第4章一元一次方程以及应用
一元一次方程的解法与应用
一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。
1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。
1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。
2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。
3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。
3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。
四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。
4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。
4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。
五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。
5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。
5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。
总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。
习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。
答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。
苏科版七年级上册 第4章《一元一次方程》应用题分类：数轴类专项练(四)
第4章《一元一次方程》应用题分类：数轴类专项练（四）1．当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为“分类思想”．例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值．解：如图，当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2+3＝1所以，a＝﹣5或1请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程）（1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．（2）已知ab＞0，求+的值．（3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本）按原价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售．①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，这种情况存在吗？如果存在，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在，请说明理由．2．如图，AB＝12cm，点C是线段AB上的一点，BC＝2AC．动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动．设它们同时出发，运动时间为ts．当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC＝cm，BC＝cm；（2）当t为何值时，AP＝PQ；（3）当t为何值时，PQ＝1cm．3．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值；（2）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，直接填空：AM＝AB；（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．4．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，动点P从O点出发沿OM方向以每秒1cm的速度匀速运动；动点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，立即停止运动），点P，Q同时出发．（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；（2）若点Q运动速度为每秒3cm时，经过多少时间P，Q两点相距70m；（3）当PA＝2PB时，点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，求点Q的速度．5．如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm．（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M 行驶的总路程为cm．6．已知：如图，线段AB＝12cm，M是AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动，在运动过程中，点C始终在线段AM上，点D始终在线段BM上，点E、F分别是线段AC和MD的中点．（1）当点C、D运动了2s，求EF的长度；（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，求AM的长．7．如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC＝cm，BC＝cm；（2）当t＝秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP＝PQ？8．如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；（2）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．9．如图所示，线段AB＝6cm，C点从P点出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，D点从B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C，D运动到任意时刻都有PD＝2AC，求出P在AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的值；（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB＝2CD，这时点C停止运动，点D继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求出MN的值．10．如图，C为线段AB的中点，点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为ts，点P与点Q在点D相遇，AB＝6CD．（1）求的值；（2）点E为BQ的中点，当t＝4（点P，Q在运动的过程中）时，PB＝44cm，CE＝26cm，求AB长及a值；（3）在（2）的条件下，当点P与点E相遇时，点P停止运动，在点P与点E相遇的时刻，点R从点D出发以3cm/s的速度沿DA向A运动，点P停止运动后，当t为何值时，RQ＝PE？参考答案1．解：（1）∵∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，∴当OC在∠AOB内部时，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝55°，当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝85°；（2）∵ab＞0，∴当a＞0，b＞0时，+＝+＝1+1＝2，当a＜0，b＜0时，+＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；（3）①当0≤x≤10时，需付2.5x元，当x＞10时，需付款为：10×2.5+（x﹣10）×2.5×50%＝1.25x+12.5（元）；②当第一次购买10本以下，第二次购买超过10本时，列方程为：10x×1.8＝2.5×10+0.5×2.5（2x﹣10），解得：x＝0.8（不合题意）；当第一次和第二次都超过10本时，列方程为：[2.5×10+0.5×2.5（x﹣10）]×1.8＝2.5×10+0.5×2.5（2x﹣10），解得：x＝40，则2x＝80．答：这种情况存在，第一次购书40本，第二次购书80本．2．解：（1）∵AB＝12cm，点C是线段AB上的一点，BC＝2AC，∴AC+BC＝3AC＝AB＝12cm，∴AC＝4cm，BC＝8cm；（2）由题意可知：AP＝3t，PQ＝4﹣（3t﹣t），则3t＝4﹣（3t﹣t），解得：t＝．答：当t＝时，AP＝PQ．（3）∵点P、Q相距的路程为1cm，∴（4+t）﹣3t＝1（相遇前）或3t﹣（4+t）＝1（第一次相遇后），解得t＝或t＝，当到达B点时，第一次相遇后点P、Q相距的路程为1cm，3t+4+t＝12+12﹣1解得：t＝．答：当t为，，时，PQ＝1cm．3．解：（1）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝4cm，∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣4＝4cm；（2）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB．故答案为；（3）当点N在线段AB上时，如图．∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即＝；当点N在线段AB的延长线上时，如图．∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，即＝1．综上所述，＝或1．4．解：（1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意，得＝，即50＝，解得x＝0.8cm/s．（2）∵OA+AB+BC＝90cm＞70cm，∴分两种情况，①Q在P的右侧，经过时间为＝5s．②Q在P的左侧，∵点Q运动到点O时，立即停止运动，∴Q运动的时间为＝30s，两者相距70cm时运动的时间为＝70s．综合①②得知，经过5秒和70秒的P、Q两点相距70m．（3）PA＝2PB，分两种情况，①当点P在A、B两点之间时，∵PA＝2PB，∴PA＝AB＝40cm，此时运动的时间为＝60s，∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，∴BQ＝AB＝20cm，或BQ＝AB＝40cm，点Q的运动速度为＝0.5cm/s或cm/s．②当点P在线段AB的延长线上时，∵PA＝2PB，∴PA＝2AB＝120cm，此时运动的时间为＝140s，∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，∴BQ＝AB＝20cm，或BQ＝AB＝40cm，点Q的运动速度为＝cm/s或cm/s．综合①②得知，当点P在A、B两点之间时，点Q的运动速度为0.5cm/s或cm/s，；当点P在线段AB的延长线上时，点Q的运动速度为cm/s或cm/s．5．解：（1）∵AB＝24，OA＝2OB，∴20B+OB＝24，∴OB＝8，0A＝16，故答案分别为16，8．（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，∵AC＝CO+CB，∴16﹣x＝x+8+x，∴x＝，∴CO＝．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t＝，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，∴t＝或16s时，2OP﹣OQ＝8．②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，∴点M运动的路程为16×3＝48cm．故答案为48cm．6．解：（1）当点C、D运动了2s，MC＝2cm，BD＝6cm，∴AC+DM＝AB﹣MC﹣BD＝12﹣2﹣6＝4（cm），又∵点E、F分别是线段AC和MD的中点，∴AC＝2EC，MD＝2MF，∴2EC+2MF＝4，即EC+MF＝2cm，∴EF＝EC+CM+MF＝2+2＝4 （cm），答：EF的长度为4cm；（2）由MD＝3AC可设AC＝xcm，MD＝3xcm，设运动时间为t秒，则MC＝tcm，BD＝3tcm，∴AM＝x+t（cm），AB＝AC+CM+MD+BD＝x+t+3x+3t＝4x+4t（cm），∵AB＝12，∴4x+4t＝12，∴x+t＝3，即AM＝3cm，答：AM的长为3cm．7．解：（1）∵AB＝12cm，AB＝3BC∴BC＝4，AC＝8故答案为：8；4．（2）设运动时间为t，则AP＝4t，CQ＝t，由题意，4t﹣t＝8，解得t＝；当点P与点Q第二次重合时有：4t﹣12+8+t＝12，解得t＝．故当t＝秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：；．（3）在点P和点Q运动过程中，当AP＝PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t＝8+t，解得t＝；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12﹣（4t﹣12）]＝12﹣（t﹣4），解得t＝；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t﹣24）＝12﹣（t﹣4），解得t＝．故当t为秒时，AP＝PQ．8．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，则BD＝2PC，∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，∴12＝3AP，则AP＝4cm；（2）根据C、D的运动速度知：BD＝4，PC＝2，则BD＝2PC，∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，∴12＝3AP，则AP＝4cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处，即AP＝4cm；（4）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又∵AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴PQ＝AB＝4cm；当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′，所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．综上所述，PQ＝4cm或12cm．9．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC．∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图1：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又∵AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴PQ＝AB＝2cm；当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′，所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝6cm．综上所述，PQ＝2cm或6cm．（3）MN的值不变，MN的值是cm．理由：如图2，当C点停止运动时，有CD＝AB＝3cm，∴AC+BD＝AB＝3cm，∴AP﹣PC+BD＝AB＝3cm，∵AP＝AB＝2cm，PC＝1cm，∵M是CD中点，N是PD中点，∴MN＝MD﹣ND＝CD﹣PD＝CP＝cm．10．解：（1）∵C为线段AB的中点，AB＝6CD，∴AC＝BC＝AB＝3CD．∵点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s （b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为ts，点P与点Q在点D相遇，∴AD＝at，BD＝bt，∴＝＝＝＝＝＝；（2）∵点E为BQ的中点，∴BE＝BQ．当t＝4时，PB＝AB﹣AP＝AB﹣4a＝AB﹣8b＝44①，CE＝BC﹣BE＝AB﹣×4b＝AB﹣2b＝26②，①与②联立，解得AB＝60，b＝2，则AB＝60cm，a＝2b＝4cm/s；（3）当AB＝60cm，a＝4cm/s，b＝2cm/s，设点P与点E相遇时所用时间为xs，∵AP+BE＝AB，∴4x+×2x＝60，解得x＝12，BP＝BE＝12．点P与点Q在点D相遇所用时间为：＝10（s），此时BD＝2×10＝20（cm），分两种情况：①R在Q的后面时，如图1．∵BR＝BD+DR＝20+3（t﹣12）＝3t﹣16，∴RQ＝BQ﹣BR＝2t﹣（3t﹣16）＝16﹣t，PE＝BE﹣BP＝×2t﹣12＝t﹣12．∵RQ＝PE，∴16﹣t＝（t﹣12），解得t＝；②R在Q的前面时，如图2．∵BR＝BD+DR＝20+3（t﹣12）＝3t﹣16，∴RQ＝BR﹣BQ＝3t﹣16﹣2t＝t﹣16，PE＝BE﹣BP＝×2t﹣12＝t﹣12．∵RQ＝PE，∴t﹣16＝（t﹣12），解得t＝20．故当t为s或20s时，RQ＝PE．。
专题4_一元一次方程及其应用
专题4_一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用是初中数学的基础知识之一，它无论在学习上还是实际生活中都具有重要的应用价值。
本文将围绕一元一次方程的概念、解法、应用以及一些实际问题展开讨论。
一、一元一次方程的概念一元一次方程是指其中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。
二、一元一次方程的解法1.移项法：通过变换方程式，将未知数移到等号的一侧，已知数移到等号的另一侧。
例如，对于方程2x+5=13，可以通过移项法得到2x=13-5=8，再除以2得到x=4，从而求得方程的解x=42.消元法：联立两个或多个方程，通过消去一些系数，得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
例如，联立方程组{x+2y=5，2x+3y=10}，可以通过消元法得到-x+y=-5，再乘以2得到2x-2y=10，联立原方程组得到3y=0，进而求得y=0，再代入方程得到x=5/2，从而求得方程组的解x=5/2，y=0。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际生活中的应用十分广泛，以下是一些常见的应用领域：1.商品质量问题：如果已知一种商品的质量为x千克，每件商品的质量比前一件多1/4千克，总共有10件商品，那么可以通过建立方程10x=总质量来求得总质量。
2.速度与时间问题：速度等于路程除以时间，如果已知辆车以30km/h的速度行驶2小时，求其行驶的总路程，可以通过建立方程30*2=总路程来求得总路程。
3.比例问题：比例可以用一元一次方程来表示，例如已知甲乙两个数的比例为4:3，而甲的值为12，可以通过建立方程4x=12来求得乙的值x，进而求得甲乙两个数的具体值。
四、一元一次方程的实际问题1.甲乙两个数的比例为4:3，但甲的值比乙大3，求甲、乙的具体数值。
解：设乙的值为x，则甲的值为x+3、根据比例关系，可以建立方程4/(x+3)=3/x，通过变换方程解得x=6/5，从而可以求得甲的值为9/5，乙的值为6/52.辆车从A点和B点之间的距离是90千米，其中从A点到B点的距离是从B点到A点距离的3倍加上3千米，求A点到B点的距离。
七年级数学上册 第4章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题教学课件
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解：设共做了x张桌子． 根据题意(tíyì)，得
0.03x＋4×0.002x＝3.8． 解这个方程，得
x＝100．
答：共做了100张桌子．
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通过问题1的研究，你能概括出用一元一次方程解决问题的 一般(yībān)步骤吗？
（1）审题，即弄清题意和题目中的数量(shùliàng)关系. （2）设未知数，即用字母表示题目中的一个未知数. （3）找相等关系，即找出能够表述应用题的全部含义的一 个相等关系. （4）列方程，即根据所找出的相等关系列出需要的式子， 进而列出方程. （5）解方程，即解所列出的方程，求出未知数的值. （6）检验，即检验所得未知数的值是否为所列方程的解，是 否符合问题的实际意义. （7）作答，即写出答案.
工作效率=工作量 ÷工作时间
工作时间=工作量 ÷工作效率
两个或多个工作效率不 同的对象所完成的工作 量的和等于总工作量
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注意事项
弄清“倍数”关系 及“多、少”关系 等 分清半径、直径
一般情况下把总 工作量设为1
涉及的公式
相遇 路程=速度×时间
问题 时间=路程÷速度
行 程 问
追及 速度=路程÷时间 问题
3.一件工作由一个人做要50小时，现在计划由一部分 人先做5小时，再增加2人和他们一起做10小时，完成 了这项工作，问先安排多少人工作？
4.某商品的进价是1 000元，售价是1 500元，由于 销售情况不好，商店决定降价出售(chūshòu)，但又要 保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出 售(chūshòu)此商品？ 5.两列火车同时从相距600千米的甲乙两地相向而行， 经过4小时两列火车在途中相遇. 已知客车每小时行 驶80千米，则货车每小时行驶多少千米？
一元一次方程及其应用
一元一次方程及其应用（人工智能Assistance身份声明：以下文章内容纯属自然语言处理生成，没有人工智能参与修改。
）2023年了，一元一次方程依然扮演着重要的角色，影响着我们的生活。
本文将从简单的概念入手，旨在向大家介绍一元一次方程及其应用。
一、一元一次方程的定义一元一次方程，指只有一个未知数，且未知数的最高次数为一的方程。
其一般形式可以表示为：Ax + B = 0（其中，A和B是已知数，x是未知数）。
二、解一元一次方程的方法解一元一次方程需要通过相应的运算方法，将未知数x解出来，具体方法如下：1. 移项法：将Ax和B分别在等式两边交换位置，得到x = -B/A。
2. 定比分法：将等式两边的各项都乘以相同的比值，使得形式化简后得到x = -B/A。
3. 等式法：将等式两边分别加入一项，使等式成立后可以解出x。
三、一元一次方程的应用一元一次方程的应用非常广泛，涉及到生活中的各个方面。
下面就为大家介绍几个常见的应用：1. 财务预算财务预算中，需要对不同因素进行定量分析和预测。
一元一次方程可以帮助我们计算好不同因素之间的关系，从而提前做好预算和规划。
2. 人口增长在人口增长方面，一元一次方程可以用来计算不同因素对人口数量的影响，如生育率、死亡率、移民率等等。
通过方程的分析和预测，可做出更准确的预测并合理规划措施。
3. 工程设计工程设计中，需要考虑各种因素之间的关系，以及它们对工程的影响。
通过一元一次方程的分析，可以更好地把握工程设计的效果和可行性，从而提高工程的质量。
四、总结一元一次方程虽然在数学中只是一个较为简单的概念，但却应用广泛。
无论是财务预算、人口增长、还是工程设计等领域，都需要用到一元一次方程来分析和预测问题。
因此，我们必须学好它，掌握相关的解法和应用，以更好地应用于我们的生活当中。
一元一次方程与应用
一元一次方程与应用一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，一元一次方程可以用来描述供求关系；在物理学中，一元一次方程可以用来描述运动物体的速度和位置关系；在化学学中，一元一次方程可以用来描述物质的反应过程。
首先，假设小明和小红两人一起去超市买水果，小明买了苹果和橙子，一共花了15元，小红买了橙子和香蕉，一共花了10元。
假设苹果的单价为x元，橙子的单价为y元，香蕉的单价为z元。
根据题目要求，可以得到以下两个方程：x+y=15(1)y+z=10(2)这就是一个含有三个未知数的一元一次方程组，可以通过解方程组的方法求解。
我们可以先通过消元法来解这个方程组。
将方程(2)的两边同时减去x，得到：y+z-x=10-x然后将上述结果代入方程(1)中，得到：x+(10-x)=15化简后得到：10=15显然，上述方程没有解。
这说明题目中存在矛盾或错误，需要检查题目是否有误。
在此例中，可能是因为消费总额15元和10元不符合实际情况。
在另一个例子中，我们可以考虑汽车的行驶速度与行驶时间之间的关系。
假设一辆汽车以常速v km/h行驶，行驶时间为t小时。
那么，行驶的距离d可以用行驶速度和时间的乘积表示。
根据题目要求，行驶的距离为120 km。
根据上述关系，我们可以得到以下方程：v*t=120(3)这就是一个含有两个未知数的一元一次方程，可以通过解方程的方法求解。
由于方程(3)中只有一个未知数，我们可以通过代入法解方程。
将t用120/v替换，得到：v*(120/v)=120化简后得到：v^2=120再将上述结果开根号，得到：v=√120这就得到了汽车的行驶速度，可以通过计算得到具体的数值。
通过以上两个例子，我们可以看到一元一次方程在实际生活中的应用。
它可以描述经济学、物理学和化学学等领域中的问题，帮助我们理解和解决实际问题。
七年级数学上册 第四章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题 怎样灵活应用方程的解求字母的
七年级数学上册第四章一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题怎样灵活应用方程的解求字母的值？素材（新版）苏科版
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怎样灵活应用方程的解求字母的值？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
方程的解是满足左右两边相等的未知数的值,将解代入方程，方程两边相等,从而得到关于另一个字母的一元一次方程，解答即可.
【举一反三】
【举一反三】
典例：若方程3（x+4)-4=2k+1的解是—3，则k的值是（)
A。
1 B.—1 C。
0 D。
—
思路导引：一般来讲，解决本题要理解x=-3是方程3(x+4)-4=2k+1的解，说明-3可以代替x 的位置,也就是把原题中的x换成“-3”，得3×(-3+4）—4=2k+1，可求得k=—1。
标准答案：B。
一元一次方程与应用
一元一次方程与应用
一、一元一次方程的概念
例如，小明去商场购买一台手机，原价为1500元，商场正在举办打折活动，折扣为30%。
假设小明最终花费的金额为x元，我们可以建立如下一元一次方程：
1500×0.7=x
二、一元一次方程的解法
解一元一次方程的基本步骤是移项和合并同类项。
我们以上面的例子来解释解一元一次方程的过程。
1500×0.7=x
合并左边的项，得：
1050=x
所以小明最终花费的金额为1050元。
三、一元一次方程的应用
例1：小明参加运动会，他参加了100米与200米短跑两个项目，假设小明100米短跑的成绩比200米短跑慢1秒，小明100米短跑的时间为x秒，我们可以建立如下一元一次方程：
x+1=2x
解这个方程得到：
1=x
所以小明100米短跑的时间为1秒。
例2：小明购买水果，苹果的价格是每斤5元，小明购买了x斤苹果，总共花费了20元，我们可以建立如下一元一次方程：
5x=20
合并同类项，得：
x=4
所以小明购买了4斤苹果。
通过以上两个例子，我们可以看到一元一次方程在解决实际问题中的
应用。
它可以帮助我们计算出一些未知的数值，从而解决我们的实际困扰。
在日常生活中，我们经常会遇到一些和等式有关的问题，我们可以通过建
立一元一次方程来解决这些问题。
总之，学习了一元一次方程的概念、解法和应用，我们可以更好地理
解和运用数学知识，解决一些实际问题。
通过这些例子，我们可以发现一
元一次方程在购物、旅行、运动等方面有着广泛的应用，对于我们的生活
有着很大的帮助。
专题4一元一次方程及其应用
专题4一元一次方程及其应用一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
二、解一元一次方程的方法解一元一次方程的常见方法有：等式两边同时加减一个数、等式两边同时乘除一个非零数。
1.等式两边加减一个数：对于方程ax + b = 0，我们可以将b加到等式两边或者减去等式两边，得到ax = -b或者ax = b。
然后，再将方程两边同时除以a，就可以得到x的值。
2.等式两边乘除一个非零数：对于方程ax + b = 0，我们可以将等式两边乘以一个非零数c，得到acx + bc = 0。
然后，再将方程两边同时除以ac，就可以得到x的值。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在我们日常生活中有很多应用场景，例如：1.购买物品：假设物品的原价是x元，经过打折后的价格是y元，且折扣为a。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解原价x：x - ax = y通过求解方程，我们就可以得到物品的原价。
2.算术平均数：假设一些班级学生的身高分别是x₁、x₂、x₃、..、xn，其中n是班级学生的总数，而x是班级学生的平均身高。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解平均身高x：(x₁ + x₂ + x₃ + ... + xn) / n = x通过求解方程，我们就可以得到班级学生的平均身高。
3.运动速度：假设人以v的速度行驶t小时，行驶的距离为s。
那么我们可以建立以下一元一次方程来求解速度v：s = vt通过求解方程，我们就可以得到人的速度。
四、例题解析1.问题：小明在商场购买了一件原价100元的衣服，打完折后的价格是80元。
请问，打折的折扣是多少？解答：设折扣为x。
根据题意，我们可以得到以下一元一次方程：100-x*100=80解方程得到x=(100-80)/100=0.2所以，打折的折扣是20%。
2. 问题：班级共有30名学生，他们的体重平均为55kg。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念首先，咱们来了解一下啥是一元一次方程。
简单说，一元一次方程就是含有一个未知数，并且这个未知数的次数是 1 的等式。
比如 3x ＋5 ＝ 17 ，这里只有一个未知数 x ，而且 x 的次数是 1 。
一元一次方程一般的形式是：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a 、 b 是常数， a ≠ 0 ）。
在解决实际问题时，我们经常需要通过设未知数、找等量关系来列出一元一次方程。
二、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如说，小明骑自行车以每小时 15 千米的速度去某地，回来时因为逆风，速度变成了每小时 10 千米，去的时候用了 3 小时，问回来用了多长时间？咱们可以设回来用的时间为 x 小时。
去的路程＝回来的路程，根据路程＝速度×时间，去的时候速度是 15 千米/小时，时间是 3 小时，所以路程是 15×3 ＝ 45 千米。
回来的速度是 10 千米/小时，时间是 x 小时，路程就是 10x 千米。
那么就可以列出方程： 10x ＝ 45 ，解得 x ＝ 45 ，所以回来用了 45 小时。
再比如，甲乙两人同时从 A 、 B 两地相向而行，甲的速度是每小时 8 千米，乙的速度是每小时 6 千米， 3 小时后两人相遇，问 A 、 B 两地相距多远？设 A 、 B 两地相距 x 千米。
甲走的路程＋乙走的路程＝总路程，甲 3 小时走的路程是 8×3 ＝24 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。
方程就是： 24 ＋ 18 ＝ x ，解得 x ＝ 42 千米， A 、 B 两地相距 42 千米。
三、一元一次方程在工程问题中的应用工程问题也是常考的类型。
比如一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作需要几天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看成单位“ 1 ”，甲每天的工作效率就是 1/10 ，乙每天的工作效率就是 1/15 。
一元一次方程的应用课件
根据成本和利润求解一元一次方 程，确定最优售价。
速度
用运动学公式求解一元一次方程， 解决汽车行驶时间、速度、里程 等问题。
解一元一次方程的常见错误
1 变号错误
在等式两侧"同受异离"时，有些同学会漏掉负号或加号。
2 计算错误
疏忽大意、手残常见。在计算过程中认真检查，避免类似的错误。
3 表述错误
把运算优先级搞错，可能会导致答案的偏差。另外，方程的解法可能并不唯一。
一元一次方程的拓展应用
空间角度
如螺旋楼梯的切线、射线的夹角 等，都可以用一元一次方程来求 解。
金融分析
用一元一次方程预测股票、债券 价格等。
商业应用
通过一元一次方程做商业规划， 在不同成本、销售量下确定最优 收益。
结论和要点
结论
本课程介绍了一元一次方程的定义、基本形式、求 解步骤、应用举例、常见错误、拓展应用以及结论 和要点。
要点
• 记住标准形式、一般形式和斜率截距形式 • 掌握消元、化简、验证三个步骤 • 熟悉应用场景，注意解题思路与误区 • 适当拓展应用，增强学科经验
Hale Waihona Puke 一元一次方程的应用课件从这个课件中，您将学习到什么是一元一次方程，以及如何求解和应用它们。
什么是一元一次方程
定义
一元一次方程是未知数个数为一且指数为一的等式。
公式
ax + b = c
一元一次方程的基本形式
标准形式
ax + b = c
斜率截距形式
y = mx + b
一般形式
ax + b - cx = d
点斜式
y - y1 = m(x - x1)
七年级数学上册 第四章 一元一次方程 4.3 用一元一次
怎样应用一元一次方程解答分段型问题？
难易度：★★★★
关键词：方程
答案：
分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题。
解决这类问题的时候，我们先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决。
【举一反三】
张
强
两
次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
思路导引：一般来说，此类分段问题应分情况讨论。
由于张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），那么第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克。
由于50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以必然第一次购买香蕉的价格为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能5元，也可能4元。
我们再分两种情况讨论即可。
解：
1) 当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉20千克以上但不超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：6x＋5（50－x）＝264
解得：x＝14
50－14＝36（千克）
2）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋4（50－x）＝264
解得：x＝32（不符合题意）
标准答案：第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉
1。
苏科版七年级数学上册第四章《一元一次方程》应用题填空题拔高训练(二)
第四章《一元一次方程》应用题填空题拔高训练（二）1．在商品市场上经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打8折，快来买啊!”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利（便宜）2元卖了，他还能获利20%，则一个玩具赛车进价是元．2．甲工程队有272名工人，乙工程队有196名工人，根据工作需要要求乙队人数是甲队人数的，应该从乙队调人到甲队．3．将内径为20cm，高为hcm的圆柱形水桶装满水，倒入一个长方体的水箱中，水只占水箱容积的，则此水箱的容积是cm3．4．将某班的学生分成x组，若每组8人，则多2人；若每组9人，则差4人，则x＝．5．甲乙两列火车，车长分别160米和200米，甲车比乙车每秒多行驶15米，两列火车相向而行，相遇到错开需要8秒，则甲车的速度为，乙车的速度为．6．某商场的电视机按原价的九折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加．7．在一次电脑知识竞赛中共有20道题，对于每道题，答对得5分，答错了或不答倒扣3分，小明得了84分，则他答对了道题．8．学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元，某天李老师和三名同学去探望一名生病的学生，坐出租车付了17.60元，他们共乘坐了千米．9．一个书包，打9折后售价45元，原价元．10．某种出租车的收费标准是：起步价3元（即行驶距离不超过3km都需3元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.2元（不足1km按1km计算），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费9元，设此人从甲地到乙地的路程为xkm，那么x的最大值是．11．在某公路干线上有相距108千米的A、B两个车站．某日16点整，甲、乙两辆车分别从A、B两站同时出发，相向而行，已知甲车的速度为45千米/时，乙车速度为36千米/时，则两车相遇的时间是．12．某个体户到农贸市场进一批黄瓜，卖掉后还剩48kg，则该个体户卖掉kg黄瓜．13．鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半；八鸭展翅飞，六鸡在下蛋，再点鸡与鸭，鸭为鸡倍三，请君算一算，鸡只，鸭只．14．某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要h水池水量达全池的一半．15．物体在月球上的重量大约等于在地球上的重量的，如果一个物体在地球上的重量比在月球上的重量多16千克，那么这个物体在地球上的重量是千克．16．在古代的算书中，经常以诗歌的形式来把一些实际生活背景的题目写出来．下面就有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”那么这个客栈有间房，一共来了名客人．17．一个农场，母鸡的只数与猪的头数之和是70，而腿数之和是196，则母鸡比猪多只．18．小红买了一件衣服，原价500元，打8.5折应付元．19．两本书厚度共9cm，其中一本厚度是另一本书厚度的2倍，则这两本书的厚度分别是cm和cm．20．把一个半径为3cm的铁球熔化后，能铸造个半径为1cm的小铁球（球的体积为）．21．一项工程，甲单独做需要9天，乙单独做需要12天，甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的，两人合作需天完成全部工作的．22．一项工程，甲用6小时完成，甲的总工作量可看成，那么工作时间是，工作效率是．若这件工作甲用12小时完成，则甲的工作效率是．23．国庆节前几天，两家商店的同一种彩电的价格相同．国庆节两家商店都有降价促销活动．甲商店的这种彩电降价500元，乙商店的这种彩电打9折．若原价是2 000元/台，到商店买便宜；若原价是20 000元/台，到商店买便宜；当原价是时，两家商店降价后的价格仍然相等．24．整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，则应先安排个人工作．参考答案1．解：设一个玩具赛车进价是x元，由题意得：10×0.8﹣2＝x+20%x，解得：x＝5，故答案为：5．2．解：设应该从乙队调x人到甲队，196﹣x＝（272+x），解得x＝79，故答案为：79．3．解：设此水箱的容积是xcm3，由题意得：π×（）2×h＝x，解得：x＝300πh，故答案为：300πh．4．解：设将学生分成x组，由题意得，8x+2＝9x﹣4，解得：x＝6，故答案为：6．5．解：设乙车每秒行驶xm，则甲车每秒行驶（x+15）m，依题意有8x+8（x+15）＝160+200，解得x＝15，x+15＝30．答：甲车的速度为30米/秒，乙车的速度为15米/秒．故答案为：30米/秒，15米/秒．6．解：设销售量增加x，根据题意得：90%（1+x）＝1，解得：x＝；故销售量应增加．故答案为：．7．解：设他答对了x道题，那么答错的就有（20﹣x）道题5x﹣3（20﹣x）＝845x+3x﹣60＝348x＝84+608x＝144x＝18．答：他答对了18道题；故答案为：18．8．解：设共乘了x千米，由题意得17.60＝8+1.20（x﹣3），解得x＝11．故填：11．9．解：设书包的原价为x元，则90%x＝45，解得x＝50，故答案为50．10．解：设此人从甲地到乙地的路程的最大值为xkm，由题意，得3+（x﹣3）×1.2＝9，解得：x＝8．故答案为：8km．11．解：设两车相遇需要x小时，则45x+36x＝108，解之得x＝1，所以两车相遇的时间是16+1＝17，即17点20分．12．解：设进了xkg黄瓜，则：（1﹣）x＝48，解得：x＝72．∴72×＝24（kg）故填24．13．解：设鸭有x只，则鸡有x只，由题意，得3（x﹣6）＝x﹣8，解得：x＝20，∴鸡有10只．故答案为：10，2014．解：设x小时水池水量达全池的一半，甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意可知：﹣＝，解得：x＝9，答：当同时开放甲、乙两管时需要9h水池水量达全池的一半．故答案为：915．解：设这个物体在地球上的重量是x千克，则在月球上的重量为x．x﹣x＝16，解得x＝19.2．故答案为：19.2．16．解：设有x间房，y位客人，则解得答：有8间房，63位客人．故答案为：8，63．17．解：设母鸡有x只，则猪有（70﹣x）头，由题意得，2x+4（70﹣x）＝196，解得：x＝42，则猪有70﹣42＝28头，母鸡比猪多了42﹣28＝14只．故答案为：14．18．解：设应付x元，由题意得：500×85%＝x，解得x＝425．故答案为：425．19．解：设一本书厚xcm，则另一本厚为9﹣xcm，根据题意得：x＝2（9﹣x）①或2x＝9﹣x②，解①得x＝6，解②得x＝3，可知两种情况为同一种情况，即两本书的厚度分别是3cm 和6cm．故答案两空分别填：3、6或6、3．20．解：设能铸造x个小铁球，根据题意得：解得：x＝27故填27．21．解：设工作总量为1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的，由题意，得（）x＝，解得：x＝4，故答案为：，，4．22．解：一项工程，甲用6小时完成，甲的总工作量可看成1，那么工作时间是6，工作效率是．若这件工作甲用12小时完成，则甲的工作效率是．故答案为：1，6，，．23．解：若原价是2 000元/台，甲商店需要：1500元，乙商店需要2000×0.9＝1800元；故到甲商店购买；若原价是20000元，甲商店需要：19500元，乙商店需要2000×0.9＝18000元；故到乙商店购买；设当原价为x元时，两家价格相等，由题意得，x﹣500＝0.9x，解得：x＝5000．即当原价是5000时，两家商店降价后的价格仍然相等．故答案为：甲、乙、5000．24．解：由题意可得，每个人每小时完成，设先安排x个人工作，则x×4+×（x+3）×6＝1，解得x＝3．答：应先安排3个人工作．故答案为：3．。
4.4一元一次方程的应用
4.4一元一次方程的应用44 一元一次方程的应用在我们的日常生活和学习中，数学的应用无处不在，而一元一次方程作为数学中的重要工具，更是有着广泛的用途。
它可以帮助我们解决各种实际问题，让看似复杂的情况变得清晰明了。
比如说，我们常常会遇到购物时的折扣问题。
假设一件商品原价为x 元，现在打八折出售，那么它的售价就是 08x 元。
如果我们知道了打折后的价格，就可以通过一元一次方程求出原价。
再比如行程问题。
小明以每小时 5 千米的速度从家去学校，走了 t小时后，距离学校还有 2 千米。
那么他家到学校的距离可以表示为 5t＋ 2 千米。
如果我们知道了总路程和行走的时间，就能通过方程求出速度。
还有工程问题。
一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要y 天完成。
两人合作一天完成的工作量就是 1/x ＋ 1/y 。
如果知道了两人合作完成工程所需的时间，就可以列出方程求出各自单独完成工程所需的时间。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解一元一次方程的应用。
假设小明去商店买笔记本，一种笔记本每本 3 元，另一种每本 5 元。
小明一共买了10 本，花费了42 元。
那么他买了每种笔记本各多少本？我们可以设小明买了 3 元一本的笔记本 x 本，那么 5 元一本的笔记本就是 10 x 本。
根据总价＝单价×数量，我们可以列出方程：3x ＋ 5(10 x) ＝ 42去括号得到：3x ＋ 50 5x ＝ 42移项得到：3x 5x ＝ 42 50合并同类项得到：－2x ＝－8解得：x ＝ 4所以小明买了 3 元一本的笔记本 4 本，5 元一本的笔记本 10 4 ＝ 6 本。
又比如，在储蓄问题中。
小明把一笔钱存入银行，年利率为 3%，一年后他得到的利息是 60 元。
那么他存入的本金是多少？设本金为 x 元，根据利息＝本金×年利率×时间，可列出方程：3%x ＝ 60将百分数化为小数：003x ＝ 60解得：x ＝ 2000所以小明存入的本金是 2000 元。
苏科版七年级数学上册 4.2 一元一次方程及其解法(第4章 一元一次方程 学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
例 2 若(m＋2)x|m|－1＝4是关于x的一元一次方程，求m的值. 解题秘方：由一元一次方程的概念可知未知数的次 数为1，系数不为0，据此求待定字母的值. 解：根据题意，可得|m|－1＝1，且m＋2 ≠ 0 . 由|m|－1＝1，得|m|＝2，所以m＝± 2 . 由m＋2 ≠ 0，得m ≠－2 .所以m＝2 .
感悟新知
3. 移项解一元一次方程的步骤
知2－讲
(1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移
到等号另一边；
(2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b为常数，且
a ≠ 0)的形式；
(3)系数化为1：得到方程的解为x＝ba.
感悟新知
知2－讲
特别解读 移项与加法交换律的区别：
移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边， 移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改 变排列的顺序，不改变符号.
解题秘方：利用一元一次方程的特点进行判断.
感悟新知
知1－练
解：①等号右边不是整式；③未知数x的最高次数为2；④ 化简后x的系数为0且等式不成立；⑥含有两个未知数；只 有②⑤是一元一次方程.
感悟新知
知1－练
方法点拨 判断一个方程是否为一元一次方程的方法：
不仅要看原方程，还要看化简后的方程. 原方程必须具备：等号两边是整式； 化简后的方程必须具备：一是未知数的次数都为1； 二是只含一个未知数且未知数的系数不为0.
感悟新知
知识点 3 解一元一次方程——去括号
知3－讲
1. 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程 转化为x＝c(c为常数)的形式，一般需要先根据去括号法 则去括号.
感悟新知
知3－讲
一元一次方程(人教版)(上册)第四章
第四章一元一次方程等式和它的性质教学目标1．使学生能说出等式的意义，并能举出例子，会区别等式与代数式；能说出等式的两条性质，会利用它们将简单的等式变形；2．培养学生观察、分析、概括的能力；3．初步渗透特殊—一般—特殊的辩证唯物主义思想．教学重点和难点重点：等式的意义和性质．难点：由具体、实际问题抽象出等式的性质．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．教师先用投影形式出现下列两组式子请学生回答以下问题：(a)用实例回答什么叫代数式？(b)上述两组式子中，哪些是代数式，哪些不是，为什么？(c)(1)中的式子表明了运算关系，那么(2)中的式子除了表明运算关系外，还表明运算间的何种关系？2．根据学生上面的回答，引入课题我们将(2)中的式子称为等式．从而引出课题：等式与它的性质．二、在教师引导下，由学生得出等式的意义首先，在教师的引导下，让学生结合上面问题的回答，说出什么叫等式．其次，请学生讲解(2)组中每一个等式所表示的意义．三、师生共同研究由具体实例猜想出等式的性质，并利用天平演示证明等式具有上述性质1．由具体实例猜想出等式性质首先，教师可提出如下问题请学生回答．(1)依等式1+2=3，判断：1+2+(4) 3+(4)；1+2-(5) 3-(5)．(2)依等式2x+3x=5x，判断：2x+3x+(4x) 5x+(4x)；2x+3x-(x) 5x-(x)．(3)上述两个问题反映出等式具有什么性质？(4)依等式3m+5m=8m，判断：2×(3m+5m) 2×8m；(3m+5m)÷2 8m÷2．(5)对于问题(4)反映出等式具有什么性质？在学生回答问题(3)、(5)时，若归纳，概括有困难，教师应做适当的引导、补充．其次，教师应板书等式的这两条性质：性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．性质2等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为零)，所得的结果仍是等式．2．用天平演示证明等式性质在天平两边的秤盘里，放着相等的物体，此时天平平衡，现在请学生观察天平，并回答当天平两边的秤盘里的物体的重量发生如下的变化后，天平是否平衡？(1)把天平两边秤盘里的物体的重量扩大到原来的同数倍(如3倍)；天平仍然平衡，这两种情况都说明秤盘里的物体的重量仍相等．这个事实充分说明，等式具备上边那两条性质．请学生用数学符号来表示上述两个等式性质．同时教师板书在黑板上．性质1 若a=b，则a+m=b+m．此时，教师应着重强调等式性质2中“除数不是零”这一条件的重要性．四、应用举例，变式练习例1 (投影)设a=b，则(1)a-3=b-3； (2)-a＝-b； (3)3a＝3b；上述判断对不对？根据是什么？(学生口述，教师讲评)．练习将(1)～(5)的条件、结论互换后，是否成立？(这个例题和练习都是直接利用等式的这两条性质，这里需特别留意的是性质2中对除数的要求)．例2用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的．(用投影片打出)(1)若2x=5-3x，则2x+______=5；(2)若0.2x=0，则x=______．解：(学生口述，教师板书)(此例与课本上的练习题及习题中的一些题目形式与要求一样，教师应提醒学生注意书写格式)．例3运用等式性质求出下列方程中未知数的值：(解此题时应首先让学生注意题目要求“利用等式性质”，区别于小学使用过的方法)解：(1)运用等式性质1，方程两边都加上7，即5x-7+7=8+7得 5x=15，运用等式性质2，方程两边都除以5得x=3．(2)(学生口述，教师板书)五、课堂练习1．回答：(投影)(1)从x=y能否得到x+5=y+5？为什么？(3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？(4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？2．(1)怎样从等式5x=4x+3得到等式x=3？(2)怎样从等式4x=12得到等式x=3？(4)怎样从等式2πR=2πr得到等式R=r？六、师生共同小结1．先由教师提出以下问题请学生回答：(1)本节课学习了哪些具体内容？(2)等式与代数式的区别是什么？(3)在运用等式性质时，需注意什么？2．教师在学生回答的基础上指出：(1)对于等式性质的导出，采用了由特殊到一般再到特殊的思维方法，它是一种非常重要的数学思维方法．(2)等式可能不成立．如x2+1=0是等式，但它不成立．七、作业1．若x=y，下列等式，哪些是成立的？(1)2x=2y； (2) x2=y2； (3) 2x-3=2y-3；2．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的：(1)若5x=4x+7，则5x-______=7；(2)若2a=1.5，则6a=______；(3)若-3y=18，则y=______；(4)若a+8=b+8，则a=______；(5)若-5x=5y，则x=______．3．根据等式性质，把下列等式变成左边只剩下字母x，右边只是一个数的等式．4．思考题：某甲证出2=0，你相信吗？你能指出它的证明错在何处吗？甲的证法如下：设a=b，则a-b=b-a，(根据等式性质1)1=-1，(根据添括号法则)1+1=-1+1，(根据等式性质1)即2=0．使用甲的方法，你能证明4=0吗？课堂教学设计说明在得出等式的性质的过程中，经历了由特殊到一般，再到特殊这样一个辩证的思维过程．这样设计教学过程，有助于培养学生思考问题缜密、全面、辩证．方程和方程的解教学目标1．使学生弄懂方程、方程的解、解方程的含义，并会检验一个数是否是某个一元方程的解；2．培养学生观察、分析、概括的能力．教学重点和难点重点：方程和方程的解的概念；难点：方程的解的概念．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．针对上节课学过的一些知识，教师请学生回答下列问题：(1)什么叫等式？等式的两个性质是什么？(2)下列等式中x取什么数值时，等式能够成立？2．在学生回答完上述问题的基础上，引出课题在小学学习方程时，学生们已知有关方程的三个重要概念，即方程、方程的解和解方程．现在学习了等式之后，我们就可以更深刻、更全面地理解这些概念，并同时板书课题：方程和它的解．二、讲授新课1．方程在等式4+x=7中，我们将字母x称为未知数，或者说是待定的数．像这样含有未知数的等式，称为方程．并板书方程定义．例1 (投影)判断下列各式是否为方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么．(1)5-2x=1；(2)y=4x-1；(3)x-2y=6；(4)2x2+5x+8．分析：本题在解答时需注意两点：一是已知数应包括它的符号在内；二是未知数的系数若是1，这个省写的1也可看作已知数．(本题的解答应由学生口述，教师利用投影片打出来完成)2．方程的解在方程4+x=7里，未知数x的值是3时，能够使方程左右两边的值相等，我们将3叫做方程4+x=7的解．那么，一般地说，什么叫方程的解呢？(此问题应先让学生回答，教师引导、补充，并板书)能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．(此时，教师还应指出：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根)例2 根据下列条件列出方程：(2)某数比它的2倍小3．数比它的2倍小3”即为某数的2倍与它的差为3．(本题的解答由学生口述，教师板书完成，应注意书写格式)在解答完本题后，教师应引导学生总结出解答本类问题需应注意，此类问题的条件表面上是“谁比谁大(小)”，实际上是给出一个相等关系，因此，在解题时，要特别留心．例3 检验下列各数是不是方程2x-3=5x-15的解？(1)x=6；(2)x=4．思路将所给数值分别代入原方程的左边和右边，通过计算左、右两边的数值，进行比较，看左边与右边的值是否相等，若相等，则所给数值是原方程的解，反之，则不是．(解答过程由学生口述，教师引导并板书(1)，(2)请一名学生板演，其余学生在笔记本上完成)注意(1)本题的书写格式应严格按课本上的要求进行；(2)本题旨在巩固方程的解的概念，使学生学会检验一个数是否为某方程的解的基本方法．3．解方程启发学生得出什么叫解方程？即求方程的解的过程叫做解方程．怎样解方程呢？这个问题留待下节课研究．但现在需分清方程的解与解方程是两个不同的概念．三、课堂练习(投影)1．判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么．(1)3y-1=2y； (2)3+4x+5x2； (3)7×8=8×7 (4)6=0．2．根据条件列出方程：(l)某数的一半比某数的3倍大4；(2)某数比它的平方小42．3．检验下列各小题括号里的数是不是它前面的方程的解：四、师生共同小结1．请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些内容？(2)方程与代数式，方程与等式的区别是什么？(3)方程的解与解方程有何不同？2．教师在学生回答完上述问题的基础上，应指出：(1)方程、等式、代数式，这三者的定义是正确区分它们的唯一标准；(2)方程的解是一个数值(或几个数值)，它是使方程左、右两边的值相等的未知数的值它是根据未知数与已知数之间的相等关系确定的．而解方程是指确定方程的解的过程，是一个变形过程．五、作业1．根据所给条件列出方程：(1)某数与6的和的3倍等于21；(2)某数的7倍比某数大5；(3)某数与3的和的平方等于这数的15倍减去5；(4)矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长与宽；(5)三个连续整数之和为75，求这三个数．2．检验下列各小题括号里的数是否是它前面的方程的解：(3)x(x+1)＝12，(x＝3，x＝4)．3．求作(这里，“求作”的意思是“写出”)一个方程，使它的解是：一元一次方程的解法(一)教学目标1．使学生了解一元一次方程的概念，并牢固地掌握最简单一元一次方程的解法；2．培养学生观察、分析、概括的能力以及准确而迅速的运算能力．教学重点和难点重点：一元一次方程的概念和方程ax=b(a≠0)的解法．难点：正确地解方程ax=b(a≠0)．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．针对前二节所学内容，请学生回答下列问题(1)什么叫等式？等式应具备什么性质？(2)什么叫方程？方程的解？解方程？(3)(投影)某数的4倍减去9等于3，列出方程，并检验x=2，x=3是不是该方程的解．(让一名学生在黑板上板演本题，其余学生在练习本上完成，教师巡视，发现问题，及时纠正)请找出它们具有的特点？(①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次)2．在学生回答完上述问题的基础上，引出课题我们将具备上述特点的方程叫做一元一次方程．请学生回答：什么叫一元一次方程？根据学生的回答，教师板书一元一次方程的概念．这时，教师还需指出：“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数项的最高次数．本节课我们来学习最简单的一元一次方程的解法．(板书课题)二、师生共同讨论得出最简一元一次方程的解法例解下列方程：分析：利用等式性质2，在方程的两边都除以未知数x的系数，将其系数化1，即可得到原方程的解．最后还需检验所得的数是否为原方程的解．(2)(3)(4)略．(让学生先回答本题，教师追问根据，然后，老师根据学生的回答将方程(1)的解答过程板书．方程(2)(3)(4)的解答过程请三名学生板演，师生共同讲评)最后，教师可追问学生，方程ax=b(a≠0)的解是什么？根据是什么？三、课堂练习解下列方程：(投影)(本题的作用是进一步巩固学生对最简一元一次方程的解法的掌握，使之运用得灵活、自如．这样做也为后继课的学习做好铺垫)四、师生共同小结采用师生一问一答的方式，小结本节课所学的内容．最后教师指出：据是等式性质2．2．不要把两个方程用等号连接起来．如-x=1=x=1．3．问题：若a=0，则方程ax=b的解又是什么呢？(思考)五、作业解下列方程，并检验：思考题解关于x的方程：(关于x的方程，就是把方程中除x以外的字母看成已知数，解此类问题要注意已知数a，b的取值范围)课堂教学设计说明关于一元一次方程解法的授课内容，本教学过程设计在内容编排上与人教版教材在编排上稍有不同，主要是基于以下两点原因：1．先指出解最简的一元一次方程，在此基础上再逐步提出解较复杂的一元一次方程，把解较复杂的一元一次方程的过程化归成解最简单的一元一次方程的过程，这样提出问题和寻求解题方法比较自然；2．学生在解一元一次方程时的很多错误，追其根源都是方程ax=b程的求根公式．所以，应先集中讲解一下如何准确、快速的解最简单的一元一次方程．显然它对学生来说并不困难，但仍要求学生进一步重视它，努力把它用准、用熟．一元一次方程的解法(二)教学目标1．使学生掌握移项的概念，并能利用移项解简单的一元一次方程；2．培养学生观察、分析、概括和转化的能力，提高他们的运算能力．教学重点和难点重点：移项解一元一次方程．难点：移项的概念．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．等式的性质是什么？2．什么叫一元一次方程？方程ax=b(a≠0)的解是什么？3．(投影)解方程：(让学生口答本题，发动其余学生及时纠正出现的错误，做到一题多用)我们已经学习了解最简单的一元一次方程ax=b(a≠0)，今天学习把某些简单的一元一次方程化为最简的一元一次方程，从而求得其解．(教师板书课题：一元一次方程的解法(二)二、师生共同研究解简单的一元一次方程的方法例1解方程3x-5=4．在分析本题时，教师应向学生提出如下问题：1．怎样才能将此方程化为ax=b的形式？2．上述变形的根据是什么？(以上过程，如学生回答有困难，教师应作适当引导)解：3x-5=4，方程两边都加上5，得3x-5+5＝4+5，即 3x=4+5，3x=9，x=3．(本题的解答过程应找多名学生分别口述，教师严格、规范板书，并请学生口算检验)例2解方程7x=5x-4．(此题的分析与解答过程的教学设计可仿照例1重复进行)针对例1，例2的分析与解答，教师可提出以下几个问题：3．将方程3x-5=4，变形为3x=4+5这一过程中，什么变化了？怎样变化的？4．将方程7x=5x-4，变形为7x-5x=-4这一过程中，什么变化了？怎样变化的？(-5变为+5，并由方程的左边移到方程的右边；5x变为-5x，并由方程的右边移到方程的左边)我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．利用移项，我们可以将例2按以下步骤来书写．解：7x=5x-4，移项，得7x-5x=-4，合并同类项，得2x=-4，未知数x的系数化1，得x=-2．至此，应让学生总结出解诸如例1、例2这样的一元一次方程的步骤，并强调移项要变号．三、课堂练习(用投影给出)解方程：(这个练习，应找部分学生板演，其余学生在下面自行完成，其间，教师要巡视，发现问题及时纠正，并鼓励同学间互相讲评，同时，教师还应要求学生严格参照例2的解题格式完成这个练习，并要求口算检根)四、师生共同小结首先，采取师生一问一答的形式回顾本节课学习了哪些内容？采用了什么样的思维方法？在解题时需要注意什么？然后，教师需指出，采用了将“未知”转化为“已知”的思维方法，这是一种非常重要的思维方法，它在后继课的学习起着非常重要的作用．同时再次强调移项要变号．最后，教师可引申，若所给方程中的某一项或某几项有括号，我们应如何求出方程的解？(为下节课埋下伏笔，引出悬念，从而激发学生的学习兴趣)五、作业解下列方程：思考题解关于x的方程：(1)ax=bx； (2)(a2+1)x=(a2-1)x．一元一次方程的解法(三)教学目标1．使学生掌握解一元一次方程的移项规律，并且掌握带有括号的一元一次方程的解法；2．培养学生观察、分析、转化的能力，同时提高他们的运算能力．教学重点和难点重点：带有括号的一元一次方程的解法．难点：解一元一次方程的移项规律．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．解方程ax=b(a≠0)，并指出解法根据．2．什么叫做移项？移项的根据是什么？移项时应当注意什么？3．(投影)解下列方程：本节课我们继续学习移项应注意的问题和含有括号的一元一次方程的解法．二、师生共同研究讨论解一元一次方程的移项规律例1解方程5x+2=7x-8．在分析本题时，教师向学生提出如下问题：1．利用什么方法可将所给方程化为ax=b的形式？2．怎样移项呢？根据学生回答的情况，得到的下面两种解法．解法1 5x+2=7x-8，移项，得5x-7x=-8-2，合并同类项，得-2x=-10系数化1，得x=5．解法2移项，得2+8=7x-5x，合并同类项，得10=2x，系数化1，得x=5．最后，请学生口算验根．结合本例题的解法1和解法2，启发学生总结出求解像上述例题这样的一元一次方程时，它的移项规律是什么．(一般地，把含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另一边)(若学生回答有困难，教师应做适当引导)然后，教师应指出，习惯上多把含有未知数的项移到左边，有时为了简单也可以移到左边．三、师生共同探讨得出带有括号的一元一次方程的解法例2解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)．解：(怎样才能将所给方程转化为例1所示方程的形式呢？请学生回答)去括号，得2x-4-12x+3=9-9x，移项，得2x-12x+9x=9+4-3，合并同类项，得-x=10，系数化1，得x=-10．(本题解答过程应首先由学生口述，教师板书，然后，请学生检验-10是否为原方程的根)此时，启发学生总结遇有带括号的一元一次方程的解法．(方程里含有括号时，移项前，要先去括号)四、课堂练习(投影)1．下列方程的解法对不对？若不对怎样改正？解方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1)解：2x+3-5-5x=3x-1，2x-5x-3x＝3+5-3，-6x=-1，2．解方程：(1)2x+5=25-8x； (2)8x-2=7x-2；(3)2x+3=11-6x；(4)3x-4+2x=4x-3； (5)10y+7=12-5-3y； (6)2. 4x-9.8=1.4x-9．3．解方程：(1)3(y+4)12；(2)2-(1-z)=-2；(3)2(3y-4)+7(4-y)=4y； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)；(5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)．五、师生共同小结师生采用一问一答的形式，一起总结本节课都学习哪些内容？哪些思想方法？应注意什么？在此基础上，教师应着重指出①在运用移项规律解题时，一般情况下，应把含有未知数的项移到等号的左边，但有时依具体情况，也可灵活处理；②将“复杂”问题转化为“简单”问题，将“未知”问题转化为“已知”问题，将“陌生”问题转化为“熟悉”问题，这种思考问题的方法是一种非常重要的数学思考方法．本节课的例题、练习题的解答就充分地体现这一点．六、作业解下列方程：1．8x-4=6x-20x-6+3；2．3x-26+6x-9=12x+50-7x-5；3．4(2y+3)=8(1-y)-5(y-2)；4．15-(7-5x)=2x+(5-3x)；5．12-3(9-y)＝5(y-4)-7(7-y)； 6．16(1-2x)-4(11-2x )=7(2-6x)；7．3x-4(2x+5)=7(x-5)+4(2x+1)； 8．2(7y -2)+10y=5(4y+3)+3y．思考题解下列方程：1．2|x|-1=3-|x|；2．2|x+1|=|x+1|．一元一次方程的解法(四)教学目标1．使学生掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；2．培养学生观察、分析、归纳及概括的能力，加强他们的运算能力．教学重点和难点重点：含有以常数为分母的一元一次方程的解法．难点：正确地去分母．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．什么叫移项？解一元一次方程的移项规律是什么？2．(投影)解下列方程：(请学生口答)3．求几个数的最小公倍数的方法是什么？本节课，我们继续来学习含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的解法．二、师生共同研究解含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的方法在分析本题的解法时，向学生提出如下问题：(1)怎样才能将它化成上节课中所学的方程的类型？(去分母)(2)如何去分母？(方程的每一项都乘以分母的最小公倍数)去分母，得 5y-1=14，移项，得5y=15，系数化1，得y=3．解：(本题应如何去分母？学生答)去分母，得4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12，去括号，得8x-4-10x-1＝6x+3-12，移项，得8x-10x-6x＝3-12+4+1，合并同类项，得-8x=-4，系数化1，得针对本题的解答过程，应向学生提出如下问题：(3)为了去分母，方程两边应乘以什么数？(4)去分母应注意什么？(以上问题，若学生回答有困难，或不完整，教师应做适当的引导，补充)(本题的解答过程，应由学生口述，教师板书来完成)教师启发学生总结解含有以常数为分母的一元一次方程的思路是什么．(利用去分母的方法，将它转化为上一节所学的方程的形式)三、课堂练习解下列方程：四、师生共同小结首先，应让学生回答下列问题：1．本节课学习了什么内容？2．用什么样的方法将本节所学的新的类型方程转化为上节课我们熟悉类型的方程？3．为了去分母，方程两边应乘以什么数？这个数是如何选取的？4．去分母时应注意什么？结合学生的回答，教师作补充．去分母时需注意：①所选的乘数是所有的分母的最小公倍数；②用这个最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”；③去掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来．五、作业解下列方程：思考题一元一次方程的解法(五)教学目标1．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤；2．培养学生观察、分析、归纳的能力，并提高他们的运算能力．教学重点和难点解一元一次方程的步骤课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1．什么叫一元一次方程？其最简形式是什么？2．什么叫移项？移项时需注意什么？3．(投影)下列方程的解法对不对？若不对，错在哪里？怎样改正？(1)解方程2x+1=4x+1．解：2x+4x=0，6x=0，所以 x=0．解：x+1=3x-1-1，2x=3，解：4x+2-x+1=12．3x=9，所以 x=3．(分别让三名学生分别解答本题，其他学生评判，并补充，以求得正确地解答)然后，教师应指出：一元一次方程的解法基本学习完了，现在对任何形式的一元一次方程都会解了．解一元一次方程的指导思想就是把原方程化为ax=b(a≠0)的形式．为了更迅速地解一元一次方程，下面我们一起来总结一下解一元一次方程的一般步骤．二、师生共同讨论，归纳出解一元一次方程的一般步骤(学生口述，教师板书)解：去分母，得6(x+3)＝22.5x-10(x-7)，去括号，得6x+18=22.5x-10x+70，移项，得6x-22.5x+10x＝70-18，合并同类项，得-6.5x＝52，系数化1，得x=-8．结合上面学生解答的例题，教师应首先让几名学生总结解一元一次方程的步骤；然后教师指出总结的不足之处，并结合投影，给以正确的叙述．三、课堂练习解下列方程：(这组练习题的作用在于巩固并加深学生对一元一次方程解法步骤的理解及运用．教学时，可选好、中、差的学生分别在黑板上板演，发动学生改错、评议，以起到一题多用)四、师生共同小结首先，应让学生思考以下问题，并回答：1．形式上比较复杂的一元一次方程是怎样求解的？2．它的解法的主要思路是什么？3．它的解法的主要步骤是什么？结合学生的回答，教师应指出：解一元一次方程的指导思想是把原方程化为ax=b(a≠0)的形式．其解法可分为两大步：一步是化为ax=b的形式，再一步是解方程ax=b．在计算或变形时，要养成良好的学习习惯，注意书写格式的规范性，避免在去分母，去括号、移项时易犯的错误．五、作业解下列方程：1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)；2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)；3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22；4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5；思考题课堂教学设计说明在小结里提出解一元一次方程分为两大步，目的是进一步强调解一元一次方程的指导思想是化归思想．从而使学生明确最简方程是解一元一次方程的化归目标，而解一元一次方程的过程是，首先寻求所给方程与目标的差异，然后设法消除差异，直至达到化归目标，即化为最简方程，求出方程的解．这里化归的具体方法是去分母、去括号、移项、合并同类项等．这样处理，可使学生在解题时思路明确，有章可循．一元一次方程的解法(六)教学目标1．使学生灵活运用解方程的一般步骤解题；2．培养学生观察、分析、转化的能力，提高他们综合解题的能力．教学重点和难点重点：灵活地运用解题步骤；难点：如何在“灵活”二字上下功夫．。
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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第4章 一元一次方程以及应用一、选择题1. （2011山东菏泽，7，3分）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折 【答案】B2. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）（A ）54盏 （B ）55盏 （C ）56盏 （D ）57盏 【答案】B3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为[来源:学科网]A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -= 【答案】A4. （ 2011重庆江津， 3，4分）已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( ) A.－5 B.5 C.7 D.2 【答案】B ·5. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊗，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为A ．23 B ．31 C ． 21 D ． 21- 【答案】D6.二、填空题1. （2011四川重庆，16，4分）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵． 【答案】43802. （2011福建泉州，10，4分）已知方程||x 2=，那么方程的解是 .【答案】1222x x ==-，；3. （2011湖南邵阳，13，3分）请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。
【答案】2x-2=2.（答案不唯一）4. （2011重庆市潼南,15,4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a 度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交 电费56元,则a = 度.【答案】405. （2011广东湛江15,4分）若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为 ． 【答案】1-6. （2011湖南湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________. 【答案】50-8x=387. [来源:]三、解答题1. （2011浙江省舟山，2１，8分）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； （2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：[来源:学科网ZXXK]我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：5++=b ax y ，其中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b （元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a ． 【答案】（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s 千米，由题意得104 4.5s s -=．解得s =360．答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．(2)将x =360-48-36=276，b =100+80=180，y =295.4，代入y =ax +b +5，得295.4=276a +180+5， 解得a=0.4，答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．2. （2011安徽，16，8分）江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克，求粗加工的该种山货质量．大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米 36千米 过桥费100元80元嘉兴舟山东海【答案】设粗加工的该种山货质量为x kg，根据题意，得x+（3x+2000）=10000.解得x=2000．答：粗加工的该种山货质量为2000 kg．3. （2011福建福州，17（2），8分）植树节期间,两所学校共植树834棵,其中海石中学植树的数量比励东中学的2倍少3棵,两校各植树多少棵？【答案】(2)解:设励东中学植树x棵.依题意,得(23)834x x+-=解得279x=∴2322793555x-=⨯-=答:励东中学植树279棵,海石中学植树555棵.4. （2011山东滨州，20，7分）依据下列解方程0.30.5210.23x x+-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为352123x x+-= (__________________________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________) 合并，得5x=-17. (合并同类项)（____________________）,得x=175-. （_________________________）【答案】解：原方程可变形为352123x x+-= (__分式的基本性质_________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_____等式性质2________________)去括号，得9x+15=4x-2. （___去括号法则或乘法分配律_________）(______移项_______),得9x-4x=-15-2. (__等式性质1__________)合并，得5x=-17. (合并同类项)（_______系数化为1____）,得x=175-. （__等式性质2________）5. （2011浙江台州，20,8分）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班会费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留做纪念。
其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元。
请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？【答案】解：设送给任课老师的留念册的单价为x元，根据题意，得：10x+50(x-8)=800解得：x=20 ∴x-8=12答：送给任课老师的留念册的单价为20元，送给任课同学的留念册的单价为12元。
6. （2011浙江省嘉兴，21，10分）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．[来源:Z#xx#]（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； （2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y （元）的计算方法为：5++=b ax y ，其中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b （元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a ．【答案】（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s 千米，由题意得104 4.5s s-=．解得s =360．答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．[来源:学#科#网][来源:](2)将x =360-48-36=276，b =100+80=180，y =295.4，代入y =ax +b +5，得295.4=276a +180+5， 解得a=0.4，答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．7. （2011江苏连云港，21，6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)【答案】解：设提速后的火车速度是x km /h ,根据题意，得 2.3(x －260)=0.6x ,解得x =352.[来源:学科网]答：提速后的火车速度是352km/h.8. （2011江苏无锡，28，10分）(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：税 级 现行征税方法草案征税方法[来源:学。
科。
网Z 。
X 。
X 。
K][来源:学科网ZXXK]月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数1x ≤ 5005%x ≤ 1 5005%大桥名称 舟山跨海大桥 杭州湾跨海大桥大桥长度 48千米36千米过桥费[来源:学科网ZXXK]100元80元嘉兴舟山东海2 500<x≤200010% 25 1 500<x≤4 500 10% ▲3 2 000<x≤500015% 125 4 500<x≤9 000 20%▲4 5 000<x≤2000020% 375 9 000<x≤35 000 25% 9755 20 000<x≤40 00025% 1375 35 000<x≤55 000 30% 2 725注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。
“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数。
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2 600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5% + 1500×10% + 600×15% = 265(元) 方法二：用“月应纳税额×适用税率−速算扣除数”计算，即2600×15% − 125 = 265(元)(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1 060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？【答案】．解：(1) 75，……………………(1分)525，………………………(3分)(2)设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x− 375 = 1060，…………………(4分)解得x = 7175．∴甲这个月的应纳税所得额是7175元．…………………………………(5分)若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175 − 1000)×20% − 525 = 710元．…(6分)(3)设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x− 375 = 25%(x− 1000) − 975，(8分)解得x = 17 000．……………………………………………………………………………(9分)∴乙今年3月所缴税款的具体数额为1700×20% − 375 = 3025元．…………………(10分)。