2018届高考数学第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A版
2018届高三数学理一轮温习第九章平面解析几何第五节椭圆含解析(供参考)
第五节 椭圆A 组 基础题组1.已知方程x 22-x +x 22x -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,+∞) C .(1,2) D.(1,1)2.(2017黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的核心在x 轴上,离心率为3,直线x+y-4=0与y 轴的交点为椭圆的一个极点,那么椭圆的方程为( ) A.x 225+x 29=1B.x 29+x 225=1C.x 225+x 216=1 D.x 216+x 225=13.矩形ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,那么以A,B 为核心,且过C,D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2√3B.2√6C.4√2D.4√34.设椭圆x 24+y 23=1的核心为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或35.已知椭圆x 24+y 2b=1(0<b<2)的左,右核心别离为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( ) A.1B.√2C.32D.√36.已知椭圆的中心在原点,核心在x 轴上,离心率为√55,且过点P(-5,4),那么椭圆的标准方程为 . 7.已知椭圆C 的中心在原点,一个核心为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶√3,那么椭圆C 的方程是 .8.椭圆x 29+y 22=1的左,右核心别离为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则∠F 1PF 2的大小为 .9.已知椭圆的两核心为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),离心率e=√32. (1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l 与此椭圆相交于P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.10.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2别离为椭圆的左,右核心,A 为椭圆的上极点,直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若=2,·=32,求椭圆的方程.B 组 提升题组11.已知椭圆C:x 24+y 23=1的左,右核心别离为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2.假设点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( ) A.√32B.3√32C.94D.15412.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-2√5,0)为C 的左核心,P 为C 上一点,知足|OP|=|OF|,且|PF|=4,那么椭圆C 的方程为( )A.x 225+y 25=1B.x 236+y 216=1C.x 230+y 210=1D.x 245+y 225=113.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右核心,直线y=b 2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是 .14.设F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右核心,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,那么椭圆C 的离心率为 .15.(2016云南检测)已知核心在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O,离心率等于√32,以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5.直线l:y=kx+m 与y 轴交于点P,与椭圆E 相交于A 、B 两个点. (1)求椭圆E 的方程; (2)若=3,求m 2的取值范围.答案全解全析 A 组 基础题组1.C ∵方程x 22-k +y 22k -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,因此{2-k >0,2k -1>0,2k -1>2-k,解得{k <2,k >12,k >1,故k 的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),由题意知{c a =35,b =4,a 2=b 2+c 2,解得{a =5,b =4,c =3,因此椭圆的方程为x 225+y 216=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,因此短轴长2b=2√a 2-c 2=2√16-4=4√3.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=√3,c=1,当点P 为短轴端点(0,√3)时,∠F 1PF 2=,△PF 1F 2是正三角形,若△PF 1F 2是直角三角形,那么直角极点不可能是点P,只能是核心F 1(或F 2),现在|PF 1|=b 2a =,=12×32×2=32.应选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的概念可知,|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a=8,因此|AB|=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆核心的弦中,垂直于核心所在座标轴的弦最短,则2b 2a=3.因此b 2=3,即b=√3.6.答案x 245+y 236=1解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由离心率e=√55可得a 2=5c 2,因此b 2=4c 2,故椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,将P(-5,4)代入可得c 2=9,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.7.答案x 216+y 212=1解析 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).由题意知解得a 2=16,b 2=12.因此椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. 8.答案 120° 解析由椭圆概念知,|PF 2|=2,|F 1F 2|=2×√9-2=2√7.在△PF 1F 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|?|PF 2|==-12,∴∠F 1PF 2=120°.9.解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知c=√3,ca =√32,因此a=2,则b=1,所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由{x 24+y 2=1,y =x +m消去y,得5x 2+8mx+4(m 2-1)=0,则Δ=64m 2-4×5×4(m 2-1)>0,整理,得m 2<5(*). 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4(m 2-1)5,y 1-y 2=x 1-x 2,|PQ|=√2[(-8m 5)2-16(m 2-1)5]=2. 解得m=±√304,知足(*),因此m=±√304. 10.解析 (1)∠F 1AB=90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,因此有OA=OF 2,即b=c.因此a=√2c,因此e=ca =√22. (2)由题知A(0,b),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=√a 2-b 2,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c 2,y=-b 2,即B (3c 2,-b2).将B 点坐标代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94c 2a 2+b 24b 2=1,即9c 24a 2+14=1,解得a 2=3c 2①.又由·=(-c,-b)·(3c2,-3b2)=32,得b 2-c 2=1,即a 2-2c 2=1②. 由①②解得c 2=1,a 2=3,从而有b 2=2. 因此椭圆的方程为x 23+y 22=1.B 组 提升题组11.B 由椭圆方程知c=√4-3=1,因此F 1(-1,0),F 2(1,0),因为椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2,因此可设A(1,y 0),代入椭圆方程可得y 02=94,因此y 0=±32.设P(x 1,y 1),则=(x 1+1,y 1),又=(0,y 0),因此·=y 1y 0,因为点P 是椭圆C 上的动点,因此-√3≤y 1≤√3,故·的最大值为3√32,选B.12.B 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),焦距为2c,右核心为F',连接PF',如下图.因为F(-2√5,0)为C 的左核心,因此c=2√5.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP ⊥PF'.在Rt △PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√(4√5)2-42=8.由椭圆概念,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,因此a=6,a 2=36,于是b 2=a 2-c 2=36-(2√5)2=16,因此椭圆的方程为x 236+y 216=1.13.答案√63解析 由已知条件易患B (-√32a,b 2),C (√32a,b2),F(c,0), ∴=(c +√32a,-b 2),=(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得·=0,因此(c -√32a)(c+√32a)+(-b 2)2=0, c 2-34a 2+14b 2=0, 即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0, 亦即3c 2=2a 2,因此c 2a2=23,则e=ca =√63.14.答案√33解析 如图,设PF 1的中点为M,连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点,因此OM 为△PF 1F 2的中位线. 因此OM ∥PF 2,因此∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°. 因为∠PF 1F 2=30°,因此|PF 1|=2|PF 2|. 由勾股定理得|F 1F 2|=√|PF 1|2-|PF 2|2=√3|PF 2|, 由椭圆概念得2a=|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a=3|PF 2|2,2c=|F 1F 2|=√3|PF 2|⇒c=√3|PF 2|2, 则e=ca =√3|PF 2|2·23|PF 2|=√33.15.解析 (1)依照已知设椭圆E 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0), 由已知得ca =√32, ∴c=√32a,b 2=a 2-c 2=a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5, ∴4√a 2+b 2=2√5a=4√5,∴a=2,∴b=1. ∴椭圆E 的方程为x 2+y 24=1.(2)依照已知得P(0,m),设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由{y =kx +m,4x 2+y 2-4=0得,(k 2+4)x 2+2mkx+m 2-4=0. 由已知得Δ=4m 2k 2-4(k 2+4)(m 2-4)>0, 即k 2-m 2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x 1+x 2=-2kmk 2+4,x 1x 2=m 2-4k 2+4. 由=3得x 1=-3x 2,∴3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=12x 22-12x 22=0.∴12k 2m 2(k 2+4)2+4(m 2-4)k 2+4=0,即m 2k 2+m 2-k 2-4=0.当m 2=1时,m 2k 2+m 2-k 2-4=0不成立,∴k 2=4-m 2m 2-1.由题意知k ≠0,m ≠0,结合m 2k 2+m 2-k 2-4=0,知k 2-m 2+4=m 2k 2>0, ∴4-m 2m 2-1-m 2+4>0,即(4-m 2)m 2m 2-1>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).。
[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆学案理
![[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆学案理](https://img.taocdn.com/s3/m/b35745a9ec3a87c24028c483.png)
§9.5椭圆考纲展示► 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考点1 椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．答案：椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a＝c(3)a<c[教材习题改编]已知甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；乙：P点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)答案：必要不充分解析：∵乙⇒甲，甲⇒/乙，∴甲是乙的必要不充分条件.椭圆的定义：关键在于理解．(1)动点P到两定点M(0，－2)，N(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是________．答案：线段解析：因为|PM|＋|PN|＝|MN|＝4，所以点P的轨迹是一条线段．(2)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 212＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：8 3解析：由椭圆定义知，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC 的周长是43×2＝8 3.[典题1] (1)[2017·北京东城区期末]过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2 [答案] B[解析] 因为椭圆的方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义知，△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.(2)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2 [答案] A[解析] 由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立)．(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案] A[解析] 由折叠过程可知，点M 与点F 关于直线CD 对称，故|PM |＝|PF |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝r .由椭圆的定义可知，点P 的轨迹为椭圆．[点石成金] 1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a ＞|F 1F 2|这一条件． 2．当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的5个常用结论(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ(θ＝∠F 1PF 2)． (3)当P 为短轴端点时，θ最大．(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|.当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc . (5)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．考点2 椭圆的方程(1)[教材习题改编]已知方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为________． 答案：(－3,1)∪(1,5)解析：方程表示椭圆的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)．(2)[教材习题改编]椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________．答案：y 28＋x 24＝1解析：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得a ＝2b ，c ＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝b 2＝4，得b 2＝4，则a 2＝8， 所以椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.椭圆的标准方程：关注焦点的位置．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于________．答案：4或8解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10.由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.[典题2] (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．[答案]x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1[解析] 解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．[答案]y 220＋x 24＝1 [解析] 解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 解法二：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)， 将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k ＋329－k＝1，解得k ＝5或k ＝21(舍去)， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．[答案] x 2＋3y22＝1[解析] 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆的方程为x 2＋3y 22＝1.[点石成金] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.1.一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6， 故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，()3，5. 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，∵椭圆过点(2，－3)， ∴t 1＝224＋－323＝2或t 2＝－324＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，c 2＝52－32解得a ＝4，c ＝2， ∴b 2＝12.故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. (3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆的方程为y 210＋x 26＝1.考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程和几何性质坐标轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0)2a2b 2c (0,1) a 2－b 2(1)[教材习题改编]椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．答案：22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22.(2)[教材习题改编]已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．答案： ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1， 把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.1.焦点三角形问题：定义法．若椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△F 1PF 2的面积为________．答案：3解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .椭圆的长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， 因为PF 1⊥PF 2，所以m ＋n ＝4且m 2＋n 2＝4， 解得mn ＝6，所以△F 1PF 2的面积为12mn ＝3.2．直线与椭圆的位置关系：代数法．直线y ＝x ＋k 与椭圆x 2＋y 24＝1只有一个公共点，则k ＝________.答案：－5或 5解析：将y ＝x ＋k 代入x 2＋y 24＝1中，消去y ，得5x 2＋2kx ＋k 2－4＝0. 因为直线与椭圆只有一个公共点，所以Δ＝(2k )2－4×5(k 2－4)＝0，解得k ＝－5或 5.[典题3] (1)[2017·安徽淮南模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )A.35B.57C.45D.67 [答案] B[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45，解得x ＝6，所以∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，所以c a ＝57.(2)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.33 B.36 C.13 D.16[答案] A[解析] 如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点， 所以OM 为△PF 1F 2的中位线． 所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|， 由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|， 即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|，即c ＝3|PF 2|2， 则e ＝c a＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33. [题点发散1] [典题3](2)条件变为“若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35”，则椭圆的离心率为________．答案：57解析：∵cos α＝55⇒sin α＝255. sin(α＋β)＝35⇒cos(α＋β)＝－45.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝11525.设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c35，∴r 1＋r 221525＝2c35⇒e ＝c a ＝57.[题点发散2] [典题3](2)条件变为“P 到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．解：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ， 根据椭圆定义可知3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ， ∴2a ≤6c ，即e ≥13.又0＜e ＜1，∴13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. [题点发散3] [典题3](2)条件中方程变为“x 2＋2y 2＝2”，P 是该椭圆上的一个动点．求|PF 1→＋PF 2→|的最小值．解：将方程变形为x 22＋y 2＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2.[点石成金] 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法 1．两个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．一种方法求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c ，从而求解e ，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率.1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案：33解析：由题意知，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|， 所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ， 所以3(a 2－c 2)＝2ac ， 又e ＝c a，0<e <1， 所以3e 2＋2e －3＝0， 解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 在椭圆上，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，则有x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，∴x1＋x 2x 1－x 2a2＋y1＋y 2y 1－y 2b2＝0，由题意知x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴2a 2＋－12×2b2＝0， ∴a 2＝2b 2，∴e ＝22.考点4 直线与椭圆的位置关系[考情聚焦] 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．主要有以下几个命题角度： 角度一由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质[典题4] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值． [解] (1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca＝－2(舍去)．故椭圆C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.[点石成金] 解决此类问题的关键是依据条件寻找关于a ，b ，c 的关系式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆的几何性质．角度二由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质[典题5] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为 B 1，B 2，且FB 1→·FB 2→＝a .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km ＜0)与椭圆C 交于M ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且|AB |2|MN |＝4，问是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意可知，抛物线的焦点为(3，0)， ∴F (3，0)，FB 1→＝(－3，－b )，FB 2→＝(－3，b )， FB 1→·FB 2→＝3－b 2＝a ，又b 2＝a 2－3，解得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， ∴Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·Δ4k 2＋1＝41＋k 2·4k 2－m 2＋14k ＋1， 令m ＝0，可得|AB |＝41＋k24k 2＋1. ∴|AB |2|MN |＝41＋k 24k 2－m 2＋1＝4， 化简得 m ＝－3k 或 m ＝3k (舍去)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3] ＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＝1＋k 24m 2－44k 2＋1－24k 44k 2＋1＋3k 2 ＝11k 2－44k 2＋1＝2， 解得 k ＝±2，故直线的方程为 y ＝2x －6或y ＝－2x ＋ 6.[点石成金] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).[方法技巧] 1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错防范] 1.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案：A解析：设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym ＝1，由题意可知，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a,0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13.2．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：63解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 3．[2016·天津卷]设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2， 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k ＋3，从而y B ＝－12k4k ＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k ＋3＋12ky H 4k ＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1， 即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以，直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.课外拓展阅读利用转化与化归思想求圆锥曲线离心率的取值(范围)[典例] (1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，上顶点为B 2，右顶点为A 2，过点A 2作x 轴的垂线交直线F 1B 2于点P ，若|PA 2|＝3b ，则椭圆C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[审题视角] 求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a ，b ，c 的一个关系式即可，若得到的关系式含b ，可利用a 2＝b 2＋c 2转化为只含a ，c 的关系式．[解析] (1)由题设知，|B 2O ||PA 2|＝|F 1O ||F 1A 2|＝b 3b ＝c a ＋c ＝13，则e ＝12.(2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝ac ，∴2a |PF 2|－1＝ca ， ∴2a|PF 2|＝c a ＋1>2aa ＋c，生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 即e ＋1>21＋e，∴(e ＋1)2>2. 又0<e <1，因此 2－1<e <1.[答案] (1)12(2)(2－1,1) 方法点睛离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．。
2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件文
x2 y 2 2.已知F1,F2是椭圆 + =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点. 16 9
在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( A.6 B.5 C.4 D.3
)
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边
的长度为16-10=6. 3.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于
(
1 A. 2
) B.2
2
C.4
1 D. 4
答案 D
y2 1 由x + =1(m>0)及题意知,2 =2×2×1,解得m=1 ,故选D. 1 m 4 m
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 (
A.
1 3
)
B.
2 2
3 3
C.
2 2
D.
1 2
x2 y 2 答案 B 2x +3y =m(m>0)⇒ + =1, m m 2 3 2 m m 2 m 1 ∴c = - = ,∴e = ,又0<e<1,∴e3 = .故选B. 2 3 6 3 3
考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程 典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且 和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (
x2 y 2 A. - =1 64 48
)
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. + =1 C. - =1 D. + =1 48 64 48 64 64 48 x2 y 2 3 (2)已知椭圆C: + =1( a > b >0) 的左、右焦点为 F 、 F , 离心率为 ,过 1 2 2 2 a b 3 F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆课件理
① ②
m＝1， x2 y2 9 ∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1. ①②两式联立，解得 9 3 1 n＝3.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题 x2 y2 例3 已知F1，F2是椭圆C： 2＋ 2 ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上 a b → → 答案 解析 3 的一点，且 PF1⊥PF2 .若△PF1F2的面积为9，则b＝___.
2 2 x y 故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1. 64 48
2 x (2)(2016· 镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆 ＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆 4 → → → 上存在一点P，使 (OP＋OF2)· PF2 ＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积
1 是____.
答案 解析
→ → → → → → → → ∵(OP＋OF2)· PF2＝(OP＋F1O)· PF2＝F1P· PF2＝0，
又k>0，所以0<k<1.
x2 y2 5.( 教材改编 ) 已知点 P 是椭圆 ＋ ＝ 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 5 4 及 焦 点 F 1， F 2为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 等 于 1 ， 则 点 P 的 坐 标 为
15 15 ，1或 2 ，－1 2 ____________________.
→ → 2 2 ∴当 y0 ＝1时， ∵点P在椭圆上，∴0≤ y0 ≤1， |PF1＋PF2|
取最小值2.
x y (2)(2016· 全国丙卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C： 2＋ 2 ＝1(a＞b a b ＞ 0) 的左焦点， A ， B 分别为椭圆 C 的左，右顶点 .P 为 C 上一点，且
2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A版
y2
+ b 2 =1(a>b>0)
x2
-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 长轴 A1A2 的长为 为 2b |F1F2|= e=
������ ������
-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
-11考点1 考点2 考点3
考点 1
椭圆的定义及其标准方程
������2 C:������2
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆
+
������2 ������
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为
椭圆 C 上的一点,且������������1 ⊥ ������������2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b= . (2)(2016 山西孝义模拟)已知椭圆
+
������2 =1 5
D.以上答案都不对
关闭
C
答案
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
+
������2 ������
3.已知椭圆
√3
������2 C:������2
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 ) + +
2a
;短轴 B1B2 的长
2c
∈(0,1)
c2=a2-b2
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
高中数学 第九章9.5椭圆(共87张PPT)
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故 a＝4. ∴b2＝8. 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 16 8 ________________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
2
的直线 l 交 C 于 A， 两点， B 且△ABF2
题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高
【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形；且焦点到同侧 顶点的距离为 3，则椭圆的标准方程
x2 y2 x2 y2 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 12 9 9 12 为____________________________；
图形 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
得 e (0<e<1)．
性 质
范围 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
A1(－a,0)， 顶点 A2(a,0) B2(0，b) 性 质 焦距 离心率 a，b，c 的关系 轴 A1(0，－a)， A2(0，a) B2(b,0)
基础知识 题型分类
.
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图，F1、F2 分别是椭圆 C： x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0)的左、 右焦点， 是椭圆 C 的顶点， A a2 b2
B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点， 1AF2＝60° ∠F . (1)求椭圆 C 的离心率； (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a，b 的值．
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第九章 解析几何9-5
(3)当 P 为短轴端点时，θ 最大． 1 sin θ θ 2 2 (4)S△PF1F2＝ |PF1 ||PF2|sin θ ＝ · b ＝b tan ＝c· |y0 |. 2 2 1＋cos θ 当 y0＝± b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 有最大值为 bc. (5)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
考点 2 椭圆的方程
标准 方程
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) b2 a2
图形
x2 y2 (1)[教材习题改编]已知方程 ＋ ＝1 表示椭圆， 则m 5－m m＋3 (－3,1)∪(1,5) 的取值范围为________________．
5－m>0， 解析：方程表示椭圆的条件为 m＋3>0， 5－m≠m＋3， 解得 m∈(－3,1)∪(1,5)．
[解析]
如图所示，
因为两个圆心恰好是椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知 |PF1|＋ |PF2 |＝10，
易知|PM |＋ |PN|＝(|PM |＋ |MF1 |)＋(|PN|＋ |NF2 |)－2 ， 则其最小值为 |PF1|＋ |PF2 |－2＝8， 最大值为|PF1|＋ |PF2 |＋2＝12，故选 C.
必要不充分 条件． ( 填“充分不必要”“必要不充分”或 的 _____________
“充要”)
解析：∵乙⇒甲，甲⇒ / 乙， ∴甲是乙的必要不充分条件.
椭圆的定义：关键在于理解． (1线段 ． 点 P 的轨迹是________
x2 y2 (3)椭圆 ＋ ＝1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 弦 AB 过 F1， 25 16 若△ABF2 的内切圆周长为 π，A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)， 5 3 (x2，y2)，则|y1－y2|的值为________ ．
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆真题演练集训 理 新人教A版(2021年最新整理)
人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.5 椭圆真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.5 椭圆真题演练集训理新人教A版的全部内容。
新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点，F是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.错误! B。
错误! C.错误! D。
错误!答案:A解析：设E（0,m)，则直线AE的方程为－xa＋错误!＝1，由题意可知，M错误!，错误!和B（a,0）三点共线，则错误!＝错误!，化简得a＝3c，则C的离心率e＝错误!＝错误!。
2．［2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的右焦点，直线y＝错误!与椭圆交于B，C两点,且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：错误!解析:由题意可得B错误!,C错误!，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得错误!·错误!＝错误!·错误!＝c2－错误!a2＋错误!b2＝0，化简得错误!c＝错误!a，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.3．［2016·天津卷］设椭圆错误!＋错误!＝1（a＞错误!)的右焦点为F,右顶点为A。
已知错误!＋错误!＝错误!，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；(2）设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H。
高考数学统考一轮复习第九章9.5椭圆课件文新人教版ppt
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．[2021·广东省七校联合体考试]已知椭圆C的方程为xa22
+
y2 b2
＝1(a
＞ ＝2bc＞，0则)，椭焦圆距C为的2离c，心直率线为l_：__y_＝3__4_2_x与．椭圆C相交于A，B两点，若|AB|
()
A．1x52 + 1y02＝1 C．1x02 + 1y52＝1
B．2x52 + 2y02＝1 D．2x02 + 1y52＝1
解
析
：由题
意知c2＝5，可
设椭圆
方程为
x2 λ+5
+
y2 λ
＝
1(λ>0)
，把点
A(3，－2)代入得λ+95 + 4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆
的方程为x2 + y2＝1.
考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一：求离心率的值
[例1]
[2021·长沙市高
三年
级统一模拟
考试
]
设椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0＜t＜b)，已知动
点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，
则椭圆C的离心率为( )
y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是
容易被忽略而导致求最值错误的原因．
【小题热身】
一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)ya22 + bx22＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × ) (6)xa22 + by22＝1(a>b>0)与ya22 + bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版-新
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第九章 解析
a>c (3)当________ 时，P 点不存在．
(1)[ 教材习题改编] 已知双曲线两个焦点分别为 F1( － 5,0) ， F2(5,0)．双曲线上一点 P 到 F1，F2 距离之差的绝对值等于 6，则
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2－ ＝1(x≤－1)． 8
x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线 4 12
9 右支上的动点，则 |PF|＋ |PA |的最小值为________ ．
[解析]
如图所示，
设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)． 由双曲线的定义及标准方程得 |PF|－ |PE |＝4， 则|PF|＋ |PA |＝4＋ |PE |＋ |PA |. 由图可得，当 A，P，E 三点共线时， (|PE |＋ |PA |)min＝ |AE |＝5， 从而|PF|＋ |PA |的最小值为 9.
必考部分
第九章
解析线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单 几何性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解 双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合的思想．
考点 1
双曲线的定义
双曲线的定义
距离的差的绝对值 等于常数 平面内与两个定点 F1，F2 的__________________
( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 ． 这 两 个 定 点 叫 做
双曲线的焦点 双曲线的焦距 ________________ ，两焦点间的距离叫做__________________ ．
2018届高考数学 第九章 解析几何 9.5 椭圆 文 新人教A版
(5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ()
知识梳理 考点自测
2.(2017 河北邯郸一模,文 5)已知椭圆 焦点为 F(-c,0),上顶点为 B,若直线 y=������������x 与
C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的左 FB 平行,则椭圆 C 的离心
A1 (0,-a) ,A2 (0,a) B1 (-b,0) ,B2 (b,0)
知识梳理 考点自测
标准方程
轴 性 质 焦距
离心率 a,b,c 的关系
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)
长轴 A1A2 的长为
短轴 B1B2 的长为
|F1F2|= 2c e=ac,e∈ (0,1)
c2= a2-b2
y2 a2
程为������2
4
+
���2���2=1.
知识梳理 考点自测
4.若方程5������-2������ + ������������-23=1 表示椭圆,则 k 的取值范围是(3,4)∪(4,5) . 5-������ > 0,
解析:由已知得 ������-3 > 0, 5-������ ≠ ������-3,
率为( B )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
解析:由题意,������������ = ������������,∴b=c.
∴a= 2c,∴e=������������ = 22,故选 B.
D.
2018年高考数学(理)人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 9-5
B(0,-2)为圆心的圆上,求 k 的值. 思考 如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?
-10考点1 考点2 考点3
(1)3 解析: 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,������������1 ⊥ ������������2 , 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2.
关闭
C.
解析 答案
-6知识梳理 双基自测
1 2 3 4 5
������2 3.已知椭圆 C:������2
√3
+
������2 ������
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 )
直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0). D.以上答案都不对 由题意知,当焦点在 x 轴上时,c=2,b=1, 则a
C a 则
2
������2 + =1 5
关闭
当焦点在 y 轴上时,b=2,c=1,
2
������2 2 =5,所求椭圆的标准方程为 +y =1. 5 ������2 =5,所求椭圆标准方程为 5 ������2 + =1.故选 4
������2 1,所以 y=± 1,把 y=± 1 代入 5 ������2 √15 √15 + 4 =1,得 x=±2 ,又 x>0,所以 x= 2 ,
√15
2
2018高中数学人教A版浙江一轮参考课件：9-5 椭圆 精品
=1,根据椭圆的定义,要使
焦点在 y 轴,只须 >2,解得 0<k<1.故选 D.
表示椭圆”的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5-������ > 0, 2 2 ������ ������ 解析:要使方程 + =1 表示椭圆,只须满足 ������ + 3 > 0, ������+3 5-������ 5-������ ≠ ������ + 3,
4.如果点 M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 (������ + 3)2 + ������ 2 + (������-3)2 + ������ 2 =6,那么点 M 的轨迹是
线段
.
解析:为左端点为(-3,0),右端点为(3,0)的线段.
-9知识梳理 双击自测
4 三角形,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 . 解析:点 P,F1,F2 构成焦点三角形,根据焦点三角形的面积公式 ������ 2 ������△������1 ������������2 =b tan (其中 b 为椭圆的短半轴长,α 为∠F1PF2 的角度),则
2012 浙江高考,21(解答题) 2013 浙江高考,9(选择题) 2013 浙江高考,21(解答题) 2014 浙江高考,21(解答题) 2015 浙江高考,19(解答题) 2016 浙江高考,7(选择题) 2016 浙江高考,19(解答题)
-3知识梳理 双击自测
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点 的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距 . 注:若集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c 为常数,则有如下结论: (1)若a>c,则集合P为椭圆上的点 ; (2)若a=c,则集合P为线段F1F2上的点 ; (3)若a<c,则集合P为空集 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆
-2-
考纲要求 1.掌握椭圆 的定义、几 何图形、标 准方程和简 单几何性质 (范围、对称 性、顶点、 离心率). 2.理解数形 结合的思 想. 3.了解椭圆 的简单应 用.
五年考题统计
2013 全国Ⅱ,文 5 2014 全国Ⅱ,文 20 2015 全国Ⅰ,文 5 2015 全国Ⅱ,文 20 2016 全国Ⅱ,文 21 2016 全国Ⅰ,文 5 2016 全国Ⅲ,文 12 2017 全国Ⅰ,文 12 2017 全国Ⅲ,文 11 2017 全国Ⅱ,文 20
-9知识梳理
考点自测
������2 ������2 2.(2017 河北邯郸一模,文 5)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左 ������ ������ ������ 焦点为 F(-c,0),上顶点为 B,若直线 y= x 与 FB 平行,则椭圆 C 的离心 ������
率为( B ) A.2
-8知识梳理
考点自测
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆. ( × ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其 中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( )
x2 y2 x x y0y b2
x2
y2
=1.
设 M(x0,y0)是椭圆a 2 + b 2 =1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中 e 是离心率). 4.椭圆中点弦的斜率公式 若 M(x0,y0)是椭圆 2 +
������2 程为 4 ������2 + =1. 2
-11知识梳理
考点自测
������2 ������2 4.若方程 + =1 5-������ ������-3
表示椭圆,则 k 的取值范围是 (3,4)∪(4,5) .
2a 2b
-6知识梳理
考点自测
1.过椭圆 2 +
a
x2
y2 b
2 =1 上一点 M(x0,y0)的切线方程为
x0 x a2
+
y0y b2
=1.
2.若点 P(x0,y0)在椭圆a 2 + b 2 =1 外,则过点 P 作椭圆的两条切线,切点 为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a02 + 3.椭圆的焦半径公式
命题规律及趋势 1.高考考查的重点内容:椭圆 的标准方程,椭圆的离心率及 其椭圆几何性质的应用; 2.高考考查的热点内容:椭圆 为高考中的热点,单独考查椭 圆的相关知识,一般以选择题 或填空题的形式出现,考查方 向主要有:求椭圆的标准方程, 求椭圆的离心率及其椭圆几 何性质的应用等,考查直线与 椭圆时常以解答题形式出现, 综合性强; 3.题目的难度:单独考查椭圆 的相关知识难度中等;直线与 椭圆综合题难度较大,是高考 压轴题之一.
b2 a x2 y2 b2
=1(a>b>0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点,
b2 x0
0
则有 kAB· kOM=- a 2 ,即 kAB=-a 2 y .
-7知识梳理
考点自测
5.弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB|= 1 + k 2 |x1-x2|= (1 + k 2 )[(x1 + x2 )2 -4x1 x2 ] = 1 + 2 |y1-y2|
b a
(0,a) (b,0)
-5知识梳理
考点自测
标准方程 性 质 焦距 离心率 a,b,c 的关系 轴
x2 a2
+ b 2 =1(a>b>0)
y2Biblioteka y2 a2+ b 2 =1(a>b>0) ;
x2
长轴 A1A2 的长为 短轴 B1B2 的长为 |F1F2|= 2c c e=a ,e∈ (0,1) c2= a2-b2
k 1
1+
y2 b2
1 k2
[(y1 + y2 )2 -4y1 y2 ](k 为直线斜率).
θ
6.若 P 是椭圆 2 +
a
x2
=1(a>b>0)上的点,F1,F2 为焦点,若∠F1PF2=θ,
2b 2 a
则△F1PF2 的面积为 b2tan2. 7.椭圆 2 +
a x2 y2 b2
=1 的通径长为
.
1
解析:由题意,������ = ������ ,∴b=c.
������
B. 2
������
2
������
C. 2
2 ,故选 2
3
D. 3
6
∴a= 2c,∴e=������ =
B.
-10知识梳理
考点自测
3.(2017 湖南长沙一模,文 4)椭圆 E 的焦点在 x 轴上,中心在原点, 其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点,则 椭圆 E 的标准方程为( C )
-4知识梳理
考点自测
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 a2
+ b 2 =1(a>b>0)
y2
y2 a2
+ b 2 =1(a>b>0)
x2
图
形
范围 性 对称性 质 顶点
-a ≤x≤ a -b ≤x≤ -a ≤y≤ -b ≤y≤ b 对称轴: 坐标轴 ,对称中心: (0,0) A1 (-a,0) ,A2 (a,0) A1 (0,-a) ,A2 B1 (0,-b) ,B2 (0,b) B1 (-b,0) ,B2
������2 ������2 A. 2 + =1 2 2 2 ������ ������ C. + =1 4 2 ������2 2 B. 2 +y =1 ������2 ������2 D. + =1 4 2
解析:设椭圆的左、 右焦点为 F1,F2,上顶点为 A,已知正方形边长 为 2,则|AF1|=|AF2|=a=2,|F1F2|=2 2,c=b= 2,所以椭圆 E 的标准方
-3知识梳理
考点自测
1.椭圆的定义 平面内到两定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆.两定点F1,F2叫做椭圆的 焦点 . (1)当 2a>|F1F2| 时,点P的轨迹是椭圆; (2)当 2a=|F1F2| 时,点P的轨迹是线段; (3)当 2a<|F1F2| 时,点P不存在.