人教A版高中数学选修4-5 1.1三个正数的算术-几何平均不等式c (共15张PPT)
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书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！ 3.三个正数的算术--几何平均数
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
27
课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
当且a仅 b当 c时 ,等号.成
关于“平均数”的概念：
推 1．如果 a 1 ,a 2 ,L ,a n R ,n 1 且 n N * 则： 广 a1 a2 an 叫做这n个正数的算术平均数。
n
n a1a2 an叫做这n个正数的几何平均数。
2.基本不等式：
a1 a2 an n
≥
n a1a2 an n N *,ai R ,1in
结
a 2 b 2 2 | ab |;
a2 b2 c2 ab bc ca; (a 2 b 2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
2 ab a b 2(a2 b2) 等 .
例2 求函数 y2x23(x0)的来自小值．x下面解法是否正确？
解法2： y2x232x212
x
xx
x0, 2x20,10,20 xx
y33 2x21233 4 xx
ymin33 4
例 2 求函数 y2x23(x0)的最小值．
x
解法3： y2x232x233
x
2x 2x
x0
2x2 0, 3 0, 2x
y33 2x2 3 3 33 9 2x 2x 2
当且仅2x当 2 3即x3 3时，上式取等
2x
4
ymin33
9 33 22
36
练习: (1)当 0x1时 ,求函 yx2 数 (1x)的最 .
解: 0x1, 1x0,
yx2(1x)4xx(1x) 22
x x 1x
4(2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时， 等号成立．
一、用基本不等式求函数的最值 例1 求函数 y2x2 3(x0)的最小值．
x 下面解法是否正确？
解法１：由 x0 知 2x2 0, 3 0，则
x
y2x2322x2326x
x
x
当且仅当 2x23 x即 x32 3时 ,ymi n2632 32318
如何证明上面的不等式？
定理3
若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。
推论: abc3ab (a,c b,c R) 3
(1)abc为定值时
abc33 abc
当且a仅 b当 c时 ,等号.成
(2)abc为定值时
abc(abc)3 3
a 2．强调取“=”的条件： b
定理2.如果 a, b 是正数，那么 a b ab
2
（当且仅当 a b时取“=”号）
注意：1．这个定理适用的范围：a, b R
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
复习：
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当a b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：a, b R
思考
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均 数与几何平均数的关系，这个不等式能否 推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的 不等式成立呢？
类比、猜想：若a,b.cR,那么
abc 3 abc,当且仅当abc时， 3
等号成立。
如果a,b,cR, 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．
加等于 定值.
当 2 x1x,x3 2时 ,yma x2 4.7
例2.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四 个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
则V 其 容1积4 为x:(V a 2 x(xa) (2 ax )22 ,(x0)xa 2)即当剪去的aa2x
4
小正方形边
1 4[4x(a2x 3)(a2x)]32 2 a37长为
a 时 ,铁 6
当且 4x 仅 a2x,当 xa 6时 ,V ma x 2 2 a37积合是的最大容 2 a 3 .
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课
堂 1 .均 值 定 理 的 应 用 范 围 广 泛 , 要 关 注
小 变量的取值要求和等号能否成立, 还 要 注 意 它 的 变 式 的 运 用 ,如 :
当且a仅 b当 c时 ,等号.成
关于“平均数”的概念：
推 1．如果 a 1 ,a 2 ,L ,a n R ,n 1 且 n N * 则： 广 a1 a2 an 叫做这n个正数的算术平均数。
n
n a1a2 an叫做这n个正数的几何平均数。
2.基本不等式：
a1 a2 an n
≥
n a1a2 an n N *,ai R ,1in
结
a 2 b 2 2 | ab |;
a2 b2 c2 ab bc ca; (a 2 b 2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
2 ab a b 2(a2 b2) 等 .
例2 求函数 y2x23(x0)的来自小值．x下面解法是否正确？
解法2： y2x232x212
x
xx
x0, 2x20,10,20 xx
y33 2x21233 4 xx
ymin33 4
例 2 求函数 y2x23(x0)的最小值．
x
解法3： y2x232x233
x
2x 2x
x0
2x2 0, 3 0, 2x
y33 2x2 3 3 33 9 2x 2x 2
当且仅2x当 2 3即x3 3时，上式取等
2x
4
ymin33
9 33 22
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练习: (1)当 0x1时 ,求函 yx2 数 (1x)的最 .
解: 0x1, 1x0,
yx2(1x)4xx(1x) 22
x x 1x
4(2 2
)3
4
3
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构造三 个数相
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时， 等号成立．
一、用基本不等式求函数的最值 例1 求函数 y2x2 3(x0)的最小值．
x 下面解法是否正确？
解法１：由 x0 知 2x2 0, 3 0，则
x
y2x2322x2326x
x
x
当且仅当 2x23 x即 x32 3时 ,ymi n2632 32318
如何证明上面的不等式？
定理3
若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。
推论: abc3ab (a,c b,c R) 3
(1)abc为定值时
abc33 abc
当且a仅 b当 c时 ,等号.成
(2)abc为定值时
abc(abc)3 3
a 2．强调取“=”的条件： b
定理2.如果 a, b 是正数，那么 a b ab
2
（当且仅当 a b时取“=”号）
注意：1．这个定理适用的范围：a, b R
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.