专题11 直线与圆(教师版)
直线和圆的位置关系优秀教案
直线和圆的位置关系【课时安排】4课时【第一课时】【教学目标】一、教学知识点。
理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
二、能力训练要求。
1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力。
2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。
三、情感与价值观要求。
1．通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】1．经历探索直线与圆位置关系的过程。
2．理解直线与圆的三种位置关系。
【教学难点】经历探索：直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系。
【教学方法】教师指导学生探索法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径。
因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。
也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内。
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系。
二、新课讲解。
（一）复习点到直线的距离的定义。
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离。
如图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离。
（二）探索直线与圆的三种位置关系。
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的。
如大家请观察课本中的三副照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系。
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
直线与圆的复习课件
这个ppt课件将帮助大家复习直线与圆的基本概念、位置关系、方程、解析几 何、应用等知识点。通过生动的图片和精心设计的布局，让你轻松理解和掌 握这些内容。
直线与圆的基本概念
1 直线的定义及表示方法
2 圆的定义及表示方法
直线是由一系列无限延伸的相连点组成， 可以用两点表示或用方程表示。
自测与总结
1 选择题测试
2 总结归纳主要知识点
通过选择题测试来检验对直线与圆的理解 程度。
对直线与圆的复习进行总结，概括掌握的 重要知识点。
2
圆心与半径的推导
通过方程的系数可以求得圆心的坐标(a, b)和半径的长度r。
直线与圆的解析几何
直线与圆的交点坐标的 求解
通过联立直线和圆的方程， 解方程组可以求得交点的坐 标。
直线与圆的切点坐标的 求解
切线是与圆相切的直线，在 求解交点的同时要满足切线 的条件。
判定直线是否与圆相切、 相离或相交
通过计算直线与圆的距离或 计算圆心到直线的距离，可 以判断它们之间的位置关系。
直线与圆的应用
1
利用相似、对称等方法解决几
2
何问题
在解决几何问题时，可以运用相似三 角形、对称性等方法结合直线与圆的
知识进行推导和分析。
圆的切线及其性质
圆的切线是与圆相切且仅与圆有一交 点的直线，切线的性质有切点在切线 上、切线垂直于半径等。
圆是由距离圆心相等的点组成，可以用圆 心坐标和半径长度表示。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的情况
直线可以与圆相交于两个交点、一个交点的点距离圆心更近，圆外的点距离圆心更远，圆上的点与圆心的距离等于圆的半径。
求解圆的方程
1
专题11圆与圆的对称性(4个知识点7种题1个易错点)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）知识点2.点与圆的位置关系（难点）知识点3.圆的对称性（重点）知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查题型2.点与圆的位置关系判断题型3.分类讨论思想的应用题型4.点与圆的位置关系的实际应用题型5.圆与三角形题型6.优弧、劣弧的判断题型7.辅助线的添加方法【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。
2.掌握点与圆的三种位置关系。
3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。
4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．AB BD CD共3条，【详解】解：图中有弦,,3.弧为端点的弧记作，读作“圆弧5.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.6.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例3】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．知识点2.点与圆的位置关系（难点）（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A 【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知O的位置关系是（）与OA．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定【答案】B【详解】解：∵4r=，d=，4=，∴d r∴点A在圆上，知识点3.圆的对称性（重点）（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)
专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。
直线和圆课件
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
《直线和圆综合》课件
直线和圆的相切关系
直线和圆相切时，圆心 到直线的距离等于圆的 半径
直线和圆相切时，圆心 到直线的距离等于圆的 直径
直线和圆相切时，直线 和圆相交于一点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于两点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于三点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于四点
直线和圆的交点求解
直线和圆的交点：直线和圆相交时，它们有两个交点。
直线和圆的对称性：直线和圆的 对称性及应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
直线和圆的面积计算：直线和圆 的面积计算公式及应用
直线和圆的综合应用：直线和圆 的综合应用题及解析
综合题型的解题注意事项
明确题目要 求：理解题 目中给出的 条件和要求， 明确需要解 决的问题。
画图分析： 根据题目中 的条件，画 出相应的图 形，便于理 解和分析。
直线和圆在几何图形中的应用广泛，例如 在平面几何、立体几何、解析几何等领域 都有广泛的应用。
直线和圆在几何图形中的应用包括：直 线和圆的相交、相切、相离等关系，以 及直线和圆的面积、周长、直径等性质。
直线和圆在几何图形中的应用还包括： 直线和圆的对称性、旋转性、反射性等 性质，以及直线和圆的组合图形，如三 角形、四边形、多边形等。
运用公式： 根据题目中 的条件和要 求，运用相 关的公式进 行计算。
注意细节： 在解题过程 中，要注意 细节问题， 如单位的换 算、数据的 准确性等。
检查答案： 在解题完成 后，要对答 案进行验证 和检查，确 保答案的正 确性。
05
直线和圆的实际应用案例
生活中的直线和圆
建筑：直线和圆在建筑设计中的应用，如桥梁、房屋等 交通：直线和圆在交通设施中的应用，如道路、交通标志等 机械：直线和圆在机械设计中的应用，如齿轮、轴承等 艺术：直线和圆在艺术设计中的应用，如绘画、雕塑等
专题11 直线与圆(解析版)
专题11 直线与圆【要点提炼】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.考点考向一 直线的方程【典例1】 (1)(2020·西安检测)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________.解析 (1)由题意知m (1＋m )－2×1＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合，舍去；当m ＝1时，满足两直线平行，所以m ＝1.(2)由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)， 直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0)，注意到直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，点M 又是两条直线的交点，则有MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25.故|MA |·|MB |≤252(当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”). 答案 (1)A (2)252探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【拓展练习1】 (1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1，设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x －5)＝18(x －5)，当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故选BD.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1与l 2间的距离最大.由A(1，1)，B(0，－1)得k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案(1)BD(2)x＋2y－3＝0考向二圆的方程【典例2】(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x －y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.解析(1)以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)B (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x －4)2＋y 2＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________.解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.故选A. (2)∵P (3，4)为C 上一点，9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度1 圆的切线问题【典例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1D.y ＝12x ＋12(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，所以四边形P ACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 答案 (1)D (2)AB探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【拓展练习3】 (1)(2020·浙江卷)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝__________.(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)33 －233 (2)B 角度2 圆的弦长的相关计算【典例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【拓展练习4】 (1)(2020·天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点.若|AB |＝6，则r 的值为__________.(2)(2020·菏泽联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A (2，2)，若|AP |2＋|AQ |2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝|8|12＋（－3）2＝4，因此r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25，又r ＞0，所以r ＝5.(2)设点M 为PQ 的中点，则|PM |＝|MQ |，在△APQ 中，由余弦定理易得|AP |2＋|AQ |2＝|AM |2＋|PM |2＋|MQ |2＋|AM |2＝2(|AM |2＋|MQ |2) 又|MQ |2＝|OQ |2－|OM |2＝4－|OM |2，|AP |2＋|AQ |2＝40. ∴40＝2|AM |2＋8－2|OM |2，则|AM |2－|OM |2＝16， 设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－(x 2＋y 2)＝16. 化简得x ＋y ＋2＝0.当OM ⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM |min ＝22＝ 2. 此时，|PQ |＝2|OQ |2－|OM |2＝2 2. 故弦PQ 的长度的最大值为2 2.【专题拓展练习】一、单选题1．一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【详解】 如图所示，由题意可设入射光线PQ 的方程为()11y k x +=-， 令0x =，则1y k =--，可得()0,1Q k --. 则反射光线QA 的方程为1y kx k =---.22111k k k ---<+，解得304k -<<.∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C .2．方程(6)30x y x y +++-表示的曲线是（ ） A ．两条平行线 B ．一个直线和一条射线 C ．两条射线 D ．一条直线【答案】D 【详解】因为 (6)30x y x y +++-，所以6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩或30x y +-=，此时6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩无解，所以曲线表示一条直线：30x y +-=，故选：D.3．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．46B ．26C ．6D ．365【答案】A 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.4．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距2212(12)(22)5C C =--+--=1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C.5．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2 D1【答案】C 【详解】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==则线段PQ2 故选：C6．已知直线:10l x by ++=与圆()()22:28C x b y +++=相交于A 、B 两点，且ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．17C ．1-D ．1或17-【答案】D 【详解】因为A 、B 两点在圆()()22:28C x b y +++=上，所以AC BC r === 又ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则6B C π==，BC边上的高6h π==，即圆心(),2C b --到直线:10l x by ++=上距离d h ===27610b b --=，解得1b =或17b =-.故选：D.7．与圆()2215x y +-=相切于点()2,2的直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为1k ，切线斜率为2k ，由()2215x y +-=可知圆心为()0,1点，切点为()2,2点，则1211202k -==-，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以121k k ，则22k =-.所以切线斜率为-2. 故选：A8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+= 上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【答案】A 【详解】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈.根据直线的方程可知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(0,2)A B --，所以AB =,所以ABP △的面积1112S AB d ==， 所以[2,6]S ∈, 故选：A.9．过点()4,1A --作圆()22(214):C y x -+-=的一条切线AB ，切点为B ，则三角形ABC的面积为（ ）A ．B ．C ．12D ．6【答案】D 【详解】因为圆心C 坐标为()2,1，所以AC ==所以224046AC r AB =-=-=，因此1162622ABCSAB CB =⋅=⨯⨯=． 故选：D ．10．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若AB 的最小值为221-，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】圆心()2,0到直线y x t =+的距离为222t +=， 可得AB 的最小值为12212-=-，解得2t =. 故选：B.11．已知22:1O x y +=，直线:20+-=l x y ，P 为l 上的动点，过点Р作O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则OP AB ⋅最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】C 【详解】 如图所示：圆心为()0,0O ，半径1r =，因为OA OB =，PA PB =，所以AB OP ⊥. 所以12PAOB S OP AB =⋅， 又1222PAOBPOA S S OA PA PA ∆==⨯⨯⨯=所以2OP AB PA ⋅=．要使OP AB ⋅取到最小值即PA 取到最小值．由勾股定理得PA =即要使OP AB ⋅取到最小值即OP 取到最小值.当直线OP 与直线20x y +-=垂直时，OP 取到最小值.所以min OP ==min1PA ==.所以OP AB ⋅最小值为2． 故选：C ．12．已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点.且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若||3CD =，则AOB ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B 【详解】因为直线的方程:30l mx y m ++=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0，所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π． 故选：B ． 二、解答题13．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【详解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x-1)，即 2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x-y =0. 所以圆心C 到直线l 的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB 的长AB ==． 14．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.15．已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以=整理得2280x y x +-=,所以曲线C 的方程为2280x y x +-=.(2)设所求方程为()2222480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12λ=, 所以所求圆的方程为2288033x y x +--=.。
【精品教案】北师大版 九年级下册数学 直线与圆的位置关系 -教师版(基础)
直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3.（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF＝225-3＝4．∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O 交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．O C B A举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 等于( )A ．2B ．3C ．22D ．23【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，22222222AC AB BC =+=+=，故选C ．类型三、三角形的内切圆5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠ ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数.【答案与解析】OC BA解：∵O是△ABC的内心，∠A=50°，∴∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A︒-︒-︒︒∠，∴∠BOC=180°-65°=115°.【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65°，则∠APB等于( )A．65°B．50°C．45° D．40°2．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC=α，则( )A．∠A=α B．∠A=90°－α C．∠ABD=α D．∠α2190o-=ABD第1题图第2题图3．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )A.d=3B. d＜3C. d≤3D.d＞34.（2015•内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠AD P的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°5．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（）A.30°B.45°C.60°D.67.5°6．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D.若AC=5，BC=3，则⊙O的半径为_______.8．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点.若∠P=30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______________.9．（2014秋•白云区期末）在△ABO 中，OA=OB=2cm ，⊙O 的半径为1cm ，当∠ABO= 时，直线AB 与⊙O 相切．10.如图所示，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA ＝40°，则∠ADC ＝________．11．如图所示，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________．12．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O e ，并使较长边与O e 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .三、解答题OCBA13. 如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，求⊙O的面积.14． AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D点，过D作⊙O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE.15.（2014秋•东台市月考）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连结OA、OB，则∠AOB=130°，∠PAO=∠PBO=90°，所以∠P=50°.2.【答案】A；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∠A+∠ABD=90°，又∵直线EC切⊙O于B点，∴α+∠ABD=90°，∴∠A=α，故选A.3.【答案】C；【解析】直线l可能和圆相交或相切.4.【答案】C；【解析】解：连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，故选：C．5.【答案】D；【解析】如图：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°，∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．故选D．6.【答案】C；【解析】如图，连接OC，∵OC=OA，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．故选C．二、填空题7．【答案】2.8．【答案】1.【解析】如图，连接OC，∵PC是⊙O D的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP=90°又∠P=30°，⊙O的半径为1，∴OP=2CO=2，∴PB=2-1=1.9．【答案】120°．【解析】如图，连接OC，∵⊙O与直线AB相切于点C；∴OC⊥AB；而OA=2，OC=1，∴∠A=30°；而OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°﹣60°=120°，故答案为120°．10．【答案】25°.【解析】∵OA⊥AB，∠OBA＝40°，∴∠BOA＝50°，∴∠ADC＝12∠BOA＝25°.11．【答案】332.【解析】如图，连DE 、OD 、CO ，由已知条件，可知CE ＝CD ＝12AC ＝3，DE ∥AB ． ∴ DE ＝2CD ＝32．又OD ∥CG ，∴ ∠ODG ＝∠G ，又OD ＝OF ．∴ ∠ODF ＝∠OFD ＝∠EDG ．∴ ∠EDG ＝∠G ，∴ DE ＝GE ，∴ CG ＝CE+GE ＝3+32.12.【答案】当时8a 0≤<，a r =；时当8a >，4a 161r 2+=；或时8r 0≤<，a r =；时当8r >，4a 161r 2+=；【解析】（1）当时8r 0≤<，a r =；（2）时当8r >，如图：连接OC ，∵BC 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥BC，连接OA ，过点A 作AD⊥OC 于点D ，则ABCD 是矩形，即AD=BC ，CD=AB ．在直角三角形AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，即：r 2=（r ﹣8）2+a 2，整理得：r=a 2+4．三、解答题13.【答案与解析】解：设⊙O 与BC 的切点为D ，连接OB,OD.DA B C O ∵⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，∴O 是△ABC 的角平分线、中线、高的共同交点，∴∠OBD=30°，∠ODB=90°，BD=DC=112122BC =⨯= , 设OD=r,则OB=2r,由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，∴（2r ）2=r 2+12∴r=33 .∴S ⊙O =2231()33r πππ== .14.【答案与解析】证法1:连结DB.∵AB 是直径,∴∠ADB=90°.∴∠BDC=90°.∵BC 、DE 是切线，∴BE=ED.∴∠EBD=∠EDB.∵∠EBD+∠C=90°，且∠EDB+∠EDC=90°， ∴∠EBD+∠C=∠EDB+∠EDC.∴∠C =∠EDC.∴ED=EC.∴BE=EC.证法2：连结OD 、OE.∵DE 切⊙O 于D ，∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°.同理∠B=90°.∵OB=OD，且OE=OE，∴△ODE≌△OBE.∴∠BOE=∠EOD.∴∠BOE=∠A.∴OE∥AC.∵O是AB中点，∴E是BC中点.∴BE=EC.15.【答案与解析】证明：∵PC=BC，∴∠CPB=∠CBP，而∠APO=∠CPB，∴∠CBP=∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，而OA=OB，∴∠A=∠ABO，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．。
数学必修ⅱ北师大版 直线与圆 课件(与“直线”有关文档共15张)
第1页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
点在圆外
点在圆上
点在圆内
圆心到点的距离d 与半径r的关系
2
第2页，共15页。
添图：
点与圆的位 置关系
图形
一轮红日从海平面上冉冉升起。 知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
A
点在圆外 会根据定义来判断直线和圆的位置关系， 会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
AB
5
即圆心C到AB的距离d 2.4cm
11
第11页，共15页。
⑴当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离； ⑵当r=2.4cm时，有d=r，因此⊙C和AB相切； ⑶ 当r=3cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交。
B
B
B
D
┓ C
A
D
┓ A
C
D
┓ A
C
第12页，共15页。
12
课堂练习：
1、90页1、2题； 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5 若以C为圆心，r为
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
相切
相离
14
第14页，共15页。
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
2 交点
d<r
割线
相切
1 切点
d=r
切线
相离
0
d>r
作业：101页2、3题
直线和圆课件
一般式方程表示法
圆可以使用一般式方程来表示， 例如x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
直线和圆的交点
1 直线和圆的交点数量
2 直线和圆的交点位置
直线和圆可以有0、1或2个交点，具体取决于 直线与圆的相对可能在圆上、圆内或圆外。
例题解析
直线和圆的例题解析
通过解析一些实际问题的例题，帮助你更好地理解直线和圆的相关概念和性质。
直线和圆ppt课件
一份精美的ppt课件，旨在帮助你了解直线和圆的基本概念和性质，以及它们 在平面直角坐标系中的表示方法和交点等重要知识。
什么是直线？
1 直线的定义
直线是由无限多个点组成的，它有相同的方向和长度。
2 直线的符号
用一条横线和两个箭头表示直线，例如AB。
3 直线的性质
直线上的任意两点可以直接相连，直线没有弯曲或拐角。
直线的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
直线可以使用斜率和截距的形 式来表示，例如y = mx + b。
参数方程式表示法
直线可以使用参数方程来表示， 例如x = a + t, y = b + mt。
一般式方程表示法
直线可以使用一般式方程来表 示，例如Ax + By + C = 0。
什么是圆？
1 圆的定义
圆是由一条曲线组成的，它的每个点到圆心的距离相等。
2 圆的性质
圆上的任意两点与圆心的距离相等，圆没有角度和边界。
圆的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
圆可以使用圆心和半径的形式 来表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
专题11 圆的最值问题(隐圆模型)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径A．1B．作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于=，根据对称性有：PD PF+=+，则有：PE PD PE PF+的长度最小值，则线段EF的长即为PE PD【答案】634-【分析】取AD 的中点O ，连接OF BC ⊥于F ，交CD 于G 取AD 的中点O ，连接OM ，过点于F ，交CD 于G ，则OM ME + AB CD ，60DAB ∠= ，AD ∴120ADC ∠=︒，AD CD =，【答案】3∴BD＝2，∴11 2BD=．D运动的一个动点，联结EF，将AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）A．23πB C．3πD．1【答案】A【详解】解：∵点E 为AB 中点，点F 为AD 边上从A 到D 运动的一个动点，联结EF ，将AEF 沿EF 折叠，∴AE EB EG ==，∴G 点在以E 为圆心，AE 长为半径的圆上运动．当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 AG ．∵AB ＝2，点E 为AB 中点，∴112AE AB ==，∵矩形ABCD ，∴90EAD ∠=︒，∵1AE =，AD =90EAD ∠=︒，∴tan AD AED AE∠==60AED ∠=︒．∵将AEF 沿EF 折叠，∴60DEG AED ∠=∠=︒，∴120AEG ∠=︒，∵1AE =，∴120223603AG AE ππ=⨯⨯=．故选：A ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AC =，12BC =，D 是以点A 为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD ，M 是BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】作AB 的中点E ，连接EM 、CE 、AD ，则有AD =3，∵∠ACB =90°，即在Rt ABC 中，13AB ==，∵E 是Rt ABC 斜边AB 上的中点，∴11322CE AB ==，∵M 是BD 的中点，E 是AB 的中点，∴1322ME AD ==，∴在CEM 中，1331332222CM -+＜＜，即58CM ＜＜；当C 、M 、E 三点共线时有133822CM +==或者133522CM -==；即58CM ≤≤，∴CM 最小值为5，故选：C ．【答案】21022-【分析】由题意可知，AGB ∠圆周角45APB ∠=︒的圆上，（要使。
北师大版九年级下册直线和圆的位置关系课件
2. 如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线分别 交 BD，CD 及 BC 的延长线于点 E，F，G， ⊙O 是 △CGF 的外接圆. 求证：CE 是 ⊙O 的切线.
AE D F
O
B
C
G
3. 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，射线 AO 交 ⊙O 于点 D，E，连接 CD，CE. 找出图中的一 对类似三角形，并说明理由. 若 AC=4 cm，⊙O 的半径为 3 cm，能否求出图中其他线段的长度？
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识， 下面老师请同学们欣赏美丽的图片.
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基 本的几何图形呢？
请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个 情景. 在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可 以分为哪几类？ 你分类的根据是什么？
2. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的 距离为 d，根据下列条件填写 d 的取值范围： （1）若 AB 和 ⊙O 相离，则 d > 5 cm ； （2）若 AB 和 ⊙O 相切，则 d = 5 cm ； （3）若 AB 和 ⊙O 相交，则 0 cm≤d < 5 cm .
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
感悟新知
d = r 相切
特征①：直线 l 经过半径 OA 的外端点 A. 特征②：直线 l 垂直于半径 OA.
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂 直这条半径的直线是圆的切线. 如图，半径 OA⊥直 线 l，直线 l 为 ⊙O 的切线．
总结归纳
圆的切线的判定方法： （1）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线． （2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线． （3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径 的直线是圆的切线．
直线和圆课堂作业公开课教案教学设计课件资料
直线和圆知识要点1.点与圆的位置关系⑴点与圆的位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外；⑵判断方法：设点到圆心的距离为d,当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r"时，点在圆外.2.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离⑴判断直线与圆的位置关系这类问题通常有两种方法①A法：联立直线方程与圆的方程，消元，得到关于x(或y)的一元二次方程，当一元二次方程根的判别式AO时相交;ΔO时相切;AO时相离.②d,r法：先求出圆心坐标(a,b)和半径r,再求出圆心到直线的距离d,当dr时相交；当dr时相切；当dr时相离.(2)直线与圆的相交问题①求交点坐标即解方程组；⑦弦长问题：弦长、直线方程、圆方程知其二求第三个量，公式：弦长=(关键找出圆心、半径r,求出圆心到直线的距离d).⑶直线与圆相切的切线问题①求切线长：找出圆心C和圆外一点P,求出半径r,切线长= _____________ ：②求切线方程a.经过圆x2+y2=r2上一点P(xO,yθ)的切线方程：；b.经过圆C外一点P(xO,yθ)的切线方程求法：先由已知条件设出切线方程，再采用d=r法求解.直线和圆练习一、单项选择题1.过圆x2+y2=9上一点M(0,—3)的切线方程是()A.X—3y—9=0B. x÷3y-9=0C.y-3=0D. y÷3=02.过圆×2÷y2=9内的点M(1,2)的最短弦所在的直线方程是()A.2×-y÷4=0B. ×÷2y-5=0C.×÷2y-3=0D. 2×-y=03.已知直线x=a与圆x2+y2-2x—3=0相切，则a等于( )A.-1B.3C.-1或3D.-3或54.直线3×-4y-4=0被圆(xT)2+y2=9截得的弦长为()A.B.4 C. D.25.若点P(a,b)在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by=1与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定二、填空题6.与直线X+2y-3=O平行且与圆x2+y2=5相切的直线方程是7.若直线y=2x÷b与圆×2+y2=3总有两个交点，则b的取值范围是.8.若过圆(χ-2)2+y2=9外一点M(-2,3)引圆的切线，则切线长为.9.圆×2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的最大值为.三、解答题10.已知圆C的方程为(χ-2)2+(y+1)2=1,直线I的方程为y=kx,当k为何值时，直线I与圆C相交、相切、相离？11.求过点(一1,0),且与圆(χ-1)2+y2=1相切的切线方程.12.已知过点(2,0)的直线I与圆x2+y2=4相交，所得弦长为2.求直线I的方程.。
特岗教师面试试讲教案《直线与圆的位置关系》
特岗教师面试试讲教案《直线与圆的位置关系》一、教学目标1.知识目标：理解从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
2.过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。
3.情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验。
二、教学重、难点1.重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。
2.难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。
三、教学过程一、教学目标1.知识目标：理解从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
2.过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。
3.情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验。
二、教学重、难点1.重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。
2.难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。
三、教学过程。
高中数学教案直线与圆
高中数学教案直线与圆
教学目标：
1. 理解直线和圆的基本概念；
2. 掌握直线与圆的位置关系和相交关系；
3. 能够运用直线与圆的性质解决相关问题。
教学重点：
1. 直线与圆的位置关系；
2. 直线与圆的相交关系；
3. 直线与圆的性质及应用。
教学难点：
1. 直线与圆的求交点问题；
2. 利用直线与圆的性质解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备教案、课件及相关教学材料；
2. 学生准备笔记工具及教材。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍本节课主题，引入直线与圆的基本概念，激发学生对数学的兴趣。
二、理论讲解（15分钟）
1. 直线与圆的相交关系：
- 直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切、相交。
- 判断直线与圆的位置关系需运用直线与圆的性质。
2. 直线与圆的性质：
- 直径、弦、切线等相关概念；
- 利用直线与圆的性质求解相关问题。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 老师引导学生进行一些简单的题目演练，巩固直线与圆的基本概念和性质；
2. 学生分组讨论解决问题的方法，并进行解题讨论。
四、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调直线与圆的性质及应用，激发学生对数学的学习兴趣。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关作业以巩固本节课内容；
2. 提醒学生认真完成作业，及时复习。
教学反思：
通过直线与圆的教学，学生不仅能提高对基本几何图形的理解和运用能力，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
在教学中要提倡学生主动思考、合作学习，激发学生对数学学习的兴趣和自信心。
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专题11 直线与圆★★★高考在考什么【考题回放】1．已知两条直线y=ax -2和y=(a +2)x +1互相垂直，则a 等于（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．1-2．如果实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x-y 的最大值为（ B ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-3．圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（C ）A ．36B ． 18C ．26D ． 254．若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . k ∈(0，34)5．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)3y x x =≥相切，则这个圆的方程为．22(1)(1x y -+-=6. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【专家解答】设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示， 阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x 和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6 此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.★★★高考要考什么【考点透视】1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
【热点透析】直线与圆在高考中主要考查三类问题：一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题； （2）直线的平行和垂直的条件； （3）与距离有关的问题等。
此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现；二、直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现； 三、线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大★★★突破重难点【范例1】已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆 x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上. 如图1.∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1），S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1 ∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形PACB 的面积最小．∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形PACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S PACD =22.【点晴】求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性，寻找快捷简便的方法。
本题的关键在于S 四边形PACB ＝2S △PAC ，然而转化为|PC|的最值问题。
【文】已知等腰ABC ∆的底边AB 所在的直线方程为023=+-y x ，顶点C 的坐标是（2，2），顶角为1200，求两腰所在的直线方程及A B C ∆的面积.解：设腰所在直线的斜率为k ，，两底角为，顶角为030120∴又3130tan 31330==+-∴=kk k AB ， ，33=∴k ，故一腰所在直线方程为，）即（023232332=-+--=-y x x y 另一腰垂直于x 轴，方程为2=x .S ABC ∆=【范例2】过点M (2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x 、y 的正半轴于A 、B ，若四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求直线AB 方程。
解：设AB 的方程为1=+by ax （a>0,b>0）∴)0,(a A 、),0(b B 。
∵MA ⊥MB∴b a b a 2100)4()4()2()2(-=⇒=-⋅-+-⋅- ∵a>0 0<b<5 ∵AB 方程的一般式为bx+ay-ab=0 ∴M 到AB 的距离22|42|baab a b d +-+=∴MAB ∆的面积211122|||24|820S d AB b a ab b b ==+-=-+而OAB ∆的面积22125b b ab S -==，∵直线AB 平分四边形OAMB 的面积，∴21S S =，可得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==52524a b a b 或故所求AB 方程为052=-+y x 和042=-+y x 。
【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应先考虑选用截距式方程是否有利。
【文】已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ， 即2222)1(2)1(y x yx +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33，直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．②将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）； （2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）． 直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．【范例3】 已知气象台A 处向西300km 处，有个台风中心，已知台风以每小时40km 的速度向东北方向移动，距台风中心250km 以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 处进入台风圈？气象台A 处在台风圈内的时间大约多长？解：如图建立直角坐标系，B 为台风中心，处在台风圈内的界线为以B 为圆心，半径为250的圈内，若t 小时后，台风中心到达B 1点，则B 1(-300+40tCOS450,40tsin450)，则以B 1为圆心，250为半径的圆的方程为()()222250220220300=-+-+ty tx那么台风圈内的点就应满足 ()()222250220220300≤-+-+ty tx 。
若气象台A 处进入台风圈，那么A 点的坐标就应满足上述关系式，把A 点的坐标(0，0)代入上面不等式，得()()222250220220300≤+-tt，解得475215475215+≤≤-t ，即为61.899.1≤≤t ；所以气象台A 处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分。
【点晴】做应用题的关键是寻求有效信息，建立数量之间的关系。
【文】设A （－c ，0），B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0. 当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0. 整理得(x －1122-+a ac ) 2+y 2=(122-a ac )2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.【点睛】本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.【范例4】已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.（Ⅰ）法1 依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线， 所以曲线M 的方程为y 2=4x .法2 设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |， 所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3.所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131(,)316()32()13(222222y y由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）法1：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y得y =23，即当点C （－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23. 又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2，|BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角.当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角.又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y .该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是 )32(9323310≠>-<y y y 或.法2：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2.圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y .令x =－1得y =932.过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=( x －3).令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.【文】设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l ：x-2y =0的距离为55。