一元微积分的应用

第九讲 一元微积分的应用

§1 函数单调增减性的判别

定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增

的（或单调减的），记为： （或 ）。 注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。

例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用：

一．判别单调性：

例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。在()0,a 内可导，()'f x 单调增，

令()()f x F x x

=。证明：在()F x 在()0,a 内单增。

证明：()()()

()'00f x f x f xf x ξξ=- <<=

拉氏定理

()()()()()()()()'

'

'

'''

'

2

2

f x xf x f x xf x xf f

x f F x x x x x

ξξ---⎡⎤====

≥⎢⎥⎣⎦

（ ()'

f

x 单调增，0x >）

； 故在()F x 在()0,a 内单增。

二．求单调区间 例2：设()()

1

10x

f x dt x ⎛=

> ⎝

⎰

，求()f x 的单减区间。

解：()'

1f

x

=()'

0f x =1x ⇒=； ∴当()0,1x ∈时，()'

0f x <，所以()f x 单调减；

当()1,x ∈∞时，()'

0f

x >，所以()f x 单调增；

∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。 三．证明不等式

例3：证明：1x >时，()

()2

2

1ln 1x x x ->-

证明：令：()()

()2

2

1ln 1F x x x x =---，则：

()()()'211

2ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+---=--+；

()''211

2ln 210F x x x x x

=+-+>

∴()'F x ，()()''

1

lim 00x F x F x +

→=⇒>； ∴()F x ，()10F +=；

故()()10F x F +>=； 即：()

()2

2

1ln 10x x x --->。

§2 函数的极值与最值

定义：设函数()y f x =在0x x =的临域内有定义，x 为该临域内异于0x 的任一点，若恒

有()()0f x f x >（或()0f x <），则()0f x 称为()f x 的极小值（极大值）。 极大值与极小值统称为极值。使函数取极值的点为极值点。

注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；

极大值不一定比极小值大。 定义：使()'

0f

x =的解，称为()f x 得驻点。

0x 为()f x 的驻点，不能⇒ 0x 为()f x 的极值点； 同样，

0x 为()f x 的极值点，不能⇒0x 为()f x 的驻点。

例如：0x =为3y x =的驻点，不能⇒ 0x =为3

y x =的极值点；

0x =为y x =的极小值点，不能⇒0x =为y x =的驻点。

1Th ：（取极值的必要条件）设()0f x 为()f x 的极值，又()f x 在0x x =处可导，

则()'

00f

x =。

2Th ：（取极值的充分条件）设()f x 在0x x =的邻域内可导（在0x x =处()'f x 可以不

存在，但必须()f x 在0x x =处连续），若： ①x ：0x →→；()'

f

x ：-→()'

00f x =或()'

0f x 不存在+

→

⇒()0f x 为()f x 的极小值；

②x ：0x →→；()'

f

x ：+

→()'

00f x =或()'

0f x 不存在-

→()0f x

⇒()0f x 为()f x 的极大值；

③ 若()'f x 在0x x =的两侧不变号，则 ()0f x 不是()f x 的极值。

3Th ：设()f x 在0x x =的邻域内二阶可导，且()'00f x =，()''00f x ≠。

当()''00f x >时，()0f x 为()f x 的极小值； 当()''00f x <时，()0f x 为()f x 的极大值。 极值的求法：

① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 利用定理2或定理3判别i x 是否为极值点，并判别类型； ③ 求出极值。 最值的求法：

① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 求出()i f x ：若()f x 在[],a b 连续，也求出()(),f a f b ； ③ 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。 例1：设函数()f x 在0x =的邻域内连续，且()00f =，()

0lim

21cos x f x x

→=--，则在0x =

处，()f x [ ]：

（A ）不可导 （B ）可导但()'

00f

≠

（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()

000lim

lim 21cos 1cos x x f x f x f x x

→→-==---

()()

()021cos f x f x x

α-⇔

=-+-， 其中()0lim 0x x α→=

()()

()()()()021c o s 00f

x f x x f x f α⇒-=-+-

≤⇒≤⎡⎤⎣⎦，故答案为

C 。 例2：设(

)y f x =为微分方程'''sin 0x y y e +-=的解，()'00f x =，

则在0x x = 处()f x [ ]： （A ）0x x =的邻域内单增 （B ）0x x =的邻域内单减

（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()()0

sin ''

'sin '''0000x

x f

x f x e f x f x e +-=⇒+-=