2016-2017学年重庆市第一中学高二理10月月考数学试卷

2016-2017学年重庆市第一中学高二理10月月考数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．双曲线221412x y -=的一个焦点坐标是（ ）A ．()0,8B ．()-C ．(0,D ．()4,0-2．过椭圆()221043x y a b +=>>的一焦点F 作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（ ） A ．34B ．3C ．．33．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，双曲线的渐近线y =，则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -= B ．221139x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -= 4．ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,,34b B C ππ===，则c 的长度是（ ）A ．2C ．5．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为（ ）A ．12-B ．C ．12 D6．若直线()100,0ax by a b -+=>>平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．设实数,x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则x y +取得最小值时的最优解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个8．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左焦点为()2,0F -，过点F 的直线交双曲线于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()3,1--，则E 的方程为（ ）A ．221364x y -= B ．2213y x -= C ．2213x y -= D ．221436x y -= 9．已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P点到直线:0l x y +-=的距离的最小值为（ ） AC．5 D．510．若正实数,x y 满足()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则3x y +的最小值是（ ） A ．12 B ．6 C ．16 D ．811．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点,P Q 为坐标原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A．12 B．2C．1212．对任意实数,,,a b c d，定义符号))ad bc a b c d ad bc ⎧≥⎛⎫⎪= ⎪<⎝⎭，已知函数()41x f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，直线:320l kx y k -+-=，若直线l 与函数()f x 的图像有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．231,,134⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1731,,1244⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1,1-13．已知向量()1,1m = ，向量n 与向量m 夹角为34π，且1m n =- ，则n = __________．14．设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则8a =___________．15．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，则动点P 的轨迹方程为______________．16．椭圆221164x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交该椭圆于,A B 两点，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12y y -的值为__________．17．已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．已知曲线C 的方程是：22240x y x y m +--+=，点()3,1P -．（1）若1m =，直线l 过点P 且与曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若曲线C 表示圆且被直线250x y ++=截得的弦长为m 的值． 19．已知函数()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．（1）若角A 、B 、C 成等差数列，求()f B 的值； （2）若7264B f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且a 、b 、c 成等比数列，ABC ∆面积S =，求ABC ∆的周长．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()1221,2,3n an n n b n a a +=+= ，其前n 项和为n T ，如果对任意的*n N ∈，都有22n T t t +≥成立，求n T 的表达式及实数t 的取值范围．21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点为A 、B ，左右焦点为12,F F ，其长半轴的长等于焦距，点Q 是椭圆上的动点，12QF F ∆（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AB 、BP 分别与椭圆交于异于A 、B 的点M 、N ，判断点B 与以MN 为直径的圆的位置关系．22．在平面直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为()()0,1,0,1B C -，平面内两点P 、Q 同时满足：①0PA PB PC ++= ；②QA QB QC == ；③//PQ BC．（1）求顶点A 的轨迹E 的方程； （2）过点)F作两条互相垂直的直线12,l l ，直线12,l l 与点A 的轨迹E 相交弦分别为1122,A B A B ，设弦1122,A B A B 的中点分别为,M N ． ①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．参考答案1．D 【解析】试题分析：22216,4c a b c =+==，所以交点坐标为()4,0-. 考点：双曲线的概念．【易错点晴】双曲线的标准方程中对,a b 的要求只是0,0a b >>，易误认为与椭圆标准方程中,a b 的要求相同．若0a b >>，则双曲线的离心率(e ∈；若0a b =>，则双曲线的离心率e =若0a b <<，则双曲线的离心率e >注意区分双曲线中的,,a b c 大小关系与椭圆,,a b c 关系，在椭圆中222a b c + ，而在双曲线中222c a b =+.2．B 【解析】试题分析：椭圆的通径长为22632b a ==. 考点：椭圆的通径．3．D 【解析】试题分析：依题意有2223ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1,a b ==2213y x -=. 考点：双曲线的概念与性质． 4．C 【解析】试题分析：由正弦定理得,sin sin b c c B C ==考点：解三角形． 5．A 【解析】试题分析：159553,3a a a a a ππ++===，()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数． 6．B 【解析】试题分析：直线平分圆的周长即直线过圆心()1,2-，所以210,21a b a b --+=+=，由基本不等式得1128a b ab =+≥≤，故选B. 考点：直线与圆的位置关系． 7．B 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()()0,1,1,0A B 处取得最小值.考点：线性规划． 8．C 【解析】试题分析：由于2222,c c a b ==+，排除A ，D 选项.依题意可知直线的斜率存在，所以设直线方程为()2y k x =+，代入双曲线方程化简得()222222222440ba kxa k x a k ab ----=，22122224a k x x b a k +=-，()221212222444a k y y k x x k b a k ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭，AB 的中点坐标为()3,1--，所以221222246a k x x b a k +==--，()2212122224442a k y y k x x k b a k ⎛⎫+=++=+=- ⎪-⎝⎭，得1k =，所以223a b =，结合2222,c c a b ==+求得221,3b a ==，方程为2213x y -=. 考点：直线与圆锥曲线位置关系． 9．A【解析】试题分析：设()2cos ,sin P θθ，由点到直线距离公式有d ==2=. 考点：直线与圆锥曲线位置关系．10．D 【解析】 试题分析：由()()2242log 3log log 2x y x y +=+化简得311332,122x yx y xy xy y x ⎛⎫++==+=⎪⎝⎭，()()113133133101068222x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：基本不等式．11．C 【解析】试题分析：画出图象如下图所示，由图可知，OE 是三角形12F F P 的中位线，根据双曲线的定义有12222,2PF PF ba ab a -=-==，所以e ==考点：双曲线、圆的位置关系，向量运算．【思路点晴】本题主要考查双曲线、圆的位置关系，向量运算等知识.圆的半斤为a ，直线和圆相切，1OE PF ⊥，由()12OE OF OP =+知E 为1PF 中点，所以可以得到OE 是三角形12F F P 的中位线，再结合中位线和双曲线的定义，可求得,a b 的数量关系，进而求得双曲线的离心率. ()12OE OF OP =+的几何意义就是三角形的中线. 12．A 【解析】试题分析：()2,24122x x x f x x x ≤-≥⎛⎫== ⎪-<<⎝⎭，直线()23y k x =-+过定点(2,3)，画出图象如下图所示，其中224y x y =-=为双曲线的上半部分，渐近线为y x =±，由图可知当直线过(2,3),(2,0)A B -时，有三个交点，要有两个交点，斜率要大于34AB k =，又要小于渐近线的斜率，所以斜率3,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.其中2214x y y =+=为椭圆的上半部分，此时直线的斜率介于渐近线的斜率1-和直线与椭圆相切时的斜率AD k 之间.将()23y k x =-+与2214x y +=联立消去y ，令判别式等于零，解得23k =.综上所述，斜率的取值范围是231,,134⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：新定义运算． 【思路点晴】本题主要考查新定义运算，直线与双曲线的位置关系，直线与椭圆的位置关系.先根据新定义的运算，将函数()f x 的表达式求出来.对两段表达式平方后整理，可以发现其中一段是双曲线的一部分，另一段是椭圆的一部分.直线和椭圆有一个交点，转化为联立方程组后判别式等于零.直线和双曲线的渐近线平行式，直线和双曲线只有一个交点. 13．1【解析】试题分析：3cos14m nnm nπ⋅====.考点：向量的数量积．14．116【解析】试题分析：依题意有241312a aqa a+==+，代回2131110a a a a q+=+=解得18a=，所以781116a a q==.考点：等比数列．15．2213xy+=【解析】试题分析：双曲线焦点为())12,F F，c=，设122,22,PF PF a a c a+=>>，由余弦定理得222212121212424cos12PF PF c aF PFPF PF PF PF+--∠==-，由于2122122PF PFPF PF a⎛+⎫≤=⎪⎝⎭，所以2222222122424111,3,13a aa b a cPF PF a---≥-=-==-=，椭圆方程为2213xy+=.考点：轨迹方程．【思路点晴】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆定义与椭圆的标准方程，考查余弦定理与基本不等式求最值.是圆锥曲线与基本不等式知识相结合的一个综合性试题，知识覆盖面很广.在求解过程中，先注意到动点到两个定点的距离之和为常数，所以考虑轨迹是椭圆，然后利用余弦定理和基本不等式建立不等式，由不等式的最小值求出,a b.16．3【解析】试题分析：依题意有4,2,a b c ===1r =.由椭圆的定义知124AB AF BF a ++=，由内切圆半径及三角形面积公式有1482S a r =⋅⋅=，分成两个三角形计算面积为212121128,2c y y y y y y ⋅⋅-=-=-=考点：直线与圆锥曲线位置关系． 【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查两点纵坐标之差的绝对值的几何意义，考查椭圆的定义，考查有关三角形外切圆半径的面积公式.第一步先根据题意画出图像，由于题目给定内切圆面积为π，由此可知内切圆的半径为1，再根据三角形面积公式可计算出面积为8，将三角形分成两个部分，同时以2c 为底，高恰好就是12y y -.17．（1）32a =；（2）3. 【解析】试题分析：（1）两直线垂直，()320a a +-=，解得32a =；（2）两直线平行，由斜率相等计算出3a = 试题解析：（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； （2）当12//l l 时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =，12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=，距离为3d ==． 考点：两条直线的位置关系．18．（1）51230x y +-=或3x =；（2）20m =-. 【解析】试题分析：（1）1m =时，配方得()()22124x y -+-=，这是圆的方程.当直线斜率不存在是，方程为3x =与圆恰好只有一个交点.当直线斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，可求出斜率为512k =-，从而求得直线方程为51230x y +-=；（2）配方得()()22125x y m -+-=-，圆心的到直线的距离d ==长公式得20m ==-. 试题解析：（1）当1m =时，曲线的方程可化为：()()22124x y -+-=，表示圆，又直线l 过点P 且与曲线C 只有一个公共点，故直线l 与圆相切．① 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()31y k x =--，即310kx y k ---=，5212k =⇒=-，直线的方程为：51230x y +-=； ② 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：3x =， 综上得所求直线的方程为51230x y +-=或3x =．（2）配方得()()22125x y m -+-=-，方程表示圆知50m ->得5m <． 圆心的到直线的距离d ==，根据圆的弦长公式得20m ===-．考点：直线与圆的位置关系． 19．（1）0；（2）3+【解析】试题分析：（1）角A 、B 、C 成等差数列，3B π=，所以()cos 10f B π=+=；（2）由7264B f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得3cos 4B =，sin B =根据面积公式1sin 2S ac B =求得2ac =，而2,b ac b ==3a c +=，所以周长为3+ 试题解析：（1）由题知：()2cos 103B AC B B f B πππ=+=-⇒=⇒=+=．（2）733cos 21cos 1cos cos sin 262634444B B f B B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-++=+=⇒=⇒=⇒=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故1sin 22S ac B ac ===⇒=，由,,a b c 成等比数列知2b ac b =⇒=又由余弦定理得()()22222263cos 32244a c ac ac a c a cb B ac ac ac +--+-+-====⇒+=⇒周长为3+考点：数列，解三角形．20．（1）n a n =；（2）13t -≤≤. 【解析】试题分析：（1）利用1n nn a S S-=-求得n a n =；（2）化简()21122211n n n b n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭.利用分组求和法和裂项求和法可求得1221n n T n +=-+，n T 是增函数，()1min 3n T T ==，故23213t t t +≥⇒-≤≤. 试题解析： （1）∵()12n n n S +=，∴()()()111222n n n n n n na S S n n -+-=-=-=≥， 又111a S ==，故()1n a n n =≥ ②∵()1n a n n =≥，∴()221nn b n n =++，又()211211n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，故()12121111122121222311n n n T n n n +-⎛⎫=+-+-++-=- ⎪-++⎝⎭ ，则n T 是增函数， ()1min 3n T T ==，故23213t t t +≥⇒-≤≤考点：数列与数列求和．21．（1）22143x y +=；（2）圆内. 【解析】试题分析：（1）依题意有22212,22a c cb a bc =⋅⋅=+，解得2,1a b c ===，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()()2,0,2,0A B -，设()00,M x y ，则2200143x y +=，且022x -<<，化简得()2200344y x =-，由P 、A 、M 三点共线得0064,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，计算()05202BM BP x ⋅=-> ，所以MNB ∠为钝角，所以点B 在以MN 为直径的圆内．试题解析：（1）22143x y += （2）解：由（1）知()()2,0,2,0A B -，设()00,M x y ，则2200143x y +=，且022x -<<， 即()2200344y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．① 由P 、A 、M 三点共线得0064,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 故()22200000062244322y BM BP x x y x x =-+=-+++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将①代入②化简得()0522BM BP x =-，因022x -<<故0BM BP > ，故MBP ∠为锐角，所以MNB ∠为钝角，所以点B 在以MN 为直径的圆内．考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，直线与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法. 长半轴的长等于焦距转化为2a c =，当Q 为椭圆上顶点时，三角形的面积最大即122c b ⋅⋅=再结合椭圆的恒等式222a b c + 联立方程组可求得,,a b c 的值.第二问要判断点与圆的位置关系，转化为点和直径两个端点所成向量的数量积来判断.22．（1）()22103x y x +=≠；（2）①32；②4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）根据2PA PB PO += 得2PC PO =-，所以P 为ABC ∆的重心，由②知Q是ABC ∆的外心，设(),A x y 求得,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，,03x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，根据Q C Q A = 化简得()22103x y x +=≠；（2）①由已知得)F ，由此可设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系、弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得最小值为32；②根据中点坐标公式得22,33M m m ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，同理可求得N ⎝⎭，利用直线方程两点式求得直线方程，并令0y =求得x =以直线过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 试题解析：（1）∵2PA PB PO += ，由①知2PC PO =-，∴P 为ABC ∆的重心，设(),A x y ，则,33x y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心，∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QC QA = ，=()22103x y x +=≠．（2）解：)F恰为2213x y +=的右焦点，①当直线12,l l 的斜率存且不为0时，设直线1l 的方程为my x =由()2222310330my x m y x y ⎧=-⎪⇒++-=⎨+-=⎪⎩，设()()111122,,,A x y B x y 则1212221,33y y y y m m --+==++，①根据焦半径公式得)1112A B x x=+，又()21212122233 x x my my m y ym m-+=++=++=+=++，所以1123A Bm==+，同理)2222221111313mmA Bmm⎫+⎪+⎝⎭==++，则()()()()()22222222113662331412m mSm m m++=≥=++⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，当22331m m+=+，即1m=±时取等号．②根据中点坐标公式得22,33Mm m⎛⎫⎪⎪++⎝⎭，同理可求得222,3131Nm m⎛⎫⎪⎪++⎝⎭，则直线MN的斜率为()22222431313MNmkmm m-==-++，∴直线MN的方程为()2431my xm⎛=-⎝⎭，整理化简得()()4323463490ym x m ym x m y+++-=，令y=，解得4x=MN恒过定点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，②当直线12,l l有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN即为x轴，过点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，综上，S的最小值的32，直线MN恒过定点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭．考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．。