面积法与面积专题
面积总结归纳
面积总结归纳在日常生活中，面积是一种用来描述物体表面大小的计量单位。
它在各个领域都有着广泛的应用，无论是在建筑设计、农业生产还是科学研究中，都需要准确地计算和比较不同物体的面积。
本文将对面积的概念进行简要介绍，并总结归纳面积的计算方法和应用场景。
一、什么是面积面积是平面几何中一种用来描述物体表面大小的量度。
它通常以平方单位（如平方米、平方厘米）表示。
在二维平面中，一个物体的面积等于其所占据的平面区域的大小。
二、常见物体的面积计算方法1. 矩形的面积计算：对于一个矩形，其面积可以通过将其宽度与长度相乘得到。
公式为：面积 = 宽度 ×长度。
2. 正方形的面积计算：对于一个正方形，其面积可以通过将其边长的平方得到。
公式为：面积 = 边长 ×边长。
3. 圆的面积计算：对于一个圆，其面积可以通过将其半径的平方乘以π（圆周率）得到。
公式为：面积 = 半径 ×半径× π。
4. 三角形的面积计算：对于一个三角形，其面积可以通过将其底边长度与高的乘积再除以2得到。
公式为：面积= （底边长度×高）/ 2。
三、面积的应用场景1. 建筑设计中的面积计算：在建筑设计过程中，需要计算各个房间、楼层、建筑物的面积，以便进行合理的空间规划和材料使用。
面积计算还有助于评估建筑的使用效率和设计质量。
2. 农业生产中的面积计算：在农业生产中，面积计算是农田规划、种植布局和农作物产量评估的重要依据。
通过计算田地面积，农民可以准确地安排种植区域，合理使用肥料和水资源，提高农作物的产量和质量。
3. 科学研究中的面积计算：在科学研究中，面积计算在各个学科领域都有广泛的应用。
例如，在地理学中，需要计算陆地和海洋的面积以研究地球表面的特征和分布；在生物学中，需要计算生物群落的面积以评估生态系统的健康状况。
4. 商业活动中的面积计算：在商业活动中，面积计算是商场、仓库和办公室管理的重要环节。
通过准确计算商业场所的面积，可以合理配置商品陈列、库存管理和工作空间，提高经营效率和顾客体验。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
面积与面积法
面积与面积法（上课时间：10月10日，周二）一、面积的有关知识 1．面积公理： (1) 全等形的面积相等；(2) 一个图形的面积等它各部分面积之和； 2．面积公式 (1) 矩形面积S=长⨯宽(2) 三角形面积S=21⨯底⨯高(3) 平行四边形面积S=底⨯高(4) 梯形面积=21⨯(上底+下底)⨯高3．相关定理(1) 等底等高的两个三角形面积相等；(2) 等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比； (3) 在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；(4) 若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。
二．例题选讲例1 如图，把∆ABC 的各边按顺时针方向延长一倍，得∆DEF ，求证：S ∆DEF =7S ∆ABC思考：若将四边形ABCD 各边按逆时针方向各延长一倍，得到四边形A'B'C'D',则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD 的面积有何关系？例2 如图，在∆ABC 的各边AB 、BC 、CA 上依次取三分之一等分点D 、E 、F ，得∆DEF ，求证：SS ∆DEF =31S ∆ABCA B CDEFG HDAOBECF思考：若在平行四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上依次取三分之一等分点A'、B'、C'、D'，得四边形A'B'C'D'，则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD 的面积有何关系？例3 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是DC 、AB 边上的三等分点，求证：S 四ABCD =3S 四EFGHCADBEFABDEFC思考：如图，O 是四边形ABCD 对角线的交点，延长DB 到E 使BE=OD ，延长AC 到F ，使CF=AO ，求证：S ∆OEF =S 四ABCD 。
中考数学专题复习《面积的计算》考点专题讲解-人教版初中九年级全册数学试题
面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是 ( )A．16 B．20 C．24 D．28【切题技巧】【规X 解答】 B【借题发挥】 把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2 B ．52m 2 C ．114m 2 D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5，S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规X 解答】【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a b D ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规X解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点 4 面积比与线段比的转化 例4 如图所示，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O点，若△AOD 的面积是2，△COD 的面积是1，△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15C ．14D ．13【切题技巧】 分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规X 解答】【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S 四边形矩形等于 ( ) A ．56 B ．45 C ．34 D ．23考点5 例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ，BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+ 【切题技巧】 把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规X解答】连接A．E、EN、PC和AC．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，X大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，X大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为X大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规X解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数和为x．则S＝12x＋n－1．【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是 ( )A． 3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A 2．A 3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D 5．S△ABF＝S四边形AFCD． 6．B。
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
面积与面积方法
面积与面积方法近年来，随着科学技术的不断进步，计算面积已是一项重要的科学技术，各类计算机方法也应运而生，为了更好地解决面积计算问题。
下面，我们就一起来聊聊面积和面积计算方法吧。
一、面积的含义面积是两个或多个平面构成物体所占有的空间量，它是由两个或多个平面构成物体表面积的总和组成，如平面图形椭圆、正方形、三角形等，它们都可以用不同的面积计算方法来测量。
二、面积的计算方法1、边长法：计算平面图形的面积，可以根据其边长乘积来计算面积，如三角形的面积可以用公式面积=（a*b）/2来计算；2、勾股定理法：勾股定理可以测量三角形的面积，它的公式是：面积=（a + b - c）/23、梯形面积法：梯形面积可以用以下公式计算：面积=（s1+s2）/2*h；4、转角定理法：转角定理可以用以下公式计算：面积=（a*b*sinC）/2；5、双曲线面积法：可以用以下公式计算双曲线面积：面积=（π*a*b）/2；6、圆形面积法：圆形面积用公式计算：面积=π*r；7、矩形面积法：矩形面积用公式计算：面积=a*b；三、面积的应用1、在建筑学中，面积的计算可以帮助设计师更好地设计建筑，更好地满足空间与功能的要求；2、在地面测量中，采用面积计算可以更准确地计算出地面上物体的面积；3、在天文学中，采用面积计算可以观察星空，更准确地计算天体的位置；4、在医学领域中，面积的计算也用于测量细胞的大小，准确地计算出某种细胞的面积；5、在物理学领域，面积的计算帮助分析物质与能量的关系；6、还有更多，以上只是少数概述。
四、总结从上面讲述的可以看出，面积及其计算方法是科学技术中不可缺少的一环，它主要用于测量建筑物、地面工程、天文学以及医学等领域中物体的面积。
要更好地计算面积，我们就需要了解不同的面积计算方法，掌握各种面积计算的公式，并熟练操作，以达到准确测量的目的。
(完整版)初二几何面积法
专题复习一、面积法何谓面积法在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。
（一）证明面积问题常用的理论依据用面积法解几何问题常用到下列性质：1、全等三角形的面积相等；2、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；3、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
一、证线段相等1、已知：△ABC 中，∠A 为锐角，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：BD=CEED C B A2、已知：等腰△ABC 中，AB=AC ，D 为底边BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.求证：DE=DF.3、（1）已知： △ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：PD+PE=BF.P（2）若P 为 △ABC 的底边BC 的延长线上一点，其他条件不变，请画出图形,并猜想（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。
F ED CB AP A B C4、（1）已知等边△ABC 内有一点P ，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，垂足分别为D 、E 、F ，又AH 为△ABC 的高，求证：PD+PE+PF=AH. PH F E D C B A（2）若P 是等边△ABC 外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。
AB C DE F H P二、证角相等5、点C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接BD 、AE 交于O 点，再连接OC ，求证：∠AOC=∠BOC.1、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上一点，连接AM ，若将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点B ′处，那么点M 到AC 的距离是 。
初中数学-面积问题与面积方法
即 的边BE上的高等于 的边CF上的高
∴
评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合， 。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平分 。
证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d
2． 中，设 为a边上的高，R、r分别为 外接圆、内切圆的半径， ，则
三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理
若 与 相等或互补，则 。
5．共边定理
如图，若直线AB与PQ相交于M，则 。
又
∴
又∵
∴
∴
评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。
例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
作 和 的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有 ，即M是 的外心。
因为
所以，
所以 ，即
又因为 ，
所以
故AE是 的斜边，即M是AE的中点。
因为 ， ，
所以
评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。
例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰 的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在 内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证： 。
中考数学复习：面积专题ppt课件
在 y＝kx－3 中，令 x＝0，得 y＝－3.
∴OC＝3.∴OD＝12OC＝32，D0，－32. 在 y＝－x2 中，令 y＝－32，得－32＝－x2.
解得 x＝ 26或 x＝－ 26.∴B 26，－32.
把
B
26，－32代入
y＝kx－3，得
－32＝ 26k－3.解得 k＝ 26；
当 k ＜ 0 时 ， 如 备 用 图 ， 过 点 B ′ 作 B ′ F ∥ A B 交 y 轴 于 点 F. 在y＝kx－3中，令x＝0，得y＝－3. ∴OE＝3. ∵△B′AB的面积与△OAB的面积相等， ∴OE＝EF＝3. ∵点B，B′关于y轴对称， ∴FB＝FB′，∠FGB＝∠FGB′＝90°. ∴∠FB′B＝∠FBB′. ∵B′F∥AB， ∴∠EBB′＝∠FB′B＝∠FBB′.
4．相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 5．全等三角形的面积相等，全等几何变换有平移、旋转与轴对称． 6．面积等高模型：
必备素养
几何直观，模型观念，计算能力；数形结合思想，转化思想．
素 养 积 累 ： 割补法求面积
例 1 (2023·巴中) 如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D， E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且 DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
素 养 积 累 ： 相似与面积
例 1 (2023·创编) 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点 为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与 △ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比
专题2：面积问题与面积方法(讲义)
专题二：面积问题与面积方法主讲教师：贺航飞引例1证明：（维维安尼定理）“面积法”∵21231()2ABC PBC PAB PACS S S S a h h h ∆∆∆∆=++=++= ∴123h h h ++=。
引例2：一个不规则四边形ABCD （面积为S ），如图1所示．在每条边上都取三等分点，再把两双对边上的三等分点连起来，成井字形．求中间四边形MNOP 的面积．解：S MNOP =19S 第一步，S ABCD = 3S KLGH = 3S EFIJ ； S KLGH =∆LGH+∆LKH=12(∆LBH+∆LHD)=12(S ABCD -∆ABL -∆CDH)=12( S ABCD -13S ABCD )=13S ABCD 第二步，M, N 与P, O 分别是LG 与KH 的三等分点；2133BEJC BEJC GEJ S JCG GEB S JCB CEB ∆=-∆-∆=-∆-∆2112()()3333BEJC BEJC BEJC S S BEJ S JCE JCE BEJ =--∆--∆=∆+∆同理，1233LEJ DEJ AEJ ∆=∆+∆，∴2GEJ LEJ ∆=∆，点M 为LG 的三等分点；第三步，由第一步知S KLGH =3S MNOP ，∴S MNOP =19S ．【知识内容】一、三角形面积问题设∆ABC ，a , b, c 分别为角A, B, C 的对边，h a 为a 边上的高，R, r 分别为∆ABC 外接圆、内切圆半径，半周长1()2p a b c =++．则∆ABC 的面积有如下公式：⑴12ABC a S ah ∆=；⑵1sin 2ABC S ab C ∆=； ⑶ABC S rp ∆=；⑷ABC S ∆= ⑸22sin sin sin ABC S R A B C ∆=； ⑹4ABC abcS R∆=；⑺1()2ABC a S r b c a ∆=+-；（r a 旁切圆半径） ⑻21(sin 2sin 2sin 2)2ABCS R A B C ∆=++； ⑼2sin sin 2sin()ABCa B CS B C ∆=+．F E 图1二、常见面积定理⑴一个图形的面积等于它的各部分面积之和； ⑵两个全等形的面积相等；⑶等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底即两底和相等）的面积相等； ⑷相似三角形面积比等于相似比的平方；⑸等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；A PB A Q B ∆∆⑻共角定理：若∠ABC 和∠A ’B ’C ’相等或互补，则'''''''ABC A B C S A B B C ∆∆=⋅．【典型例题】1．面积分割（等积法）：①多边形可以分割成若干个三角形，其面积保持不变． ②同高三角形的面积比等于底之比．例1：如图2，正方形边长为10，一条长为9的线段AB ，端点在这正方形的两条邻边上．在A 下面3处作水平线，在B 左边2处作垂直线，分别得到C 、D ．求四边形ABCD 的面积．解：分割，S ABCD ＝53．例2：凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于K ．如果面积和AKB CKD BKC DKA S S S S ∆∆∆∆+=+，那么K 是AC 或BD 的中点．2BA图2证明：∵AKB AKD AKBKC DKC KC∆∆==∆∆， ∴(1)()0KCAKB CKD BKC DKA AKB DKA AK∆+∆-∆-∆=-∆-∆= 故10KCAK-=，此时K 为AC 中点；或者AKB DKA ∆=∆，此时K 为BD 中点。
面积与面积法
面积与面积法一.知识概述1.等底（等高）三角形面积之比2.平行线与等积变换3.共边定理4.共角定理若︒=∠+∠180'A A 或'A A ∠=∠，则'''''AC AB AC AB S S C B A ABC ⋅⋅=∆∆二．面积问题1．如图，线段BD 、DE 、EC 的长分别是2cm 、3cm 、2cm ，F 是线段AD 的中点，△ABC 的边BC 上的高为6cm ，求△DEF 的面积。
2．如图，阴影部分的面积是362cm ，△ABC 的面积与平行四边形CDEF 的面积之比为3：2，那么△ABC 的面积是多少？3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若△DCE 的面积是△DCB 的面积的四分之一，问：△DCE 的面积是△ABD 面积的几分之几？FED A B C4.如图，正方形ABCD 的面积为1，E 为BC 的中点，AE 与BD 交于F ，求图中的阴影部分的面积。
5.如图，在△ABC 中，E 是AB 中点，D 是AC 上的一点，且AD ：DC=2：3，BD 与CE 交于F ，S △ABC =40，求S AEFD 。
6.如图，已知P 为△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边交于D 、E 、F ，把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求△ABC 的面积。
7.如图所示，平行四边形A B C D 的面积为24平方厘米. ADM ∆与B C N ∆的面积之和为7.8平方厘米，求四边形P M O N 的面积。
8.如图，设点E , F , G , H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 上，且A EB FC GD H kE BF CG DH A====（k 是正数）。
求四边形FEGH 的面积。
AEBFHD GC9.如图，四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若四边形EFGH 的面积为1，那么四个小三角形△AHQ 、△BME 、△CNF 、△DPG 面积和为多少？10. 在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．11. 证明如下命题：设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21=∆（3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆（8）)(21a c b r S a ABC -+=∆（9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆二．面积方法1.如图，P 是△ABC 内任意一点，三边a 、b 、c 的高分别为，且P 到 a 、b 、c 的距离分别是，求证：2.如图，E 、F 分别是平行四边形边AD 、AB 上的点，且BE=DF ，BE 与DF 交于O ，求证：C 在BOD ∠平分线上。
平面几何面积法 专题
专题27 面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？DEFA BC P【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝090，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的52，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．EFAOBDC【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC .（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．GDBC A F E【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F .求证：（1）1=++CF PFBE PE AD PD ； （2）2=++CFPCBE PB AD PA . （南京市竞赛试题）解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段.EPBAC DF【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DPCDDF BD DE AD ⋅⋅的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）FDABC EP【例6】如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ， DA上，且k HADHGD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积． （河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比． 线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．ABCDHEFG能力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 的中点，BM ⊥EC ，垂足为M ，则BM ＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 上一点，AP ＝ 2BP ，CE ⊥DP 于E ，AD ＝a ，AB ＝b ，则CE ＝__________.（南宁市中考试题）MEADBCEDACBP1214814425CBAHGF DEQ TPR第1题图 第2题图 第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR ＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题）4. 在△ABC 中，三边长为3=a ，4=b ，6=c ，a h 表示a 边上的高的长，b h ，c h 的意义类似，则(a h ＋b h ＋c h )⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c b ah h h 111的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC 的边AB ＝2，AC ＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题）6．如图，过等边△ABC 内一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 ( )．A. 3192B. 3190C. 3194D.3196（湖北省黄冈市竞赛试题）ⅢⅠⅡEBADCRSQAPCBDBCA第5题图 第6题图 第7题图 7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD ＝∠DAB ＝060，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )．A ．2 B. 212 C.3 D. 2138．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A. 2S +6S =4SB.1S +7S =4SC. 2S +3S =4S D ．1S +6S =4SS 1S 2S 6S 7S 5S 3S 4NMAB DC9．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为1h ，2h ，3h ，△ABC 的高为h ．若点P 在一边BC 上（如图1），此时03 h ，可得结论：1h ＋2h ＋3h ＝h . 请直接用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，1h ，2h ，3h 与h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）图3图2图1MM M F E DAF E DA EDA BCPBC P BCP10.如图，已知D ，E ，F 分别是锐角△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE ＝y ，PF ＝z ，若28=++zx yz xy ，求xyz 的值．（“希望杯”邀请赛试题）EPDACBF11.如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD .（加拿大数学奥林匹克试题）DABC ER P Q E DC B A F 12.如图，在锐角△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上的三等分点. P ，Q ，R 分别是△ADF ，△BDE ，△CEF 的三条中线的交点.(1) 求△DEF 与△ABC 的面积比；(2) 求△PDF 与△ADF 的面积比；(3) 求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使m DAAHCD DG BC CF AB BE ====， 若ABCD EFGH S S 四边形四边形2=，求m 的值． （上海市竞赛试题）HEFGAD CB14. 如图，一直线截△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于F ，E ，D 三点，求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ． （梅涅劳斯定理）EBDA CF15．如图，在△ABC 中，已知21===FA FB EC EA DB DC ，求ABC GHI S S ∆∆的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
初中数学-面积问题与面积方法
面积问题与面积方法[赛点突破]1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。
在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。
在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。
2．ABC ∆中，设a h 为a 边上的高，R 、r 分别为ABC ∆外接圆、内切圆的半径,1()2p a b c ，则11sin 22ABCa Sah ab C ()()()rp p p a p b p c22sin sin sin 4abcR A B CR三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．(1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高(或底）的比。
4．共角定理若ABC 与'''A B C 相等或互补，则'''''''ABC A B C S AB BCS A B B C 。
5．共边定理如图，若直线AB 与PQ 相交于M ，则PAB QABS PMSQM。
ABPQMABPM Q[范例解密]例1 已知：如图，P 是△ABC 中BAC 平分线上的任一点,过C 作CE ∥PB 交AB 的延长线于E ，过B 作BF ∥PC 交AC 的延长线于F.求证：BECF 。
分析：利用角平分线性质得到距离相等,结合等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。
证明：连结PE 、PF ∵ CE ∥PB,BF ∥PC ∴ ,= =PBEPBCPCFPBCS S SS∴ =PBE PCFSS又∵ P 是BAC 平分线上的点∴ P 到BE 及CF 的距离相等即PBE 的边BE 上的高等于PCF 的边CF 上的高∴ BE CF评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
中考专题复习怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题
中考专题复习——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】（一）怎样证明面积问题1. 分解法例 1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线 AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于 D 、E 、F ， 求证：△DEF 的面积＝△2 ABC 的面积。
分析： 从图形上观察，△ DEF 可分为三部分，其中①是△ ADE ，它与△ ADB 同底等③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可由 S △CFE ＝S △CFB故可得出 S △AEF ＝S △ABC证明：∵AD//BE//CF∴△ADB 和△ADE 同底等高∴△S ADB ＝S △ADE同理可证：△S ADC ＝S △ADF∴△S ABC ＝S △ADE +S △ADF又∵S △CEF ＝S △CBF∴△S ABC ＝S △AEF∴△S AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC∴△S DEF ＝2S △ABC2. 作平行线法例 2. 已知：在梯形 ABCD 中，DC//AB ，M 为腰 BC 上的中点分析：由 M 为腰 BC 的中点可想到过 M 作底的平行线 MN ，则 MN 为其中位线，再利用 平行线间的距离相等，设梯形的高为 h证明：过 M 作 MN//AB∵M 为腰 BC 的中点∴MN 是梯形的中位线设梯形的高为 h（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质 1：等底等高的三角形面积相等性质 2：同底等高的三角形面积相等性质 3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质 4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质 5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1. 证线段之积相等例 3. 设 AD 、BE 和 CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·AB分析：从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。
巧用面积和面积法证题
‘ ．
．
例 ２ 如 图 ， 是 ＡＡ Ｃ边 Ａ Ｂ Ｃ的 中点 ， Ｍ 作直线 过
分析
由题 目给出的条件 Ａ ／ Ｅ ／ Ｆ Ｄ／Ｂ ／ Ｃ ，
（ 下转 ２ ８页 ）
Ｍ Ｅ交 Ａ Ｂ于 Ｅ 过 曰作 Ｂ ／Ｅ 交 Ａ ， Ｆ／ Ｍ ｃ于 Ｆ Ｓ ＝ ， △ ，
Ｓ ｃ ， △口 ＝Ｙ 则 、 Ｙ间的关系是什么？
Ｓ Ｍ Ｆ
Ｃ
即 Ｓ Ａ ＝ △ ， Ａ Ｓ ４Ｆ＝ 根据 为 Ａ Ｃ中点 ， Ａ ： 得 Ｍ
ＣＭ ，
（） １ 等底等高 的两个三角形面积相等 ；
（） ２ 等底 （ 的两三角形面之 比等于高 （ ） 比． 高） 底 之 在用面积法证 明的问题 中， 关键是注意 寻找题 目中
ｌ ： ｍ，ｌ ２ ３ ’ （ 一 ２ ＝１ ， ＋ ２ ２ ・ ＝ ｍ，‘ １ ） ． ６
・
． ．
＋
．． ．＋ 。 ． 。． 。．
。＋ 。．
。． 。． 。＋
．． 。． 。 ＋ 。． 。 ． ． ．
次 函数 的解析式 ， 就需要确定 构造关 于待定系数 ｂ Ｃ 、 的
（ ｌ ２ 一 ２ ６ ．４ 一１ｍ＝１． — ） ４ １ ：１ ，． ｍ ・ ２ ６ 解得
．
．．
．．
．＋
．．
；
．
．
ｎ 致 掌大世 界 ．。 。 １
；。 ．。 ＋ ＋ ． ＋．。 ＋。 ＋。。 。 。 。 ．
透
考
巧 用面积和面积 法证题
…
童 生垒友 …煎熬
几何作为数 学 中的一 个重要 组成 部分 ， 题 目及 其
问题可谓千 变万 化 ， 解题 思路 及方 法 则更 是 五花 八 其
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
08.面积问题与面积法
第08讲面积问题与面积法◆知识导航◆：1. 割补法；2.等积变换；3.共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。
4.共边定理：共边，面积比等于高之比，亦等于斜边之比。
5.海伦公式：【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BC边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为_ 。
（用含a的式子表示）【例2】如图1，在五边形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE，连接AC、AD，且AB=AD，AC⊥BC。
（1）求证：AC=AE；（2）如图2，若∠ABC=∠CAD，AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形ABCDE的面积为【例3】如图，已知等腰△ABC 和等腰△ADE 中，∠BAC = ∠DAE =90°，求证：S △ACD =S △ABE【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，AE =AB ，连接ED ，且∠E =∠C ，AD =2DE ，则S △AED ：S △ABD =【例5】如图，在△ABC 中，点D 是段AB 的中点，DC ⊥BC ，作∠EAB =∠B ，DE ∥BC 。
连接CE ，若BCAE=25，设△BCD 的面积为S ，则用S 表示△ACE 的面积正确的是（ ） A .2.5S B .3S C .4S D . 4.5S【例6】如图，已知点E 为正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE ，AE ：BE =3：2，∠AEB =90°，过C 点作CF ∥AE ，过D 点作DF ∥BE ，交点为点F ，连接EF ，若EF =100，则四边形EBCF 的面积为【例7】如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，DE 垂直平分AC ，点F 为DE 的延长线上一点，满足2∠F =∠B ，则S △ABC ：S △ECF =课后作业每日一练01.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，AD与BE相交于点F，若点C在BD上满足BC=3CD。
走进重高 培优讲义 八下 第十八讲 面积问题与面积法
第十八讲 面积问题与面积法例1 如图，△ABC 的面积为AP cm ,12垂直∠ABC 的平分线BP 于点P ，则与△PBC 的面积相等的长方形是( )．例2 如图，在正方形ABCD 中，,3=AB 点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE CF BE DF ,,=相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则△BCG 的周长为__________.例3 在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法．类比法是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现方法．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． 【尝试探索】①经过三角形顶点的面积等分线有____条，②平行四边形有____条面积等分线．【类比探究】如图1是在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线．【类比拓展】如图2，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，,CD AB =/且,ACD ABC S S ∆∆<过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并描述方法．【灵活运用】请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线．例4 如图，在矩形ABCD 中，,7,6==CD AD 菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边,2,,,=-AH ADF CD AB 连结CF.(1)如图1，若,2=DG 求证：四边形EFGH 为正方形． (2)如图2，若,4=DG 求△FCG 的面积． (3)当DG 为何值时，△FCG 的面积最小.例5 如图，P 是反比例函数)0,0(11>>=x k x ky 的图象上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，交反比例函数)||0(1222k k H k x ky <Λ<=的图象于E ，F 两点．(1)图1中，四边形PEOF 的面积=S _______（用含21,k k 的式子表示）．(2)图2中，设点P 的坐标为(2，3).①点E 的坐标是____，点F 的坐标是____（用含2k 的式子表示）．②若△OEF 的面积为,38求反比例函数x ky 2=的解析式，A 组1．在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且,6,4,==⊥CF BD CE BD 那么△ABC 的面积等于( )．12.A 11.B 16.C 18.D2．在下列图形中，各有一边长为4 cm 的正方形与一个8 cmX2 cm 的长方形相重叠，则重叠的面积最大的是( )．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF.若,5=∆CEF s 则 △ABC 的面积为( )．15.A 20.B 25.C 30.D（第3题）4．如图是山西省某古宅大院窗棂图案，图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是( )．52.A 73.B 94.C 115.D（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）5．如图，在凸四边形ABCD 中，DA CD BC AB H G F E ,,,,,,分别为的中点，EG 与FH 相交于点0，设四边形CGOF BFOE AEOH ,,的面积分别为3，4，5，则四边形DHOG 的面积为( )．215.A 415.B 4.C 6.D 6．如图，图中的七巧板是由7块图形砌成的正方形，如果砌成的正方形面积为1，那么f e d c ,,,的面积分别为( )．81,61,81,61.A 81,161,81,161.B 41,161,41,161.C 41,161,81,61.D 7．已知图中36个小等边三角形的面积都等于1，则△ABC 的面积为( )．21.A 22.B 23.C 24.D8．如图，在△ABC 中，,6,10cm AC cm AB ==点D 在BC 边上，作AB DE ⊥于点AC DF E ⊥,于点F ．若ABC cm DE ∆=,2的面积为,492cm 则DF 的长为_________.（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，长方形ABCD 平移得到长方形111111,B A D C B A 交BC 于点11,D A E 交CD 于点F ，若E 为BC 的中点，四边形ECF A 1为正方形，,10,20cm AD cm AB ==则阴影部分的面积为_________.2cm10.长方形444333222111,,,C B OA C B OA C B OA C B OA 的面积都为,42cm 且===32211A A A A OA ,43A A 则图中三块阴影部分的面积和为_________.2cm11．如图，已知矩形ABCD 的面积是,362cm 在边AB ，AD 上分别取点E ，F ，使得DF EB AE ,3=DE AF ,2= 与CF 的交点为点0，求△FOD 的面积．（第11题）12.规律：如图1，直线B A n m ,,//为直线 n 上的点，C ，P 为直线m 上的点．如果A ，B ，C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论点P 移动到何位置，△ABP 与△ABC 的面积总相等，其理由是________________. 应用：(1)如图2，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，若△ABC 的边长为1，则△BAE 的面积是________. (2)如图3，四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，求△ACF 的面积．（第12题）B 组13.如图，反比例函数)0,0(>>=x k xky 的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB ，BC 交于点D ，E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为( )．1.A2.B3.C4.D（第13题） （第14题）14.如图，在△ABC 中，,125=∠AOB 把△ABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线上，点0都落在直线MN 上，且,::::AB AC BC S S S ABO CAO BCO =∆∆∆则∠ACB 的度数为( )．70.A 65.B 60.C o D 85.15.如图，正方形ABCD 的面积为2，现进行如下操作：第1次：分别延长AB ，BC ，CD ，DA 至点E ，F ，G ，H ，使得,,,,DA AH CD BC CF AB BE =≡∝===顺次连结E ，F ，G ，H 四点得四边形EFGH ；第2次：分别延长EF ，FG ，GH ，HE 至点，，K ，L ，M ，使得===LH GF KG EF JF ,,,,EH EM HG =顺次连结，，K ，L ，M 四点得四边形J KLM……按此方法操作，要使所得到的四边形面积超过2020，则这样的操作至少需要( )．7.A 次 6.B 次 5.C 次 4.D 次（第15题） （第16题） （第17题）16.如图，已知△ABC 的面积为S ，D 是边BC 的三等分点，E 是边AC 的四等分点，F ，G 皆是边AB 的五等分点，则四边形DEFG 的面积是________. 17．如图，已知直线4321,,,i i l l 及4321,,,m m m m 分别互相平行，且,100=ABCD S 四边形=EFGH S 四边形,20则=PQ RS S 四边形____________.18.如图，在四边形ABCD 中，.,HB GH AG FC EF DE ====试判断四边形EFHG 的面积1S 与四边形ABCD 的面积2S 之间的关系，并证明你的结论．（第18题）19．(1)如图1，在△ABC 中，,90o ACB =∠AE 平分,10,6,==∠AB AC CAB 则点E 到AB 的距离为______. (2)如图2，在△ABC 中，D BC A C o ,2,60,90==∠=∠ 为斜边AB 上一点，且=∠EDF EDF ∠,90的两边分别交BC 于点E ，交AC 于点F ，若,DF DE =求四边形DECF 的面积．(3)为了美化城市，某公园准备设计一个三角形观赏花园，如图3，△ABC 为观赏花园的大致轮廓，并将观赏花园分成△BED，△DFC 和四边形AEDF 三部分，其中在四边形AEDF 区域内种植2364m 的牡丹，在△BED 和△DFC 两区域内种植薰衣草，设计要求：,120oBAC =∠点D ，E ，F 分别在边AC AB BC ,,上，且.60,=∠=EDF DF DE 为了节约种植成本，三角形观赏花园ABC 的面积是否存在最小值？若存在，请求出△ABC 面积的最小值；若不存在，请说明理由．（第19题）答案。
面积专题(含答案)
面积专题一、单选题(共6道，每道10分)1.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，分别是其中两个正方形的中心，则图中阴影部分的面积（两个阴影一样大）为( )A.4B.2C.1D.不能确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质2.如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质3.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=3，BD=6，△ACE的面积为6，则△ABD的面积为( )A.3B.6C.9D.12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法(等底或等高)求面积4.如图，A，B，C分别是线段，，的中点，若△ABC的面积是1，那么△的面积是( )A.4B.6C.7D.9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法（等底或等高）求面积5.已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，，，那么△ABC的面积是( )A.32B.30C.28D.24答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法(等底或等高)求面积6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，△ABE的面积是10，△BCE的面积是25，△COD的面积是20，则四边形ABCD的面积是( )A.96B.98C.100D.105答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法(等底或等高)求面积二、填空题(共4道，每道10分)7.如图，一个边长为6的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ACE的面积是____．答案：18解题思路：试题难度：知识点：转化法(等底或等高)求面积8.四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，△ABH的面积为6，则图中阴影部分的面积是____．答案：6解题思路：试题难度：知识点：转化法(等底或等高)求面积9.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的面积为8，则△DEK的面积为____．答案：8解题思路：试题难度：知识点：转化法(等底或等高)求面积10.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，在这个7×7的方格纸中，找出格点P（不与点B重合），使得，这样的点P 共有____个．答案：5解题思路：试题难度：知识点：转化法(等底或等高)求面积。
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面积与面积法专题
用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。
一、真题链接
1.（2012 济南模拟）圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为 ；
2.（2012•东营）在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的
4
1
，那么点B′的坐标是（ ） A. (-2,3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2，-3)
3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm ），则该几何体的侧面积为 cm ．
4.（2012•潍坊）三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． （1）求证：△ABD ∽△ACE ；
（2）若△BEC 与△BDC 的面积相等，试判定三角形ABC 的形状
5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=
2
1
，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）
A.71
B.61
C.51
D.4
1
二、知识要点
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
面积问题主要涉及以下两部分内容：
（一）怎样证明面积相等。
以下是常用的理论依据
1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。
7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。
8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）
1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4.还可以利用面积解决其它问题。
三、典题示例
（一）怎样证明面积问题
1. 分解法
例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。
2. 作平行线法
例2.已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，；
（二）用面积法解几何问题
1. 用面积法证线段相等
例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE。
图1
2. 用面积法证两角相等
例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC。
图2
3. 用面积法证线段不等式
例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
求证：BD>CD。
图3
4. 用面积法证线段的和差
例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD ⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
求证：PE+PF+PD=h。
图4
5. 用面积法证比例式或等积式
例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。
求证：。
图5
6. 用面积比求线段的比
例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证：。
图6
四、 巩固强化
1. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 点分别为BC 、CD 的中点，连结AF 、AE ，求证：ABE ADF S S ∆∆＝
2. 在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点，求证：
3. Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a 、b 为两直角边，斜边AB 上的高为h ，求证：
4. 已知：E、F为四边形ABCD的边AB的三等分点，G、H为边DC的三等分点，求证：
5. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC 和四边形ADGE的面积比。
6.（2012•青海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．
7.（2012•大庆）将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1和r2．
（1）求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；
（2）将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值．
8.如图平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，求四边形MENF的面积；
9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E分别在AB、AC上，且DE⊥AB，若DE将△ABC分成面积相等的两部分，则CE：AE= ；
10.如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC 的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）
A.6
B.8
C.10
D. 12。