2019届北京师大实验中学高考数学模拟数学(文)试题(解析版)

2019届北京师大实验中学高考数学模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则等于A ．B ．RC ．D ．【答案】D【解析】求定义域得集合A ，求值域得集合B ，根据并集的定义写出．【详解】 集合，，则．故选：D ． 【点睛】本题考查了并集的运算问题，涉及函数的定义域和值域的求解问题，是基础题． 2．已知复数,z a i a R =+∈，若2z =，则a 的值为（ ）A ．1BC ．1±D ．【答案】D【解析】由复数模的定义可得： 2z ==，求解关于实数a 的方程可得：a =本题选择D 选项.3．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是A ．DB ．EC ．FD ．A【解析】分析：利用相关系数的定义性质分析得解.详解：因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E,余下的个点所对应的数据的相关系数最大.点睛：本题主要考查回归直线和相关系数，相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A．23 B．32 C．35 D．38【答案】C【解析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前项和公式即可得结果.【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．若，则有（）A．B．C．D．【解析】构造函数，得出函数的单调性，根据，即可得出结果.【详解】令，则在R上单调递增，又，所以，解，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.6．过抛物线的焦点F作一倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点在x轴上方，则（）A．B．C．3 D．2【答案】C【解析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．【详解】设，，则抛物线中．∴，∴，又，可得，，则，故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，熟记圆锥曲线中的常用结论是解决小题的关键．本题属于中档题.7．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．310B．15C．110D．120【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为1 10，故选C.【考点】古典概型8．若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】求得的导数，可得切线的斜率，求得的导数，可得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合正弦函数的值域和条件可得，，使得等式成立，即，解得的范围即可．【详解】函数，∴，（其中），函数，∴，要使过曲线上任意一点的切线为，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则，，∵，∴∵，使得等式成立，∴，解得，即的取值范围为或，故选A.【点睛】本题主要考查导数的应用函数在某点处的导数即为切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，以及转化思想的运用，解题的难点是将任意和存在问题转化为区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．二、填空题9．已知实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】-2【解析】根据题意得到可行域是封闭的四边形，顶点是A(),B(2,0),C(0,1),D(0,0),目标函数，可得到当目标函数过点A()，有最大值-2，故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

10．若，则______．【答案】【解析】先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.11．我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解其解题过程可用框图表示如图所示，则框图中正整数m的值为______．【答案】4【解析】分析：由得y=25﹣x，结合x=4t，可得框图中正整数m 的值．详解：由得：y=25﹣x，故x必为4的倍数，当x=4t时，y=25﹣7t，由y=25﹣7t＞0得：t的最大值为3，故判断框应填入的是t＜4？，即m=4，故答案为：4点睛:本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出y与t的关系式及t的取值范围，是解答的关键．12．已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.13．如图，圆柱内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱的概率为______；【答案】【解析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.【详解】设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为，而球的体积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.14．已知定义在R上的函数满足且，若恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】求出的解析式为，结合函数图象即可得出的范围．【详解】因为＞0，∴f（x）为增函数，∴f（f（x）﹣e x）=1，∴存在唯一一个常数x0，使得f（x0）=1，∴f（x）﹣e x=x0，即f（x）=e x+x0，令x=x0可得+x0=1，∴x0=0，故而f（x）=e x，∵f（x）≥ax+a恒成立，即e x≥a（x+1）恒成立．∴y=e x的函数图象在直线y=a（x+1）上方，不妨设直线y=k（x+1）与y=e x的图象相切，切点为（x0，y0），则，解得k=1．∴当0≤a≤1时，y=e x的函数图象在直线y=a（x+1）上方，即f（x）≥ax+a恒成立，故答案为：[0，1]．【点睛】本题主要考查了函数解析式的确定，以及恒成立问题与函数图象的应用，其中解答中把的恒成立，转化为恒成立，转化为函数的图象在函数的图象上方，作出函数的图象是解答的关键，着重考查，分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题15．已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ已知函数，且方程有解，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角，化简可得，结合的范围即可得结果；（Ⅱ）易得函数关于点对称，故原题等价于，结合的范围求出的范围即可.【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得．即，又角为三角形内角，，所以，又因为为三角形内角，所以．（Ⅱ）的图像关于对称，由，可得，，又为锐角三角形，所以，，，所以．【点睛】本题主要考查了通过正弦定理实现边角互化，三角函数的值域问题，解决问题的关键是通过函数的对称性转化为求三角函数的值域问题.16．已知数列前n项和为，且．证明数列是等比数列；设，求数列的前n项和．【答案】（1）数列是以为首项，以2为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1）当时，，可得以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）-（2）得：，所以.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.17．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；估计本次竞赛学生成绩的中位数；在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上含80分的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n==50，……………………2分，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；……………………4分（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得，……………………6分=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，……………………8分（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． (10)分其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率. ……………………12分【考点】频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底ABCD，，点M是SD的中点，，交SC于点N．求证：；求的面积．【答案】(1)见证明；(2)【解析】推导出，从而面SAD，进而，再推导出，从而面SCD，由此能证明．推导出及面AMN，由此能求出的面积．【详解】底面ABCD，平面ABCD，，，，面面SAD，，又，点M是SD的中点，，，面SCD，面SDC，是SD的中点，，∴，，，面AMN，，，的面积【点睛】本题考查线面垂直的证明及锥体体积公式，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识及体积的换底转化，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．已知点，是椭圆上两个不同的点，，，到直线的距离顺次成等差数列．（I）求的值；（II）线段的中垂线交轴于点，求直线的方程．【答案】（I）8；（II）.【解析】（Ⅰ）先设到直线的距离顺次是,用表示出，再由顺次成等差数列，即可求出结果.（II）先设线段的中点为，由（Ⅰ）可得，再设，从而可得的中垂线的方程，再由在直线上，在椭圆上，列出方程组，即可求解. 【详解】（Ⅰ）设到直线的距离顺次是，则∵顺次成等差数列，∴，即∴.（Ⅱ）设线段的中点为，由（Ⅰ），设，则的中垂线的方程为：，∵在直线上，故有，即①∵在椭圆上，得，∴②联立①②可得：，解得.即点坐标为，∴直线的方程为.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合问题，结合椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系即可求解，属于常考题型.20．设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ记函数的最小值为，证明：．【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析. 【解析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】（Ⅰ）显然的定义域为．．∵，，∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：．要证，即证明，即证明，令，则只需证明，∵，且，∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.。