2013届高三数学每天30分钟限时训练4
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练120 苏教版
1．圆心为()1,0且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是___________.2．设0x 是方程082=-+x x 的解，且()1,0+∈k k x ，Z k ∈，则=k ___________.3． 设b a ,为不重合的两条直线，βα,为不重合的两个平面，给出下列命题：①若αα////b a 且，则b a //；②若αα⊥⊥b a 且，则b a //；③若βα////a a 且，则βα//； ④若βα⊥⊥a a 且，则βα//；上面命题中，所有真命题的序号为____________.4．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ；5．已知集合[]1,0=A ，设函数()()A x a x f x ∈+=-2的值域为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是___________.6．已知正项等比数列{}n a 满足5762a a a -=，若存在两项n m a a ,使得22a a a n m =，则n m 41+ 的最小值为___________.7．在等式()()170tan 31__________sin =︒+的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是______________.8．函数()53log 22+-=ax x y 在),1[+∞-内单调递增，则a 的取值范围是___________. 9．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，重心为G ，若033=++GC c GB b GA a ，则A ∠=____________.10．已知定义在R 上的不恒为零的函数()x f ，且对于任意实数R b a ∈,，满足()()()a bf b af ab f +=，()()()()()**∈=∈==N n f b N n n f a f n nn n n 22,2,22， 考察下列结论：①()()10f f =；②()x f 为偶函数；③{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列；其中正确命题的序号为____________.高三数学复习限时训练（120）参考答案1． ()2122=-+y x 2． 2 3．②④ 4．3,1)35． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 6． 237． 10︒ 8． ]6,8(-- 9． 6π 10．①③④。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练142 苏教版
1.已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第二象限，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程。
2．已知数列(){}f n 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+． （Ⅰ）求数列(){}f n 通项公式；（Ⅱ）若()11a f =，()()1*n n a f a n +=∈N ，求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和n T ．3．已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l ．2l 都过点(,0)A a ．（Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l ．2l 都相切，求圆M 的方程；（Ⅱ）当1a =-时，求1l ．2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程．（本练习题目来自南京师大附中学期初调研试卷）高三数学复习限时训练（142）参考答案1、解：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22DE--∵圆C 关于直线10x y +-=对称 ∴点(,)22DE--在直线10x y +-=上即D+E=－2，--①且221224D E +-=--②………4分又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E ><由①②解得D=2,E=－4∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= …………………7分（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l ：x y α+= 圆C:22(x 1)(y 2)2++-=∴圆心c(1,2)-，=13αα∴=-=或。
…………………12分所求切线方程x y 1x y 30+=+-=或 …………………14分2、解：（Ⅰ）n ≥2时，1()21n n f n S S n -=-=+． ………………… 4分n ＝1时，1(1)3f S ==，适合上式，∴1()21n n f n S S n -=-=+()*n ∈N ． ………………… 6分 （Ⅱ）()113a f ==，()121*n n a a n +=+∈N ． ………………… 8分即112(1)n n a a ++=+．∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列．1111(1)22n n n a a -++=+⋅=，∴121n n a +=-()*n ∈N ．……………… 14分 T n ＝231(222)n n ++++-＝224n n +--． ………………… 16分3、解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………6分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l ．2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………9分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l ．2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………12分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ，∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………14分。
高三数学限时规范训练
小题精练(一) 集合(限时：60分钟)1．(2013·高考新课标全国卷)已知集合M＝{x|(x－1)2 < 4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．(2014·成都市诊断检测)已知全集U＝{x|x＞0}，M＝{x|x2＜2x}，则∁U M＝( ) A．{x|x≥2} B．{x|x＞2}C．{x|x≤0或x≥2} D．{x|0＜x＜2}3．若集合A＝{x∈Z|2＜2x＋2≤8}，B＝{x∈R|x2－2x＞0}，则A∩(∁R B)所含的元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．34．(2014·北京东城模拟)设U＝R，M＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝1x－1的定义域为D，则M∩(∁U D)＝( )A．[0，1) B．(0，1)C．[0，1] D．{1}5．(2014·泰安模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( ) A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P6．集合A＝{0，log123，－3，1，2}，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝( ) A．{1} B．{1，2}C．{－3，1，2} D．{－3，0，1}7．(2014·湖北省八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有( )A．1个 B．2个C．4个 D．8个8．(2013·高考山东卷)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．99．(2013·高考江西卷)已知集合M＝{1，2，z i}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )A．－2i B．2iC．－4i D．4i10．(2014·合肥市高三质检)已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2＜0}，且R 为实数集，则下列结论正确的是( )A．A∪B＝R B．A∩B≠∅C．A⊆∁R B D．A⊇∁R B11．(2014·福建省质量检测)设数集S＝{a，b，c，d}满足下列两个条件：(1)∀x，y∈S，xy∈S；(2)∀x，y，z∈S或x≠y，则xz≠yz现给出如下论断：①a，b，c，d中必有一个为0；②a，b，c，d中必有一个为1；③若x∈S且xy＝1，则y∈S；④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x2＝y，y2＝z.其中正确论断的个数是( )A．1 B．2C．3 D．412．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C －(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )13．(2014·武汉市调研测试)设集合A＝{1，－1，a}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝________．14．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}．若A⊆B，则实数m的值为________．15．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．16．(2014·青岛模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＋2ny＋n2－4＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2－6mx－4ny＋9m2＋4n2－9＝0}，若A∩B为单元素集，则点P(m，n)构成的集合为________．。
高三数学复习每天30分钟限时训练44苏教版
高三数学复习限时训练（44）
1、已知等差数列{}n a 的公差0d
≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是____ ____
2、函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为
3、函数()2s in (01)f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ω=
4、过双曲线22221x
y a b -=的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）
的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．
5、如图, 椭圆C ：162
x +42y =1的右顶点是A ，上下两个顶点分别为B 、D ，四边形DAMB 是矩形（O
为坐标原点），点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点。
（1） 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上.（2）过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分
别交于R 、S
（2） （不同于B 点），且它们的斜率k 1、k 2满足k 1*k 2=-
41，求证：直线RS 过定点，并求
出此定点的坐标。
限时训练（44）参考答案
1、3；
2、(
,)3ππ 3、34；4、2。
高三数学复习每天30分钟限时训练28
高三数学复习限时训练（28）1、定义在区间(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x +1)，则f (x )的解析式为 .2、设函数f (x )＝001,1)(,)1(lg 112x x f x x x x 则若）（>⎩⎨⎧≥<--的取值范围是 . 3、已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 .4、设直线3y ax =+与圆222410xy x y +--+=相交于,A B两点，且||23=AB ，则=a _________.5、若函数2()xf x x a=+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为33,则a 的值为6、在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM>AC 的概率是7、阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是8、在△OAB 中,(2cos ,2sin )OA αα=,(5cos ,OB β=5sin )β,若5OA OB ⋅=-,则OAB S ∆=9、已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，3sin cos m n B C ⋅=-．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．2n <1n n ←- 结束输出SS S n←+否是开始输入nS ←9、设函数()ln=.g x a x=+，()22f x ax x（1）当1a=-时，求函数()=图象上的点到直线30y f x-+=距x y离的最小值；（2）是否存在正实数a，使()()f x gx≤对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.限时训练（28）参考答案 1、)1lg(31)1lg(32x x -++ 2、(－∞,0)∪(10,+ ∞) 3．8 4．0 5．31-6．222-7．5 8.5329、(1)cos cos sin sin m n A B A B ⋅=+， 又3sin cos()m n B A B ⋅=++3sin cos cos sin sin B A B A B =+-，3sin 2sin sin B B A ∴= ，3sin 2A =，3A π∴=或23A π=．(2)2222cos a b c bc A =+-，①当3A π=时，229b c bc bc +-=≥，1393sin 244s bc A bc ∴==≤； ②当23A π=时，2293b c bc bc =++≥，故3bc ≤，133sin 24S bc A ∴=≤．9.（1）由()ln f x x x =-+ 得()11f x x'=-+ ，令()1f x '= 得12x = ∴所求距离的最小值即为11,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到直线30x y -+=的距离()11ln 232214ln 2222d ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==+⑵假设存在正数a ，令()()()F x f x g x =- ()0x >则()max 0F x ≤ 由()2120F x a a x x'=+-=得：1x a=∵当1x a>时，()0F x '< ，∴()F x 为减函数；当10x a<<时，()0F x '>，∴()F x 为增函数.∴()max 11ln F x F a a⎛⎫== ⎪⎝⎭∴1ln 0a≤ ∴a e ≥∴a 的取值范围为[),e +∞。
高三数学复习每天30分钟限时训练133苏教版
181716151413秒三数学复习限时训练（133）1、函数xy x e =的最小值是_____. 2、计算121(lglg 25)100=4--÷______.4、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与 18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于_____人．3、已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为_____.5、过双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ,C ．若BC AB 21=，则双曲线的离心率是______.6、对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x=-+∈-∞-的＂下确界＂等于______.7、已知2b是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.8、对于∆A B C ,有如下四个命题:①若s in 2s in 2A B = ,则∆A B C 为等腰三角形,②若s in c o s B A =,则∆A B C 是直角三角形③若222s in s in s in A B C +>,则∆A B C 是钝角三角形④若c o sc o sc o s222a b c A B C ==, 则∆A B C 是等边三角形； 其中正确的命题个数是___.9、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ， 则角B 的大小为______. 10、数列{}n a 满足2*113,1()2n n n a a a a n N +==-+∈，则∑==201211i ia m 的整数部分是_____.高三数学复习限时训练（133）参考答案1、1e-2、－203、274、295、56、2-7、⎥⎦⎤ ⎝⎛-451， 8、1 9、6010、19．答案解析：由重心G 满足0G A G B G C ++=知，56sin 40sin 35sin A B C ==同时由正弦定理，s ins in s in 111564035A B C ==，故可令三边长111,,564035a kb kc k===取578k =⨯⨯，则5,7,8a b c ===，借助余弦定理求得1c o s 2B =．10．答案解析：由题1(1)1n n n a a a +=-+，则111111111111n n nnn n a a a a a a ++=-⇒=-----，故有1121111201320131--=---=a a a m ，由于337216a =>且1n n a a +>，故)1,0(112013∈-a ，所以(1,2)m ∈，其整数部分是1．。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练102 苏教版
1、若命题“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 使得”是真命题，则实数a 的取值范围是 ；2、若将函数)0)(4sin(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为___ ___；3、已知公差不为0的正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1lg a ，2lg a ，4lg a 也成等差数列，510a =，则5S 等于___ ___；4、等比数列123{},4,2,n n a n S a a a 的前项和为且成等差数列.若141,a S =则= ；5、已知53)4cos(,430=+<<παπα，则=αtan ___________； 6、已知点p 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点p 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ； 7、设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是___ ___； 8、椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的左焦点为F ，其左准线与x 轴的交点为A ，若在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ；9、如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，则()f x 在区间[]2,1-上的解析式是 ；10、关于函数)(x f y =，有下列命题：①若]2,2[-∈a ，则函数1)(2++=ax x x f 的定域为R ； ②若)23(log )(221+-=x x x f ，则)(x f 的单调增区间为 )23,(-∞③函数f (x )=log a (x +a x-4) ( a >0且a ≠1) 的值域为R ，则实数 a 的取值范围是04a <≤且1a ≠④定义在R 的函数)(x f ，且对任意的R x ∈都有：),1()1(),()(x f x f x f x f -=+-=- 则4是)(x f y =的一个周期。
2013届高三数学考点限时训练6
2013届高三数学考点大扫描限时训练0061. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 ．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．参考答案：1. 54；2.5； 3. 解：（I ）依题意[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈…………………3分 ∴ 400(25)(7100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x N x x N<≤∈<<∈ ………………………5分 此函数的定义域为*{|740,}x x x N <<∈ ………………………7分（Ⅱ）22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ …………………………9分 当720x <≤，则当16x =时，max 32400y =（元）；…………………………11分 当2040x <<，因为x ∈N *，所以当x ＝23或24时，max 27200y =（元）；……13分 综合上可得当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分4. 解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．……………………1分又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．………………………3分（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；...........................4分 也满足条件②1)1(=g ． (5)若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，..................8分 故)(x g 理想函数． (9)（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴．………………………11分 若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾；………………………13分若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾．………………………15分 故)(00x f x = ． ………………………16分。
江苏省扬中市第二高级中学2013届高三数学复习限时训练(1-7)
高三数学复习限时训练（01）1、 设集合{}R x x x x A ∈+≤-=,112)2(2，则集合*⋂N A 中有 个元素。
2、若()35cos =+απ且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，则()απ-2sin =__________ 3、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若137a S =，则等比数列{}n a 的公比等于_____4、 已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是 ．5、 已知直线1l ：32+=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为_______6、 已知函数xbe ax x f +=)(图象上在点)2,1(-P 处的切线与直线x y 3-=平行，则函数)(x f 的解析式为_____7、 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ____8、 已知直线0132=+++y x 与圆032-22=-+x y x 交于N M ,两点，则弦MN 的垂直平分线方程为__________9、 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小；（2）设(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==，试m n ⋅ 求的取值范围．限时训练（01）参考答案1.72. 23-3.24. (1,1)-5. 0.56. 12.50.5x y x e +=--7. 1208. 3x-2y-3=09．（1）60B = ， （2）17(2,]8高三数学复习限时训练（02）1、若复数2(3)(,()z a a i a R =--∈2007=2、若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是___________3、已知点A 、B 、C 3=4=5=，则⋅+⋅+⋅的值是____.4、ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________5、已知：}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈ ，则实数m 的取值范围6、过点()0,4-作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点，若AB=8，则直线l 的方程为______7、已知||1a = ，||2b = ，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 .8、若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= 9、已知向量a = (1，1)，向量b 与向量a 的夹角为34π，且a ·b = －1.（1）求向量b ；（2）若向量b 与q =（1，0）的夹角为2π，向量p =2(cos ,2cos )2CA ，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A + C =23π，求|b + p |的最小值.限时训练（02）参考答案12、53、 25-4、π655、),2(+∞ 6.、 020125=++y x 或4-=x7、23π 8、21 9、（1）b =(－1,0)或b =(－1,0).；（2）22高三数学复习限时训练（03）1、函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为_____2、设复数1212,()z i z x i x =-=+∈R ，若12z z ⋅为实数，则x = ．3、已知{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=,则公差d ＝4、有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号5、设命题014,::22>++∈∀<cx x R x q c c p 对和命题，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 6、1tan 2a =，则sin cos a a = 7、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 .8、设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知38S =，67S =,则789a a a ++= .9、已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R . (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.限时训练（03）参考答案1. {}0,1,3-2. 21-3. －124. （1）5. 121021<≤≤<-c c 或6. 527. 32 8.819． (Ⅰ) 1()f x a x '=-(0x >),①当a ≤ 0时，1()f x a x'=->0， 故函数()f x 增函数，即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞． ②当0a >时，令1()0f x a x '=-=，可得1x a=, 当10x a <<时，1()0ax f x x -'=>；当1x a>时，1()0ax f x x -'=<， 故函数()f x 的单调递增区间为1(0,]a,单调减区间是1[,)a +∞.(Ⅱ)①当11a≤,即1a ≥时,函数()f x 在区间[1,2]上是减函数,∴()f x 的最小值是(2)ln 22f a =-.②当12a ≥，即12a ≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是(1)f a =-.③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a是减函数． 又(2)(1)ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时,最小值是(1)f a =-；当ln 21a ≤<时,最小值为(2)ln 22f a =-.综上可知,当0ln 2a <<时, 函数()f x 的最小值是min ()f x a =；当l n2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 2f x =.高三数学复习限时训练（04）1、=︒+︒-︒570sin 2135cos 315sin 。
2013高考数学(理科)小题限时训练4
2013高考数学（理科）小题限时训练四15小题共75分，时量：45分钟，考试时间：2012年8月30日第6节 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．命题：00R,21x x ∃∈≥的否定是A ．00R,21x x ∃∈<B ．00R,21x x ∃∉≥C ．R,21x x ∀∈≥D ．R,21x x ∀∈<2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是A ．y ＝－x ＋1B ．12y x = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．1y x=3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | x(x ＋3)＜0}，B ＝{x | x ＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{x |－3＜x ＜－1}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．{x |－3＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0}4．方程log 3x ＋x －3＝0的实数解所在的区间是A ．(0，1)B ．A ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23(2)1a f a -=+，则 A ．23a < B ．213a a <≠-且 C ．213a a ><-或 D ．213a -<< 6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．b y a x=+ 7．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a ＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x ＋b 的图象大致为A B C D8．已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是A ．17(2,]8B ．[1，＋∞]C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是 ．10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围是 ．11．如图所示的程序框图运行后，输出的S 的值是 ．12．若函数()(4)2(1)2xa f x a x x ⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．先作与函数1ln 3y x=-的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C 1．又y ＝f(x)的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f(x)的解析式是 ．14．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象如图所示：则f(x)的单调递增区间是 ；f(x)的最大值是 ．15．定义min{p ，q}表示p 、q 中的较小者，若函数214()min{log ,3log }f x x x =+，则满足f(x)＜2的x 的取值范围是 ．参考答案DBBC DBAC9．12()f x x10．1(,10)1011． 31 12． [4，8)13． y＝e x 14． [－1，0]和[2，4] 2 15． (0，4)∪(4，＋∞)。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练121 苏教版
1、已知ABCD 是半径为2圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为 .2、右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s = .3、设A 为奇函数a a x x x f ()(3++=为常数）图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 4=，则A 点的坐标为 .4、已知)0,0(>>=+b a t b a ，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t = .5、将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像仍过点),23,3(π则ϕ的最小值为 . 6、在集合{x |2012x∈Z ,x ∈Z } 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 .7、 设α、β、γ表示是三个不同的平面，a 、b 、c 表示是三条不同的直线：(1)若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；(2)若a ∥α，b ∥α，ββαβ⊂⊂=⋂b a c ,,，则b a //；(3)若ααα⊥⇒⊂⊂⊥⊥a c b c a b a ,,,；(4)若,,γβγα⊥⊥则βα//或βα⊥； (5)若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b ． 其中正确命题的序号是 . 8、过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则21r r = . 9、设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 .10、 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})1()()1(f t f t f +=+，下列函数k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y （2）)0(2≠++=a c bx ax y （3）)10(<<=a a y x（4）)0(≠=k xky （5）x y sin =高三数学复习限时训练（121）1．π2 2．81 3．（1，2）或（-1，-2） 4．22 5．6π6．2,21±±7．(2) 8．25 9．或231≤≤a 25≥a 10.(2)（4）。
高三数学复习每天30分钟限时训练30
高三数学复习限时训练（30）1、已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于2、定义在区间] ,[22-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若 (1) ()g m g m -<， 则实数m 的取值范围是3、从[]0,1之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是4、关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=-∈，有下列命题, 其中正确命题的序号为 .（1）4()3y f x π=+为偶函数; （3）()y f x =的图像关于直线12x π=-对称; （2）要得到函数()4sin 2g x x =-的图像，只需将()f x 的图像向右平移3π个单位;（4）()y f x =在[0,2]π内的增区间为5[0,]12π和11[,2]12ππ。
5、已知向量a ＝（3sinα，cosα），b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（3π 2π2，），且a ⊥b ． （1）求tanα的值；（2）求cos(π23α+)的值．6、如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC∠平分线.（1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.限时训练（30）参考答案1、 1002、1[1,)2- 3、16π 4、（1）（2）5.（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sinα，cosα），b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π 2π2，），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．（2）∵α∈（3π 2π2，），∴3ππ24α∈（，）． 由ta nα＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2α＝2（舍去）．∴525sincos2525αα==-，ABCDcos(π23α+)＝ππcoscos sin sin 2323αα-＝251535252-⨯-⨯ ＝251510+-． 6、（1）证明：在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①， 在ACD∆中，由正弦定理得s i n s i n A CD CA D C C AD=∠∠②， ………………………2分 又AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD A B D C AC==，所以2D C B D =.………………………………………………6分（2）解：因为2DC BD =，所以BC DC 32=.在△ABC中，因为22222237611co s 223721AB BC A C B A B B C +-+-===⋅⨯⨯， …………10分 所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-2112237()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练130 苏教版
高三数学复习限时训练（130） 1、设函数2()sin()2cos 1468xxf x πππ=--+． （1）求()f x 的最小正周期．（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x = 的最大值．2、如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy 中，设圆C ：()()()222141,1,0x y a a A ++=>,记点N 的轨迹为曲线E .⑴证明曲线E 是椭圆，并写出当2a =时该椭圆的标准方程；⑵设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率13,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点Q 的纵坐标的取值范围.高三数学复习限时训练（130）参考答案1、（1）()f x =sin cos cos sin cos 46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ-sin()43x ππ-. ………………故()f x 的最小正周期为284T ππ== ……………(2)解法一： 在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ………………………由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--)43x ππ+…当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤， …………………因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 33cos 32g π==……………2、解：（1）连结NA, 由题意知，直线m 是线段MA 的中垂线，∴NA=NM, 而圆C 的半径为2a ……………………2分∴NC+NA=NC+NM=CM=2a (常数)∴动点N 到两定点C, A 的距离之和为常数2a ，所以，点N 的轨迹是以定点C, A 为焦点，长轴长为2a 的椭圆……………………4分当2a =时，由于1c =，所以所求椭圆E 的方程为22143x y +=……………（2）椭圆E 的方程为222211x y a a +='-，其上顶点B2(0,1)a - 所以，直线l 的方程为21(1)y a x =-+， …… 记点(1,0)A 关于直线l 的对称点00(,)Q x y则有020*******(1)22y x a y x a ⎧=-⎪-⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩， 解得：2041a y -=…由13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得11322a ≤≤， ∴202441114a y a a -==-，令21t a =，因为1,a > 则1344t ≤≤， ∴2u t t =-+，∴31[,]164u ∈，所以，点Q 02y ≤≤。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练124 苏教版
1、在ABC ∆中， ,,A B C 所对边分别为c b a ,,.已知(sin ,sin cos ),m C B A =(,2)n b c =,且0=⋅n m .（1）求A 大小；（2）若,2,32==c a 求ABC ∆的面积S 的大小.2、如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ． （1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值.（2）当C 在圆弧 AB ︵ 上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求CE ·DE 的取值范围．3、如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=.（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.AE D C B高三数学复习限时训练（124）参考答案1、解：（I ）∵0=⋅，∴(sin ,sin cos )(,2)C B A b c ＝0.∴sin 2sin cos 0.b C c B A += ………2分 ∵,sin sin b cB C =∴2cos 0.bc cb A +=……………4分∵0,0,b c ≠≠∴12cos 0.A += ∴1cos .2A =- ………6分∵0,A π<<∴2.3A π= ……………8分（II ）△ABC 中，∵2222cos ,a c b cb A =+-∴201244cos120b b =+-. ∴2280.b b +-= ………………10分∴4() 2.b b =-=舍， ………12分∴△ABC 的面积11sin 22222S bc A ==⨯⨯⨯= ……………14分2、证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ．解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系， 设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2222，-）………………………2′ ∴OD OC +=（2222t ，+-） ∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t ≤1）…4′ 当22=t 时，最小值为22…………………………6′ （2）设OC =（cos α，sin α）（0≤α≤23π） OC OE CE -==（0，21-）—（cos α，sin α）=（ααsin 21cos ---，）………8′ 又∵D （021，），E （0，21-） ∴DE =（2121--，）…………………………10′ ∴CE ·DE =)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα…………12′ ∵4π≤4πα+≤47π…………………………13′ ∴CE ·DE ∈[22412241+-，]…………………………14′ 3、 解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ= …………2分θθcos sin 10=EF ………………………………4分由于10tan 103BE θ=⋅≤，10103tan AF θ=≤3tan 3θ≤≤[,]63ππθ∈…………………………5分 101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈.………………7分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=由于[,]63ππθ∈，所以1sin cos )[42t πθθθ=+=+∈ ，201L t =-在12内单调递减，于是当12t =时,63ππθθ==时的最大值1)米.。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练54 苏教版
1、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++= 。
2、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，给出下列四个命题，正确命题的题号是 ．①若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ ②若l α⊥，l m //，则m α⊥③若l α//，m α⊂，则l m // ④若l α//，m α//，则l m //3、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45° 的直线与椭圆的一个交点为M ，若2MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为4、 E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合），则此三棱锥的体积为___ ____.5、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为6、将函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<的图象向左平移6π个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值为 .7．已知()1()()(),,f x x a x b a b m n =---<是()f x 的零点，且m n <，则,,,a b m n 从小到大的顺序是 。
8、在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=x (x ≥0).(1)求sin()6πα+的值；(2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．限时训练（54）参考答案1、3+； 2、② ； 31；4、33 5、 4 6、6π 7、m a b n <<<8、(1)由射线l的方程为y =，可得31cos ,322sin ==αα， 故sin()6πα+1132⨯(2)设()()()0,022,,0,>>b a b b Q a P .在POQ ∆中因为()168222=+-=b b a PQ ， 即ab ab ab ab b a 426291622=-≥-+=，所以ab ≤4 ∆∴≤POQ S b a 3=，即332,32==b a 取得等号. 所以POQ ∆面积最大时，点,P Q 的坐标分别为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛364,332,0,32Q P ．。
江苏省高三数学复习每天30分钟限时训练144 苏教版
1、 已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin()(0,)2πθϕϕ-∈，求cos ϕ的值．2、设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交。
若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围。
3、已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为2，且右 焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．（本练习题目选自南京师大附中周练试卷）高三数学复习限时训练（144）参考答案1．解：（1）∵a b ⊥，∴sin 2cos 0θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，且(0,)2πθ∈，∴sin θ=，cos θ=． …………………………6分（2）∵(0,)2πθ∈，(0,)2πϕ∈，∴(,)22ππθϕ-∈-，又10sin()θϕ-=， ∴310cos()θϕ-=， …………………………10分 ∴[]cos cos ()ϕθθϕ=--cos cos()sin sin()θθϕθθϕ=-+-531025102=⋅+⋅=． …………………………14分2．解：若p 真，即方程22167x y a a +=+-表示双曲线， 则()()670a a +-<，67a ∴-<<． ………………………………5分 若q 真，即圆()2219x y +-=与圆()()22116x a y -++=相交，则2147,3535a a <+<∴-<<． ………………………………10分 若“p ⌝且q ”为真命题，则p 假q 真，673535a a a ≤-≥⎧⎪∴⎨-<<⎪⎩或，即356a -<≤-， ∴符合条件的实数a 的取值范围是356a -<≤-． ………………………………14分3．解：（1）由题意知222a c a c b c⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分 （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ① 设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分（3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时， 设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ． 由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+． 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++．因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得6)M ，6(1,)N ．此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． …………………………16分。
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高三数学复习限时训练（04）
1、=︒+︒-︒570sin 2135cos 315sin 。
2、不等式x
x 1
>
的解集为 。
3、抛物线y x 82
-=的准线方程为 。
4、双曲线()012222>>=-b a b
y a x 的离心率为26
，
则椭圆122
22=+b
y a x 的离心率为
5、如图所示的程序运行的结果是 。
6、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，()()12=⋅+x f x f 对于R x ∈恒成立，且
(),0>x f 则()=119f 。
7、在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以1000后进行分析，得出新样本平均数为4，则估计总体的平均数为 。
8、曲线x x y ln =在点（1，0）处的切线方程为 。
9、在ABC ∆中，角
C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量
⎪⎭⎫ ⎝
⎛=23sin ,23cos A A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛
=2sin ,2cos A A
3=+。
⑴、求角A 的大小；⑵、若a c b 2=+，试判断ABC ∆的形状。
限时训练（04）参考答案
1、1-
2、()()∞+⋃-.10,1
3、2=y
4、
2
2
5、250500
6、1
7、0.004
8、01=--y x 9、⑴3
π
=
A ;⑵ ABC ∆是正三角形。