复变函数与积分变换公式
复变函数积分方法总结
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点 k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
∆zk 记∆zk=
zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{∆Sk}(k=1,2…,n),当
它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi
| = z=-i
解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而
Q(z0)
，则 z0 是 f(z)的一级极点，而且：
Res[f(z),z0]=
无穷远处的留数：
定义：扩充 z 平面上设 z= 为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R< <+ 内解析，C 为圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值
称为 f(z)在 z= 处的留数，记作
Res[f(z), ]=
+…]=
.
*
一个在 0< 级极点。
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)
的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级
极点的充要条件是
=.
复变函数与积分变换3.2
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
| f
(n)
( z ) | |
2 i
n!
n!
f ( )
C
2 其中，n=0,1,2,…;0!=1。
M ( )
n 1
( z )
n 1
d |
2 n!
M ( )
n 1
注解：
注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个 整函数，例如
解析，所以有
z
定理4.1的证明：
f ( )
C
z
d
f ( )
C
z
d
其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的， 沿Cr 的积分是按反时针方向取的。因此，结论 成立。
定理4.2(高阶导数公式)：
定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域D 上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数
Cr
因此，结论成立。
定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 D 上 解析，那么在内任一点z，有
f (z) 2 i 1 f ( )
定理4 .1(柯西公式)
C
z
d
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我 们称它为柯西公式。
注解：
z 0 C , ( 0 , )
从而f(z)在C上恒等于常数。
莫勒拉定理：
5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数， 可以证明柯西定理的逆定理， 定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于 D内的任一条简单闭曲线C，我们有
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数的基本概念和性质1. 复数集的定义：复数集是由实数和虚数构成的集合，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i² = -12. 复变函数的定义：设有一个定义在平面上的函数f(z)，其中z = x + yi是平面上的点，x和y是实数。
如果对任意给定的z都有唯一确定的复数w与之对应，那么称函数f(z)是复数域上的一个函数。
3.复变函数的连续性：如果在z0处存在一个复数A，使得当z趋于z0时，函数f(z)趋于复数A，则称函数f(z)在点z0处连续。
4.复变函数的可导性：如果函数f(z)在z0处连续，并且当z趋于z0时，函数f(z)的导数存在有一个有限的极限L，则称函数f(z)在z0处可导，并记为f'(z0)=L。
二、复变函数的常用公式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ2. 增补公式：sinh(x + iy) = sinh(x)cos(y) + isin(y)cosh(x)3.多项式的根公式：设P(z)=aₙzⁿ+aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₀是一个非常数多项式，aₙ≠0，则P(z)=0在复数域存在n个根。
4.共轭根公式：如果z是复数P(z)=0的根，则z^*也是复数P(z)=0的根。
5. 辐角公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，辐角θ = arctan(y/x)，其中-π < θ ≤ π。
6. 复数的模公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，模，z，= √(x² + y²)。
7. 三角和指数函数的关系：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/28. 三角函数和指数函数的关系：sin(ix) = i sinh(x)，cos(ix) = cosh(x)。
三、复变函数的常用积分变换公式1.度量积分变换：对于复变函数f(z)，定义如下的度量积分变换公式：∫(f(z)dz) = ∫(f(z₁)dz₁ + f(z₂)dz₂ + … + f(zₙ)dzₙ)，(z₁,z₂,…,zₙ)为路径连续的点。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式1.复数复数是由实数和虚数组成的数，记作z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。
复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即z*=a-bi。
2.复变函数复变函数是定义在复平面上的函数，即将复数作为自变量和函数值的函数。
设f(z)是复变函数，其中z=x+iy是复数，x和y是实数，则f(z)可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(xy)，其中u(xy)和v(xy)都是实函数，分别称为f(z)的实部和虚部。
3.欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，它描述了复数和三角函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix=cos(x)+isin(x)，其中e 是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。
4.柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是描述复变函数的重要方程，它表明如果一个复变函数f(z)在某个区域内连续且可微分，那么它满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程可以表示为:дu/дx=дv/дyдu/ду=-дv/дx其中u(xy)和v(xy)分别是f(z)的实部和虚部。
二、积分变换公式1.傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为频率域内的积分。
傅里叶变换可以表示为:F(w)=∫f(t)e^(-jwt)dtf(t)=1/2π∫F(w)e^(jwt)dw其中F(w)是f(t)的傅里叶变换，f(t)是函数在时间域内的表示，w是频率，j是虚数单位。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常用的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
拉普拉斯变换可以表示为:F(s)=∫f(t)e^(-st)dtf(t)=1/2πj[F(s)e^(st)ds其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，f(t)是函数在时间域内的表示，s是复数。
3.Z变换Z变换是一种离散的积分变换，它可以将一个离散函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
Z变换可以表示为:F(z)=∑f(n)z^(-n)f(n)=1/2πj∫F(z)z^n-1dz其中F(z)是f(n)的Z变换，f(n)是离散函数在时间域内的表示，z是复数。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
复变函数与积分变换重要知识点
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2；
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz
6 辐角：Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值，
记作，0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式：当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根：
w
n
z
1
rn
cos
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数是指变量为复数的函数，可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u(x, y)和v(x, y)为实数函数。
复变函数与实变函数（实数域上的函数）相比较，具有一些独特的性质和变换。
复变函数的基本性质有：1. 复变函数的可导性：复变函数的可导性与实变函数的可导性略有不同。
如果f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在域D上的偏导数u_x、u_y、v_x、v_y都存在，并且满足柯西-黎曼方程（u_x=v_y，u_y=-v_x），则f(z)在D上可导。
2. 柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，满足柯西-黎曼方程的函数可以表示为全纯函数，也即f'(z)=u_x+iv_x存在。
复变函数的积分变换（Integral Transform）是通过对函数进行积分变换，得到新的函数表示形式。
常见的复变函数积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、反傅里叶变换、正变换等。
以下是复变函数积分变换中的一些重点公式：1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）拉普拉斯变换将函数f(t)变换为F(s)（s为复数变量）的形式，公式表示为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st)f(t) dt2. 逆拉普拉斯变换（Inverse Laplace Transform）逆拉普拉斯变换将函数F(s)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t) = 1/2πi ∫[-i∞, i∞] e^(st)F(s) ds3. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换将函数f(t)变换为F(ω)（ω为频率）的形式，公式表示为：F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-iωt)f(t) dt4. 反傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）反傅里叶变换将函数F(ω)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t)=1/2π∫[-∞,∞]e^(iωt)F(ω)dω5. 正变换（Forward Transform）正变换是指从时域到频域的变换，例如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
23
如果将定理3.3的条件加强为“f ′(z)在D内连续”，则定理的证明就变得简 单，事实上，设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)在D内解析,可得
由f′(z)在D内连续，可知
均在D内连续，进而由Green公式可得
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其中 是以C为边界的闭区域，再由定理3.1得 单连通区域上的Cauchy积分定理还可进一步推广如下：
在闭圆
上连续，则
内解析，
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3.3.2解析函数的无穷可微性 定理3.11（Cauchy导数公式）在定理3.9的假设条件下，则对任 意正整数n和z∈D，有
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证 只证明n=1的情形，一般情况可用数学归纳法完成．
使得
取Δz≠0,且使得
则由Cauchy积分公式可得
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定理3.5对于单连通区域D内解析的函数f(z)，由式(3.4)所定义的F(z)在 D内解析，并且
证明只需证明 z∈D，有F′(z)=f(z)即可．由f(z)在D内的连续性，对
ε>0，可取δ>0充分小，使得
,并且对
，有2021/7/30 Nhomakorabea27
设
，由于积分与路径无关，则
其中从z到z+Δz的积分路径可选择为直线段（图3.7）．
4
图3.1
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5
其中
．记λ为所有小弧段 的弧长的最大者，当分点无限增多且λ→0
时，不论对C的分法如何，也不论对ξk的取法如何，和式Sn的极限都存在且等 于J，则称f(z)沿C从A到B可积，而称J为f(z)沿C从A到B的积分，记为
复变函数与积分变换重要公式集锦(第一篇1、2章)
第一篇 第一章 复数第一节 复数及其表示法 实部、虚部：x=Re z; y=Im z.辐角：θ=Arg z ； x=│z │cos θ；y=│z │sin θ，tg θ=y/x 数0是惟一的模为零而辐角没有定义的复数。
Arg z= arg z+2n π(n=0,±1, ±2,…)1 三角表示：⎩⎨⎧==θθsin rcos x r y z=r(cos θ+i sin θ)欧拉公式：e i θ=cos θ+isin θ 指数表示：z=re i θ,第二节 复数的运算及几何意义加法：z 1+z 2=(x 1+x 2)+i （y 1+y 2） 减法：z 1+z 2=(x 1-x 2)+i （y 1-y 2） 乘法：z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 1y 2+x 2y 1) 除法：)0(2222221122222212121≠+-+++=z y x y x iy y x x z zyxyx两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和。
2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z +=⋅==复数z 的n 次幂2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z -===z n =r n (cos n θ+isin n θ)(n 为正整数) 棣莫佛公式：（cos θ+isin θ）n=cos n θ+isin n θ两个复数商的模等于他们模的商，两个复数商的辐角等于分子与分母辐角的差。
复数的方根。
，的算术根，为其中1-n ,2,1,0k r r )2sin2(cosr z nnn=+++==nk i nk πθπθω共轭复数及其运算性质 iy -x z iy,x z =+= z=z 1）（rgz -z rg 2A A =）（z z 3=）（ 2zz z 4=）（2121z z z z 5±=±）（2121z z z z 6⋅=）（2121z z z z 7=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛）（.2,2x 8z z y z z -=+=）（关于复数模的重要公式)Re(2);Re(2212221221212221221z z z z z z z z z z z z -+=-++=+第三节 平面点集和区域邻域：在平面上以z0为中心，正数ρ为半径的圆内部的点集，称为点z0的ρ邻域。
复变函数课件1-1
比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论 文中已经得到这两个方程，有的教科书称这两个 方程为达朗贝尔——欧拉方程。
拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。
19
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家 Cauchy、德国数学家 Rieman和Weierstrass的巨大努 力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到 数学学科的许多分支。例如，著名的代数学基本定理：
把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入 14
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783）
• 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17岁取得硕
士学位，30岁右眼失明， 60岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个数 学分支，对后世影响深远。
复变函数的引入 15
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数 的关系，並写出以下公式：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。 用复变函数理论来证明是非常简洁的。 柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论
的奠基者。
20
近几十年来，复变函数论又有了很大的进展 ，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法 国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作 ，开拓了复变函数更广阔的领域。
机械与电气工程学院 1 复变函数与积分变换
序言 2
• 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。 其中包括两大分支：
• 一是实变函数论（研究以实数作为自变量的 函数，高等数学研究的就是这一类函数）；
• 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的 函数）这门课就是介绍复变函数论。
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
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复变函数复习提纲（一）复数的概念1.复数的概念：z = X ∙ iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i.中的幅角。
3）arg Z与arctan~y之间的关系如下:Xy当X 0, arg Z= arctan 丄；Xyy -0,arg Z= arctan 二! Xyy ：： O,arg Z= arctan -二J X4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。
5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。
(二)复数的运算1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2iy1- y22.乘除法：1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U狂h[N×2 一y$2i x2% x1y2 ；乙_ X1+ i y_ (x1 十i和X—i y_ XX y*y y x；。
XZ2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X222)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也；3.乘幕与方根1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。
2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小2.复数的表示2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则（三）复变函数1∙复变函数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G的映射. 2 •复初等函数1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 3）对数函数：LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）；主值：In Z = Inz+iargz 。
（单值函数）・1LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且InzZ注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna（a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0）注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。
Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同）Z■ ZZ■ Z,,,,e -ee +e 4) 双曲函数 ShZ,chz =2 2ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。
ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念1 •复变函数的导数1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。
2 •解析函数的概念1f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n --------I n n(k =0,12…n -1)(有n 个相异的值)4）三角函数:iz -ize -e Sin Z =2iiz JZ.e +e ,sin z ,,cos z ,tgz ,ctgz2 cos zcosz SinZ1）点解析： f Z 在Z 0及其Z O 的邻域内可导，称 f Z 在Z O 点解析; 2）区域解析： f Z 在区域内每一点解析，称 f Z 在区域内解析; 3）若f （Z ）在Z Q 点不解析，称Z Q 为f Z 的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数 的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：f Z =ux,y iv x,y 在Z=X iy 可导此时，有「z =』∙CX CX2.函数解析的充要条件：f z =u X,y iv x,y 在区域内解析U V此时f Zi- CX CX若U x, y ,v x,y 在区域因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v 具有一阶连续偏导且满足C - R 条件时，函数f （Z ） =U iv 一定是可导或解析的。
3.函数可导与解析的判别方法 1） 利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2） 利用充要条件（函数以f z =u x,y 厂iv x,y 形式给出，如第二章习题 2）3） 利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数f Z 是以Z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1.复变函数积分的概念： C f ZdZ=Iim] f k ■■:Z k , C 是光滑曲线。
八k¥注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2. 复变函数积分的性质 1）f z dz I f ZdZ （ c'与C 的方向相反）；CC2） [ ： f z 「g z ]dz f Zd^L gZdz, ：「是常数；CCC=u x,y 和V X, y 在x, y 可微，且在 x,y 处满足C - D 条件:；:u；:v；:u；:v=U x, y 和v x,y 在x, y 在D 内可微，且满足 C-D 条件：—√v；:u.:xD 具有一阶连续偏导数，则 U x, y , v x, y 在区域D 内是可微的。
3) 若曲线C由c1与c2连接而成，则 f z dz f z dz亠IfZdZ。
C " ■ C^^ ■ C2 L■3.复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：C f ZdZ= C Ud^Vdy i C VdX Udy ；(常用于理论证明)2)参数方法：设曲线C : Z = Z t (：•・：：『■)，其中「对应曲线C的起点，[对应曲线C的终点，β则f z dz = f[z t ]z(t)dt °C√(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f Z在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线，则J J.' f ZdZ=OC2.复合闭路定理：设f Z在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，C1,C2,…C n是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以q,c2,…C n为边界的区域全含于D内，贝yn①庠f ZdZ-V f Zd乙其中C与C k均取正向；C k=1 C k②∖ f ZdZ=O ,其中丨由C及c'(k=1,2,…n)所组成的复合闭路。
f3.闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f Z沿闭曲线C的积分，不因C在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中C不经过使f Z不解析的奇点。
4解析函数沿非闭曲线的积分：设f z在单连域B内解析，G Z为f z在B内的一个原函数，则f Z dz = G Z2 -G Z (乙，Z2 B)z1说明：解析函数f Z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5.柯西积分公式：设f Z在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，C的内部完全属于D ,・f (Z )Z0为C内任意一点，则∙dz=2二if z0C Z-Z。
6.高阶导数公式：解析函数f Z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为R 十dz=葺f(n)(z°) (n =1,2…)C(Z-Z O) n!其中C为f Z的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于7.重要结论：1 [2πi, n = O 人、、-I dz。
( C是包含a的任意正向简单闭曲线)C(Z 一a)n10, n=0&复变函数积分的计算方法B1)若f Z在区域D内处处不解析，用一般积分法f ZdZ f[zt]ztdtL C Ct2)设f z在区域D内解析，C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，N C f(Z)dz = OC是D内的一条非闭曲线，z∣,Z2对应曲线C的起点和终点，则有Z2Cf Z dz= z f Z d Z = F z2 -F Z I3)设f z在区域D内不解析曲线C内仅有一个奇点：Jf (Z ) 讯一L AlZ= 2兀I f (Zo )C Z Z0( f (Z)在C内解析)f(Z) * 2兀I 、FC^ZF dZ= n! f Hs曲线C内有多于一个奇点：nN f(Z)dz —Σ N f (z )dz ( C内只有一个奇点Zk)Ck7 Cbn或：∖ f zdz=2二L Res[f(z),z k](留数基本定理)C k壬若被积函数不能表示成f zn1，则须改用第五章留数定理来计算。
(z-Z o)(八)解析函数与调和函数的关系E2φ E2φ1 •调和函数的概念：若二元实函数:(X I y)在D内有二阶连续偏导数且满足-2 =0 ,2 2-X : V (X) V)为D内的调和函数。
2.解析函数与调和函数的关系解析函数f z =u iv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V为实部U的共轭调和函数。
两个调和函数U与V构成的函数f(z)=u∙iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u∙iv —定是解析函数。
3.已知解析函数f Z的实部或虚部，求解析函数 f z =u iv的方法。
1）偏微分法：若已知实部U=U x,y ,利用 C — R 条件，得 ≤v √i v ；CX Cy再对（*）式两边对X 求偏导，得 —^―—dy ^X （**）GX C X ^e X J-，得.⅛y X ，可求出 g X ；X : y ：-X ：-X2)线积分法：若已知实部U=U X, y ，利用C-R 条件可得dv =二v dx ∙ 2∙v dy = - 一u dx •二U dy ，(XCy Cy C X故虚部为VUdX U dy C ；I (X ),y^ ∂y CX由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 的两点。
3）不定积分法：若已知实部 U=U X,y ,根据解析函数的导数公式和C-R 条件得知,CXCyCXCy将此式右端表示成 Z 的函数U Z ,由于「z 仍为解析函数，故f z = U z dz ∙ c（ C 为实常数）注：若已知虚部 V 也可用类似方法求出实部U.（九）复数项级数1. 复数列的极限1） 复数列{: n^{a n ib n } （ n =1,2…）收敛于复数■■ - a bi 的充要条件为Iim a r l =a,Iimb n =b（同时成立）n 厂n ,•2） 复数列{ ：、}收敛二实数列&},{ b n }同时收敛。