2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(十)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(三)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则A B=A.[-1，)B.(1，)C.)D.R2.若==a bi(a，b R) ，则a2019b2020=A. 1B.0C.1D.23.若la+bl=，a=(1，1) ，Ibl=1，则a与b的夹角为A. B. C. D.4.已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为A.或B.或 D.3或 25.已知点P在圆O：x2+y2=1上，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OP，则当Sin2α+sinα取最小值时，点P位于A.x轴上方B.x轴下方C.y轴左侧D.y轴右侧6.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S=A.1B.5C.14D.307.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2b-c) cosA=a cosC，则A=A. B. C. D.8.若函数f(x) =(sinx) ln(x) 是偶函数，则实数a=A. 1B.0C.1D.9.由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(四)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（四）数学（文）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一部分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =U （ ） A. {|3}x x ≥ B. {}|10x x -<< C. {}|10x x x ≤-≥或D. {}|3x x <【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集. 【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x -<<，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}R M N x x ⋃=≥ð，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－ 考点：同角间三角函数关系 【此处有视频，请去附件查看】3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ） A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】A 【解析】 试题分析：因为当时，2()2f x x x =-，所以. 又因为()f x 是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.4.已知两条直线1l ： ()1210a x y -++=， 2l ： 30x ay ++=平行，则a =（ ） A. -1 B. 2C. 0或-2D. -1或2【答案】D 【解析】试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a ． 解：因为直线l 1：（a ﹣1）x+2y+1=0的斜率存在， 又∵l 1∥l 2， ∴，∴a=﹣1或a=2，两条直线在y 轴是的截距不相等， 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行． 故选D ．点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．5.设323log ,log log a b c π=== ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】A 【解析】∵a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log22＝1，∴a>b ，又b c＝231log 321log 22＝(log 23)2>1，∴b>c ，故a>b>c. 6.已知点()2,P y 在抛物线24y x =上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为( ) A. 2 B. 3C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求，抛物线上的点到焦点的距离等于到它到准线的距离.【详解】因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，准线为1x =-，结合定义P 点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离3，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，利用抛物线定义能实现点到焦点和点到准线距离的转化. 7.下列说法正确的是( )A. “f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件B. 若 p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ￢：x R ∀∈，210x x --< C. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”D. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．【详解】对于A ，f （0）＝0时，函数 f （x ）不一定是奇函数，如f （x ）＝x 2，x ∈R ； 函数 f （x ） 是奇函数时，f （0）不一定等于零，如f （x ）1x=，x ≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，∴B 错误； 对于C ，若α6π=，则sin α12=的否命题是 “若α6π≠，则sin α12≠”，∴Ｃ正确． 对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴Ｄ错误； 故选C ．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．8.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，则C 的方程是( ) A. 22134x y +=B. 22143x += C. 22142x y +=D. 22143x y +=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为22221(0)x y a b a b +=>>，可知11,2c c e a ===，可得2a =，又222a b c =+，可得23b =，所以椭圆方程为22143x y +=.考点：椭圆的标准方程.【此处有视频，请去附件查看】9.已知向量,a b r r ，满足3a =r ，23b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r的夹角为( )A.2π B.23πC.34π D.56π【答案】D 【解析】 【分析】先根据()a a b ⊥+r r r求出a b ⋅r r，然后利用夹角公式可求.【详解】因为()a a b ⊥+r r r ，所以2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=r r r r r r ，因为3a =r ，所以9a b ⋅=-r r；cos ,a b a b a b ⋅===r rr r r r a r 与b r 的夹角为56π，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，垂直条件的使用是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 11.已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.12.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+，则满足1(())2f f a =的实数a 的个数为（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数作出函数的图象，结合图象及1(())2f f a =可以求解. 【详解】因为()y f x =为偶函数，所以图象关于y 轴对称，如图，设()t f a =，则结合图象由1()2f t =可知t 有4个不同的解，不妨设为1234t t t t <<<，结合图象可知1(2,1)t ∈--，此时1()f a t =，a 有两个解；同理2(1,0)t ∈-，此时2()f a t =，a 有两个解；3(0,1)t ∈，此时3()f a t =，a 有四个解；4(1,2)t ∈，此时4()f a t =，a 无解；综上可得实数a 的个数为8，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，数学结合是求解的捷径，侧重考查数学抽象，直观想象的核心素养.第二部分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.函数()(01)x f x a a a =≠f 且在[0,1]上最大值与最小值之和3,则a=___________ 【答案】 2【解析】 【分析】讨论01a <<与1a >时，函数xy a =在[]0,1上的单调性，求出函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值，由此求出a 的值.【详解】①当01a <<时，函数xy a =在[]0,1上为单调减函数，∴函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值分别为1,a ；又函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值和为3 ,13a ∴+= ,解得2a = (舍去)；②当1a >时，函数xy a =在[]0,1上为单调增函数，∴函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值分别为,1a ；又函数xy a =在[]0,1上的最大值与最小值和为3 ,13a ∴+= ,解得2a =；综上，2a =，故答案为2.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.14.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为_______．【答案】90o 【解析】 【分析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为90︒可知,AB AC ⊥.【详解】由1+2AO AB AC =u u u r u u u r u u u r（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB u u u r 与AC u u u r的夹角为090 所以答案为90︒【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.15.已知：圆C 过点A （6,0），B （1,5）且圆心在直线:2780l x y -+=上，求圆C 的方程． 【答案】22(3)(2)13x y -+-=. 【解析】试题分析：由圆C 过A 和B 点，得到AB 为圆C 的弦，求出线段AB 垂直平分线的方程，根据垂径定理得到圆心C 在此方程上，方法是利用中点坐标公式求出线段AB 的中点，根据直线AB 的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB 垂直平分线的斜率，由求出的中点坐标和斜率写出线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出圆心C 的坐标，然后再根据两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆C 的半径，由圆心和半径写出圆C 的标准方程即可．解法1：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由题意可得6)20)221)25)22(({((2780a b a b r r a b ----+=+=-+=n n n n ,解得：所以求圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.解法2：求出AB 垂直平分线方程10x y --=联立方程组103{{27802x y x x y y --==⇒-+==求出半径13r =,写出圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.考点：此题考查了中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理及两点间的距离公式，理解圆中弦的垂直平分线一定过圆心是解本题的关键． 16.下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上角的集合是{|,}2k k Z παα=∈． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象．⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【解析】【详解】①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x=在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17.设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x ∈R . （Ⅰ）.若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的集合； （Ⅱ）.若8x π=是()f x 的一个零点，且010ω<<，求()f x 的单调递增区间．【答案】(1) ；34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；(2)3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)先利用诱导公式化简为标准型，然后求解最值和相应的x 的集合； (2)根据8x π=是()f x 的一个零点及010ω<<，求出ω，然后求解增区间.【详解】(1) ()sin sin sin cos 2f x x x x x πωωωω⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭当1=2ω时，()sin cos 2224x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又1sin 124x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以f (x )，此时，2242x k πππ-=+，k ∈Z ，即342x k ππ=+，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝32π＋4k π，k ∈Z}．(2)因为()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，8x π=是f (x )的一个零点⇔0884x f πωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即84x k ωπ-=π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，14- <k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ，得3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合恒等变换化简解析式是关键步骤，侧重考查转化化归，数形结合的思想.18.在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A（2）若3a =，△ABC 的面积为b c 、 【答案】：（Ⅰ）1cos 3A =（Ⅱ）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin 3A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c +=解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩【此处有视频，请去附件查看】19.已知圆22C :8120x y y +-+=，直线l :ax y 2a 0++=． （1）当直线l 与圆C 相切，求a 的值；（2）当直线l 与圆C 相交于,A B两点，且AB =时，求直线l 的方程． 【答案】(1) 34a =- (2) 7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】试题分析：（1）把一般方程配成圆的标准方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离为半径得到关于a 的方程，解出a 即可．（2）先利用几何性质由弦长AB，再利用点到直线距离公式得到关于a 的方程，解出a 即可．解析：圆22:8120C x y y +-+=化成标准方程为()2244x y +-=，则此圆的圆心为()0,4，半径为2.（1）当直线l 与圆C2= ，解得34a =-（2）过圆心C 作CD AB ⊥于D ，则根据题意和圆的性质，CD =，=解得7a =-或1a =-，故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.20.平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι)22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=【解析】 【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值. 【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c =-，即222a c =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +-=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =又因为()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅= . 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键. 21.已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'，……………………………………………………（2分） (1)213f =+='.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为.…………………………………（4分） (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.……………………………………………………（5分） ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………………………………（6分）②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………（8分）（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.…………………………………………………（9分）max ()2g x =……………………………………………………………………………（10分）由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)……………………（11分）当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，…………（13分）所以21ln()a >---， 解得31a e<-. ………………………………………………………………………（14分） 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用．（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值． （2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论． （3）由已知，转化为max max ()()f x g x <.由(Ⅱ)知，当a ≥0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R ，故不符合题意. 当a<0时，f(x)在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故f(x)的极大值即为最大值，进而得到．解(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'， (1)213f =+='.曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为. (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.max ()2g x =由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，所以21ln()a >---， 解得31a e<-. 请考生从第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB V 面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知 |OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=--≤当α12π=-时， S 取得最大值2.所以△OAB 面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.选修4-5：不等式选讲23.（Ⅰ）.设函数()|3||1|f x x x =+--，解不等式()1f x ≤； （Ⅱ）.已知0a >，0b >，222a b +=，证明：2a b +≤. 【答案】（1）1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值，求解不等式； （2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）当1x ≥时，()3(1)41f x x x =+--=≤无解； 当31x -<<时，()3(1)221f x x x x =++-=+≤，解得132x -<≤-； 当3x ≤-时，()3(1)41f x x x =--+-=-≤，得3x ≤-； 综上可得1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）因由柯西不等式得22222)(1)((1)a b a b ++≥+，所以222()2()4a b a b ≤+=+，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立； 所以 2a b +≤.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和证明不等式，含有绝对值不等式常用零点分段讨论的方法进行.。
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学(含答案解析)
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合P={}0,1，M={}|x x P ⊆，则集合M 的子集个数为（ ）A.32B.16C.31D.642. 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=A.34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π4. 已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则’’01q <<”是.{}n a 为递减数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()21f x -定义域为[]0,3则 ()21f x -的定义域为（ ）A.（0，92） B.902⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(9,2-∞) D.(9,2⎤-∞⎥⎦7.在平行四边形ABCD 中，AB=8，AD=5，3CP PD =，2APBP =, AB AD ⋅=( )A,22 B.23 C.24 D.258. sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ）A.333 B.233 C.332 D.2329. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89x=1 y=1z=x+y50?z ≤x=y开始输出z是否10. 如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是( )11. 设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．312. ()f x 与()1f x +事定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时()f x =sin x x -，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2f π⎛⎫⎪⎝⎭为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=___________________14. x,y 自变量满足x ≥0y ≥24y x +≤x y S +≤当35S ≤≤时，则32x y Z =+的最大值的变化范围为___________________15. 函数ay x =为偶函数且为减函数在()0,+∞上，则a 的范围为___________________16. 已知函数()f x =()lg ,0x x -<264,0x x x -+≥，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是___________________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. cos cos 1αβ=-，求()sin αβ+正侧俯18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.()()2211221221212120.1000.0500.010,2.7063.841 6.635p x k n n n n n x n n n n k ++++-=≥19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ， 求证PQ 面BCE20. 已知椭圆中()222210x y a b a b +=>>长轴为4离心率为12，点P 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l 交y 轴于点A ，直线l'过点P 且垂直于l 交y 轴于B ，试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由21. 设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈当1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a.（Ⅰ）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x≤3}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m－f （－n ）成立，求实数m 的取值范围参考答案1. B考点：集合的子集问题 设有限集合A ，card ()A =n ()*n N ∈子集个数2n ，真子集21n -，非空真子集22n - 解析：M={}|x x P ⊆ P={}0,1则x 有如下情况：{}{}{},0,1,0,1φ 则有子集为42216n== 注意点：该类型常错在空集φ 2. A【解析】3. B 【解析】4. A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图 5.D考点:充分条件与必要条件的判定解析：若111,2a q =-=，则数列前n 项依次为-1，-11,24-，显然不是递减数列 若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足01q综上01q 是{}n a 为递减数列的既不充分也不必要条件注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例 6.B考点：关于定义域的考察解析：[][][]220,30,911,8x x x ∈∈-∈-所以[][]9211,8210,90,2x x x ⎡⎤-∈--∈∈⎢⎥⎣⎦所以定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意；一般题目中的定义域一般都是指x 的范围类似的题目：已知()f x 定义域为[]()()0,4,11f x f x ++-的定义域是？ 考点；对定义域的问题考察的综合应用解析:[][][]0,411,511,3x x x ∈+∈-∈-所以综合在一起的定义域是[]1,3 注意;定义域在一定题目中指的是x 范围，但每个题目中的x 的取值是一样的 所以在这些关系中取这三个范围中都包括的范围 7.A考点；利用不同方法求解 解析：法一：坐标法 设A坐标原点B()8,0 设DAB θ∠=所以()5cos ,5sin D θθ所以()5cos 2,5sin P θθ=+AB AD ⋅=()8,0()5cos ,5sin θθ=40cos θAP BP ⋅=()5cos 2,5sin θθ+()5cos 6,5sin 2θθ-=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以AB AD ⋅=22法二；AP BP ⋅=13244AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以AP BP ⋅=1344AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=223134416AD AD AB AB AD AB -⋅+⋅-=25-13*642216AD AB ⋅-= 所以AB AD ⋅=22 注意；巧妙运用题目关系并且记住题目中条件不是白给的，一定要用 8.B考点：函数最值方面的考察解析：方法一；sin cos y x a x =+=当53x π=时，122y a =-+=平方得：22311424a a a -+=+ 求得3a =- 3= 方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以12= 所以a = =注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为09. B【解析】10.B解析：由三视图可得1hr所以22r h +=1 ()()223111113333V sh r h h h h h πππ===-=- 将V 看成函数 ()21'133V h π=- 所以当213h =时取得最值 22213h r h -== 所以63r =注意：可以将几何和函数相结合11. A 【解析】12.A 解析：32f ⎛⎫-⎪⎝⎭=31222f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2f π⎛⎫⎪⎝⎭=222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则3122222f f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin f x x x =- ()'1cos 0f x x =->恒成立∴()f x是单调递增1222π>-∴12022f fπ⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴原式>0恒成立注意点：若关于轴x a=对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于点(),0a对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于(),a a对称，T=4a ()()22f x a f a x=--考点：在利用余弦转化时符号的正确利用解析：c=2 b=3 ()cos1a c B AB BCπ⋅⋅-=⋅=22225cos24a cb aBac a+--==()cos2cos1ac B B aπ-=-⋅=1cos2a B=-∴25142aaa-⋅=-∴252a-=∴23a=a=注意；()cos cosB Bπ-=-注意正负号AB BC⋅夹角是cos B-BA BC⋅夹角是cos B AB CB⋅夹角是cos B14. []7,8考点：线形规划中范围的判断解析：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B()0,4处取得∴代入248Z=⨯=∴综上范围是[]7,815. a 0<且a 为偶数考点:偶函数的定义，幂函数定义的考察 解析：为减函数 ∴a 0< 为偶函数 ∴a 为偶数类似的，若ay x =为奇函数，减函数在(),a +∞上，求范围解析：为减函数 ∴0a <为奇函数 ∴a 为奇数注意；幂函数ay x =的定义性质必须弄懂 16. 172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 解析：()226435x x x -+=--∴()()210f x bf x -+=在[]0,4上有2个根令()t f x = 210t bt -+=在[]0,4上有2个根>()0,42b∈()00f >()40f≥所以解得b ∈172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根 最后利用根分布求范围 17. 考点:对特殊函数值的理解 解析：cos 1α≤ cos 1β≤∴cos ,cos αβ中肯定一个为1，一个为-1若cos 1α=，则cos 1β=- 则2,2k k απβππ==+∴()41k αβπ+=+ ∴()sin 0αβ+= 反之也成立注意：cos α，cos β，sin ,sin αβ取值范围可利用取特值法进行分析 18. 【答案】 （1） 有95%的把握认为有关（2） 107【解析】（1）22100(60102010)1004.762 3.8418020703073x -==≈>所以，有95％的把握认为“南方和北方的学生在甜品饮食方面有差异”（2）10776116111035==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从19. 解析：证明： 证法一：如图作PMAB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N 连接MN正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ∴AE=BD 又AP=DQ ∴PE=QB又PM AB QN ,PM PE QB QN BQAB AE BD DC BD∴===PM QNAB DC∴=PM ∴QN 且PM=QN 即四边形PMNQ 为平行四边形 PQ MN ∴又MC ⊂面BCE PQ ⊄面BCE∴PQ 面BCE证法二：如图连接AQ 并延长交BC 的延长线于K ，连接EKAE BD = AP DQ = PE BQ ∴= AP DQPE BQ∴= 又AD BK DQ AQ BQ QK ∴= AP AQPE QK∴= PQ EK ∴ 又PQ ⊄面BCE EK ⊂面BCEPQ ∴面BCE证法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PMBE ，交AB 于M ，连接QMPM 面BCE ，且AP AMPE MB=又AE BD = AP DQ = PE BQ ∴=AP DQ PE BQ ∴= AM DQMB QB∴= MQ AD ∴ 又AD BC MQ BC ∴ MQ ∴面BCE又PM MQ M ⋂= ∴面PMQ 面BCE 又PQ ⊂面PMQ PQ ∴面BCE注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行20.解析：22143x y += 设P 为()00,x y ，P 为切点且P 在椭圆上 设l 为00143x x y y += l ’与l 是垂直的∴'l 为0034x x x ym -=直线l 过P ()00,x y 点代入 000034x y x y m ∴-= 0012x ym ∴= ∴'l 为00034y x x ym --= 在l 中令0x =得030,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在'l 中令0x =得00,3yB ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP BP ⊥ 0PA PB ∴⋅= 200303y x y y y ⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22003103y x y y y ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭过定点与P ()00,x y 无关 0y ∴= 21x ∴= 1x =±∴定点为()1,0或()1,0-思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x 与y 前的系数好互例 体现在l ’与l 是垂直的∴0034x x x ym -=21.解析：解析：()()21x f x x e kx =--()()'20x f x x e k =-=可得120,ln 2x x k ==]1,12k ⎛∈ ⎝则](21,2k ∈ ](ln 20,ln 2k ∴∈ 令21x x >ln2k()()0ln 2k ln 2k,k ∴↓↑在，图像为ln2kk由图像可知最大值在0处或k 处取得()()()k 3f k f 0k 1e k 1∴-=--+()()()()()k 2k 2k 1e k 1k k 1k 1e k k 1=---++=----令()k 2h k e k k 1=--- ()k h'k e 2k 1=-- ()k h''k e 20=-= k=ln2∴ln2121在]112,⎛⎝上先减后增()h'1e 30=-< 1h 'e 202⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()max h'k 0∴< 即()h k 单调递减()max 1137h k h e e 2424⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭又()()49e 0f k f 0016-<∴-> ()()()()k 3k 3max f x f k k 1e k k 1e k ∴==--=--思路点拨：本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图像中导函数与原函数的图像可知 解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23. （Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。
衡中同卷2019-2020押题卷-数学(文)试卷答案
6
32
(C)
2
9
(D)
2
(12)已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f x 1 f x 6 ，当 x 0, 6 时， f x
2
个不等实根，则实数 m 的值为
3 x 3 ，若关于 z 的方程 f x m x 6 在区间6, 内恰有三
(A) 6 12
6
(B)
12
3
(C)
9
无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷
一．选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 A
x Z
3 2
x
3, B
0,1, 2,3, 4 ，则集合 A∩B
(I)求产生的手气红包的金额不小于 9
元的频率；
(Ⅱ)估计手气红包金额的平均数(同
一组中的数据用该组区间的中点值
作代表)；
(III)在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率．
(i)若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；
(ii)随机抽取手气红包金额在[1，5)U[-21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为 m, n ，求事件“ m n 6 ”的概率．
的值为___________.
12
(14)曲线 x2 4x 在点 P m, n 处的切线与直线 2x+y-1=0 垂直，则 m=________．
x y 4 0
(15)已知实数
x,
y
满足约束条件
x
y
2
0
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(二)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）数学(文科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}220N x x x =-<，则M N ⋂=( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】可求出N ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵{}1,0,1M =-，{}()2200,2N x x x =-<=，∴M N =I {}1 故选B【点睛】本题考查二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算． 2.复数1ii-对应点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解. 【详解】由题得1(1)1i i iz i i i i--⋅===--⋅. 所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限. 故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若1tan 2α=，则cos2=α( ) A. 45-B. 35- C.45D.35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r，1a =r ，3b =r ，则a b -r r =( )A. 0B. 2C.【答案】D 【解析】直接利用向量的模的公式求解.【详解】由题得a b -=vv 故选D【点睛】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.已知抛物线2y ax =上的点(1,)M m 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为( ) A. 24y x = B. 22y x = C. 25y x = D. 23y x =【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，转化列出方程求出ａ，即可得到抛物线方程． 【详解】抛物线2y ax =的准线方程x 4a =-， ∵抛物线2y ax =上的点()1,M m 到其焦点的距离为2， ∴124a+=， ∴a 4=，即该抛物线的标准方程为24y x =， 故选Ａ【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查． 6.设随机变量ξ的概率分布列如下表，则(21)P ξ-==( )A.712B.12C.512D.16【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量ξ的概率分布列，求出a 的值，再利用和概率公式计算()21P ξ-=的值． 【详解】解：根据随机变量ξ的概率分布列知，111a 643+=＋＋1， 解得1a 4=；又21ξ-=， ∴ξ＝1或ξ＝3， 则()()()11521136412PP P ξξξ-===+==+= 故选C ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，考查转化思想与计算能力，是基础题． 7.已知()x f x e x =-，命題:,()0p x R f x ∀∈>，则( ) A. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ B. p 是真命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈< C. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈≤ D. p 是假命题，00:,()0p x R f x ⌝∃∈<【答案】A 【解析】 分析】利用导数求出函数的最小值，可知p 是真命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得结果. 【详解】由题意可得，令()0f x '=，则0x =∴()xf x e x =-在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增， ∴()()f 010x f ≥=>，即p 是真命题，命題():,0p x R f x ∀∈>的否定为：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤， 故选A【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查全称命题的否定为特称命题，属于容易题. 8.已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>与()cos (0,0)2Ag x x A ωω=>>的部分图像如图所示，则( )A. 31,A ωπ== B. 2,3A πω== C. 1,3A πω==D. 32,A ωπ==【答案】B 【解析】 【分析】先根据最值分析出A 的值，再根据周期分析出ω的值. 【详解】因为A ＞0,所以1, 2.2AA =∴= 由题得23,.4423T ππωω==∴= 故选B【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A. 2.6B. 3C. 3.1D. 14【答案】C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．11.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E F 、分别是AB BC 、的中点，将ADE ∆，BEF ∆，CDF ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EDF '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 5πD. 11π【答案】A 【解析】 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积． 【详解】解：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF ． 三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 1146++=6∴球的表面积为264()2π⋅=6π． 故选A ．【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3(,)2aQ c ，222F Q F A c >=，点P 是双曲线C 右支上的动点，且111232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. )+∞B. 7(1,)6C. 7(6D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标得到线段|F 2Q |和|F 2A |，从而得32a ＞2b a ，进而有|AQ |＝232a ba =-，结合|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|，即可求得离心率的范围. 【详解】AF 2垂直于x 轴，则|F 2A |为双曲线的通径的一半，|F 2A |＝2b a ，A 的坐标为2bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，|AF 1|222b a a +==. Q 32a c ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴|F 2Q |＝32a . 又|F 2Q |＞|F 2A |⇒32a ＞2b a，故有|AQ |＝232a b a =-；A 在第一象限上即在右支上，则有|AF 1|＋|AQ |＞32|F 1F 2|， 即222b a a +＋32a －2b a＞32×2c ⇒22432a a a +＞3c ⇒7a ＞6c ⇒e ＝c a ＜76.∵e ＞1，∴1＜e ＜76.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在61(2)2x -的展开式中，二项式系数最大的项为________． 【答案】320x - 【解析】 【分析】判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．【详解】解：因为6122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，共有7项， 所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为()33334612202T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n ，故答案为320x -【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大．14.已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______． 【答案】92【解析】 【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【详解】解：∵正实数,a b 满足21a b +=，∴112a b +=（2a+b ）115592222b a a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时取等号． ∴112a b +的最小值为92故答案为92：．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题． 15.已知函数()()21+4,1,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩的定义域为R ，数列{}()n a n N*∈满足()naf n =，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】3a > 【解析】 【分析】根据已知得到关于a 的不等式组，解之即得.【详解】由题得21211,,32+3a a a a a a a >>⎧⎧∴∴>⎨⎨<<⎩⎩. 故答案为3a >【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.在ABC ∆中， 6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为_______．【答案】106【解析】【详解】试题分析：由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，01,01x y ≤≤≤≤其中.可得点P 的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC 中由余弦定理可得解得AB=5.所以三角形ABC 的面积为2111sin 561()6225ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯-=又由126(),2ABC S OE AB AC BC OE ∆=++∴=.所以阴影部分面积126106252S =⨯⨯⨯=.故填106.考点：1.向量知识.2.向量的坐标表示形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中， 25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】(1) 5n a =或n a 21n =+(2) 22n S n n =+或5n. 【解析】 【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题得()()()2525511d d d +=-+，解方程得到d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求n S .【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则15a d =-，452a d =+，13511a d =+ 因为1a ，4a ，13a 成等比数列，所以()()()2525511d d d +=-+， 化简的22d d =，则0d =或2d = 当0d =时，5n a =.当2d =时，153a d =-=，()312n a n =+-? 21n =+ (2)由(1)知当5n a =时， 5n S n =. 当21n a n =+时，13a =则()232122n n n S n n ++==+.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述22⨯列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据表格中数据的关系，完善22⨯列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0,1,2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望. 【详解】(1)所求的22⨯列联表如下：(2)在本次试验中()221001020304040605050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.6710.828=>故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关. (3)由题意可知ξ的可能值为0,1,2()0436105C P C ξ===，()122436315C C P C ξ===，()212436125C C P C ξ===， ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形， //AB CD ，90ABC ∠=︒，AD SD =，12BC CD AB ==，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证:平面BD ⊥平面SAD ；(2)若120SDA ∠=︒，求二面角C SB D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)77. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点M ，连接DM ，可得DB⊥AD 又侧面SAD⊥底面ABCD ，可得BD⊥平面SAD ，即可得平面SBD⊥平面SAD （2）以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量为：(),,n x y z =v ，面SBD 的法向量为)3,0,0m =v．利用向量即可求解．解析：（1）因为090ABC ∠=，BC CD =， 所以045CBD ∠=，BCD ∆是等腰直角三角形， 故2BD CB =，因为2AB BD =，045ABD ∠=，所以ABD ∆∽BCD ∆，090ADB ∠=，即BD AD ⊥，因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ， 所以BD ⊥平面SAD ，所以平面SBD ⊥平面SAD . （2）过点S 作SE AD ⊥交AD 的延长线于点E ， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ，所以SE ⊥底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060SDE ∠=， 过点D 在平面SAD 内作DF AD ⊥， 因为侧面SAD ⊥底面ABCD ， 所以DF ⊥底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，设1BC CD ==，()22262,0,,222B C S ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 则()262,0,2,DB BS ⎛==- ⎝⎭u u u v u u u v ，22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ， 设(),,m x y z =v是平面SBD 法向量，则2026202y x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 取)3,0,0m =v，设(),,n x y z =v是平面SBC 的法向量，则2202620x y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取)3,3,1n =--v ，()()()2227cos ,31331m n m n m n⋅===+⋅+-+v v v vv v所以二面角C SB D --.20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=； （2）见解析.【解析】 【分析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =MN，，0OM ON OM ON ==⋅=u u u u ru u u r u u u u r u u u r，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r，()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21.已知函数2()(1)1f x a x lnx a =+--+ (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数32ln (1)y x a x x =++-的图像上方. 【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ()2211a x x+-=，x ＞0，由此利用导数性质讨论函数f （x ）的单调性；（2）问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+且()()121f x a x x =+-' ()2211a x x+-=当1a ≤-时，()0f x '< ，函数()f x 在()0,∞+上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增 (2)证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,∞+上恒成立只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,∞+上恒成立即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+ 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=- 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，所以()()11g x g e a e ≥=--+ 又1a <，所以1111a e e--+>->-即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,∞+上恒成立 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方.【点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y ++=；（Ⅱ）4-【解析】 【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=，所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =， 所以l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得A ρ=-联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-，4A B AB ρρ=-=-解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y x =，联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ，联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =， 所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤，∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥，∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b+，12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12aba b ≤+，所以2a b ab +≥.法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
2020届河北省衡水中学高三高考押题文科数学试卷及答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =-≤，(){}2log 2,B y y x x A ==+∈，则A B I 为（ ） A ．()0,1 B ．[]0,1 C ．()1,2 D ．[]1,2 2．已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =，12b =r ，则2a b -=r r （ ）A ．1 BC ．2D ．324．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞5．已知实数x ，y 满足30,260,320,x y x y x y ++>⎧⎪-+>⎨⎪--<⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．1-C ．3-D ．5-6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ） A ．48920 B ．49660 C ．49800 D ．518677．数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）A ．210n - B ．110n - C ．1210n - D ．122n -8．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．69．某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C （如图（2）），其中113O A =，111O C =，则该几何体的侧面积及体积为（ ）A ．24，．32，．48，．64，10．已知函数()3sin cos f x x x ωω=-24cos x ω（0ω>）的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132- 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且12PF PF λ=（1λ>），120PF PF ⋅=uuu r uuu r，则λ=（ ）A B ．2 C ．2．12．已知函数()245,1,ln ,1,x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．12⎛⎝ B．12⎡⎢⎣ C．12⎛ ⎝⎦ D．12⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角ABC V 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则3cos 2A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 14．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于 ．15．若x ，y 都是正数，且3x y +=，则4111x y +++的最小值为 ． 16．已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小；（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18．如图，将直角三角形PAO 绕直角边PO 旋转构成圆锥，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，M 为母线PA 的中点，2PA AO =.（1）求证：PC ∥平面MBD ；（2）当2AM CD ==时，求点B 到平面MCD 的距离.19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆C ：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l 上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12F M N F ''面积S 的最大值. 21．已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ，R b ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ，b 的值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若M 的坐标为()1,0-，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =---（a 为常数）. （1）若()()21f f a <-，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为A ，且[]2,3A ⊆-，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题1-5:DAABD 6-10:CDBCB 11、12：BA二、填空题13．2- 14．2515．9516．1,03⎛⎫-⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1cos2sinA C B=cos cosA C A-，从而可得()2sin cosA CB A+=2sin cosB B A=.又B为三角形的内角，所以sin0B≠，于是cos A=，又A为三角形的内角，所以6Aπ=.（2）设{}n a的公差为d，因为1sin1a A=，且2a，4a，8a成等比数列，所以112sinaA==，且2428a a a=⋅，所以()()()211137a d a d a d+=++，且0d≠，解得2d=，所以2na n=，所以()141=+1n na a n n+=111n n-+，所以1111223nS⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111341n n⎛⎫⎛⎫-++-=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L1111nn n-=++.18．（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以连接AC，则BD与AC相交于圆心O.连接MO，因为O，M分别为AC，PA的中点，所以PC MO∥.又MO⊂平面MBD，PC⊄平面MBD，所以PC∥平面MBD.（2）解：当2AM CD==时，224PA AM AO===，所以2AO BO AB===，所以AOBV是等边三角形.连接PD，则PA PD AC===4BD=，易求得AD CM==AM CD=，DM DM=，所以AMD CDM≌V V，所以CDM AMD S S ==V V 122PAD S =V又点M 到平面BCD 的距离12PO ==BCD S =V 13B CDM CDM V S -=⨯⨯V 点B 到平面MCD 的距离13M BCD BCD V S -==⨯V B 到平面MCD 的距离为13. 19．解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =，则从女生中抽取20人， 所以251555x =--=，201532y =--=.表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),b c ，(),A B ，(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共10种，设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为35. （2）22⨯列联表如下：因为10.90.1-=，()2 2.7060.10P K ≥=，而()2245155151030152520K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯224515530152520⨯⨯=⨯⨯⨯9 1.125 2.7068=<，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为c a =，所以c =1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=.（2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k x kmx +++240m -=. 由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k ∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==，22d F N '==所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===. 因为四边形12F M N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t +-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t =时，2S 取得最大值为16，故max 4S =，即四边形12F M N F ''面积的最大值为4. 21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e x x f x b bx '=+-()1e x bx b =+-.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,01,f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩得10,11,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()()21e x f x x a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式()21e 0x x a ax -+-<的整数解有且只要一个.构造函数()()21e x F x x a ax =-+-，R x ∈，所以()()e 21x F x x a '=+-.①当0x ≥时，因为e 1x≥，211x +≥，所以()e 211x x +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()010F a =-+<，()1e>0F =，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()e 210x x +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312ea ≤<； 当0a <时，()3120eF a -=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．解：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程可得10x +=，而圆C 的极坐标方程可化为28ρ=，化为普通方程可得228x y +=， 圆心C 到直线l 的距离为12d ==，故直线l 被圆C 截得的弦长为=（2）把1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y +=，可得270t --=.（*）设1t ，2t 是方程（*）的两个根，则127t t =-， 故12MA MB t t ⋅=7=.23．解：（1）由()()21f f a <-可得1211a a --<--，即122a a -+->.（*） ①当1a <时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得12a <，所以12a <； ②当12a ≤≤时，（*）式可化为()()122a a -+->，即12>，所以a ∈∅； ③当2a >时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得52a >，所以52a >. 综上知，实数a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为()1f x x x a =---()()11x x a a ≤---=-，所以()11a f x a --≤≤-，由条件只需12,13,a a ⎧--≥-⎪⎨-≤⎪⎩即12a -≤，解之得13a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,3-.。
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(六)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（六）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合P ={x |(x -1)(x -3)≤0}，Q ={x ||x |<2}，则P ∩Q 等于（ ） A. [1，3] B. [1，2)C. (-2，3]D. (-2，2)【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合P Q 、的值，利用交集的定义可得P Q I 的值.【详解】解：由题意可得：()(){}{}13|=310P x x x x =--≤≤≤，{}{}222||Q x x x x =-=<<<，可得：{}12P Q x x ⋂=≤<， 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的性质及交集的运算，属于基础题型.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若(1)()i a i -+为纯虚数，则a 的值为（ ） A. 2B. 1C. -2D. -1【答案】D 【解析】【详解】由题知()()()()1i i 11i a a a -+=++-为纯虚数，实部为0.故10,1a a +=∴=- .故本题选D . 3.已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 命题的否定为 A. :,sin p x R x x ⌝∃∈< B. :,sin p x R x x ⌝∀∈< C. :,sin p x R x x ⌝∃∈≤ D. :,sin p x R x x ⌝∀∈≤【答案】C 【解析】 【分析】首先从题的条件中可以断定命题P 是全称命题，应用全称命题的否定是特称命题，利用其形式得到结果. 【详解】因为命题P ：,sin x R x x ∀∈>为全称命题， 所以P 的否定形式为：,sin x R x x ∃∈≤， 故选C.【点睛】该题考查的是有关全称命题的否定的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有全称命题的否定，注意其形式即可得到正确的结果，属于简单题目.4.在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ） A. 66 B. 132C. -66D. -132【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理得3924a a +=-，进而612a =-，再利用求和公式求解即可 【详解】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题 5.若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A. c a b << B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<，Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.6.已知变量x 与y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数3x =，4y =，线性回归方程$y bx a =+中的系数b ，a 满足2b a -=，则线性回归方程为（ ） A. $7y x =-+ B. $1322y x =-- C. 1y x =+$D. $3122y x =- 【答案】D 【解析】 【分析】由最小二乘法原理可知样本平均数(3,4)在线性回归方程上，将(3,4)代入回归方程，联立方程组求出b ，a 的值，即可得出线性回归方程.【详解】解：同归直线$y bx a =+过()3,434b a ∴+=，又2b a -=Q 解得32b =，12a =-∴线性回归方程为$3122y x =-. 故选D.【点睛】本题考查线性回归方程.其中回归直线经过样本中心是解题的关键.7.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x ，y 分别是（ ）A. 12，23B. 23，12C. 13，22D. 22，13【答案】B 【解析】 【分析】分析程序框图功能，求当鸡、兔共35只头，94条腿时，鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的S 值，即可得到输出值.【详解】由程序框图，得1x =，34y =，138S =；3x =，32y =，134S =；5x =，30y =，130S =；7x =，28y =，126S =；……，23x =，12y =，94S =.输出23x =，12y =.故选B.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键.8.把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x ＝－π2B. x ＝－π4C. x ＝π8D. x ＝π4【答案】A【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9.关于曲线C ：222214x y a a +=-性质的叙述，正确的是（ ）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的曲线方程，对参数进行分类讨论，最后得出答案. 【详解】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a -可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =--=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点； 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a -=-，则()22244c a a =+-=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0-，为定点；故选D.【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.10.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.22B.31-C.33D.21-【答案】C 【解析】 抛物线214y x =，即24x y = 焦点为()01，，故1c =，22c = FAB Qn 为正三角形，则边长为433故43433a =⨯，3a = 33c e a ===故选C11.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于122111 2ln1ln2222f⎛⎫==>⎪⎝⎭---，排除B选项.由于()()2222,23f e f ee e==--，()()2f e f e>，函数单调递减，排除C选项.由于()10010020101f ee=>-，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.12.已知函数()303{393log x xf xcos x xπ<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x，，，，当1234x x x x<<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x===，则1234x x x x+++的取值范围是（）A.2573⎛⎫⎪⎝⎭， B. [257)3， C.46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D.46143⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】D【解析】【分析】画出函数()303{393log x xf xcos x xπ<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a====，作出直线y a=，分析1234x x x x，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x+++的取值范围. 【详解】解：画出函数()303{393log x xf xcos x xπ<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a====，作出直线y a=，当3x=时，(3)cos1fπ=-=，当9x=时，(9)cos31fπ=-=，由图像可知，当01a<<时，直线与()f x有4个交点，且1234013 4.59x x x x<<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ， 由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<， 设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增， 当21x =时，123414x x x x +++=， 当23x =时，1234463x x x x =+++， 故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选：D.【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.二、填空题（每小题5分）13.已知向量(2,3)a =v，(,6)b m =-v ，若a b ⊥v v ，则m =_____.【答案】9 【解析】 【分析】根据向量垂直可知向量的数量积等于零，利用数量积的坐标运算即可. 【详解】因a b ⊥r r所以(2,3)(,6)2180a b m m ⋅=⋅-=-=r r，解得m=9, 故填9.【点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题.14.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于________.【答案】4 【解析】 【分析】首先利用对数的运算法()8128lg ...S a a a =，再根据等比数列的性质转化为()4845lg S a a =，最后代入数值求值.【详解】()()412812845lg lg ...lg lg ...lg a a a a a a a a +++==()454lg 4lg104a a ===故答案为4【点睛】本题考查等比数列的运算性质和对数的运算法则，属于简单题型.15.小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75︒方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是__________km ． 【答案】42 【解析】依题意有20248,30,1807510560AB BAS ABS o o o o =⋅=∠=∠=-=,45ASB ∠=o ，由正弦定理得sin 30sin 45BS AB=o o，解得42BS =.16.如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面ABOD ，//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，62AD =，异面直线CD 与AB 所成角为30°，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为____【答案】84π 【解析】 【分析】由题意可得6OB =，∠CDO =30°，可得CO 的长，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥可得三棱锥O -BCD 外接球半径R 的值，可得其表面积.【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥,由//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，可得四边形DEBO矩形，6BE DO ==,226OB DE AD AE ==-=，由6OD =，由于AB ∥OD ，异面直线CD 与AB 所成角为30°， CO ⊥平面ABOD ,故∠CDO =30°，则tan 3023CO OD =⨯=o 设三棱锥O -BCD 外接球半径为R ，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥可将以OC 、OB 、OD 为相邻三条棱补成一个长方体，可得：()222222844R OB OC OD R =++==，该球的表面积为：2484S R ππ==.【点睛】本题主要考查球与几何体的切、接问题，属于基础题型.三、解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .满足2cos cos cos 0a C b C c B ++=. （1）求角C 的大小； （2）若2a =，ABC ∆3c 的大小. 【答案】（1）23C π=；（2）7c =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将其转化为2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=，利用和角公式求得()2sin cos sin 0A C B C ++=，利用诱导公式以及三角形内角和，整理求得1cos 2C =-进而可得解；（2）结合题中的条件，根据三角形的面积公式，求得1b =，之后应用余弦定理求得c 的值.【详解】(1)在ABC ∆中，因为2cos cos cos 0a C b C c B ++=， 所以由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=， 所以()2sin cos sin 0A C B C ++=，又ABC ∆中，()sin sin 0B C A +=≠，所以1cos 2C =-. 因为0C π<<，所以23C π=. (2)由13sin 2S ab C ==，2a =，23C π=，得1b =. 由余弦定理得214122172c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c =. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，和角公式，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.18.中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在[45,55)的被调查人中随机选取两人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率. 参考数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）填表见解析；有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异（2）0.6 【解析】 【分析】（1）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算2K 的值，可得答案；（2）可得年龄在[45,55)的被调查人共5人，可得随机选取两人共10种抽取方法，选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”共6种抽取方法，可得选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率. 【详解】解:（1）由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为()0.010.01105010+⨯⨯=，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3人,45岁以下支持“延迟退休”人数为25人，则2×2列联表如下： 年龄45岁以下人数 年龄45岁以上人数 合计 支持253 28 不支持 15 7 22 合计 401050()2250257153 3.429 2.70640102822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）可得年龄在[45,55)的被调查人共0.0110505⨯⨯=人，其中支持“延迟退休”的2人，不支持“延迟退休”的3人，可得随机选取两人共2510C =种抽取方法，选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”共11326C C =种抽取方法，可得：选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率60.610P ==.【点睛】本题主要考查独立性检测的应用、频率分布直方图的应用及利用古典概型计算概率，属于中档题. 19.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（1）求三棱锥'A D CE -的体积； （2）求证：'AD BE ⊥；（3）求证：平面'ABD ⊥平面BD E ' 【答案】（1）22（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点F ,连接'D F ,可证得'D F ⊥平面ABCE ，且'2D F =，求出AEC S ∆的值，由''A D CE D ACE V V --=可得答案；（2）由（1）得'D F ⊥平面ABCE ，可得'D F ⊥BE ，由已知可得AE BE ⊥，可得BE ⊥平面'D AE ，可得'BE AD ⊥，即'AD BE ⊥；（2）由（2）得，'AD BE ⊥，且''AD D E ⊥，可得'AD ⊥平面BD E '，可得平面'ABD ⊥平面BD E '. 【详解】解：（1）取AE 的中点F ,连接'D F ,由E 是CD 的中点，易得DAE ∆为等腰直角三角形，即'D AE ∆为等腰直角三角形，且'D F AE ⊥ 由2AD =，可得'2D F =由平面'D AE ⊥平面ABCE ，且'D F AE ⊥,平面'D AE I 平面ABCE AE =,且'D F ⊂ 平面'D AE ，可得'D F ⊥平面ABCE ， 可得：114222222AEC S ∆=⨯⨯-⨯⨯=,'''11233A D CE D ACE AEC V V S D F --∆==⨯⨯=⨯=（2）证明：易得AE BE ==4AB =, 可得：222AB AE BE =+,AE BE ⊥,由（1）得'D F ⊥平面ABCE ，可得'D F ⊥BE ，由'D F AE F =I ，'D F ⊂平面'D AE ，'D F ⊥BE ，AE ⊂平面'D AE ， 可得：BE ⊥平面'D AE ，可得'BE AD ⊥，即'AD BE ⊥.(3)由（2）得，'AD BE ⊥，且''AD D E ⊥，且'BE D E E =I ,且BE ⊂平面BD E '，'D E ⊂平面BD E '，可得'AD ⊥平面BD E '，由'AD ⊂平面'ABD ， 可得：平面'ABD ⊥平面BD E '.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，及椎体体积的计算，属于中档题，注意运算准确.20.已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点A 和点(0,1)B -.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点M ，N ，记线段MN 的中点为P ，是否存在实数m ，使得BM BN =？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由【答案】（1）2213x y +=（2）不存在【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点，代入即可求出,a b ，写出标准方程（2）假设存在m ,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN 中点，根据BM BN =知BP MN ⊥，利用垂直直线斜率之间的关系可求出m ，结合直线与椭圆相交的条件>0∆，可知m 不存在.【详解】（1）椭圆G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点1,3A ⎛ ⎝⎭和点(0,1)B -， 所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，解得23a =，所以椭圆G ：2213x y +=. （2）假设存在实数m 满足题设，由2213y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2246310x mx m ++-=， 因为直线与椭圆有两个交点，所以()22364810m m ∆=-->，即24m <， 设MN 的中点为(,)P P P x y ，M x ，N x 分别为点M ，N 的横坐标，则324M N p x x mx +==-，从而4p p m y x m =+=，所以143p BP py m k x m ++==-， 因为BM BN =，所以BP MN ⊥，所以1BP MN k k ⋅=-，而1MN k =，所以413m m+-=-， 即2m =，与24m <矛盾，因此，不存在这样的实数m ，使得BM BN =.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，涉及根与系数的关系，中点，垂直直线斜率的关系，属于中档题.21.已知函数3211()32m f x x x +=-,1()3g x mx =-,m 是实数. （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值,求m 的值;（Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）1m ≤；（Ⅲ）1m <- 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由()10f '=，即可求出m 的值；（2）由()2(1)f x x m x =-+'，得()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立，即1m x ≤-恒成立，由2x >，即可得到1m ≤；（3）求出()(1)()0h x x x m =-'-=，分别得1m =时，1m <时的情况，进而求出m 的取值范围．试题解析：（1）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ，由f （x ）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0， ∴m=0，（符合题意）； （2）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ， ∵f （x ）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x ）=x （x ﹣m ﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立， ∴x ﹣m ﹣1≥0恒成立，即m≤x ﹣1恒成立， 由x ＞2，得m≤1， ∴m 的范围是（﹣∞，1]． （3）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=13x 3﹣12+m x 2+mx ﹣13，∴h′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣m ）=0，解得：x=m ，x=1，m=1时，h′（x ）=（x ﹣1）2≥0，h （x ）在R 上是增函数，不合题意，m ＜1时，令h′（x ）＞0，解得：x ＜m ，x ＞1，令h′（x ）＜0，解得：m ＜x ＜1， ∴h （x ）在（﹣∞，m ），（1，+∞）递增，在（m ，1）递减， ∴h （x ）极大值=h （m ）=﹣16m 3+12m 2﹣13，h （x ）极小值=h （1）=12m -，要使f （x ）﹣g （x ）有3个零点，需321110623{102m m m -+->-<，解得：m ＜1，∴m 的范围是（﹣∞，1．考点：利用导数求解闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性，着重考查了函数导数的应用、转化与化归和分类讨论的思想方法，属于一道综合性试题，本题的解答中若()f x 在区间2+∞（，）为增函数，转化为()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立和函数()h x 有三个零点转化为函数的单调性与极值的应用是解答的关键．22.已知直线l的参数方程是2{2x y ==+（t 是参数），以坐标原点为原点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.【答案】（1）相离；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用加减消元法消去t ，可得直线的方程为y x =+将圆的极坐标方程展开后两边成立ρ，转化为直角坐标方程为220x y +-+=.利用圆心到直线的距离判断出直线和圆相离.（2）利用直线的参数方程，得到直线上任意一点的坐标，利用勾股定理求出切线长，最后利用配方法求得最小值. 试题解析：（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为y x =+4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭Q ，2cos ρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为220x y +-+=，即((224x y ++=.Q 圆心到直线l 的距离为62d ==>，∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==≥即切线长的最小值为23.设函数()212f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x R ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1|33或x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭；（2）1522m -<<． 【解析】 【分析】(1)把()f x 用分段函数来表示，令()0f x =，求得x 的值，可得不等式()0f x >的解集;(2)由(1)可得()f x 的最小值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据21422f m m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，求得m 的范围． 【详解】(1)函数()212f x x x =--+3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为1{|3x x <-，或3}x >；(2)若存在0x R ∈，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，由(1)可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭， 故25422m m -<-， 解得1522m -<<． 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试(十二)文科数学
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试（十二）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{||2|2}A x x x =+=+，{}2|9=<B x x ，则A B =I （ ）A. ()3,3-B. (2,3)-C. (3,2]-D. [2,3)- 【答案】D【解析】【分析】首先确定集合,A B 中的元素，再由交集定义求解．【详解】由题意{|2}A x x =-…，{|33}B x x =-<<，∴[2,3)A B ⋂=-，故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．2.已知实数a ，b 满足11a bi i =+-（i 为虚数单位）则复数z a bi =+的共轭复数为（ ） A. 12i -B. 2i -C. 2i +D. 12i +【答案】B【分析】已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出,a b ，得z 后可得其共轭复数．【详解】由题意,a b ∈R ，且(1)(1)(1)(1)a i bi b b i =-+=++-，则11a b b =+⎧⎨=⎩，21a b =⎧⎨=⎩， ∴2z i =+，2z i =-，故选：B ．【点睛】本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础．3.设曲线C 为双曲线，则“C 的方程为221x y -=”是“C 的渐近线方程为y x =±”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，而渐近线为y x =±时，C 方程不一定为221x y -=，故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键． 4.如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则2(4)f x x -的单调递增区间为（ ）A. (0,)+∞B. (2,)+∞C. (0,2)D. (2,4)【答案】C【解析】【分析】根据反函数知识求出()f x ，得复合函数2(4)f x x -，由对数型复合函数的性质可求得增区间． 【详解】由題知，()ln f x x =，故()()224ln 4f x xx x -=-，定义域为(0,4)，(0,4)x ∈时，24y x x =-在(0,2)是递增，∴2(4)f x x -的单调递增区间为(0,2)．【点睛】本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键． 5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A. 0，0B. 0，5C. 5，0D. 5，5【答案】B【解析】【分析】 由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（ ）A. 528πB. 6336πC. 704πD. 2112π【答案】B【解析】【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，【详解】设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =， ∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得． 7.已知向量(1,1)a =-r ，OA a b =-u u u r r r ，OB a b =+u u u r rr ，若OAB V 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB V 的面积为（ ）． A. 1B. 2C. 2D. 22 【答案】B【解析】【分析】 OAB V 为等腰直角三角形，则有||||OA OB =u u u r u u u r 及OA OB ⋅u u u r u u u r ，【详解】由题知，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=u u u r u u u r r r r r r r ，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒=u u u r u u u r r r r r ，故||||2==u u u r u u u r OA OB ，则2OAB S =△，故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键．8.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）A. 343-B. 34310+C. 433-D. 43310+ 【答案】C【解析】【分析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值．【详解】由题知，3cos 5α=，4sin 5α=，cos 32β=-，1sin 2β=， 则334cos()cos cos sin sin 10βαβαβα-=+=-+433-=， 故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32 B. 有最大值52 C. 为定值3 D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．【点睛】本题考查了正方体中四边形投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10.为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（ ）A. 25B. 710C. 815D. 715【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．11.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于P ，Q 两点，则||||AB PQ +的最小值为（ ）A. 16B. 12C. 20D. 10【答案】A【解析】【分析】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是1212,y y y y +，由弦长公式求得弦长AB ，由垂直得2l 方程，同理可得PQ ，求出AB PQ +，应用基本不等式可得最小值．【详解】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入得2440y my --=，故124 y y m +=，124y y =-．则()222||1161641AB m m m =++=+，同理21||41PQ m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 221||||4216AB PQ m m ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当1m =±时取“=”， 故选：A ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．12.如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，25PM =，则A 的值为（ ）1633833 C. 8 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据25PM =利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ．【详解】解：设(2,0),0Q a a >，Q 函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，Q M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =Q ，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，）， 18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==， 解得6π=ω． Q 函数经过(20)(08)P R -，，，， ∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩， ||2πϕ≤Q ，,3πϕ∴=-，解得A =， 故选A ．【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 满足1(1)n n na n a +=+，且612a =，则12a =__________．【答案】24【解析】【分析】 已知式变形为11n n a a n n +=+，得一常数列{}n a n，从而易得n a ，得12a 【详解】由题知11n n a a n n +=+，故626n a a n ==，故1224a =． 故答案为：24．【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是已知等式变形后构造出一个常数列．14.已知直线3450x y ++=与圆222:()0O x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，则r =__________．【答案】2【解析】【分析】求出圆心到弦的距离，在等腰三角形中易求得半径． 【详解】直线到圆心距离1d ==，由120AOB ∠=︒，故22r d ==． 故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理．15.在平行四边形ABCD 中，BD CD ⊥，AB BD ⊥，2AB CD ==，BD =．沿BD 把ABD △翻折起来，形成三棱锥A BCD -，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】323π 【解析】【分析】由于题中的垂直及折叠后的平面垂直，因此把三棱锥可补形为长、宽、高分别为2，2的长方体，其外接圆直径易得，即半径易得．由此可求得体积．【详解】该三棱锥可补形为长、宽、高分别为，2，2的长方体，故其外接圆直径为24R ==，2R =，故体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是把几何体补成一个长方体，长方体的对角线就是外接球直径．16.设函数eln,0 ()2020,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-⎩…，函数2()[()]()2g x f x mf x=-+，若函数()g x恰有4个零点，则整数m的最小取值为__________．【答案】4【解析】【分析】作出()f x的图象，结合已知条件得方程2()20g t t mt=-+=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，可得m的取值范围．【详解】作出()f x的图象，易知要使()0g t=有两正根1t，2t，且1(0,1)t∈，212(2,)tt=∈+∞，故112(3,)m tt=+∈+∞，故m的最小整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查函数零点个数，考查转化思想，通过作出函数图象，问题转化二次方程根的分布问题，由此可得m的取值范围．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设(),k k A k a ，(,0)k B k ，*k N ∈，记以k A ，k 1A +，k B ，1k B +四点为顶点的四边形面积为k S ，求1321n S S S -+++…．【答案】（1）21n a n =+（2）()213212n S S S n n -+++=+…【解析】 【分析】（1）由11a -，21a -，41a -成等比数列求得公差d ，可得通项公式； （2）求出四边形面积k S ，可得()132112212n n S S S a a a -+++=+++L …，由等差数列前n 项和公式可得．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则1312162a a d d -=--=-，216a d -=-，416a d -=+， 依题意，()()()2214111a a a -=--， 即2(6)(62)(6)d d d -=-+，化简得：220d d -=，又0d ≠，故2d =．3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）由题知，四边形11k k k k A A B B ++为直角梯形， 故()111122k k k k k a a S a a +++=+⋅=， 故()()2132112211(341)22222n n n nS S S a a a n n -++⋅+++=+++=⋅=+L …． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，及等比数列的性质．掌握等差数列通项公式和前n 项和公式是解题基础．18.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1236AB AA BC CD ====．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面11DAA D ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）363（2）存在，113DM DB = 【解析】 【分析】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ，由面面垂直求出棱柱的高，然后由体积公式计算体积； （2）连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．可证得DNMC 是平行四边形，从而得线线平行后得线面平行． 【详解】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ,由平面ABCD ⊥平面1ABB A 知，1A H ⊥平面ABCD ，133A H =,故1111-=ABCD A B D C V S 梯形11(26)3333632⋅=⨯+⨯⨯=ABCD A H （2）当113DM DB =时，CM ∥平面11DAA D ，证明：连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ． 则11MN A B ∥，且2MN =．则MN DC =∥，故四边形CMND 为平行四边形．故CM DN ∥，CM ⊄平面11AA D D ，DN ⊂平面11AA D D ． 故CM ∥平面11AA D D ．【点睛】本题考查求棱柱的体积，考查线面平行和证明．求体积时，利用面面垂直得线面垂直，从而得棱柱的高．19.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2tan CB=-． （1）证明：2223a c b =-； （2）若cos 9A =，且ABC V，求c ． 【答案】（1）见解析（2）c =或 【解析】 【分析】（1）已知等式切化弦后应用正弦定理和余弦定理化角为边，进行翴的恒等变形可得；（2）由余弦定理及（1）的结论得2b c =或3b c =，由面积可得bc ，然后可求得c ． 【详解】（1）证明：由题知，tan 2tan C B =-， 即sin cos 2sin cos C B B C ⋅=-⋅， 由正弦定理和余弦定理知，222222222a c b a b c c b ac ba+-+-⋅=-⋅， 即222222222a c b a b c +-=--+， 即2223a c b =-．（2）由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=，又2223a c b =-，代入消去a得，22203b c-+=，即(2)03b b⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭．即b=或3b c=．又sin(0,))A Aπ=∈，且1sin2ABCS bc A==△，ⅰ．当2b c=时，则2182⋅=c=；ⅱ．当3b c=时，2183c⋅=c=．故c=或【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．属于中档题．20.已知函数21()2xf x ax e b=-+．（1）若该函数在(1,(1))f处的切线为y ex=，求,a b的值；（2）若该函数在1x，2x处取得极值()120x x<<，且213xx…，求实数a的取值范围．【答案】（1）2a e=，b e=．（2）ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）求出导函数，由导数几何意义可得,a b；（2）由极值点得1212x xe eax x==，研究()xeh xx=的性质得1201x x<<<，结合213x x…．分类：113x<≤和1113x<<．前者由()h x的单调性可得a的最小值，后者转化为1213x x<<，则由单调性121(3)()()h x h x h x <=，这样可得1x 的取值范围，然后 可求得a 的范围． 最后总结可得结论．【详解】（1）由题知：()x f x ax e '=-，故()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：()(1)2ay a e x e b =--+-+， 即()2ay a e x b =--+． 易知：2a e =，b e =．（2）由题知：1x ，2x 为()f x 的极值点， 则12120xx ax e ax e-=-=．即1212x x e e a x x ==． 令()x e h x x=，2(1)()x e x h x x '-=． 故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．则1201x x <<<，且213x x …． ⅰ．若1103x <„，由2(1,)x ∈+∞，故123x x >， ()h x 在(0,1)单调递减，故13a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭…． ⅱ．若1113x <<，此时1213x x <„，()h x 在(1,)+∞单调递增， 故()1213112133x x x e e e h x x x x ==„，即123x e „，11ln32x „．此时，ln 32ln 3ln 322e a h ⎛⎫== ⎪⎝⎭… 故实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性、函数的极值．由不等式恒成立转化为求函数的最小值．解题时注意极值点到a 的关系．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，121PP =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线11A P 与直线22A P 交于点P ，是否存在定点M 和N ，使||PM PN ||-||为定值．若存在，求M 、N 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）存在，M为(0)，N ．【解析】 【分析】（1）12PP 是椭圆的通径，由此已知条件可表示为,,a b c 的两个等式，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A-，2(2,0)A ．P 在直线11A P 可得00,,,P P x y x y 的关系，同理由P 在直线22A P 又得一关系式，消去00,x y 可得P 点轨迹方程，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答．【详解】（1）由题知：2221c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -， 不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ． 则P ，1P ，1A 三点共线，022P P y y x x =++，①同理：0022P P y y x x -=--，②⨯①②得：22022044P P y y x x -=--，又1P 在椭圆上，()2200144y x =-， 代入整理得：2214P P x y -=．即P 点的轨迹为双曲线2214x y -=，取M 、N 为该双曲线的左、右焦点．即(M，N ．此时||||||4PM PN -=为定值，故M为(0)，N ．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P 的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知过点()0,0P x 的直线l 的倾斜角为6π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos p θ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数0x 的值．【答案】（1）2220x x y -+=．012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）01x =±【解析】 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得C 的直角坐标方程，由一点的坐标及倾斜角可得直线的参数方程；（2）由（1）中参数方程几何意义，把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得12t t ，12t t PA PB =，由此再求得0x【详解】（1）由2cos ρθ=，22cos ρρθ=．得曲线C 的方程为：222x y x +=，即2220x x y -+=．直线l的参数方程可为：012x x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）把直线l 的参数方程代入2220x x y -+=得：2200020t t x x ++-=．由>0∆，得013x -<<．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12||||2t t PA PB =⋅=． 即20022x x -=，即20022x x -=±．解得：01x =±又0(1,3)x ∈-，故01x =【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程．掌握直线的标准参数方程中参数t 的几何意义是解题关键． 23.设函数()|21|f x x =-．（1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+„的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[2,2]a ∈-（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值符号得()F x ，分析其有最小值的条件是左减右增，于是可得a 的范围． （2）由不等式在3[,2]4上恒成立得||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．转化为22x m -+剟．max min (2)(2)x m x ---+剟，即可得结论．【详解】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩…，使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩…„．即[2,2]a ∈-．（2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+„在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．即||21(21)x m x x ++--„．即||2x m +„在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． 则22x m -+剟． 故max min (2)(2)x m x ---+剟． 得1104m -剟． 故实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查含绝对值的函数与不等式，解题时可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后再分析求解．。
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试(十)文科数学
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试（十）文科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷选择题部分一、单选题（每题5分）1.设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A. {}22x x -≤< B. {}2x x ≥-C. {}2x x <D. {}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果.【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.若(1i)2i z +=，则z =（ ） A. 1i -- B. 1+i -C. 1i -D. 1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．3.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A. 21n a n =- B. (1)(21)nn a n =--C. (1)(12)nn a n =-- D. (1)(21)nn a n =-+【答案】C 【解析】 【分析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为1(1)n +-，数字是奇数，满足2n-1,所以可求得通项公式.【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足1(1)n +-，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为1(1)(21)n n a n +=--，选C.【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.4.已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 3a ≤-C. 1a ≥-D. 1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，即q 中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.5.已知tan 3α=-,α是第二象限角，则sin()2πα+=（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式得到sin()cos 2παα+=，再利用同角的三角函数的基本关系式求出其值即可.【详解】因为tan 3α=-,α是第二象限角，所以cos α=而sin()cos 2παα+=，故sin()2πα+=.故选A.【点睛】本题考查同角的三角函数基本关系式和诱导公式，属于基础题.6.函数()32log f x x x =-+的零点的个数是( ) A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】令()0f x =，将函数化为32log x x -=，画出两个函数图像，其交点的个数即为函数的零点个数。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(二)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（二）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合{}22B x x =-≤≤，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x x C ．{}22<≤-x x D ．{}2<x x2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 4. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x 10. 已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.8 2.3yx =+ B ．ˆ20.4yx =+ C ．ˆ 1.58y x =-+ D ．ˆ 1.610yx =-+ 11. 已知点)30(),03(，，B A -，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．22329- D ．22329+ 12. 函数)(x f y =是R 上的偶函数，)()2(x f x f =+,当10≤≤x 时，2)(x x f =,则函数x x f y 5log )(-=的零点个数为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 函数2log (5)1(0,1)a y x a a =-+>≠且恒过点______.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点)06(，-A 和)06(，C ，若顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则BCA sin sin sin -＝______. 15. 在直三棱柱111ABC ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球1O 的表面积为______.16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；(2) 在这50名男生身高不低于176 cm 的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率.18.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.19. （本小题满分12分）等腰梯形ABCD 中，ο60,,//=∠=ABC AD AB BC AD ,E 是BC 的中点．将ABE △沿AE 折起后，使二面角C AE B --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．(1) 求证：BD AE ⊥；(2) 求证：平面⊥PEF 平面AECD ；(3) 判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F . (1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21. （本小题满分12分）设函数x x x x f ln 1)(--=，xe e x g )1()(2-+=. (1) 求函数)(x f 最大值； (2) 求证：)()(x g x f <恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） （1）求函数)(x f 的最小值M ；（2）若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（4，1），（6,1） 14.6515. 4π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分) (2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为6.（8分）身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b 表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a ）（1,b ）（2,3）（2,4）（2,a ）（2,b ）（3,4）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）（a,b ）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a ）（1,b ）（2,a ）（2,b ）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）.所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为158（12分） 18.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)(1)证明：设AE 中点为M ，∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM ⊥AE ，DM ⊥AE .∵BM ∩DM ＝M ，BM 、DM ⊂平面BDM ，∴AE ⊥平面BDM . ∵BD ⊂平面BDM ，∴AE ⊥BD .(4分)(2)证明：连结CM 交EF 于点N ，∵ME //FC ， ∴四边形MECF 是平行四边形．∴N 是线段CM 的中点． ∵P 是BC 的中点，∴PN ∥BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ⊥平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面AECD .（8分） (3)DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE ⊥AB ， ∵BM ⊥平面AECD .∴BM ⊥DE .∵AB ∩BM ＝B ，AB 、BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE . ∴DE ⊥AE ，这与∠AED ＝60°矛盾． ∴DE 与平面ABC 不垂直．（12分）20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）解：(1)x x f ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e f x f21)(-+∴e x f 的最大值为（6分）(2)而函数xe e x g )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e g x g ∴)()1()0()(2x f e g x g ≥+=>- ∴)()(x g x f <恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t 的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴（5分）(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<，也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a bc +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式c a c -<<+成立．（10分）。
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试(六)文科数学
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试（六）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|2,1,0,1,2,3A x x B =<=-，则A B =I （ ）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}- 【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A ，由此求得A B I 【详解】由2x <，解得22x -<<，所以{1,0,1}A B ⋂=-.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 2.定义运算,,a bad bc c d =-，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】 试题分析：221,2212,12,z i i i z i i i ==-=--=-+，所以复数z 对应的点在第二象限，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.a bi - 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】【分析】利用折线图的性质直接求解．【详解】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确；在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 4.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 14 【答案】B【解析】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．5.已知,a b v v 均为单位向量，若-23a b =v v ，则a v 与b v 的夹角为()A. 6πB. 3πC. 2πD. 23π 【答案】B【解析】【分析】 由23a b -=r r 可求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式，即可求出a r 与b r 的夹角． 【详解】因为23a b -=r r ，所以()2221443a b a b a b -=-=-⋅+=r r r r r r ，解得12a b ⋅=r r ． 设a r 与b r 的夹角为θ，1cos 2a b a b θ⋅==r r r r ，所以3πθ=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量夹角公式和向量的模的计算公式的应用，属于基础题．6.函数3()x x x f x e e-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象．【详解】()()()33x x x x x x f x f x e e e e ----==-=-++Q ，所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项； 当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；又()322222821f e e e e --==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题．7.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.8.设函数()2sin (3)cos 2f x x a x ax =--+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点（0，0）处的切线方程为（ ）A. 3y x =B. 5y x =C. -5y x =D. -3y x =【答案】B【解析】【分析】根据函数()f x 是奇函数，求得参数a ，再对函数求导，利用点斜式求得切线的方程.【详解】因为()f x 是奇函数，且其定义域为R ，故()()030f a =--=，解得3a =，故()()23,23f x sinx x f x cosx '=+=+，则()05f '=，故过点()0,0点的切线方程为5y x =.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用函数奇偶性求参数的值，属综合基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A. 43B. 42C. 6D. 25【答案】C【解析】 由题可得立体图形：则4,16425,42AB AC PC BC ===+==,161646,AP BP ==++=所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可10.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是() A. 12x π= B. 6x π= C. 3x π= D. 23x π= 【答案】C【解析】分析：根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，得到g （x ）=3sin （2x ﹣6π），从而得到g （x ）图象的一条对称轴是3x π=.详解：将函数f （x ）=3sin （4x+6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin （2x+6π）的图象， 再向右平移6π个单位长度，可得y=3sin[2（x ﹣6π）+6π]=3sin （2x ﹣6π）的图象，故g （x ）=3sin （2x ﹣6π）． 令 2x ﹣6π=kπ+2π，k ∈z ，得到 x=2k •π+3π，k ∈z ． 则得 y=g （x ）图象的一条对称轴是3x π=， 故选C ．点睛：本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin （ωx+∅）的图象的对称轴，属于中档题． y=Asin （ωx+∅）图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x 本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.11.设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ）A. 0ab >且0a b +>B. 0ab <且0a b +>C. 0ab >且0a b +<D. 0ab <且0a b +<【答案】B【解析】【分析】容易得出31log 0.40-<<，2log 31>，即得出10a -<<，1b >，从而得出0ab <，0a b +>．【详解】Q 10.413<<，31log 0.40∴-<<. 又2log 31>，即10a -<<，1b >，0ab ∴<，0a b +>．故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．12.过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】 求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ， 2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =；圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =， 设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ， 连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---2212(||4)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c =+-=+--=-=g g ）…．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选A ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算 能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知4a =v ，||1b =v ，2a b ⋅=v v ，则向量2a b -v v 在b v 方向上的投影为__________．【答案】3【解析】【分析】先求出()2a b b -⋅v v v 的值，再由()2a b b b -⋅v v v v 可得结果. 【详解】因为4a =v ，1b =v ，2a b ⋅=v v ，所以()221413a b b a b v v vv v -⋅=⋅-=-=, 向量2a b -v v 在b v 方向上的投影为()2331a b b b -⋅==v v v v ,故答案为3. 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a bθ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a v 在b v 上的投影是a b bv v v ⋅；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb +v v 的模（平方后需求a b ⋅v v ）. 14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC V 的面积为__________. 【答案】3【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==，11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且AB =14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.【解析】【分析】，确定球心为HG 的中点，根据边角关系得到3AC =，计算面积得到答案.【详解】球O 表面积为2428R R ππ=∴=如图所示：,H G 为11,BC B C 中点，连接HG90BAC ︒∠=，故三角形的外心在BC 中点上，故外接球的球心为HG 的中点.在Rt OGC ∆中：112,2OG BB OC R ====CG =在Rt ABC ∆中：2BC CG ==，AB =3AC =，故2ABC S ∆=故答案为332【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.16.以抛物线C ：22(0)y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点.已知||26AB =||10DE =p 等于__________．2. 【解析】 【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p 的值. 【详解】如图：||26AB =||6AM||10DE =||10DN =||2pON =， 2(6)3A x p ∴=，||||OD OA =Q ，∴2222||||||||ON DN OM AM ++∴2291064p p+=+，解得：2p =，故答案为2．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中 档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S . 【答案】（1）21n a n -＝（2）324 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，列出关于1a 和d 的方程组，解方程组即可求解； （2）由题意，写出数列前n 项和公式，根据等比中项公式列方程，求解m 值，即可求解. 【详解】（1）n S Q 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝.∴()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩，解得112a d ＝，＝， ()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝.（2）由（1）知，()21212n n n S n +-==.314m S a S Q ，，成等比数列，2314m S S a ∴=，即22927m ＝解得9m ＝，2218324m S =∴=【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题.18.2019年11月15日，我市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75).把年龄落在[)15,35和[)35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为2:3.（1）求图中,a b 的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值x ； （2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的22⨯列联表，根据此统计结果，问能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？【答案】（1）0.010a =，0.035b =；x =39；（2）填表见详解；没有99%把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动 【解析】【详解】（1）依题意，青少年人，中老年人的频率分别为25，35， 由210100.0305a +⨯=310100.015200.0055b +⨯+⨯=得0.010a =，0.035b =由频率分布直方图中的平均数计算公式可得：200.1300.3400.35x =⨯+⨯+⨯500.15600.05700.0539+⨯+⨯+⨯=综上所述：0.010a =，0.035b =，x 39=. （2）由题意可知，“青少年人”共有2100405⨯=，“中老年人”共有1004060-=人 完成22⨯列联表如下：关注 不关注 合计 青少年人 15 25 40 中老年人 35 25 60 合计 5050100结合列联表()2210035251525 4.17 6.63550506040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯故没有99%把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动.【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求解，以及2K 的计算和利用2K 进行判断，属综合基础题. 19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AC AB ⊥，PH BC ⊥，2PA PC AC AB ====.H 为AC 的中点P .（1）求证：PA AB ⊥； （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）见证明（2221【解析】 【分析】（1）由已知可得PH AC ⊥，又PH BC ⊥，由线面垂直的判定定理得到PH ⊥面ABC ，进而得到PH AB ⊥，结合AB AC ⊥，又可证得AB ⊥面PAC ，再由线面垂直的性质得到AB ⊥PA ； （2）利用P ABC A PBC V V --=，可得1PH AB ACh PC h ⨯⨯=⨯，再利用已知数据求解即可.【详解】（1）在等边PAC ∆中，H 为AC 中点 ∴PH AC ⊥∵PH BC ⊥，且AC BC C ⋂= ∴PH ⊥面ABC ∵AB ⊂平面ABC ∴PH AB ⊥∵AB AC ⊥，PH AC H ⋂= ∴AB ⊥面PAC ∴PA AB ⊥.（2）在Rt ABC ∆中，2228BC AB AC =+=，∴22BC =22PB =故在PBC ∆中，PC 边上的高1h =()222217-=设点A 到平面PBC 的距离为h ，P ABC A PBC V V --=. ∴111113232PH AB AC h PC h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴17PH AB AChPC h⨯⨯===⨯即点A到平面PBC的距离为7.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查了等体积转化的解题技巧，是中档题．20.已知点()1,0F-，直线4l x P=-：，为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点H，且1122PF PH PF PH⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线AB与MN分别交轨迹C于A B M N，，，四点.求AB MN+u u u v u u u u v的取值范围.【答案】（1）22143x y+= (2)4877，⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）设动点()P x y，，则()4H y-，，由1122PF PH PF PHu u u v u u u v u u u v u u u v⎛⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开计算得到x y，的关系式即可；(2)当直线AB的斜率不存在（或者为0）时，可求出A B M N，，，四点坐标，即可得到7AB MN+=；当直线AB的斜率存在且不为0时，设为k，直线AB的方程为()1y k x=+，与轨迹C 的方程联立，结合根与系数的关系可得到ABu u u v+MNu u u u v的表达式，然后利用函数与导数知识可求出AB MN+的取值范围．【详解】（1）设动点()P x y，，则()4H y-，，由1122PF PH PF PHu u u v u u u v u u u v u u u v⎛⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2214PF PH=u u u v u u u v，所以()2221144x y x++=+，化简得22143x y+=.故点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB x ⊥轴， 可设()()331,1,2,02,022A B M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 347AB MN AB MN ，，==∴+=，当直线AB 的斜率为0时，AB y ⊥轴，同理得7AB MN +=，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设为k ，则直线AB 的方程为：()1y k x =+，设()()1122A x y B x y ，，，，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得:()22223484120k xk x k +++-=，则222121222841214414403434k k k x x x x k k-∆=+>+=-=++，， 所以()()()()()()()()224222222212121212222221441641648141343434k k k AB x x y y k x x x x k k k k ⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤=-+-=++-=+-=⎣⎦⎢⎥+++⎣⎦， 则()2212134k AB k+=+u u u v ，直线MN 的方程为：()11y x k=+， 同理可得：()2222112112134134k k MN k k u u u u v ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 所以()()22221211213434k k AB MN k k +++=+++u u u v u u u u v 令21t k =+，则()1,t ∈+∞()12123141t t g t t t ∴=++-， ()()()()228423141t t g t t t -∴=+-'，由()0g t '>，得2t >；()0g t '<，得12t <<；()g t ∴在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增()()4827g t g ∴≥=， 又()()2711212773141121t t tg t t t t t -=+=+<+-+-，故()4877g t ，⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述，AB EF +u u u v u u u v 的取值范围是4877，⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题． 21.已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1. 【解析】 【分析】（1）根据()0f x '≥在()0,1上恒成立可得实数m 的取值范围．（2）由题意得()1ln F x x x=-，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义求得20011a x x =+，又由0001ln x ax b x -=+，得002ln 1b x x =--，从而得到020011ln 1a b x x x +=+--，然后再利用导数求出函数()211ln 1(0)h x x x x x=+-->的最小值即可． 详解】（1）∵()1ln f x x mx x=--，∴()211f x m x x =+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数， ∴()2110f x m x x=-'+≥在()0,1上恒成立，∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-． （2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-， ∴a b +的最小值为1-．【点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础，而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力和转化意识的运用，属于基础题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标. 【答案】(1) 40x y +-=,2C的参数方程为x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. (2) 31,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合(1)的结论，设),sin Qϕϕ，利用点到直线的距离公式可得到d 的表达式，利用三角函数求最值即可得到d 的最小值，即PQ 的最小值，进而可以得到Q 点的直角坐标．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.（2）设曲线2C 上动点为Q),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：=∴当sin13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，即6πϕ=时，dPQ，362162xy sinππ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⎪⎩，31,22Q⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x的不等式15x x m++-≤无解，求实数m的取值范围；（2）若,a b为不相等的正数，求证：0a b b aa b a b->.【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义得到156x x++-≥，从而可得所求范围．（2）由分析法得到即证明不等式1a bab-⎛⎫>⎪⎝⎭成立即可，然后根据,a b的大小关系分类讨论证明即可．【详解】（1）令15y x x=++-=24,16,1524,5x xxx x-+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x≤-时，6y≥；当15x-<<时，6y=；当5x≥时，6y≥，综上可得6y≥，即156x x++-≥．故要使不等式15x x m++-≤的解集是空集，则有6m<，所以实数m的取值范围为(),6∞-．（2）证明：由,a b为不相等的正数，要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b a a b -->，整理得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立． 【点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案． （2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．。
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试(十二)文科数学
2020届河北省衡水金卷新高考押题模拟考试（十二）数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()2()ln 4f x x =-- 的定义域是 A. [12-，）B. (2,2)-C. (1,2)-D. (2,1)(1,2)---U【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得21040x x +>⎧⎨->⎩解得12x -<< ，即f x （） 的定义域是(1,2)- . 故选C.【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0；2.已知向量a r ，b r 满足()1,5a b -=-r r ，()22,1a b +=-r r 则b =r（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C. ()1,2-D. ()1,2--【答案】C 【解析】 【分析】由题意两式作差即可求出b r的坐标。
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试(十)文科数学
2020届河北衡水中学新高考押题信息考试（十）数学试卷（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1.已知集合{|ln 2}A x x =>，{|B x y ==，则()R C A B ⋂=（ ）A. ()20,eB. (20,e ⎤⎦C. 22,e ⎡⎤⎣⎦D. (2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的补集，交集运算即可求解; 【详解】由题意知,{}2A x x e =>，{}2B x x =≥，∴{}2R A x x e=≤ð，∴()22,R A B e ⎡⎤=⎣⎦I ð.故选:C【点睛】本题考查集合交集和补集运算;属于基础题.2.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( )A. 1122i -+ B. 1122i -- C.1122i + D.1122i - 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.3.某中学有高中生4200人，初中生1200人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A. 100 B. 150C. 200D. 90【答案】D 【解析】分析：利用分层抽样的定义解答. 详解：由题得420070,9042001200n n=∴=+.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)分层抽样时，一般根据个体抽样前后的比例相等列方程.4.设x ，y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A. 8B. -2C. -4D. -8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域,利用目标函数的几何意义,向上平移直线0:30l x y -=至最高点时的z 即为目标函数的最小值.【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：向上平移直线0:30l x y -=，由图可知,当直线3z x y =-经过可行域的顶点时， 目标函数3z x y =-有最小值,联立方程220220x y x y --=⎧⎨-+=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩, 即2x y ==时，min 2324z =-⨯=-. 故选:C【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想;其中作出可行域,找到使z 取得最值的点是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. 3C.123【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=，∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.4πB.2π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知：直观图为半径为1，高为2的圆柱的14，再计算体积即可. 【详解】由题知：几何体为半径为1，高为2的圆柱的14. 21=12=42V ππ⨯⨯.故选：B【点睛】本题主要考查三视图的还原，弄清直观图的形状为解题的关键，属于简单题. 7.右图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,112S =⨯ ，满足循环条件，此时i=2； 当i=2时,111223S =+⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=3； 当i=3时,111122334S =++⨯⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=4； 当i=4时,111112233445S =+++⨯⨯⨯⨯ ，不满足循环条件， 此时11111111111141112233445223344555S =+++=-+-+-+-=-=⨯⨯⨯⨯ 本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.设,a b v v 为向量，则“a b a b ⋅=v vv v ”是“//a b v v ” （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等．【详解】根据向量数量积运算，a b ⋅=vv a b cos θv v 若a b a b ⋅=v v v v ，即a b cos θv v =a b vv 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或所以//a b vv若//a b v v ，则a b v v 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒=v v v v v v 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-v v v v v v即a b a b cos θ⋅=v vv v 所以“a b a b ⋅=v v v v ”是“//a b v v ”的充分必要条件 所以选C【点睛】本题考查了向量数量积的运算，充分必要条件的判定，属于基础题．9.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A.35B.59C.25D.34【答案】A 【解析】 【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型概率求解其概率值即可【详解】由题意可得甲的平均数：188+87+85+92+93+95==906x被污损的数字设为x ，则乙的平均数为：28586868890998966x xx ++++++==+ 满足题意时，12x x >，即90896x>+，解得6x <即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为：63105p ==故选A【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读、平均数的计算方法、古典概型概率计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.已知函数()()x f x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭,1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心,B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点,若4BC =,则()f x 的解析式为( ).A. ()412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()5412f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据4BC =，利用勾股定理可求得ω值，再利用1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心，求出φ即可. 【详解】解：因为B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点，4BC =，由勾股定理可得：(22242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即221216πω+=，求得2πω=.又因为1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心， 可知1,23k k Z πφπ⋅+=∈ ，解得6πφ=-.所以()f x 的解析式为()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦函数型函数的图象与性质，属于中档题.11.若双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于A 、O 、B 三点（点O 为坐标原点），且直线AB 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 3D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由对称性及AB 过抛物线的焦点可得(,)2pA p ，代入渐近线方程可得,a b 关系，从而求得离心率． 【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于A 、O 、B三点，且直线AB 经过抛物线的焦点，可得,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，则A 在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：0bx ay -=，所以02pb pa -=，即2b a =，可得2224c a a -=，所以双曲线的离心率为：ce a ==．故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查抛物线的性质，关键是得出双曲线中,,a b c 的关系式．12.在三棱锥P ABC -中，2AP =，AB =PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20πC. 12πD.203π【答案】A 【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中，()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即sin()2sin cos B C A C +=. ∵sin 0A ≠ ∴1cos 2C =∵(0,)C π∈ ∴3C π=2sin3r=，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC ∴()()()22222PA r R += ∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ== 故选A.点睛：本题考查正弦定理解三角形及三棱锥外接球的表面积，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的表面积.二、填空题13.曲线()ln f x x x =在点1x =处的切线方程为_______________ ． 【答案】y=x-1 【解析】由题意可得：()'ln 1f x x =+ ，则()'1011f =+= ， 函数在1x = 处的函数值：()11ln10f =⨯= ， 据此可得，切线方程过点()1,0 ，切线的斜率为1k = ， 切线方程为：1y x =- .点睛：在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．14.已知向量a v ，b v 满足1a =v ，2b =v，2a b -=vv a v 与b v 的夹角为______.【答案】60° 【解析】 【分析】可假设a r 与b r的夹角，根据向量的夹角公式，可得结果.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，由2a b -=r r ，所以()222a b-=r r即224413a b a b +-=r r r rg，又1a =r ，2b =r ， 可知1a b =r rg所以11cos 122a b a b θ===⨯r rg r r又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦oo所以60θ=o 故答案为：60°【点睛】本题考查向量的夹角公式，属基础题.15.已知函数2log ()(0)()31(0)x x x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，且()()10f a f +=，则实数a 的值等于______.【答案】14- 【解析】 【分析】先求出()1f 的值,然后分0a <和0a ≥两种情况,分别代入对应的解析式，解关于a 的方程即可. 【详解】当0a <时，因为()()10f a f +=， 所以()2log 310a -+-=， 即()2log 2a -=-，得到14a =-； 当0a ≥时，因为()()10f a f +=， 所以3120a -+=，即31a =-，方程无解. 综上所述，14a =-. 故答案为:14-【点睛】本题考查利用分段函数的解析式求参数及指数型函数与对数型函数的性质;属于中档题.16.已知F 是椭圆 2243x y +=1的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O为原点）的斜率的取值范围是______.【答案】33,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意知,()1,0F -,先分别求出过点()1,0F -,和斜率不存在时所对应的直线与椭圆的交点,然后根据直线绕定点旋转斜率的变化情况,找出符合题意的点P 的位置,进而求出直线OP 的斜率变化范围即可.【详解】由椭圆方程为22143x y +=，可知()1,0F -，当过点()1,0F -,,此时所对应的直线为)1y x =+，由)221{143y x x y =++=，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线)1y x =+与椭圆22143x y +=的交点为(128,,55P P ⎛-- ⎝⎭， 因为过F 作x 轴垂线与椭圆交于12330,,0,22A A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当点P 在弧1122,P A P A 上时，符合题意，12200033,,228A A P k k k =-==Q ， OP ∴斜率的取值范围是33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,结合圆锥曲线求直线斜率范围,属于中档题;解决圆锥曲线范围问题一般有两种方法:()1几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决;()2将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数的有界性、函数单调性以及均值不等式等解答.三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n nb a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()2nn a n N +=∈（2）()()41nn N n +∈+【解析】 【分析】（1）直接利用公式1n n n a S S -=-计算得到答案.（2）22log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2nn a =.当1n =时：111112222a S +==-==成立故所求()2nn a n N +=∈；（2）2nn a =，22log 2n n b a n ==()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .（1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，F A ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F -AGC 的体积.【答案】（1）见解析；（2）14【解析】 【分析】()1连接BD 交AC 于点E ，连接GE ,利用线面平行的性质定理可得,SD //GE ,再由E 为BD 的中点即可得证;()2利用边长的倍数关系和棱锥的体积公式13V Sh =进行转化,1122F AGC S AGC C AGS V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥1144C ABS S ABC V V --==三棱锥三棱锥18S ABCD V -=四棱锥,利用间接法,结合题意求出S ABCD V -棱锥即可.【详解】（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ， ∵//SD 平面GAC ，平面I SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ， ∴//SD GE ，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点.（2）解：∵F ，G 分别为SC ，SB 中点，∴1122F AGC S AGC C AGS V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥1144C ABS S ABC V V --==三棱锥三棱锥18S ABCD V -=四棱锥. 取AB 的中点H ，连接SH ，∵SAB ∆为等边三角形，∴SH AB ⊥，又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =，SH ⊂平面SAB ，∴SH ⊥平面ABCD ，因为2AB =，所以3=SH ，因为1222sin60232ABCD S =⋅⋅⋅=o 菱形， ∴13S ABCD ABCD V S SH -=⋅⋅四棱锥菱形123323=⋅⋅=， ∴1184F AGCS ABCD V V --==三棱锥四棱锥. 【点睛】本题考查线面平行的性质和面面垂直的性质；通过利用边长的倍数关系,把求三棱锥F -AGC 的体积转化为求四棱锥S ABCD -的体积是求解本题的关键；考查学生分析问题、解决问题的能力;属于中档题. 19.一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率.（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：【答案】（1）1625（2）见解析，有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关. 【解析】 【分析】()1先得到相应范围的频数,然后利用频率得到概率即可;()2根据列联表内的已有数据,结合题中表格数据,计算出其他数据,完成列联表，代入公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,计算出观测值2K ，参照临界值表即可作出判断.【详解】（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为：805010906030320+++++=，所以该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：3201650025P ==. （2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人， 非高收入人群中女性有60人，男性有120人， 完成列联表如下：根据列联表中的数据，计算得22500(14012060180) 5.208 3.841200300180320K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关.【点睛】本题考查利用频率估计概率和独立性检验思想的应用;重点考查学生的运算能力;属于基础题.20.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>且过点12⎫⎪⎭.直线l ：y x m =+与y 轴交于点P ，与椭圆交于M ，N 两点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若3MP PN =u u u r u u u r，求实数m 的值.【答案】（1）2214x y +=（2）m =【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点12⎫⎪⎭代入计算得到答案.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m ，联立方程，利用韦达定理得到1285m x x +=-，212445m x x -⋅=，计算得到答案.【详解】（1=E过点12⎫⎪⎭，即223114a b += 解得24a =，21b =，故所求椭圆E 的方程为：2214x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立化简得：2258440x mx m ++-= 1285m x x ∴+=-，212445m x x -⋅=又3MP PN =u u u r u u u rQ ，()()1122,3,x m y x y m ∴--=-123x x ∴=- 与1285x x m +=-联立解得：245x m =，1125x m =- 代入212445m x x -⋅=解得：2517m =，17m ∴=±验证：当17m =±时，>0∆成立，符合题意故所求17m =±. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力. 21.已知函数()(sin 1)x f x ax x e =--⋅()a ∈R ，()f x '是其导函数． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点． 【答案】（Ⅰ）10x y ++=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出()0f '与(0)f 利用点斜式求出直线方程；（Ⅱ）由()(sin cos 1)x f x ax x x a e '=--+-⋅，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，则()0f x '=，即()0g x =，对()g x 求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()(sin cos )x f x x x x e '=--⋅，则()01f '=-，又(0)1f =-，则()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=-， 即10x y ++=．（Ⅱ）()(sin cos 1)xf x ax x x a e '=--+-⋅Q ， 又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，()0f x '∴=，()0g x ∴=()cos sin 4g x a x x x a π⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，因(0,)x π∈(4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 又1a ≥，故()0g x '≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增； 又(0)2g a =-，()(1)0g a ππ=+>；故当12a ≤≤时，(0)20g a =-≤，此时()f x '在区间()0,π内恰好有1个零点． 当2a >时，(0)20g a =->，此时()f x '在区间()0,π内没有零点； 综上结论得证．【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.22.已知曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出曲线是什么曲线； （2）若直线与l 曲线C 交于A ，B 两点，设(2,1)P ，求||||PA PB +的值. 【答案】（1）22(1)(1)2x y -+-=，此曲线为圆（2【解析】 【分析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将极坐标方程转化为直角坐标方程，得到答案；（2）将直线的参数方程代入C 中，得到12t t +，12t t ，根据参数的几何意义，得到答案. 【详解】解：（1）因为)4πρθ=+所以2(cos )2sin 2cos 22ρθθθθ=+=+ 所以22sin 2cos ρρθρθ=+因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=， 则曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=， 此曲线为以()1,1为半径的圆.（2）将直线l的参数方程1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 中，得210t t --= 其1(4)0∆=--> 所以121t t =-，121t t +=则12||||||PA PB t t +=-===【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的转化，利用直线的参数的几何意义求线段长度，属于中档题. 23.已知函数()222f x x x =--+．()1求不等式()6f x ≥的解集；()2当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) (,2][10,)-∞+∞U (2) (,2]-∞- 【解析】试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式()6f x ≥的解集；（2）分三种情况讨论当2x ≤-时，4a ≤可得；当21x -<<时，2a ≤-可得；当1x ≥时，2a ≤-可得，综上，实数a 的取值范围为(],2-∞-.试题解析：（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥ 2x ⇒≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥ 2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥ 10x ⇒≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为][(),210,-∞⋃+∞.（2）由（1）知：()4,23,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(],2-∞-. 【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 综上，实数a 的取值范围为(],2-∞-.。
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试(一)文科数学
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试（一）文数试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.函数()()2ln f x x x =-的定义域为A. ()0,1B. (]0,1C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()[),01,-∞+∞U【答案】C 【解析】2010x x x x ->⇒><或，故定义域为{|01x x <或经＞｝，故选C ．2.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.3.设全集U =R ，1{||1|1},|202⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭xA x xB x ，则图中阴影部分所表示的集合（ ）A. ()2,0-B. (]2,1--C. (1,0]-D. (1,0)-【答案】D 【解析】 【分析】先将集合A B 、的表示元素范围求解出来，然后将阴影部分先用集合间的运算表示出来，最后再计算结果.【详解】因为11x +<，所以20x -<<，所以()2,0A =-；因为1202x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以1x ≤-，所以(],1B =-∞-；又因为阴影部分为：R A C B ⋂，且()1,R C B =-+∞，所以()()()2,01,1,0R A C B =--+∞=-I I ，故选：D.【点睛】本题考查根据集合的交并补计算Venn 图表示的阴影部分，难度较易.解指数不等式时注意利用指数函数单调性分析.4.将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到（如图2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图2）所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】点,,,A B C E 在左侧面的投影为正方形，CA 在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.5.已知函数()()()()2log 8,55,5,2019x x f x f x x f -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩则等于( )A. 2B. 2log 6C. 2log 7D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用已知推导出()()20194f f =，由此能求出结果．【详解】解：Q 函数()()()2log 8,55,5x x f x f x x -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩，()()220194log 42f f ∴===．故选：A ．【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.设函数()())17020xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩,若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，－3)B. (1，＋∞)C. (－3,1)D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C 【解析】 【分析】0a <，()1f a <，即1712a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，0a ≥1<，分别求解即可【详解】0a <，()1f a <，即1712a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得3a >-， 则30a -<<0a ≥1<，解得01a ≤<综上所述，则31a -<< 故选C【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的解析式求法，分类讨论思想的应用，较为基础。
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2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（十）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,24xA x xB x =≥-=≤，则A B =I ( ) A. []0,2 B. []1,2- C. [)1,-+∞ D. (],2-∞【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】由{}{}{}1,242xA x xB x x x =≥-=≤=≤， 则A B =I []1,2-. 故选：B【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数21iz i=+，则||z =（ ） A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z 的模.【详解】因为211iz i i==++，所以||z ==故选：A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，属于基础题.3.人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI =体重⨯身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A. 35.6 B. 36.1C. 42.4D. 48.2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，体重=BMI ⨯身高2，代入数据即可求解. 详解】由题意得，体重=BMI ⨯身高2， 因为此人属于正常，所以[]18.5,23.9BMI ∈所以此小学生的体重范围为[]1.9618.5,1.9623.9⨯⨯， 即体重范围为[]36.26,46.84， 故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.4.已知向量a r 与b r 的夹角的余弦值为13，且2,1a b ==r r ，则3a b -=r r ( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】由向量a r 与b r 的夹角的余弦值为13，且2,1a b ==r r ，则33a b -===r r .故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的定义，需熟记定义，属于基础题.5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件( ) A. ,m m αβ⊥⊥ B. ,,m n m n αβ⊂⊂⊥ C. //,,m n m n αβ⊥⊥ D. //,m m αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出. 【详解】对于A ，,m m αβ⊥⊥，则//αβ，故排除A ；对于B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则α与β相交或//αβ，故排除B ； 对于C ，//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ，故排除C ； 对于D ，//,m m αβ⊥，则αβ⊥；反之，若αβ⊥，m 与,αβ的位置关系不确定， 当m β⊥时，//m α或m α⊂ ，故αβ⊥的一个充分不必要条件//,m m αβ⊥，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题.6.设,x y 满足约束条件330240220x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】A 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线2z x y =+过点()2,3A 时，求出z 最大值即可.【详解】作出变量,x y 满足约束条件330240220x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩的可行域如图：由2z x y =+，可得1122y x z =-+， 所以动直线1122y x z =-+的纵截距12z 取得最大值时，目标函数取得最大值.由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得()2,3A ，结合可行域可知当动直线经过点()2,3A 时， 目标函数取得最大值2238z =+⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.7.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A. ()2sin 426g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B. ()2sin 426g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. ()2sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律即可得到()y g x =. 【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 可得2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得图象向上平移2个单位长度，可得()2sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图像变换规律，掌握图像变换的原则是关键，属于基础题.8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？A. 23B.13C.56D.16【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为12345,,,,a a a a a，公差为d，则1234552a a a a a+=++=，即115225392a da d⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316ad⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，15243a a d∴-=-=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.9.已知函数()y f x=的大致图象如图所示，则函数()y f x=的解析式可能为( ) A.1()cos ln1xf x xx-=⋅+B.1()cos ln1xf x xx+=⋅-C.1()sin1xf x x lnx-=⋅+D.1()sin ln1xf x xx+=⋅-【答案】C【解析】【分析】结合图像，判断函数的性质即可求解.【详解】从图像可知，函数()y f x=为偶函数，对于A ，()1111()cos ln cos ln cos ln 111x x x f x x x x x x x ---+-⎛⎫-=-⋅=⋅=⋅ ⎪--+⎝⎭1cos ln ()1x x f x x -⎛⎫=-⋅=- ⎪+⎝⎭，排除A ；对于B ，()1111()cos ln cos ln cos ln 111x x x f x x x x x x x --+-+⎛⎫-=-⋅=⋅=⋅ ⎪--+-⎝⎭1cos ln ()1x x f x x +⎛⎫=-⋅=- ⎪-⎝⎭，排除B ；1ln1x y x +=-和1ln 1x y x -=+其定义域均为()(),11,-∞-+∞U ， 当x 从1的右侧趋近1时，1ln101x x +>>-，sin 0x >， 即1()sin ln01x f x x x +=⋅>-，结合图像排除D 项， 故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基础题. 10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A. 27πB. 36πC. 12πD. 18π【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为17，圆台的高为32 设圆台的外接球半径为R ，如图：221732R R --=3R =，∴外接球的体积为34363R ππ=.故选：B【点睛】本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11.已知双曲线()22122:10,,8x y C a F F a -=>是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( ) A.3 B. 3 C. 2 D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得122PF PF a =+，代入212PF PF ，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线的定义知122PF PF a =+()2222212222222444248PFa PF a a PF a PF a a PF PF PF PF +==++≥⨯=，当且仅当22PF a =时取等号2288,1,3,3a a c a b e ∴===+=∴=故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时，验证等号成立的条件，属于基础题.12.已知函数3()2x f x -=，若函数()2()()2g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A. ⎛ ⎝⎭B. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1122⎛-+ ⎝⎭D. 11,22∞∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()0g x =，可得()2()2f x f m m =-，代入解析式可得()24322mmx ---=，从而可得21x m m =--，只需210m m -->，解不等式即可.【详解】令()0g x =，即()2()20f x f m m --=，又因为3()2xf x -=，所以()243220mmx ----=，即()24322m mx---=，所以234x m m -=--，即21x m m =--， 因函数()2()()2g x f x f m m =--有两个零点，则21x m m =--有两个零点，即y x =与21y m m =--有两个交点， 所以210m m -->，即21m m ->或21m m -<-，显然21m m ->的解集为∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21m m -<-无解，故选：D【点睛】本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，注意数转化与化归思想的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin cos 3x x +=，则sin 2x =________.【答案】89- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】2211sin cos sin 2sin cos cos 39x x x x x x +=⇒++=， 8sin 29x ∴=-.故答案为：89-【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.14.已知等比数列{}n a 中，21343,a a a ==，则5a =________.【答案】127【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得112243341133a a a a a q a q ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，解得13q =， 所以4511138127a a q ==⨯=. 故答案为：127【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 15.已知函数()()ln 1xf x e x =-，使得()f m e ≥-成立的实数m 的取值范围为_________.【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】首先求出1'()ln 1xf x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x=+-，利用导数研究()g x 单调性，从而可得()(1)0g x g ≥= ，进而可得()f x 在区间()0,∞+上单调递增，由(1)e f =-，借助单调性即可求解.【详解】1'()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-， 则22111'(),01x g x x x x x-=-=<<时， '()0,()g x g x <单调递减，当1x >，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而()f x 在区间()0,∞+上单调递增，又(1),1f e m =-∴≥.故答案为：[)1,+∞【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用单调性解不等式，属于中档题. 16.已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r ，则直线l 的斜率为________.【答案】2±【解析】【分析】根据题意求出()13,0F -，设出直线l 的方程为：()3y k x =+，将直线与椭圆方程联立消y 求交点的横坐标，由113BF F A=u u u r u u u r ，可得3430A B x x ++=，代入交点的横坐标即可求解. 【详解】椭圆22:14x C y +=，则24a =，21b =，则222c a b =-，即3c =， 所以()13,0F -根据题意可得直线的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为：()3y k x =+则(2214y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y 可得()2222141240k x x k +++-=， 解得2214x k -±==+ 设()(),,,A A B B A x y B x y ，因为113BF F A=uu u r u uu r ，所以3B A x x --=30A B x x ++=由A B x x==， 代入30A B x x ++==，解得k =故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在锐角ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知()22cos cos c b A a B c -=-. （1）求证：2b c =；（2）若sin 24A a ==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可得()2sin 2cos sin cos sin C siB A A B C -=-，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解.（2）利用同角三角函数的基本关系可得1cos 4A =，再利用余弦定理结合（1）即可得出,c b ，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理有()2sin 2sin cos sin cos sin C B A A B C -=-得2sin cos 2sin cos sin cos sin C A B A A B C -=-，有2sin cos sin cos sin sin C A B A C C -=-得2sin cos sin cos 0C A B A -=，由cos 0A >，可得sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c =（2）由题意有1cos 4A == 由余弦定理有221244b c bc +-⨯=，得22142b c bc +-=，代入2b c =， 解得：1,2c b ==故ABC ∆的面积为122⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题. 18.某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）没有；（2）25. 【解析】【分析】（1）根据列联表求出观测值，再结合附表利用独立性检验的基本思想即可求解.（2）记A 班抽取的非常满意的家长为,a b ；B 班抽取的非常满意的家长为1,2,3，选取选出2人，列出基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由表格得()2210030104515100 3.03 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 所以没有95%的把握认为观众的满意程度是否与所在班级有关系.（2）记A 班抽取的非常满意的家长为,a b ；B 班抽取的非常满意的家长为1,2,3，则选取选出2人共有()()()()()()()()()(),,,1,,2,,3,,1,,2,,3,1,2,1,3,2,3a b a a a b b b ，共10种可能，其中来自同一个班级的有()()()(),,1,2,1,3,2,3a b 共4种可能，这2人都来自同一班级的概率为42105= 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求点E 到平面11AB C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（25. 【解析】【分析】（1）连AC BD 、相交于点O ，连OF ，证出//,FO BE FO BE =，从而证出//EF OB ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用等体法1111C AB E E AB C V V --=即可求解.【详解】（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF ，11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OBOB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD（2）由题知，11B C ⊥平面11ABB A ，11C ∴B 是点1C 到平面11ABB A 的距离.又1AB ⊂平面11ABB A ，111B C AB ∴⊥设点E 到平面11AB C 的距离为h则1111C AB E E AB C V V --=11111111111,11151333232AEB B C S C S h h ∆∆A ⨯B =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ 解得5h =【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，属于基础题. 20.已知函数()()ln ,f x x a x b a b R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[]1,e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时， ()f x 的增区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的增区间为(),a +∞，减区间为()0,a ；（2）[)(1)ln(1)2,1e e e ---+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，再求出()f x '，讨论a 的取值即可求解.（2）分类讨论当11a e <<-时或当1e a e -≤<时，利用导数求出函数的最值即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+'()1a x a f x x x-=-= ①当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 的增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x >可得x a >，故函数()f x 的增区间为(),a +∞，减区间为()0,a ；（2）由1a e <<，可得函数()f x 的区间[)1,a 单调递减，在区间(],a e 单调递增有()()()ln 1,12,1m f a a a a f f e e a ==-+==-+由()()11f e f e a -=--①当11a e <<-时，()1M f e e a ==-+，有()()1ln 1ln 2M m e a a a a a a a e -=-+--+=-+记()()ln 211,'()ln 10g x x x x e x e g x x =-+<<-=-<，故此时函数()g x 单调递减，()()()11h h x h e <<-即()()()1ln 121()2e e e e g x e ----+<<-故此时M m -的取值范围为()(1)ln(1)2,2e e e e ---+-②当1e a e -≤<时，(1)2M f ==，有()2ln 1ln 1M m a a a a a a -=--+=-+记()()ln 11,'()ln 0h x x x x e x e h x x =-+-≤<=>，故此时函数()h x 单调递增，()()()1h e h x h e -≤<即()()1ln 12()11e e e h x e e ---+≤<-+=故此时M m -的取值范围为[)(1)ln(1)2,1e e e ---+由上知M m -的取值范围为[)(1)ln(1)2,1e e e ---+.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、在求函数最值中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.21.已知抛物线()2:20C y px p =>，抛物线C 与圆()22:14D x y -+=的相交弦长为4. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A B 、为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）122y x =-或122y x =-+.【解析】【分析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点(),2a 在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，将抛物线与直线联立，分别消,x y ，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得2264b kb k +=，AFB ∆的面积为()()12111122AF BF x x ⨯=++ 即可求解. 【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点(),2a 既在抛物线C 上也在圆D 上，有：()224144pa a =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,2a p == 故抛物线C 的标准方程的24y x = （2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y .联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()222240k x kb x b +-+=， 可得12242kb x x k -+=，2122b x x k =联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=， 可得124b y y k =，16160kb ∆=->，得1kb < 由90AFB ∠=︒有，()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-u u u r u u u r ， ()()121211FA FB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r()1212121x x x x y y =-+++22242410b kb b k k k-=-++=，可得2264b kb k ++= AFB ∆的面积为()()()121212*********AF BF x x x x x x ⨯=++=+++22222214224122b kb b kb k k k k ⎛⎫--++=++= ⎪⎝⎭()2222222222622b kb k b kb k b kb k b k k k k -+++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 可得56b k k +=±，有6k b =-或116k b =- 联立方程22646b kb k k b⎧++=⎨=-⎩解得122k b =-⎧⎨=⎩或122k b =⎧⎨=-⎩，又由241kb =-<， 故此时直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+ 联立方程2264116b kb k k b ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，解方程组知方程组无解. 故直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42x t y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的最小值.【答案】（1）42y x =-，2212y x +=；（2【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可求出曲线C 的直角坐标方程. （2）设点Q的坐标为()cos ββ，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）直线l 的普通方程为42y x =- 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2212y x += （2）曲线的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩设点Q的坐标为()cos ββPQ =≥=故PQ的最小值为5. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.设,,a b c ∈R ，且3a b c ++=.（1）求证：()()222113a b c +++-≥；（2）若1t ≥，求证：()()()222123a b t c t -+-++≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.【详解】（1）由()()()22911a b c a b c =++=+++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()()2221121211a b c a b b c =+++-++++-()()()()()()()22222222221111111a c a b c a b b c a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-≤+++-++++++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()222311a b c ⎡⎤=+++-⎣⎦ ， （当且仅当时1,0,2a b c ===取等号）故有()()22113a b c +++-≥（2）()()()()()2222112t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++⎡⎤⎣⎦()()()()()2221221a b t c t a b t =-+-+++--()()()()22212b t c t a c t +-++-+()()()()()()()()()222222222121212a b t c t a b t b t c t a c t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤-+-+++-+-+-+++-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()222312a b t c t ⎡⎤=-+-++⎣⎦由1t ≥，有()229t +≥故当1t ≥时，()()()222123a b t c t -+-++≥.【点睛】本题考查了不等式的证明，考查了基本不等式以及不等式的性质，属于中档题.。