变量置换法

令 t = ϕ −1 ( x ) = F [ϕ −1 ( x )] + C
1. 三角代换
例1
∫
a − x ⋅ dx
2
2
(a > 0) 令 x = a sin t ( −
2
π
2
<t<
π
2
)
1 + cos 2t = ∫ a cos t ⋅ a cos t ⋅ d t = a ∫ ⋅dt 2
sin t = a
∫x
5
= ∫ sin 5 t cos 2 tdt = LL
二. 第二类换元法
∫ f ( x ) ⋅ dx
f [ϕ ( t )] ⋅ ϕ ′( t ) ⋅ d t ∫ 令 x = ϕ (t )
定理 （第二类换元法） 若 x = ϕ ( t ) 单调、可导， ϕ ′( t ) ≠ 0， 且 F ′( t ) = f [ϕ ( t )] ⋅ ϕ ′( t )，
9x + 6x − 8 tan t = 3
2. 倒代换
例5 =
∫
dx x(1 + x 7 ) 1
⋅ (−
1 (令 x = ) t
1 )⋅d t 2 t
∫ 1 (1 + 1 )
t t7
t6 1 1 7 =− ⋅ t d = − ⋅ d t 7 1+ t7 1+ t7
∫
∫
1 = − ln | 1 + t 7 | + C 7 1 = − [ln | 1 + x 7 | − ln | x 7 |] + C 7
− 4 4 − x 2 ] d( 4 − x 2 )
1 = 5
( 4− x )
2
5
4 − 3
( 4− x )
2
3
+ C.
例4
∫
9x2 + 6x − 8 ⋅ dx 3x + 1
1 ( 3 x + 1) 2 − 9 = ∫ ⋅ d(3 x + 1) 3 3x + 1
令 3 x + 1 = 3 sec t
令 x = 2 sin t
dx = 2 cos tdt =
3 ( ) 2 sin t ∫
π π t ∈− , 2 2
∫
x 3 4 − x 2 dx
4 − 4 sin 2 t ⋅ 2 cos tdt
= 32 sin 3 t cos 2 tdt = 32 sin t (1 − cos 2 t ) cos 2 tdt = −32 (cos 2 t − cos 4 t )d cos t 1 1 3 = −32( cos t − cos 5 t ) + C 3 5 4 =− 3 2
∫ f [ϕ ( x )]⋅ ϕ '( x ) ⋅ dx
问题
令 u = ϕ ( x)
∫ f ( u ) ⋅ du
∫x
5
1 − x dx = ?
2
解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sin t ⇒ dx = cos tdt ,
5 2 (sin t ) 1 − sin t cos tdt 1 − x dx = ∫ 2
= − t −1 + C = −
当x < 0时，t < 0, 类似也有
∫x
dx
2
1 − x2 =− +C 2 x 1− x
例7 =
∫x ∫
3
2 + 3 x dx
1 3 x = ( u − 2), dx = u 2du) (令 u = 2 + 3 x ， 3
3
1 3 ( u − 2 ) ⋅ u ⋅ u 2 du 3
1 x2 ± a2
2 2
1
dx = ln | x + x 2 ± a 2 | + C .
x a2 x 2 2 a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a
x
a +x sec t = a
2
2
a2 + x2 x = ln + + C1 a a
= ln | x + a 2 + x 2 | + C
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2)
( 3)
a −x
2
2
可令 x = a sin t ; 可令 x = a tan t ; 可令 x = a sec t .
x a x
1 a ( t + sin 2t ) + C = 2 2
2
t 2 2 a −x
2
x x a2 − x2 a2 (arcsin + ⋅ = ) +C a a 2 a
a2 x x = arcsin + ⋅ a 2 − x 2 + C 2 a 2
a −x cos t = a
2
例2
∫
dx a +x
2 2
( a > 0) ⋅ dt
令 x = a tan t ( −
π
2
<t<
x a
2
π
2
)
=∫
a sec 2 t a 2 + a 2 tan 2 t
2
tan t =
2
a sec t =∫ ⋅ dt = ∫ sec t ⋅ dt a sec t
= ln | sec t + tan t | + C1
a +x t a
则 证明
∫
f ( x ) ⋅ dx =
∫
f [ϕ ( t )] ⋅ ϕ ′( t ) ⋅ d t = F [ϕ −1 ( x )] + C
∫ f ( x ) ⋅ dx
令 x = ϕ (t )
∫ f [ϕ (t )]⋅ dϕ (t ) = ∫ f [ϕ (t )]⋅ ϕ ′(t ) ⋅ d t
= F (t ) + C
x
∫
∫
∫
t
5
( 4− x )
2
3
1 + 5
( 4− x )
2
+ C.
4 − x2
另解
∫
∫
x 3 4 − x 2 dx
1 =− x 2 4 − x 2 d( − x 2 ) 2 1 = ( 4 − x 2 − 4 ) 4 − x 2 d( 4 − x 2 ) 2
∫
1 = [(4 − 2
∫
3 x 2 )2
∫
∫
1 1 t −1 1 = −2 1 + 2 +C − dt = − 2 + dt = −2t − ln t − 1 t + 1 t +1 t − 1
∫
∫
1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
2
Hale Waihona Puke 例 10∫= 2t − 2 arctan t + C
= 2 e x − 1 − 2 arctan e x − 1 + C
例 9
∫
1 1+ x dx x x 2 t dt 1 1+ x 2 d x , = − , ⇒ =t , x= 2 2 2 ( t − 1) x t −1
解
1+ x 令 =t x
∫
2 2 t 1 1+ x t dt 2 ( t 1 ) t d t = − − dx = −2 2 2 2 x x ( t − 1) t −1
例6
=
∫x
t
dx
2
1 − x2
1 ⋅ ( − 2 ) ⋅ dt 2 t 1 − (1) t
= −∫
2
1 令x= t =−
∫ (1) 2
dx
2
1
∫
|t| t −1
2
⋅dt
当x > 0时，t > 0, 从而
∫x
t t2 −1
1 − x2
⋅ dt = −
1 1 2 d(t - 1) ⋅ ∫ 2 2 t −1 x2 − 1 +C x
∫ ∫
1 dx ( x + 1)( x − 3)
1 x−3 = dx ( x − 3) x + 1
(令 t =
x−3 8t 4 , x= − 1 , d x = dt ) 2 2 2 x +1 1− t (1 − t )
1− t2 8t = ⋅t⋅ dt 2 2 2 4t (1 − t )
∫ ∫
2 1 1 = dt = ( + )dt = − ln | 1 − t | + ln | 1 + t | + C 2 1− t 1+ t 1− t
a2 + x2
x −a
2 2
说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换？ 并不是绝对的，需根据被积函 数的情况来定. 例 求 解
∫
x dx 2 1+ x
2 2
5
（三角代换很繁琐）
x ( ) t − 1 4 2 dx tdt = ( = t − 2 t + 1)dt ∫ 1 + x2 ∫ t ∫ 1 1 5 2 3 = t − t + t + C = (8 − 4 x 2 + 3 x 4 ) 1 + x 2 + C . 15 5 3
∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | + C ;