山东省高密市第三中学高中数学 2-3平面向量数量积的运算律导学案 新人教B版必修4
高中数学 2.3.1 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4(2021年整理)
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2。
3.1 向量数量积的物理背景与定义2。
3。
2 向量数量积的运算律1。
理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（难点） 2。
体会平面向量的数量积与向量射影的关系。
3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。
（重点)［基础·初探]教材整理1 两个向量的夹角 阅读教材P 107内容，完成下列问题。
1.已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，错误!＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ,b 〉，并规定0≤〈a ，b 〉≤π，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.2。
当〈a ，b 〉＝错误!时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b 。
在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直。
3。
当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向; 当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向；当〈a ,b >＝错误!或a 与b 中至少有一个为零向量时,a ⊥b 。
如图2.31，在△ABC 中,错误!，错误!的夹角与错误!,错误!的夹角的关系为________.图2。
31【解析】 根据向量夹角定义可知向量错误!，错误!夹角为∠BAC ,而向量错误!，错误!夹角为π－∠BAC ,故二者互补。
人教新课标版数学高一-数学人教B版必修4导学案 2.3.2向量数量积的运算律
导学案：2.3.2向量数量积的运算律一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用三、【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握向量垂直的条件.四、自主学习平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律：3．分配律：例1 已知、都是非零向量，且+ 3与7- 5垂直，- 4与7- 2垂直，求与的夹角.例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3 四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝d，且·＝·＝·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?五、合作探究1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-363.| a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知||=3，||=4，且与的夹角为150°，则(+)２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。
高中数学人教B版必修四2.3.2《平面向量数量积的运算律》word导学案
§2.3.2 平面向量数量积的运算律（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：1．交换律：a • b = ；2．数乘结合律：(λa )•b = = ；3．分配律：(a + b )•c= .说明：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c ）；（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b（3）有如下常用性质： a ２＝｜a ｜２；（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２.二.预习自测1、判断下列各题正确与否：1︒若a =0 ，则对任一向量b ，有a •b =0 ( ) 2︒若a ≠0 ，则对任一非零向量b ，有a •b≠03︒若a ≠0 ，a •b =0，则b =0 ( ) 4︒若a •b =0，则a 、b至少有一个为零( )5︒若a ≠0 ， a •b =a •c ，则b =c ( ) 6︒若a •b =a •c ，则b =c 当且仅当a ≠0时成立( )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a •b )•c ≠a •(b •c )( ) 8︒对任意向量a ，有a 2= |a|2 ( ) 2、 设,a b 是两个非零向量，则下列命题中正确的是（ ）.A a b 是实数，且可正、可负或者是零 .B a b 一定是正实数 .C a b 一定是非负数 .D a b 还是向量3、填空（a －b ）２＝ ； (a ＋b )( a －b)＝ 。
例3. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》1
教案学科：数学课题：向量数量积的运算律教师：白秋艳单位：喀左四高向量数量积的运算律一、教学目标1掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式；2理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．3会应用运算律进行相关的计算或证明等问题二、教学重难点教学重点：向量数量积的运算律的灵活应用。
教学难点：向量数量积的运算律的证明。
三、教学方法：通过高考题展示，激发学生积极性，让学生产生好奇心，提高学习效率。
通过设置问题、师生共同探究、总结、应用的方式学习。
四、教学过程（一）情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？⑴交换律： = ；⑵数乘结合律： = = ；⑶分配律： = 。
（学生回答）（二）、合作探究展示类型一数量积的基本运算【例1】1已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，则2a＋3b·3a－2b ＝________（教师板演）2已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|（学生板演）变式训练1 已知|a|＝|b|＝5，〈a，b〉＝错误!，求|a＋b|，|a－b|（学生板演）类型二求向量的夹角【例2】已知|a|＝3，|b|＝4，a＋2b·2a－b＝4，求a与b夹角θ（教师引导，学生展示）变式训练21已知a，b是非零向量且满足a－2b⊥a，b－2a⊥b，则a与b的夹角是（学生展示）2已知|a|＝1，|b|＝3，|2a＋b|＝错误!，求向量a与b的夹角．（学生展示）类型三数量积在几何证明中的作用【例3】1已知△ABC中一点O满足OA=⋅=OA⋅⋅，则O为△ABC的OBOCOCOBA．内心B．外心C．重心 D．垂心（教师引导，学生展示）2设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知错误!＋错误!－2错误!·错误!－错误!＝0，试判断△ABC的形状．（学生展示）变式训练3求证：平行四边形两条对角线的平行和等于四条边的平方和．（学生展示）三小结：理解数量积运算律的适用范围，会应用运算律进行相关的计算或证明等问题（四）作业：自组题。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》2
向量数量积的运算律教学设计新授课第一课时一．【教学目标】1知识与技能目标：理解向量数量积的运算律；2过程与方法目标：掌握向量数量积的运算律，能运用运算律解决相关问题；3情感态度与价值观目标：创设适当的问题情境，引入课题，激发学生的学习兴趣，培养数学意识。
二．【教学重点】理解并初步掌握向量数量积的运算律三．【教学难点】向量数量积运算律分配律的证明。
四．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量数量积的基础上以及实数中相关运算律和公式引入向量数量积的运算律，运算律教学过程中紧扣向量数量积的定义进行分析，小组之间探究讨论，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。
五．【教学过程】六．【板书设计】向量数量积的运算律一．向量数量积的运算律 二 例题讲解已知向量c b a ,,和实数,λ则 交换律：a b b a ⋅=⋅数乘结合律：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ 三 课堂小结 分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(七．【教学反思】向量的数量积的运算律共两个课时，本课时为第一课时。
围绕数量积的运算律，进行了论证及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用向量数量积的运算律解决问题奠定基础。
例题的选取紧紧扣住课本的例题，并通过例题展开变式研究和培养学生的发散性思维。
采取小组PK 的方式引导学生结合具体习题设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。
渗透数学思想方法的学习：类比的思想，渗透发散性思维的培养意识，通过教师的设计，引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活，从而提高有效学习的效率。
引导学生自己小结，一方面培养学生对问题的整理综合能力，另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容，懂得取舍得当。
山东省高密市第三中学高中数学(创新班)人教B版选修2-2导学案1.1导数
3.1.1导数班级_________姓名________ 命题人：孙娜 2015、10、8一、【教材知识梳理】 1、函数的平均变化率： 已知函数)(x f y =，0,x x 是其定义域内不同的两点，记)()()()(,0000x f x x f x f x f y x x x -∆+=-=∆-=∆则函数)(x f y =在区间[]x x x ∆+00,的平均变化率为： 2、瞬时速度与导数（1）瞬时速度的定义：一般地，我们计算运动物体位移()S t 的平均变化率00()()S t t S t t+∆-∆，如果当t ∆无限趋近于0时，00()()S t t S t t+∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度。
（2）导数：导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x 3.导数的几何意义（1）曲线的割线AB 的斜率： xyx x f x x f k ∆∆=∆-∆+=)()(00 由此可知：曲线割线的斜率就是 。
（2）导数的几何意义：曲线)(x f y =在点())(,00x f x 的切线的斜率等于)(0x f ' 注：点))(,(00x f x 是曲线上的点。
二、【典例解析】例1：求y=x 2 在 x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率。
变式练习1：求1y x=在 x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率（x 00≠）例2、求抛物线2x y = 在点（1，1）的切线的斜率。
变式练习2:求21y x =+在点（1，2）的切线的斜率。
例3.求双曲线xy 1=在点（2，21）的切线方程。
变式练习3：求曲线1y x= 在点（-1，-1）的切线方程。
数学：2.3.2《向量数量积的运算律》教案(新人教B版必修4)
由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50
= 在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量 的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al= cosθ
5
应用
还可能定义什么运算？
期望学生回答：向量相乘
复习向量有关运算
2
引入新课
以物理背景引入
实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W=。
（2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是量，
F（力）是量，
S（位移）是量，
α是。
我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教
学
目
标
1、知识与技能
①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影பைடு நூலகம்关系。
③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法
通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
教学方法
将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节
教学内容
师生互动
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》0
教学
环节
教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
学 生 活 动
教学目的
复习
导入
知识回顾：对数量积的定义和向量与单位向量乘积的几何意义进行复习。
学生通过思考，共同回答这些问题。
通过复习温故知新，有助于新旧知识相结合。
新课
讲授
自学课本给出向量数量积的三大运算律。并且通过新颖的微课视频主要对交换律和分配律进行推导证明。
学生自主阅读课本，观看微课视频，加深对向量数量积三大定律的记忆。
培养学生自主学习和总结问题、归纳问题的能力。
课堂
练习
主要分为以下三部分：
1、例题讲解
教师对例题进行讲解和板书，展示运算律的应用，同时明确证明题的一般步骤。规范学生书写习惯。
2、尝试练习
以三道小题分别给出三大定律对数量积运算、求模、求夹角问题的作用。并对学生给出的答案加以点评。（纠错）
3、巩固练习
由两道问题组成教师引导学生对所学知识进行整合，并且适当提升题型难度，将之前学过的垂直内容加以深化，在学生做题后加以展示、点评、纠错和分析错误。
学生通过思考问题及对教师做题方式加以观察。明确书写步骤。
自主完成尝试练习的三道问题，白板展示对错误加以纠正。
学生自主做题，白板展示并且对错误加以纠正。
培养学生观察能力，规范解题步骤。
培养学生独立思考做题及对错误问题加以改正的能力。
帮助学生形成完整的知识内容框架。培养学生总结问题的能力。
小组
讨论
出示讨论的问题，以小组为单位进行讨论。并且引导学生以多种方法（尤其是几何意义方面）解决问题。对学生回答的问题给出适当的评价。
学
具
多媒体；白板展台；导学案
教
高中数学人教B版必修4导学案：2.3向量数量积的物理背景和定义及运算律
撰稿教师：李丽丽一、教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.理解用平面向量的数量积，可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、教学过程知识点1 向量数量积的物理背景和定义1.力使物体位移所做的功W= .2.____ ___________________________ 叫做a b与的夹角，记作，并规定,a b范围是，并且有,a b = 。
3.当,a b=_______时，我们说向量a和向量b互相垂直。
记作。
规定零向量与垂直。
4．向量a的方向与轴L的正方向所成角为θ,则a在轴L上正射影的坐标la = 。
5．已知两个向量a b与，我们把______________叫a b与的数量积（或________）记作___________即a b⋅＝______________________其中θ是a b与的夹角。
______________________叫做向量a b在方向上的___________。
6.平面向量数量积的性质：设a b与均为非空向量：①a b⊥⇔___________②当a b与同向时，a b____ 当a b与反向时，a b⋅_____，特别地，a a⋅＝__________，即a=___________。
③cos,=a b___________ ④a b⋅a b知识点2向量数量积的运算律向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c，，与实数λ。
①a b⋅＝___________（______律）②()a bλ⋅＝___________③()a+b c⋅＝___________三、例题解答例1 已知向量a=2，5,6a lπ=，求a在l的正射影的数量la。
变式训练：已知向量a =2，2,3a b π=，求a 在b 的正射影的数量。
例2已知25,4,,,3a b a b π===求a b •变式训练：已知2,5,5a b a b ==•=-，求,a b 例3求证：（1）222()2a b a a b b +=++ （2）2221()2a b a b a b •=+-- 变式训练：（1）222()2a b a a b b -=-+ （2）224a b a b a b +--=例4求证菱形的两条对角线互相垂直变式练习：用向量内积运算，证明勾股定理。
2019-2020学年高中数学 2-3平面向量数量积的运算律导学案 新人教B版必修4.doc
§2.3.2 平面向量数量积的运算律（课前预习案）一、新知导学 1．交换律：a • b = ；2．数乘结合律：(λa )•b = = ；3．分配律：(a + b )•c = .说明：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c ）；（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：a ２＝｜a ｜２；（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d (a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２. 二.预习自测1、判断下列各题正确与否：1︒若a =0，则对任一向量b ，有a •b =0 ( ) 2︒若a ≠0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠0 3︒若a ≠0，a •b =0，则b =0 ( ) 4︒若a •b =0，则a 、b 至少有一个为零 ( )5︒若a ≠0，a •b =a •c ，则b =c ( ) 6︒若a •b =a •c ，则b =c 当且仅当a ≠0时成立 ( ) 7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a •b )•c ≠a •(b •c ) ( ) 8︒对任意向量a ，有a 2 = |a |2 ( ) 设,a b 是两个非零向量，则下列命题中正确的是（ ）.A a b 是实数，且可正、可负或者是零 .B a b 一定是正实数.C a b 一定是非负数 .D a b 还是向量3、填空（a －b ）２＝ ； (a ＋b )( a －b )＝ 。
2019-重点处理的问题（预习存在的问题）：§2.3.2 平面向量数量积的运算律（课堂探究案） 一、学习目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.二、学习重难点：两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直.三、典例分析例1.已知：｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .例2. 已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a - 4b 与7a -2b 垂直， 求a 与b 的夹角跟进练习： 1、已知|a |=1,| b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A 、60° B 、30° C 、135° D 、４５° 2、已知|a |=2,| b |=1, a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A 、2 B 、23 C 、6 D 、12备课札记 学习笔记例3. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和跟进练习：3、若2=a ，且a 在单位向量e 方向上的投影为3-，则a 与e 夹角为（ ） .30A .60B .120C .150D4、若a b b c =，且0b ≠，则（ ） .A a =c .B a c ≠.C a 在b 方向上的投影等于c 在b 方向上的投影 .D a =c当堂检测： 1、已知|a |=6,| b |=4, a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A 、72 B 、-72 C 、36 D 、-362、已知|a |=3,| b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝3、已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，则｜a －b ｜=4、已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ 备课札记 学习笔记俯视图 主视图§2.3.2 平面向量数量积的运算律（课后拓展案） A 组： 1.已知1e 和2e 是两个平行的单位向量，则（ ）.A 121=e e .B 121-≤e e .C ()121+≥e e .D ()()12120+-=e e e e2.设|a |=3,| b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝3.设,a b 是两个不相等的非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为 。
山东省高密市第三中学高中数学 233向量数量积的坐标运算与度量公式课件 新人教B版必修4
复习引入：
1.已知 x, y轴上的单位向量分别为 i, j,则
i·i= 1 j ·j = 1 i ·j = 0 j ·i = 0 .
2.=已知x1xa2+=xy11iy+2
y1 .
j
,b=x2i Nhomakorabea+
y2
j
,则
a·b
a·b=(x1 i + y1 j ) ·(x2i + y2 j )
小结：
1.两个向量的数量积是否为零，是判断 相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 (注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 ,
共线的坐标表示x1y2－x2y1=0)
2.引入数量积的坐标表示后,可以用坐标 将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从 而解决有关这些方面的几何问题.
达标练习：
1.若a=(－3,4),b=(5,2).则a·b= -7 ,|a|= 5 , |b|=√2￣9 .
2.若a=(2,3),b=(-2,4).c=(-1, -2).则 a·b= 8 , (a+b) ·(a－b)
= -7 ,a·(b+c)= 0 ,(a+b) 2= 49 .
3.已知A(1,2)、B(4,1) 、C(0,-1) ,则△ABC的形状
= x1x2 i 2+x1 y2 i ·j +y1 x2 j ·i +y1 y2 j2
= x1x2 +y1 y2
设a =
x=1（x2x+1
，y1yy12）. ,
b
=（x2，
y2
），则a·b
3.=设5a×=（(-56，)+－(-77）) ×, b(-=4（) =－-63, 0－+428）=，-2则. a·b
山东省高密市第三中学高中数学 23向量数量积的坐标运
§2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）一、新知导学1.平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，则a b =r r g ，这就是说：两个向量的数量积等于2.向量垂直的判定 设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，则b a ϖρ⊥ ⇔ ； 对于任意的实数k ，向量k (,)x y -与 垂直。
3. 向量的长度.距离和夹角公式（1）设),(y x a =ϖ，则2||___________a =r 或||_____________a =r (长度公式)（2）如果表示向量a ϖ的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x .),(22y x ，那么||___________________a =r (距离公式)（3）cos __________________a b a b θ==r r g r r （πθ≤≤0）(夹角公式)二.预习自测 1.设向量a r =（-1，2），b r =（2，-1），则（a r ·b r ）（a r +b r）等于（ ）A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2） 2.若a r =(5,y),b r =(-6,-4)且a r ·b r =-2，则y=( ) A.-5 B.-7 C.5 D.7 3.a r =(-4,3),b r =(5,6)，则3|a r |2-4a r ·b r =（ ） A.23 B.57 C.63 D.834.若a r =(cosα,sinα),b r =(cosβ,sinβ),则（a r +b r ）·（a r -b r）=_____№.14 重点处理的问题（预习存在的问题）：§2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式（课后拓展案） A 组： 1.在△ABC 中，∠A=90°，AB u u u r =(k,1),AC u u u r =(2,3)，则k 的值是_______ 2.已知OA u u u r =（-1，2），OB uuu r =（3，m ），且OA u u u r ⊥AB u u u r ，则m=______ 3.已知向量p u r =（-2，3），则与p u r 垂直的单位向量的坐标为＿＿＿＿＿＿. 4.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1，2）与动点P(x,y)满足OP OA ⋅u u u r u u u r =4， 则点P 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 5.i r ，j r 是互相垂直的单位向量，已知a r +b r =2i r -8j r ,a r -b r =-8i r +16j r ,则|2a r +b r |=___ B 组： 6.已知|a r |=4，|b r |=3，（2a r -3b r ）·（2a r +b r ）=61. （1）求a r 与b r 的夹角θ；（2）设OA u u u r =（2，5），OB =（3，1），OC u u u r =（6，3）， 在OC u u u r 上是否存在点M ，使MA MB ⊥u u u r u u u r ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在， 请说明理由.教后反思（学后反思）备课札记 学习笔记 二次批阅时间。
山东省高密市第三中学高中数学 21向量的减法导学案 新
1§2.1.3向量的减法（课前预习案）一、新知导学1、如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以 为起点， 为终点的向量。
2、一个向量BA u u u r等于它的终点相对于点O 的位置向量＿＿＿减去它的始点相对于点O 的位置向量＿＿＿，或简记为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
如图：则a r -b r =OA u u u r -OB uuur = 。
2、若AB u u u r =a r ，则BA u u u r= ，与向量a r 方向相反，等长的向量叫做 ，a r +(-a r)= 。
3、一个向量减去另一个向量等于加上。
二、课前自测1、平行四边形ABCD 中，若AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r，则（ ）A 、CD uuu r =a r ，BD u u u r =a r -b rB 、CD uuu r =-a r ，BD u u u r =a r -b rC 、CD uuu r =-a r ，BD u u u r =b r -a r D 、CB u u u r =b r ，BD u u u r =b r -a r2、平行四边形ABCD 中，若|AB u u u r +AD u u u r |=|AB u u u r -AD u u u r|，则必有（ ）A 、AD u u u r =0rB 、AB u u u r =0r 或AD u u ur =0rC 、ABCD 是矩形 D 、ABCD 是正方形NO.6 重点处理的问题（预习存在的问题）： OA B2a r brcr du r3。
山东省高密市第三中学高三数学一轮复习课时3平面向量
课时3 平面向量的数量积（课前自学案）一、高考考纲要求1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算率；2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．二、基础知识梳理1．向量的数量积（1）已知两个非零向量,a b ，我们把 叫做向量a 和b 的数量积，记作a b .其中，,a b <>是向量,a b 的夹角，其取值范围是 .思考感悟：零向量与其它向量的数量积呢？两向量夹角的范围与数量积的符号有什么关系？（2）两向量数量积的几何意义： .思考：向量a 在b 方向的投影（正射影的数量）为 .2．数量积的性质：①若e 是单位向量，则a e e a == ； ②a b ⊥⇔ ；③2a a a =或a a a =； ④cos ,a b <>= ；⑤a b a b .3．数量积的运算律：①a b = （交换律）；②()a b c a c b c +=+（分配律）；③()a b λ= = （数乘结合律）；4．向量数量积的坐标运算：()12,a a a =，()12,b b b =，则：①a b = ；②a b ⊥⇔ ；③2212a a a =+；④设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则AB = ，AB = ；cos ,a b <>=重点处理的问题（预习存在的问题）：三、课前自测1．已知向量a 与b 不共线，且0a b =≠，则下列结论中正确的是（ ）A ． a b +与a b -垂直B ． a 与a b -垂直C ． a b +与a 垂直D ． a b +与a b -共线2．设,x y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，则||a b +=（ ）（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）103．设()4,3a =，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且14b <，则b 为（）A ．()2,14B ．22,7⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()2,84.若两个非零向量a ，b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角（ ）A ．6πB ．4πC ．23πD ．56π课时3 平面向量的数量积(课内探究案) 考点一 平面向量数量积的运算【典例1】已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角150θ=，求a b ；2()a b -；||a b +.【跟进练习1】已知||3,||2a b ==，a 与b 的夹角为60，35c a b =+，3d ma b =-.（1）当m 为何值时，c d ⊥？ （2）当m 为何值时，//c d ？备课札记 学习笔记考点二 利用平面向量的数量积解决夹角问题 【典例2】已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，若2a b λ+与3a b λ-的 夹角是锐角，求λ的取值范围。
山东省高密市第三中学高中数学第二章平面向量复习学案新人教B版必修4
<5>（一）知识点.1.基本概念. 1.向量的定义： --------------------- 模:单位向量： -------------------------- 量： 平行向量：一2. 加法与减法的代数运算.（1）加法：＜1＞平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
uuu uuu umr＜2＞三角形加法法则：首尾相连 记：AB BC AC5. 平面向量基本定理:6. 向量的数量积.① 定义： ---------------- 规定 -----------------------------r r② 向量的投影：如向量 a 在向量 b 方向上的投影，记为： ----------------------- a a<3> r r ab<4>cos④数量积的运算律：＜1＞交换律:平面向量复习零向量: 相反向uuu iuu um（2） 减法：三角形减法法则：起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：OA OB BArr r r（3）坐标表示：a （X i ，y i ），b （X 2,y 2），则 a ---- b3. 实数与向量的积.o, a 与a 方向相同（i ）模的关系： （3）当 =0时， 4. 向量共线定理：r r即 a// b ____________________（2）方向:0, a 与a 方向相反a =0（4）坐标表示：a(x i ,yj a ( X i , y i )③数量积的有关性质.设a , b 为两个非零向量,e是与b 同向的单位向量a e<i>a cos<2> ao rb r a r<2>数乘结合律:11A .2 B . 2C.2D . 24.已知 a (5,2),b ( 4, 3),c—fe- (x,y),若 a—► — 2b 3c o 则 c等于( )(1,3)聲8)聲4)( 13J 4)A . 3B .3 3C.3 3D .3 3则 DE + DF =(5、已知△ ABC, D , E , F 分别是AB , BC, CA 的中点，设 AB = a ,AC =b ,<3>分配律： ---------- 7.平面向量的有关坐标表示 设 a (X 1,yJ , b(X 2, y 2)(1) a b(3)两点间距离公式: (2)向量的模：A (知 yj B(X 2, y 2)uuu AB\17(6) a(X, y)ra的单位向量为r与a垂直的单位向量为 位向量为向量测试(一)班级姓名 命题人：一、选择题1、如图在平行四边形 ABCD 中OAa,OB b,OC c,OD d,则下列运算正确的是 ()(A) a b cd 0(B) a b c d 0 (C) ab c d 0(D) ab cd 02 .已知 | 卜“|= ' 5，b = A . (1,2)或(-1, - 2)r r r3.若 | a |=1 , | b |=2 , | a(-1,— 2) C . (2,1) D .7，则a 与b 的夹角的余弦值为(). (1,2) ( )(1，2)，且亍//下，则才的坐标为(5)夹角公式: _________ ，与a共线的单D1 1 11------- —r------------------------ —»■ —―ir-- —•-- —r- —►A . 2 ( a + b )B . -2a + b c . a _2b D . 2 ( a _b )—*■—*■—*■6、 已知向量| a I =5，且a =(3,x-1),x € N,与向量a 垂直的单位向量是()4 3 4 3 34344343A.(5 , -5)B.(-5 , 5)C.(- 5 , 5)或(5,-5)D .( 5 , -5)或(-5 , 5)r r uuu r r uuu r r uur r r7、 已知向量a ,b ，且AB a 2b ,BC 5a6b,CD 7a 2b,则一定共线的()(A )A 、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D(D)A 、C D11、向量a （X,1）与b（4,x ）共线且方向相同，则x=12、已知 A (3,y ) , B ( 5 , 2), C (6,9)三点共线，贝V y= __________13、已知 a =(-3, 4),若 |b| = 1, b 丄 a ，则 b =r r r r 9.疋义平面向量之间的一种运算 O” 如下，对任意的a =（m,n ） , b(p,q) 令 ae b=mq_np面说法错误的是（）r rr rr r r rA 若a 与b 共线，则ae b =°B ae b=b e arr r r r r r r c r c r c c 对任意的 R，有（a ）eb= (ae b)D (a e b) +(ab) 2 2 2=|a| |b|二、填空题1°•若 la b| ・41 2° 3 ,l ；| r 4, |b| 5，贝y a 与b的数量积为下14、非零向量a和b满足：|a| |b| |a b|,则a与a b的夹角等于r r r 1 r r r15、已知| a|=10 , | b|=12，且(3a) • ( 5 b) =—36,则a与b的夹角是16、如果|a|= 1, |b|= 2, a与b的夹角为4，则|a b|等于uuu r uuu r uuu17、已知AB a (1,2) , BC b ( 3,2) , CD (6,4)(1)证明：A,B,D三点共线•r r r r r r r r(2)k为何值时，① 向量ka b与a 3b平行②向量ka b与a 3b垂直13、已知向量a（n,1）与向量b （4, n），求：（1）n为何值时，向量a,b共线且方向相反；（2）n为何值时，（2ab) b18•设a 、b 是两个不共线的非零向量(t R )1 --3(a b),那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线? (2)若|a| |b l 1且 3与匕夫角为120，那么实数x 为何值时|a xb |的值最小OA a,OB tb,OC(1)记。
山东省高密市第三中学高中数学3.2对数及其运算(二)教案新人教B版必修1
§ 321对数及其运算(二)(课前预习案)重点处理的问题(预习存在的问题)一、新知导学问题1.积、商、幕、方根的对数：(1)log a( MN = ___________________ ;推广： ___________________ ；M n1--(2)log a = ______________________ ； (3) log a M = _______________ ; (4) log a n M = __________________N问题2.对数的换底公式log a N ______________________ (c 0且c 1 , a 0且a 1, N 0)证明：问题3.对数换底公式的常见推论.(a 0, b 0且a 1, b 1,m?n 0, N 0)1(1) 。
(2) log a n b n。
log b a a(3) log a n b m __________ 。
(4) log a m N _____________ 。
二•课前自测1. 若a>0, 1, x>y>0,n € N，则下列各式：①(log a x)n n log a X ②(log a x)n log a x n③ log a x log a -④log a X log aX log a y y⑤ Mog a X 丄log a X ⑥ log a x log aVx ⑦ log a x log a n x n⑧ log -―y log—―-n n a x y x y 其中成立有- _______________ 。
2. 求值：log 43 log925 log 58 = ___________§ 3. 2.1对数及其运算(课堂探究案)一、学习目标：1. 理解和掌握对数的运算性质，知道换底公式能将一般对数式转化成自然对数或常用对数；2. 准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能二、重点：对数的运算性质与换底公式的应用•难点：换底公式及对数式变形典例分析：一、积商幕的对数运算例1•用lOg a X，log a y，log a z表示下列各式：(1)log^= ________________ ; (2)log a(x3y5) = ____________________z/c、，jx(3) log a = ( 4) log a —5 =yz - z例2•计算：(1) lg 5100 = ; ( 2)log2(47 25) =跟进练习：求下列各式的值:例4. （1）求证：log x y log y z log x z§ 3. 2.1对数及其运算（课后拓展案）(2)已知lg2 a,lg 3 b,用a, b 表示log36 备课(1) lg 4 lg 25 = 2(2) (lg 2) lg 20 lg5 =2(1) (lg 5) lg 2lg 5 lg 2 (2) lg2lg50-lg5lg20+lg25二、换底公式及其推论的应用例题3.（1）求log 89 log 2732 的值跟进练习：求下列代数式的值（1）lg25 lg2?lg 50log5 血log 49 81(2)计算冷匚的值log 25 § log 73 4(2) log2；15?log 3；?log5：8 9备课札记。
山东省高密市第三中学高三数学 6.1向量的线性运算复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 6.1向量的线性运算复习导学案1．向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，AB→零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0＝a|a|共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如AB→＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋相反；当λ＝0时，λa ＝0 λb3. 平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . 课前自测：1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( )(4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． ( ) (6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( )2． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________． 典例分析：题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型二 平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0题型三 共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．当堂检测1． 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30° B．60° C．90° D．120°3． 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.12 C.13 D.23课后巩固 一、选择题1． 下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行2． 已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题3． 设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________． 4． 在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示) 三、解答题5． 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．。
山东省高密市第三中学高中数学 3-2倍角公式导学案 新人教B版必修4
重点处理的问题（预习存在的问题）：
№.19 5
一、新知导 学 sin2=sin（+）= cos2=cos（+）=
tan 2
二.预习自测
1、 sin 22o30 cos 22o30
= cos2－sin2=
=
2 cos2 1
2、
8
sin 2 cos2
三、典例分析：例 1.已知 sin 5,(
,
)
，求
sin2，cos2，tan2的值
新疆 王新敞
奎屯
13
2
备课札记 学习笔记
sin cos cos 2
例 3.求
55 sin 4
5 的值
5
跟进练习 2：求 cos cos 2 的值. 55
备课札记 学习笔记
§3.2.1 倍角公式（课后拓展案）
A 组： 1．函数 y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx 的最小值是________．
2． sin cos 1 ，则 tan 2 ＝________． 2 cos sin 3
3．已知 cos π cos π 1 ，则 sin4 cos4 的值等于________． 4 4 4
3、 8
8
2 tan 22.5o 5、 1 tan2 22.5o =
6、求 cos 20o cos 40o cos80o 的值.
4、1 2sin2 75o =
§3.2.1 倍角公式（课堂探究案）
一、学习目标：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的 简单应用。
二、学习重难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
B 组： 4．函数 y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为________．