2018届高考数学总复习作业 30数系的扩充与复数的引入含答案(理科)
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第十六章 数系的扩充与复数的引入
第十六章数系的扩充与复数的引入1．（2018全国Ⅰ，1）设，则()A．0B．12C．1D．√21.C ，则，故选c.2．（2018全国Ⅱ，1）1+2i1−2i=()A．−45−35i B．−45+35i C．−35−45i D．−35+45i2.D ∵1+2i1−2i =(1+2i)25=−3+4i5∴选D.3．（2018全国Ⅲ，2）(1+i)(2−i)=()A．−3−i B．−3+i C．3−i D．3+i3.D (1+i)(2−i)=2−i+2i−i2=3+i，故选D.4．（2018浙江，4）复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是() A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i4.B 化简可得=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴的共轭复数为1﹣i.故选B．5．（2018北京，2）在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.D 11−i =1+i(1−i)(1+i)=12+12i的共轭复数为12−12i，对应点为(12,−12)，在第四象限，故选D.6.（2017•新课标Ⅰ,3）设有下面四个命题p1：若复数满足∈R，则∈R；p2：若复数满足2∈R，则∈R；p3：若复数1，2满足12∈R，则1= ；p4：若复数∈R，则∈R．其中的真命题为（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p46.B 若复数满足∈R，则∈R，故命题p1为真命题；p2：复数=i满足2=﹣1∈R，则∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数1=i，2=2i满足12∈R，但1≠ ，故命题p3为假命题；p4：若复数∈R，则=∈R，故命题p4为真命题．故选B ．7.（2017•新课标Ⅱ,1） =（ ）A.1+2iB.1﹣2iC.2+ID.2﹣i7. D= = =2﹣i ，故选 D ．8.（2017•新课标Ⅲ,2）设复数满足（1+i ）=2i ，则||=（ ）A. B. C. D.28.C ∵（1+i ）=2i ，∴（1﹣i ）（1+i ）=2i （1﹣i ），=i+1．则||=．故选C ．9.（2017•北京,2）若复数（1﹣i ）（a+i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A.（﹣∞，1）B.（﹣∞，﹣1）C.（1，+∞）D.（﹣1，+∞）9.B 复数（1﹣i ）（a+i ）=a+1+（1﹣a ）i 在复平面内对应的点在第二象限，∴ ，解得a ＜﹣1．则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选B ．10.（2017•山东,2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若=a +i ，•=4，则a=（ ）A ．1或﹣1B ．或﹣C ．﹣D ． 10.A 由=a +i ，则的共轭复数=a ﹣i ， 由•=（a +i ）（a ﹣i ）=a 2+3=4，则a 2=1，解得：a=±1，∴a 的值为1或﹣1，故选A ．11.(2016·山东，1)若复数满足2＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则＝( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i11.B [设＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴＝1－2i ，故选B.]12.(2016·全国Ⅲ，2)若＝1＋2i ，则4i z z －1＝( ) A.1 B.－1 C.i D.－i12.C[＝1＋2i ，z ＝5，4i z z －1＝i.]13.(2016·全国Ⅰ，2)设(1＋i)＝1＋y i ，其中，y 是实数，则|＋y i|＝( )A.1B.2C.3D.213.B [由(1＋i)＝1＋y i ，得＋i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.]14.(2016·全国Ⅱ，1)已知＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(－3，1)B.(－1，3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)14.A [由复数＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0解得 －3<m <1，故选A.]15.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]16.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A.iB.－iC.1D.－116.A [法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.法二i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.]17.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A.－1B.0C.1D.217.B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]18.(2015·广东，2)若复数＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A.3－2iB.3＋2iC.2＋3iD.2－3i18.D [因为＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以＝2－3i ，故选D.]19.(2015·湖南，1)已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i19.D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i＝－1－i ，故选D.]20.(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i20.A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]21.(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( ) A.－i B.－3i C.i D.3i21.C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]22.(2015·山东，2)若复数满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i22.A [∵z 1－i＝i ，∴＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴＝1－i.]23.(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数满足1＋z 1－z＝i ，则||＝( ) A.1 B. 2 C. 3 D.223.A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋＝i －i ，＝－1＋i 1＋i＝i ，∴||＝|i|＝1.]24.(2014·福建，1)复数＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i24.C [因为复数＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以＝2－3i ，故选C.]25.(2014·大纲全国，1)设＝10i 3＋i，则的共轭复数为( ) A.－1＋3i B.－1－3i C.1＋3i D.1－3i25.D [∵＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝1＋3i ，∴＝1－3i.故选D.]26.(2014·新课标全国Ⅱ，2)设复数1，2在复平面内的对应点关于虚轴对称，1＝2＋i ，则12＝( )A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i26.A [由题意得2＝－2＋i ，∴12＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.]27.(2014·天津，1)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i ＝( ) A.1－i B.－1＋i C.1725＋3125i D.－177＋257i 27.A [7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 25＝1－i.选A.]28.(2014·湖南，1)满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数＝( ) A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i 28.B [去掉分母，得＋i ＝i ，所以(1－i)＝－i ，解得＝－i 1－i ＝12－12i ，选B.]29.(2014·新课标全国Ⅰ，2)(1＋i )3(1－i )2＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i29.D [（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1－i ）2·(1＋i)＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i·(1＋i)＝－1－i ，故选D.]30.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，z 表示复数的共轭复数.若＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( ) A.－2 B.－2i C.2 D.2i30.C [因为＝1＋i ，所以z i＋i·＝(－i ＋1)＋i ＋1＝2.]31.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝()A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i31.D[根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]32.(2014·广东，2)已知复数满足(3＋4i)＝25，则＝()A.－3＋4iB.－3－4iC.3＋4iD.3－4i32.D[(3＋4i)＝25⇒＝253＋4i＝25（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝3－4i.选D.]33．（2018天津，9）i是虚数单位，复数6+7i1+2i=___________.33.4–i由复数的运算法则得：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=20−5i5=4−i.34．（2018江苏，2）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．34.2 因为，则，则的实部为2.35.（2017•江苏,2）已知复数=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则的模是________．35.复数=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴||= = ．故答案为：．36.（2017•浙江,12）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．36. 5；2 a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．37.（2017·天津,9）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．37.﹣2 a∈R，i为虚数单位，= = = ﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．38.(2016·江苏，2)复数＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则的实部是________.38.5 [＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故的实部为5.]39.(2016·北京，9)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.39.－1 [(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋a i ＋i 2＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由复数对应点在实轴上得a ＋1＝0，解得a ＝－1.]40.(2015·天津，9)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.40.－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]41.(2015·重庆，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 41.3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]42.(2014·江苏，2)已知复数＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则的实部为________.42.21 [复数＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]43.(2014·上海，2)若复数＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 43.6 [∵＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z `z ＝·z ＋1＝5＋1＝6.]44.(2014·四川，11)复数2－2i 1＋i＝________. 44.－2i [2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝(1－i)2＝－2i.]。
【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮复习数系的扩充与复数配套试题
[解析] 55设，所以，所以，
所以，解得，故
56(2018江苏苏北四市高三期末统考, 1)设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲．
[答案] 562
[解析] 56，要为实数，则，
57 (2018陕西宝鸡高三质量检测(一), 1)满足的复数是（）
A B c D
[答案] 57D
[解析] 57由得
2018高考数学(理)二轮复习数系的扩充与复数配套试题
5 c精品题库试题
理数
1 (1-3ic1+3iD1-3i
[答案] 1D
[解析] 1∵z= = =1+3i,∴=1-3i故选D
2 (2i)=i-2i2=2i
c3+4iD3-4i
[答案] 3D
[解析] 3z= = =3-4i,故选D
4 (2-3iB-2+3ic2-3iD 2+3i
[答案] 4c
[解析] 4∵z=(3-2i)i=2+3i,∴=2-3i故选c
5(1-ic-1+iD1-i
[答案] 5D
[解析] 5令z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以z+ =2a=2,得a=1,(z- )i=2bi2=-2b=2,得b=-1,∴z=1-i,故选D
6 (iDi
[答案] 6A
[解析] 6因为= = =-i,所以=(-i)2=-1,故选A
7 ( + i D- - i
[答案] 7B
[解析] 7由=i,得z= = = - i,故选B
8 (2B-2ic2D2i
[答案] 9c
[解析] 9 +i = +i(1-i)= +i+ 1=2故选c
数系的扩充与复数的引入(理)
整数Z
加法 乘法
自然数N
数系的扩充过程 复数的相关概念 复数相等
复数的概念
• 形如a +bi (a，b ∈R)的数称为复数。 • 复数的表示：一般用 z (小写) 表示 z = a +bi (a，b ∈R) • 当b = 0时， a +bi=a 是实数 • 当b≠0时， a +bi 是虚数 • 当a=0且b≠0时， a+bi=bi 是纯虚数
自我练习
• ㈠ExA1、2 ExB 1、2、3 • ㈡习题3-1A 1、2、3
谢谢！
有理数满足前 面的加法、减 法和乘法运算 及运算律同时 满足除法
实数R
有理数Q
分数 负整数
无理数
整数Z 自然数N
扩充过程
实数R
加法 乘法 减法 乘法
有理数Q
自然数N
加法 乘法
实数 R →复数 C
• 在实数范围内方程 ax2+bx+c=0的根 b • 当Δ=b2-4ac≥0时， x
• 当Δ=b2-4ac＜0时，无根
扩充后的数集之间的关系
复数C 虚数 无理数
实数R
有理数Q
整数Z 自然数N 分数 负整数
各数集的关系图
有理数Q 实数R
复数C
自然数 N
回顾小结
数系的扩充过程 复数的相关概念
复数相等
数系的扩充过程 复数的相关概念 复数相等
扩充过程
实数R
增添除法
有理数Q
加法 乘法 减法
加法 乘法 减法 乘法
增添减法
解：（1）当 x + 3 = 0即x = -3时，复数 z 是实数； （2）当 x + 3 ≠ 0即x ≠ -3时，复数 z 是虚 数； （3）当x - 2 = 0 且x + 3 ≠ 0 即x = 2时，复 数 z 是纯虚数
习题课(三) 数系的扩充与复数的引入
即－1＝4＝4＋6＋a，b，
∴ab＝＝－－310，.
答案：－3 －10
高频考点三 复数的代数运算 复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
)，对于p1，∵
1 z
＝
1 a＋bi
＝aa2－＋bbi2∈R ，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R ，∴ab＝0，∴a ＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R )，z2＝c＋di(c，d∈R )，
则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R ，
的点为(x，y)，则
()
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] (1)因为z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 所以|z|＝ 2. (2)由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
[解析]
(1)由z(1＋i)＝2i，得z＝
2i 1＋i
＝
2i1－i 1＋i1－i
＝
2i12－i＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝2＋i，∴ z ＝2－i，
∴z·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.
法二：∵z＝2＋i，∴z·z ＝|z|2＝5.
(3)∵51－ ＋ii＝51－ ＋ii11－ －ii＝2－3i，
2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略： 数系的扩充与复数的引入 含答案
核心考点解读——数系的扩充与复数的引入复数的有关概念（II）复数的代数表示法及几何意义（I）复数的四则运算（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、模、几何意义及复数代数形式的四则运算.2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的四则运算.3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算.1.数系的扩充数系的扩充：自然数集错误!未找到引用源。
，整数集错误!未找到引用源。
，有理数集错误!未找到引用源。
，实数集错误!未找到引用源。
，复数集错误!未找到引用源。
，其从属关系用集合来表示为错误!未找到引用源。
.2.复数的有关概念(1)复数的表示：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
：复数的实部；错误!未找到引用源。
：复数的虚部；错误!未找到引用源。
：虚数单位，规定：错误!未找到引用源。
.(2)复数的分类：若错误!未找到引用源。
，则复数为实数；若错误!未找到引用源。
，则复数为虚数；若错误!未找到引用源。
，则复数为纯虚数.(3)复数相等：若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
.(4)共轭复数：若错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
互为共轭复数，则错误!未找到引用源。
.记作错误!未找到引用源。
.(5)复数的模：若错误!未找到引用源。
，则复数的模为错误!未找到引用源。
.(6)复数的几何意义：错误!未找到引用源。
与复平面上的点错误!未找到引用源。
一一对应；与向量错误!未找到引用源。
一一对应.3.复数代数形式的四则运算(1)设错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
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.(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.(3)几个常见的复数运算的技巧：错误!未找到引用源。
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入100题(含答案解析)
2018年高考理科数学数系的扩充与复数的引入精编100题（含答案解析）1.复数z 满足z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+2|=（ ）A ．3B ．1C ．D ． 2. 已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+ （C ）1i -（D ）1i +3.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A ．34i --B ．54i +C ．54i -D ．34i - 4. 复数31i i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5. 复数421i i-=+（ ） A.13i + B.13i - C.13i -+ D.13i -- 6.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞7.已知i 是虚数单位，若复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣iD ．i8.设i 是虚数单位，，则实数a=（ ）A ．B ．C ．﹣1D ．1 9.已知复数（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（﹣1，﹣3）10.已知复数z=i43i 34+-，则z 的共轭复数|z |=（ ） A ．5 B ．1C ．54D ． 53 11.若z=ii 43+，则|z|=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 12.复数z 满足（3+4i ）z=5﹣10i ，则=（ ）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ． +2iD ．﹣2i 13.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣2bi 与1+4i 互为共轭复数，则|a+bi|=（ ）A ．B ．C ．2D ． 14.i 表示虚数单位，则复数=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣15.设i 为虚数单位，则(－1+2i)(2－i)=（ ）A ．5iB ．－5iC ．5D ．-516.计算： i21)i 1)(i 2(2--+=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．2i D ．﹣2i17. 复数i1i 13--（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．iB ．1C ．﹣iD ．﹣1 18.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，则（a+bi ）2=（ ）A ．5﹣4iB ．5+4iC ．3﹣4iD ．3+4i19.设复数z 1=23+21i ，z 2=3+4i ，其中i 为虚数单位，则|z ||z |220161=（ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 20. 若i是虚数单位，复数的虚部为（ ）A．B． C． D． 21. 已知复数z 满足z=1+i （i 为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i22.在复平面内，复数（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限23.欧拉公式e ix =cosx+isinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e ﹣i表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24.复数z=（3+2i ）2（i 为虚数单位），则在复平面上z的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限25.已知复数z满足（z+1）•i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i26.复数z满足z（3i﹣4）=25（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i27.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．128.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．229.已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A． B． C．3 D．30.设2ii(,)12ix y x y+=+∈+R，则ix y+=（）．A．1BC D．231.若复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，则在复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限32.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限33.设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i34.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）35.复数的共扼复数是（）A．﹣ +i B．﹣﹣i C．﹣i D． +i36.复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣137.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）•|=（）A．B．2 C． D．138.设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i39.在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i40.复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限41.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限42.已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）43.已知122iia bi+=-+（i为虚数单位，a，b R∈），在||a bi-=（）A．i-B．1C．2D44.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）45.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46.当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限47.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限48.若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限49.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限50.已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i51.设i是虚数单位，若，则复数z的虚部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i52.若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（）A．﹣1 B．C．D．153.若z=1﹣i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣3，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）54.设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B． C． D．255.已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣156.已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i57.已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．D．58.若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限59.复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i60.复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限61.已知复数z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i62.是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i63.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A ．﹣3﹣4iB ．5+4iC ．5﹣4iD ．3﹣4i 64.复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限65.复数z 满足：（3﹣4i ）z=1+2i ，则z=（ ）A ．i 5251+-B ．i 5251-C ．i 5251--D ．i 5251+ 66. 若复数ii 32z +-=，i 是虚数单位，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限67.已知△ABC 中内角A 为钝角，则复数（sinA ﹣sinB ）+i （sinB ﹣cosC ）对应点在（ ）A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限68.复数+i 的共轭复数的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i69.若复数z 满足z （﹣1+2i ）=|1+3i|2，（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限70.已知复数z 满足（1+i ）z=2i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限71.己知复数z=cos θ+isin θ（i 是虚数单位），则=（ ）A ．cos θ+isin θB ．2cos θC ．2sin θD ．isin2θ 72.已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|=（ ）A ．3B ．2C ．5D ．73.已知x ∈R ，i 为虚数单位，若为纯虚数，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣274.已知复数，则的虚部为（ ）A ．﹣3B ．3C ．3iD ．﹣3i75.若复数z 满足i i43+=i 1z+，则z 等于（ ）A ．7+iB ．7﹣iC ．7+7iD ．﹣7+7i76.设z=1+i （i 是虚数单位），则=（ ）A ．2﹣2iB ．2+2iC ．﹣3﹣iD ．3+i77.已知复数为纯虚数，那么实数a=（ ）A ．﹣1B ．C ．1D ．78.已知复数z 满足：i 1i 2i )i 1(z 3-=-+则复数z 的虚部为（） A ．i B ．﹣i C ．1 D ．﹣179.计算+（2﹣i ）2等于（ ）A ．4﹣5iB ．3﹣4iC ．5﹣4iD ．4﹣3i80.若复数，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限81.复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限82.设复数z 满足（1+i ）•z=1﹣2i 3（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限83.若复数z 1=a+i （a ∈R ），z 2=1﹣i ，且21z z 为纯虚数，则z 1在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题 84.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________．85.设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 86.设a ∈R ，若i(1i)2i a +=+，则a =__________．87.已知复数z 满足（1+i ）z=2，则z= ．88.复数z=i12-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 89.依次填人下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（3分）如果说河对岸的草原上万籁无声， ,使所有的色调融合为浑然一体, 使所有的声音汇成合唱，那是多么奇伟的声音，多么壮观的景象!①各种声响使这荒野的世界充满一种亲切而粗犷的和谐 ②鸟喙击橡树干的笃笃声 ③可是，当微风吹进丛林，摇晃这些飘浮的物体，使白色、蓝色、绿色的生物混杂交错④野兽穿越丛林的沙沙声 ⑤动物吞啮食物或咬碎果核的咂咂声⑥河这边却是一片骚动和聒噪A.③①⑥⑤②④ B ．⑥②③⑤①④ C.⑥②④⑤①③ D ．③②①④⑤⑥90.已知z 1=a+3i ，z 2=3﹣4i ，若21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 91.已知复数z=（5+2i ）2（i 为虚数单位），则z 的实部为 ．92.复数所对应的点在复平面内位于第 象限． 93.设i 为虚数单位，复数，则|z|= ． 94.设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 的值为 ．95. 设复数z 1=2+ai ，z 2=2﹣i （其中a ＞0，i 为虚数单位），若|z 1|=|z 2|，则a 的值为 ． 96.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ． 97.计算：|3﹣i|= ，i3i 10 = ．三、解答题（ 98.复数z=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限99.已知复数，又，而u 的实部和虚部相等，求u ．100.已知关于x 的方程x 2+4x+p=0（p ∈R ）的两个根是x 1，x 2．（1）若x 1为虚数且|x 1|=5，求实数p 的值；（2）若|x 1﹣x 2|=2，求实数p 的值．答案1.D【考点】复数求模．【分析】化简z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，z=﹣i ，从而解得．【解答】解：∵z （1﹣i ）=﹣1﹣i ，∴z （1﹣i ）（1+i ）=﹣（1+i ）2，∴2z=﹣2i ，∴z=﹣i ，∴z+2=2﹣i ，∴|z+2|=， 故选：D ，2.A【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.3.D由题意2i z =-+，所以222(2i)4i 4i=34i z =-+=+--．故选D ．4.B 复数31i i(1i)1i i +=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．5.B6.C复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-，(1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩， 解出1a >．故选C ．7.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i ）z=2i ，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i ）z=2i ，得=， 则z 的虚部是：1．故选：A ．8.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案． 【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A ．9.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数==（1+2i ）（1+i ）=﹣1+3i ，则z 的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．10.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴，则||=|i|=1．故选：B．11.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解： =，则|z|=．故选：D．12. B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3+4i）z=5﹣10i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简z，则的答案可求．【解答】解：由（3+4i）z=5﹣10i，得=，则=﹣1+2i．故选：B．13.D【考点】复数求模．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出【解答】解：∵a﹣2bi与1+4i互为共轭复数，∴a=1，﹣2b+4=0，解得a=1，b=2．∴|a+bi|=|1+2i|==．故选：D14.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．15.Ai i i. 故选A.-+-=(12)(2)516.A【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解： ===2，故选 A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．17.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ =，∴复数的虚部是1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．18.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．19.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求出，在求出|z2|，代入得答案．【解答】解：∵，∴，∵z2=3+4i，∴|z2|=5，∴=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．20.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：复数===+i，∴复数的虚部为，故选：D．21.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得，则答案可求．【解答】解：∵z=1+i，∴，则复数z的共轭复数的虚部为﹣1．故选：A．22.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：A．23.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论．【解答】解：由欧拉公式e ix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限．故选D．【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础．24.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（3+2i）2=9﹣4+12i=5+12i，则在复平面上z的共轭复数=5﹣12i对应的点（5，﹣12）位于第四象限．故选：D．25.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（z+1）•i=1﹣i，∴（z+1）•i•（﹣i）=﹣i•（1﹣i），化为z+1=﹣i﹣1∴z=﹣2﹣i．故选：C．26.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z（3i﹣4）=25，∴z（3i﹣4）（﹣3i﹣4）=25（﹣3i﹣4），∴z=﹣4﹣3i则z的共轭复数=﹣4+3i．故选：C．27.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501•i3=﹣i．故选：A．28.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，复数z=（i为虚数单位）的虚部为：﹣3．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．29.D【分析】由复数相等的条件求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由1+xi=（2﹣y）﹣3i，得，解得．∴|x+yi|=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．30.A∵2i(2i)(12i)43i43i 12i(12i)(12i)555--===--++++，∴|1x y+，∴选择A．31.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可．【解答】解：复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，可得1﹣z===，z=，复数的对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．32. B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．【解答】解： ==在复平面上对应的点位于第二象限．故选：B．33.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z=1+i，∴z2=2i，则+z2===1﹣i+2i=1+i，故选：A．34.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．35.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．36.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．37.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【解答】解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．38.C【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C39.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．40.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．41.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数====+i在复平面内对应的点（，）位于第二象限．故选：B．42.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．43.B试题分析：由122iia bi+=-+得()()()()12212222i iia bi ii i i++++===--+，所以||1a bi-=，故选B.考点：复数的运算.44.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．46.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．47.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．48.B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．49.B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： ==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．50.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=1+i，得，则z的共轭复数是：﹣i．故选：D．51.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则复数z的虚部是：﹣1．故选：C．52.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得m=1．故选：D．53.A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把z=1﹣i代入z+z2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴z+z2=1﹣i+（1﹣i）2=1﹣i﹣2i=1﹣3i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣3）．故选：A．54.A【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．55.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．56.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．57.D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．58.A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．59.B【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由完全平方公式，知=，由此利用虚数单位的性质能够求出结果．【解答】解： ==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．60.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选：D．61.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===1+i．复数z=，则z的共轭复数1﹣i的虚部为﹣1．故选：A．62.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．63.D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，则复数z2=（﹣2+i）2=3﹣4i．故选：D．64.C【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据题意，由复数的计算公式可得==﹣﹣i，进而由复数的几何意义可得该复数对应的点的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意， ==﹣﹣i，则该复数对应的点为（﹣，﹣），对应点在第三象限；故选：C．65.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．66.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z==3+2i，则z的共轭复数=3﹣2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限．故选：D．67.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】①△ABC中内角A为钝角，可得A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，根据A为钝角，可得0＜B＜B+C＜，利用正弦函数的单调性即可得出sinA﹣sinB＞0．②由0＜B+C＜，可得0＜B＜﹣C，可得sinB＜sin（﹣C）=cosC．即可复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．【解答】解：①∵△ABC中内角A为钝角，∴A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin[π﹣（B+C）]﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，∵A为钝角，∴0＜B＜B+C＜，∴sin（B+C）＞sinB，即sin（B+C）﹣sinB＞0，则sinA﹣sinB＞0．②∵0＜B+C＜，∴0＜B＜﹣C，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，∴sinB＜cosC，∴复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．故选：D．68.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数+i得答案．【解答】解： +i=，则复数+i的共轭复数的虚部是：﹣1．故选：B．69.C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由z（﹣1+2i）=|1+3i|2，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣2，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．70.A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．71.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】z=cosθ+isinθ代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴====．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简求值，是基础题．72.D【考点】复数求模．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解： =1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．73. C【考点】复数的基本概念．【分析】对已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由纯虚数的定义可得其实部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解： ==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由纯虚数的定义可得2﹣x=0，故x=2故选C74.B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．【解答】解：由=，得，∴的虚部为3．故选：B．75.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解： =，∴z==7+i，故选：A76.A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．77.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0，解得a=1．故选：C．78.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．79.A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．80.D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限．故选：D．81.D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D。
高中数学《平面向量、数系的扩充与复数的引入》课时作业(含答案)
() A.0 B.1 C.-1 D.-2
8.[2019·广元期中] 设 R=a, =b,点 P 与 R 关于点 A 对称,点 R 与 Q 关于点 B 对称,则向量 =
() A.2(a-b) B.2(b-a) C.12(a-b) D.12(b-a)
9.[2019·哈尔滨三中二模] 给定两个长度为 1 的平面向量 R和 ,它们的夹角为 90°,点 C 在以 O 为圆
Байду номын сангаас
,b=
.
技能提升
6.[2019·合肥质检] 已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z+z·i=3+i,则复数 z 的共轭复数为
()
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
7.已知复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=1+ 3i,则 1 = ( ) 2
A.2 B. 3 C. 2 D.1 8.[2019·德州一模] 已知 i 为虚数单位,复数 z1=1+ai(a∈R),z2=1+2i,若 1为纯虚数,则 a= ( )
() A.-1,12 B.12,-1
C.-12,1 D.1,12
4.[2019·郑州质检] 在△ABC 中,若点 D 满足 =2 ,点 M 为 AC 的中点,则 =( )
A.23 R -16 R C.23 R -13 R
B.13 R -16 R D.23 R +16 R
5.[2019·湖南师大附中二模] 已知 a=(3,4),b=(t,-6),且 a,b 共线,则实数 t=
1.(2-i)2-(1+3i)= ( )
A.2-7i B.2+i C.4-7i D.4+i 2.[2019·清远质检] 设 z=1+i(i 为虚数单位),则| |= ( )
2018年高考数学专题13.3数系的扩充与复数的引入试题理
数系的扩充与复数的引入【三年高考】1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2. 【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
3．【2017课标3，理2】设复数z 满足(1+i )z =2i ，则∣z ∣=A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得：21iz i=+ ，由复数求模的法则：1121z z z z =可得：21i z i===+故选C .4. 【2017北京，理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B【解析】()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B.5．【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 6．【2016新课标1理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( )（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+故选B. 7. 【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 8. 【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.9. 【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1-.【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-.10. 【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 11. 【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 12.【2015高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B. 【2017考试大纲】 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件.(3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势. 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，复数问题在高考中年年必有,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一年的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择题为主.故预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点.复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．【2018年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大．【考点1】复数的有关概念 【备考知识梳理】1.i 称为虚数单位,规定21i =-；2.形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a b i +为实数；若0b ≠，则a bi +为虚数；若0a =且0b ≠，则a bi +为纯虚数．3.共轭复数：复数a bi -称为复数z a bi =+的共轭复数，记为z ，那么z 与z 对应复平面上的点关于实轴对称，且2z z a +=，2z z bi -=，222zz z a b ==+，z z z R =⇔∈a bi +与c di +共轭⇔,a cb d ==-(,a b ，,cd R ∈)．【规律方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 【考点针对训练】1. 【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前得分训练（一）】复数212ii+-的虚部是（ ） A. i B. i - C. 1 D. 1- 【答案】C【解析】试题分析：()()()()2122121212i i i i i i i +++==--+,所以复数212i i +-的虚部是1，故选C. 2. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】复数z 的共轭复数为）A. 2B. D. 1 【答案】D【解析】设(),z a bi a b R =+∈，则，它为纯虚数，则2210a b +-=，即221a b +=，所以D ．【考点2】复数相等，复数的几何意义 【备考知识梳理】1.复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．特别00z a bi a b =+=⇔==.2.复数的模：向量OZ的模r 叫做复数z a bi =+ (,a b R ∈)的模，记作z 或a bi +，即z a bi =+=.3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x 轴叫做实轴，y 轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.复数的几何表示：复数z a bi =+ (,a b R ∈)可用平面直角坐标系内点(),Z a b 来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的． 复数的几何意义（1）复数z a bi=+复平面内的点(),Z a b (,a b R ∈).（2）复数z a bi =+ (,a b R ∈)(),OZ a b =.4.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： （1）0(z z r r -=是正常数）↔轨迹是一个圆.（2）1212(z z z z z z -=-、是复常数）↔轨迹是一条直线.（3）12122(z z z z a z z -+-=、是复常数，a 是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在.（4）122(z z z z a a ---=是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在. 【规律方法技巧】1. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z a bi =+ (,a b R ∈)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点(),Z a b 相对应.【考点针对训练】1. 【江西省赣州市2017届高三第二次模拟】已知复数z 满足()21i 12i z -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为 A. 11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A2. 【北京市昌平区2017年高三第二次统考】设a R ∈，若()()1i 2i a i +-=-，则a =______ . 【答案】1-【解析】()()()11+12i a i a a i i +-=+-=-,10{ 112a a a +=⇒=--=-,故答案为1-.【考点3】复数的运算 【备考知识梳理】1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则①加法：12()()z z a bi c di +=+++=()()a c b d i +++； ②减法：12()()z z a bi c di -=+-+=()()a c b d i -+-； ③乘法：12()()z z a bi c di =++=()()ac bd ad bc i -++； ④除法：1222222(0)z a bi ac bd bc adi z z c di c d c d ++-==+≠+++ 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++.3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R 中整数指数幂的运算律，在复数集C 中仍然成立，即对任何， ， 及 ，有：， ，；4.复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数12,z z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数12,z z 对应的向量共线且同向（反向）时取等号.【规律方法技巧】 1. 几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 2. 常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；12ω=-+，212ωω=-=，31ω=，210ωω++=. 3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式(),z a bi a R b R =+∈∈，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 【考点针对训练】1. 【2017届山西省高三3月一模】 是复数z 的共轭复数， ）【答案】B2. 【宁夏银川一中2017届高三第二次模拟】复数z 满足则z 等于（ ）B. 1【答案】C故选C. 【应试技巧点拨】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．1.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】由题意得，，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ）A. i -B. iC. 1i -D. 1i + 【答案】A【解析】由题意，得()()()211111i iz i z i i i i ++===⇒=--+- ，则选A.3. 【2017届安徽省宣城市第二次调研】设()()12i x yi ++=，其中i 为虚数单位， x ， y 是实数，则2x yi +=（ ）【答案】D【解析】 ()()12i x yi ++=， x ， y 是实数,()2x y x y i ∴-++= ，20{x y x y -=+=∴ ，1,1x y ∴==-22x yi i ∴+=- ，2i ∴-= ，故选D.4. 【2017届四川省资阳市高三一模】i 为虚数单位，已知复数z 满足，则z =（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 12i +D. 12i - 【答案】C【解析】由题意得，设z a bi =+，则 C. 5. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】复数()()()1a i i a R --∈的实部与虚部相等，则实数a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2 【答案】B【解析】由题意可得： ()()()()2111a i i a i ai i a a i --=--+=--+ ，结合题意可知：11a a -=-- ，解得： 0a = .本题选择B 选项.6. 【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】已知()21i z m m =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A. ()1,1-B. ()1,0-C. (),1∞-D. ()0,1 【答案】D【解析】因为()21i z m m =-+在复平面内对应的点在第二象限，所以210{ 0m m -<>,求解可得01m <<, 本题选择D 选项.7.【河南省新乡市2017届高三第三次模拟】设复数34i z =+，（ ）【答案】AA 8.【山东省日照市2017届高三第三次模拟】若复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，12i z =- ，则12z z ⋅=A. 5-B. 5C. 4i -+D. 4i -- 【答案】B【解析】复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称， 12i,z =-∴22i,z =+则12z z ⋅= (2﹣i)(2+i)=22+12=5，故选B.9.【福建省莆田2017届第二次模拟】已知复数4m xi =-， 32n i =+，若复数实数x 的值为（ ）A. 6-B. 6C. 【答案】D【解析】故本题正确答案为D.10.【内蒙古包钢2017届高三适应性考试】设复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D【解析】由于复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+， 22z i =-+D.11. 【2016年江西省九江市三模】复数i+12在复平面内所对应的点位于（ ） 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】i i-=+112，对应点为（1,－1），在第四象限，故选D. 12. 【2016年南昌高三一模】设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i 【答案】B【解析】由题意，得i z +=11，i z -=12，则2)1)(1(21=-+=i i z z ；故选B ．13. 【2016年湖北华师一附中高三模考】若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为( )A ．7-B ．17- C ．7D ．7-或17-【答案】A14. 【2016年湖北四校高三四次联考】已知a 为实数，若复数2(9)(3)z a a i =-++为纯虚数，则191a i i++的值为（ ）A.12i -- B ．12i -+ C ．12i + D ．12i - 【答案】D【解析】由复数2(9)(3)z a a i =-++为纯虚数，29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得3a =，所以1931211a i ii i i+-==-++，故选D. 15. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如果复数()()12bi i ++是纯虚数，则231b ibi++的值为________.【解析】因为()()122(21)bi i b b i ++=-++是纯虚数，所以2b =，因此2343112b i i bi i ++===++【一年原创真预测】1. 已知a ∈R ，i 是虚数单位.若i 2i a -+与5i3i 2i--互为共轭复数，则a =（ ） A ．13B ．13-C ．3-D ．3【答案】D【入选理由】本题考查复数的有关概念，复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本题考查知识基础，故选此题. 2. 已知i 是虚数单位，复数i z a =+()a ∈R ，且满足13i1z z -=+，则||z =（ ） ABCD ．3 【答案】C【解析】由题意，得222(i)i 1(21)i 13i z z a a a a a +=+++=-+++=-，所以211213a a a ⎧-+=⎨+=-⎩，解得2a =-，所以|||2i |z =-+C ． 【入选理由】本题主要考查复数的模、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复数相等,求出参数值,利用常见结论,构思巧，故选此题.3. 复数z 满足(2i)1+i z -=，其中i 为虚数单位，则z 所对应的点所在的象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】D【解析】由题意可得1(1i)(2i)13i 13i 2i (2i)(2+i)555i z ++++====+--，所以13i 55z =-，其所对应的点为13-55（，），所以位于第四象限.选D.【入选理由】本题主要考查复数的几何意义、复数的运算、共轭复数的概念等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复平面的点与复数关系命题,立意新，故选此题.4. 已知复数15i z a =-在复平面上对应的点在直线520x y +=上，复数152iz z +=（i 是虚数单位），则2017z=（）A．1 B．1- C．i- D．i【答案】D【入选理由】本题考查复数的基本概念，复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的综合性，故选此题.5. 在复平面内，复数23i32iz-++对应的点的坐标为()2,2-，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵23i(23i)(32i)i22i32i13z z z---+=+=-+=-+，2iz∴=-，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的模及复数的几何意义等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本小题把复数的运算与几何意义综合考查，体现小题综合化思想，故选此题.。
高考数学数系的扩充与复数的引入练习和答案
数系的扩充与复数的引入一、复数的概念【练习1】z⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．（2018江苏）若复数z满足i12i【练习2】二、复数的四则运算【练习1】【练习2】【练习3】（2018全国新课标Ⅱ理）（ ）A ．B ．C ．D ．【练习4】（2018全国新课标Ⅲ文、理）（ ）A ．B ．C ．D ．[【练习5】（2018上海）已知复数z 满足117i z i +=−（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
【练习6】若1212,1z i z i =+=-，则12z z =( ).A 6 .B .C .D【练习7】 若复数23iz i -+=（i 为虚数单位）,z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【练习8】 12i12i +=−43i 55−−43i 55−+34i 55−−34i 55−+(1i)(2i)+−=3i −−3i −+3i −3i +已知复数12,z z 满足12121z z z z ==-=,则12z z +等于( ).A 1.B .C .D【练习9】欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，20183i e p 表示的复数位于复平面中的.A 第一象限 .B 第二象限.C 第三象限 .D 第四象限数系的扩充与复数的引入一、复数的概念【练习1】因为，则，则的实部为2 【练习2】二、复数的四则运算【练习1】【练习2】【练习3】【答案】Di 12i z ⋅=+12i 2i iz +==−z【解析】，故选D ． 【练习4】2(1)(2)23i i i i i +−=+−=+，选D.【练习5】【练习6】.B∵z 1=1+2i,z 2=1−i ，102512121=•=−+=i i Z Z .故选:.B【练习7】.D复数()2332i i z i i i--+==+-?，则z 的共轭复数32z i =-在复平面内对应的点()3,2-在第四象限 【练习8】.C【解析】由题可知12,z z 表示平行四边形ABCD 的相邻两边,AB AD ,12z z -表示平行四边形的一条对角线BD ,则由题意ABD ∆为等边三角形,则在三角形ABC ∆中,由余弦定理可得ο120cos 22221••−+==+BC AB BC AB BC Z Z ,将12121z z z z ==-=,代入可得12z z +.故选.C【练习9】.B()212i 12i 34i 12i 55++−+==−Q【解析】由欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=p p i p p p i p e pi 32672sin 32672cos 32018sin 32018cos 32018i p i p p i p 23213sin 3cos 32sin 32cos +−=+−=+= 20183i ep \表示的复数对应的点为(−12，√32)，此点位于第二象限,故选.B。
2018届高考数学理大一轮复习顶层设计配餐作业30数系的
配餐作业(三十) 数系的扩充与复数的引入(时间：40分钟)一、选择题1．若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A ．－4B ．－3C ．1D ．2解析 若z ＝a ＋3ii ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0－a >0，即a ＜－3，故选A 。
答案 A2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析 根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i 。
故选D 。
答案 D3．i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D.12解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg1＝0，故选C 。
答案 C4．(2017·兰州模拟)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1。
故选C 。
答案 C5．满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ， 解得z ＝－i 1－i ＝12－12i ，故选B 。
答案 B6．(2016·北京高考)复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i解析 1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i 5＝i 。
广东广州市天河区2018届高考数学复习精选试题：数系的扩充与复数的引入(选择与填空)
数系的扩充与复数的引入01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数,21,321i z bi z -=-=若21z z 是实数，则实数b 的值为( ) A ．6 B ．-6C ．0D ．61 【答案】A2．若等比数列{}n a 前n 项和为a S nn +-=2，则复数i a iz +=在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A3．设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．—2C ．12-D ．12【答案】A4．ii i i +---+1)2(1)21(22等于( ) A ．i 43-B ．i 43+-C ．i 43+D ．i 43--【答案】B5．在复平面内，复数32ii-+对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D6．27．i 是虚数单位，i12+=( ) A ．1+i B ．1 iC ．2+2iD ．2 2i【答案】B7．若复数11iz i-=+（i 为虚数单位）,则246810W z z z z z =++++的值为( )A ． 1B ． 1-C ． iD ． i -【答案】B8．下列命题中正确的是( )A ．任意两复数均不能比较大小B ．复数z 是实数的充要条件是z =zC ．虚轴上的点表示的是纯虚数D ． i+1的共轭复数是i－1 【答案】B9．复数z=22i i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D10．设复数121,2z i z bi =+=+，若21z z 为纯虚数，则实数b =( ) A ．2 B ．1C ． 1-D ． 2-【答案】D11．若关于x 的方程2(12)30x i x m i ++++=有实根，则实数m 等于( )A ．112 B ．112i C ．112-D ．112i -【答案】A12．复数iiz +-=131的虚部是( ) A ． 2 B ． 2-C ．i 2D ．i 2-【答案】B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
2018学年第二学期高二数学《数系的扩充和复数的概念》学案含答案
3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件(重点).知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.【预习评价】分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.提示在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0）非纯虚数（a ≠0）(2)集合表示：【预习评价】 (正确的打√，错误的打×) 1.3＋2i 比3＋i 大.(×)提示 复数中，只有两个复数是实数时，才能比较大小. 2.复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b .(×)提示 不一定，对于z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等 复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等. 【预习评价】1.若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝0，则a ＋b 的值为多少？ 提示 由复数相等，a ＝0，b ＝0，则a ＋b ＝0.2.若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？提示 由复数相等得，a ＝1，b ＝3，则a ＋b ＝4.题型一 复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.规律方法复数a＋b i(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【训练1】下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.答案 A题型二复数的分类【例2】设z＝log12(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.故m 的取值范围为(1，4)∪(4，5).(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为什么； 第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； 第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)； 第四步，明确结论.【训练2】 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.题型三 两个复数相等【例3】 已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.规律方法 求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是： 1.等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；2.由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3.解方程组，求出相应的参数.【训练3】 关于x 的方程3x －a2－1＝(10－x )i 有实根，求实数a 的值. 解 设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m －a2－1＝(10－m )i ，∴⎩⎨⎧3m －a2－1＝0，10－m ＝0，解得a ＝58.课堂达标1.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅解析 因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i ，1}，又B ＝{1， －1}，故A ∩B ＝{1，－1}. 答案 C2.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5D.±2，1解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.答案 C3.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2iD.±2i答案 C4.已知M ＝{1，(m ＋3)i}，N ＝{1，2，3i}，若M ∩N ＝M ，则实数m 的值为________.解析 由M ∩N ＝M ，得M ⊆N ，所以(m ＋3)i ＝3i ， 即m ＋3＝3，m ＝0. 答案 05.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.答案 1课堂小结1.复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－iB.iC.－1D.1解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i·(－i)＝1，∴z ＝－i. 答案 A2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.－5＋5i C.2＋iD.5＋5i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 答案 A4.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________.解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 答案 15.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________.解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3. 答案 36.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m 2－7m ＋12≠0，m ＋3≠0，得m ＝2.∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.7.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.能力提升8.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1D.－1或1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋1）＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.答案 B9.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z ) B.2k π＋π4(k ∈Z ) C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 答案 B10.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________.解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.答案 {0}11.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________. ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根.解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错. 答案 112.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈[－916，1].13.(选做题)已知关于m 的一元二次方程m 2＋m ＋2m i －12xy ＋(x ＋y )i ＝0(x ，y ∈R ).当方程有实根时，试确定点(x ，y )所形成的轨迹. 解 不妨设方程的实根为m ， 则m 2＋m ＋2m i ＝12xy －(x ＋y )i.∵x ，y ，m ∈R ，∴⎩⎨⎧m 2＋m ＝12xy ， ①2m ＝－（x ＋y ）. ②由②，得m ＝－x ＋y2.代入①，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－x ＋y 2＝12xy ， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，其轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入含答案
第4讲数系的扩充与复数的引入最新考纲1。
理解复数的基本概念；2。
理解复数相等的充要条件；3。
了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5。
了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋b i(a∈R,b∈R）的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋b i为实数；若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b,c，d∈R）共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a ＝c且b＝－d（a,b，c，d∈R）复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚y轴叫虚轴数，各象限内的点都表示虚数复数的模设错误!对应的复数为z＝a＋b i，则向量错误!的长度叫做复数z＝a＋b i的模｜z｜＝|a＋b i｜＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1）复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b)(a，b∈R).（2）复数z＝a＋b i（a,b∈R）平面向量错误!.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b,c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝（a＋b i)＋(c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；②减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i）＝（a－c）＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝（a＋b i）·(c＋d i)＝(ac－bd）＋（ad＋bc)i；④除法：z1z2＝错误!＝错误!＝错误!(c＋d i≠0).诊断自测1。
判断正误（在括号内打“√”或“×")（1)复数z＝a＋b i（a，b∈R）中，虚部为b i。
（)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ）（3)原点是实轴与虚轴的交点.（)（4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ）解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2016·全国Ⅰ卷）设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（)A.－3 B。
2018高考数学(理科)习题第十五章数系的扩充与复数的引入提分训练15和答案
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·枣强中学一轮检测]复数1＋52－i(i是虚数单位)的模等于( )A.10 B．10 C. 5 D．5 答案 A解析设z＝1＋52－i，由题意，得z＝1＋52－i＝1＋5 2＋i5＝3＋i，则|z|＝10，故选A.2．[2016·衡水中学周测]i为虚数单位，若a1－i＝1＋ii，则a的值为( )A．i B．－i C．－2i D．2i 答案 C解析由已知a1－i＝1＋ii得，a i＝(1－i)(1＋i)，a i＝2，a＝2i＝－2i，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z＝2－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则在复平面内i z对应的点的坐标为( ) A．(1,1) B．(－1,1)C．(1，－1) D．(－1，－1)答案 C解析∵z＝2－1－i＝－1＋i，∴i z＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i＝( ) A.12－12i B.72－12i C.12＋12i D.72＋12i 答案 C 解析2＋i 3－i ＝ 2＋i 3＋i 3－i 3＋i ＝5＋5i 10＝12＋12i. 6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i 答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i ＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6 答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝ －4 2＋ －3 2＝5.8.[2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )点击观看解答视频A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝－2＋2i3，∴z 在复平面内的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B. 5 C.52 D.54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z＋z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C.32－32i D.32－12i 答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＋1－i ＝1＋i2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11.[2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )点击观看解答视频A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12· －1 2＋ 1 2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝ －3 2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件可得 ⎩⎨⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14.[2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )点击观看解答视频A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C 解析 z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i 1＋i 2＝i ， ∴1＋z ＋z 2＋…＋z2014＝1× 1－z 2015 1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i 4×503＋31－i ＝1＋i1－i＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i.15．[2016·武邑中学预测]已知x1＝1－i(i是虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则实数a＝________，b＝________.答案－2 2解析由题意，知x2＝1＋i是方程的另一根，因此－a＝x1＋x2＝2，a＝－2，b＝x1x2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数z＝4＋2i1＋i 2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________.答案－5解析z＝4＋2i1＋i 2＝4＋2i2i＝4＋2i i2i2＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.。
2018年高考数学总复习课时作业第五章 平面向量、复数 第4讲 数系的扩充与复数的引入 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.(·福建卷)若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )，－，，－ .－，解析(＋)＋(－)＝－＝＋，∴＝，＝－，故选.答案.(·四川卷)设为虚数单位，则复数(＋)＝( )＋解析(＋)＝＋＋＝，故选.答案.(·山东卷)若复数＝，其中为虚数单位，则＝( )＋－ .－＋ .－－解析∵＝＝＝＋，∴＝－，故选.答案.(·安徽卷)设为虚数单位，则复数(－)(＋)＝( )＋ .－＋＋ .－＋解析(－)(＋)＝＋－－＝＋.答案.复数对应的点位于( ).第一象限 .第二象限.第三象限 .第四象限解析复数＝＝－，∴其对应的点为，在第四象限，故选.答案.(·北京东城综合测试)若复数(－)＋为纯虚数，则实数的值为( ).－解析因为复数(－)＋为纯虚数，所以解得＝，故选.答案.已知复数＝(为虚数单位)，则的虚部为( ).－解析∵＝＝＝＝，故虚部为.答案.设是复数，则下列命题中的假命题是( ).若≥，则是实数 .若＜，则是虚数.若是虚数，则≥ .若是纯虚数，则＜解析举反例说明，若＝，则＝－＜，故选.答案.(·全国Ⅰ卷)已知复数满足(－)＝＋，则等于( ).－－ .－＋－＋解析由(－)＝＋，两边同乘以－，则有－＝－，所以＝－.答案.设，是复数，则下列命题中的假命题是( ).若－＝，则＝.若＝，则＝.若＝，则·＝·.若＝，则＝解析中，－＝，则＝，故＝，成立中，＝，则＝成立中，＝，则＝，即＝，正确不一定成立，如＝＋，＝，则＝＝，但＝－＋，＝，≠.答案.(·浙江省三市联考)若复数＝＋在复平面上对应的点在第二象限，则实数可以是( ).－ .－解析因为＝＋＝(＋)－在复平面上对应的点在第二象限，所以<－，选.答案.(·全国Ⅰ卷)设(＋)＝＋，其中，是实数，则＋＝( )解析由(＋)＝＋，得＋＝＋⇒⇒所以＋＝＝，故选.答案二、填空题.(·江苏卷改编)复数＝(＋)(－)，其中为虚数单位，则的实部是；的虚部是.解析(＋)(－)＝＋－＝＋，所以的实部为，虚部为.答案.(·四川卷)设是虚数单位，则复数－＝.解析－＝－＝.答案.(·江苏卷)设复数满足＝＋(是虚数单位)，则的模为.解析设复数＝＋，，∈，则＝－＋＝＋，，∈，则(，∈)，解得或，则＝±(＋)，故＝.答案。
2018届高考数学文大一轮复习检测：第四章 平面向量、
课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016²山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016²新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i 1＋i 2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝1³ 1－z 2 0161－z ＝1－i 2 0161－i ＝1－i4³5041－i＝0. 答案：D7．(2017²芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i 1－i 1＋i ＝12－12i ，11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016²天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数32－i 2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3 2－i 2＝34－4i ＋i 2＝33－4i ＝3 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 2－i 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017²河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1²z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i ＝2＋ 1－i 21＋i 1－i ＝2－i ，z 1²z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1²z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋s in15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1²z 2＝________.解析：z 1²z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4³503＋1,2 014＝4³503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i 1－i 1＋i 1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。
2018版高三数学理一轮复习能力大提升 第十六章 数系的
第十六章 数系的扩充与复数的引入1.(2016·山东，1)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i1.B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.]2.(2016·全国Ⅲ，2)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( ) A.1 B.－1 C.i D.－i2.C[z ＝1＋2i ，z z ＝5，4i z z －1＝i.]3.(2016·全国Ⅰ，2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A.1B.2C.3D.23.B [由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.]4.(2016·全国Ⅱ，1)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(－3，1)B.(－1，3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)4.A [由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0解得 －3<m <1，故选A.]5.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]6.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A.iB.－iC.1D.－16.A [法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A. 法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.]7.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A.－1B.0C.1D.27.B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]8.(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A.3－2iB.3＋2iC.2＋3iD.2－3i8.D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]9.(2015·湖南，1)已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i9.D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i＝－1－i ，故选D.]10.(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i10.A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]11.(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( ) A.－i B.－3i C.i D.3i11.C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]12.(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i12.A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.]13.(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z 1－z＝i ，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C. 3 D.213.A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i 1＋i＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]14.(2014·福建，1)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i14.C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C.]15.(2014·大纲全国，1)设z ＝10i 3＋i，则z 的共轭复数为( ) A.－1＋3i B.－1－3i C.1＋3i D.1－3i15.D [∵z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.故选D.]16.(2014·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i16.A [由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.]17.(2014·天津，1)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i＝( ) A.1－i B.－1＋i C.1725＋3125i D.－177＋257i 17.A [7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 25＝1－i.选A.]18.(2014·湖南，1)满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i 18.B [去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ，解得z ＝－i 1－i ＝12－12i ，选B.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，2)(1＋i )3(1－i )2＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i19.D [（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1－i ）2·(1＋i)＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i·(1＋i)＝－1－i ，故选D.]20.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( ) A.－2 B.－2i C.2 D.2i20.C [因为z ＝1＋i ，所以z i＋i·z ＝(－i ＋1)＋i ＋1＝2.]21.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i21.D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]22.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )A.－3＋4iB.－3－4iC.3＋4iD.3－4i22.D [(3＋4i)z ＝25⇒z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i.选D.]23.(2016·江苏，2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 23.5 [z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.]24.(2016·北京，9)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.24.－1 [(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋a i ＋i 2＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由复数对应点在实轴上得a ＋1＝0，解得a ＝－1.]25.(2015·天津，9)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.25.－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]26.(2015·重庆，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.26.3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]27.(2014·江苏，2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.27.21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]28.(2014·上海，2)若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 28.6 [∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z `z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6.]29.(2014·四川，11)复数2－2i 1＋i＝________. 29.－2i [2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝(1－i)2＝－2i.]。
2018届高考数学一轮复习配餐作业30数系的扩充与复数的引入含解析理20170919174
(时间：40分钟)
一、选择题
1．若复数 z＝a＋i3i＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数 a 可以是(
)
A．－4
B．－3
C．1
D．2
解析 若 z＝a＋i3i＋a＝(3＋a)－ai 在复平面上对应的点在第二象限，则Error!即 a＜－
3，故选 A。
答案 A
(时间：20分钟)
z2 1．设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若 z1 ＝1－2i，则z1的虚部为( )
3
3
A.5
B．－5
4
4
C.5
D．－ 5
解析 复数 z1＝1－2i对应的点(1，－2)关于虚轴对称的点为(－1，－2)，则 z ＝－1－
2
z2 －1－2i － 1＋2i 2 3 4
而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，
i＋i2＋i3＋…＋i2 014 i＋i2 －1＋i
∴z＝
1＋i
＝＝ 1＋i
1＋i
＝
－1＋i 1－i 2i
1＋i
1－i
＝ ＝i，对应的点为(0,1)。 2
答案 (0,1)
5．定义运算|ac
b d
|＝ad－bc，若复数 x＝11－ ＋ii，y＝|4i xi |，则 y＝________。
4＋3i m 4－2m＋ 4m＋3
4＋3i ＋25＝
25
实部是虚部的 2 倍，所以 4－2m＝2(4m＋3)，解得 m＝－1。 5
i ，因为
3
1 答案 －5
i＋i2＋i3＋…＋i2 014
4．已知复数 z＝
，则复数 z 在复平面内对应的点为________。
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配餐作业(三十) 数系的扩充与复数的引入
(时间：40分钟)
一、选择题 1．若复数z ＝
a ＋3i
i
＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )
A ．－4
B ．－3
C ．1
D ．2
解析 若z ＝
a ＋3i
i
＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3＋a <0
－a >0，即a ＜－3，故选A 。
答案 A
2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2
＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i
D ．3＋4i
解析 根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2
＝(2＋i)2
＝3＋4i 。
故选D 。
答案 D
3．i 是虚数单位，若2＋i
1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D.12
解析 ∵ 2＋i 1－i 1＋i 1－i ＝3－i 2＝32－1
2
i ＝a ＋b i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32
，
b ＝－1
2，
∴lg(a ＋b )＝lg1＝0，故选C 。
答案 C
4．(2017·兰州模拟)已知复数z ＝(a 2
－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．±1
解析 由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2
－1＝0，a －1≠0，
解得a ＝－1。
故选C 。
答案 C
5．满足
z ＋i
z
＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12
i
D ．－12－12
i
解析 去掉分母，得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ， 解得z ＝－i 1－i ＝12－1
2i ，故选B 。
答案 B
6．(2016·北京高考)复数1＋2i
2－i ＝( )
A ．i
B ．1＋i
C ．－i
D ．1－i
解析
1＋2i 2－i ＝ 1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i
5
＝i 。
故选A 。
答案 A
7．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i
D ．－1－2i
解析 通性通法：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 。
故2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＝3b ＝－2
，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝1
b ＝－2
，所以z ＝1－2i 。
故选B 。
光速解法：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数的性质可得z ＋z ＝2a ，故2z ＋z ＝(z ＋z )＋z ，故2z ＋z 的虚部就是z 的虚部，实部是z 的实部的3倍。
故z ＝1－2i ，选B 。
答案 B
8．(2016·开封一模)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，z
z ＝－35＋4
5
i ，则a ＝( )
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．－1
2
解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即 1－a i 21＋a 2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a
2
1＋a 2＝
－35，－2a 1＋a 2＝4
5
，∴a ＝－2，故选B 。
答案 B 二、填空题
9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________。
解析 复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5。
答案 5
10．(2016·天津高考)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________。
解析 因为z ＝2
1＋i
＝1－i ，所以z 的实部是1。
答案 1
11．(2016·北京高考)设a ∈R 。
若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________。
解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1。
答案 －1
12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位。
若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b
的值为________。
解析 (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b
＝2。
答案 2
(时间：20分钟)
1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则z 2z 1
的虚部为( ) A.35 B ．－35
C.45
D ．－45
解析 复数z 1＝1－2i 对应的点(1，－2)关于虚轴对称的点为(－1，－2)，则z 2＝－1
－2i ，所以z 2z 1＝－1－2i 1－2i ＝－ 1＋2i 25＝35－45i 的虚部是－4
5。
故选D 。
答案 D 2．设f (n )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
解析 f (n )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，
f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…。
∴集合中共有3个元素。
故选C 。
答案 C
3．已知复数z ＝1＋m i 4－3i ＋m
25
(m ∈R )的实数是虚部的2倍，则m ＝________。
解析 由题意知，z ＝1＋m i 4－3i ＋m 25＝ 1＋m i 4＋3i 4－3i 4＋3i ＋m 25＝4－2m ＋ 4m ＋3 i
25，因
为实部是虚部的2倍，所以4－2m ＝2(4m ＋3)，解得m ＝－1
5。
答案 －1
5
4．已知复数z ＝
i ＋i 2
＋i 3
＋…＋i
2 014
1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________。
解析 ∵i
4n ＋1
＋i
4n ＋2
＋i
4n ＋3
＋i
4n ＋4
＝i ＋i 2
＋i 3
＋i 4
＝0，
而2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2， ∴z ＝
i ＋i 2
＋i 3
＋…＋i 2 014
1＋i
＝i ＋i 2
1＋i ＝－1＋i 1＋i
＝ －1＋i 1－i 1＋i 1－i ＝2i
2＝i ，对应的点为(0,1)。
答案 (0,1) 5．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a
b c
d ＝ad －bc ，若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________。
解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝ 1－i
2
2
＝－i 。
所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
4i 12 0＝－2。
答案 －2。