一元微积分的应用
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
一元微积分应用 共62页
(3) 计算面积
A2A1 2 0 31 2(1 co )2d s 3 21 2(3 co )2d s
3(12co s1co 2s )d
0
2
2
3
9(1cos2)d
2
5
4
平面图形的面.积 由对,称 求性 出上半部 A1,则 分 A2 的 A1. 面积
r3co s (1)求积分区 联间 立方程组
3
O
r1co s
x
r3co s
r1co s
cos 1
2
3
(2) 微分元素
当 0 3 时 ,曲r 边 1 c为 o ,dsA11 2(1co)s2d. 当 3 2时 ,曲边 r 3 c为 o , sdA11 2(3co)s2d.
(3) 计算面积
A 1 ( 2 x x )d x 2 ( 2 x x 2 )d x 7 .
0
1
6
如 何 判 定 积 分 变 量
1.用平行与y轴的直线穿过所求区域[a,b]，若与边界线的 焦点有且仅有2个时，选择积分变量x，这时我们把该区域 称为x型区域，若超过两个时需要分区域进行求解.
A 2 O
(2 )微分 d A 元 [2 ( x ) 素 x 2 ]d x.
y x2 B xy2
1
x
(3) 计算面积
A 1 [2 (x ) x 2 ] d x [ 2 x x 2 x 3 ]1 4 1 .
2
23 2 2
例1 求曲y 线 x2与直x线 y2所围成的平积 面 . 图
于是, 所求面积为
b
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学是数学中重要的一类方法，在自然科学研究中也发挥着重要作用。
在物理学中，一元函数微积分学可以用于研究运动物体的位置、速度、加速度等以及物体
的力、能量等问题。
首先，在运动的物体的位置、速度、加速度等问题中，一元函数微积分学可以提供对
该问题方面更多的解释。
比如，在利用微积分学研究动力学时，是把动力学研究成微分方
程的形式。
在考虑了力学运动模型中的惯性、阻力、重力等因素的影响后，可以从一元微
分方程的解获得动力学运动的位置、速度和加速度的时变关系，从而对物体的不同状态有
更深入的分析。
其次，一元函数微积分学也可以用于研究物体的力以及物体的能量的变化情况。
比如，在电磁学中，一元微积分可以用来描述电磁场中物体的受力情况。
有了物体受力的情况，
就可以运用动量定理、动能定理以及动量守恒定律来分析物体在受到力的作用下物体的动
能是如何变化的，从而深入研究物体的运动特征。
一元微积分
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。
通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。
本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。
一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。
同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。
希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。
一元微积分物理应用
x (a, b], x 0.
当x 很小时, 可视物体在区间
f (x)
O
[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
x x x b x
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
W f ( x)x.
于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.
1 b a f ( x) d x. ba
[ xi 1 , xi ] 的长度 ba xi n
f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为
y
b a
f ( x) d x ba .
若 f ( x) C ([a, b]), 则
y
b a
?
O
取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压
1
x 0 .5 x x
x
力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气
体作的功为 W F ( x)x .
由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故
k PV
x 0
9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .
由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做
y
y f (x)
的功为:
积分区间: x [a, b].
微分元素: d W f ( x) d x.
b b
W
O a
b x
变力作功的几何表示
功的计算 : W d W f ( x) d x.
a a
例1
直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,
一元函数微积分学在物理学上的应用
Байду номын сангаас用在活塞上的力：F p S
k k S xS x 在气体膨胀过程中，体积V 是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的
取x为积分变量，它的变化区间为[a, b]，设[ x, x dx]为[a, b]上的任一小区间，当活塞 k k 从x移动到x dx时，变力F 所作的功近似于 dx, 即dw dx x x b k b w dx k ln x a a
1 0
0
1
13 12
例2(4)（功4）要将一半径为 . 0.2m，密度为500kg / m3浮于水面的木球提高水面， 问需要作功多少？ [分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律 1 比重 水的比重），所以只要提高0.2m即可将此球提离水面，由于在整个 2 过程 中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功 克服重力所作的功 浮 力所作的功] 解： 建立坐标如图，取[ y, y dy ] [ R, 0] 则对应于此小区间，浮力作功的功元素为dw浮 ydF yg (dm) yg ( dV ) yg [ ( R 2 y 2 )dy ] 1 W浮 g y ( R 2 y 2 )dy gR 4 12.315(kJ ) 4 R 4 从而有W提 W重 W浮 500[ (0.2)3 ]9.8 0.2 12.315 20.525(kJ ) 3 与前例类似：W提 W上重 W下重 W浮 W重 W浮
变力作功：变力 F ( x) 沿直线运动从 a 到 b 所作的功 w a F ( x)dx
例2(1)（功1 ）一圆柱形的注水桶高为 . 5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的 水全部吸出需作多少功？ 解： 作x轴如图所示 取深度 x 为积分变量，它的变化区间为[0， 5] 5] [ x, x dx]的一薄层水的高度为dx，因此如x的单位为m， 相应于[0，上任一小区间 这薄层水的重力为9.8 32 dx kN , 把这层水吸出桶外需作的功近似为 dw 88 2 dx x 所求的功为w 88 2 x dx 88 2
一元函数微积分学在物理学上的运用1
t的函数关系为T=T( t ) , 则物体在时刻t 的冷却速度为T( t ) .
3. 一根杆从一端0点算起，，0 段x干 的质量为则杆m在点mx(x处),的
线密度是( x) =m(x) .
4. 一根导线在0, t 这 段时间内通过导线横截面的电量为则Q导线Q(t),
在时刻t 的电流强度I ( t ) =Q(t).
2 R2 x2 dx l 2l R2 x2 dx (长宽 高 )
它在水面下方需移动R，上x方需移动 R x
R
w 2l( 1) (R x) R2 x2 dx 2l (R x) R2 x2 dx
R
R
4lR(2 1) R2 x2 dx lR3(2 1)
0
例2( 3) （功3）、设半径为的1 球正好有一半沉入水中，球的比重为，1现将球从
水中取出，问要作多少功？
解法一：[ 分析：把球的质量4集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 3
量为的4质点向上移动距离为时变1力所作的功，问题归结为求出变力， 3
即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1
解：作轴x 如图所示
取深度为x 积分变量，它的变化区间为，[0 5]
相应于[，0 5上] 任一小区间的[一x, x薄层dx水] 的高度为，因此如的dx单位为， x
这薄层水的重力为9把.8这 层32水 d吸x 出k桶N,外需作的功近似为 dw 88 2 dx x
所求的功为w
5
88 2
0
x
dx
88 2
25
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
一元函数微积分的应用
一元函数微积分的应用一元函数微积分是数学中非常重要的学科之一，它研究了一个变量的函数的微积分和积分。
它涉及到许多数学概念和方法，如导数、微分、积分、曲线图形、斜率、极限等等。
这些概念和方法不仅在数学中有着广泛的应用，而且在科学、工程、经济、医学、管理等各行各业都有着重要的应用价值。
一、导数的应用导数是微积分中最基本的概念之一，它表示一个函数在某一点的切线的斜率。
在科学和工程中，导数经常用于解决各种问题。
例如，在物理学中，我们可以用导数来描述速度、加速度和力等概念。
在工程中，我们可以使用导数来计算电路中的电流和电压，以及管道中的流量和流速。
在金融领域，导数也被用来衡量风险和波动性。
另外，导数还可以用于优化问题的解决。
优化问题是指在特定的条件下寻找最大值或最小值，例如，在生产和物流管理中经常出现的成本最小化或效率最大化问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的极值点，从而得到最优解。
二、微分方程的应用微分方程是微积分中的另一个重要概念，它描述了一个函数和它的导数之间的关系。
微分方程在科学和工程中有着广泛的应用，例如，在物理学中，微分方程可以描述运动的规律和力的作用。
在工程中，微分方程可以用于控制系统和电路的设计。
在经济学中，微分方程被用来描述市场和生产的行为。
微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解是指用公式或函数表示出方程的解，数值解是通过计算机算法来求解。
虽然解析解在理论上更可靠和便于理解，但是在实际应用中，由于很多函数没有解析解，数值解法的应用越来越广泛。
三、积分的应用积分是导数的逆运算，它可以用来求解曲线下面的面积、物理学中的功和能量，以及几何学中的体积和表面积等问题。
积分也是微积分中最重要的概念之一。
在物理学中，积分被广泛地应用于描述能量和功。
例如，通过计算动力学方程中的积分，我们可以得到一个物体的能量和它所做的功。
在经济学中，积分被用来计算某一个变量的总量，如总销售额、总支出等。
四、微积分的应用案例应用微积分的案例非常多，以下列举几个较为典型的例子。
一元微积分在经济上的运用
一元微积分在经济上的运用近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。
鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。
实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。
本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。
一、微分在经济学中的应用由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例1设某国的国民经济消费模型为。
其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。
当x=100.05时,问总消费是多少?解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。
由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。
二、最值在经济学中的应用在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题1.最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。
在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。
例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。
其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。
解由题意,成本函数为,于是,利润函数,令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。
2.最小成本问题例3 已知某个企业的成本函数为:,其中C——成本(单位:千元)q——产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。
解平均可变成本,令,得。
又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。
(千元/t), 即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t.导数概念在经济学中有两个重要的应用——边际分析和弹性分析。
一元函数的积分与积分的应用
一元函数的积分与积分的应用积分作为微积分的核心概念之一，对于一元函数的研究和探索具有重要意义。
本文将探讨一元函数的积分定义、基本性质以及积分在求面积、求弧长以及解微分方程等方面的应用。
一、一元函数的积分定义和基本性质1. 积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，则称f(x)在[a, b]上的定积分为∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
2. 基本性质(1) 线性性质：若f(x)在[a, b]和[g, h]上可积，则对于任意实数A和B，有∫[a, b](A·f(x) + B·g(x))dx = A∫[a, b]f(x)dx + B∫[a, b]g(x)dx。
(2) 区间可加性：若f(x)在[a, b]上可积，则对于[a, b]的任意分割[a, c]和[c, b]，有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
(3) 积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx = f(ξ)·(b-a)。
二、积分的应用1. 求面积利用积分可以求曲线图形与x轴之间的有向面积，如计算抛物线y = ax^2的[0, 1]上的有向面积，可以通过计算∫[0, 1]ax^2dx来实现。
更一般地，通过积分可以求解一元函数在某一区间上的面积。
2. 求弧长对于一条曲线，可以通过积分求解其在给定区间上的弧长。
设曲线由参数方程x = φ(t)，y = ψ(t)表示，其中a ≤ t ≤ b，则弧长L可以通过积分公式L = ∫[a, b]√[φ'(t)^2 + ψ'(t)^2]dt进行计算。
3. 解微分方程积分在解微分方程中发挥重要作用。
对于给定的微分方程，可以通过对两边同时积分来求得方程的解。
例如，对于一阶常微分方程dy/dx = f(x)，可以通过积分得到y = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
一元微积分暨线性代数初步
一元微积分暨线性代数初步一元微积分暨线性代数是构成数学模型的基础，在许多学科方面都有广泛的应用。
学习一元微积分暨线性代数对于理解和掌握数学模型和计算机技术方面的基本原理是十分必要的。
一、一元微积分一元微积分是求解函数的近似值的方法，当函数的变化率变化很小时，一元微积分可以用来求解函数的取值。
1.定义：求解函数的近似值的一元微积分被定义为：对一元函数f (x)的某一段被限定域D上的任意小区间[a,b]，可以由以下三个部分组成：a)函数在[a,b]上的一元微分；b)函数在[a,b]上的定积分；c)函数在[a,b]上的反积分。
2.用途：一元微积分的结果可以用来求解函数的取值，从而解决复杂的数学问题，如：求导数、求积分、求分形集等。
3.应用：一元微积分可以用于求解物理问题、经济问题的最优解、解决系统的稳定性等问题。
二、线性代数线性代数是数学中一个重要的分支学科，它研究向量和矩阵，以及向量和矩阵之间的关系。
1.定义：线性代数是根据向量空间和线性变换的性质和规律，考察线性方程组解的性质，探讨向量空间的结构的学科。
2.用途：线性代数可以用来求解复杂的数学方程组和多元函数的扰动，如：求解线性方程组、向量和矩阵之间的相互关系、求解向量空间内向量的线性组合等。
3.应用：线性代数可以广泛应用于计算机科学、工程学、数学建模、机械设计等科学技术领域。
三、一元微积分与线性代数的联系一元微积分和线性代数之间有很多联系，比如：几何变换矩阵的变换用数值积分表示；向量的基本定义是一组多维的函数，由微积分提供；矩阵分析是线性代数的基础，把几何变换抽象化为矩阵乘法，这种抽象矩阵乘法是微积分的基础。
因此，一元微积分暨线性代数是数学模型的基础，重要性不言而喻，从而拓展数学思维，加深我们对数学思维的理解，加强我们实际应用数学的能力。
一元微积分和多元微积分的应用
一元微积分和多元微积分的应用
微积分是数学中的一个重要的分支，其中一元微积分和多元微积分是两个不同的领域。
一元微积分以单变量函数为基础，多元微积分是以多变量函数为基础，这两个领域都对数学及其应用有着重要的作用。
一元微积分包括求导、积分及泰勒级数等内容，其中最常见的应用当属求导，求导可以用来解决很多实际问题，比如可以用来计算函数的变化率，从而求出最大值和最小值，也可以用来求出函数拐点的坐标，积分可以用来求函数的积分，这对于求解物理问题有重要的意义，比如可以求出速度和位移的关系，泰勒级数可以用来近似一个函数，或者求出函数的特征解，例如可以用来求正弦函数的有限级数近似。
多元微积分是一元微积分的扩展，它可以用来求解多变量函数的变化率，求出函数的拐点、极值及极点坐标，还可以用来求解多变量函数的积分，同时可以用命题来表达多变量函数的特征解，例如复数变量的函数，也可以用来求出多变量函数的泰勒级数近似。
微积分的应用非常广泛，不仅出现在数学领域，而且也出现在物理、化学等领域，在物理方面，微积分可以用来求解曲线上的最大值、最小值、拐点及极点坐标，从而揭示出问题的发展规律；在化学方面，微积分可以用来求出化学反应中反应物浓度的变化，以及反应速率常数；在经济学方面，微积分可以用来求出潜在市场的需求量、供应量和最佳的价格水平等，对于解决经济管理问题有重要的启示。
以上是微积分在数学及应用中的重要作用，整体来看，微积分在许多学科领域都有重要的应用，并且应用前景非常广阔。
本文章就以《一元微积分和多元微积分的应用》为标题，详细介绍了一元微积分和多元微积分在数学及应用中的重要作用，为研究者提供一个概览，以便深入研究微积分理论及其应用。
一元微积分几何应用
微分元素 S(x)d x
例11 解
求以圆为底, 以平行且等于该圆直径的线段为顶, 高为 h 的正劈锥的体积 .
y
h
h
y
|y| |y|
a
Ox a x
x2 y2 a2
| y | a2 x2 .
S(x) 1 (2 | y | ) h | y | h h a2 x2. 2
h a2 sin 2 d 1 h a2 .
0
2
四、弧长及其计算方法
1 平面曲线弧长的定义
在弧 AB 上, 任意取分点 A M0, M1,, 将 AB 弧分成 n 个小段 : Mi1Mi ( i 1,
y
Mn1, Mn 2,, n ).
BM MA0
1
0
0
a3
2
(1
cos t )3
d
t
展开
5a3
.
0
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
y
S ( x)
Oa
x
b
x
设几何体 A 被垂直于x 轴的平面所截得的面积S(x).
若 S(x) C([a, b]), 则几何体 A 位于区间[a, b] 上的体积为
b
V a S(x) d x.
A
由图可以看出 :
选择 y 为积分变量比选择x 为积分变量好.
积分区间为 y [2, 4].
(2) 求微分元素 d A (( y 4) 1 y2 ) d y . 2
(3) 计算面积
A 4 (( y 4) 1 y2 ) d y 18.
2
2
2 参数方程形式下平面图形的面积
一元微积分的应用
第九讲 一元微积分的应用§1 函数单调增减性的判别定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增的（或单调减的），记为： （或 ）。
注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。
例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用：一．判别单调性：例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。
在()0,a 内可导，()'f x 单调增，令()()f x F x x=。
证明：在()F x 在()0,a 内单增。
证明：()()()()'00f x f x f xf x ξξ=- <<=拉氏定理()()()()()()()()'''''''22f x xf x f x xf x xf fx f F x x x x xξξ---⎡⎤====≥⎢⎥⎣⎦（ ()'fx 单调增，0x >）； 故在()F x 在()0,a 内单增。
二．求单调区间 例2：设()()110xf x dt x ⎛=> ⎝⎰，求()f x 的单减区间。
解：()'1fx=()'0f x =1x ⇒=； ∴当()0,1x ∈时，()'0f x <，所以()f x 单调减；当()1,x ∈∞时，()'0fx >，所以()f x 单调增；∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。
三．证明不等式例3：证明：1x >时，()()221ln 1x x x ->-证明：令：()()()221ln 1F x x x x =---，则：()()()'2112ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+---=--+；()''2112ln 210F x x x x x=+-+>∴()'F x ，()()''1lim 00x F x F x +→=⇒>； ∴()F x ，()10F +=；故()()10F x F +>=； 即：()()221ln 10x x x --->。
一元微积分应用三
回忆泰勒中值定理的构建过程
设 f (x) 在 U(x0 )内有直到 (n 1) 阶的导数, 则
f (x)
n k 0
f
(k ) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
Rn (x) ,
其中
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1) !
(
x
x0
)n
1为拉格朗日余项
.
由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新得幂级数, 且她与原幂级 数具有相同得收敛半径 、 如有必要,可对她连 续进行逐项求导和逐项积分、
就就是说, 在收敛区间内幂级数得和函数 有任具意阶得导数及任意次得可积性、
幂级数得性质多好啊 ！
如何将函数表示为幂级数?
怎么做？
二、泰勒级数
x2n2 ) d
x
n1
x 0
2n 2n
1
x
2n
2
d
x
n1
x 2 n 1 2n
1 x
n1
x2 2
n
2
x x2
故
n1
2n 1 2n
x2n2
d dx
2
x x2
2 x2 (2 x2)2
取 x 1, 得
n1
2n 1 2n
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
幂级数的解析运算
由幂级数在其收敛区间内得逐项可导性, 得
n1
x 2 n 1
2n 1
n1
x 2 n 1
2n 1
n0
x 2n2
1
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第九讲 一元微积分的应用§1 函数单调增减性的判别定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增的（或单调减的），记为： （或 ）。
注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。
例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用：一．判别单调性：例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。
在()0,a 内可导，()'f x 单调增，令()()f x F x x=。
证明：在()F x 在()0,a 内单增。
证明：()()()()'00f x f x f xf x ξξ=- <<=拉氏定理()()()()()()()()'''''''22f x xf x f x xf x xf fx f F x x x x xξξ---⎡⎤====≥⎢⎥⎣⎦（ ()'fx 单调增，0x >）； 故在()F x 在()0,a 内单增。
二．求单调区间 例2：设()()110xf x dt x ⎛=> ⎝⎰，求()f x 的单减区间。
解：()'1fx=()'0f x =1x ⇒=； ∴当()0,1x ∈时，()'0f x <，所以()f x 单调减；当()1,x ∈∞时，()'0fx >，所以()f x 单调增；∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。
三．证明不等式例3：证明：1x >时，()()221ln 1x x x ->-证明：令：()()()221ln 1F x x x x =---，则：()()()'2112ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+---=--+；()''2112ln 210F x x x x x=+-+>∴()'F x ，()()''1lim 00x F x F x +→=⇒>； ∴()F x ，()10F +=；故()()10F x F +>=； 即：()()221ln 10x x x --->。
§2 函数的极值与最值定义：设函数()y f x =在0x x =的临域内有定义，x 为该临域内异于0x 的任一点，若恒有()()0f x f x >（或()0f x <），则()0f x 称为()f x 的极小值（极大值）。
极大值与极小值统称为极值。
使函数取极值的点为极值点。
注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。
定义：使()'0fx =的解，称为()f x 得驻点。
0x 为()f x 的驻点，不能⇒ 0x 为()f x 的极值点； 同样，0x 为()f x 的极值点，不能⇒0x 为()f x 的驻点。
例如：0x =为3y x =的驻点，不能⇒ 0x =为3y x =的极值点；0x =为y x =的极小值点，不能⇒0x =为y x =的驻点。
1Th ：（取极值的必要条件）设()0f x 为()f x 的极值，又()f x 在0x x =处可导，则()'00fx =。
2Th ：（取极值的充分条件）设()f x 在0x x =的邻域内可导（在0x x =处()'f x 可以不存在，但必须()f x 在0x x =处连续），若： ①x ：0x →→；()'fx ：-→()'00f x =或()'0f x 不存在+→⇒()0f x 为()f x 的极小值；②x ：0x →→；()'fx ：+→()'00f x =或()'0f x 不存在-→()0f x⇒()0f x 为()f x 的极大值；③ 若()'f x 在0x x =的两侧不变号，则 ()0f x 不是()f x 的极值。
3Th ：设()f x 在0x x =的邻域内二阶可导，且()'00f x =，()''00f x ≠。
当()''00f x >时，()0f x 为()f x 的极小值； 当()''00f x <时，()0f x 为()f x 的极大值。
极值的求法：① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 利用定理2或定理3判别i x 是否为极值点，并判别类型； ③ 求出极值。
最值的求法：① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 求出()i f x ：若()f x 在[],a b 连续，也求出()(),f a f b ； ③ 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。
例1：设函数()f x 在0x =的邻域内连续，且()00f =，()0lim21cos x f x x→=--，则在0x =处，()f x [ ]：（A ）不可导 （B ）可导但()'00f≠（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()000limlim 21cos 1cos x x f x f x f x x→→-==---()()()021cos f x f x xα-⇔=-+-， 其中()0lim 0x x α→=()()()()()()021c o s 00fx f x x f x f α⇒-=-+-≤⇒≤⎡⎤⎣⎦，故答案为C 。
例2：设()y f x =为微分方程'''sin 0x y y e +-=的解，()'00f x =，则在0x x = 处()f x [ ]： （A ）0x x =的邻域内单增 （B ）0x x =的邻域内单减（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()()0sin '''sin '''0000xx fx f x e f x f x e +-=⇒+-=()()'000sin ''00f x x f x e ==>⇒。
故()0f x 为()f x 的极小值。
故选C 。
例3：()''f x 连续，且()'00f =，()''0lim1x f x x→=，则在0x =处，()f x [ ]： （A ）取极大值 （B ）取极小值（C ）()()0,0f 为拐点 （D ）()f x 不取极值也在()()0,0f 处不是拐点解： ()''0lim1x f x x→= ∴当0x →时，()''f x x 0x >， ∴在0x =的邻域内，()''0f x > ∴()0f 为()f x 的极小值。
故选B 。
例4：设()()()000limnx x f x f x k x x →-=-，讨论()f x 在0x x =处的极值。
解：()()()()()()()00000limnnx x f x f x f x f x k k x x x x x α→--=⇔=+--()()()()00nf x f x k x x x α⇔-=+-⎡⎤⎣⎦，其中()0lim 0x x x α→=。
① 当0k >时，n 为偶数时，()()00f x f x -≥，∴()0f x 为()f x 的极小值； ② 当0k<时，n 为偶数时，()()00f x f x -≤，∴()0f x 为()f x 的极大值；③ 当n 为奇数时，()()0f x f x -不保号， ∴()0f x 不是()f x 的极值； 例5：求抛物线24x y =到y 轴上的定点()0,P b 的最短距离。
解：d ==令：()()()()()'02'4422f y f y y y b fy y b y b ==+-⇒=+-=-⇒令① 当2b ≥时，()()''''2,220fy f b = -=>2y b =-为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。
∴min d ==② 当2b <时，()()2''0,0,.y x fy f y ≤=≤+∞ ≥0y =为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。
∴min d b =。
§3 函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数()y f x =在[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ∈，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭（或()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭）， 则()f x 在[],a b 上为凸的（或凹的）。
1Th ：设函数()y f x =在[],a b 上二阶可导，若()''0f x >（或()''0f x <）。
则()f x 的图形在[],a b 上为凹的（或凸的）。
例：设()x ϕ为连续函数的正函数，令()()()0aaf x x t t dt a ϕ-=- >⎰。
判别()f x 在[],a a -上的凹凸性。
解：()()()()()()ax aa ax f x x t t dt x t t dt t x t dt ϕϕϕ--=- =- +- ⎰⎰⎰()()()()xx aaa axx x t dt t t dt t t dt x t t dt ϕϕϕϕ--=- +-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()'xaa x fx t dt x x x x x x t dt x x ϕϕϕϕϕϕ--=+---+⎰⎰()()xaaxt dt t dt ϕϕ-=-⎰⎰()()()()'20fx x x x ϕϕϕ=+=>（ ()x ϕ为正函数）故：()f x 的图形在[],a b 上为凹的。
定义：函数()y f x =的图形凹凸的分界点称为()y f x =的拐点。
2Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内二阶可导，在0x x =处()''f x 可不存在，但必须()f x 连续。
若()''f x 在0x x =处的邻域内变号，则()()00,x f x 为拐点；若()''f x 在0x x =处的邻域内不变号，则()()00,x f x 不是拐点。