江苏省泰州市靖江市高三数学上学期期中试卷(解析版)苏教版

2012-2013学年江苏省泰州市靖江市高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z虚部为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由复数的运算性质可得====﹣1﹣i，即可的其虚部．解答：解：化简可得=====﹣1﹣i，故其虚部为：﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查复数的化简运算和实虚部的定义，属基础题．2．（5分）若A={x|（x﹣1）2＜2x﹣4}，则A∩Z的元素个数为0 ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，找出A与Z的公共部分，求出A与Z的交集，即可确定出交集中的元素个数．解答：解：由集合A中的不等式（x﹣1）2＜2x﹣4，变形得：x2﹣4x+4＜﹣1，即（x﹣2）2＜﹣1，得到此不等式无解，即A=∅，则A∩Z=∅，即A∩Z的元素个数为0．故答案为：0点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）设命题p：α=，命题q：sinα=cosα，则p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据特殊角三角函数的值，当p成立即α=时，得sinα=cosα=，可得q成立；反之当q：sinα=cosα成立时，不一定得出α=，由此即得p是q的充分不必要条件．解答：解：充分性当“α=”成立时，sinα=且cosα=，结论“sinα=cosα”成立，因此，充分性成立；必要性当“sinα=cosα”成立时，即tanα=1，得α=+kπ，k∈Z不一定有“α=”成立，故必要性不成立综上所述，得p是q的充分不必要条件故选：充分不必要点评：本题给出p、q两个条件，求它们之间的充要关系，着重考查了三角函数求值和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．4．（5分）已知，则a= ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．解答：解：，可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0，所以a=．故答案为：．点评：本题主要考查对数的运算性质及其应用，考查运算能力，熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础．5．（5分）已知x∈R，f（x）为sinx与cosx中的较小者，设m≤f（x）≤n，则m+n= ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先求函数f（x）的表达式，结合正弦函数及余弦函数的图象可求函数的值域，从而可求m+n的值．解答：解：由题意得：f（x）=，结合正弦、余弦函数图象可知：﹣1≤f（x）≤，∴m=﹣1，n=，则m+n=﹣1．故答案为：﹣1点评：点评：本题主要考查了正弦及余弦函数的图象及由图象求函数的最值，解决问题的关键是要熟练掌握三角函数的图象．6．（5分）设函数f （x）=，若f （a）=a，则实数a的值是﹣1 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：当a≥0时，由=a，解得a的值，当a＜0时，由=a，解得a的值，综合可得结论．解答：解：当a≥0时，由=a，解得a=﹣3 （舍去）．当a＜0时，由=a，解得a=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．7．（5分）设a∈R，函数f （x）=e x+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2 ．考点：函数奇偶性的判断；导数的几何意义．专题：计算题．分析：先由f（x）为偶函数求出a值，然后求出导数f′（x），令f′（x）=，解出x即为所求．解答：解：因为f（x）=e x+是偶函数，所以总有f（﹣x）=f（x），即=e x+，整理得（a﹣1）（）=0，所以有a﹣1=0，即a=1．则f（x）=，f′（x）=e x﹣，令f′（x）=e x﹣=，整理即为2e2x﹣3e x ﹣2=0，解得e x=2，所以x=ln2．故答案为：ln2．点评：本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x）恒成立．8．（5分）已知α为第四象限的角，且= ．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用诱导公式求出cosα，然后根据α所在的象限判断出sinα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据cosα的值求得sinα的值，进而求得tanα．解答：解：∵sin（+α）=cosα=α为第四象限的角∴sinα=﹣=﹣∴tanα==﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，注重了对学生基础知识的掌握．学生做题时注意α的范围．9．（5分）已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是3+2．考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．专题：不等式的解法及应用．分析：利用向量垂直的充要条件列出方程得到m，n满足的条件；将待求的式子+乘以m+n 后展开；利用基本不等式求出最值．解答：解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥∴•=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n为正数∴+=（+）•（m+n）=3+（+）≥3+2当且仅当2m2=n2时取等号故答案为：3+2点评：本题考查向量共线的充要条件、考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件是：一正、二定、三相等．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为120°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据等差数列的性质分别求出a1，a2，进而表示出等差数列的公差d，由首项和公差表示出等差数列的前n项和公式，与已知的前n项和相等即可求出a的值，得到三角形三边之比，设三角形的最大角为α，然后由余弦定理即可求出cosα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出三角形最大角α的度数．解答：解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a+4，所以a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，所以S n=n（2a+1）+（a+2）=n2+（2a+1﹣）n=（a+1）n2+a，得到a=0，所以等差数列的首项a1=1，公差d=2，所以三角形三边之比为3：5：7，设最大的角为α，三边分别为3k，5k，7k，所以cosα==﹣，又α∈（0，180°），则该三角形最大角α为120°．故答案为：120°点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．11．（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为 2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为2点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；12．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：a1+b1=3，a2+b2=7，a3+b3=15，a4+b4=35，则a5+b5= 91 ．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分别利用等差数列的首项a1，公差d，等比数列的首项b1及公比q表示已知条件，然后解方程可求a1，b1，d，q，然后结合等差与等比的通项即可求解解答：解：∵a1+b1=3，①a2+b2=a1+d+b1q=7，②a3+b3==15，③a4+b4==35④②﹣①可得，4﹣d=b1（q﹣1）③﹣②可得，8﹣d=b1q（q﹣1）④﹣③可得，20﹣d=∴，∴解方程可求d=2，q=3，b1=1，a1=2∴a5+b5=10+81=91故答案为：91点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解决本题的关键是求解方程的技巧13．（5分）（2007•陕西）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为 6 ．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：压轴题．分析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量用向量与向量表示出即可．解答：解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由=||=1，||=得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故答案为6．点评：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．这里要求学生一定要会画图．14．（5分）定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当的取值范围是[﹣，1] ．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化．专题：计算题；压轴题．分析：首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用线性规划的知识即可求得结果．解答：解：把函数y=f（x）向右平移1个单位可得函数y=f（x﹣1）的图象∵函数y=f（x﹣1）得图象关于（1，0）成中心对称∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）成中心对称，即函数y=f（x）为奇函数∵f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）=f（t2﹣2t）且函数y=f（x）在R上单调递减∴S2﹣2S≥t2﹣2t在S∈[1，4]上恒成立即（t﹣s）（s+t﹣2）≤0∵1≤s≤4∴﹣2≤2﹣s≤1，即2﹣s≤s∴2﹣s≤t≤s作出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的△ABC，C（4，﹣2）而表示在可行域内任取一点与原点（0，0）的连线的斜率，结合图象可知OB直线的斜率是最大的，直线OC的斜率最小∵K OB=1，K OC=故∈[﹣，1]故答案为：[﹣，1]点评：本题综合考查函数的奇偶性、单调性知识，同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•宁德模拟）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题．分析：（1）利用函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，即1﹣k ＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴2﹣x+k•2x=﹣（2x+k•2﹣x）∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立∴k=﹣1（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，∴2x+k•2﹣x＞2﹣x成立∴1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立∵y=22x在[0，+∞）上单调递增∴函数的最小值为1∴1﹣k＜1∴k＞0点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．16．（14分）（2013•成都一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，（4分）∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（6分）（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．（12分）点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（15分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．解答：解：（1）数列{a n}中，a1=1，前n项和，可知，得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3，由，得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3==6．（2）由题意知a1=1，当n＞1时，有a n=s n﹣s n﹣1=，整理得，于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，a n﹣1=a n﹣2，，将以上n个式子两端分别相乘，整理得：．综上{a n}的通项公式为点评：本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．18．（15分）两县城A和B相距20km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）按下列要求建立函数关系式：①设∠CAB=θ（rad），将θ表示成y 的函数；并写出函数的定义域．②设AC=x（km），将x表示成y的函数；并写出函数的定义域．（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）①设∠CAB=θ（rad），AC=20cosθ，BC=20sinθ，结合当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，则可得函数解析式，并可写出函数的定义域；②先利用AC⊥BC，求出，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．（2）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．解答：解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，则y=（0＜θ＜）当x=10时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为y=（0＜θ＜）；②由题意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，y=（0＜x＜20）（2）选②，则y′=，令y'=0得18x4=8（400﹣x2）2，所以x2=160，即x=4，当0＜x＜4时，18x4＜8（400﹣x2）2，即y'＜0，以函数为单调减函数，当4＜x＜20时，18x4＞8（400﹣x2）2，即y'＞0，所以函数为单调增函数．所以当x=4时，即当C点到城A的距离为4时，函数y=（0＜x＜20）有最小值．点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题目19．（16分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．（1）当a=1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a≤0时，指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．专题：综合题．分析：（1）利用特殊值代入法即可证明此函数既不是奇函数，又不是偶函数；（2）将函数转化为分段函数，利用二次函数的图象和性质即可得此函数的单调区间；（3）先证明函数f（x）在闭区间上取最大值为2时，x必在区间[﹣1，0]上，再利用（2）中的结论，通过讨论求函数在[﹣1，0]上的最大值，列方程即可解得a的值解答：解：（1）a=1时，f（x）=|x|（x﹣1），∵f（1）=0，f（﹣1）=﹣2，∴f（1）≠﹣f（﹣1），f（1）≠f（﹣1），∴f（x ）既不是奇函数，又不是偶函数．（2）a=0时，f （x ）=|x|x ，单调增区间为（﹣∞，+∞）a ＜0时，f （x ）=， 单调增区间为（﹣∞，），（0，+∞），单调减区间为（，0）（3）∵a＜0，∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2∴a≥﹣3 ∴f（）=（﹣a ）≤＜2由（2）知，f （x ）在（0，+∞）上递增∴f（x ）必在区间[﹣1，0]上取最大值2 当＜﹣1，即a ＜﹣2时，则f （﹣1）=2，a=﹣3，成立 当≥﹣1，即0＞a≥﹣2时，则f （）=2，则a=±2（舍）综上，a=﹣3点评：本题综合考查了函数奇偶性的定义及其判断方法，分段函数的函数图象和性质，利用单调性讨论函数的最值的方法，分类讨论的思想方法20．（16分）（2012•江苏三模）数列{a n }的前n 项和为S n ，存在常数A ，B ，C ，使得对任意正整数n 都成立．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：3A ﹣B+C=0；（2）若，设b n =a n +n ，数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）若C=0，{a n }是首项为1的等差数列，设，求不超过P 的最大整数的值．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析： （1）先根据条件都转化为首项和公差的形式，再根据等差数列的前n 项和S n 所满足的条件即可得到结论．（2）先根据前n 项和S n 以及通项之间的关系求出{a n }的通项，进而得到数列{nb n }的通项，再结合错位相减法即可求出T n ；（3）先根据条件求出{a n }的通项；进而根据裂项求和法求出P 的表达式，即可得到结论．解解：（1）因为{a n}为等差数列，设公差为d，由，答：得，即对任意正整数n都成立．所以所以3A﹣B+C=0．…（4分）（2）因为，所以，当n≥2时，，所以2a n﹣a n﹣1=﹣n﹣1，即2（a n+n）=a n﹣1+n﹣1，所以，而，所以数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以．…（7分）于是．所以①，，②由①﹣②，得．所以．…（10分）（3）因为{a n}是首项为1的等差数列，由（1）知，公差d=1，所以a n=n．而=，…（14分）所以，所以，不超过P 的最大整数为2012．…（16分）点评： 本题主要考察由数列的递推式求数列的和，其中涉及到数列求和的错位相减法以及裂项求和法，是对数列知识的综合考察，主要考察计算能力．。