2.3.1双曲线的定义及其标准方程课件--人教A版高中数学选修2-1

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《双曲线及标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.3.1课时)

|MF1|-|MF2| =2a 即双曲线的右支
当|MF1|-|MF2|=2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支；当|MF2|-|MF1|=2a时，M点轨迹是双
曲线中靠近F1的一支.
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）即表示整个双曲线
新知探究
如何求这优美的曲线的方程？
新知探究
判断： x2 y2 1 与 16 9
y2 x2
1 的焦点位置？
9 16
x , y 结论：看 2
2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上。
课堂练习
4.例题讲解 1.已知方程
m x2 y 2 表1示椭圆，则
m 1 2 m
的取值范围是____________.
解： m 1 0
2 m 0 m 1 2
0<2a<2c
M F1 o F2
新知探究
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹双曲线的右支；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹双曲线的左支
a>b>0， c2=a2-b2 a最大
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
新知探究
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？

高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程

2．3.1 双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．

(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1

合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1，解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程．
思路点拨：根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析：与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程

数学：2.3.1《双曲线的定义及标准方程》PPT课件(新人教A版-选修2-1)

二、找出动点满足的几何条件；三、将几何条件化为代数条件；
四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF
1

PF
2
2a
3、椭圆的标准方程有几类？
[两类]
2 2
x a
2

y
2
1 ( 焦点在 x 轴上 )
b
2 2 2
x b

y
2
1 ( 焦点在 y 轴上 )
a
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图形?
看图
双曲线标准方程的推导
5
P(x,y)
一、建立坐标系；设动点为P(x,y)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
5
P(x,y)
二、根据双曲线的定义找出P点满足的几何条件。
| PF 2 | | PF 1 | 2 a
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
-5
注：P点到两焦点的距离之差用2a(a>0)表示。
5
P(x,y)
三、将几何条件化为代数条件。
5
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
根据两点的间的距离公式得：

F1(c,0)
5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
2 2
即 :
-5
x a
2

y

人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程课件

则m的取值范围____m______2___.
第十四页，编辑于星期日：六点十五分。
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距
离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、 B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
第十八页，编辑于星期日：六点十五分。
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例 3 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最容易想到的地方.
听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测
点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试
确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
设 P（x,y）为巨响点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2

高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件

（的1）各支的双向渐曲外近线延线ax22为伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线。为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性：关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x

高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)

2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是两；条若射2a线>|F1F2| 则动点的轨迹是．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所以有
人教版选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法

人教A版数学选修2-1第二章第三单元第二节双曲线的简单几何性质第一课时公开课教学课件 (共16张PPT)

几何图形
范围
对称性
X=-ay
B2
A
F1 1
0
B1
X=a
A2 F2
x
y
F1
A2
B1 o A1 B2 x
F2
x ≥ a 或 x ≤ -a y R y ≥ a 或 y ≤ -a xR
中心对称，轴对称中心对称，轴对称
顶点
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a、b、c的关系
③等轴双曲线的定义及离心率是什么？ ④离心率可以刻画椭圆的扁平程度，离心率e 的变化对双曲线图形有什么影响？
椭圆
标准方程
几何图形
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y
B2
A1 F1 F2
0
A2 x
B1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
对称轴：x轴，y轴对称中心：原点
顶点
a,b,c的等量关系
人民教育出版社A版数学选修2-1（高二年级）
双曲线的简单几何性质(一)
主讲人: 邢华烟台经济技术开发区高级中学
人民教育出版社数学选修2-1
2.3.2双曲线的简单几何性质
烟台开发区高级中学邢华
学习目标: 知识与技能:知道双曲线的几何性质,能根据性质解决一些基本问题培养学生分析,归纳,推理的能力. 过程与方法:与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合思想,掌握利用方程研究曲线性质的方法. 情感态度与价值观:通过类比的方法探索新知识, 培养学生学习数学的兴趣.
A1(-a,0) , A2(a,0) , B1(0,b) , B2(0,-b)

新人教A版(选修2-1)2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件

焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
(4)焦点在x轴上，且过P(-
2,-
3)，Q(
15 3
,
2).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(m 0, n 0)
(4)变式：过P(-
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.1双曲线及其标准方程》课件

__________________
(0,-c),(0,c) _____________
a2+b2 2 c =_____
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) )
2 2 x y (2)在双曲线标准方程 2 2 1 中，a＞0，b＞0且a≠b.( a b
【变式训练】(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为
(- 2 ,0),( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为
.
【解题指南】利用双曲线的几何性质求出a,b,c,进而求出C
的方程.
【解析】由焦点坐标可得c= 2 且焦点在x轴上,由顶点坐标
(1,0)知a=1,
所以b2=c2-a2=2-1=1,
2.对双曲线标准方程的三点说明 (1)标准方程中两个参数a和b,是双曲线的定形条件,确定了其值,方程也即确定.并且有b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标
准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为
正,则焦点在y轴上.
(3)双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(m·n<0).
【知识拓展】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较
椭圆双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
a2-c2=b2
x 2 y2 2 1 2 a b y2 x 2 2 1 2 a b
|MF1|-|MF2|=〒2a
c2-a2=b2
因为a=4,c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9.
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 1. 16 9 2 2 x y ②若所求的双曲线标准方程为 2 2 1 (a＞0,b＞0), a b 2 2 x y 则将a=4代入得 2 1. 16 b

高二数学选修2-1课件231_双曲线的定义及其标准方程新人教A版.ppt

焦点： F1(–c,0)， F2(c,0)
思考：换为如右图建系呢？ y
标准方程：
y2 x2 1 (a>0,b>0)
a2 b2
F1•
O
x
•M • F2
焦点： F1(0, c)， F2(0, –c)
思考：a, b, c有何关系？ c2=a2+b2
c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
移项得,
4cx 4a2 4a (x c)2 y2 .
cx a2 a (x c)2 y2 .
推导方程
两边再平方得:
(cx
a2 )2
a2
x
c2
y2
.
c2x2 2a2cx a4 a2x2 2a2cx a2c2 a2 y2
c2x2 a2x2 a2 y2 a2c2 a4
轨迹方程. 先建系
x2 y2 1 (x<-2) 4 12
课堂练习
2、若双曲线
x2 y2 25 9
1
上的一点P到
一个焦点的距离为12，则它到另一个焦
点的距离是＿2＿或＿2＿2 ＿.
yP
F1 O
F2 x
课堂练习
3、已知双曲线
x2 9
y2 4
1
，A、B为过左焦点F1的直线与
双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B的
复习引入
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点 F1, F2的距离的和
等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：平面内与两定点的距离的差
为非零常数的点的轨迹如何呢？
刚看的是 MF1 MF2 2a (a是常数)

高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程

[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.

y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动点P的轨迹方程.

湖南省临澧县第一中学高二人教A版数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程

轨迹方程是 A.1x62 －y92＝1(x≤－4) C.1x62 －y92＝1(x≥4)
B.x92－1y62 ＝1(x≤－3) D.x92－1y62 ＝1(x≥3)
( D)
课堂达标检测
双曲线及其标准方程
4．若方程10x－2 k＋5－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( A )
A. (5,10)
焦点在 y 轴上
图形
标准方程焦点焦距
统一形式：
xa22－by22＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0)
mx2＋ny2＝1(mn<0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
F1 (0，－c) ，F2 (0，c)
|F1F2|＝2c，c2＝ a2＋b2
哪项为正，焦点就在哪个轴上．
探究
为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解如图，建立直角坐标系 xOy，设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×4＝1 360，即 2a＝1 360，a＝680. 又|AB|＝2 000，所以 2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600. 因为|PA|－|PB|＝340×4＝1 360>0，所以 x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为462x2400－537y2600＝1 (x>0)． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2
所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
S ∴ F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64× 23＝16 3.

人教A版选修【数学】双曲线定义与标准方程课件

人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线定义与标准方程课件(共33张PPT)
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线定义与标准方程课件(共33张PPT)
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义方程
焦点 a.b.c 的关系
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
cx a2 a (x c)2 y2
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) c2 a2 b2
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线定义与标准方程课件(共33张PPT)
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准
方程
双曲线及其标准方程
自学思考
❖ 1、什么叫椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？
❖ 2 、什么叫双曲线？当常数 2a =2c； 2a＞2c时，动点P的轨迹分别是什么？
❖ 3、例1中求双曲线的方程有哪些主要步骤?双曲线的标准方程是什么？
❖ 4、焦点在y轴上，双曲线的标准方程又是怎样呢？ ❖ 5、如何判断椭圆与双曲线的焦点在哪一条轴上？
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线定义与标准方程课件(共33张PPT)
焦点在X轴上如下图，若建系时, 焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0, a2 b2 c2 )
人教A版选修2-1【数学】2.3.1双曲线定义与标准方程课件(共33张PPT)

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.1 双曲线及其标准方程

2 2 x y b2＝c2－a2，则双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a b
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基础梳理
例：焦点在x轴上的双曲线中，a＝3，b＝4，双曲线
x2 y2 －＝1 的标准方程为______________ ． 9 16
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3．取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平
y2
x2
所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 9 16 点评：求双曲线标准方程的一般步骤：①根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能；②根据焦点位置设方程为 x 2 y2 y2 x 2 2 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，可设方程为 mx ＋ a b a b ny2＝1(mn<0)；③根据已知条件列出关于 a，b，c(或 m，n)的方程组； ④解方程组，将 a，b，c(或 m，n)代入方程，即得标准方程．
例：焦点在 y 轴上的双曲线中，a＝3，c＝4，双曲线的标
y2 x2 －＝1 准方程为____________ ． 9 7
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自测自评
1．点 F1，F2 是两个定点，动点 P 满足||PF1|－|PF2||＝ 2a(a 为非负常数)，则动点 P 的轨迹是( A．两条射线 B．一条直线 C．双曲线 D．前三种情况都有可能
y2 x2 解析：(1)设标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)且 c＝4， a b ∵双曲线过点 P(2 2，－6)，
36 8 a －b ＝1， ∴ ＝4 ，
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∴双曲线标准方程为
y2
12
分线为x轴，建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(0，－c)、(0，c)．

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此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲
线上？并求出轨迹方程。
• 解：设点P为爆炸点，则
• |PA|- |PB|=340×2=680<800
• ∴因此爆Leabharlann 点P应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上。
y
以AB所在直线为 x轴，AB的中点
M 为原点建立如图的直角坐标系
A OB x
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，a,b大小不确定，c2=a2+b2
例1: 已知F1(-5，0)，F2（5，0），动点P到
F1、F2的距离之差的绝对值为6，求点P的轨迹方程.
1、若|PF1|-|PF2|=6呢？ 2、若||PF1|-|PF2||=10呢？ 3、若||PF1|-|PF2||=12呢？
双曲线的标准方程思考：
y
y
M能判否断根焦据点标的M准位方置程？
由方程定焦点： F2
x
F1 O 椭F2圆看x 大小双曲线看符号
O
F1
定义图象
双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
x2 y2 1 a2 b2
求m的范围。
思考探究
过双曲线
的左焦点F1的
弦AB的长为6，则△ABF2（F2是右焦点）的
周长是
小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程以及方程中的a，b，c之间的关系 2、怎样的双曲线其方程是标准方程；
标准方程表示的双曲线的特征 3、焦点位置的确定方法
4、求双曲线标准方程关键（定位，定量）
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
两条射线轨迹不存在
注意
没有“绝对值”这个条件时, 仅表示双曲线的一支
练1:化简方程
设：
点的轨迹为双曲线的上支
又焦点在y轴上，所以：
练1:已知双曲线
上一点到
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另
一个焦点的距离为
3或15
.
思考：
若把距离9改为3，则现在有几解？
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程。
（1）
焦点在轴上
思考：
要求双曲线的标准方程需要几个条件
（2）
经过点 A(1, 17 )
（3）已知椭圆的方程为
，求以
此椭圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双
曲线的标准方程.
例3:如果方程
表示焦点在y轴
的双曲线，求m的取值范围.
变式一: 方程
表示双曲线时，则m的
取值范围变式二:
表示焦点在y轴的双曲线时，
平面内与两定点F1、F2的距离的差和等于常数2a
的点的轨迹是什么? 没有椭轨圆迹
线段一条射线
没有轨迹
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
焦点
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
练习：根据下列条件，求双曲线的标准方程：
1、过点 P ( 3 , )、Q ( , 5 ) 且焦点在坐标轴上； 2、 c = ，经过点 (－5 , 2 )，焦点在 x 轴上；
3、与双曲线
有相同焦点，且经过
点(3 ,2)
例4:一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声的时
间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为焦点在x 轴上的双曲线的标准
方程
双曲线的标准方程
方程形式：x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
y
F2
F1 o F2x
位置特征：焦点在x轴上
焦点坐标
ox F1
焦点在y轴上
数量特征： MF1 MF2 2a
c2 a2 b（2 a,b,c 0)