数学：第四章四边形性质探索复习教案(北师大版八年级上)

第四章四边形性质探索知识点归纳

一．四边形的相关概念和性质

（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺

次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母

来表示．

注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或

逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ．

（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线． 注意：

①四边形共有两条对角线．

②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．

（3）四边形的不稳定性：

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．

（4）四边形的内角和等于

360．

（5）四边形的外角和等于 360．

注意：

1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；

2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；

3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．

二．多边形的概念和性质：

（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．

（2）任意多边形的外角和等于 360．

（3）n 边形共有2

)3(-n n 条对角线． （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。 （5）正多边形的每个内角等于

n n 180

).2(-三、平行四边形．

1．平行四边形的性质

(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．

(2)平行四边形的对边平行且相等．

(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．

(4)平行四边形的对角线互相平分．

（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．

2．平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

3．两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．

注意：

(1)距离是指垂线段的长度，是正值．

(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．

(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．

4．平行四边形的面积

（1）、如图1，AF CD AE BC S ABC D ⋅=⋅=平行四边形．

也就是平行四边形S =底边长×高=ah (a 是平行四边形任何一边长，h 必须是a 边与其对边的距离)．

注意：这里的底是相对高而言的，也就是高所在的边，平行四边形任一边都可作底，底确定后，高也就确定了．

（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．

如图2，EBCF ABCD S S 平行四边形平行四边形=．

图1 图2

四．矩形、

1．矩形的定义：_________________________________

2．矩形的性质：

(1)对边平行且相等。

(2)矩形的四个角都是直角．

(3)矩形的对角线相等．

(4)矩形是轴对称、中心对称图形．

(5) 矩形面积＝长×宽

(6) 矩形的周长=_________________

注：①利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等．

②___________________________

3．矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．

注意：

①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．

②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．

五．菱形

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．

2．菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质．

(2)菱形的四条边都相等．

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

(4)菱形是轴对称、中心对称图形．

(5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．

(6)菱形的周长＝-__________________

(7) 菱形的计算转化为_____________三角形

3．菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．

②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．

六．正方形

1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：

2．正方形的性质

(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．

(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．

(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22

2

b a S ==．3．正方形的判定