七年级上册 课程讲义第一章：有理数的加减法-学生版
人教版数学七年级上册课程讲义第一章：有理数的加减法-学生版有理数的加减知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初一，基础一般；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习有理数的加法，有理数的减法；核心部分是有理数加减法的混合运算。
知识梳理讲解用时：20分钟 课堂精讲精练 【例题1】 我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ） A ．（﹣5）+（﹣2） B ．（﹣5）+2C ．5+（﹣2）D ．5+2有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数．3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c ＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．()a b a b -=+-有理数的减法已知a为正数，b为负数，且|a|=4，|b|=6，求a+b的值．【例题4】下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）．现在的北京时间是上午8：00．（1）求现在纽约时间是多少？（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？时差/时纽约﹣13巴黎﹣7东京+1芝加哥﹣14【练习4.1】在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．【例题5】列式计算：（1）已知甲、乙两数之和为﹣2020，其中甲数是﹣7，求乙数；（2）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，且|a|=1，|b|=2，|c|=4．求3b+2a ﹣c 的值．【例题6】某单位一周中收支情况如下：524.5+元，274.3-元，490+元，100-元，29.7+元，123.6-元，232.1-元．问该单位这一周，总共收入多少元？总共支出多少元？收支相抵后，余额是多少元？【练习6.1】（3）()()1112 6.5 6.3625⎛⎫⎡⎤---+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【例题7】 如果2113x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么x 等于______． 【练习7.1】若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2．（1）直接写出a+b ，cd ，m 的值；（2）求m+cd+mb a +的值． 课后作业【作业1】如果规定运算()()23a b a b ⊗=---，求73124⎛⎫⊗- ⎪⎝⎭的值． 【作业2】计算：123456789101112201720182019+--++--++--+++-．【作业3】计算：2115-+---．0543236。
高中数学同步讲义必修一——第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性
§1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义思考图中所给出的三个函数图象，有什么共同特征？答案它们的图象由左到右是上升的．梳理设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(×) 2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(×)3．用定义证明函数单调性时，可设x1<x2，也可设x1>x2.(√)4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(×)类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练1函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．类型二 证明单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数． 考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x 在[1，＋∞)上是增函数．考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x 在区间[1，＋∞)上是增函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例3 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫18，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，18∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 考点 函数单调性的应用题点 已知分段函数单调性求参数范围 答案 A解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________． 考点 函数单调性的应用题点 已知二次函数单调性求参数范围 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例4 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围． 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小．跟踪训练4 在例4中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？ 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， 又f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞.1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C2．函数y ＝6x 的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋1 考点 函数的单调性的概念 题点 函数单调性概念的理解 答案 B4．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是________． 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式 答案 (－1,1)5．若函数f (x )＝(4－x )(x －2)在区间(2a,3a －1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．考点 函数单调性的应用题点 已知二次函数单调性求参数范围 答案 ⎝⎛⎦⎤1，43 解析 f (x )是开口向下的二次函数，其对称轴x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <3a －1，3a －1≤3，解得1<a ≤43.1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较．一、选择题1．函数y ＝1x －1的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)，(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．{x ∈R |x ≠1}D ．R考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 A解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当．故选A.2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 考点 函数的单调性的概念 题点 函数单调性概念的理解 答案 C解析 因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1<x 2，则f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )．3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是()A．(－3,0)B．(0,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案 B解析由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1，即f(0)<f(x)<f(3)．又∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3，∴－1<f(x)<1的解集为(0,3)．4．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是()A．y＝－f(x)在R上是减函数B．y＝1f(x)在R上是减函数C．y＝[f(x)]2在R上是增函数D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点抽象函数单调性的判断答案 A解析设x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x1)<f(x2)．所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a≤0时，D不成立．5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有() A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)考点函数单调性的应用题点利用单调性比较函数值大小答案 C解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ，∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )考点 函数的单调性的概念题点 函数单调性概念的理解答案 B解析 对于A ，存在x 1∈(0,1)，f (x 1)>f (1)，A 不对；对于C ，存在x 1>1，f (x 1)<f (1)，C 不对；对于D ，存在x 1＝－1，x 2＝1，f (x 1)<f (x 2)，D 不对；只有B 完全符合单调性定义．8．函数y ＝2x －3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－3]B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，1)D.[)－1，＋∞ 考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间答案 B解析 函数由t ＝2x －3与y ＝t 复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求．首先由2x －3≥0，得x ≥32.又因为t ＝2x －3在(－∞，＋∞)上单调递增，y ＝t 在定义域上是增函数，所以y ＝2x －3的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 二、填空题9．已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________．考点 函数单调性的应用题点 已知一次函数、分式函数单调性求参数范围答案 (－1,0)解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1<k <0.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________．考点 函数单调性的应用题点 已知分段函数单调性求参数范围答案 ⎣⎡⎦⎤0，13 解析 当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0；当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13. 11．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32. 三、解答题12．求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间．考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0. 函数图象如图所示：∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．13．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．题点 函数单调性的综合应用(1)证明 设任意x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述，0<a ≤1.四、探究与拓展14．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________．考点 函数单调性的应用题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1.由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15．设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；(3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1.考点 函数单调性的应用题点 函数单调性的综合应用解 (1)对于任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.当x ＝2，y ＝12时，有 f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12， 即f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝0，又f (2)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.(2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：设任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 1，则f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＝f (x 2)， 即f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2x 1>1，故f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0， 即f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(3)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12(8x －6)＝f (4x －3)，∴f (2x )>f (4x －3)，∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >4x －3，4x －3>0，解得解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34<x <32.。
最新整理高一数学必修第一章集合与函数概念讲义
个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 象概念的作用 .
¤知识要点 ：
Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到
掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下
.
概念
并集 由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合， 称为集合 A 与 B 的并集 （ union set ）
）.
24
42
A. x0∈ N
B. x0 N
C. x0∈ N 或 x0 N
D. 不能确定
5．已知集合 P={ x|x2=1} ，集合 Q={ x|ax=1} ，若 Q P，那么 a 的值是（
）.
A. 1
B. － 1
C. 1 或－ 1
D. 0 ， 1 或－ 1
6．已知集合 A a, b, c, ，则集合 A 的真子集的个数是
xa * 【例 4】已知集合 A { a | 2
1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合
A．
x2
第 1 练 §1.1.1 集合的含义与表示
※基础达标
1．以下元素的全体不能够构成集合的是（
）.
A. 中国古代四大发明
B. 地球上的小河流
2
C. 方程 x 1 0 的实数解
D. 周长为 10cm 的三角形
函数的最值
函数的奇偶性
函数基本性质综合
1. 评讲函数测试 2. 总结做题方法 1.指数运算 2.指数函数 1.指数函数性质 2.评讲习题 1.对数与对数运算 2.对数函数 1.对数函数的性质 2.幂函数 1.方程的根与函数的零 点 2.二分法求方程的近似 解
第1讲 压强和浮力-讲义(学生版
第一讲压强和浮力小剧场曹冲称象曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人。
有一次,孙权送来了一头巨象,曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事,但他们都不能说出称象的办法。
曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其它东西，称一下这些东西,那么比较下就能知道了。
”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了。
那么你知道其中的原理吗？知识树一、固体与液体压强有幸相识——锥形容器以下三个质量不计的薄杯放在水平桌面上，1号敞口杯，2号圆柱杯，3号缩口杯，3个杯子中盛水高度相同，1号2号杯子底面积相同，1号3号杯子盛水质量相同，3号杯子底面积较大。
问：（1）水对杯底的压力F ,F ,F 大小关系；（2）杯底对桌面的压强P ,P,P大小关系。
内功心法：固体先想压力再想压强，液体先想压强再想压力。
123123小试牛刀A.压强增大，压力不变B.压强增大，压力增大C.压强增大，压力减小D.压强不变，压力减小1.如图密封的圆台容器里装有一部分水，若把该容器倒置后，水对容器底的（ ）A.量杯B.烧杯C.锥形瓶D.量筒2.匀速地向某容器内注满水，容器底所受水的压强与注水时间的关系如图．这个容器可能是（ ）量杯烧杯锥形瓶量筒百步穿杨3.如图所示，置于桌面上甲、乙两容器重力相等，底面积相等，注入等质量同种液体，则液体对容器底部的压强，液体对容器底部的压力；容器对桌面的压力 ，容器对桌面的压强（填“”“”或“”）．甲乙甲乙甲乙甲乙A.液体对锥形瓶底的压强为 B.液体对锥形瓶底的压力为C.锥形瓶对水平桌面的压强为 D.锥形瓶对水平桌面的压力为4.如图，将锥形瓶放在面积为的水平桌面上，已知锥形瓶的质量为、底面积为；当往锥形瓶中倒入密度、质量为的液体后，液面高度为，则下列说法不正确的是（）（1）（2）（3）5.如图所示，一个底面积为、重的圆形容器中装有的水．将一个密度为的实心铝球放入水中后沉底（容器中水未溢出）导致水位最终上升至．求：（）水对容器底的压强；该实心铝球的质量；容器对水平桌面的压强．反转课堂推荐题目A.，B.，C.，D.，6.如图所示，装满水的密闭容器置于水平桌面上，其上下底面积之比为，此时水对容器底部的压力为，压强为．当把容器倒置后放到水平桌面上，水对容器底部的压力和压强分别为（ ）二、浮力大小比较模型1. 物体的浮沉条件-知识讲解前提条件物体浸在液体中，且只受浮力和重力的作用．（1）物体的浮沉条件：受力情况状态下沉悬浮上浮漂浮与的关系与的关系注：指实心物体的密度．浮浮浮浮浮物液物液物液物液物液物（2）悬浮与漂浮的比较：相同：不同：悬浮——；； 漂浮——；．浮液物排物液物排物有幸相识：1.体积相等的两个小球，放置在同种液体中。
人口分布(学生版)-高一地理同步精品讲义(人教版2019必修第二册)
地理同步精品讲义（人教版2019必修第二册）1.1 人口分布课程标准素养目标任务设定运用资料，描述人口分布、迁移的特点及其影响因素1．理解世界人口分布的主要特点。
2．掌握影响人口分布的主要因素。
3．掌握我国人口分布特点及原因。
1．通过对世界人口分布图的分析，总结世界人口分布规律。
2．通过对世界各地自然、经济等特征的了解，分析世界人口分布的成因。
3．理解思路：只要涉及影响人口分布的因素，首先考虑到三个大的方面，然后从各个角度具体分析。
4．强调现代社会生产力发展水平对人口分布有决定性作用。
5．结合中国地形图和中国气候分布特点分析中国人口分布特点。
知识点01 世界人口的分布1．世界人口的分布（1）从全球来看：近90%的人口居住在北半球，尤其在 地带最为集中。
原因是陆地主要集中在北半球，且北半球的中低纬度 适宜， 面积广大，人类活动的历史悠久。
（2）从距离海洋远近来看：60%左右的人口居住在离海岸200千米以内的 。
原因是从沿海到内陆，由于降水量的差别而相继出现森林植被、草原植被北极圈和荒漠植被。
不同植被带的农业布局完全不同，一般来讲，降水少的地区人口 ，降水较多的地区人口 。
（3）从海拔来看：近80%的人口居住在海拔500米以下的低平地区。
原因是平原地区土地肥沃、地势平坦，有利于农耕，人口稠密。
高山、高原地区土地贫瘠、交通不便、气候寒冷、风力大，人口较稀疏。
2．世界四大人口稠密区人口稠密区 地区特点东亚中国东部、朝鲜半岛、日本中南部等地有世界古老的文明中目标导航知识精讲南亚 印度、巴基斯坦、孟加拉国、斯里兰卡等国心，人类在此聚居的历史悠久欧洲西部 英国、法国、德国、荷兰等国 经济发达，人口大多聚居在城市北美东部美国东部、加拿大东南部人口密度是一项表示地区人口稠密与稀疏平均状况的指标，人口密度一般指 。
人口密度大说明该地 ，人口密度小说明该地。
它与人口数量没有直接的关系。
3．各大洲和地区的人口分布极不平衡亚洲、 和 人口约占世界总人口的85%。
北京四中数学必修一讲义第一章函数第3讲 1.2.3 函数的表示及映射 学生版
第3讲 §1.2.3 函数的表示及映射※知识要点1．函数的三种表示法： 、 、 ．2．解析式的常见求法：① ：适用于已知函数类型；② 或 ：适用于复合函数；③ ：适用于f (x )与f (1x)或f (－x )形成的表达式． 注意：求解析式时，一定要注意求解前后的 变化．3．分段函数定义：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________的函数叫做分段函数． 注意：分段函数是 个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．4．映射的概念定义：设A 、B 是两个 ，按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个元素x ，在集合B 中都有确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B的 ．注意：由映射的定义可以看出，函数是一种特殊的映射，主要体现在构成函数的两个集合A 、B 必须是 数集．※题型讲练【例1】分别求下列函数的解析式．(1)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x ＋6，求f (x )；,(2)已知f (x )满足f (x ＋1)＝x 2＋2x ，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )；变式训练1：1．已知函数f (x )是二次函数，且f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则f (x )＝________.2．已知f (x )满足f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.3．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )．【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (f (－52)))的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值；(3)作出f (x )的图象，并求值域．变式训练2： 1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则a ＝_____．2．分别作出下列函数的图像，并写出定义域及值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1. (2)f (x )=x |x －2|【例3】下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x ；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →1x； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是_____．变式训练3：1．若集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列对应法则中不能从P 到Q 建立映射的是( ) 【导学号：97030038】A ．y ＝23xB ．y ＝18xC ．y ＝13xD ．y ＝12x2．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________.※课堂反馈1．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝x 2＋6xB ．f (x )＝x 2＋8x ＋7C ．f (x )＝x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 2＋6x －102．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥01，x <0，则f (f (－1))＝( ) A ．3 B ．1 C ．0 D ．－13．已知函数f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.4．已知f (x )满足2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )= ．5．下图给出的四个对应中是从A 到B 的映射的是________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2－1，x <0， (1)作出f (x )简图； (2)根据图像指出f (x )的定义域和值域．※基础夯实1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如右图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2，1)，C (3,2)，则f (g (2))x 1 2 3f (x ) 2 3 0C ．1D ．02．已知f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x －2C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －33．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6f (x ＋2)，x<6，则f (3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )5．已知A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1,－3)D ．(－2,0)6．已知f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为________. 7．已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.的定义域是 ，若f (x 0)＝8，则x 0的值为________． 9．以下四个对应：①A ＝N ＋，B ＝N ＋，f ：x →|x －3|；②A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →2x； ③A ＝N ＋，B ＝R ，f ：x →x 的平方根；④A ＝N ，B ＝{－1,1,2，－2}，f ：x →(－1)x .其中能构成从A 到B 映射的为________．(填序号)10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，(1)求f (x )的表达式； (2)若x ∈[－1，2)，求f (x )的值域.※能力提升1．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( )A ．p ＋qB ．2p ＋qC ．p ＋2qD ．p 2＋q2．已知f (x )＝2x ＋3，g (x )＝4x －5，则使得f (h (x ))＝g (x )成立的h (x )＝________．3．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为 ． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)－2x (x >0)，若f (a )=5，则a 的值为_______． 5．若定义运算：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b a ，a<b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x 2)的值域为________． 6．如图，f (x )的图象是由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)根据图像，写出f (x )的定义域和值域；(2)根据图像，求f (f (f (2))；(3)求f (x )的解析式．。
北京四中数学必修一第一章集合第1讲 1.1.1 集合的含义 学生版
第1讲§1.1.1 集合的含义※知识要点1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究统称为元素．(2)集合：把一些元素组成的叫做集合(简称集)．2．集合中元素的特性(1)集合中元素的三个特性：、、．注意：若两个集合的元素是一样的，则称两个集合是的．3．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母表示元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母表示集合．4．元素与集合的关系(1)属于：若a是集合A的元素，就说，记作.(2)不属于：若a不是集合A中的元素，就说，记作. 5．常见数集及其表示符号※题型讲练【例1】下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；⑥2的近似值的全体．变式训练1：1．下列能构成集合的有________．①中央电视台著名节目主持人；②我市跑得快的汽车；③中国古代的四大发明；④合肥市蜀山区的所有高楼；⑤比3大的自然数；⑥方程x2－1=0的解．【例2】给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1 变式训练2：1．用符号“∈”或“∉”填空．(1)5____N ；－4____Z ；0.5____R ；2____N *；13____Q . (2)若A 表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A ，(1,1)______A ，(－1,1)______A .2．设不等式a －2x <0的解集为M ，若1∉M ，2∈M ，求实数a 的取值范围．【例3】已知集合A 含有两个元素1和a 2.(1)求实数a 的取值范围； (2)若a ∈A ，求实数a 的值．变式训练3：1．已知集合A 是由0，m ，m 2－m 三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．【例4】已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素；(2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．变式训练4：1．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是________．2．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，则a 为________．※课堂反馈1．下列对象不能构成集合的是( )①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③2．下列三个关系式：①5∈R ； ②14∉Q ； ③0∈Z.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．已知集合A 中只有一个元素1，若|b |∈A ，则b 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，那么以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是() A ．矩形 B ．平行四边形C ．菱形 D ．梯形5．已知集合A 含有三个元素1，0，x ，若x 2∈A ，则实数x 的值为________．6．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．※基础夯实1．下列对象能构成集合的是( )①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A ．①②④B ．②⑤C ．③④⑤D ．②③④2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A3．下列命题正确的个数有( )①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2∉R ；⑤42∉Z .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所构成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素5．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．6．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.7．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．8．已知集合A 是由a －2，2a 2＋5a ，12三个元素构成的，且－3∈A ，求实数a 的值.※能力提升1．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5C ．37D ．7 2．设直线y ＝2x ＋3上的点的集合为P ，则点(1,5)与集合P 的关系是________，点(2,6)与集合P 的关系是________．3．下面有三个命题，正确命题的个数为________．(1)集合N 中最小的数是1；(2)若－a 不属于N ，则a 属于N ；(3)若a ∈N ，b ∈N *，则a ＋b 的最小值为2.4．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．※课后小结。
2018版数学课堂讲义湘教版必修一讲义：第1章 集合与函
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数[学习目标] 1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素．[预习导引]1．映射(1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射．(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(3)在映射f：A→B中，集合A叫作映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的象，记作y＝f(x)，x叫作y的原象．2．函数(1)函数就是数集到数集的映射．(2)函数的定义：设A，B是两个非空的数集．如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．(3)在函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)中，A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的象，记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的值域．(4)函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域.要点一映射定义的理解例1判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射．哪些不是，为什么？(1)A＝{x|x∈R＋}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x ＜0；(3)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2. 解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A 中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射．(3)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A 中的每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射． 说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．跟踪演练1 下列对应是不是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{a |a ＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N ＋， f ：a →b ＝1a；(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，∵A ，B 不是非空的数集． 要点二 映射的象与原象例2 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2＋2x . (1)求A 中元素－1和3的象； (2)求B 中元素0和3的原象； (3)B 中的哪一些元素没有原象？解 (1)令x ＝－1得y ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1， 令x ＝3得y ＝32＋2×3＝15， 所以－1的象是－1,3的象是15. (2)令x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或－2， 所以0的原象是0或－2.令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，所以3的原象是1或－3.(3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．规律方法 1.解答此类问题的关键：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．跟踪演练2(1)映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是()A．7B．6C．5D．4(2)设A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________，与B中元素22相对应的A中的元素是________．答案(1)D(2)3 245°解析(1)由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D.(2)60°角的正弦等于32，45°角的正弦等于22，所以60°的象是32，22的原象是45°.要点三映射的个数问题例3已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？解分两类考虑：(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个．(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个．∴A到B的映射共有9个．规律方法 1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有m n个，从B到A的映射有n m个．2．对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)．跟踪演练3 (1)在例3中，从集合B 到集合A 可以建立多少个不同的映射？(2)已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{2,0，－2}，f 是从A 到B 的映射，且f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f 的个数．解 (1)可以建立以下8个不同的映射：(2)符合要求的映射f 有以下3个：要点四 函数的概念例4 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．x 2＋y 2＝1，x ∈A ，y ∈BB ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,1}，对应法则如图所示C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －1D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析 选项A 中由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1－x 2，对于x 任意值，y 不唯一；选项B 中，对于任意x ∈A ，都有唯一y ∈B ；选项C 中，x ＝1时，通过法则f ，y 值不存在；选项D 中，取x ＝2∈A ，但是通过f ，对应y 值为2×2－1＝3∉B ，即y 值不存在，由函数定义知，答案为B.规律方法 判断由一个式子是否确定y 是x 的函数的一般程序： (1)将原式等价转化为用x 表示的形式；(2)看x 的取值集合是否为∅，若是∅，则不是函数，若不是∅，再看x 与y 的对应法则； (3)判断对于原式有意义的每一个x 值，是否都有唯一的y 值与之对应．若是，则确定y 是x 的函数，若不是，则不能确定y 是x 的函数．另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数．跟踪演练4 下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是( )答案 D解析 由函数定义知，对于x 的每一个值应有唯一的y 的值与之对应，只有D 项正确.1．给出下列四个对应法则，是映射的是( )A ．③④B ．①②C ．②③D ．①④答案 C解析 ①中c 没有与之对应的元素，不是映射；④中a 有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.2．对于集合A 到集合B 的映射，下列理解不正确的是( ) A ．A 中的元素在B 中一定有象 B ．B 中的元素在A 中可能没有原象 C ．集合A 中的元素与B 中的元素一一对应 D ．设A ＝B ＝R ，那么y ＝x 2是A 到B 的一个映射 答案 C解析 在A 到B 的映射中，A 中的元素与B 中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.3．点(x ，y )在映射f 下的对应元素为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋y 2，－x ＋3y 2，则点(2,0)在f 作用下的对应元素为( ) A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(3，－1)D ．(3，1)答案 C解析 ∵x ＝2，y ＝0时，3x ＋y 2＝3，－x ＋3y2＝－1， ∴(2,0)在f 作用下的对应元素为(3，－1)． 4．下列各式中，能确定y 是x 的函数的是( )A．x＋3y＝1 B．x2＋y2＝2C．y＝x－2＋1－x D．y2＝x答案 A解析B选项中y＝±2－x2，D选项中y＝±x，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x－2≥0且1－x≥0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确．5．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有________个．答案 4解析可以构成4个映射，它们是1.映射的定义(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系．(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”．根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以．(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合．2．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值．3．正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．一、基础达标1．已知A＝{－1,1}，映射f：A→A，则对x∈A，下列关系中肯定错误的是()A．f(x)＝x B．f(x)＝－1C．f(x)＝x2D．f(x)＝x＋2答案 D解析对于D，取x＝1∈A，但是通过f，对应f(1)＝3∉A.由映射定义知，D错误．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 f (1)＝1＋11＝2.3．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 和y ＝x 2xC ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．y ＝(x )2x 和y ＝x(x )2答案 D解析 A ，B 中两函数的定义域不同，C 中的两个函数对应法则不同，故选D.4．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 答案 2解析 f (1)＝12＋|1－2|＝2.6．已知集合A 到集合B ＝{2,3,4,5}的映射f ：x →y ＝|x |－1，且集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，则集合A 中最多有________个元素． 答案 6解析 若|x |－1＝2，则x ＝±3；若|x |－1＝3，则x ＝±4；若|x |－1＝4，则x ＝±5；若|x |－1＝5，则x ＝±6.又因为集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，所以集合A 中最多有6个元素．7．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个函数，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2. 二、能力提升8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝35×(－53)＝－1. 9．g (x )＝54－3x ，f (x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (14)×g (14)等于( )A ．－32 B.32C.152 D ．9答案 C解析 ∵f (14)＝1－(14)2(14)2＝15，g (14)＝54－34＝12，∴f (14)×g (14)＝152. 10．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个． 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个． 11．若f (x )＝ax 2－2，a 为一个正的常数，且f [f (2)]＝－2，求a 的值． 解 因为f (2)＝2a － 2.所以f [f (2)]＝f (2a －2)＝a ·(2a －2)2－2＝－2， 所以a ·(2a －2)2＝0(a ＞0)，故2a －2＝0，所以a ＝22. 三、探究与创新12．已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B . 解 根据对应法则f ，有： 1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去； 若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)． 故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上：a ＝2，k ＝5，集合A ＝{1,2,3,5}． B ＝{4,7,10,16}． 13．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f (1x )有什么关系吗？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12014)．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)21＋(12)2＝15， f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝(13)21＋(13)2＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f (1x )＝1，证明如下：f (x )＋f (1x )＝x 21＋x 2＋(1x )21＋(1x)2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)由(2)知：f (2)＋f (12)＝1，f (3)＋f (13)＝1，…，f (2014)＋f (12014)＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋1＝2013＋12＝40272.2013个。
高中数学必修1课堂学案配套课件第一章 1.1.3 第1课时
数}．
答 集合 A 和集合 B 的元素放在一起即为集合 C 的元素．
研一研·问题探究、课堂更高效
第1课时
小结 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组
成的集合，称为集合 A 与 B 的并集．
本 记作：A∪B.读作 A 并 B.其含义用符号表示为：A∪B＝{x|x∈
课
栏 目
A，或 x∈B}．
开
关 算．类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”
呢？
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第1课时
问题 1 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合 C 与集
本 合 A、B 之间的关系吗？
课
栏 (1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
目
开 关
(2)A＝{x|x 是有理数}，B＝{x|x 是无理数}，C＝{x|x 是实
栏
目 开
的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作
关
___A_∪__B_____.
2．并集的符号语言表示为 A∪B＝__{_x_|x_∈__A__,或__x_∈__B__}____．
填一填·知识要点、记下疑难点
第1课时
3．并集的图形语言(即 Venn 图)表示为下图中的阴影部分：
本 课 栏 目 开 关
第1课时
本 课
8．性质：A∩B＝__B_∩__A____，A∩A＝__A___，A∩∅＝__∅___，
栏 目 开
A∩B＝A⇔___A_⊆__B____，A∩B__⊆___A∪B，A∩B__⊆___A，
关
A∩B___⊆____B.
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第1课时
高中数学同步讲义必修二——第一章 章末复习
章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法．1．几何体的概念、侧面积与体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S侧＝ch，c为底面的周长，h为高V＝Sh 棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧＝12ch′，c为底面的周长，h′为斜高V＝13Sh，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝12(c＋c′)h′，c′，c为上、下底面的周长，h′为斜高V＝13(S上＋S下＋S上S下)h，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线V＝13Sh＝13πr2h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝43πR32．空间几何体的直观图(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．②等积变换，如三棱锥转移顶点等．③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．1．菱形的直观图仍是菱形．(×)2．多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)3．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(√)类型一几何体的结构特征例1下列说法正确的是________．(填序号)①棱柱的侧棱长都相等；②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；④棱台的侧面是等腰梯形．答案①解析②不正确，例如六棱柱的相对侧面；③不正确，如图；④不正确，侧棱长可能不相等．反思与感悟与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可．跟踪训练1根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是________________________________________________________________________；(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是________________________________________________________________________；(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是________________________________________________________________________．答案(1)正六棱柱(2)圆台(3)一个圆锥和一个圆柱的组合体类型二空间几何体的表面积和体积例2如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．解所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，S柱侧＝2πrl2＝2π·DG·FG＝23π，∴所求几何体的表面积S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π.由V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π×22×23＝833π，V 圆柱＝π·HD 2×EH ＝π×12×3＝3π， ∴所求几何体的体积为V 圆锥－V 圆柱＝8 33π－3π＝5 33π. 反思与感悟 1.空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．跟踪训练2 如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612D.64答案 A解析 111111111B ABC ABC A B C A A B C C ABC V V V V =--－－－－锥锥锥锥三棱三棱三棱三棱＝34－312－312＝312.1．关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是( ) A ．棱锥的侧棱长都相等B ．三棱台的上、下底面是相似三角形C ．有的棱台的侧棱长都相等D ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案 A解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等． 2．下列说法正确的有________个．①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面． 答案 2解析 ①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．3．可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________．答案 ④4．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为______．答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 5.如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，绕着CD 所在直线l 旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．解 如图①，过A ，B 分别作AO 1⊥CD ，BO 2⊥CD ，垂足分别为O 1，O 2，则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt △ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图②所示)．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B ．底面是矩形的平行六面体是长方体C ．棱柱的底面一定是平行四边形D ．棱锥的底面一定是三角形答案 A解析 平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A 正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B 错误；三棱柱的底面是三角形，故C 错误；四棱锥的底面是四边形，故D 错误．故选A. 2．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形C ．四棱锥有五个顶点D ．用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形 答案 C解析 由棱锥顶点定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选C.3．以长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( ) A ．64π cm 2B ．36π cm 2C ．64π cm 2或36π cm 2D ．48π cm 2答案 C解析 分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C 选项正确．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( ) A.15750 B.258 C.237 D.227 答案 D解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，∴r ＝L 2π，∴V ＝13πr 2h ＝L 2h 12π.令L 2h 12π＝7264L 2h ，得π＝227，故选D. 5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2 答案 C解析 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1—AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1—AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( ) A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B ．正方形的直观图为平行四边形 C ．梯形的直观图不是梯形D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案 B解析 由直观图的性质知B 正确．7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．3 答案 A解析 设上、下底面半径分别为r ，R (R ＞r )．则2πR ＝3×2πr ，所以R ＝3r .又因为π(R ＋r )l ＝S 侧，所以S 侧＝π(3r ＋r )×3＝84π，所以r ＝7.8．若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为( ) A.252π B ．50π C.12523π D.503π 答案 B解析 因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r ＝12×52＋42＋32＝522，所以它的外接球的表面积S ＝4πr 2＝50π. 二、填空题9.如图，正方形ABCD 的边长为1，CE 所对的圆心角∠CDE ＝90°，将图形ABCE 绕AE 所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________．答案 5π解析 由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱， ∵正方形ABCD 的边长为1，∠CDE ＝90°， ∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，∴形成的几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×1＋12×4π×12＝5π.10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．答案 14－12π解析 设圆柱桶的底面半径为R ， 高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°， 则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π. 11．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，高为h ，则111ABC A B C V －三棱台＝13(S 0＋4S 0＋2S 0)h ＝73S 0h ，111FEC A B C V －三棱柱＝S 0h .设剩余的几何体的体积为V ，则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，所以体积之比为3∶4或4∶3.12．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 答案 8解析 如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.三、解答题13. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．求：(1)AD 的长； (2)容器的容积．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2πR ＝60·π180×72，72－x ＝3R .，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12，x ＝36.即AD 应取36 cm. (2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ， 圆台的高h ＝x 2－(R －r )2＝362－(12－6)2＝635.∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)． 即容器的容积为50435π cm 3.四、探究与拓展14．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π答案 C解析 如图所示，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2. ∵V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，三棱锥O －ABC 的体积最大，∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 解得R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.故选C.15．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分当以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧 ＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 又∵V 球＝43πR 3， 1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11AO BO V V +圆锥圆锥＝56πR 3.。
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必修1，第一章圆梦教育蒋老师，张老师合编目录第一章从实验学化学 0第一节化学实验基本方法 (1)第1课时化学实验安全过滤和蒸发 (1)第2课时蒸馏和萃取 (7)第二节化学计量在实验中的应用 (12)第1课时物质的量的单位——摩尔 (12)第2课时气体摩尔体积 (15)第3课时物质的量在化学实验中的应用 (18)第一章从实验学化学(一) 重点1．化学实验安全常识．2．混合物分离的常用方法(过滤、蒸发、蒸馏、萃取、分液等)的原理、操作方法、注意事项及应用．3．常见离子(SO42－、CO32－)的检验方法．4．物质的量及其单位摩尔、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度等概念的理解和应用．5．一定物质的量浓度溶液的配制．(二) 难点1．混合物分离和提纯方法的综合应用．2．以物质的量为中心的计算，即有关基本计算公式：n＝N / N A、n＝m / M、n＝V/ Vm、n＝cV等的综合应用．3．离子检验的方法及试剂的添加顺序．一、化学实验基本方法二、化学常用量之间的关系第一节化学实验基本方法第1课时化学实验安全过滤和蒸发一、化学实验安全1．遵守实验室规则．2．了解安全措施．实验室里的药品，很多是易燃、易爆、有毒或有腐蚀性的．了解危险化学药品的存放和使用时的注意事项、着火和烫伤的处理、中毒的处理、如何防止化学灼伤、意外事故的紧急处理办法，以及灭火器材、煤气、电闸等的位置和使用方法、报警电话等．3．掌握正确的操作方法．包括仪器和药品的使用、加热、气体收集等。
4．重视并逐步熟悉污染物和废弃物的处理方法．包括：有害气体、废液、固体废弃物的处理．[思考题] 点燃可燃性气体前应注意什么？浓H2SO4稀释时应如何操作？二、过滤和蒸发1．过滤(1) 概念：将(不同固体)与(液体)分离的一种方法．(2) 主要仪器及用品：铁架台(带铁圈)、烧杯、漏斗、玻璃棒、滤纸。
(3) 装置图注：(2) 必要时洗涤沉淀物(3)“定量实验”要无损2．蒸发(1) 概念：分离溶于溶剂中的固体溶质的一种方法．(2) 主要仪器及用品：铁架台(带铁圈)、酒精灯、蒸发皿、玻璃棒。
(3) 装置图(见右图)①蒸发过程中要不断用玻璃棒搅拌②当析出较多晶体时，停止加热，用余热蒸干。
3．粗盐的提纯(1) 粗盐中不溶性杂质的除去操作依次为：溶解、过滤、蒸发．(2) 粗盐中可溶性杂质的除去杂质加入的试剂发生的化学方程式三、SO 2－4的检验 某溶液――――→滴加稀盐酸酸化无沉淀，无气体――――→加BaCl 2溶液白色 沉淀，证明原溶液中含有SO 2－4．四、自来水中Cl －的检验(1) 试剂：稀HNO 3和AgNO 3溶液；(2) 现象：生成(白色沉淀)；(3) 化学方程式(如向NaCl 溶液中滴加AgNO 3溶液)：NaCl ＋AgNO 3＝AgCl ↓＋NaNO 3；(4) 结论：某溶液，加入AgNO 3溶液，有 白色沉淀，加稀硝酸，沉淀不消失，证明原溶液中有Cl －．【判断正误】1．向试管中滴加溶液时，为防止迸溅，应将胶头滴管伸入试管内。
( )2．可用燃着的酒精灯直接引燃另一个酒精灯． ( )3．酒精灯火焰分为外焰、中焰和内焰． ( ) 4．粗盐提纯实验中，玻璃棒的作用为①搅拌，加速粗盐的溶解；②引流；③搅拌，防止溶液或固体迸溅． ( )5．检验溶液中的SO 42－时，可先加盐酸，后加BaCl 2溶液，也可先加BaCl 2溶液，后加稀盐酸．( )例1：海洋植物如海带、海藻中含有丰富的碘元素，碘元素以碘离子的形式存在．实验室里从海藻中提取碘的流程如下图所示：(1) 指出提取碘的过程中有关的实验操作名称：①________，③________．(2) 提取碘的过程中，可供选择的有机试剂是________．A ．酒精B ．四氯化碳C ．醋酸D ．汽油(3) 为使海藻灰中的碘离子转化为碘的有机溶液，实验室里有烧杯、玻璃棒、集气瓶、酒精灯、导管、圆底烧瓶、石棉网以及必要的夹持仪器和物品，尚缺少的玻璃仪器是_________________．(4) 从含碘的有机溶剂中提取碘和回收有机溶剂，还需经过蒸．指出如右图所示的实验装置中的错误之处：①___________________________________；②___________________________________；③________________________________．五、化学实验安全1．常见事故的处理方法(1) 酸、碱溶液的处理①酸液溅到皮肤上，立即用较多水冲洗；若浓硫酸溅到皮肤上，应先用布拭去，再用大量水冲洗并涂上3%～5%的NaHCO3溶液或稀氨水．大量酸洒到桌面上，可先加适量NaHCO3溶液中和，然后水洗．②碱液溅到皮肤上，先用大量水冲洗，然后涂上硼酸溶液．当大量碱洒到桌面上，可先加适量稀醋酸中和，然后用大量水冲洗．(2) 一般的割伤处理：应保持伤口干净，伤口内有异物应立即取出，然后用酒精棉球清除伤口周围的污物，涂上适当外伤药物，马上去卫生室包扎．(3) 火灾事故处理：如不慎发生火灾，应立即移开可燃物，切断电源，停止通风；对酒精及其他易燃有机物小面积失火，应立即用湿抹布扑盖．(4) 烫伤和烧伤：可用药棉浸75%～95%的酒精轻涂伤处，再涂烫伤药膏．(5) 眼睛的化学灼伤：应立即用大量流水冲洗，边洗边眨眼睛．如为碱灼伤，再用20%的硼酸溶液淋洗；若为酸灼伤，则再用3%的NaHCO3溶液淋洗．2．化学实验操作中的“六防”六、物质的分离和提纯1．含义物质的分离：把混合物的各种成分分开，分别得到纯净的物质。
物质的提纯：把混合物中所含有的杂质除去，以得到纯净的物质。
2．区别物质的分离过程中，分开后的各物质要恢复到原来的状态；而提纯过程中，若杂质发生化学变化，不必恢复为原来的状态．3．方法(1) 物理分离提纯法：过滤、结晶、升华、蒸馏、液化、萃取、分液、渗析、溶解、洗气等．(2) 化学分离提纯法：沉淀、置换、加热、分解、洗气等．4．原则(1) 不增：不增加新的杂质；(2) 不减：不减少被提纯的物质；(3) 易分离：被提纯物质与杂质易分离；(4) 易复原：被提纯物质要容易复原．【特别关注】物质的分离和提纯目的不同，但所遵循的原则与实验操作非常相似，都要特别注意不能引入新的杂质，因此利用化学方法分离和提纯时，除杂试剂需过量，过量试剂需除去，除去多种试剂时要考虑加入试剂的顺序．考查点一化学实验安全操作及事故处理例1．化学实验中安全意识是重要的科学素养，下列实验操作或事故处理操作中正确的是() A．酒精灯不慎碰倒起火时可用水扑灭B．不慎将酸溅到眼中，应立即用水冲洗，边洗边眨眼睛C．配制硫酸溶液时，可先在量筒中加入一定量的水，再在搅拌条件下加入浓H2SO4D．做“氢气还原氧化铜”的实验时，先加热再通氢气练习1：2010年12月7日河南渑池煤矿发生瓦斯爆炸，致使20多人遇难．进行化学实验时必须要有安全意识，下列做法错误的是()A．被玻璃割伤手后，先取出伤口里的玻璃片，再用稀过氧化氢溶液擦洗，然后敷药包扎B．加热试管时不小心发生烫伤，第一时间用冷水冲洗，再涂食盐(始终保持湿润)消毒降温C．温度计摔坏导致水银散落到地面上，应立即用水冲洗水银D．滴瓶中的滴管用后不用清洗，直接放到滴瓶中考查点二粗盐中的除杂问题例2．为了除去粗盐中的Ca2＋、Mg2＋、SO42－及泥沙，可将粗盐溶于水，然后进行下列5项操作：①过滤；②加过量NaOH溶液；③加适量盐酸；④加过量Na2CO3溶液；⑤加过量BaCl2溶液．正确的操作顺序是()A．⑤②④③①B．④①②⑤③C．②⑤④①③D．①④②⑤③练习2．要从BaCl2、NaCl的混合液中分别得到纯净的BaCl2和NaCl晶体，在一系列的操作中，应选用的试剂是()A．K2CO3、盐酸B．Na2CO3、盐酸C．Na2CO3、H2SO4D．NaOH、盐酸第2课时蒸馏和萃取一、蒸馏1．依据：利用混合物中各组分的(沸点)不同，从而除去(易挥发)、(难挥发)或(不挥发)的杂质．2．主要仪器：铁架台(带铁圈)、石棉网、蒸馏烧瓶、冷凝管、牛角管、锥形瓶。
3．实验室制取蒸馏水(如右图)问：蒸馏装置中，冷凝管里冷却水的方向为何需低进高出？二、萃取与分液1．萃取的原理利用溶质在(互不相容) 的两种溶剂里(溶解度)的不同，用一种溶剂把溶质从它与另一溶剂所组成的溶液里提取出来的操作．萃取的主要仪器：(分液漏斗)．[思考题](1) 萃取剂必须具备的基本条件有哪些？(2) 从碘水中提取碘时，能否用酒精代替四氯化碳？2．分液：把互不相溶的两种液体分开的操作．该操作一般都是与萃取配合使用的．方法及装置适用范围注意事项利用溶质在互不相溶的溶剂里的溶解度不同，用一种溶剂把溶质从它与另一种溶剂组成的溶液里提取出来，然后用分液漏斗将其分开(1) 选择比原溶剂溶解度大，且不与原溶剂相溶的易挥发溶剂(2) 溶质与萃取剂不反应(3) 萃取后可再蒸馏得到溶质3．萃取操作实验(用四氯化碳萃取碘水中的碘)操作实验步骤实验现象及结论加萃取液加四氯化碳时，四氯化碳不溶于水，密度比水(大)，在 (下)层振荡萃取用力振荡的目的是使水与四氯化碳充分混合静止分层静置后四氯化碳层变紫色，水层黄色变浅或接近无色分液下层液体沿烧杯壁流下，上层液体从分液漏斗上口倒出【判断正误】1．检验自来水中的Cl－时，可先用稀盐酸酸化，再加AgNO3溶液．()2．蒸发和蒸馏都是利用了混合物各组分沸点的不同．()3．分液时，两层液体可先后从下端流到两容器中．()4．分液时，将分液漏斗上口的玻璃塞打开的目的是为了平衡分液漏斗内外的气压，便于液体流下．()5．食盐水的蒸发和自来水的蒸馏都能用到的仪器有铁架台、酒精灯、石棉网等。
()6．使用分液漏斗前必须先查漏．()三、蒸馏与萃取操作的注意事项1．蒸馏操作注意事项(1) 多种液体时需使用蒸馏烧瓶和温度计，且温度计水银球在蒸馏烧瓶支管口处．(2) 蒸馏时在烧瓶中放少量碎瓷片或沸石，防止液体暴沸．(3) 冷凝管中冷却水从下口进，上口出．先通冷凝水，再加热．(4) 烧瓶中所盛液体体积一般应介于其容积的1/3～2/3之间．(5) 给蒸馏烧瓶加热时，要垫上石棉网．2．萃取操作注意事项(1) 分液漏斗的使用分液漏斗使用前必须检查是否漏液，方法是：在分液漏斗中注入少量的水，塞上瓶塞，倒置看是否漏水，若不漏水，正立后把瓶塞旋转180°，再倒置看是否漏水．(2) 萃取剂必须具备的三点性质①萃取剂和水互不相溶；②萃取剂和溶质不发生反应；③溶质在萃取剂中的溶解度远大于在水中的溶解度．(3) 分液操作的注意事项①振荡时，要不时旋开活塞放气，以防止分液漏斗内压强过大引起危险．②分液时要将玻璃塞打开，或使塞上的凹槽(或小孔)对准漏斗上的小孔，保证漏斗内与外界大气相通，同时漏斗下端管口要紧贴烧杯内壁，从而使液体顺利流下．③下层液体要从下口放出，上层液体要从上口倒出．四、物质的检验1．物质的检验方法(1) 物理方法：利用物质的颜色、气味、溶解性加以区别，如区分CuSO4溶液和Na2SO4溶液可根据其颜色，区分Na2CO3和CaCO3可根据其溶解性．(2) 化学方法：常用指示剂、点燃、加热、加试剂等方法，如区分盐酸、NaOH溶液和NaCl溶液，可用石蕊试液．2．物质检验的“三个原则”即“一看”(颜色、状态)、“二嗅”(气味)、“三实验”(加试剂)，根据实验时所表现的现象不同，检验离子的方法可归纳为三类：(1) 生成气体，如NH4＋、CO32－的检验．(2) 生成沉淀，如Cl－、SO42－的检验．(3) 显现特殊颜色，如Cu2＋、Fe3＋的检验等．3．常见离子的检验考查点一蒸馏例1：在蒸馏实验中，下列说法不正确的是()A．温度计的水银球应放在蒸馏烧瓶的支管口处B．冷凝管中冷却水的流向是从上向下流C．加入沸石的作用是防止液体暴沸D．加热时，蒸馏烧瓶下面要垫石棉网考查点二萃取与分液例2：在使用分液漏斗进行分液时，正确的操作是()A．上层液体经漏斗下方活塞放出B．分离液体时，将漏斗拿在手上进行分离C．分离液体时，分液漏斗上的小孔与大气相通时打开活塞D．分液漏斗中盛装的是液体，振荡后不必扭开旋塞把气体放出练习1：现有一瓶物质甲和乙的混合物，已知甲和乙的某些性质如下：据此，将甲和乙互相分离的最佳方法是()A．萃取法B．升华法C．蒸馏法D．分液法练习2：选择萃取剂将碘从碘水中萃取出来，这种萃取剂应具备的性质是 ()A．不溶于水，且必须易与碘发生化学反应B．不溶于水，且比水更容易使碘溶解C．不溶于水，且必须比水的密度大D．不溶于水，且必须比水的密度小考查点三物质的检验例3：有一包白色粉末，其中可能含有Ba(NO3)2、CaCl2、K2CO3，现做以下实验：①将部分粉末加入水中，振荡，有白色沉淀生成．②向①的悬浊液中加入过量稀硝酸，白色沉淀消失，并有气泡产生．③取少量②的溶液滴入稀硫酸，有白色沉淀产生．④另取少量②的溶液滴入AgNO3溶液，有白色沉淀生成．(1) 根据上述实验现象，判断原白色粉末的组成成分是(写名称)________________________________．(2) 写出实验步骤①和③中有关化学反应的方程式：_______________________________________________________________________________________________________________________________．[关键一点]对常见离子的检验方法要从原理、干扰离子、操作顺序等几个方面考虑，如在确定是否含Cl－时，一定要注意操作中是否引入了Cl－；又如含Cl－的溶液中若有SO42－，在检验Cl－的存在时，需加过量Ba(NO3)2溶液，除去SO42－后，然后再取上层清液加入HNO3酸化的AgNO3溶液检验Cl－是否存在．若不除SO42－，则Ag2SO4会干扰Cl－的检验．练习3：某溶液中含有Na2CO3和Na2SO4两种溶质，欲证明其中SO2－4、CO2－3确实存在，选用的方案是先取少量的原溶液滴加过量的__________，发现有气泡生成，再向其中加入______________溶液，出现白色沉淀，则可证明SO2－4、CO2－3确实存在．第二节化学计量在实验中的应用第1课时物质的量的单位——摩尔一、物质的量及其单位1．物质的量定义：国际单位制中7个基本物理量之一，它表示含有(一定数目粒子)的集合体，符号为n；单位“摩尔”。