带两个形状参数的五次Bézier曲线的扩展

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五次Bézier曲线的三种不同扩展

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复杂。
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中图分类号：Ｔ３１Ｐ９文献标识码：Ａ文章编号：１００７— ４６（０８０２０２０）２— ０６一Ｏ０９５
０
引言
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Bezier曲线的拼接及其连续性

［)］有关几何连续性和参数连续性的定义见文献。
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ease in out 贝塞尔曲线-概述说明以及解释

ease in out 贝塞尔曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线描述方法，由法国数学家贝塞尔（Pierre Bézier）于20世纪60年代提出。

它通过控制点的位置和权重来确定曲线的形状，具有灵活性和可调节性，被广泛应用于各种设计领域，如动画、游戏开发、网页设计等。

贝塞尔曲线的特点在于平滑且变化连续，不会出现突变或折线的现象。

通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状，实现各种各样的动画效果。

其中，ease in out 贝塞尔曲线是一种特殊的曲线形式，常用于制作平滑的过渡动画，使动画变化起始和结束时的速度较慢，中间过程速度较快，给人一种自然流畅的感觉。

本文将重点介绍贝塞尔曲线的基本原理和ease in out 贝塞尔曲线的应用。

首先，我们将详细解释贝塞尔曲线的计算方法和控制点的作用，以及曲线的插值原理。

然后，我们将重点讨论ease in out 贝塞尔曲线的应用场景，并通过实例演示如何使用该曲线制作平滑过渡的动画效果。

最后，我们将对本文内容进行总结，并展望贝塞尔曲线在未来的发展前景。

通过阅读本文，读者将能够全面了解贝塞尔曲线的基本原理和应用方法，掌握如何利用ease in out 贝塞尔曲线制作流畅的动画效果。

同时，本文还将为读者提供一些实用的技巧和建议，帮助他们在设计和开发过程中更好地应用贝塞尔曲线，提升产品的用户体验。

希望本文能对读者在相关领域的工作和学习有所帮助，引起他们对贝塞尔曲线的深入思考和探索。

1.2 文章结构文章结构部分主要描述了本文的组织结构和内容安排。

通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解和把握文章的主旨，并能够有条理地阅读文章的各个部分。

文章结构包括引言、正文和结论三个主要部分。

在引言部分，我们将概述本文的主题和背景，简要介绍贝塞尔曲线及其应用，并明确本文的目的和意义。

通过引言，读者可以对文章的主要内容有一个初步的了解，为后续的阅读打下基础。

带两个形状参数的Bézier曲线

了形状参数的几何意义和曲线的几何作图法。由于带有两个形状参数，这种曲线具有更加灵
活的形状控制能力。
关键
词：计算机应用；计算机辅助几何设计；曲线设计；Ｂｚｒ６ｉ曲线；形状参数ｅ
文章编号：１０ — １８２０）３０８ —５０３０５（０８０ —０８０
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第３期
严兰兰等：带两个形状参教的Ｂｚｒ６ｉ曲线ｅ
ｓａｅｐａｔｒｓｇｖｎＴｅｎｗｕｅｍｐｙｇｎｒｉｅｚｅｕｅｎｚｅｕｅ．ｈｐａｍｅｅｓｉｉｅ．ｈｅＣｒｓｉｌｅｅａｚｄＢ６ｉｒｒｓａｄ２Ｂ６ｉｒＣｒｓｒｖｌＣｖｖ
Ｇｅｍｅｒｃｍｅｎｉｇｏｈｐａａｅｅｓｉｉｅ．ｏｔｉａｎｆｔｓａｅｐｈｅｒｍｔｒｓｇｖｎＫｅｙｗｏｒ：ｃｍｐｅｐｉａｉｎ；ｃｄｓｏｕｔｒａｐｌｔｃｏｏｍｐｔｒａｄｄｇｏｍｅｒｃｄｅｉｎ；ｃｒｅｉｎ；Ｂ６ｉｒｕｅｉｅｅｔｉｓｇｕｖｅｄｓｇｚｅｃｒｅｓａａａｅｅｓｕｖ；ｈｐｅｐｒｍｔｒ
与其它各种多项式基表示的参数多项式曲线相比，Ｂｒｓｉ用ｅｎｔｎ多项式基函数定义的Ｂｚｒｅ６ｉｅ
良好的控制性质，而且几何直观，又惊人地简单Ⅲ 。
正是由于此，使得它特别适合于人们交互地设计
形状和对工业界具有永久的生命力。但是，任何

Bézier曲线的扩展研究的开题报告

Bézier曲线的扩展研究的开题报告一、研究背景和意义Bézier曲线是计算机图形学中的一种常用曲线模型，其具有简单、易于计算、形状可控性强等优点。

由于Bézier曲线的应用广泛，因此对其进行扩展研究，将有助于更好地满足各种实际应用需求，提高曲线模型的表达能力和计算性能，具有重要的理论和实际意义。

二、研究内容和技术路线本文将针对Bézier曲线的扩展研究展开，主要涉及以下内容：1. 对Bézier曲线进行更一般化的表示和计算方法探索。

目前Bézier 曲线仅限于二维空间内的表示和计算，本文将探讨在三维及以上空间的表示和计算方法，以及相关算法的实现细节。

2. 对Bézier曲线的拟合和逼近问题进行深入研究。

在实际应用中，噪声点和数据异常点会对曲线的拟合和逼近效果产生影响，本文将探讨针对这些问题的改进算法，并在模拟数据集和真实数据集上进行验证。

3. 对Bézier曲线的变形和变形动画问题进行研究。

Bézier曲线的形状控制性强，在变形动画中应用广泛。

本文将探讨在Bézier曲线基础上的形变算法，可用来实现形状变化，如曲面弯曲、速度/加速度场形变、表面展开等。

4. 对Bézier曲线的可视化和交互设计进行研究。

Bézier曲线的可视化和交互设计是使用Bézier曲线的应用中至关重要的环节，本文将探讨基于Bézier曲线的可视化工具的设计与实现，以及基于交互的动态操作。

在技术路线方面，本文将采用Python编程实现算法，并使用OpenGL等图形库进行模拟与可视化。

通过相应的对比实验，验证算法的可行性和有效性。

三、预期研究成果1. 提出Bézier曲线更一般化的表示和计算方法；2. 针对Bézier曲线拟合和逼近问题，提出改进算法，并基于数据集进行验证；3. 提出基于Bézier曲线的形变算法，并基于模拟和实验数据进行验证；4. 设计基于Bézier曲线的可视化工具并进行实现，验证其在交互设计中的有效性。

五次Bezier曲线的扩展

Bézier曲线曲面的扩展研究中文摘要Bézier曲线和曲面广泛应用于CAGD(计算机辅助几何设计)和计算机图形学,对Bézier 曲线或者曲面的设计和形状修改是一个重要的问题。

给定了控制顶点及相应的Bernstein 基以后，Bézier 曲线就确定了；若要修改曲线的形状，必须调整控制顶点。

所以在本文第二章给出了Bézier 曲线的定义以及其相关性质，第三章讨论了吴晓勤,韩旭里等前辈给出的针对四次的Bézier曲线的扩展,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier曲线类似的性质；如端点性、对称性、凸包性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier曲线.在第四章给出了一组含有参数λ的六次多项式基函数,是五次Bernstein 基函数的扩展；分析了此组基的性质,基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线.曲线不仅具有五次Bézier曲线的特性,而且具有形状的可调性和更好的逼近性.参数λ有明确的几何意义：λ越大,曲线越逼近控制多边形,当λ=0 时,曲线退化为五次Bézier曲线.实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法.关键词：Bernstein基函数；Bézier曲线；形状参数；曲线设计Research on Extension of Bézier Curve and SurfaceABSTRACTBézier curve and surfaces are one kind of the most commonly used parametric curves in computer aided geometric design (CAGD) and computer graphics. Developing more convenient techniques for designing and modifying Bézier curve and surfaces are an important problem. Given the control vertex and the corresponding Bernstein, B e zier curve identified; if you want to modify the shape of curve, you must adjust the control vertexes. So in this paper, we give the definition of Bézier curve and its correlation properties in section 2. In section 3, the extension of quartic B e zier curve of Wu and Han are discussed and we get the quartic B e zier curve with shape parameterλ.This curve inherit the outstanding properties of quartic B e zier curve, such as symmetry, endpoint property, convex hull property. And this curve converge to quartic B e zier curve when λ=0.In this paper, a class of polynomial basis functions with an adjustable parameter λis presented. They are extensions of quintic Bernstein basis functions. Properties of this basis are analyzed and the corresponding polynomial curve with a shape parameterλis defined accordingly. This curve not only inherits the outstanding properties of quintic Bézier curve, but also is adjustable in shape and fit close to the control polygon. This curve converge to quintic Bézier curve whenλ=0. Some examples illustrate the variation curve shapes with different values ofλ.KEY WORD: Bernstein basis function; Bézier curve; shape parameter; curve design第一章前言1.1 问题的提出曲线曲面表示是计算机辅助几何设计（CAGD ）中一个重要的研究课题,其中,以Bernstein 基构造的Bézier 曲线由于结构简单、直观而成为CAGD 中表示曲线和曲面的重要工具之一.然而给定控制顶点及相应的Bernstein 基以后,Bézier 曲线的形状就被唯一的确定了,若要修改Bézier 曲线的形状,必须调整控制多边形的顶点.有理Bézier 曲线通过引入了权因子,不改变控制顶点,由权因子可调整曲线的形状；但有理Bézier 曲线还有一定的缺陷：如权因子的如何选取、权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚,求导次数增加,求积分的不方便等.1.2 研究现状随着几何造型工业的发展,往往要求调整曲线的形状或改变曲线的位置；人们开始想法推广Bézier 曲线,在文献[1],[2]中给出了以Bernstein 基定义的Bézier 曲线以及其相关性质.齐从谦等[]3,讨论了一类可调控Bézier 曲线, 针对(1)n +个控制点,用Bernstein 基构造一类Bézier 曲线.该类曲线的参数几何意义不明显、曲线次数过高、增加了曲线的计算量.刘根洪等[]4,通过将参数t 重新参数化,提出了广义Bézier 曲线和曲面；其目的在于提高连接两端Bézier 曲线的连续阶.梁锡坤[]5,通过将参数t 有理参数化提出Bernstein －Bézier 类曲线,但曲线不具有对称性.而韩旭里等[]67-提出了二次,三次，四次Bézier 曲线的扩展,其所用的方法是提高多项式次数以获得不同于Bernstein 基且含有参数λ的基函数,得到的曲线具有Bézier 曲线类似的性质.此外这种带一个形状参数的曲线还可以在三角多项式空间[10],[11]中生成，同样也是利用这一形状参数的不同取值可对曲线作整体调控。

简述bezier曲线的性质

简述bezier曲线的性质一、 bezier曲线的定义1． bezier曲线的概念： bezier曲线就是函数y=f(x)， y=f(-x)，f(x)随x的变化而变化，并且所有这些随机点的集合都包含在一条直线上。

2． bezier曲线的图象： bezier曲线可以由点M(x， y)表示，由点M'(x'， y')表示，由点O(x， y)表示，因为这四个点都属于[-x，0]，这样，它们围成了一个四边形，我们称这个四边形为[-x， 0]A ∪[0， y]B ∩[0， -y]的bezier曲线图象。

3． bezier曲线的性质：①当x→0时， bezier曲线是开口向上的抛物线，②当x→0时， bezier曲线是以y轴为中心对称的双曲线，③当x→0时， bezier曲线是倾斜的;若y=f(x)， f(-x)， f(x)是直线，这是一条平行线;4． bezier曲线的拐点：曲线上某一点到x轴、 y轴的距离相等，或该点既不在x轴上，也不在y轴上，则称这一点是bezier曲线的拐点。

拐点有三类：一类是x=0， y=0;第二类是x=y=0;第三类是x=0， y=y=0。

4． bezier曲线的应用：在线性规划问题中，需要确定使得目标函数值达到最大的水平或垂直线段， bezier曲线可以帮助我们做出正确选择， bezier曲线也可以帮助我们分析解决一些实际问题，如果求极值的问题，求两条或多条实际可行线段交点的问题，通过使实际可行线段交点最小来分析问题和找到最佳点。

总之， bezier曲线是我们解决实际问题的有力工具。

5．综合练习，解答1．利用bezier曲线，讨论函数在某一点的取值范围，再由此判断函数的单调区间; 2．求已知函数f(x)的图象与其一阶导数f'(x)的图象的交点坐标; 3．利用bezier曲线及其图象求下列各函数的一阶导数; 4．已知一元二次方程x=1/2-1/3，用bezier曲线法求解; 5．讨论函数f(x)=-x-7/x是否为增函数，并说明理由。

带多形状参数的广义Bézier曲线曲面

ｓｐａａｅｅｓｈａｅｐｒｍｔｒｗｈｎｈｅｏｎｔｏｌｅｔｃｒｐｏｙｎｓｌｇｏｉｍａｎｔｉｅｉａｎｄ．Ｎｕｅｉａｅａｐｌｓｒａｓｇｖｎｏｍｒｃ１ｘｍｅａｅｌｏｉｅｔｉｕｔａｅｔｒｃｉａｉｙｏｈｉｅｈｏｌｓｒｔｈｅｐａｔｃｌｆｔｓｍｔｄ．ｌｔ
Ｋｅｒ：Ｂｅｄｉｇｆｎｃｉｎ；ｓｐｒｍｅｅ；ｇｎｒｌｚｄＢ￣ｉｒｃｒｅａｕｒａｅｙｗｏｄｓｎｎｕｔｏｈａｅｐａａｔｒｅｅａｉｅｚｅｕｖｎｄｓｆｃ
关键词：调配函数；状参数；义Ｂｚｅ形广￣ｉｒ曲线曲面
中图法分类号：ＴＰ９．Ｂ６ｉｒＣｕｖｓａｄＳｒａｅｔｕｔｌｈｐｒｍｅｅｓＣｌｓｆＧｅｅａｉｅｚｅｒｅｎｕｆｃｓｗｉｈＭｌｉｅＳａｅＰａａｔｒｐ
ａｊｓａｌｅｅａｉｅｚｅｕｖｓａｄｓｒａｅ，ａｄｉｖｓｉａｅｔｅｒｐｏｅｔｅ．ＷｅｓｏｔａｈｄｕｔｂｅｇｎｒｌｄＢ６ｉｒｃｒｅｎｕｆｃｓｎｎｅｔｔｈｉｒｐｒｉｓｚｇｈｗｈｔｔｅ
ｉａｓｅｉｌｃｓｆｐｏｏｅｕｃｉｎ．Ｓｃｎｌ，ｂｓｄｏｈｓｂｅｄｎｕｃｉｎ，ｗｅｄｆｅａｃａｓｏｓｐｃａａｅｏｒｐｓｄｆｎｔｓｅｏｄｙａｅｎｔｉｌｎｉｇｆｎｔｏｏｅｉ１ｓｆｎ

带两个形状参数的四次B6zier曲线的扩展

Ｗｈｅｎ／．ｔ０．ｔｈｅｃｕｒｖｅｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｓｔｏｆｏｕｒｄｅｇｒｅｅＢ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｎａｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＪｉａｏｚｕｏＨｅｎａｎ４５４０００，Ｃｈｉｎａ）
ｍｅｔｈｏｄｇｉｖｅｎｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｉｎｔｕｉｔｉｖｅ，ｅｆｅｃｔｉｖｅａｎｄｅａｓｙｔｏｃｏｎｔｒｏ１．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｕｒｖｅｄｅｓｉｇｎ；ｑｕａｒｔｉｃＢ６ｚｉｅｒｃｕｒｖｅ；ｓｈａｐｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄａｒｅｄｅｉｎｅｆｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｌｙ．Ｔｈｅｓｅｃｕｒｖｅｓｎｏｔｏｎｌｙｉｎｈｅｒｉｔｔｈｅｏｕｔｓｔａｎｄｉｎｇ
２０１３年
１月
图学学报
ＪｏＵＲＮＡＬＯＦＧＲＡＰＨＩＣＳ
Ｊａｎｕａ Байду номын сангаас ｙ２０１３

贝塞尔曲线（Bezier曲线）

贝塞尔曲线（Bezier曲线）贝塞尔曲线(Bézier curve)，⼜称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应⽤于⼆维图形应⽤程序的数学曲线。

⼀般的⽮量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的⽀点，线段像可伸缩的⽪筋，我们在绘图⼯具上看到的钢笔⼯具就是来做这种⽮量曲线的。

贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。

贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。

贝塞尔曲线就是这样的⼀条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的⼀条光滑曲线。

在历史上，研究贝塞尔曲线的⼈最初是按照已知曲线参数⽅程来确定四个点的思路设计出这种⽮量曲线绘制法。

贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“⽪筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产⽣⽪筋伸引⼀样的变换，带来视觉上的冲击。

它的主要意义在于⽆论是直线或曲线都能在数学上予以描述。

线性公式给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是⼀条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

⼆次⽅公式⼆次⽅贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：TrueType字型就运⽤了以贝兹样条组成的⼆次贝兹曲线。

三次⽅公式P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝兹曲线。

曲线起始于P0⾛向P1，并从P2的⽅向来到P3。

⼀般不会经过P1或P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进P3之前，⾛向P2⽅向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运⽤了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线，⽤来描绘曲线轮廓。

带形状参数Bézier型曲线曲面及其应用

０引言
以Ｂｅｍｓｔｅｉｎ基构造的Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线曲面由于
角函数空间｛１，ｓｉｎ（７／－），ｃｏｓ（詈￡），ｓｉｎ（仃ｔ），
二二
ＣＯＳ（Ｗ＇ｔ）｝中构造一类带有形状参数的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ
型基函数，并定义相应的Ｂ￣ｚｉｅｒ型曲线及张量积Ｂ６ｚｉｅｒ型曲面。只要适当的选择形状参数和控制顶点，Ｂ￣ｚｉｅｒ型曲线曲面可以简单且精确表示椭圆弧（圆弧），椭球面（球面），圆柱型曲面等二次曲面，同时，Ｂ￣ｚｉｅｒ型曲线曲面在图形及实物造型中也有较好的应用。
Ｆｅｂ．２０１３
ＶＯＩ．１９ＮＯ．１
带形状参数Ｂ６ｚｉｅｒ型曲线曲面及其应用
陈素根，苏本跃，汪志华
（安庆师范学院１．数学与计算科学学院；２．计算机与信息学院，安徽安庆２４６１３３）
摘
要：在三角函数空间中构造了一组带有形状参数的基函数，具有类似于Ｂｅｍｓｔｅｉｎ基函数的性质，称其为Ｂｅｍ—
ｓｔｅｉｎ型基函数，利用此基函数定义Ｂ６ｚｉｅｒ型曲线及张量积Ｂ￣ｚｉｅｒ型曲面。分析了形状参数对曲线曲面形状的调节作用，调节形状参数可以使Ｂ６ｚｉｅ型曲线从双边逼近Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线，且可以精确表示抛物线、椭圆弧（圆弧）等，同时，Ｂ６ｚｉｅｒ型曲面

bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接

bezier曲面的应用-Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面的拼接摘要曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之1，Bézier曲线曲面又是计算机图形学中常用的曲线曲面，它采用分段和分片参数多项式的形式。

Bézier曲线曲面之所以被广泛使用是因为它有许多特别适合计算机图形学和计算机辅助几何设计的特点。

本文依次详细论述了Bézier曲线的定义和性质、Bernstein基函数性质、介绍了双3次Bézier曲面、递推算法、构图法及其应用、Bézier曲线曲面的拼接。

通过对Bézier曲线曲面的论述，阐述了Bézier曲线曲面的原理及其特性，研究Bézier曲线拼接的几何连续性及参数连续性,总结出G ,G 及C ,C 连续的几何意义。

最后研究了Bézier曲面拼接的几何连续性。

关键词： C 连续;G 连续;Bernstein基函数;参数连续性;几何连续性Abstract The curve curved surface expression is one of computer graphics important research contents, Bézier the curv e curved surface also is in the computer graphics the commonly used curve curved surface, it uses the partition and the lamination parameter multinomial form. Bézier the curve curved surface the reason that by the widespread use is because it has many suits the computer graphics and the computer assistance geometry design characteristic specially. This article in detail elaborated Bézier the curve definition and the nature, the Bernstein primary function nature in turn, introduced a pair of three Bézier cu rved surface, the recursion algorithm, the composition law and the application, Bézier curve curved surface splicing. Through to Bézier the curve curved surface elaboration, elaborated Bézier the curve curved surface principle and the characteristic, the r esearch Bézier curve splicing geometrycontinuity and the parameter continuity,Summarizes G,G and C,C continual geometry significance. Finally has studied Bézier thecurved surface splicing geometry continuity.Key words： C continuity ; G continuity; Bernstein basic function ; parametric continuity ; geometric continuity。

Bézier曲线的新扩展

圈囊Ｔ３．分每：Ｐ９４１
Ｂｚｅ￣ｉｒ曲线的新扩展
胡锕１秦新强，２，刘哲，田径
（．西安理工大学理学院，西安７０５；２１１０４．西北工业大学理学院，西安７０７）１０２
■ 蔓：给出２组含有２个形状控制参数Ｏ的四次、五次多项式基函数，其分别是三次、四次Ｂｒｔｎ基函数的扩展。分析２ｒ＂，ｅｓｉｎｅ组基的
维普资讯
２第３卷第ｌ期４
ＶＬ３ｏ４・计算 Nhomakorabea机
工
程
２００８年６月
Ｊｎ０８ｕｅ２０
Ｎｏ．２１
ＣｏｐｔｒＥｎｉｅｒｎｍｕｅｇｎｅｉｇ
软件技术与舅攮库・【｝
文编：ｏ — ４（ｏｌｏ４ｏ章号ｌ０３８ｏ） — ｏ一３文献识Ａｏ２２８２６．标码；
ＮｅＥｘｅｓｏｆＢ６ｉｒＣｕｖｓｗｔｎｉｎｏｚｅｒｅ
ＨＵＧａｇ，ＮＸｉ－ｉｎＬＵＺｅ，ＩｉｇｎＱＩｎｑａｇ，ＩｈＴＡＮＪｎ
（．ｃｏｌｆｃｎｅＸｉｎＵｎｖｒｔｏＴｃｎｌｇ， ’ １０４２Ｓｈｏｆｃｅｃ，ｒｗｅｔｏｙｅｈｉａＵｉｅｓｙＸｉ１０２１ＳｈｏＳｉｃ， ’ ｉｅｓｙｆｅｈｏｏｙＸｉ７０５；．ｃｏｌＳｉｅＮｏｔｓｒＰｌｔｎｃｌｎｖｒｉ， ’ ７０７）ｏｅａｉｎａｏｎｈｅｎｃｔｎａ

带形状参数的五次三角Bézier曲线

三角多项式，ｂ０（ｔ）＝（１一ｓｉｎｔ）（１一ａｓｉｎｔ）
数的Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，通过引入一个形状参数，对曲线的形状进行调控．但Ｂ６ｚｉｅｒ曲线在组合曲线相邻控制
顶点上的连续性，有局限性．近年来，研究者开始研
∑ｂ（ｔ）＝１．
３）对称性．ｂ（）＝ｂ５一（一￡），：０，１，２，３，４，５．
该五次三角多Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线可精确地表示椭圆弧、圆
弧、抛物线弧等．
收稿日期：２０１５—０６—０９．
具有Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的几何特性、端点性、对称性等．通过改变形状参数的取值，可对曲线的形状进行调控．当形
状参数ａ越大，曲线越逼近控制多边形．该曲线还可表示为椭圆弧、抛物线孤等，给出了２段曲线性质．
基金项目：安徽广播电视大学青年教师科研基金（ｑｎｌ５ — １）资助项目．
作者简介：张丹丹（１９８４一），女，硕士，讲师，从事计算机辅助几何设计研究
・
２５２・
成都大学学报（自然科学版）
第３４卷
ｂｌ（ｔ）＝ｓｉｎｔ（１一ｓｉｎｔ）［ａ＋２一
（２ａ＋１）ｓｉｎｔ］
ａ＋１１－ｓ）ｓｉｎ２ｔ（ｉｎｔ）ｂｔ１）ｃｏｇｔ１ｃｏｓｔ）＋。（）＝（＋（一）６

Bézier曲线曲面的同次扩展

推广了上述结论，在｛， …，，ｉ，ｏｔ１一ｓｔｃｓ空间构造了ｎ｝含参数ａＣＢｚｒ的－ｄｉ曲线。ｅ在多项式空间引入形状参数
对Ｂｒｅｅｔｎ基函数进行扩展，使其具有类似Ｂｒｅ基ｓｉｅｓｉｔｎ
的性质，从而生成的曲线曲面也具有类似Ｂｚｒ６ｉ曲线曲ｅ
Ｓｍｅｅａｌｓｉｅｉｔｉａｅｈｗｏｒｍｅｏｓｅｅｔｅｉｇｏｔｃｍｏｅｉｇｏｘｍｐｅｇｖｎｎｈｓｐｐｒｏｓｕｈｔｄｉｆｃｖｎｅｍｅｒｉｉｄｌ．ｎ
Ｋｅｒ：ｓｓｆｎｃｉｎ；ｓｐａａｔｒｙｗｏｄｓｂａｉｕｔｏｈａｅｐｒｍｅｅ；Ｂ６ｉｒｃｒｎｕｆｃｚｅｕｖｅａｄｓｒａｅ；ｇｏｔｉｄｌｅｍｅｒｃｍｏｅｉｎｇ
（合肥工业大学数学学院，合肥２００）３０９
摘要：在几何造型中，了更加灵活地调控曲曲面的形状，定义了一类带多形状参数的多项式基函数。同为线次
Ｂｍｔｎｅｓｉｅ基函数是该基函数的特例，且二者具有类似的几何性质。利用该基函数构造了带形状参数的多项式参数曲线曲面，它们分别具有同６ｉ￣次Ｂｚｒ线曲面的形状特点。ｅ通过改变形状参数的取值可以整体或局部调控曲曲线面的形状。数值实例表明新方法在计算机辅助几何设计中是灵活有效的。关键词：基函数；形状参数；Ｂｚｒ６ｉ￣线曲面；几何造型ｅ中图分类号：２１Ｏ４．５文献标志码：Ａ文章编号：１７ — １００１１—０２ —５６３７８（１）２０７１

贝塞尔曲线曲线

贝塞尔曲线曲线
贝塞尔曲线（Bézier curve）是一种数学概念，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔提出。

它是一种参数曲线，通常用于计算机图形学中。

贝塞尔曲线可以用一组控制点来定义，这些控制点决定了曲线的形状。

根据需要，可以增加更多的控制点来更精细地控制曲线。

在计算机图形学中，贝塞尔曲线经常被用于创建各种形状，如二次贝
塞尔曲线（用于创建简单的平滑曲线），三次贝塞尔曲线（用于创建
更复杂的形状），以及更复杂的组合。

在许多软件中，如Adobe Illustrator和AutoCAD，用户可以使用贝塞尔工具来创建和编辑这些曲线。

总的来说，贝塞尔曲线是一种非常有用的数学工具，它在计算机图形
学中有着广泛的应用。

带两个形状参数的三次Bézier曲线的扩展

带两个形状参数的三次Bézier曲线的扩展
李军成
【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(011)002
【摘要】构造了一组带两个形状参数的四次调配函数,它是三次Bernstein基函数的扩展.基于该调配函数生成了带两个形状参数的四次参数曲线,并讨论了该曲线的性质和拼接条件.事实表明,该四次曲线是三次Bézier曲线的扩展,它不仅具有三次Bezier曲线的诸多特性,而且由于带有两个形状参数,使得曲线具有了更强的表现能力,在控制顶点保持不变时,可通过修改两个形状参数对曲线进行局部或全局调节.最后给出了应用实例,并给出了张量积曲面的定义.
【总页数】4页(P125-128)
【作者】李军成
【作者单位】湖南人文科技学院数学系,湖南,娄底,417000
【正文语种】中文
【中图分类】O241.5;TP391.72
【相关文献】
1.带两个形状参数的四次Bézier曲线的扩展 [J], 刘小琼;杨国英
2.一类带两个形状参数的三次Bézier曲线 [J], 谢进;洪素珍
3.带两个形状参数的类三次三角Bézier曲线 [J], 李军成;宋来忠;龙志文
4.带两个形状参数的四次Bézier曲线的扩展 [J], 翟芳芳
5.带两个形状参数的三次TC-Bézier插值曲线 [J], 王成伟;张永明
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常用的Bézier 曲线_计算机图形学实用教程（第3版）_[共2页]

96 即min ,,max ,000()()()n n nk n k k n k n k k k BEZ t BEZ t BEZ t ===⋅∑∑∑≤≤p P p因为Bézier 基函数BEZ k , n (t )（k = 0, 1, …, n ）总是正值，而且总和为1，即,0()1n k n k BEZ t ==∑ （4-46）所以有 min ,max 0()n k k n k BEZ t =⋅∑≤≤p P p这意味着，Bézier 曲线各点均应落在控制多边形各顶点构成的凸包之内，曲线不会震荡到远离定义它的离散点。

4．几何不变性几何不变性是指曲线的形状仅与控制多边形顶点的位置有关，而与坐标系的选择无关，不随坐标系的变换而改变。

5．变差缩减性如果Bézier 曲线的特征多边形P 0, P 1,…, P n 是一个平面图形，则平面内任一条直线与曲线P (t )的交点个数不会多于该直线与其控制多边形的交点个数。

它反映了Bézier 曲线的波动比其控制多边形的波动要小，也就是说Bézier 曲线比其控制多边形所在的折线更光顺。

这个性质称为变差缩减性。

6．多值性将第一个控制点（始端）和最后一个控制点（终端）重合，可以生成具有多值性的封闭Bézier 曲线，如图4-15所示。

7．交互能力Bézier 曲线的控制多边形P 0P 1…P n 大致勾画出了Bézier 曲线P (t )的形状，要改变P (t )的形状，只要改变P 0P 1…P n 的位置即可，无需考虑参数方程的显示表示，就能从一定形状的多边形预测出将要产生的曲线的形状。

这种把控制多边形的顶点位置作为曲线输入和人机交互手段的曲线设计方法，既直观又简便，不了解Bézier 曲线数学定义的人也能得心应手地使用，因此，Bézier 曲线有很好的交互性能。

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工具之一［．曲线的位置相对于控制点是固定的，果要调整曲线的形状一般可借助有理Ｂｚｒ曲１但３如６ｉｅ
线和有理Ｂ样条曲线中的权因子来实现，但有一定的缺陷，如权因子如何选取、因子对曲线形状的影权
（１）
［稿日期］２０—２１收０９０— ３
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大学数学
第２８卷
为带有参数ａ的六次多项式基函数，中一５≤ ａ≤ １２，其；ａ一５ ≤ ≤ ２ａ＋１．１０图所示为口一２一，
一一
１时的基函数图形．
上述基函数具有如下性质：
５
性质１非负权可性、性．验证∑Ｂ（三１），＝。）且Ｂ（ ≥０ｉ
一
０
０，２，４，１，３，５．
’
性质２对称性．可验证Ｂ（一一Ｂ一（），一０１２１）￡ｉ，，．性质３端点性质．
Ｂ。Ｏ一１，（）
Ｂ（）；０一Ｂ（）ｏ一Ｂ（）；０一（）ｏｏ一Ｂ（）
一
Ｂ（），Ｏ一Ｂ（）（Ｏ一Ｂ，）０一ｏ一１２３４５（，，，，），
图１基函数图形
Ｂ１一１（），
Ｂ（）Ｂ（）Ｂ（）Ｂ（）Ｂ（）１一１一１一１一１
带多个形状参数的多项式曲线，曲线不具有对称性．但
本文给出了一类带两个形状参数ａ口的Ｂｚｅ，６ｉｒ曲线，定义的曲线不仅具有与五次Ｂｚｅ所６ｉｒ曲线相类似的性质，而且还包含文献１］－的结果．４形状参数ａ口具有明显的几何意义：ａ增大时，，当曲线向上逼
响不是很清楚、导次数会增加及基求积不方便等［．求２］
近年来，们通过形状参数来调整曲线的形状．献［，，］出了带一个形状参数的Ｂｚｒ曲人文３４５给６ｉｅ
线，过改变形状参数，通曲线只能上下移动，而不能从两侧逼近控制多边形．献［，］出了带两个形文６７给状参数的曲线，曲线的基函数中含有三角函数，用三角函数不如多项式方便．献［，，０给出了但使文８９１］
一
Ｂ，１一Ｂ（）１一ｏ（，）１一Ｂ（） —ｏ１２３４．（，，，，）
性质４单峰性．即对每个基函数在［，］上有一个局部最大值．图１就可判断，过对基函数Ｏ１从通
Ｂ０￡一（（）１一）（１一￡，）
Ｂ１￡一（＋ａ一３ｔｐ）（一ｔ，（）５ａ＋ｔ１）ｔＢ２￡一（０＋２一２ｔｐ）（一￡。。（）１ａ一ａ＋ｔ１）ｔ，
Ｂ３（）一（０＋２ｔ一口）（１ａ１一￡ｔ，）。Ｂ４￡（）一（５— ２ａ＋＋３ｔ— ￡１一￡ｔａ）（），Ｂ５（）一（１一口＋ａ）ｔｔ
近控制多边形；当增大时，曲线从两侧逼近控制多边形．过选取ａ的不同取值，更灵活的调整曲通，可
线的形状．
２基对于ｔ［，］；，，关于ｔ ∈ Ｏ１ａ ∈
第２８卷第３期
２１０２年６月
大学数学
Ｃ０ＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ．８，．１２ № ３
Ｊｎ２１ｕ．Ｏ２
带两个形状参数的五次Ｂｚｅ６ｉｒ曲线的扩展
翟芳芳
（肥工业大学数学学院，肥２００）合合３０９
［摘
要］给出了一组含有两个形状参数ａ口的六次多项式基函数，五次Ｂｒｓｅ，是ｅｎｔｉ函数的扩展，ｎ基分
析了这组基的性质；于这组基定义了带两个形状参数的多项式曲线，定义的曲线具有五次Ｂｚｒ线的基所６ｉ曲ｅ性质，变参数ａ口的取值，改，曲线具有更灵活的形状可调性，且能向上或从两侧逼近控制多边形．外，典而另经的五次Ｂｚｒ曲线和有关文献中带一个形状参数的曲线均是该文所定义曲线的特例．例表明，义的曲线６ｉｅ实定为曲线／面的设计提供了一种有效的方法．曲［关键词］计算机应用；线设计；次Ｂｚｒ线；状参数曲五６ｉ曲ｅ形
［图分类号］Ｏ４．中２１５
［献标识码］Ａ文
［章编号］１７—４４２１）３０５—５文６２１５（０２０—０９０
１引
言
以Ｂｒｓｅｎ基构造的Ｂｚｒｅｎｔｉ６ｉ曲线由于结构简单直观成为几何造型工业中表示曲线／面的重要ｅ曲