许宪岳压电超晶格中极化激元的色散关系计算

1 绪论引言长期以来,人们对具有周期结构的物质的研究始终兴趣不减。

晶体中的周期性势场导致在其中运动的电子的能带结构，只有处于通带中的电子才能在晶体中自由运动,处于禁带中的电子则不能传播。

在诸如超晶格的人工材料中，对相关物理参数的周期性调制也同样会引起带结构。

比如对介电常数进行调制则形成光子晶体[]1，它在抑制自发辐射,控制光的传播路径和制备新型激光器等方面有重要应用前景[]1；对非线性光学系数进行调制则可应用于准位相匹配频率转换[]2。

近来由周期性弹性材料组成的声子晶体也引起了人们的关注[]3。

这种调制结构可以拓展到准周期、非周期乃至二维结构.被调制的参数可以更为复杂些，比如对铁电畴或压电系数进行调制。

两个甚至更多的参数被同时调制会引起一些耦合效应。

在晶体中，电子、光子和声子之间会发生耦合。

例如,在离子晶体中晶格振动的横光学声子和光子的耦合产生极化激元并导致红外吸收。

如果超晶格中铁电畴或压电系数受到调制,则会引起超晶格振动和电磁波间的耦合。

可以预计在这样的人工材料中会有类似的诸如激发极化激元等效应的出现.这一想法已经在横超晶格振动与光子的耦合中得到了证实[]4。

国内外研究状况自从我国著名的科学家黄昆教授提出极化激元这一概念以来，对极化激元的研究一直以来就是一个非常热门的领域。

极化激元是凝聚态物质中一类重要的元激发，是电磁波与物质极化波的混合态或耦合模[5]。

1950年黄昆教授综合介质的电磁理论和晶格动力学理论对极性晶体提出了一对唯象方程。

这个方程提供了处理极性晶体光学振动的基础，称为“黄方程”。

1951年黄昆教授从黄方程出发，又推导出晶体中的声子与电磁波的耦合振荡模式。

他所预见的声子与电磁波的耦合振动模式于1963年首先被半导体磷化镓的Raman散射实验所证实，被命名为极化激元。

经过几十年对极化激元探索，目前对极化激元的研究有了进一步的发展。

上世纪70年代末，在冯端教授的带领下，闵乃本教授等巧妙地利用了在晶体生长过程中出现的生长条纹，成功地验证了准位相匹配理论。

这一成功使闵乃本敏锐地意识到这类微结构材料具有潜在的应用价值，于是萌生了发展和建立一套有关该类材料的系统理论并探索其应用前景的设想。

经过几年的研究提出了离子型声子晶体的概念，发展了相应的理论，在实验上证实了离子型声子晶体中存在超晶格振动与电磁波的强烈耦合[6,7]，观察到原先存在于离子晶体中的极化激元等长光波行为[8]，预言了一些可能的物理效应。

后来，自1980 年以来他们将超晶格的概念从半导体推广到电介质，制备了周期和准周期介电超晶格，实现了二次谐波产生、多波长二次谐波产生、三次谐波产生、光学双稳以及超高频超声波产生。

另外他们又通过对介电材料中微结构的设计与控制，研制成介电超晶格材料。

利用其中的线性、非线性效应，实现了对光、声的频率、强度、位相、偏振、传播方向等的转换和控制。

构建了介电超晶格中电磁波、弹性波、极化激元传播与激发的理论体系，发展了介电超晶格材料的设计、制备的理论、方法和工艺，发现了一批新的物理效应，并研制成相关器件原型。

他们主要成就有：将准位相匹配理论拓展到耦合参量过程，建立了多重准位相匹配理论，设计制备了准周期光学超晶格[9,10]，实验证实了多重准位相匹配理论，并获得激光三倍频的高效转换，为在国际上形成“准位相匹配材料”研究热点做出了贡献[11]；与全固态激光技术相结合，研制出全固态超晶格多色和白光激光器。

发展了二维光学超晶格中的四波动力学理论，预言并证实了其中存在光学双χ非线性光子稳，失稳、混沌现象，提出了新的光学双稳机制。

设计制备了二维“()2晶体”，发现了材料中光散射的准位相匹配倍频增强效应。

建立了超晶格中超声波传播与激发的理论，研制出高频超声原型器件；提出了离子型声子晶体概念，预言并验证了介电超晶格中由超晶格振动与电磁波耦合产生的极化激元，将长波光学性质由红外波段拓展至微波波段[12]。

近来，朱永元教授等在压电晶体中发现了一种在离子晶体中不可能存在的新型极化激元[13]：由于压电效应的各向异性，超晶格横振动和纵振动都有可能伴随着超晶格的横向极化，该极化与电磁波耦合，都导致极化激元的产生[14]，从而扩展了极化激元的概念。

尤其是在铁电超晶格中的声波与电磁波的耦合，提出了一种新的极化激元的概念。

其物理思想是由于铁电超晶格中声学声子色散关系的折叠效应，使晶格振动声学支与电磁波通过压电效应发生耦合，形成极化激元[15,16]。

课题研究方向与研究内容本论文首先研究了离子晶体中的长光学横波与电磁波的耦合波，接着主要研究了在压电超晶格中纵向声波通过压电效应与电磁波的耦合，用平面波展开方法推导出极化激元的色散关系方程，探讨了铁电调制结构的结构参数对极化激元色散关系的影响。

全文共分成三章：第一章是对极化激元的研究历程做了一个简单的综述，并对本课题的研究背景、思路和目的做简要的说明。

第二章介绍离子晶体中的长光学横波与电磁波的耦合波,并讨论了格波与电磁波耦合产生新耦合波的情况。

第三章介绍极化激元的相关知识，推导压电方程，具体讨论一种特殊情况下压电超晶格材料中沿X轴方向传播的纵向声波与电磁波的耦合性质，用平面波展开法推导出极化激元的色散关系的方程。

在长波近似下研究压电超晶格中纵向声波通过压电效应与电磁波发生耦合形成的极化激元的性质。

讨论铁电调制结构的结构参数对这种极化激元色散关系的影响。

2 离子晶体中的极化激元离子晶体中长光学横波与电磁波的耦合严格讲，离子晶体长光学波的振动必然伴随交变的电磁场，严格的理论应当以麦克斯韦的电磁方程代替前面采用的静电方程.这样把电磁方程和晶格的唯象方程结合以后,实际上所研究的对象就成为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统,通过求解得到的振动模实际上代表了格波和光波的耦合振动模。

黄昆在1951年首先提出了这个概念，并且对这种耦合模的性质进行了系统分析.后来证明不仅格波有这样的耦合模式,另外如等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为极化激元。

我们同时也写出描写光波的麦克斯韦方程组和晶格的唯象方程如下：()Eb W b P E b W b t WH D P E t H tHE 22121211220000+=+=∂∂=⋅∇=⋅∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇εμ （2-1）设解的形式为()[]()[]()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=-⋅=-⋅=-⋅=t r q i H H t r q i E E t r q i P P t r q i W W ωωωωexp exp exp exp 0000 （2-2） 代入上述六个方程，得()()0220120012011020000000000000E b W b P E b W b W H q P E q P E H q H E q +=+=-=⋅=+⋅+-=⨯=⨯ωεεωωμ （2-3）从后两式可得0222112120E b b b P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=ω (2-4) 代入（2-3）式中的第3式得到()02112122200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅ωεb b b E q (2-5) 这时有两种情况：（1）纵波：00≠⋅E q 有0211212220=--+ωεb b b (2-6) 这就意味着()()2020ωεεω∞=LO 得到LST 关系.(2)横波: 00=⋅E q ,即0E q ⊥而且由(2-3)式知道q ，0E ，0H 三者是互相垂直的，所以有:000H qE ωμ= (2-7)()0211212220000E b b b P E qH o ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=ωεωεω (2-8) 这两个式子联立,求得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=21121222002ωεωωμb b b q (2-9) 把()()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧-∞=∞-==-=022210212112201110εεεεεωb b b b 代入可以得到()()()202202220ωωωεεεω-∞-+∞=q c (2-9)其中利用真空磁导率0μ与真空电容率0ε之积2001c=εμ, 为真空中的光速.解得 ()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞-+±+∞=±εωωεωεεω222022220222040021q c q c q c (2-10)这两支解的图示于图中, 是取+号的一支,-ω是去-号的一支. ()0εωcq=图离子晶体中长光学横波与光子的耦合模讨论格波与电磁波耦合得到新耦合波情况就像已指出的，上节的解是考虑了格波与电磁波的耦合，格波产生晶体的极化，极化与电磁波相互作用，两种波互相耦合出来新的耦合波模式。

在0→q 时，-ω趋于()0εcq这是低频（低于晶格振动频率）电磁波；+ω趋于LO ω，它就是晶体中的纵光学波，是纯的振动模式。

当q 很大时，+ω趋于()∞εcq这是高频电磁波，而-ω趋于TOω是模光学波，也是纯的格波模式。

只有在中间，即()∞=εωcq与()0εωcq =这两根线与LO ωω=和TO ωω=相交的区域附近，耦合很强，出现的是格波和电磁波的混合模式。

LO TO ωωω<<是“禁止区”，在这一区域中将不会有电磁波能在晶体中传播。

3 压电超晶格材料中纵向声波与电磁波的耦合基础知识复式晶格（原胞含n 个原子）中存在两种晶格振动：声学模 和光学模。

声学模：正负离子作同向运动，原胞之间相差一定位相（3支）；光学模：正负离子作相对运动，原胞之间相差一定位相（3n-3支）。

图所示是以一维双原子链为例的声学模和光学模的色散关系图一维双原子链声学模和光学模的色散关系在长波极限下（原胞中有两个原子）长声学波：频率正比于波数，把晶体看做连续介质时的弹性波。

原胞中两种原子的运动完全一致。

长光学波：色散关系曲线很平，描述的是两个格子的相对振动，振动中保持他们的质心不变。

长光学波与电磁波的耦合时，在离子晶体中，不同离子的相对振动（光学模）产生电偶极距，从而可以与电磁波相互作用。

长光学波和电磁波的共振会引起远红外光的强烈吸收。

这里长光学波与电磁波发生耦合的条件为：1 要有足够强的相互作用，对离子晶体中的长光学波而言，是带电的正负离子形成的电偶极距与电磁波的电磁相互作用2 相位要匹配，即波数和频率相等，反映在色散关系曲线上，就是光学模和电磁波的色散曲线要相交。

极化激元的理论描述—黄方程。

每个原胞中只含一对离子，质量分别为+M 和-M ，正负离子的位移分别为+μ和-μ，原胞的体积为Ω，约化质量为-+-++=M M M M M考虑到正负离子的质心不动，长光学波的性质只与两离子间的距离有关，黄昆取描述长光学波运动的宏观量为()-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=μμ21M W可建立下面一组宏观运动方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=∂∂EW P EW tW2212121122γγγγ 方程 (1)：第一项代表弹性恢复力；第二项是宏观电场对离子运动的作用力。