作线段、直线的垂直平分线
线段的垂直平分线
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P
在l 上．求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
l
∴ ∠PCA =∠PCB=90°．
P
在△PCA和△PCB中
AC =CB
∠PCA =∠PCB
A
C
B
PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条 线段的两端点的距离相等
P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，
P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分
线分别交AC、BC于点F、G,求⊿AEG的周长。（ B ）
A. 6
B. 10
A
C. 5 D. 20 ADFD EB
EG
图①
C
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平
分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于
18cm,则AC的长是 10cm .
A
A．5cm
B．10cm C．15cm D．17.5cm
E
D
B
C
例:2 ：如图，D、E分别是AB、AC的中点， CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质
性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等等。
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的
距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
若图形（这个图形可以是直线的、折线的、曲线的）关于某条直线对称，这条轴就称
为对称轴。
以五角星为例，它有五条对称轴。
垂直平分线是存在某条线段时才会有这个概念。
它的定义是经过某一条线段的中点，
并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
它有一定的局限性。
轴对称图形的对称轴是对称图形中任意两个对应点连线段的垂直平分线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
线段的垂直平分线 -八年级数学上册课件(沪科版)
对应练习
4、公路 l 同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠
站C，使停靠站到A，B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.
解：作AB的垂直平分线，交直线 l 于点C， 则点C就是停靠
站的位置.
B村
A村
C
l
5、如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅 小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建 于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
知识拓展：
M
条件： 点在线段的垂直平分线上.
P
结论： 这个点到线段两端点的距离相等.
A
B
N
归纳总结 垂直平分线的性质：
定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵ 点 P 在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等.)
知识拓展： 用线段的垂直平分线的性质可直接证明
必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
1、如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分 ∠BAC， DE⊥AB 于 E . 求证：直线 AD 是 CE 的垂直平分线．
证明： ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB ∴ ∠AED＝∠ACB＝90° 在 △AED 和 △FCE 中 ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠AED＝∠ACB AD=AD (公共边） ∴ △ADE≌△ADC (AAS）
探究新知
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
方法一： 折叠法
通过折纸，使线段AA'的两个
端点互相重合， 得到的折痕 l就
A (A')
是线段AA'的垂直平分线.
经过一已知点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线
3.四等分已知线段AB．
Ａ
Ｂ
4.作△ABC 的三边的垂直平分线
（第 2题）
5. 如图，八（1）班与八（2）班两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要
在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且
PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由.
B PM
N A
C
课堂小结
经过一已知点作 已知直线的垂线
经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质 是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长.
经过已知直线外一点作已知直线的垂线， 实质是作以直线外这一点为顶点，底在直线上 的等腰三角形的顶角的平分线.
线段垂直平分 线的尺规作图
作已知线段的垂直平分线理论依据是：判定三 角形全等的“边边边”
小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两
个小区的路程一样长，应在线段AB的
垂直平分线上，又要在公路边上，所
以找到AB的垂直平分线与公路的交点
A
便是.
B 公共汽车站
当堂练习
1.如图，点P在∠O的一边上，试过点P作∠O两边的垂线.
P
(第 1 题 )
2.如图，作△ABC边BC上的高. （第 2题）
1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线
已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过
点C作出直线AB的垂线.
如图，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平
角ACB的平分线所在的直线.
A
C
B
第一步：作平角ACB的平分线CD；
D
第二步：反向延长射线CD.
A
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
我们已熟悉尺规的四个基本作图：画 线段，画角．画角平分线、画线段的 垂线，那么利用尺规还能解决什么作 图问题呢？
画线段的垂直平分线；
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线.
作法：(1)以点图A为2 4 .圆4 .7心，以大于AB一 半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径 画弧，两弧的交点记为C、D； (3)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
·
B
C
问题探讨
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村 庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P 到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工 人上下班的路程一样吗？
A
O
C. D.
B
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线，
DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF
A
E F
B
D
C
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便
于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高速公路
生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
《线段垂直平分线的性质》
在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端 点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂 直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相 等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可 以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如 果一条直线经过线段两端点，并且与经过中 点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交 ，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。
八年级垂直平分线知识点
八年级垂直平分线知识点垂直平分线是初中数学重要的知识点之一，其在几何问题中有着广泛的应用。
本篇文章将为大家详细介绍关于八年级垂直平分线的知识点。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分的直线。
简单来说，就是把一条线段分成两段长度相等且垂直的线段。
二、如何求垂直平分线1、传统方法传统方法是一种利用勾股定理进行求解的方法。
假设线段AB 的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），垂直平分线上的点为P（x，y）。
则有以下公式：(x - (x1+x2)/2)² + (y - (y1+y2)/2)² = ((x2-x1)/2)² + ((y2-y1)/2)²该公式中等号右边是线段AB长度的一半，等号左边是线段AP 长度的平方与线段PB长度的平方之和。
2、向量法向量法是一种可以简化计算的方法。
如果线段AB的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则垂直于AB的向量为(-（y2-y1），x2-x1)。
具体操作如下：首先，将线段AB的中点的坐标求出来，记为C(xc,yc)然后，将AB的两个端点坐标作为一个向量，记为u(x2-x1,y2-y1)接着，求出u的一个垂直向量v，记为v(-（y2-y1），x2-x1)最后，直线的方程为(PC)·v=0，即[(x-xc)(-（y2-y1）)+(y-yc)(x2-x1)]=0三、垂直平分线的性质1、垂直平分线上的点到AB两个端点的距离相等。
2、垂直平分线上任意一点与AB两个端点之间的两条线段的长度相等。
3、垂直平分线将线段AB分成的两个线段长度相等。
4、线段垂直平分线的两个部分互为相反数。
四、垂直平分线的应用垂直平分线在几何问题中有着广泛的应用。
举例如下：1、判断点C是否在直线AB的逆时针方向我们可以通过垂直平分线来解决。
如果点C在直线AB的逆时针方向，则垂直AB且平分AB的线段的中点在C的左侧。
数学 3线段垂直平分线-课件
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
A
B
M PN l
课堂小结
原理
到一条线段两端距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
Байду номын сангаас
用尺规 作线段
1.分别以点A，B为圆心，以大于
1 2
AB
1 B．以点M为圆心，大于 2 AB的长为半径画弧
C．以点M为圆心，适当长为半径画弧 D．过点M作直线AB的垂线
3.下列作图方法中，能确定线段AB的中点的是( B ) A．作线段AB的垂线 B．作线段AB的垂直平分线 C．过点A作线段AB的垂线 D．过线段AB的中点作线段AB的垂线
4.平面内与A，B，C三点等距离的点( D ) A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
作法：（1）找出五角星的一对对应点A和
B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就
A
是这个五角星的一条对称轴．
l B
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所 以五角星有五条对称轴．
【名师点睛】对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连 线段的垂直平分线，即可得到此图形的对称轴.
归纳
1.作对称轴常用的画法有两种： (1)找一组对应点→画对应点的连线→作所连线段的垂直平分线； (2)找两组对应点→分别取两组对应点连线的中点→过两中点作直线．
2.轴对称图形的对称轴可能不止一条，因此作对称轴时，选取的对应点 不同，作出的对称轴可能也不同．
知识点 2 作线段垂直平分线的应用
线段垂直平分线知识点+经典例题
第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
《线段的垂直平分线》
习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。
专题15 线段垂直平分线问题(解析版)
专题15 线段垂直平分线问题1. 线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．（2）作直线CD，CD即为所求直线．说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.3.线段垂直平分线的性质：（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．4.三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.说明：（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.（3）外心到三顶点的距离相等.5.尺规作图线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型类型一：线段的垂直平分线定理。
线段的垂直平分线教案4篇
线段的垂直平分线教案4篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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线段垂直平分线的性质教案
线段垂直平分线的性质教案线段的垂直平分线是一个垂直于线段且将线段分成两个相等部分的直线。
下面是一个关于线段垂直平分线性质的教案，介绍了线段垂直平分线的定义、性质和证明。
【教学目标】1. 了解线段垂直平分线的定义；2. 掌握线段垂直平分线的性质；3. 能够通过证明推导线段垂直平分线的性质。
【教学准备】1. 教材：《数学课本》；2. 工具：教学板、彩色粉笔。
【教学过程】【Step 1】引入话题1. 出示一张图，其中有一条线段AB。
2. 引导学生思考如何找到这条线段的垂直平分线。
【Step 2】引出相关概念1. 指导学生通过准备知识确定线段AB的中点C。
2. 引导学生思考，如何找到一条直线通过C且垂直于线段AB。
3. 引导学生思考，该直线将线段AB划分成两个相等的部分吗？4. 引出线段垂直平分线的定义：线段的垂直平分线是一条垂直于该线段且将线段分成两个相等部分的直线。
【Step 3】讨论性质1. 引导学生观察图示，发现线段垂直平分线有哪些特点。
2. 引出线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线与该线段的两个端点连线垂直且相等。
【Step 4】案例分析1. 给出一个案例：在图中，O为线段AB的垂直平分线的中点，证明AO=BO。
2. 引导学生思考证明的思路：因为O是线段AB的垂直平分线的中点，所以AO≌BO。
设线段AO的长度为x，则线段BO的长度也为x。
从而得出AO=BO。
【Step 5】练习巩固1. 给学生一些类似的线段垂直平分线的性质的证明练习题，让他们自己完成。
2. 检查学生的答案，对结果进行讨论和分析。
【Step 6】拓展延伸1. 引导学生对线段垂直平分线的其他性质进行探索和证明。
2. 给学生更多类似的练习题，加深他们对线段垂直平分线性质的理解和应用能力。
【Step 7】总结反思1. 回顾线段垂直平分线的定义和性质。
2. 给学生一些总结性问题，让他们表达自己对线段垂直平分线的理解和应用。
3. 帮助学生解决存在的问题，巩固刚才学到的知识。
线段的平分线与垂直平分线
线段的平分线与垂直平分线一、线段的平分线在几何学中，平分线是指将一条线段分为相等两段的线段。
下面我们将探讨如何构造线段的平分线。
假设有一条线段AB，我们的目标是找到一条经过AB中点M的线段CD，使得CM=MD。
步骤如下：1. 画出AB，并确定其中点M。
使用直尺连接AM和BM，构造直线l。
2. 在直线l上选择一点P，不妨设PA>PB。
用直尺量取PB的长度，将其与PA连接，构造线段PM。
3. 以M为圆心，长度为PM的线段为半径，画一条圆，与PA、PB分别交于点C和D。
4. 则线段CD即为AB的平分线。
二、线段的垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直分割为两段相等的线段。
下面我们将介绍如何构造线段的垂直平分线。
假设有一条线段AB，我们的目标是找到一条经过AB中点M且垂直于AB的线段CD，使得CM=MD。
步骤如下：1. 画出AB，并确定其中点M。
使用直尺连接AM和BM，构造直线l。
2. 在直线l上选择一点P，不妨设PA>PB。
用直尺量取PB的长度，将其与PA连接，构造线段PM。
3. 以M为圆心，长度为PM的线段为半径，画一条圆，与直线l交于两点C和D。
4. 连接CD，则线段CD即为AB的垂直平分线。
总结：通过上述步骤，我们可以准确地构造出线段的平分线和垂直平分线。
这些构造方法在几何学的实际应用中具有重要意义，例如在建筑设计、地理测量等领域都会用到。
同时，了解和掌握这些构造方法可以提高我们的几何学知识和技能，培养我们的思维能力和几何思维。
因此，在学习几何学的过程中，我们应当注重对线段的平分线和垂直平分线的构造方法的学习和理解，以便更好地运用于实际问题的解决过程中。
通过不断练习和应用，我们可以逐渐掌握这些方法，并从中收获更多的几何学的乐趣和成就感。
垂直平分线的定理
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
线段垂直平分线方程公式
线段垂直平分线方程公式
线段垂直平分线方程公式是用于确定一个线段的垂直平分线的数学表达式。
垂直平分线是将一条线段二等分，并且与该线段垂直的直线。
通过找到线段的中点，并确定垂直于这条线段的直线可以得到垂直平分线的方程。
设线段的两个端点坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)。
则线段的中点坐标为：
Midpoint = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]
通过求解斜率可以确定与线段垂直的直线的斜率。
线段的斜率 k 可以通过以下公式计算：
k = (y2 - y1)/(x2 - x1)
垂直平分线的斜率为负倒数，即垂直平分线的斜率为 -1/k。
因此，垂直平分线的方程可以表示为：
y - Midpoint.y = (-1/k)(x - Midpoint.x)
其中，Midpoint 是线段的中点坐标，k 是线段的斜率。
简化得到垂直平分线方程的一般形式为：
y = (-1/k)(x - Midpoint.x) + Midpoint.y
这个方程描述了线段的垂直平分线，通过代入具体数值即可获得特定线段的垂直平分线方程。
这个方程可以帮助我们计算线段的垂直平分线，并在几何图形中定位线段的垂直平分线的位置。
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P72:A 组 作业 2. 已知:如图，点C,D在线段AB的垂直平分线上， 连接AC,AD,BC,BD.求证:∠CAD=∠CBD
证明： ∵C在线段AB的垂直平分线上
C A D B
∴AC=BC ∴∠CAB=∠CBA
同理：∠DAB=∠DBA ∴∠CAB+ ∠DAB =∠CBA+ ∠DBA 即：∠CAD=∠CBD
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直 平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 又∵在△BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， ∴BE+CE=10cm. ∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C.
练习,P72:A组3.
如图,在△ABC中，BC=9,AB的垂直平分线EF交BC于点F, AC的垂直平分线MN交BC于点N.求△AFN的周长。 解: 因为AB的垂直平分线EF交BC于点F, 所以FB=FA 同理：NAFN的周长=AF+FN+AN=BF+FN+NC=BC=9 答： △AFN的周长为9.
怎样找到线段的中点？.
因为线段的垂直平分线与线段的交点 就是线段的中点，所以可以用作出线段的 垂直平分线的方法找到线段的中点.
动脑筋
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
思考：一个点与一条直线有几种位置关系？ (1)点P在直线l上. (2) 点P在直线l外.
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在 已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上 的另一点，从而确定已知直线的垂线.
解析
作业
P73:A组 4、5.
动脑筋 (1)当点P在直线l上.
①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA， PB，使PA= PB；
1 ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为 2
半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP， 则直线 CP为所求作的直线.
动脑筋 (2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离 的线段长为半径画弧， 交直线l于点A，B；
作线段、直线的 垂直平分线
回忆
线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： （线段垂直平分线的判定定理） 到线段两端距离相等的点在 线段的垂直平分线上.
P72:A 组 作业 1.
如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°, AC的垂直平分线分别交AC,AB于D,E,AE=5. 求∠ECB的度数及边BC的长。 A 解：因为AB=AC, 所以∠B=∠ACB D 又因为∠A=36°. E 所以∠B=∠ACB=72° B C 又因为DE为AC的垂直平分线 所以AE=EC 所以∠ACE=∠A=36° 所以∠BCE=∠ACB－∠ACE=72°－36°=36° 又因为∠BEC=∠A+∠ACE=72°. 所以∠B=∠BCE 所以BC=EC=AE=5 答：∠ECB=36°,BC=5.
做一做
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
分析：
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB 两端距离相等的两点.
做一做
作法
1 ①分别以点A，B 为圆心， 以大于 2 AB 的长
为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；
②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线 段AB的垂直平分线.
1 ②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为 2
半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线 CP为所求作的直线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）. 1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
2. 如图，作出△ABC的BC边上的高.
中考 试题